习题解答(第7章)
第7章气体动理论习题解答
第7章 气体动理论7.1基本要求1.理解平衡态、物态参量、温度等概念，掌握理想气体物态方程的物理意义及应用。
2.了解气体分子热运动的统计规律性，理解理想气体的压强公式和温度公式的统计意义及微观本质，并能熟练应用。
3.理解自由度和内能的概念，掌握能量按自由度均分定理。
掌握理想气体的内能公式并能熟练应用。
4.理解麦克斯韦气体分子速率分布律、速率分布函数及分子速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率、方均根速率和最概然速率的求法和意义。
5.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的物理意义和计算公式。
7.2基本概念1 平衡态系统在不受外界的影响下，宏观性质不随时间变化的状态。
2 物态参量描述一定质量的理想气体在平衡态时的宏观性质的物理量，包括压强p 、体积V 和温度T 3 温度宏观上反映物体的冷热程度，微观上反映气体分子无规则热运动的剧烈程度。
4 自由度确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，用字母i 表示。
5 内能理想气体的内能就是气体内所有分子的动能之和，即2iE RT ν= 6 最概然速率速率分布函数取极大值时所对应的速率，用p υ表示，p υ==≈其物理意义为在一定温度下，分布在速率p υ附近的单位速率区间内的分子在总分子数中所占的百分比最大。
7 平均速率各个分子速率的统计平均值，用υ表示，υ==≈8 方均根速率各个分子速率的平方平均值的算术平方根，用rms υ表示，rms υ==≈ 9 平均碰撞频率和平均自由程平均碰撞频率Z 是指单位时间内一个分子和其他分子平均碰撞的次数；平均自由程λ是每两次碰撞之间一个分子自由运动的平均路程，两者的关系式为:Zυλ==或λ=7.3基本规律1 理想气体的物态方程pV RT ν=或'm pV RT M=pV NkT =或p nkT =2 理想气体的压强公式23k p n ε=3 理想气体的温度公式21322k m kT ευ==4 能量按自由度均分定理在温度为T 的平衡态下，气体分子任何一个自由度的平均动能都相等，均为12kT 5 麦克斯韦气体分子速率分布律 （1）速率分布函数()dNf Nd υυ=表示在速率υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比或任一单个分子在速率υ附近单位速率区间内出现的概率，又称为概率密度。
第7章习题解答
z 2 = z 1 + 130
2 z z ) 2 + 100 z ( z ) = 0 1 - ( 1 + 130 1 + 82 1 + 130
2 - 260 z z ´ 130 = 0 1 - 130 + 182 1 + 82
78 z ´ 130 - 130 2 = -48 ´ 130 = -6240 1 = 82 z 1 = -80 z 2 = z 1 + 130 = 130 - 80 = 50 f = 40cm
p 3 . 14 - 8 2 l 2 ´ 6328 ´ 10 - 3 ④ q= = = 2 . 315 ´ 10 rad pw0 3 . 14 ´ 0 . 0174
（5）有一个平凹腔，凹面镜曲率半径 R=5m，腔长 L=1m，光波长l=0.5mm，求①两镜 面上的基模光斑半径②基模高斯光束的远场发散角 解：①
2、双凹腔两反射镜面曲率半径分别为 R1=100cm、R2=82cm,腔长 L=130cm,求等价共焦 腔的焦参数。 解：
z1 +
f 2 = - R 1 z 1
z 1 +
f 2 = -100 z 1
2 2 z 100 z 1 + 1 + f = 0
w 0 =
f l
p
=
0 . 4 R l
p
（2）对称双凹腔长为 L，反射镜曲率半径 R=2.5L，光波长为l，求镜面上的基模光斑半 径。 解：
L L 2 f 2 = ( 2 R - L ) = (2 ´ 2 . 5 L - L ) = L 4 4 f = L
2 z 2
f
2
教材第七章习题解答
第七章化学平衡习题解答1．回答下列问题（1）反应商和标准平衡常数的概念有何区别？ （2）能否用r m G θ∆来判断反应的自发性？为什么？ （3）计算化学反应的K θ有哪些方法？（4）影响平衡移动的因素有哪些？它们是如何影响移动方向的？ （5）比较“温度与平衡常数的关系式”同“温度与反应速率常数的关系式”，有哪些相似之处？有哪些不同之处？举例说明。
（6）酸碱质子理论如何定义酸和碱？有何优越性？什么叫共轭酸碱对？（7）当往缓冲溶液中加入大量的酸和碱，或者用很大量的水稀释时，pH 是否仍保持不变？说明其原因。
（8）对于一个在标准状态下是吸热、熵减的化学反应，当温度升高时，根据勒夏特列原理判断，反应将向吸热的正方向移动；而根据公式∆r G m θ=∆r H m θ-T ∆r S m θ判断，∆r G m θ将变得更正（正值更大），即反应更不利于向正方向进行。
在这两种矛盾的判断中，哪一种是正确的？简要说明原因。
（9）对于制取水煤气的下列平衡系统：22C(s)+H O(g)CO(g)+H (g) ；r m H Θ∆。
问：① 欲使平衡向右移动，可采取哪些措施？② 欲使正反应进行得较快且较完全（平衡向右移动）的适宜条件如何？这些措施对K θ及k(正)、k(逆)的影响各如何？（10）平衡常数改变时，平衡是否必定移动？平衡移动时，平衡常数是否一定改变？【解答】（1）反应商是在一定温度下，任意给定态时，生成物的相对压力（或者相对浓度）以方程式中化学计量系数为幂的乘积除以反应物的相对压力（或相对浓度）以化学计量系数为幂的乘积。
在一定温度下，当反应达到平衡时，生成物的相对压力（或者相对浓度）以方程式中化学计量系数为幂的乘积除以反应物的相对压力（或相对浓度）以化学计量系数为幂的乘积是一个常数，称为标准平衡常数，是量纲为一的量。
标准平衡常数的数值只是温度的函数。
（2）只能用r m G θ∆判断在标准态下的反应的自发性。
任意给定态时，反应的自发进行的方向只能由r m G ∆来判断。
第7章 信号处理电路 习题解答
7.3简述电荷放大器有什么特点，应用于何种场合。
解：电荷放大器应用于压电式加速度传感器、压力传感器等的后端放大。
上述两种传感器属于电容性传感器，这类传感器的阻抗非常高，呈容性，输出电压很微弱；他们工作时，将产生正比于被测物理量的电荷量，积分运算电路可以将电荷量转换成电压量，电路如下图所示。
解：1）LBF；2）BPF；3）HPF；4）BEF。
二、判断下列说法是否正确，用 “√”（正）和“ ”（误）填入括号内。
1）高通滤波器的通频带是指电压的放大倍数不变的频率范围。（）
2）低通滤波器的截止频率就是电压放大倍数下降1/2的频率点。（）
3）带通滤波器的频带宽度是指电压放大倍数大于或等于通带内放大倍数0.707的频率范围。（）
其中 ；
该滤波器为二阶低通滤波电路，幅频特性如下图：
7.7试说明图P7－8所示各电路属于哪种类型的滤波电路，是几阶滤波电路。
（1）
（2）
图P7-7
解：
图（1）所示电路二阶带通滤波器或者二阶带阻滤波器。
前一个运放为高通滤波器（截止频率f1），后一个运放为低通滤波器（截止频率f2），如果 ，则f1<f2，该滤波器为二阶带通滤波器；如果 ，则f1>f2，该滤波器为二阶带阻滤波器。
电容性传感器可等效为因存储电荷而产生的电动势Ut与一个输出电容Ct串联，如图中虚线框内所示。根据集成运放的特点，可得到输出电压为： 。
7.4简述隔离放大器有什么特点，应用于何种场合。
解：隔离放大器通常应用于远距离信号传输。
在远距离信号传输的过程中，常因强干扰的引入使放大电路的输出有很强的干扰背景，甚至将有用信号淹没，造成系统无法正常工作。隔离放大器将电路的输入侧和输出侧在电气上完全隔离，它既可切断输入侧和输出侧电路间的直接联系，避免干扰混入输出信号，又可使有用信号畅通无阻。目前集成隔离放大器有变压器耦合式、光电耦合式和电容耦合式三种。
第七章习题解答
计算图示各系统的动能：（1）偏心圆盘的质量为，偏心距OC m e =，对质心的回转半径为C ρ，绕轴O 以角速度0ω转动（图a ）。
（2）长为l ，质量为的匀质杆，其端部固结半径为，质量为的匀质圆盘。
杆绕轴O 以角速度m r m 0ω转动（图b ）。
（3）滑块A 沿水平面以速度移动，重块B 沿滑块以相对速度下滑，已知滑块A 的质量为，重块B 的质量为（图c ）。
1v 2v 1m 2m （4）汽车以速度沿平直道路行驶，已知汽车的总质量为0v M ，轮子的质量为m ，半径为R ，轮子可近似视为匀质圆盘（共有4个轮子）（图d ）。
解：(1) 222200111()222C C C T mv J m e 2ωρω=+=+(2) 2222111(83)326O J ml mr ml m l r =++=+2220011(83)212O T J m l r 22ωω==+(3) 22121122A B T m v m v =+2221121212221212221211(2cos150)2211()m v m v v v v m m v m v m v v °=+++=++(4) ()2222000211111(4)422222v T M m v mv mR M m v R ⎛⎞=−+⋅+⋅⋅=+⎜⎟⎝⎠20一常力矩M 作用在绞车的鼓轮上，轮的半径为r ，质量为。
缠在鼓轮上绳索的末端A 系一质量为的重物，沿着与水平倾斜角为1m 2m α的斜面上升，如图所示。
重物与斜面间的滑动摩擦系数为μ。
绳索的质量不计，鼓轮可看成为匀质圆柱体，开始时系统静止。
求鼓轮转过ϕ角时的角速度。
解：为一自由度理想约束系统。
取鼓轮、重物及绳索组成的系统为研究对象，受力图如下图所示。
鼓轮转过ϕ角时系统的动能为2222212111222T m r m r 2ωω=⋅⋅+ 重力、摩擦力和力矩M 在此有限路程上所做的功为122sin W M Fr m gr ϕϕϕ→α=−−根据动能定理，有()222212211sincos 42m r m r M m gr ωωαμ+=−+αϕ⎡⎤⎣⎦ ω=绞车提升一质量为m 的重物，如图所示。
第7章习题详细解答
第7章习题解答7—1判断题（对的打√，不对的打×)1。
数字电路分为门电路和时序逻辑电路两大类。
（× )2。
边沿触发器和基本RS触发器相比，解决了空翻的问题.（×）3. 边沿触发器的状态变化发生在CP上升沿或下降沿到来时刻，其他时间触发器状态均不变。
（√）4. 基本RS 触发器的输入端就是直接置0端和直接置1端。
（√)23 的计数器。
（×）5。
3位二进制计数器可以构成模为16。
十进制计数器最高位输出的周期是输入CP脉冲周期的10倍。
（√）7. 构成一个7进制计数器需要7个触发器。
（×）8．当时序电路存在无效循环时该电路不能自启动.( √)9。
寄存器要存放n位二进制数码时，需要n2个触发器。
(×）10．同步计数器的计数速度比异步计数器快。
（√）11。
在计数器电路中，同步置零与异步置零的区别在于置零信号有效时，同步置零还需要等到时钟信号到达时才能将触发器置零，而异步置零不受时钟的控制。
（√）12。
计数器的异步清零端或异步置数端在计数器正常计数时应置为无效状态。
（√）13。
自启动功能是任何一个时序电路都具有的。
（× )14。
无论是用置零法还是用置数法来构成任意N进制计数器时，只要置零或置数控制端是异步的,则在状态循环过程中一定包含一个过渡状态；只要是同步的，则不需要过渡状态。
（√）15。
用置零法或置位法可以设计任意进制的计数器.(×）7—2 由或非门组成的基本RS触发器如图7—38所示，已知R、S的电压波形，试画出与之对应的Q和Q的波形。
图7—38 题7-2图解:由或非门组成的基本RS触发器的特性表，可得该题的输出端波形如下图所示：或非门RS 触发器特性表 题7—2 波形图7—3由与非门组成的基本RS 触发器如图7-39所示，已知R 、S 的电压波形,试画出与之对应的Q 和Q 的波形。
图7-39 题7-3图解：由与非门组成的基本RS 触发器的特性表，可得该题的输出端波形如下图所示:与非门RS 触发器特性表 题7—3波形图7-4已知如图7-40所示的各触发器的初始状态均为0，试对应画出在时钟信号CP 的连续作用下各触发器输出端Q 的波形。
第7章输入输出习题参考解答
第7章思考题与习题参考答案1．计算机的I/O系统的功能是什么？它由哪几个部分组成？答：计算机的I/O系统，主要用于解决主机与外部设备间的信息通讯，提供信息通路，使外围设备与主机能够协调一致地工作。
计算机的I/O系统由I/O硬件和I/O软件两大部分组成。
其中I/O硬件包括：系统总线、I/O接口、I/O设备及设备控制器。
I/O软件包括：用户的I/O程序、设备驱动程序、设备控制程序。
2．I/O硬件包括哪几个部分？各部分的作用是什么？答：I/O硬件包括：系统总线、I/O接口、I/O设备及设备控制器。
系统总线的作用是为CPU、主存、I/O设备（通过I/O接口）各大部件之间的信息传输提供通路。
I/O接口通常是指主机与I/O设备之间设置的一个硬件电路及其相应的控制软件。
它用于在系统总线和外设之间传输信号，并起缓冲作用，以满足接口两边的时序要求。
I/O设备的作用是为主机与外部世界打交道提供一个工具。
设备控制器用来控制I/O设备的具体动作，不同的I/O设备需要完成的控制功能不同。
3．什么是用户I/O程序？什么是设备驱动程序？什么是设备控制程序？答：用户I/O程序是指用户利用操作系统提供的调用界面编写的具体I/O设备的输入输出程序。
例如用户编写的用打印机输出文本的程序。
设备驱动程序是一种可以使计算机和设备通信的特殊程序。
可以说相当于操作系统与硬件的接口，操作系统只有通过这个接口，才能控制硬件设备的工作，假如某设备的驱动程序未能正确安装，便不能正常工作。
设备控制程序就是驱动程序中具体对设备进行控制的程序。
设备控制程序通过接口控制逻辑电路，发出控制命令字。
命令字代码各位表达了要求I/O设备执行操作的控制代码，由硬件逻辑解释执行，发出控制外设的有关控制信号。
4．说明设计I/O系统的三个要素的具体内容。
答：设计I/O系统应该考虑如下三个要素：①数据定位： I/O系统必须能够根据主机提出的要求进行设备的选择，并按照数据在设备中的地址找到相应的数据。
第7章习题解答
第七章习题解答一、填空1．一个操作系统的可扩展性，是指该系统能够跟上先进计算技术发展的能力。
2．在引入线程的操作系统中，线程是进程的一个实体，是进程中实施调度和处理机分派的基本单位。
3．一个线程除了有所属进程的基本优先级外，还有运行时的当前优先级。
4．在Windows 2000中，具有1~15优先级的线程称为可变型线程。
它的优先级随着时间配额的用完，会被强制降低。
5．Windows 2000在创建一个进程时，在内存里分配给它一定数量的页帧，用于存放运行时所需要的页面。
这些页面被称为是该进程的“工作集”。
6．Windows 2000采用的是请求调页法和集群法相结合的取页策略，把页面装入到内存的页帧里的。
7．分区是磁盘的基本组成部分，是一个能够被格式化和单独使用的逻辑单元。
8．MFT是一个数组，是一个以数组元素为记录构成的文件。
9．只要是存于NTFS卷上的文件，在MFT里都会有一个元素与之对应。
10．在Windows 2000的设备管理中，整个I/O处理过程都是通过I/O请求包（IRP）来驱动的。
二、选择1．在引入线程概念之后，一个进程至少要拥有D 个线程。
A． 4 B．3 C．2 D．12．在Windows 2000中，只有A 状态的线程才能成为被切换成运行状态，占用处理器执行。
A．备用B．就绪C．等待D．转换3．Windows 2000是采用C 来实现对线程的调度管理的。
A．线程调度器就绪队列表B．线程调度器就绪队列表、就绪位图C．线程调度器就绪队列表、就绪位图、空闲位图D．线程调度器就绪队列表、空闲位图4．在Windows 2000里，一个线程的优先级，会在A 时被系统降低。
A．时间配额用完B．请求I/O C．等待消息D．线程切换5．在单处理机系统，当要在进程工作集里替换一页时，Windows2000实施的是B 页面淘汰策略。
A． FIFO（先进先出）B．LRU（最近最久未用）C．LFU（最近最少用）D．OPT（最优）6．在页帧数据库里，处于下面所列A 状态下的页帧才可以变为有效状态。
第7章习题解答
第7章思考题及习题7参考答案一、填空1. AT89S52单片机任何一个端口要想获得较大的驱动能力，要采用电平输出。
答：低2.检测开关处于闭合状态还是打开状态，只需把开关一端接到I/O端口的引脚上，另一端接地，然后通过检测来实现。
答： I/O端口引脚的电平3. “8”字型的LED数码管如果不包括小数点段共计段，每一段对应一个发光二极管，有和两种。
答：7，共阳极，共阴极4. 对于共阴极带有小数点段的数码管，显示字符“6”（a段对应段码的最低位）的段码为，对于共阳极带有小数点段的数码管，显示字符“3”的段码为。
答：7DH，B0H5. 已知8段共阳极LED数码显示器要显示某字符的段码为A1H(a段为最低位)，此时显示器显示的字符为。
答：d6. LED数码管静态显示方式的优点是：显示闪烁，亮度，比较容易，但是占用的线较多。
答：无，较高，软件控制，I/O口7. 当显示的LED数码管位数较多时，一般采用显示方式，这样可以降低，减少的数目。
答：动态，成本，I/O端口8. LCD 1602是型液晶显示模块，在其显示字符时，只需将待显示字符的由单片机写入LCD 1602的显示数据RAM（DDRAM），内部控制电路就可将字符在LCD上显示出来。
答：字符，ASCII码9. LCD 1602显示模块内除有字节的 RAM外，还有字节的自定义，用户可自行定义个5×7点阵字符。
答：80，显示数据，64，字符RAM，810．当按键数目少于8个时，应采用式键盘。
当按键数目为64个时，应采用式键盘。
答：独立，矩阵11．使用并行接口方式连接键盘，对独立式键盘而言，8根I/O口线可以接个按键，而对矩阵式键盘而言，8根I/O口线最多可以接个按键。
答：8，6412．LCD 1602显示一个字符的操作过程为：首先，然后，随后，最后。
答：读忙标志位BF，写命令，写显示字符，自动显示字符13．由于微型打印机TPµP-40A/16A是一种外设，因此单片机与微型打印机的的命令与数据传送，必须采用方式。
第7章 稳恒磁场习题解答
第7章 稳恒磁场7-1 如图，一个处在真空中的弓形平面载流线圈acba ，acb 为半径cm 2=R 的圆弧，ab 为圆弧对应的弦，圆心角090aob ∠=，A 40=I ，试求圆心O 点的磁感应强度的大小和方向。
解 由例7-1 线段ba 的磁感应强度 o o 40140(cos45-cos135) =410T4π0.02cos45B μ-=⨯⨯︒方向垂直纸面向外。
由例7-2 圆弧acb 的磁感应强度4002π1402 3.1410T 2π2420.02I μB R μ-==⨯=⨯方向垂直纸面向内。
4120.8610TB B B -=-=⨯方向垂直纸面向外。
7-2 将载流长直导线弯成如图所示的形状，求圆心O 点处磁感应强度。
解 如图，将导线分成1（左侧导线）、2（半圆导线）、3（右侧导线）三部分，设各部分在O 点处产生的磁感应强度分别为1B 、2B 、3B 。
根据叠加原理可知，O 点处磁感应强度321B B B B++=。
01=B024I B Rμ=，方向垂直于纸面向里034πI B Rμ=，方向垂直于纸面向里O 点处磁感应强度大小为习题7-1图0O 23(1π)4πIB B B Rμ=+=+ ，方向垂直于纸面向里。
7-3 一圆形载流导线圆心处的磁感应强度为1B ，若保持导线中的电流强度不变，而将导线变成正方形，此时回路中心处的磁感应强度为2B ，试求21:B B解 设导线长度为l ，为圆环时， 2πl R = 001π2I I B R l μμ==为正方形时，边长为4l，由例7-100024(cos 45cos135)4π8IB lμ=⨯-=⨯212 :πB B =7-4 如图所示，一宽为a 的薄长金属板，均匀地分布电流I ，试求在薄板所在平面、距板的一边为a 的点P 处的磁感应强度。
解 取解用图示电流元，其宽度为d r ，距板下边缘距离为r ,其在P 点处激发的磁感应强度大小为00d d d 2π22π(2)II r B (a r)a r aμμ==--，方向垂直于纸面向外。
第7章习题解答
第7章思考题及习题71．如果采用的晶振的频率为24MHz，定时器/计数器工作在方式0、1、2下，其最大定时时间各为多少？答：晶振的频率为24MHz, 机器周期为µs。
方式0最大定时时间=µs×213=µs×8192=4096µs方式1最大定时时间=µs×216=µs×65536=327686µs方式2最大定时时间=µs×28=µs×256=128µs2．定时器/计数器用作计数器模式时，对外界计数频率有何限制？答：外部输入的计数脉冲的最高频率为系统振荡器频率的1/24。
3．定时器/计数器的工作方式2有什么特点？适用于哪些应用场合？答：方式2为初值自动装入的8位定时器/计数器，克服了在循环定时或循环计数应用时就存在用指令反复装入计数初值影响定时精度的问题。
4．TH x与TL x（x= 0，1）是普通寄存器还是计数器？其内容可以随时用指令更改吗？更改后的新值是立即刷新还是等当前计数器计满后才能刷新？答：THx与TLx（x = 0，1）是计数器，其内容可以随时用指令更改，但是更改后的新值要等当前计数器计满后才能刷新。
5．Proteus虚拟仿真使用定时器T0，采用方式2定时，在脚输出周期为400µs，占空比为4：1的矩形脉冲，要求在脚接有虚拟示波器，观察脚输出的矩形脉冲波形。
答：略6．Proteus虚拟仿真利用定时器T1的中断来使控制蜂鸣器发出1kHz的音频信号，假设系统时钟频率为12MHz。
答：利用定时器T1的中断控制引脚输出频率为1kHz的方波音频信号，驱动蜂鸣器发声。
系统时钟为12MHz。
方波音频信号的周期为1ms，因此T1的定时中断时间为 ms，进入中断服务程序后，对求反。
电路如图所示。
图控制蜂鸣器发出1kHz的音频信号先计算T1初值，系统时钟为12MHz，则方波的周期为1µs。
第7章习题解答
第7章思考题及习题71．如果采用的晶振的频率为24MHz，定时器/计数器工作在方式0、1、2下，其最大定时时间各为多少？答：晶振的频率为24MHz, 机器周期为0.5µs。
方式0最大定时时间=0.5µs×213=0.5µs×8192=4096µs方式1最大定时时间=0.5µs×216=0.5µs×65536=327686µs方式2最大定时时间=0.5µs×28=0.5µs×256=128µs2．定时器/计数器用作计数器模式时，对外界计数频率有何限制？答：外部输入的计数脉冲的最高频率为系统振荡器频率的1/24。
3．定时器/计数器的工作方式2有什么特点？适用于哪些应用场合？答：方式2为初值自动装入的8位定时器/计数器，克服了在循环定时或循环计数应用时就存在用指令反复装入计数初值影响定时精度的问题。
4．TH x与TL x（x= 0，1）是普通寄存器还是计数器？其内容可以随时用指令更改吗？更改后的新值是立即刷新还是等当前计数器计满后才能刷新？答：THx与TLx（x = 0，1）是计数器，其内容可以随时用指令更改，但是更改后的新值要等当前计数器计满后才能刷新。
5．Proteus虚拟仿真使用定时器T0，采用方式2定时，在P1.0脚输出周期为400µs，占空比为4：1的矩形脉冲，要求在P1.0脚接有虚拟示波器，观察P1.0脚输出的矩形脉冲波形。
答：略6．Proteus虚拟仿真利用定时器T1的中断来使P1.7控制蜂鸣器发出1kHz的音频信号，假设系统时钟频率为12MHz。
答：利用定时器T1的中断控制P1.7引脚输出频率为1kHz的方波音频信号，驱动蜂鸣器发声。
系统时钟为12MHz。
方波音频信号的周期为1ms，因此T1的定时中断时间为0.5 ms，进入中断服务程序后，对P1.7求反。
无机化学(周祖新)习题解答-第七章
第七章分子结构和晶体习题解答（7）思考题1．举例说明下列概念的区别：离子键与共价键、共价键与配位键、σ键和Л键、极性键和非极性键、极性分子与非极性分子、分子间力与氢键。
1．离子键是得到电子的阴离子与失去电子的阳离子的强烈静电吸引作用；共价键是原子间通过共用电子对（或电子云重叠）而形成的相互吸引作用，无阴、阳离子；配位键也是共价键中的一种，只不过共用的一对电子有一个原子提供。
σ键是各自电子云用密度最大的一头相互重叠，以使重叠体积最大，两原子间形成共价键时首先肯定以σ键成键，但两原子间只能形成σ键一次。
Л键是在原子间已形成一根σ键后，其余原子轨道以“肩并肩”在侧面重叠的成键方式，其重叠体积比σ键要小，但两原子间根据各自的单电子数可形成几个Л键。
极性键是两不同原子间形成共价键时，由于两原子的电负性不同，吸引公用电子对的作用不同，使某一端带有部分正电荷，另一端带有部分负电荷，这就是极性键；若两相同的原子间形成共价键，由于彼此电负性相同，吸引共用电子对的能力相同，公用电子对不偏向任何一个原子，两原子不带“净”电荷，没有“正”或“负”的一端，即非极性键。
极性分子是整个分子中正、负电荷重心不重合，使分子一端带部分正电荷，为正极，另一端带部分负电荷，为负极。
分子之间由于偶极间的相互作用力为分子间力。
氢键是氢原子与电负性大、半径小的原子形成共价键后，由于氢原子唯一的电子被其他原子吸引到离氢原子核较远的地方，氢原子几乎成了“裸露”的质子，有很强的正电场，吸引另一电负性大、半径小的原子的孤对电子，形成了一种作用力，这个作用力本质上还是分子间作用力，但比一般的分子间力强。
2．离子键是怎样形成的？离子键的特征和本质是什么？为什么离子键无饱和性和方向性？2．离子键是失电子的金属阳离子和德电子的非金属阴离子通过静电引力形成的。
离子键的特征是无方向性、无饱和性。
其本质是正、负点电荷间的静电引力。
点电荷产生的电场向空间各个方向均匀传播，每一个在其电场中的异号电荷都会受到它的吸引作用，在理论上它可吸引无数个异号电荷，所以离子键无饱和性；由于点电荷产生的电场向空间各个方向的传播是均匀的，只要距离相等，不管在哪个方向，受到的作用里是一样的，这就是离子键的无方向性。
第7章习题解答哈工大习题册
第7章 频率特性和谐振现象习题解答7.1 求图(a)所示RC 并联电路的输入阻抗)j (ωZ ，大致画出其幅频特性和相频特性，确定通带、阻带和截止频率。
(a)Z (b)--图题7.1解：由阻抗并联等效公式得：36336310/(j 10)10(j )101/(j 10)1j 10Z ωωωω---==Ω++ 阻抗模及幅角分别为：233)10(110)j (ωω-+=Z ， )10arctan()(3ωωθ--=令2/1)j (c =ωZ ，求得截止角频率rad/s 103c =ω，故通带及阻带分别为： 通带=ω0~rad/s 103，阻带=ωrad/s 103~∞。
幅频特性和相频特性如图(b)和(c)所示。
7.2 求图示电路的网络函数，它具有高通特性还是低通特性？2图题7.2解： RC 并联的等效阻抗RCRC R C R Z RC ωωωj 1j /1j /+=+=RCRCZ L Z U U H +==ωωj /)j (12RL LC RC L R R /j 11)j 1(j 2ωωωω+-=++=幅频特性222)/()1(1)j (R L LC H ωωω+-=当0→ω时， 1)j (=ωH ；当∞→ω时，0)j (=ωH所以它具有低通特性。
7.3求图示电路的转移电压比21(j )/H U U ω=，当1122R C R C =时，此网络函数有何特性？2图 题7.3解：设1111111j j 1//C R R R C R Z ωω+==， 2222222j j 1//C R R R C R Z ωω+==由分压公式得：12122U Z Z Z U += )j 1()j 1()j 1()j (11222111212C R R C R R C R R U U H ωωωω++++== 当R 1C 1＝R 2C 2时，得212)j (R R R H +=ω，此网络函数模及辐角均不与频率无关。
7.4设图示电路处于谐振状态，其中S 1A I =，150V U =，1100C R X ==Ω。
第七章习题解答
习 题 七1. 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：(1) 在向量空间V 中，σ (ξ)＝ξ＋α，α是V 中一固定的向量；(2) 在向量空间R 3中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,(233221x x x x ＋；(3) 在向量空间R 3中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,2(13221x x x x x ＋－； (4) 把复数域看作复数域上的向量空间，σ (ξ)＝ξ. 解 （1）当0=α时，σ是线性变换；当0≠α时，σ不是线性变换； （2）σ不是线性变换； （3）σ是线性变换； （4）σ不是线性变换；2. 设V 是数域F 上一维向量空间. 证明，σ是V 的一个线性变换的充要条件是：存在F 中的一个数a ，使得对任意ξ∈V ，都有σ (ξ)＝a ξ .证明：充分性显然.必要性:令σ是ν的一个线性变换,设1ξ是ν的一个基.则νξσ∈)(1.那么)(1ξσ可由1ξ线性表示,不妨设11)(ξξσa =.对任意的νξ∈,有1ξξk =,则ξξξξσξσξσa k a a k k k =====)()()()()(1111.3. 设σ是向量空间V 的线性变换，如果σ k －1ξ≠0, 但σ k ξ＝0，求证ξ, σξ, …, σk －1ξ (k >0)线性无关.证明: 令++σξξ10l l ┄ +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(1)(1)式两端用1-k σ作用得:++-ξσξσkk l l 110+0221=--ξσk k l由已知得: ==+ξσξσ1k k=,022=-ξσk 01≠-ξσk ,所以有00=l .则(1)式变为: +σξ1l +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(2)(2)式两端用2-k σ 作用得:ξσξσkk l l 211+-+0321=--ξσk k l同理01=l .重复上述过程有: ==10l l 01=-k l . 4. 在向量空间R [x ]中，σ (f (x ))＝f '(x ), τ (f (x ))＝xf (x ), 证明，στ －τσ＝ι.证明:对任意][)(x R x f ∈,有))(())()((x f x f σττσστ=-=-+=-=-)()()()())((())(('''x xf x xf x f x f x f x x f τστσ)(x f .所以στ －τσ＝ι.5. 在向量空间R 3中，线性变换σ, τ如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1, x 2, x 1＋x 2)τ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2－x 3, 0, x 3－x 1－x 2)(1) 求στ, τσ, σ2；(2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ.解: (1) =---+=),0,(),,(213321321x x x x x x x x x σστ,(321x x x -+0,),,()321321x x x x x x τ=-+,∴τστ=.)0,0,0(),,(),,(2121321=+=x x x x x x x ττσ,∴0=τσ ),,(),,(21213212x x x x x x x +=σσ=),,(2121x x x x +.∴σσ=2.(2) ),,)((321x x x τσ+=),,(321x x x σ+),,(321x x x τ ),,(2121x x x x +=+),0,(213321x x x x x x ---+),,2(32321x x x x x -+=.),,)((321x x x τσ-=),,(321x x x σ),,(321x x x τ-),,(2121x x x x +=),0,(213321x x x x x x ---+-=)22,,(321232x x x x x x -++-.2),,(2321=x x x σ),,(2121x x x x +=)22,2,2(2121x x x x +.6. 已知向量空间R 3的线性变换σ为σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2＋x 3, x 2＋x 3,－x 3) 证明，σ是可逆变换，并求σ－1.证明:),0,0,1(),0,0,1(=σ, ),0,1,1(),0,1,0(=σ,),1,1,1(),1,0,0(-=σ.∴ σ关于3R 的一个基),0,0,1(, ),0,1,0(,),1,0,0(的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100110111A . 显然,A 可逆,所以σ是可逆变换,而且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1001100111A所以-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--132113211(),,(x x x x A x x x σ,2x ,32x x +)3x -.7. 设σ, τ, ρ都是向量空间V 的线性变换，试证,（1）如果σ, τ都与ρ可交换，则στ, σ2也都与ρ可交换（若对任意α∈V ，都有στ (α)＝τσ (α)，就说σ与τ可交换）；（2）如果σ＋τ, σ－τ都与ρ可交换，则σ, τ也都与ρ可交换. 证:(1)由已知ρττρρσσρ==,.那么==)()(τρσρστ)(ρτσ =)()(στρτσρ=.22)()()(ρσσσρρσσσρσρσ====.(2)同理可证.8. 证明，数域F 上的有限维向量空间V 的线性变换σ是可逆变换的充分必要条件是σ把非零向量变为非零向量.证明:不妨设ν是n 维的. ,,21ξξ,n ξ是它的一个基.σ关于这个基的矩阵为A .显然,σ可逆当且仅当A 可逆. σ把非零向量变为非零向量当且仅当{}0=σKer ,而秩σ=秩A ,σ的零度=σker dim .且秩σ+σ的零度=n.所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即A 可逆当且仅当0=σKer .故σ可逆当且仅当σ把非零向量变为非零向量.9. 证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. 证明:令σ是向量空间ν的可逆线性变换, ,,21αα,m α是ν的一组线性无关的向量,令++)()(2211ασασk k +0)(=m m k ασ.两端用1-σ作用得: +11αk +0=m m k α.由已知 ,,21αα,m α 线性无关,所以: ==21k k =0=m k .故 ),(),(21ασασ,)(m ασ 线性无关.10. 设{ε1, ε2, ε3}是F 上向量空间V 的一个基. 已知V 的线性变换σ在{ε1,ε2, ε3}下的矩阵为A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a (1) 求σ在{ε1, ε3, ε2}下的矩阵；(2) 求σ在{ε1, k ε2, ε3}下的矩阵(k ≠0，k ∈F )；(3) 求σ在{ε1, ε1＋ε2, ε3}下的矩阵. 解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222321323331121311231231),,(),,(a a a a a a a a a εεεεεεσ. (2)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33323123222113121132132111),,(),,(a ka a a k a a k a ka a k k εεεεεεσ. (3) =+),,(3211εεεεσ),,(3211εεεε+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---+-⋅33323131232221212313222112112111a a a aa a a a a a a a a a a a11. 在R 3中定义线性变换σ如下σ (x 1, x 2, x 3)＝(2x 2＋x 3, x 1－4x 2, 3x 1)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. (1) 求σ在基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)下的矩阵；(2) 利用(1)中结论，求σ在基α1＝(1, 1, 1)，α2＝(1, 1, 0)，α3＝(1, 0, 0)下的矩阵.解:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=003041120),,(),,(321321εεεεεεσ (2)从基{}321,,εεε到基{}321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001011111P .σ在{}321,,ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-0010111110030411200111101000030411201P P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---156266333. 12. 已知M 2(F )的两个线性变换σ，τ如下σ (X )＝X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111, τ (X )＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0201X , ∀X ∈M 2(F ). 试求σ＋τ, στ在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵. 又问σ和τ是否可逆？若可逆，求其逆变换在同一基下的矩阵. 证明:⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+021202011111)(111111E E E τσ =12112E E +222102E E +-.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+200102011111)(121212E E E τσ =12110E E +222120E E -+.⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+110002011111)(212121E E E τσ=121100E E +2221E E ++.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+10002011111)(222222E E E τσ =121100E E +2221E E -+.所以τσ+在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1120110200010012A . 同理可证στ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵.121111)(E E E +=σ,121112)(E E E -=σ,222112112100)(E E E E E +++=σ,=)(22E σ2221121100E E E E -++.所以σ在此基下的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110110000110011B . 显然,B 可逆.所以σ可逆. σ在同一基下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21210021*******1210021211B. 同理可讨论τ的可逆性及求τ的矩阵.13. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. W 1, W 2是V 的子空间，并且V ＝W 1⊕W 2证明，σ是可逆变换的充要条件是V ＝σ ( W 1)⊕σ ( W 2)证明:令 ,1α,r α是1W 的一个基. 令 ,1+r α,n α是2W 的一个基. 由已知得: ,1α, n α是ν的一个基.必要性:设σ可逆,则 ),(1ασ,)(r ασ, )(1+r ασ,)(n ασ 也是ν的一个基.但=)(1W σ£( ),(1ασ,)(r ασ). =)(2W σ£( )(1+r ασ,)(n ασ)所以=ν+)(1W σ)(2W σ,⋂)(1W σ}0{)(2=W σ,故V ＝σ ( W 1)⊕ σ ( W 2).充分性:将必要性的过程倒过去即可.14. 设R 3的线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(2x 1－x 2, x 2－x 3, x 2＋x 3)求σ在基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1) 及基η1＝(1, 1, 0), η2＝(0, 1, 1),η3＝(0, 0, 1)下的矩阵.解: σ在基{ε1, ε3, ε2}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110110012A . σ在基{321,,ηηη}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-110110011101100121100110011B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--211110011. 15. 在M 2(F )中定义线性变换σ为σ (X )＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3210X ， ∀X ∈M 2(F ). 求σ在基{ E 11, E 12, E 21, E 22}下的矩阵，其中E 11＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001, E 12＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010, E 21＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100, E 22＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000. 解: σ在基{22211211,,,E E E E }下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=30200302100001A . 16. 证明，与n 维向量空间V的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换.证明:由105P 习题二及第10题的结论易得. 17. 给定R 3的两个基α1＝(1, 0, 1), α2＝(2, 1, 0), α3＝(1, 1, 1)；和 β1＝(1, 2,－1), β2＝(2, 2, －1), β3＝(2, －1, －1). σ是R 3的线性变换，且σ(αi )＝βi ，i ＝1, 2,3. 求(1) 由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵； (2) σ关于基{α1, α2 , α3}的矩阵； (3) σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵.解: (1)令)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε.则由{α1, α2 , α3}到{ε1,ε3, ε2}的过渡矩阵为:1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 由基{ε1, ε3, ε2}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101110221. 所以由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1111222211111101211P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 (2) σ ==),,(),,(321321βββαααP ),,(321ααα.所以σ在),,(321ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232. σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 18. 设α1＝(－1, 0, －2), α2＝(0, 1, 2), α3＝(1, 2, 5)，β1＝(－1, 1, 0), β2＝(1, 0, 1), β3＝(0, 1, 2)，ξ＝(0, 3, 5)是R 3中的向量，σ是R 3的线性变换，并且σ(α1)＝(2, 0, －1), σ(α2)＝(0, 0, 1),σ(α3)＝(0, 1, 2).(1) 求σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵； (2) 求σ(ξ)关于基{α1, α2 , α3}的坐标； (3) 求σ(ξ)关于基{β1, β2 , β3}的坐标. 解:令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5222101011T ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2101011112T .则从基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅=-0101210011222341212211T T T T . 又321135310311)1,0,2()(αααασ-+-=-=321203231)1,0,0()(αααασ+-==321300)2,1,0()(αααασ++==所以σ关于),,(321ααα的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---03135132310031311.从而σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为:⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-2111000011AT T B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---03135132310031311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅010121001= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----31353103132343132310. (2)==)5,3,0(ξ321353135ααα+-.所以关于)(ξσ),,(321ααα的坐标为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅926967956353135A 由(2)可知=)(ξσ⋅),,(321ααα⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956=(β1, β2 , β3)⋅⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956 所以关于)(ξσ{β1, β2 , β3}的坐标为:⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211100001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--971926956. 19. 设R 3有一个线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2，x 2＋x 3，x 3)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3.下列R 3的子空间哪些在σ之下不变？(1) {(0, 0, c )| c ∈R }; (2) {(0, b , c )| b , c ∈R };(3) {(a , 0, 0)| a ∈R }; (4) {(a , b , 0)| a , b ∈R }; (5) {(a , 0, c )| a , c ∈R }; (6) {(a , －a , 0)| a ∈R }.解:(3)与(4)在σ之下不变.20. 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，证明下列条件等价: (1) σ (V )＝V ； (2) ker σ＝{0}.证明:因为秩σ+σ的零度=n. 所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即n =)(dim νσ当且仅当0ker dim =σ,因此V V =)(σ当且仅当}0{=σK e r .21. 已知R 3的线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋2x 2－x 3, x 2＋x 3, x 1＋x 2－2x 3)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. 求σ的值域σ (V )与核Ker σ的维数和基.解: σ关于基)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211110121A .)1,0,1()(1=εσ,)1,1,2()(2=εσ,)(νσ ))(),((21εσεσL =.),(ker ξσL =其中)1,1,3(-=ξ,1ker dim =σ.22. 设σ是向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个不变子空间，证明，W 是σ 2的不变子空间.证明:由不变子空间的定义易证. 23. 设σ是数域F 上n (>0)维向量空间V 的一个线性变换，{α1, α2 ,…, αr , αr ＋1,…, αn }是V 的基. 证明，如果{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基，那么{σ (αr ＋1),…,σ (αn )}是Im σ的基.证明:已知{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基, 则σ (αi )=0, i =1,2, …, r . 令 l r +1σ (αr ＋1)+ l r +2σ (αr ＋2)+ …+ l n σ (αn )=0, 则σ ( l r +1αr ＋1+…+ l n αn )=0, l r +1αr ＋1+…+ l n αn ∈ Ker σ .所以 l r +1αr ＋1+…+ l n αn =l 1α 1+…+ l r αr但 α1, α2 ,…, αr , αr ＋1,…, αn 是V 的一个基, 故 l r +1=…= l n =0. 所以 σ (αr ＋1),…, σ (αn ) 线性无关.又 Im σ = £(σ (α1), σ (α2)…, σ (αn )) = (σ (αr ＋1),…, σ (αn )).从而结论成立.24. 对任意α∈R 4，令σ (α)＝A α，其中A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 求线性变换σ的核与象. 解: α1 = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02232, α2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021, Ker σ =£(α1,α2). σ (ε1) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111, σ (ε2) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2220. Im σ =£(σ (ε1), σ (ε2)).25. 设 σ，τ 是向量空间V 的线性变换，且σ＋τ＝ι，στ＝τσ＝θ. 这里ι是V 的恒等变换，θ 是V 的零变换. 证明:(1) V ＝σ(V )⊕τ (V )； (2) σ(V )＝Ker τ.证明: (1) ∀ξ∈ V, ξ=ι (ξ)=(σ＋τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ).所以V ＝σ (V )+τ (V ).对任意ξ∈σ (V )∩τ (V ). 则ξ=σ (ξ1)+ τ (ξ2).由已知条件可得ξ= ι (σ (ξ1)) = (σ＋τ)(σ (ξ1)) = σ·(σ (ξ1) = σ·(τ (ξ2)= στ (ξ2) = 0 . 故结论成立.(2 ) 对任意σ (ξ)∈σ (V ), 则 τ(σ (ξ))= 0, 所以 σ (ξ)∈Ker τ .反之, 对任意ξ∈Ker τ , 则τ(ξ)= 0.由已知条件可得,ξ= (σ＋τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ)=σ (ξ),所以ξ∈σ (V ).26. 在向量空间F n [x ]中，定义线性变换τ为：对任意f (x )∈F n [x ]，τ(f (x )) ＝x f '(x )－f (x ). 这里f '(x )表示f (x )的导数. (1)求Ker τ及Im τ；(2)证明,V ＝Ker τ⊕Im τ. 解: (1) 令τ ( f (x )) = x f'(x )－f (x ) = 0其中 f (x ) = a 0 + a 1x + … + a n x n . 则(a 1x +2a 2x 2+ … +n a n x n )- f (x ) = 0(0- a 0) + ( a 1- a 1)x + (2a 2- a 2) x 2+ … + (n a n -a n )x n= 0 有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===00020na a a, 所以 f (x ) = a 1x ,Ker τ =£(x ), Im τ=£(1,x 2, … ,x n ).(2) 显然 .27. 已知向量空间V 的线性变换σ在基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--121101365 求σ的本征值及相应的本征向量. 问是否存在V 的一个基使得σ 关于这个基的矩阵是对角阵?解: 本征值λ=2 (三重), 属于λ=2的线性无关的本征向量为:ξ1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0131 , ξ2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031, 故σ 不能对角化.28. 设σ是向量空间V 的可逆线性变换，证明 (1) σ的本征值一定不为0； (2) 如果λ是σ 的本征值，那么λ1是σ－1的本征值.证明: (1) 反设σ 有一本征值为0,则存在ξ≠0,ξ∈ V , 使得σ (ξ)=0·ξ= 0 . 因为σ 可逆, 所以 σ -1(σ (ξ))=0, 即ξ= 0.矛盾.(2) 设λ是σ 的本征值,由(1)得λ≠0,且有σ (ξ)=λξ,ξ≠0.σ -1(σ (ξ))=λσ -1 (ξ). 即 σ -1 (ξ)=λ1ξ, 所以结论成立.补 充 题1. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. 证明 (1) Ker σ ⊆Ker σ2⊆ Ker σ3⊆…(2) Im σ ⊇Im σ2 ⊇Im σ3 ⊇…证明: (1)对任意正整数n ,下证Ker σ n ⊆ Ker σ n +1 对任意ξ∈ Ker σ n., σ n(ξ)=0, σ (σ n(ξ))=0 即σn +1(ξ)=0, 所以ξ∈ Ker σn +1.(2) 对任意正整数n ,下证Im σ n ⊇Im σ n +1.对任意ξ∈Im σ n +1, 则存在 η∈ V , 使得ξ=σn +1(η)=σ n (σ (η))∈Im σ n.2. 设A 是数域F 上的n 阶矩阵. 证明，存在F 上的一个非零多项式f (x ), 使得f (A )＝0.[不用Cayley-Hamilton 定理证. ]证明: 由于dimM n (F) = n 2, 所以I, A, A 2, …, A 2n线性相关,故存在F 上的不全为零的一组数k 0,, k 1, … ,k 2n ,使得+++2210A k A k I k ┄+022=nn Ak .取=)(x f +++2210x k x k k ┄+ 022=nn xk ,结论得证.3. 设V 是n 维向量空间, σ是V 的一个可逆线性变换, W 是σ的一个不变子空间. 证明, W 也是σ－1的不变子空间.证明:令{α1, α2 ,…, αr }是W 的一个基,因为W 是σ的不变子空间,所以 ,1,)(=∈i i ωασ,r .又σ是可逆的,所以 ),(1ασ,)(r ασ线性无关,故),(1ασ,)(r ασ也是W 的一个基.因为r i i i ,,1,))((1=∈=-ωαασσ.所以W 关于1-σ不变.4. 设σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换, σ2＝σ. 证明: (1) Ker σ ＝{ξ－σ (ξ)|ξ∈V }; (2) V ＝Ker σ ⊕Im σ ;(3) 若τ是V 的一个线性变换, 那么Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变的充要条件是στ＝τσ.[提示：证(3)的必要性，利用(2). ]证明:(1)对于任意的,ker σξ∈则.0)(=ξσ那么{}V ∈-∈-=-=ξξσξξσξξξ)()(0.反之,任意的{}V ∈-∈-ξξσξξσξ)()(,有-=-)())((ξσξσξσ0)()()(2=-=ξσξσξσ,故σξσξker )(∈-.(2)由(1)的解果可知:σσIm ker +=V ,对任意的σσξIm ker ⋂∈,则有:)()(211ησησηξ=-=,因此0)()()(121=-=ησησξσ. 同时还有:ξησησξσ===)()()(222所以0=ξ,结论成立.(3)充分性易证.必要性:设Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变,由(2)的结论得:1,ξξξ=∈∀V ),(2ξσ+其中σξker 1∈.又因为+-=+-=-))(())(())()(())((1121ξστξτσξσξτσστξτσστ )()))(((222ξτσξστσ-.由已知,,Im ))((,ker )(21σξστσξτ∈∈不妨设)())((32ξσξστ=,所以)()())(())(())((2323=-=-=-ξτσξσξστξσσξτσστ.5. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换, σ2＝ι. 证明, V ＝W 1⊕W 2, 这里W 1＝{ξ∈V |σ(ξ)＝ξ}，W 2＝{η∈V |σ(η)＝－η}.[提示：∀α∈V ，α＝21(α＋σ(α))＋21(α－σ(α)). ]证明:首先对2)(2)(,ασαασααα-++=∈∀V ,由于=+)2)((ασασ2)(2)()(2ασαασασ+=+,=-)2)((ασασ=-2)()(2ασασ 2)(ασα--所以12)(W ∈+ασα,22)(W ∈-ασα,故21W W V +=.其次对任意的21W W ⋂∈α,则αασ=)(,αασ-=)(.所以0,02==αα.那么V ＝W 1⊕W 2,结论成立.6. 设V 是复数域C 上一个n 维向量空间, σ, τ是V 的线性变换, 且στ＝τσ . 证明(1) 对σ的每一本征值λ来说，V λ＝{ξ∈V |σ(ξ)＝λξ}是τ的不变子空间; (2) σ与τ有一公共本征向量.[提示：证(2)时，考虑τ在V λ上的限制. ] 证明: (1)易证.(2).由(1)可知λV 是τ的不变子空间.则λτV 是λV 的一个线性变换.因此λτV 在复数域C 上一定有一个本征值,不妨设为μ.即存在λαV ∈≠0,使得μαατλ=))((V .而)())((ατατλ=V ,所以α是τ的属于μ的一个本征向量.由α的取法,结论得证.7. 设A 是秩为r 的n 阶半正定矩阵. 证明,W ＝{ξ∈R n |ξ T A ξ＝0}是R n 的n －r 维子空间.[提示：利用习题三第33题的结论，可得W 是齐次线性方程组BX ＝0的解空间. ]证明:由习题三第33题的结论得:B B A T =,其中B 是秩为r 的n r ⨯矩阵.则)()(ξξξξξξB B B B A T T T T ==,那么0=ξξA T当且仅当0=ξB .=W{}0=∈ξξB Rn.因为秩r B =,所以齐次线性方程组0=Bx 的解空间是r n -维的.即r n W -=dim .8. 设σ，τ是F 上向量空间V 的线性变换,且σ2＝σ,τ2＝τ. 证明，(1) Im σ＝Im τ 当且仅当 στ＝τ, τσ＝σ； (2) Ker σ＝Ker τ 当且仅当 στ＝σ, τσ＝τ.证明:(1)必要性:设τσm m I I =,,V ∈∀ξ则σξτIm )(∈.令)()(1ξσξτ=,则)()())(()(11ξτξσξσσξστ===.所以τστ=.同理可证στσ=.充分性:设τστ=,στσ=.对任意的σξσIm )(∈,则τξστξτσξσIm ))(())(()(∈==所以τσIm Im ⊆,同理可证στIm Im ⊆. （2）必要性:设Ker σ＝Ker τ.对任意的V ∈ξ,因为0)()())((2=-=-ξτξτξξττ所以τξξτker )(∈-,则0))((=-ξξτσ,即)())((ξσξτσ=,故σστ=.同理可证ττσ=.充分性:设ττσ=,σστ=.对任意的σξker ∈,则0)(=ξσ.且0)0())(())(()(====τξστξτσξτ所以τξker ∈,故τσker ker ⊆.同理可证στker ker ⊆.。
复变函数习题解答(第7章)
p317第七章习题(一) [ 2, 5, 6, 9, 15, 17, 19 ]2. 利用保域定理证明：若函数f(z)在区域D内解析，(1) 若| f(z) |在D内为常数，则f(z)在D内为常数；(2) 若Re( f(z))或Im( f(z))在D内为常数，则f(z)在D内为常数．【解】由保域定理，假若f(z)在区域D内不恒为常数，则f(D)是区域．(1) 若| f(z) |在D内为常数，则存在r ≥ 0，使得f(D) ⊆C r= { z∈ | | z | = r }．但int(C r) = ∅，故int( f(D)) = ∅，因此f(D)不是开集，因此不是区域，矛盾．(2) 若Re( f(z))在D内为常数，则存在a∈ ，使得f(D) ⊆L a= { z∈ | Re(z) = a }．但int(L a) = ∅，故int( f(D)) = ∅，因此f(D)不是开集，因此不是区域，矛盾．同理，若Im( f(z))在D内为常数，f(D)也不是区域，矛盾．故不论如何，f(z)在区域D内必恒为常数．[保区域性定理：设f(z)在区域D内解析且不恒为常数，则f(D)是区域．]5. z平面上有三个互相外切的圆周，切点之一在原点，函数w = 1/z将此三个圆周所围成的区域变成w平面上的什么区域？【解】设圆周A, B外切于原点，圆周C分别外切圆周A, B于z1, z2．由分式线性映射的保圆性，以及f(0) = ∞，知f(A), f(B)为w平面中的直线．并且因f(A), f(B)在有限z平面内无交点，f(A), f(B)为一对平行直线．因C不过原点，故f(C)为w平面中的圆周；并且，由分式线性映射的保角性，f(C)与f(A), f(B)都相切，切点分别为f(z1), f(z2)．下面的图(用sketchpad和photoshop做出，本质上是尺规作图的结果，累！)，指出圆周A, B, C的象f(A), f(B), f(C)，以及圆周A, B, C所围的区域D的象f(D)．[上面的图，我是把z平面和w平面作为一个平面来画的．因为用的是sketchpad，所以图形应该还是比较精确的．同学们可以思考：f(z) = 1/z将那三个圆所围的那个无界的(但在 ∞中是单连通的)区域变成哪个区域？]6. 如w = (az + b)/(cz + d)将单位圆周变成直线，其系数应满足什么条件？【解】首先应满足ad–bc≠ 0，以保证映射不是常值映射．其次，单位圆周上存在点α使得w(α) = ∞，这意味着cα + d = 0，因此| d | = | –cα| = | c | · | α| = | c |．反过来，若ad–bc≠ 0，| d | = | c |，则w = (az + b)/(cz + d)是分式线性映射，具有保圆性．因| –d/c | = 1，故–d/c在单位圆周上，而且w(–d/c) = ∞，故单位圆周在此映射的下的象为直线．9. 求出将圆| z – 4 i | < 2变成半平面v > u的共形映射，使得圆心变到– 4，而圆周上的点2 i变到w = 0．【解】注意到4 i和∞关于圆周| z – 4 i | = 2对称，– 4和– 4 i关于直线v = u对称；因此若分式线性映射f(z)满足f(4 i) = – 4，f(∞) = – 4 i，则f(z)将圆周| z – 4 i | = 2变成直线v = u．根据题目要求，又应有f(2 i) = 0；故可用分式线性映射的保角比性来确定共形映射w = f(z)．(w- (– 4))/(w- 0) : (– 4 i- (– 4))/(– 4 i- 0) = (z- 4 i)/(z- 2 i) : (∞- 4 i)/(∞- 2 i)；即(w- (– 4))/(w- 0) : (1 –i)/(–i) = (z- 4 i)/(z- 2 i)；所以，w = – 4i ( z– 2i)/(z- (4i + 2))．[或者，直接设f(z) = (– 4i) (z– 2i)/(z–d)，将f(4 i) = – 4代入，则– 4 = (– 4i) (4 i– 2i)/(4 i–d)，即d = 4 i +2．所以w = – 4i ( z– 2i)/(z- (4i + 2))．] 15. 求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射，使z = 1, -1, 0分别变成w = -1, 1, ∞．【解】因f1(z) = - (z + 1)/(z- 1)把正向实轴变成正向实轴，上半平面映成上半平面，且f1(- 1) = 0，f1(0) = 1，f1(1) = ∞，故f1将实轴上的区间(0, 1)变成正实轴．由保角性，f1将上半单位圆周变成正虚轴．所以，f1将上半单位圆共形地变成第一象限．而f2(z) = z2将第一象限共形地变成上半平面．所以，f2 ◦f1将上半单位圆共形映射成上半平面，且(f2 ◦f1)(1) = ∞，(f2 ◦f1)(- 1) = 0，(f2 ◦f1)(0) = 1．注意到f1(∞) = - 1，f1(0) = 1，f1(1) = ∞；故(f1 ◦f2 ◦f1)(1) = - 1，(f1 ◦f2 ◦f1)(- 1) = 1，(f1 ◦f2 ◦f1)(0) = ∞．所以，f = f1 ◦f2 ◦f1即满足题目要求．f(z) = (f1 ◦f2 ◦f1)(z) = - ( (f2 ◦f1)(z) + 1)/( (f2 ◦f1)(z) - 1)= - ( ( f1(z)2 + 1)/( ( f1(z)2- 1)= - ( ( (- (z + 1)/(z- 1))2 + 1)/( ((- (z + 1)/(z- 1))2- 1)= - ((z + 1)2 + (z- 1)2)/( (z + 1)2 - (z- 1)2)= - 2(z2 + 1)/(4z) = (- 1/2)(z + 1/z)．17. 将扩充z平面割去1 + i到2 + 2 i的线段后剩下的区域共形映射成上半平面．【解】设割去的线段的端点分别为α, β，先做分式线性映射使得此线段变成一条以0为端点的射线(在 ∞中看成是一条以0, ∞为端点的线段)．例如可取ξ= k (z-α)/(z-β)．下面选取使当的k，使得映射将给定的线段映射成(带端点的)正实轴．为此，我们要求ξ((α + β)/2) > 0．即k (α + β)/2 -α)/(α + β)/2 -β) > 0，因此k < 0．所以，当k < 0时，ξ(z)将给定的区域映射成割去正实轴的复平面(不是扩充的)．因此，w = (k (z-α)/(z-β))1/2即为满足要求的共形映射．19. 将一个从中心起沿正实轴上的半径割开了的单位圆共形映射成单位圆，使符合条件：割缝上岸的1变成1，割缝上岸的1变成-1，0变成-i．【解】设给定的区域为D．则ξ= z1/2将D共形映射成上半单位圆 +．按第15题的论证，η = (ξ + 1)2/(ξ- 1)2将 +共形映射成上半平面 +．那么，ϕ(z) = (z1/2 + 1)2/(z1/2- 1)2将D共形映射成 +．并且，割缝上岸的1变成∞，割缝上岸的1变成0，0变成1．下面作一个分式线性映射ψ将 +共形映射成单位圆 ，并且使得ψ(∞) = 1，ψ(0) = -1，ψ(1) = -i．为满足ψ(∞) = 1，ψ(0) = -1，只要取ψ(z) = (z-α)/(z + α)；将ψ(1) = -i代入，得-i = (1 -α)/(1 + α)，即α = (1 + i)/(1 -i) = i．故ψ(z) = (z-i)/(z + i)；令f = ψ◦ϕ，则f即为满足要求的共形映射．f(z) = (ϕ(z) -i)/(ϕ(z) + i) = ((z1/2 + 1)2/(z1/2- 1)2-i)/((z1/2 + 1)2/(z1/2- 1)2 + i)= ((z1/2 + 1)2-i(z1/2- 1)2)/((z1/2 + 1)2 + i (z1/2- 1)2)= ((z + 2z1/2 + 1) -i(z - 2z1/2 + 1))/((z + 2z1/2 + 1) + i (z - 2z1/2 + 1))= ((1 -i)(z + 1) + 2(1 + i)z1/2)/((1 + i)(z + 1)+ 2(1 -i) z1/2 )= (-i) · ((z + 1) + 2i z1/2)/( (z + 1)- 2i z1/2 )．[在第17题和第19题中，我们使用了多值函数z1/2而未指明是它的哪个单值解析分支．实际上，我们是遵从了一个一般的约定：倘若未指出具体的分支，则z1/n 表示的是它的主值分支．]1. 至此，只有第六章和第七章的第二组习题尚未做完，同学们不要着急，容我慢慢做之．2. 如果还有题目，是我没有做但是同学们希望我做的，可以发Email给我，写清楚页码和题号，我将尽量满足同学们的要求．如果题目不是来自我们的教材的，一方面要打清楚，另一方面请给出题目来源：若来自书，则指明书名和作者，出版社，版次，年份；若来自互联网，则给出url；若是考研题，则指明学校，年份，最好附整个试题．3. 答疑时间定在考试前一天，上午10点开始．∀∃∅-⨯±≠≥·◦≤≡⊕⊗≅αβχδεφγηιϕκλμνοπθρστυϖωξψζ∞•︒ℵℜ℘∇∏∑⎰⊥∠ √§ψ∈∉⊆⊂⊃⊇⊄⊄∠⇒♣♦♥♠§ #↔→←↑↓⌝∨∧⋃⋂⇔⇒⇐∆∑ΓΦΛΩ∂∀m∈ +，★z∈ ∞α1, α2, ...αn lim n→∞，+n→∞∀ε > 0，∑u n，∑n≥ 1u n，m∈ ，∀ε > 0，∃δ> 0，【解】z⎰[0, 2π]l 2 dx，f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n，[0, 2π]。
第7章磁学性能习题解答
第7章 磁学性能 习题解答一、名词解释：磁场强度 答：磁场强度是线圈安匝数的一个表征量，反映磁场源的强弱。
磁感应强度 答：磁感应强度（magnetic flux density ），描述磁场强弱和方向的基本物理量。
是矢量，常用符号B 表示。
磁感应强度也被称为磁通量密度或磁通密度。
磁导率 答：B =Hμ，单位强度的外磁场下材料内部的磁通量密度。
磁化率 答：物质本身的磁化特性，即材料在磁场中被磁化的难易程度。
磁矩 答：磁矩是表征材料磁性大小的物理量。
其值为，m I S =⨯自旋磁矩 答：电子自旋产生的磁矩。
轨道磁矩 答：电子沿一定轨道运动产生的磁矩。
抗磁性 答： 抗磁性是一些物质的原子中电子磁矩互相抵消，合磁矩为零。
但是当受到外加磁场作用时，电子轨道运动会发生变化，而且在与外加磁场的相反方向产生很小的合磁矩。
这样表示物质磁性的磁化率便成为很小的负数(量)。
顺磁性 答：（paramagnetism ）在磁场作用下，物质中相邻原子或离子的热无序磁矩在一定程度上与磁场强度方向一致的定向排列的现象。
反铁磁性铁磁性答：具有自发磁化，且这些自发磁化会随着外磁场的改变而改变方向。
亚铁磁性答：在无外加磁场的情况下，磁畴内由于相邻原子间电子的交换作用或其他相互作用。
使它们的磁矩在克服热运动的影响后，处于部分抵消的有序排列状态，以致还有一个合磁矩的现象。
磁畴 答：在磁性物质内，其自发磁化强度的大小和方向基本上一致的区域。
铁磁体 答：铁磁体指特指一种自发磁化方式，即晶胞里面的每一个磁子的方向都是相同的，都对磁性起增强作用。
如铁、钴、镍等。
铁氧体 答：铁氧体是一种具有铁磁性的金属氧化物。
由以三价铁离子作为主要正离子成分的若干种氧化物组成，并呈现亚铁磁性或反铁磁性的材料。
二、简答题1．何为磁化强度、磁感应强度？磁化强度与磁感应强度间存在何种关系?答：磁化强度，即单位体积的磁矩。
公式为，公式为，M = ∑m /V 。
磁感应强度也被称为磁通量密度或磁通密度。
第7章 习题解答
第7章 习题解答7.1 由74290所构成的计数电路如图7.50所示，试分析它们各为几进制计数器。
图7.50 习题7.1图Q3Q3Q3Q3解：74290是异步二-五-十进制计数器，下降沿触发；CKA 是二进制计数器脉冲输入，Q 0是输出；CKB 是五进制计数器脉冲输入，Q 3Q 2Q 1是输出；异步清零端R0(1)、R0(2)和异步置9控制端R9(1)、R9(2)都是高有效。
（1）R9(1)=R9(2)=0；R0(1)=R0(2)=Q 3；CKA 无脉冲输入；CKB 接外部时钟，所以74290中只有五进制计数器工作。
设五进制计数器的初态为Q 3Q 2Q 1=000，在CLK 下降沿的作用下进行加1计数，当Q 3=1时，R0(1)=R0(2)=1，计数器异步清零，重新计数。
也就是说，该电路有效状态的转换过程是：000→001→010→011→000（由于该芯片是异步清零，所以Q 3Q 2Q 1=100是过渡状态，在011之后短暂存在）。
由此可知，该电路是四进制计数器。
（2）CKA 没有脉冲输入，CKB 接外部时钟，所以只有五进制计数器工作。
R9(1)=R9(2)=0；R0(1) =Q 1，R0(2)=Q 2；设五进制计数器的初态为Q 3Q 2Q 1=000，在CLK 下降沿的作用下进行加1计数，当Q 2=Q 1=1（即计数值变为Q 3Q 2Q 1=011）时，R0(1)=R0(2)=1，计数器异步清零，重新计数。
也就是说，该电路有效状态的转换过程是：000→001→010→000（由于该芯片是异步清零，所以Q 3Q 2Q 1=011是过渡状态，在010之后短暂存在）。
由此可知，该电路是三进制计数器。
（3）CKB=Q 0，CKA 接外部时钟，两个计数器同时工作，构成一个8421BCD 码计数器。
R9(1)=R9(2)=0；R0(1)=R0(2)=Q 3。
设计数器的初态为Q 3Q 2Q 1Q 0=0000，在CLK 下降沿的作用下按8421BCD 码进行加1计数，当Q 3=1时，R0(1)=R0(2)=1，计数器异步清零，重新计数。
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7（A ）三、解答题1. 设总体X 服从几何分布，分布律为{},....2,1,)1(1=-==-k p p k X P k ，(10<<p )求p 的矩估计量． 解：因为{},....2,1,)1(1=-==-k p p k X Pk ，所以X 的一阶矩.1)1(1)1(11))1(()1(}{)(2//'1111p p p p p p p p p p p p p k k X kP X E nk k nk k nk =--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=--=-===∑∑∑==-=用样本的一阶A 1=X 代替总体X 的一阶矩E (X )得到,1pX=所以p 的矩估计量为.1ˆXp= 2. 求均匀分布),(~b a U X 中参数b a ,的矩估计量．解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，总体X 的一阶、二阶矩分别为2)(1ba X E +==μ μ2 = E (X 2) = D (X ) + [E (X )] 2= 3)2(12)(2222b ab a b a a b ++=++-用样本的一阶、二阶矩A 1和A 2分别代替总体的一阶、二阶矩μ1和μ2，得到⎪⎩⎪⎨⎧++=+=322221b ab a A b a A 解得b a ,的矩估计量为∑∑==--=--=--=n i i n i i X X n X X X n A A A A a 12212212121)(33333ˆ ∑∑==-+=-+=-+=n i i n i i X X n X X X n A A A A b 12212212121)(33333ˆ 3. 设总体X 的概率密度为||21);(θθ--=x e x f ，∞<<∞-x 1,,n X X 是来自X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量．解：总体X 的一阶为θθθμθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ=-+-=+--=-=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+--∞--∞-∞+--∞+---∞--∞+--∞--+∞--∞--+∞∞---)()()()()()()()()()(||12121212121|2121|212121212121)(x x x x x x x x x x x de de dx e xe dx e xe xde xde dx e xdx e x dx e x X E用样本的一阶A 1=X 代替总体X 的一阶矩E (X )得到.ˆX =θ4. 设总体X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=--其它,0,1);(/)(μθθμx e x f θx ，其中μθθ),0(>是未知参数，1,,n X X 是来自X的简单随机样本，求θ和μ的矩估计量．解：总体X 的一阶为.|1)(/)(/)(/)(/)(/)(1μθθμθμμμμμμμθμμμμ+=-=+-=-===⎰⎰⎰⎰∞+--∞+--∞+----+∞--θx θx θx θx θx d e d xe xexd e d xe xX E总体X 的二阶为22222/)(/)(2/)(2/)(222)(22)(22|1)(θθμθθμμμθθμθμμμμμθμμμμ++=++=++=+-=-===⎰⎰⎰∞+--∞+----+∞--d xxe e x d e x d xe x XE θx θx θx θx用样本的一阶、二阶矩A 1和A 2分别代替总体的一阶、二阶矩μ1和μ2，得到⎩⎨⎧++=+=2221)(θμθμθA A解得θ和μ的矩估计量为∑=-=-=n i i X X n A A 12212)(1ˆθ，∑=--=--=ni i X X n X AA A 122121)(1ˆμ.5. 设),(~p m B X，m已知，10<<p 未知，1,,n X X 是来自X的简单随机样本，求p 的最大似然估计量．解：由于X 的分布律为mk p p C x X P k m kk m ,...,1,0,)1(}{=-==-基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为iix m ni x xmn p p C p x x x L p L -=-==∏)1();,...,,()(121,)1(111∏=-∑-∑===ni x mx nm x i ni ini iCp p,ln )1ln(ln )(ln 111∑===+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni x m ni i n i i ii C p x nm p x p L,01)(ln d d 11=-∑--∑===px nm p x p L p ni in i i 令解得.11mxx nm p n i i =∑==,0)1()(ln d d 212122<-∑--∑-===p x nm p x p L p ni in i i 注意到： p 的最大似然估计值为.1ˆ1mxx n pn i i =∑== p 的最大似然估计量为.ˆmX p= 6. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0,00,);(x x e x f x θθθ，今从X 中抽取10个个体，得数据如下: 1050 1100 1080 1200 1300 12501340106011501150试用最大似然估计法估计θ．解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥∑====-=∏其它,00,...,,,);();,...,,()(211211n x n ni i n x x x e x f x x x L L ni iθθθθθ当0,...,,21≥nx x x 时，∑=-=ni ix θn L 1ln )(ln θθ，令0)(ln 1=∑-==ni i x n L d d θθθ， 解得xx nni i11=∑==θ． 考虑到0)(ln 222<-=θθθnL d d 所以，θ的最大似然估计值为x1ˆ=θ 将数据代入计算，θ的最大似然估计量为=θˆ0.0008587. 设某电子元件的使用寿命X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,0,,2);()(2θθθθx x e x f x 0>θ为未知参数，n x x x ,...,,21是X的一组样本观测值，求θ的最大似然估计值．解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧>∑====--=∏其它,0,...,,,2);();,...,,()(21)(21211θθθθθn x n ni i n x x x e x f x x x L L ni i容易看出θ越大L (θ)越大，在约束θ>n x x x ,...,,21下，},...,,min{ˆ21nx x x =θ即为θ最大似然估计值。
8. 设21,X X 是取自总体N (μ，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为μ的无偏估计量，并确定最有效的一个．213132X X +，214341X X +，().2121X X +证明：因为21,X X 独立均服从N (μ，1)，且,3132)(31)(32)3132(2121μμμ=+=+=+X E X E X X E ,4341)(43)(41)4341(2121μμμ=+=+=+X E X E X X E . ,)()2121(21μ==+X E X X E 所以213132X X +，214341X X +，().2121X X +均为μ的无偏估计量。
又因为,9109199)(91)(94)3132(2121=+=+=+X D X D X X D ,85169161)(169)(161)4341(2121=+=+=+X E X E X X D ,212)()()2121(21===+X D X D X X D 所以().2121X X +最有效。
9. 设总体X 的数学期望为μ，1,,n X X 是来自X 的简单随机样本．n a a a ,,,21 是任意常数,证明)0(111≠∑∑∑===ni in i in i iiaa X a 是μ 的无偏估计量．证明：因为X i 的数学期望均为μ，所以,)()(111111μμ===∑∑∑∑∑∑======ni in i ini ini i in i ini ii aa aX aE a X a E故)0(111≠∑∑∑===ni in i in i iiaa X a 是μ 的无偏估计量．10. 设总体21~(,),,,n XN X X μσ 是来自X 的一个样本．(1) 试确定常数c ，使∑-=+-1121)(n i i i X Xc为σ 2的无偏估计;(2) 试确定常数c ，使)(22cS X -为μ 2的无偏估计．解：（1）因为2112111122112221111211121111121112111112111211121)1(2)2())(2)(())()()(2)(()()()(2)(()2())((σσμσμμσ-==++-+=+-=+-=+-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=++-=-=-=++-=-=-=++-=+n c c c XE X E X E X E c XE X E X E X E c XX X X E c X X c E n i n i n i n i n i n i ii n i i i n i n i ii n i i i n i n i ii n i i i n i i i所以当)1(21-=n c 时∑-=+=-11221))((n i i i X X c E σ，∑-=+-1121)(n i i i X X c 为σ 2的无偏估计。
（2）因为22222222)()()()()()(σμσc nX cD X E X D S cE X E cS X E -+=-+=-=-所以当nc1=时222)(μ=-cS X E ，)(22cS X -为σ 2的无偏估计。
11. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0设干燥时间总体服从N (μ ，σ 2)；在下面两种情况下，求μ 的置信水平为0.95的置信区间． (1) 由以往的经验知σ = 0.6 (小时); (2) σ 未知．解：（1）由于σ = 0.6，求μ 的置信区间由公式⎪⎭⎫⎝⎛+-22,αασσz n X z nX计算， 其中n=9，α=0.05，==025.02z z α 1.96，69191==∑=i i x x ，代入计算得μ 的置信水平为0.95的置信区间为（5.608，6.392）.（2）由于σ 未知，求μ 的置信区间由公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--)1(),1(22n t n SX n t nS Xαα计算，其中n=9，α=0.05，)8()8(025.02t t =α=2.306，69191==∑=i i x x ，33.0)(11212=--=∑=ni i x x n s ，代入计算得μ 的置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442）12. 某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为99%的置信区间．假设产品直径近似服从正态分布．解：设X ~N (μ , σ2),由于σ2未知，μ 的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--)1(),1(2n t n SX n t nS X αα，其中n=9，α=0.01，3554.3)8()8(005.02==t t α，0056.19191==∑=i i x x ， 0006.0)(11212=--=∑=ni i x x n s ， 代入计算得μ 的置信水平为99%的置信区间为（0.978，1.033）.13. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小时）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间．解：设X ~N (μ,σ2),由于σ未知，μ 的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--)1(),1(22n t n SX n t n S X αα， 其中n=9，α=0.05，)8()8(025.02t t =α=2.306，11.11419191==∑=i i x x ， 11.8136)(11212=--=∑=ni i x x n s 代入计算得μ 的置信水平为95%的置信区间为（1071.78，1210.45）.14. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s = 2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间．解：设X ~N (μ , σ2),由于μ未知，σ2的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(221222n S n n S n ααχχ 其中n =8，α=0.01，9892.0)7()1(,2777.20)7()1(2995.02212005.022χχχχαα=-==--n n ，s = 2.4， 代入计算得μ 的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）.15. 从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取5个，测得其寿命分别为1.9，2.4，3.0，3.5，4.2，求电池寿命方差的置信水平为95%的置信区间，假设电池寿命近似服从正态分布．解：设X ~N (μ , σ2),由于μ未知，σ2的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2212222n S n n S n ααχχ 其中n =5，α=0.05，4844.0)4()1(,1433.11)4()1(2975.02212025.022==-==--χχχχααn n ， 35151==∑=i i x x ，815.0)(11212=--=∑=ni i x x n s ， 代入计算得方差的置信水平为95%的置信区间为（0.29，6.73）.16. 设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物，其治疗所需时间（以天计）均服从正态分布．试验数据如下: 使用第一种药物 5.1,17,142111===s x n 使用第二种药物8.1,19,162222===s x n假设两正态总体的方差相等，求使用两种药物平均治疗时间之差21μμ-的置信水平为99%的置信区间．解：设两正态总体分别为X ~N (μ1 , σ12)，Y ~N (μ2 , σ22)，由于σ12= σ22未知，12μμ-的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+±-2121211)2(n n S n n t Y X w α，其中5.1,17,142111===s x n 8.1,19,162222===s x n2887.1216148.1155.1142)1()1(21222211=-+⨯+⨯=-+-+-=n n s n s n s w查t 分布分位数表知t α/2(n 1+n 2 – 2) = t 0.005(28) = 2.1199．故得21μμ-的置信水平为0.99的置信区间为（-3.3，-2）．17. 测得两个民族中各8位成年人的身高（单位:cm ）如下 A 民族：162.6 170.2 172.7 165.1 157.5 158.4 160.2 162.2 B 民族：175.3 177.8 167.6 180.3 182.9 180.5 178.4 180.4假设两正态总体的方差相等，求两个民族平均身高之差μ1 – μ2的置信水平为90%的置信区间． 解：由于总体方差相等但未知，可采用⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+±-2121211)2(n n S n n t Y X w α计算μ1 – μ2的置信区间．其中，由两个民族的观测数据计算得63.29,61.163,8211===s x n41.22,9.177,8222===s y n1.528841.22763.2972)1()1(21222211=-+⨯+⨯=-+-+-=n n s n s n s w查t 分布分位数表知t α/2(n 1+n 2 – 2) = t 0.05(14) = 1.761．故得μ1 – μ2的置信水平为0.90的置信区间为(-18.78，-9.80)．18. 工人和机器人独立操作在钢部件上钻孔，钻孔深度分别服从N (μ1，σ12)和N (μ2，σ22)，μ1，μ2，σ12，σ22均未知，今测得部分钻孔深度（单位:cm ）如下工人操作： 4.02 3.94 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00 机器人操作: 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00 试求2221σ的置信水平为0.90的置信区间．解：由于μ1和μ2未知，可采用⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1,1(1,)1,1(12121221212221n n F S S n n F S S αα计算2221/σσ的置信区间．由两样本观测值计算得0189.0,7211==s n ，00017.0,8222==s n ，α = 0.1，查F 分布的分位数表知F 0.05(6,7) = 3.87，F 0.95(6,7) =24.021.41)6,7(105.0==F故得2221/σσ的置信水平为0.95的置信区间为 )39.46,853.2(24.0100017.00189.0,87.3100017.00189.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯．19. 求12题中μ的置信水平为0.95的单侧置信区间下限．解：设X ~N (μ , σ2),由于σ2未知，μ 的的单侧置信下限可由下面公式计算得到)1(--=n t nSX αμ 其中n=9，α=0.01，8595.1)8()8(05.0==t t α，0056.19191==∑=i i x x ， 0006.0)(11212=--=∑=ni i x x n s ， 代入计算得μ 的置信水平为95%的单侧置信下限：8595.130006.00056.1⨯-=μ=0.99 20. 求14题中香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的单侧置信区间置信上限． 解：由于X ～N (μ，σ2)且μ未知，σ 2的单侧置信上限为)1()1(2122--=-n S n αχσ 其中n =8，α=0.01，==--)7()1(299..021χχαn 1.239，s = 2.4， 代入计算得μ 的置信水平为99%的单侧置信区间置信上限为54.32239.14.2722=⨯=σ.21. 设总体),(~2σμN X ，已知0σσ=，要使总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间长度不大于L ，问应抽取多大容量的样本？ 解：由于),(~2σμN X ，已知0σσ=，总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2020,αασσz n X z n X令置信区间为长度L z n≤202ασ，解得22/0)(4Lz n ασ≤.。