无穷大与无穷小课程教案
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
最新无穷大与无穷小课程教案
在某个变化过程中，limf(x) f(x)-A是一个无穷小
三、
四、2003年，上海市总人口达到1464万人，上海是全国第一个出现人口负增长的地区。无穷大
据调查，大学生对此类消费的态度是：手工艺制品消费比“负债”消费更得人心。（1） ，当 时， ；
（2） ，当 时， ；
加拿大ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求，将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内，由消费者自选、自组、自制，这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上，创作出作品，达到展现个性的效果。（2）常数与无穷小之乘积仍为无穷小；
（3）有限个无穷小乘积仍为无穷小；
1、观察下列几个函数的极限：
（1）、 当
（2）、 当
（3）、 当
还有一点就是ｂｅａｄｗｏｒｋ公司在“碧芝自制饰品店”内设立了一个完全的弹性价格空间：选择饰珠的种类和多少是由顾客自己掌握，所以消费者可以根据自己的消费能力进行取舍；此外由于是顾客自己制作，所以从原料到成品的附加值就可以自己享用。定义：极限为0的变量称为无穷小量，简称无穷小
在自变量的同一变化过程中，如果 是无穷大，则 是无穷小，反之如果 都是无穷小，且 ，则 是无穷大.
五、无穷小的比较
在同一变化过程中，两个无穷小的和、差、积仍都是无穷小量，那么，两个无穷小量的商仍会出现什么情况呢？
当 时， 都是无穷小量，那么两个无穷小量的商会出现什么情况呢？
当 时， 都是无穷小量，而 ，
，
出现不同情况的原因是他们趋向于0的快慢程度不同.
定义：在同一个变化过程中
（1）如果 则称 是比 较高阶的无穷小，记作 .
高一数学课程教案函数的极限的计算与应用无穷大与无穷小
高一数学课程教案函数的极限的计算与应用无穷大与无穷小函数的极限的计算与应用——无穷大与无穷小在高一数学课程中，函数的极限是一个重要的概念。
它描述了函数在某一点或者某一区间内的变化趋势，对于数学问题的求解和实际应用都具有重要意义。
本文将探讨函数的极限的计算方法以及在实际问题中的应用。
一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的取值将趋于确定的常数或者无穷大、无穷小。
在数学中，我们用一些特定的记号来表示这种趋势。
下面是一些常用的记号及其含义：1. 有限极限：如果函数f(x)当x趋近于某一特定值时，其取值趋于一个常数L，我们可以表示为：lim(x→a) f(x) = L这里lim表示"极限"，x→a表示"x趋近于a"，f(x)表示函数f对自变量x的取值，L表示最后趋于的常数。
2. 无穷大极限：当函数f(x)的取值在某一点或者某一区间趋于无穷大时，我们用以下表示：lim(x→a) f(x) = +∞ 或者lim(x→a) f(x) = -∞这说明函数f(x)在自变量趋近于某一特定值时，函数值趋于正无穷或者负无穷。
3. 无穷小极限：如果函数f(x)在某一点或者某一区间内变化趋势逐渐接近于零，我们称它为无穷小。
我们可以表示为：lim(x→a) f(x) = 0二、函数极限的计算方法计算函数极限的方法有很多，下面介绍几种常用的方法。
1. 代入法：当函数在某一点连续时，可以直接代入该点的函数值来计算函数的极限。
例如，对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1，当x趋近于2时，我们可以直接将x代入函数，得到：lim(x→2) (x^2 + 2x + 1) = 2^2 + 2×2 + 1 = 9所以，当x趋近于2时，函数f(x)的极限为9。
2. 分解因式法：对于一些复杂的函数，可以通过将其分解因式来计算极限。
例如，对于函数f(x) = (x+2)(x-1)/(x-1)，当x趋近于1时，我们可以将函数分解因式，得到：lim(x→1) [(x+2)(x-1)/(x-1)] = lim(x→1) (x+2) = 3所以，当x趋近于1时，函数f(x)的极限为3。
《高职工科应用数学》教案6无穷小与无穷大
《高职工科应用数学》教案6无穷小与无穷大教学目标：1.了解无穷小与无穷大的概念；2.掌握无穷小与无穷大的性质和运算规律；3.掌握应用无穷小与无穷大解决实际问题。
教学重点：1.无穷小的定义和性质；2.无穷大的定义和性质；3.无穷小与无穷大的运算规律。
教学难点：1.复杂问题中的无穷小与无穷大的运算；2.如何应用无穷小与无穷大解决实际问题。
教学准备：教材、黑板、彩色粉笔、课件、习题集等。
教学过程：一、引入（5分钟）教师通过给出一组数列或函数，引出无穷小与无穷大的概念，并与学生共同总结无穷小与无穷大的定义和性质。
二、理论讲解（15分钟）1.无穷小的定义和性质：a.定义：当自变量趋于一些值时，如果函数值也趋于零，则称该函数为无穷小。
b.性质：i.无穷小的性质1：无穷小与有界量的积仍为无穷小；ii. 无穷小的性质2：无穷小与有穷数的和仍为无穷小；iii. 无穷小的性质3：无穷小的高阶无穷小，与低阶无穷小相比可以忽略不计。
2.无穷大的定义和性质：a.定义：当自变量趋于一些值时，如果函数值无限增大或无限减小，则称该函数为无穷大。
b.性质：i.无穷大的性质1：无穷大与有界量的积仍为无穷大；ii. 无穷大的性质2：无穷大与有穷数的和仍为无穷大；iii. 无穷大的性质3：无穷大的高阶无穷大，与低阶无穷大相比可以忽略不计。
三、运算规律（15分钟）1.无穷小与无穷小的运算：a.无穷小的加减运算：无穷小与无穷小相加或相减的结果仍为无穷小，且同阶无穷小相加或相减可以得到更高阶的无穷小；b.无穷小的乘除运算：无穷小与无穷小相乘或相除的结果需要根据具体问题来确定。
2.无穷大与无穷大的运算：a.无穷大的加减运算：无穷大与无穷大相加或相减的结果需要根据具体问题来确定；b.无穷大的乘除运算：无穷大与无穷大相乘或相除的结果需要根据具体问题来确定。
四、应用实例（25分钟）教师通过讲解一些实际问题的解题方法，来展示如何应用无穷小与无穷大来解决实际问题，比如极限的计算、函数的渐近线等。
无穷小无穷大单元教学设计
2.2 无穷小无穷大单元教学设计一、教案头单元教学学时4单元标题：无穷小无穷大第 3 次在整体设计中的位置授课班级略上课地点略能力目标知识目标素质目标?能够理解无穷小的概念教?能够应用无穷小性质计算某些函数极限?深刻思维能力学无穷小目?能够理解无穷大的概念?团结合作能力标无穷大?能够掌握无穷小和无穷大的倒数关系，?语言表达能力并相互求解任务 1无穷小概念任务 2阅读课本，学习无穷小性质及应用能任务 3学习无穷大概念，理解无穷大与无穷小关系力训求 lim x cos 1 2练案例 1任x 0x务11及案例 2案求 lim sin2x x x 例案例 3求 f ( x)x1在什么情况下是无穷小，在什么情况下是无穷大。
x - 1高等数学教材侯风波主编高等教育出版社教高等数学习题集张天德主编山东科技出版社学材高等数学应用205 例李心灿主编高等教育出版社料经济数学基础顾静相主编高等教育出版社二、教学设计教学方时间 步骤教学内容教学手段学生活动法分配1本单元学习目标：陈述板书 识记 5分钟（告知）无穷小，无穷大学生阅读，无穷小概念极限为零的函数叫做在该极限过程下的无穷小。
特别注意， 无穷小不知很小很小的数。
2例 下列函数在什么情况下是无穷小？（引入1 （ 1 ）y任务 1）x -1（ 2 ） y=2x-1（ 3 ）y 2xx（ 4 ）1y4无穷小性质（ 1）四条无穷小性质中最重要的是什么？a)有限个无穷小的代数和是无穷小b)无穷小与无穷小的积是无穷小 3c)常数与无穷小的积是无穷小（任务 2）d)有限个无穷小的积是无穷小（ 3）计算例 lim xcos 13x 0x学 生 阅读 自 主 教师提示分组研讨 15 分钟讨论教 师 启板书师生研讨 30 分钟发讲解例 lim x 3sin1x 0x例 lim1 sin 1xxx无穷大在某极限过程下，函数值的绝对值无限变大的函数叫做在该极限过程下的无穷大。
（ 1）无穷大就是很大很大的一个数吗？（ 2）无穷大与无穷小什么关系无穷大与无穷小是倒数关系。
无穷小与无穷大教学设计
通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题让学生体验数学在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。
2.教学重难点
教学重点：1.无穷小与无穷大的定义
2.无穷小的运算性质
3.无穷小的比较
教学难点：1.无穷小的运算性质
2.无穷小的比较
利用无穷小与无穷大的倒数关系解决这样的问题：
当 时，若 则
作业布置
（1分钟）
P39 4
P525（1）（3）（5）
六、板书设计
1.6无穷小与无穷大
一、无穷小的概念
1.无穷小的定义
2.无穷小的运算性质
Байду номын сангаас3.例题
二、无穷大
1.无穷大的定义
2.例题
三、无穷小与无穷大的关系
四、无穷小的比较
1.无穷小的比较
2.常用的等价无穷小
四、教学策略选择与设计
1.介绍无穷小的概念，使学生理解无穷小的概念，知道它的运算性质，还有
无穷小与无穷大之间的一种关系，提供一种求极限的方法。
2.通过判断两个无穷小的商有哪些情况，对无穷小的商进行分类。了解高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、k阶无穷小的概念。理解等价无穷小和等价无穷小替换定理。利用等价无穷小定理求极限。
一、教材分析
选用的是《高等数学（经管类）》，教材，教材适用于经济，金融和管理类的学生。本节课的主要介绍的是无穷小与无穷大，从无穷小与无穷大的定义到运算性质，让学生对无穷小与无穷大有一个整体的认识，之后对无穷小的比较做进一步学习。1、以教材作为出发点，依据《课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先复习数列的极限函数的极限，通过对极限概念的进一步分析和总结，让学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法，不仅要保证数学知识的完整性，也要提升学生运用数学的思想和应用数学知识解决实际问题的方法。
高职数学教程电子教案1.5 无穷小和无穷大
1.5.1 无穷小与无穷大的概念 1.5.2 无穷小阶的比较
1.5.1 无穷小与无穷大的概念
无穷小： lim f (x) 0 xx0
无穷大： lim f (x) xx0
在自变量的同一变化过程中，若f(x)是无穷大，则
1
f ( x ) 是无穷小；反之，若 f ( x ) ( f (x) 0 )是无
lim
x0
sin2 x
解
ln(1 x2 )
lim
x0
sin2 x
lim x0
x2 x2
1
例1.5.5 求 lxi m0 tantaxn3 3sixnx .
解
tan x sin x lim x0 tan3 3x
limtanx(lim x0 2x
0
（分子比分母趋于0的“速度”快）
lim x 1 （分子与分母趋于0的“速度” “几乎相
x0 2x 2
当”）
1.5.2 无穷小阶的比较
一般的, 设 ， 是同一极限过程中的两个无穷小，
1）若
lim
0
，则称
是比
高阶的无穷
小，也可以称是比 低阶的无穷小；
n2 2
2）有界函数与无穷小之积仍是无穷小.
3）有限个无穷小的积仍是无穷小.
例1.5.2 求极限：(1) lim x2 sin 1 ，(2) lim s in x 。
x0
x
x x
解 （1）由于 lim x2 0 x0
,而
sin
1 x
1
，
所以
limx2 sin1 0
x0
x
;
（2）由于 lim 1 0 ， 而 | sin x|1 ， x x
1.3.2无穷小与无穷大
1.复习函数极限的概念
2.引言
二．新课讲授
1.无穷小量
（1）定义：如果自变量x的某种变化过程中(如 ，或 ， ，
函数 以0为极限，则称函数 为这个变化过程中的无穷小量，简
称无穷小。
例如：当 的极限都是0；
当 的极限都是0；
当 的极限都是0；
注意： 无穷小量常用 等表示。
无穷小是以零为极限的变量，是一个函数，不是一个数。0是唯一可以作为
(1) （ ）
(2) （ ）
(3) （ ）
(4) （ ）
(5) （ ）
例3：函数 在自变量怎样变化时是无穷小？在自变量怎样变化时是无穷大？
解：当 时， 是无穷小。
当 时， 是无穷大。
当 时， 是无穷大。
三．课堂小结
1.无穷小的概念
2.极限与无穷小的关系
3.无穷小的性质
4.无穷大的概念
5.无穷小与无穷大的关系
3.无穷小量与无穷大量的关系
（1）定理：（无穷大与无穷小的关系）在自变量的同一变化过程中，
如果 为无穷大，则 为无穷小；
如果 为无穷小，且 ，则函数 为无穷大。
即： ；
。
（2）注意：
当 是无穷小量，而 是无穷大量；
当 是无穷大量，而 是无穷小量.
这说明无穷大量和无穷小量存在倒数关系.
例2：指出下列哪些是无穷小，哪些是无穷大。
第5次课
授课课题
1.3.2无穷小与无穷大
授课时数
2
课型
理论课
教学方法
讲练结合
教学目的
1.理解无穷小、无穷大的概念
2.掌握无穷小与无穷大的关系
3.掌握无穷小的性质
重点
教案大学无穷大与无穷小
一、教学目标1. 知识目标：（1）理解无穷大与无穷小的概念，掌握无穷小量的性质。
（2）了解无穷大与无穷小之间的关系，掌握无穷大的分类。
（3）掌握无穷小量的运算规则。
2. 能力目标：（1）能够运用无穷小与无穷大的概念分析实际问题。
（2）能够运用无穷小与无穷大的知识解决函数极限问题。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的数学思维。
（2）培养学生团结协作、勇于探索的精神。
二、教学内容1. 无穷小与无穷大的概念2. 无穷小量的性质3. 无穷大与无穷小之间的关系4. 无穷小的运算规则5. 无穷小与函数极限的关系三、教学过程（一）导入1. 回顾函数极限的基本概念，引导学生思考无穷小与无穷大的关系。
2. 提出问题：如何理解无穷大与无穷小的概念？它们在数学中有何应用？（二）新课讲解1. 无穷小与无穷大的概念（1）通过实例讲解无穷小与无穷大的概念，使学生理解无穷小与无穷大的含义。
（2）强调无穷小与无穷大是变量，不能与很大的数或很小的数混淆。
2. 无穷小量的性质（1）介绍无穷小量的性质，如：有限性、无穷性、无界性等。
（2）举例说明无穷小量的性质在数学中的应用。
3. 无穷大与无穷小之间的关系（1）讲解无穷大与无穷小之间的关系，包括正无穷、负无穷、无穷大与无穷小的转化等。
（2）举例说明无穷大与无穷小之间的转化。
4. 无穷小的运算规则（1）介绍无穷小的运算规则，如：乘法、除法、乘除混合运算等。
（2）通过实例讲解无穷小运算的步骤，使学生掌握无穷小运算的方法。
5. 无穷小与函数极限的关系（1）讲解无穷小与函数极限的关系，如：无穷小乘以无穷大等于无穷小、无穷小除以无穷大等于0等。
（2）通过实例讲解无穷小与函数极限的关系，使学生理解无穷小在函数极限中的应用。
（三）课堂练习1. 给出一些无穷小与无穷大的实例，让学生判断其是否为无穷小或无穷大。
2. 通过无穷小与无穷小的运算，求解一些函数极限问题。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调无穷小与无穷大的概念、性质、运算规则以及与函数极限的关系。
无穷大与无穷小
y ( xk ) 2k
当 k 充分大时 , xk , 但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M . 不是无穷大。
2.3 无穷小与无穷大的关系 定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小，恒不为零 的无穷小的倒数为无穷大 意义： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论。 例 1 求 lim
… … … … … … …
换。 例 3 求 lim
x 0
tan x sin x . sin 3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x. 原式 lim （） 解：
xx 0. x 0 ( 2 x ) 3
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x, tan x sin x tan x(1 cos x) 1 ~ x3 , 2
存在, 则 lim lim .
常用等价无穷小: 当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1 x) ~ e x 1, 1 1 cos x ~ x 2 2
tan2 2 x . 例 1 求 lim x 0 1 cos x
lim 0， lim 0
(1) 如果 lim (2) 如果 lim (3) 如果 lim
0 ，那么称 是 的高阶无穷小；
，那么称 是 的低阶无穷小；
那么称 是 的同阶无穷小； c (c 0) ，
1 时，则称 与 是等价
… … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … …
无穷大与无穷小课程教案
当 时， 都趋于0
当 时， 都趋于0,、
2、无穷小的性质
（1）有限个无穷小代数和仍为无穷小；
（2）常数与无穷小之乘积仍为无穷小；
（3）有限个无穷小乘积仍为无穷小；
（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
在某个变化过程中，limf(x) f(x)-A是一个无穷小
二、无穷大
（1） ，当 时， ；
（2） ，当 时， ；
（3） ，当 时， ；
定义：某一变化过程中，其绝对值无限增大的变量，称为无穷大量，简称无穷大.
当 时， 和 都是无穷大量；
当 时， 、 都是无穷大量；
在自变量的同一变化过程中，如果 是无穷大，则 是无穷小，反之如果 都是无穷小，且 ，则 是无穷大.
三、无穷小的比较
在同一变化过程中，两个无穷小的和、差、积仍都是无穷小量，那么，两个无穷小量的商仍会出现什么情况呢？
当 时， 都是无穷小量，那么两个无穷小量的商会出现什么情况呢？
当 时， 都Байду номын сангаас无穷小量，而 ，
，
出现不同情况的原因是他们趋向于0的快慢程度不同.
定义：在同一个变化过程中
（1）如果 则称 是比 较高阶的无穷小，记作 .
课程教案
教学内容
无穷大与无穷小
教学时数
1
教学地点
汇智楼303
教学对象
2014财务八班
教学目的
了解无穷大与无穷小的概念，及其比较的概念
教学重点
无穷小的比较及等价无穷小的应用
教学过程
教学步骤及教学内容
一、无穷小
1、观察下列几个函数的极限：
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课程教案
(2) 常数与无穷小之乘积仍为无穷小;
(3) 有限个无穷小乘积仍为无穷小；
(4) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
在某个变化过程中，limf(x) f(x)-A是一个无穷小
1
x 3，当 X 0 时，f X
X
X ——2，当X 0时，f X
(x 1)
(3) f x x，当x 时，fx 定义：某一变化过程中，其绝对值无限增大的变量，称为无穷大量，简称无穷大.
1 1 1
当X 0时，-，厂,——和Inx都是无穷大量；
x |x sinx
当x 时，Tnx、x,x2, . x,e X都是无穷大量；
1
f x是无穷大，则是无穷小，反之如果
f X
1
f X都是无穷小，且f x 0，则 ------- 是无穷大.
f x
在同一变化过程中，两个无穷小的和、差、积仍都是无穷小量，那么，两个无穷
小量的商仍会出现什么情况呢？
当x 0时，x,3x,x4都是无穷小量，那么两个无穷小量的商会出现什么情况呢?
当X 0时，
4
x,3x,x2 ,x2x, x4都是无穷小量，而lim —0 ，lim 电
x 0 3x x 0x4
『0节3，lim 2 1 x 0 X X
无穷大
(1)
(2)
在自变量的同一变化过程中，如果
无穷小的比较
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出现不同情况的原因是他们趋向于0的快慢程度不同•
定义: 在同一个变化过程中lim
x 0 lim 0, x 0
（1）如果lim —0,则称是比较咼阶的无穷小，记作
（2）如果lim ,则称是比较低阶的无穷小.
（3）如果lim — C 0,则称是与同阶的无穷小.
（4）如果lim —1,则称是与等价的的无穷小，记作
0().
当x 0时常见的几种等价无穷小
x ~ si n x ~ tan x ~ arcta nx ~
arcs in x
1 2
1 cosx—x (1 x) ~ 1 x
2
作业布置P16第五题第六题
课后反思。