z变换与拉普拉斯变换的关系
§6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系
邮
院
X
二．z变换与拉普拉斯变换的关系
Ai ˆ t L x s p i 1 i ˆ ( nT ) 也 ˆ ( t ) 进行理想抽样，得到的离散时间序列 x 对x 由N 项指数序列相加组合而成。 ˆ nT x ˆ 1 nT x ˆ 2 nT x ˆ N nT x
jω
n
电
子 工
X z
n x n z
北
程 学
院
逆变换 x n
2 j 1 2 j 1
1
z 1
X z z
n 1
dz
第 5 页
北
京
1 IDTFT X e x n 2
学
n
电
x n e jn
j K2 K 2
* 1
北
程 学
K1 K2 ω0 解： xt sinω0 t ut X s 2 2 s j ω0 s j ω0 s ω0 两个一阶极点分别为 p1 j ω0，p2 j ω0 。
电
大 学
电
子 工
序列sinω0 nT unT 的z变换。
第 7 页
大 学
北
i 1
i 1
其拉式变换为
N
北
京
邮 电
Ai ˆ t L x s p i 1 i
大
学
电
子 工
程 学
京
ˆ i t Ai e pi t u t x
电
N
电
子 工
程
学 院
N
匀抽样 x t 均 x n ,
K2.10-z变换与拉普拉斯变换的关系
z变换与拉普拉斯变换的关系 2、s变换与z变换的转换公式
z变换的定义式是通过理想取样信号的拉普拉斯变换 引出的，由此，离散序列的z变换和理想取样信号的拉 普拉斯变换之间具有如下关系：
F (z) zesT Fs (s) 表明: z变换式中令 z esT ，则变换式就成为相应的
理想取样信号的拉普拉斯变换。 如果进一步地，令拉普拉斯变T
s 1 ln z T
式中T是序列的时间间隔，重复频率
s
2
T
。
为了说明s与z的映射关系，将s表示成直角坐标形式，而
把 z 表示成极坐标形式，即：
s j z rej
z re j e( j)T eT e jT
于是，得到
2
r eT e s
T 2 S
容易求得，其拉普拉斯变换为：
N
F(s)
Ai
i1 s pi
对应的采样离散序列f(k)由N项指数序列相加而成
N
N
f (k) f1(k) f2 (k) ... fN (k) fi (k) Aie pikT (k)
i 1
i 1
它的z变换为
N
F(z)
Ai z
i1 z e piT
5
z变换与拉普拉斯变换的关系
N
F(s)
Ai
i1 s pi
N
F(z)
Ai z
i1 z e piT
结论：如果F(s)有N个单极点 pi，则相应的z变换即为 F(z)。
6
z变换与拉普拉斯变换的关系
例：已知拉普拉斯变换为 1 ，求其对应离散序列的z
sa
变换。
解：
F(s) 1 sa
只有一个极点：
Z变换及其收敛域
作业：4-1（1，3，9）、4-4（1，3，11）、4-5、 4-6、4-9、4-10（1）
31 return
1.连续信号
收敛域为（ (A) a
f (t ) t e
）。
n
at
u ( t ) ，该信号拉普拉斯变换
(C) 0 (D) a
(B) a
z1
终值定理使用的条件
1、只有在n时x(n)收敛的情况，才能用它 来确定x(n)的值。 2、X(z)的收敛半径应小于或等于1
18
（七）时域卷积定理 若
Z x ( n ) X ( z ),
Z y ( n ) Y ( z ),
R x1 z R x 2
R y1 z R y 2
在Z域反褶，则时域中函数在正负之间交 替跳跃
16
（五）初值定理
若x(n)是单边序列，且 则
Z x ( n ) X ( z )
x ( 0 ) lim X ( z )
z
17
（六）终值定理 若x(n)是单边序列，且
Z x ( n ) X ( z )
则
n
lim x ( n ) lim ( z 1 ) X ( z )
2 j 1 2 j
j j
j
j
snT n F (s) e z ds n0
sT 1 F (s) e z n0
n
ds
28
当 e
sT
z
1
1, 即 z e
sT
sT
和式收敛于
(e
§6.10傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系
§6.10 傅里叶变学电换子 、拉普拉斯变换、 北z京变邮电换大 之间的关系工程学院
子 电 学 大 电 邮 北京邮电大学北电京子工程学院
第
2 页
主要内容
院 学
序列的傅里叶变换工程
z变换与拉普拉电斯子变换的关系
傅氏变换、大拉学氏变换、z 变换之间的联系和区别
重点：序z变北列换京的邮与电傅拉里普叶拉变斯换变换的关系工程学院
xt
院x n
学
s
j
程 工
z
e sT
T
子
频率类型 及单位
模拟：弧度/秒 数字：弧度
电 模拟：弧大度学/秒
电
数字：弧度
邮
京
北
X
第
三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
14 页
3.3 s平面虚轴上的拉氏变学换院 即为傅氏变换
σ 0, s jΩ
程 工
H
jΩ
H
s
子 sjΩ学电
3（.D4 TzF平z T面）1,单z北位京e邮jω圆电大上的z变换即为序子列工程的学傅院 氏变换
inω0t
ut
的拉式院变
学 程
换
为 s2
ω0 ω0
2
，
求
抽
样
序列sinω0nT unT 的z变子换工。
解： xt sinω0tut学电X s
大
s2
ω0 ω02
K1 s jω0
s
K2 jω0
两个一阶极点邮分电别为
K1
北ω京0
s jω0
|s jω0
p1
j 2
,
j ω0，p2
K2 K1*
jω学0 。院 子工2j程
傅里叶变换拉普拉斯变换z变换关系
傅里叶变换拉普拉斯变换z变换关系
傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是三种不同的信号分析方法。
它们之间的关系如下：
1. 傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换用于分析连续时间信号，而拉普拉斯变换用于分析连续时间线性时不变系统（LTI系统）。
当对LTI系统的输入信号进行傅里叶变换时，得到的结果是系统的频率响应，即系统在不同频率下的增益和相位差。
当使用拉普拉斯变换对LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的传递函数，即输入信号和输出信号之间的关系。
2. 傅里叶变换和z变换
傅里叶变换和z变换都用于分析离散时间信号。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，而z变换将信号从时域转换到z域。
z变换可以将连续时间信号离散化，这使得它在数字信号处理中非常有用。
当对离散时间信号进行傅里叶变换时，得到的结果是信号的离散频谱，即信号在不同频率下的幅度和相位信息。
当使用z 变换对离散时间信号进行变换时，得到的结果是离散时间系统的传递函数，即输入信号和输出信号之间的关系。
3. 拉普拉斯变换和z变换
拉普拉斯变换和z变换类似，都用于分析离散时间线性时不变系统。
当使用拉普拉斯变换对离散时间LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的离散时间传递函数。
当使用z变换对连续时间LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的z域传递函数。
这些函数可以用于分析系统的稳定性、带宽和抗差性等性质。
(完整版)§8.6 z变换与拉氏变换的关系
1
j
Xs
e sT z -1 nds
2pj - j
n0
此式的收敛条件是：|z|>|esT|，当符合这一条件时
e sT z -1 n
1
n0
1 - e sT z -1
X z 1 j X s
ds 1
例如：当X(s)有一单阶极点s1时
Re
s
zX z-
s e sT
ss1
z
s - s1 X z - e sT
s
k1z k1z
s s1
z - e s1T
z - z1
以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式 与z变换式的关系式。 下面把信号按部分分式分解进行讨论 若连续时间信号xˆ(t)由N项指数信号相加组合而成
xˆ t xˆ 1 t xˆ 2 t xˆ n t
N
N
xˆ i t Ai e pitut
i1
i 1
N
容易求得，它的拉式变换为 L xˆ t
Ai
i1 s - pi
若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成
xnT x1nT x2 nT xN nT
X s
s2
ω0 ω02
显然X(s)的极点位于s1=j0, s2= -j0,其留数分别为
A1
-j 2
及A2
j 2
于是， X(s)可以展成部分分式
-j
j
X s 2 2
s - jω0 s jω0
可以得到sin(0nT)u(nT)的z变换为
DSP_09离散时间信号-Z变换与拉氏变换关系
有w ，因此，W从
S平面到Z平面的映射
由上述讨论总结得出从Z平面到S平面的映射关系如下
2 1 S平面上宽度为 的水平带映射成整个 Z平面，左半带 T 映射成单位园内部，右 半带映射成单位园外部 ，长度为 2 的虚轴映射成单位圆周 。 T 2 2 由于S平面可被分成无限条宽 度为 的水平带，所以 S T 平面可被映射成无限多 个Z平面。
也就是说，因果系统稳定的充要条件是系统函数 H z 的所有
极点都在单位圆内。
2016/6/25
16
由系统函数判断系统的稳定性
例2.21 设一个线性非移变系统的系统函数为
1 1 1 z 2 H z 3 1 1 2 1 z z 4 8
试画出零极点分布图，并确定 H z 的收敛域和稳定性。
n
xa nT e nTs
而 xn xa nT 的Z变换为
X z
n
xn z
n
n
n x nT z a
由此可知 X z
2016/6/25
z e sT
X s s
3
S平面到Z平面的映射
关系式 X z
用MATLAB函数求系统的频率响应并画出响应曲线
2016/6/25
26
由系统函数判断系统的稳定性
例2.22 解（续）
因为在 所以
z 1 处有零点，
H e j 0 0
H e jw
1 e jw H e 1 0.81e j 2w
jw
在
z 0.9 j 处有极点，
这就是Z平面到S平面的映射关系。
z变换与拉普拉斯变换的关系
z变换与拉普拉斯变换的关系在信号处理领域中，z变换和拉普拉斯变换是两个非常重要的数学工具。
它们在数字信号处理和模拟信号处理中都有广泛的应用。
虽然它们看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
本文将介绍z 变换和拉普拉斯变换的定义、性质以及它们之间的关系。
一、z变换z变换是一种离散时间信号的变换方法，它将一个离散时间信号转换成一个复变量函数。
z变换定义如下：$$X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x(n)z^{-n}$$其中，$x(n)$是一个离散时间信号，$z$是一个复变量。
$X(z)$是一个复变量函数，称为$x(n)$的z变换。
可以看出，z变换是将离散时间信号$x(n)$映射到复平面上。
它的收敛域是一圆形或一个环形区域。
z变换具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得z变换在信号处理中有着广泛的应用。
二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种连续时间信号的变换方法，它将一个连续时间信号转换成一个复变量函数。
拉普拉斯变换定义如下：$$X(s)=int_{0}^{infty}x(t)e^{-st}dt$$其中，$x(t)$是一个连续时间信号，$s$是一个复变量。
$X(s)$是一个复变量函数，称为$x(t)$的拉普拉斯变换。
可以看出，拉普拉斯变换是将连续时间信号$x(t)$映射到复平面上。
它的收敛域是一条垂直于虚轴的带状区域。
与z变换类似，拉普拉斯变换也具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得拉普拉斯变换在信号处理中有着广泛的应用。
三、z变换与拉普拉斯变换的关系虽然z变换和拉普拉斯变换看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
实际上，z变换可以看作是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。
具体来说，我们可以通过将拉普拉斯变换中的$s$替换成$z$来得到z变换：$$s=frac{1}{T}ln z$$其中，$T$是采样周期。
这个公式告诉我们，如果我们将连续时间信号$x(t)$采样成离散时间信号$x(n)$，并且采样周期为$T$，那么我们就可以通过拉普拉斯变换得到$x(t)$的拉普拉斯变换$X(s)$，然后将$s$替换成上面的公式，得到$x(n)$的z变换$X(z)$。
8.6-Z变换与拉普拉斯变换的关系(共28张)
例8 19 表示某离散系统的差分方程为 y(n) 0.2 y(n 1) 0.24y(n 2) x(n) x(n 1)
(3) 求单位样值响应h(n); (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时,求零状态响应y(n).
(3) h(n) ZT 1[H (z)]
H(z)
第16页，共28页。
P1078 26 由下列差分方程画出离散系统的结 构图, 并求系统函数H (z)及单位样值响应h(n).
y(n) x(n) 3x(n 2) 5y(n 1) 6y(n 2)
x(n)
z1 3
5
z 1
6
y(n)
z 1 z 1
Y (z) 5z1Y (z) 6z2Y (z) X (z) 3z2 X (z)
H (z) 2z 0.5z 0.5 z3 z2
18
第18页，共28页。
P1078 26 由下列差分方程画出离散系统的结 构图, 并求系统函数H (z)及单位样值响应h(n).
解法一: H (z) 2z 0.5z 0.5 z3 z2
解法二 :
H(z)
z2
5z 6 5z 9 z2 5z 6
从系统函数 的极点来看稳定因果系统
因果系统： z a
稳定系统：单位圆在收敛域内
z a,a 1
收敛域内无极点，故全部极点都落在单位圆内。
12
第12页，共28页。
例8 19 表示某离散系统的差分方程为
y(n) 0.2 y(n 1) 0.24y(n 2) x(n) x(n 1) (1) 求系统函数H (z); (2) 讨论此因果系统H (z)的收敛域和稳定性; (3) 求单位样值响应h(n); (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时,求零状态响应y(n).
拉普拉斯变换和z变换的关系
拉普拉斯变换和z变换的关系拉普拉斯变换和z变换是两种常用的信号处理方法，它们有着密切的联系和相互转换的关系。
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复频域信号的方法，可以将微分方程转化为代数方程。
它的定义是对于一个函数f(t)，如果它在区间[0,∞)上是绝对可积的，那么它的拉普拉斯变换F(s)为：F(s) = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是一个复数变量，e^(-st)是指数函数。
与拉普拉斯变换相对应的是z变换，它可以将离散时间域信号转化为复频域信号。
z变换的定义是对于一个离散时间信号x[n]，如果它在n的整个范围上是绝对可和的，那么它的z变换X(z)为：X(z) = ∑[n=-∞,∞] z^(-n) x[n]其中，z是一个复数变量，n是整数。
尽管拉普拉斯变换和z变换的定义看起来非常不同，但它们之间存在着密切的联系。
事实上，z变换是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。
具体地说，如果我们将拉普拉斯变换中的变量s替换为z^(-1)，那么我们就得到了z变换的公式。
这意味着，通过对拉普拉斯变换的理解，我们可以更好地理解z变换，并在它们之间进行转换。
拉普拉斯变换和z变换在信号处理中有着广泛的应用。
例如，它们都可以用于滤波、系统建模、控制系统设计等方面。
在实践中，我们通常会根据具体应用场景和需求来选择使用哪种变换方法。
如果我们处理的是连续时间信号，那么我们会使用拉普拉斯变换；如果我们处理的是离散时间信号，那么我们会使用z变换。
当需要将一个连续时间信号转化为离散时间信号时，我们也可以使用z变换，它提供了一种将连续时间信号离散化的方法。
拉普拉斯变换和z变换是信号处理中常用的两种方法，它们之间存在着密切的联系和相互转换的关系。
通过深入理解它们的定义和应用，我们可以更好地处理和分析信号，实现更好的信号处理效果。
拉普拉斯变换和z变换的关系
拉普拉斯变换和z变换的关系拉普拉斯变换和z变换是两种常见的信号处理技术，它们在信号噪声分析、信号滤波、信号压缩等领域得到广泛应用。
虽然这两种技术有一些相似之处，但它们在数学理论和应用领域上也存在明显的差异。
拉普拉斯变换是一种连续时间信号处理技术，它将信号从时域转换到频域。
使用拉普拉斯变换，可以将一个连续时间信号$f(t)$转换为在复平面上的一组函数$F(s)$，其中$s$是一个复变量。
拉普拉斯变换广泛应用于控制工程、噪声分析和其他应用领域。
相比之下，z变换是一种离散时间信号处理技术，它将信号从时域转换到$z$域。
使用z变换，可以将一个离散时间信号$f[n]$转换为在复平面上的一组函数$F(z)$，其中$z$是一个复变量。
z变换也广泛应用于数字滤波、视觉跟踪、自适应信号处理等应用领域。
尽管拉普拉斯变换和z变换来源于不同的数学理论，但它们之间存在相似之处，即它们都可以将时域信号转换为频域信号，以改善信息处理的效率和准确性。
而且，当某些条件得到满足时，z变换可以视为拉普拉斯变换的离散时间特例：z变换是当拉普拉斯变换中复变量$s$沿虚轴移动到单位圆时的结果。
这使得z变换和拉普拉斯变换之间建立了一种有用的数学关系。
在信号处理中，拉普拉斯变换和z变换之间的关系可以通过算法和数学等方式进行描述。
首先，在算法方面，可以使用拉普拉斯变换和z变换的特性，将信号从一种频域转换为另一种频域。
其次，在数学方面，可以使用变换的性质来描述它们之间的关系。
这包括卷积性质、反演性质、初始值定理和终值定理等。
需要注意的是，尽管两种变换之间存在类似之处和相关性，但它们并不是等同的技术。
拉普拉斯变换通常用于连续时间信号，而z变换主要用于离散时间信号。
因此，在信号处理中，我们需要根据信号时间域和信号类型的不同，选择适当的变换方法。
例如，对于离散时间信号，可能更适合使用z变换来准确分析其频域特性，而拉普拉斯变换可能不太适用。
总之，拉普拉斯变换和z变换是两种用于信号处理和频率分析的常见数学工具。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
信号的拉普拉斯变换和z变换
⎰∞∞--=t e t f s F st b d )()(⎰∞--=0def d e )()(t t f s F st)(d e )(j 21)(j j deft s s F t f st επσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-第三章信号的拉普拉斯变换和z 变换一、拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
※象函数相同，但收敛域不同。
双边拉氏变换必须标出收敛域。
2.单边拉氏变换3.常见函数的拉普拉斯变换及其⎰∞+∞-=j j d e )(j21)(σσπs s F t f st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。
从0-开始收敛域二、拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换证明：[]⎰∞--=de)()(tatfatf L st，则令atτ=时移特性与尺度变换相结合复频移（s域平移）特性时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)证明：()()()())(deedessFfttsft ftt f ststst+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='--∞-∞---∞-⎰⎰推广：()()[])0()0()()0(d)(d22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡fsfsFsffsF sttfL∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1)(1)0()(d)(d nrrrnnnfssFsttfL若f1(t)←→F1(s)Re[s]>σ1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>σ2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(σ1,σ2)若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0，且有实数a>0，则f(at)←→)(1asFa若f(t)<----->F(s),Re[s]>σ0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)ε(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>σ0若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,且有复常数s a=σa+jΩa,则f(t)e s a t←→F(s-s a),Re[s]>σ0+σas-→2：?)(sin ←→t t t ε=三、拉普拉斯逆变换三种方法：（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合∴......,,321为不同的实数根，n p p p p nn p s K p s K p s K s F -++-+-= 2211)(ip s i i s F p s K =-=)()()(e ]1[1t p s L t p i i ε=--若象函数F(s)是s 的有理分式，可写为1110111.......)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=----若m ≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
傅里叶和拉普拉斯和z变换之间的关系公式
傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是信号与系统领域中重要的数学工具，它们在信号处理、通信系统、控制系统等方面有着广泛的应用。
这三种变换都是将时域信号转换到频域或复域中，以便对信号进行分析和处理。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换之间的关系公式，以及它们之间的联系和区别。
1. 傅里叶变换让我们来介绍傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个连续时间域的信号转换到连续频率域的变换。
对于一个时域信号x(t)，其傅里叶变换可以表示为：X(Ω) = ∫[from -∞ to +∞] x(t)e^(-jΩt) dt其中，X(Ω)表示信号x(t)在频率域的表示，Ω表示频率，e^(-jΩt)是复指数函数。
2. 拉普拉斯变换接下来，我们来介绍拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是将一个连续时间域的信号转换到复频域的变换。
对于一个时域信号x(t)，其拉普拉斯变换可以表示为：X(s) = ∫[from 0 to +∞] x(t)e^(-st) dt其中，X(s)表示信号x(t)在复频域的表示，s = σ + jΩ 是复频率，σ和Ω分别表示实部和虚部。
3. Z变换我们再介绍Z变换。
Z变换是将一个离散时间域的信号转换到复频域的变换。
对于一个离散时间域信号x[n]，其Z变换可以表示为：X(z) = ∑[from 0 to +∞] x[n]z^(-n)其中，X(z)表示信号x[n]在复频域的表示，z = re^(jΩ) 是复频率，r和Ω分别表示幅度和相位。
联系和区别通过以上介绍，我们可以发现，傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换本质上都是将信号在不同域之间进行转换的数学工具。
它们之间的关系可以通过一些特殊的变换或极限情况来表示。
在离散时间信号中，当采样周期趋于无穷大时，Z变换可以近似为拉普拉斯变换。
而在连续时间信号中，当采样周期趋于零时，Z变换可以近似为傅里叶变换。
这些关系公式为我们在不同领域之间进行信号分析和处理提供了便利。
结论傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换之间存在着密切的联系和区别。
Z 变换
信号的角频率，单位是弧度/s e jTs
令
则
r e Ts z re j
Ts
对应离散系统和离散信号的圆周频率，单位是弧度
X ( z ) x(n)(re )
j n
x(n)r n e j n
– 一般指数阶信号的变换存在且简单； – 不但能将时域的卷积运算转变为代数运算，而且既能 求系统的零状态响应，也能求系统的零输入响应(初始 条件“自动”引入)
– 有相对简单的反变换方法。
所以拉普拉斯变换也是分析连续系统的重要数学工具 ，
英文缩写为LT
1.1拉普拉斯变换
• 考虑到一般实际应用的信号多为因果信号，因果信号的拉 普拉斯变换也称单边拉普拉斯变换。 1) 单边拉普拉斯变换 因果信号的傅里叶正、反变换为
• 比较离散时间傅里叶变换和z变换的定义，若令：z e j 则z变换就蜕化为离散时间傅里叶变换，即 X ( z ) 变成 X (e j ) 因为当序列的傅里叶变换存在时，它就是 z e j
的 X ( z) 。
r=1时
X (e j )
n
x(n)e jn
由于z变换是复变量的函数，因此利用复数z平面来描述 和阐明z变换是反复变的。在z平面， z 1 的围线就是 半径为1的圆，称为单位圆。z变换在单位圆上的求值就
X (e )
sTs
n
xa (nTs )e snTs
令 z e sTs ，将采样周期Ts归一化为1，xa (nTs ) 简记为 x(n)
X ( z)
n
x ( n) z n
与z变换的定义一致
z变换和拉普拉斯变换的关系
z变换和拉普拉斯变换的关系在信号分析中，Z变换和拉普拉斯变换都是用来分析信号的工具。
它们在时间和频率域之间建立了一种关系，这使得我们能够更好地了解信号的频域性质。
虽然它们之间有许多相似之处，但它们之间还存在一些不同之处。
本文将探讨Z变换和拉普拉斯变换之间的关系。
Z变换是一种傅立叶变换的离散形式，用来分析离散时间系统。
Z变换可以将一个离散时间序列转换为一个复平面上的复函数，它是用于离散时间系统分析的强有力工具。
因为几乎所有现代数字信号处理（DSP）算法都使用Z 变换进行设计，因此掌握Z变换是非常重要的。
拉普拉斯变换则是一种傅立叶变换的连续形式，它用来解决传统时间域的微积分方程，是一种非常有用的工具。
拉普拉斯变换能够将一个信号转换为一个复数域，在这个复数域内，信号的频率和幅度可以很方便的进行分析。
虽然它们之间的定义看起来不同，但实际上，它们之间有着很强的联系。
这种联系主要体现在它们可以相互转换。
我们都知道，时域上的导数在频域上相当于乘以$ω$；而对于Z变换，$z$的值对应的是离散点（复杂频率）。
实际上，如果在Z平面上用$z=e^{jω}$，那么Z变换就相当于DTFT（离散时间傅里叶变换）。
因此Z变换和DTFT是密切相关的。
拉普拉斯变换和Z变换的转换是通过时间离散化实现的。
实际上，使用拉普拉斯变换可以在连续时间领域中分析信号，但这并不总是非常方便，因为在实际应用中，我们通常需要分析数字信号或控制系统。
因此，为了在数字信号处理（DSP）中利用某些设计工具，我们必须将信号从连续时间域中转换为离散时间域。
这种转换通常通过取样或通过离散化来实现。
在进行时间离散化后，我们可以使用Z变换来分析离散时间系统，在这种情况下，拉普拉斯变换的Z域等效变量是很有用的。
换句话说，我们可以使用Z变换将离散时间系统映射到与拉普拉斯变换的复平面中的区域相关的点。
虽然Z变换和拉普拉斯变换之间存在这些联系和相似之处，但它们在一些方面仍然有所不同。
第5章Z变换
基本要求
Z变换
1、深刻理解Z变换的定义，收敛域和基本 性质 2、会根据Z变换的定义和性质求一些常用 序列的Z变换 3、深刻理解Z变换与拉普拉斯变换的关系 4、正确理解Z变换的性质的应用条件 5、能用幂级数展开法、部分分式法及留数
法求Z反变换
1
第五章
5.1
5.2
Z变换
Z变换及其收敛域
Z反变换
2
5.1
Z变换及其收敛域
一、由抽样信号的拉氏变换引出Z变换
设xs(t)是连续信号x(t)的理想抽样信号，
则
xs (t ) x(t ) T (t ) x(nT ) (t nT )
n 0
其中T为抽样时间 对上式两边取拉氏变换，得到：
X S ( s) xs (t )e dt
在一个收敛半径Rx2，级数在以原点为中心、
Rx2为半径的圆内绝对收敛
综合此两项，左边序列的收敛域为
jIm[z]
0 z Rx 2
0
Re[z]
16
3、收敛域的形式
双边序列
这类序列是指当n为任意值时，x(n)皆有值的序列，可 看作一个左边序列和一个右边序列之和。 其Z变换为
X ( z)
n
nz
n
z 2 ( z 1)
4、指数序列 a nu(n)
的Z变换
n n
z a u( n ) a u( n ) z
n n 0
(az )
n 0
1 n
当
az
1
1 ，级数收敛
1 z z a u(n ) 1 za 1 az
z变换与拉普拉斯变换的关系
z re
j
X ( re
j
)
n
x ( n )( re
j
)
n
n
x ( n ) r e
n
j n
这个式子可以看成x(n)乘以指数序列r n 后的傅里叶变换。
傅里叶变换的收敛条件： 1、在任何一个周期内必须模可积。 2、在任何一个周期内的极大值和极小值的个数有限。 3、在任何一个周期内只有有限个数的间断点。 应用收敛条件1
单位圆上的z变换即序列的傅里叶变换。 在单位圆|z|=1上,r=1,
X ( z ) | z e j X ( e
j
)
n
x (n )e
j n
所以，如果序列的z变换的收敛域包括单位圆，则单位圆上的z变换 即序列的频谱，这是频谱与z变换只是一种符号代换。
3、序列的傅里叶变换与拉普拉斯变换（双边） 的关系
ˆ （ s ） X
-
x（ a nT ） （ t - nT n -
- st ） e dt
jm 2 t T
1 由式（2-5）可知 （ t - nT ） T n -
m -
e
1 ˆ (s) 所以X T
m-
-
xa (t)e
1、序列的Z变换与拉普拉斯变换的关系
拉普拉斯变化：拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间 函数x(t)通过关系式 (式中st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s）。 Z变换：可将时域信号变换为在复频域的表达式。
所以说拉普拉斯变换与Z变换都是把函数从时域变换到复数域。
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一．z平面与s平面的映射关系
在引入z变换的定义时，引入符号 z esT
s(直角坐标)：s j Ω z, s关系 z esT
jΩ
s jΩ
j Ω0
代入
O
0
s平面
z(极坐标)：z r ej
jIm( z)
r0
z r ej
0
O
Re (z )
z平面
比较
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法——第七章中介绍 •z变换方法
•差分方程经z变换→代数方程； •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。
一．应用z变换求解差分方程步骤
一．步骤
(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）；
(2)由z变换方程求出响应Y(z) ； (3) 求Y(z) 的反变换，得到y(n) 。
二．差分方程响应y(n)的起始点确定
全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定
对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前
观察Y(z)分子分母的幂次
分母高于分子的次数是响应的起点
Y
z
z
2z
1z
22
从n 2开始yn有不为零的值。
z
z
z2
22
Yzs z yzs n n 1 2n un
b.由储能引起的零输入响应 （对n 2都成立）
Yzi z 1 3z1 2z2 2z1 y 1 3 y 1 2 y 2
即
Yzi
z
zz 1 z 2z 1
3z z2
2z z1
零输入响应为
Yzi z yzi n 3 2n 2 1n n 0
z e(σ jΩ)T e T ejΩT
所以
半径 : r e T
幅角:θ
Ω
T
2π
Ω Ωs
几种情况
（1）s平面的原点
（2）
σ Ω
，0z平面
0
θr，即10 。 z 1
s平面 σ 0
σ0
σ0
为常数:
左半平面 虚轴 右半平面 左向右移
z平面 r 1
r 1
r 1
r为常数: 0
单位圆内 单位圆上 单位圆外 半径扩大
A1
j 2
及A2
j 2
于是，Xs可以展成部分分式
j
j
Xs 2 2
s jω0 s jω0
可以得到 sin ω0nTunT的z变换为
j
j
X z
2 1 z1 e jω0T
1
z
1
2 e
jω
0T
1
z1 sin ω0T 2z1 cosω0T
z
2
§8.7 用z变换解差分方程
序言
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差 分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
t 0 t 0 t 0
按抽样规律建立二者联系时必须在0点补足 Ai 2 ,即
x
i
nT
un
xˆ
i
t
u
t
t
nT
xˆ i
t
ut
t
nT
Ai 2
当n 0 当n 0
例8-6-1
已知指数函数eat ut的拉式变换为 1 ，求抽样序列
sa
eanT unT 的z变换。
解：
xt eat ut
Xs 1
2
阶跃序列un在点n 0定义为1
若连续时间信号xˆ t 由N项指数信号相加组合而成
xˆt xˆ1 t xˆ 2 t xˆ n t
N
N
xˆ i t Ai e pitut
i 1
i 1
容易求得，它的拉式变换为
N
Lxˆ t
Ai
i1 s pi
若序列xnT 由N项指数序列相加组合而成
三．差分方程解的验证
原方程迭代出 y0, y1, y2 两种迭代结果相同, 解的表达式迭代出 y0, y1, y2 解答是正确的
例8-7-1
已知系统的差分方程表达式为
y(n) 0.9y(n 1) 0.05u(n)
若边界条件y(1) 1,求系统的完全响应。 解：
方程两端取z变换
Y z 0.9 z1Y z y 1 0.05 z z1
Y
z
z
0.05z 2
1z 0.9
0.9 z
y 1z
0.9
Y z A1z A2z
z z 1 z 0.9
Y z A1z A2z
z z 1 z 0.9
A1 0.5 A2 0.45
Y z 0.5 z 0.45 z
z
z1
z 0.9
yn 0.5 0.450.9n n 0
例8-7-2
c. 整理
（1）式得全响应
Yz
z
2z
1z
22
Yz
z
2
z 1z 22
A1 z 1
B1 z2
B2
z 22
B1
2
1
1!
d dz
z
22
z
2
1z
22
z
2
2
sa
Xs只有一个一阶级点s a，可以直接求出eanT unT
的z变换为
X
z
1
z
1
1
eaT
例8-6-2
已知正弦信号
sin
ω0
t
u
t
的拉式变换为
s
2
ω0 ω
0
2
，求抽样
序列sin ω0nT unT 的z变换。
解：
已知
xt sin ω0tut
Xs
s2
ω0 ω02
显然Xs的极点位于s1 jω0，s2 jω0,其留数分别为
xnT x1nT x2nT xN nT
N
N
xi nT Ai epinTu nT
i1
i1
1 epiT
z 1
借助模拟滤波器 设计数字滤波器
注意跳变值
0
xˆ
i
t
Ai 2
Ai epit
t 0 t 0 t 0
0
xi nT Ai
Ai epint
已知系统框图
xn 1
yn
列出系统的差分方程。
E
xn
2n
n
0
, y0 y1 0,
0 n0
求系统的响应 y(n)。
1
3 E
2 1
E
解：
（1） 列差分方程，从加法器入手
xn xn 1 3yn 1 2yn 2 yn
所以 yn 3yn 1 2yn 2 xn xn 1
（2）用z变换求解需要y1, y 2,用y1, y0由方程迭代出
（3） s平面Ω 0：实轴 z平面θ 0，正实轴
（4）z~s映射不是单值的。Ω Ωs θ π 2
二．z变换与拉式变换表达式之对应
xt 均匀 抽样 xn, Lxt Xs， Zxn Xz
能否借助Xs写出Xz?
注意： 连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。
例如，阶跃信号ut在t 0点定义为 1 ;
y 1 1 , y 2 5
2
4
（3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质
Y z 3 z1Y z y 1 2 z2Y z z1 y 1 y 2
z z z1 z2 z2
x 1 0
1
a.由激励引起的零状态响应
Yzs z 1 3z1 2z2
z1 z2
即 零状态响应为
Yzs