z变换与拉普拉斯变换的关系

xnT x1nT x2nT xN nT
N
N
xi nT Ai epinTu nT
i1
i1
它的z变换为
Z x nT
N
Ai
i1 1 epiT
z 1
借助模拟滤波器 设计数字滤波器
注意跳变值
0
xˆ
i
t
Ai 2
Ai epit
t 0 t 0 t 0
0
xi nT Ai
Ai epint
c. 整理
（1）式得全响应
Yz
z
2z
1z
22
Yz
z
2
z 1z 22
Βιβλιοθήκη Baidu
A1 z 1
B1 z2
B2
z 22
B1
2
1
1!
d dz
z
22
z
2
1z
22
z
2
2
三．差分方程解的验证
原方程迭代出 y0, y1, y2 两种迭代结果相同, 解的表达式迭代出 y0, y1, y2 解答是正确的
例8-7-1
已知系统的差分方程表达式为
y(n) 0.9y(n 1) 0.05u(n)
若边界条件y(1) 1,求系统的完全响应。 解：
方程两端取z变换
Y z 0.9 z1Y z y 1 0.05 z z1
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法——第七章中介绍 •z变换方法
•差分方程经z变换→代数方程； •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。
一．应用z变换求解差分方程步骤
一．步骤
(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）；
y 1 1 , y 2 5
2
4
（3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质
Y z 3 z1Y z y 1 2 z2Y z z1 y 1 y 2
z z z1 z2 z2
x 1 0
1
a.由激励引起的零状态响应
Yzs z 1 3z1 2z2
z1 z2
即 零状态响应为
Yzs
z
z
z2
22
Yzs z yzs n n 1 2n un
b.由储能引起的零输入响应 （对n 2都成立）
Yzi z 1 3z1 2z2 2z1 y 1 3 y 1 2 y 2
即
Yzi
z
zz 1 z 2z 1
3z z2
2z z1
零输入响应为
Yzi z yzi n 3 2n 2 1n n 0
sa
Xs只有一个一阶级点s a，可以直接求出eanT unT
的z变换为
X
z
1
z
1
1
eaT
例8-6-2
已知正弦信号
sin
ω0
t
u
t
的拉式变换为
s
2
ω0 ω
0
2
，求抽样
序列sin ω0nT unT 的z变换。
解：
已知
xt sin ω0tut
Xs
s2
ω0 ω02
显然Xs的极点位于s1 jω0，s2 jω0,其留数分别为
(2)由z变换方程求出响应Y(z) ； (3) 求Y(z) 的反变换，得到y(n) 。
二．差分方程响应y(n)的起始点确定
全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定
对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前
观察Y(z)分子分母的幂次
分母高于分子的次数是响应的起点
Y
z
z
2z
1z
22
从n 2开始yn有不为零的值。
§8.6 z变换与拉普拉斯变换 的关系
一．z平面与s平面的映射关系
在引入z变换的定义时，引入符号 z esT
s(直角坐标)：s j Ω z, s关系 z esT
jΩ
s jΩ
j Ω0
代入
O
0
s平面
z(极坐标)：z r ej
jIm( z)
r0
z r ej
0
O
Re (z )
z平面
比较
已知系统框图
xn 1
yn
列出系统的差分方程。
E
xn
2n
n
0
, y0 y1 0,
0 n0
求系统的响应 y(n)。
1
3 E
2 1
E
解：
（1） 列差分方程，从加法器入手
xn xn 1 3yn 1 2yn 2 yn
所以 yn 3yn 1 2yn 2 xn xn 1
（2）用z变换求解需要y1, y 2,用y1, y0由方程迭代出
A1
j 2
及A2
j 2
于是，Xs可以展成部分分式
j
j
Xs 2 2
s jω0 s jω0
可以得到 sin ω0nTunT的z变换为
j
j
X z
2 1 z1 e jω0T
1
z
1
2 e
jω
0T
1
z1 sin ω0T 2z1 cosω0T
z
2
§8.7 用z变换解差分方程
序言
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差 分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
（3） s平面Ω 0：实轴 z平面θ 0，正实轴
（4）z~s映射不是单值的。Ω Ωs θ π 2
二．z变换与拉式变换表达式之对应
xt 均匀 抽样 xn, Lxt Xs， Zxn Xz
能否借助Xs写出Xz?
注意： 连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。
例如，阶跃信号ut在t 0点定义为 1 ;
z e(σ jΩ)T e T ejΩT
所以
半径 : r e T
幅角:θ
Ω
T
2π
Ω Ωs
几种情况
（1）s平面的原点
（2）
σ Ω
，0z平面
0
θr，即10 。 z 1
s平面 σ 0
σ0
σ0
为常数:
左半平面 虚轴 右半平面 左向右移
z平面 r 1
r 1
r 1
r为常数: 0
单位圆内 单位圆上 单位圆外 半径扩大
2
阶跃序列un在点n 0定义为1
若连续时间信号xˆ t 由N项指数信号相加组合而成
xˆt xˆ1 t xˆ 2 t xˆ n t
N
N
xˆ i t Ai e pitut
i 1
i 1
容易求得，它的拉式变换为
N
Lxˆ t
Ai
i1 s pi
若序列xnT 由N项指数序列相加组合而成
Y
z
z
0.05z 2
1z 0.9
0.9 z
y 1z
0.9
Y z A1z A2z
z z 1 z 0.9
Y z A1z A2z
z z 1 z 0.9
A1 0.5 A2 0.45
Y z 0.5 z 0.45 z
z
z1
z 0.9
yn 0.5 0.450.9n n 0
例8-7-2
t 0 t 0 t 0
按抽样规律建立二者联系时必须在0点补足 Ai 2 ,即
x
i
nT
un
xˆ
i
t
u
t
t
nT
xˆ i
t
ut
t
nT
Ai 2
当n 0 当n 0
例8-6-1
已知指数函数eat ut的拉式变换为 1 ，求抽样序列
sa
eanT unT 的z变换。
解：
xt eat ut
Xs 1