高考数学一轮复习 第五章 第4讲 数列求和课件 文

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3．一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n2＋1）； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝___n_2______； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝__n_2＋__n_____．
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[做一做]
1．数列{an}的通项公式是 an＝
1 n＋
，其前 n＋1
第五章 数列
第4讲 数列求和
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1．等差数列的前 n 项和公式 Sn＝n（a12＋an）＝__n_a_1_＋__n_（__n_2－__1_）__d___. 2．等比数列的前 n 项和公式
Sn＝na1a1－1－，aqnqq＝＝1_，_a_1_（_1_1－_－_q_q_n）__)___，q≠1.
故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
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[规律方法] 1.分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用 分组求和法求{an}的前 n 项和； (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数，的数列，其中数列{bn}， {cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 2．本题中求前 2n 项和转化为求数列{22n}与{(－1)nn}的和， 在求{(－1)nn}的和时，又利用了并项求和法．
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1.已知等比数列{an}中，首项 a1＝3，公比 q>1， 且 3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＋13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列
{bn}的通项公式和前 n 项和 Sn. 解：(1)∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0， ∴3(anq2＋an)－10anq＝0， 即 3q2－10q＋3＝0. ∵公比 q>1， 又首项 a1＝3，
对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法
来求，如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．
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(3)裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以 相互抵消，从而求得其和． (4)分组求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可 求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后 再相加减． (5)并项求和法：
∴数列{an}的通项公式为 an＝3n.
∴q＝3.
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(2)∵bn＋13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列， ∴bn＋13an＝1＋2(n－1)． 即数列{bn}的通项公式为 bn＝2n－1－3n－1， 前 n 项和 Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－ 1)]＝－12(3n－1)＋n2.
故S11＋S22＋…＋S1100＝75.
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1．辨明两个易误点 (1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了 哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被 消去的项有前后对称的特点．
(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数， 应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．
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[解] (1)由题意得aa11＋＋2dd＋＋bb1·1·qq2＝＝170，，
把
a1＝1，b1＝2
代入得1＋d＋2·q2＝10， 1＋2d＋2·q＝7，
解析：Sn＝2（11－－22n）＋n（1＋22n－1）＝2n＋1－2＋n2.
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考点一 考点二 考点三
分组法求和 错位相减法求和 裂项相消法求和(高频考考点一 分组法求和 (2014·高考湖南卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝
n2＋2 n，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式；
一个数列的前 n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
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[做一做] 3．若 Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，则 S50＝ ___－__2_5__．
4．若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}的 前 n 项和为__2_n＋__1＋__n__2－__2____．
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2．数列求和的常用方法 (1)倒序相加法： 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项 的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和 即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推 导的． (2)错位相减法：
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的
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考点二 错位相减法求和
(2015·浙江宁波高三模拟)设{an}是等差数列，{bn} 是各项都为正数的等比数列,且 a1＝1,b1＝2,a2＋b3＝10，a3 ＋b2＝7. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，记 cn＝S2n·an，n∈N*，求 数列{cn}的前 n 项和 Tn.
n
项和为
9，则 n 等于( B )
A．9
B．99
C．10
D．100
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2．等差数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1，其前 n 项的和
为 Sn，则数列Snn的前 10 项的和为( C )
A．120
B．100
C．75
D．70
解析：∵Sn＝n（a12＋an）＝n(n＋2)，
∴Snn＝n＋2.
(2)设 bn＝2an ＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和． [解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时,an＝Sn－Sn－1＝n2＋2 n－（n－1）2＋2 （n－1）＝n.
故数列{an}的通项公式为 an＝n.
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(2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n，则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记 A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则 A＝2（11－－222n）＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，