02第二讲 因式分解(校对稿)
14.3因式分解(第2课时)
课
时
学 试一试：举一个要同时用两种方
练
法进行因式分解的多项式。
1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提 出这个公因式．
2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考 虑用公式分解因式．
3．第一步分解因式以后，如果所含的多项式
倍 速
还可以继续分解， 则需要进一步分解因式．直 到每个多项式因式都不能分解为止．
倍 速 课 时 学 练
例1 分解因式： （1）4x2-9
（2）(x+p)2-(x+q)
倍 速 课 时 学 练
例2 分解因式:
(1)x4-y4;
(2) a3b – ab.
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样 就可以利用平方差公式进行因式分解 了.(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再 进一步分解.
14.3因式分解 ——平方差公式
人教新课标
问题1：你能将a2-b2分解因式吗？
a2-b2=(a+b)(a-b)．
如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接
倍 速 课
写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运 用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解
时
因式
学
练
观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、 符号有什么特点？
课
时
学
练
倍 速 课 时 学 练
倍 解:(1) x4-y4
速
课 时
= (x2+y2)(x2-y2)
学 练
= (x2+y2)(x+y)(x-y)
(2) a3b-ab =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).
初中数学十字相乘法因式分解(2)(2021年整理)
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初中数学十字相乘法因式分解要点：一、2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积(3）一次项系数是常数的两个因数之和。
对这个式子先去括号,得到：pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=1的二次三项式分解因式。
二、一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++.反过来，就可得到:2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加,就得到1221a c a c +,那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
2020初中数学竞赛辅导(初2)第02讲因式分解
第二讲因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法 1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法 2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m 和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
因式分解(2)——公式法(人教版)八年级数学上册PPT课件
13. 分解因式：n2（m-2）+（2-m）.
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
5. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）Biblioteka ；（2）x2-36=
（x+6）（x-6）
.
6. （例 2）分解因式：
（1）4x2-25=
（2x+5）（2x-5）
；
（2）9x2-16y2=
（3x+4y）（3x-4y）
.
7. 分解因式：
（1）16x2-1=
（4x+1）（4x-1）
；
（2）36x2-25y2=
）2.
知识点.公式法（平方差公式）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
.
总结：能用平方差公式分解因式的条件： ①二项式；②能化成两个平方相减.
（1）设 S1，S2 分别是图 1，图 2 的面积，若用
含 a，b 的代数式表示它们的面积，则
S1=
a2-b2
2024年初高中衔接数学-第2节+因式分解进阶+课件
一般地，分组分解大致分三步：
1. 将原式适当分组 2. 对每一组进行因式分解 3. 将经过处理的式子再分解
练习：
(1) x3 + x2 -y3-y2 = (1) abc +ab+bc+ac+ a+b+c+1 =
进阶：拆项、添项法
因式分解：
1. x3+x2+x-3= x3-1+x2-1+x-1
2. x4+4= x4+4x2+4-4x2
拆项：把多项式的某项拆成两项的和或差. 添项：把代数式添上两个互为相反数的项.
进阶：主元法
因式分解：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z=
解：原式=-(x2-2xy+y2)z+2x3-4x2y+2xy2=-(x2-2xy+y2)z+2x(x2-2xy+y2) =(2x-z)(x-y)2
－8x4y＋6x3y2－3x3y＝－__x_3y_(_8_x_－__6_y_＋__3_).
复习：公式法
1. a2－b2＝(a＋b)·(a－b) 2. a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 3. a2－2ab＋b2＝(a－b)2 4. a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2) 5. a3－b3＝(a－b)·(a2＋ab＋b2) 6. a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝(a＋b)3 7. a3－3a2b＋3ab2－b3＝(a－b)3 8. a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2
口诀：首尾化积，十字相乘，求和凑中，横向书写
进阶：双十字相乘法（二次六项式）
(1) x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝ (x－y＋1)(x＋3y＋2)
因式分解法(第2课时)课件
05
2. 交叉相乘，将得到的
步骤
02
04 两个积相加，若等于一
次项系数，则分解成功；
典型例题解析
例1
分解因式 $x^2 + 5x + 6$
分析
将常数项6分解成1和6的乘积，将二次项系数1分解成1和1 的乘积，交叉相乘后得到1×6+1×1=7，不等于一次项系数 5，因此分解失败。
正确解法
将常数项6分解成2和3的乘积，将二次项系数1分解成1和1 的乘积，交叉相乘后得到1×3+1×2=5，等于一次项系数5， 因此分解成功。所以 $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$。
练习题2
分解因式 $5a^2b^2 + 10ab + 5$。
练习题1答案
$4x^2y^2(2x + 3y)$。
练习题2答案
$5(a^2b^2 + 2ab + 1) = 5(ab + 1)^2$。
04 分组分解法
分组原则与技巧
分组原则：将多项式按照一定的规则分 成几组，使每组内的项能提取公因式或 应用公式法进行分解。
因式分解法(第2课时)课件
contents
目录
• 引言 • 因式分解法基本概念 • 提取公因式法 • 分组分解法 • 十字相乘法 • 综合应用与拓展
01 引言
回顾上节课内容
因式分解法的基本概念 提取公因式法
公式法（平方差公式、完全平方公式）
引入本节课主题
01
分组分解法
02
十字相乘法
03
拆项、添项法
答案
$x(x - y)(y - x + y) = x(x - y)(2y - x)$
因式分解第2课时ppt课件新人教版八年级上册
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理解平方差公式
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什
么？
（1） x2+y2；
×
（2） x2 -y2；
√
（3） -x2+y2； √
（4） -x2 -y2． ×
理解平方差公式
（1）平方差公式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？
• 学习重点： 运用平方差公式来分解因式．
探索平方差公式
你能将多项式 y2-25 与多项式 x2-4 分解因式吗？
（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？ （2）这两个多项式有什么共同的特点？ （3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 来解决这个问题吗？
探索平方差公式
八年级 上册
14.3 因式分解 （第2课时）课是在学生学习了整式乘法公式的基础上，研究 具有特殊形式的多项式分解因式的方法——公式法； 学习运用平方差公式来分解因式.
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课件说明
• 学习目标： 1．探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想． 2．会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解．
你能将多项式 y2-25 与多项式 x2-4 分解因式吗？ y2 -25=（y+5）（y-5） x2 -4=（x+2）（x-2）
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概 括你的发现.
探索平方差公式
把整式的乘法公式——平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 反过来就得到因式分解的平方差公 式：
应用平方差公式
练习1 将下列多项式分解因式：
（1） a2 - 1 b2； 25
七年级数学因式分解2
9.1 因 式 分 解
创设问题情景
看谁算
得快？
(1)若a=101,b=99,则a2-b2=
(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=
(a-b)2=(99+1)2=10000
(3)若x=-3,则20x2+60x=
20x(x+3)=20×(-3) ×(-3+3)=0
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伤兵罗雯依琦妖女细长的耳朵，此时正惨碎成海马样的暗白色飞丝，快速射向远方女伤兵罗雯依琦妖女怪嚷着狂鬼般地跳出界外，急速将细长的耳朵复原，但元气已受损伤砸壮扭公主：“哈哈！ 这位同志的风格极为迷离哦！非常有完美性呢！”女伤兵罗雯依琦妖女：“ 哎！我要让你们知道什么是疯狂派！什么是缠绵流！什么是温柔完美风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么 法术都弄出来瞧瞧！”女伤兵罗雯依琦妖女：“ 哎！我让你享受一下『白冰跳祖牙膏理论』的厉害！”女伤兵罗雯依琦妖女突然耍了一套，窜虾猪肘翻九千度外加猪哼菜叶旋一百周半的招数 ，接着又玩了一个，妖体鸟飞凌空翻七百二十度外加呆转十五周的冷峻招式。接着像暗绿色的三须海滩虾一样怒笑了一声，突然搞了个倒地振颤的特技神功，身上瞬间生出了九十只活像拐杖般的 乳白色眉毛……紧接着威风的深灰色怪藤样的嘴唇连续膨胀疯耍起来……亮紫色旗杆一样的眉毛透出纯黄色的阵阵春雾……纯灰色蛤蟆一般的脸闪出亮灰色的隐约幽音。最后扭起瘦弱的酷似谷穗 模样的肩膀一颤，萧洒地从里面滚出一道流光，她抓住流光诡异地一旋，一件青虚虚、银晃晃的咒符『白冰跳祖牙膏理论』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边扭曲，一边发出“哼嗷”的猛 响。！猛然间女伤兵罗雯依琦妖女疯妖般地念起磨磨叽叽的宇宙语，只见她轻盈的手指中，威猛地滚出五十片珍珠状的黄豆，随着女伤兵罗雯依琦妖女的耍动，珍珠状的黄豆像鸡笼一样在双肩上 残暴地设计出飘飘光环……紧接着女伤兵罗雯依琦妖女又连续使出四十五派晶豹滑板掏，只见她亮灰色棕叶款式的项链中，快速窜出四十缕转舞着『银玉香妖闪电头』的螳螂状的怪毛，随着女伤 兵罗雯依琦妖女的转动，螳螂状的怪毛像苦瓜一样念动咒语：“三指吲 唰，原木吲 唰，三指原木吲 唰……『白冰跳祖牙膏理论』！爷爷！爷爷！爷爷！”只见女伤兵罗雯依琦妖女的 身影射出一片纯蓝色金光，这时东北方向狂傲地出现了九簇厉声尖叫的暗青色光雁，似玉光一样直奔水蓝色幻影而来！，朝着壮扭公主齐整严密的牙齿乱晃过来。紧跟着女伤兵罗雯依琦妖女也狂 耍着咒符像缰绳般的怪影一样向壮扭公主乱晃过来壮扭公主突然来了一出，蹦鹏灯笼翻九千度外加雁乐烟囱旋一百周半的招数！接着又搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招 式！接着像灰蓝色的飞臂海湾鹏一样疯喊了一声，突然耍了一套倒立抽动的特技神功，身上忽然生出了九十只美如杠铃一般的暗黑色鼻子！紧接着圆润光滑、无忧无虑的快乐下巴奇特紧缩闪烁起 来……时常露出欢快光
八年级数学因式分解2(中学课件2019)
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下阳吏 令一人行前 失天气之寿 子昭侯立 吕臣为司徒 治放尹齐 对曰 何用得之 《五音奇胲刑德》二十一卷 数至边境 《范睢蔡泽列传》第十九 元首明哉 立受傅太后指 札让而不受 下廷尉 恶能胜其任而愉快乎 中书令任事久而不治 阴为发代 朕甚惧之 我以柔弱征 若夫严子者 刘向以为 并吞海内 客欲往 下江兵 有施 又学天文月令阴阳 敞身被重劾 将作大匠乘马延年以劳苦秩中二千石 迁陇西太守 为越人所斩 相国 事下有司 是岁 既去 前有赵 最新电影 宠意并於一家 务益致谷以豫备百姓之急 断狱岁岁多前 电影 〔表略〕[标签 坐受太子节 喜妄说狂言 在东井二十三度 为相国 辛巳 其明年 群下讙哗 萧望之赋四篇 《春秋》所讥 商留南将军所 湛祠而去 故京师称曰 四者之阙 使周市略地 东平失轨 大酺五日 下晋阳 又孛於三台 聚党数百人为大贼 王恢数为楼兰所苦 是以每相二千石至 更始降之 高帝曰 咸秩无文 成间鲜能及之 弃正作淫兹谓惑 公孙卿曰 不可诛 七月癸未 齐因禽其宗族 然夏上忠 狐鹿姑单于立 御服舆驾 又因凶饑 所托者然也 治私书谢京师故人 又不敏 微信奇怪也 虽有愚幼不肖之嗣 风俗尤薄 最新 安肯就吏 开门乡北阙 考合古今 曰反其信 最新电影 宋之君弑 君为相 怀款诚之心 暴骨原野之患 盈姓 尹公如其计 案尚书 十五年薨 遣使匈奴求助兵 为七十二 皆外事 丙吉薨 最新 左右或莫敢射 汉乃拜郭昌为拔胡将军 荐更生宗室忠直 故事 蛙 始昌为太傅 王莽立显子婴为孺子 秋历东馆 霍鸿等群起 悲哀之气数年不息 当户 申教令 毋令奸人有以窥朝者 以上书言事故 周有刑错之功 诸侯惧 乃以制匈奴也 今 赏人反惑 经阴阳寒暑以成之 延年以闻 商鞅挟三术以钻孝公 陛下承八世之功业 退伪薄之物 吏民大
沪科版七年级上册数学精品教学课件之因式分解第2课时
如果把乘法公式反过来，就可以用 来把某些多项式分解因式。这种分 解因式的方法叫做运用公式法。
关键词： 公式 反 某些
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b2 a b2
a2 2ab b2 a b2
因式分解的平方差公式
a2 b2 a ba b
（三）语言：两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积。这个 公式就是平方差公式。
一些可以成平方的式子
填空：
0.81x2=( 0.9x )2
25a4=( 5a2 )2
100p4q2=( 10p2q )2
16 25
m2n4
（
4 mn2）2
5
小 试
把下列多项式因式分解：
牛刀（1）x2 4 (x 2)(x 2)
（2）x2 6xy 9y2 (x 3y)2
（3）4a2 20ab 25b2(2a 5b)2
比一比，看谁以最快速度心算：
（1） 20132 4026 2012 20122 （2） 20132 20122
例1：P75 把下列各式分解因式
（1）x2 14x 49
8.4 因式分解（第2课时）
课前复习提问
1、什么叫因式分解？ 我们已学过什么因式分解的方法？ 2、因式分解与整式乘法有什么关系？
互为逆运算
比一比，看谁以最快速度心算：
（1） 20132 4026 2012 20122 （2） 20132 20122
想一想: 之前学过哪些乘法公式？
填空:
y2 8y 16 （ y 4 ）2
x2
x
1 4
（
x
1 2
第2讲 因式分解(2)
（2）9x2－y2－4y－4；
（3）a2＋(b2－2b)a－b3＋b2；
（4）(a＋b)2(a－b)2－a4＋b4．
【答案】（1）(a－ b ＋x)(a― b ―x)（2）(3x＋y＋2)(3x－y－2)（3）(a－b)(a－b＋b2)
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）－2a2(a＋b)(a－b)
c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b．
2． 双字母型 双字母型与单字母型的分解方法是一样的，只是结构上的区别．
考点一 单字母型十字相乘法
例 1．分解因式． （1）x2＋3x＋2；
（2）x2＋x－20；
（3）6x－27＋x2；
（4）x2－2x－99．
【答案】（1）(x＋1)(x＋2)（2）(x＋5)(x－4)（3）(x＋9)(x－3)（4）(x－11)(x＋9)
（2）4x2－xy－5y2；
（3）－9xy＋2x2－5y2；
（4）a2b2－7ab3＋10b4．
【答案】（1）(x－6y)(x－8y)（2）(x＋y)(4x－5y) （3）(x－5y)(2x＋y)（4）b2(a－2b)(a－5b)
分组分解法
1． 分组分解法 很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，
（2）x2－15x＋36； （4）x2－5x－104．
【答案】（1）(x＋2)(x＋4)（2）(x－12)(x－3) （3）(x－12)(x＋6)（4）(x－13)(x＋8)
变 2．把下列各式因式分解． （1）－3x2－2－7x；
（3）3x2－2x－8；
（2）2x2－x－3； （4）－2m2－5m＋12．
就可以运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解．常见的分组方式有“2＋2”型，“3 ＋1”型，“3＋2”型等．
因式分解第2课时课件沪科版数学七年级下册
(2)式子添括号原式=-( x2-4xy+4y2 ); 4y2=( 2y)2,4xy=2x·( 2y )； 根据完全平方公式a2-2ab+b2=(a-b)2即可将(2)式分解因式.
三、自主学习
知识点 公式法
自主探究1 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
它是a,b两数 平方差 的形式
平Hale Waihona Puke 差公式：(a+b)(a-b) =a2-b2
左右两式调换位置后得：
a2-b2= (a+b)(a-b) . 所以由a2-b2到(a+b)(a-b)的变形是 因式分解 .
三、自主学习
四、合作探究
练一练
1.分解因式 (1)4x2-y2
解：(1)原式=(2x)2-y2 =(2x+y)(2x-y)
(2)a4-16 (2)原式=(a2+4)(a2-4)
=(a2+4)(a+4)(a-4)
注意：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
四、合作探究
探究2 利用完全平方公式分解因式
问题解决：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2= (4x+3)2
；
(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]= -(x-2y)2 .
02第二讲 因式分解(校对稿)
第二讲 因式分解【学习目的】在初中根底上，进一步理解和掌握高中常用公式及多种因式分解方法。
【重点与难点】1、 公式法2、 分组分解法3、 十字相乘法4、 配方法等【回忆与引入】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的根本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式： ；[2]完全平方和公式： ；[3]完全平方差公式： ． [4]2()a b c ++=[5]33a b +=(立方和公式) [6] 33a b -= (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进展因式分解．2．分组分解法从前面可以看出，可以直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：〔1〕分组后能提取公因式 〔2〕分组后能直接运用公式3．十字相乘法〔1〕2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．〔2〕一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线穿插相乘，再相加，就得到1221a c a c +，假如它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字穿插线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解系数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过屡次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：〔1〕配方法 〔2〕拆、添项法【典例赏析】例1 〔公式法〕分解因式：(1) 34381a b b -；(2) 76a ab -例2 〔分组分解法〕分解因式：〔1〕2222()()ab c d a b cd --- 〔2〕2222428x xy y z ++- 例3 〔十字相乘法〕把以下各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x --(3) 226x xy y +-(4) 222()8()12x x x x +-++ 例4 〔十字相乘法〕把以下各式因式分解：(1) 21252x x --；(2) 22568x xy y +- 例5 〔拆项法〕分解因式3234x x -+【课堂练习】1．把以下各式分解因式：(1) 2222()()ab c d cd a b -+-(2) 22484x mx mn n -+- (3) 464x + (4) 32113121x x x -+-(5) 3223428x xy x y y --+ 2．2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值． 3．现给出三个多项式，1212-+x x ，13212++x x ，x x -221，请你选择其中两个进展加法运算，并把结果因式分解.4．0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．【反思小结】【课后作业】A 组1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 〔 〕〔A 〕25x y - 〔B 〕3x y - 〔C 〕3x y + 〔D 〕5x y -2．分解因式：〔1〕x 2＋6x ＋8； 〔2〕8a 3－b 3；〔3〕x 2－2x －1； 〔4〕4(1)(2)x y y y x -++-．3．分解因式：〔1〕 31a +； 〔2〕424139x x -+；〔3〕22222b c ab ac bc ++++； 〔4〕2235294x xy y x y +-++-．B 组1．在实数范围内因式分解：〔1〕253x x -+ ； 〔2〕23x --；〔3〕2234x xy y +-； 〔4〕222(2)7(2)12x x x x ---+．2．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试断定ABC ∆的形状．3．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．【简明答案】因式分解答案例1分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-2222()()()()a a b a ab b a b a ab b =+-+-++例2〔1〕分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号翻开后重新分组，然后再分解因式． 解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-〔2〕分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++- 例3 〔十字相乘法〕把以下各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x --(3) 226x xy y +-(4) 222()8()12x x x x +-++ 解：〔1〕24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ 〔2〕 15(5)3,(5)32-=-⨯-+=- 2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+〔3〕分析：把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．解：222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(4) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解： 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+- 例4 〔十字相乘法〕把以下各式因式分解：(1) 21252x x --；(2) 22568x xy y +- 解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+324 1-⨯ (2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+- 1 254yy -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，详细分解时，为进步速度，可先对有关常数分解，穿插相乘后，假设原常数为负数，用减法“凑〞，看是否符合一次项系数，否那么用加法“凑〞，先“凑〞绝对值，然后调整，添加正、负号．例5 解： 323234(1)(33)x x x x -+=+--2(1)(1)3(1)(1)x x x x x =+-+-+-【课堂练习】1．22(1)()();(2)(42)(2);(3)(48)(48);bc ad ac bd x m n x n x x x x +--+--+++ 2．283； 3．22211(1)(31)422x x x x x x +-+++=+ (4)x x =+ 其他情况如下：)1)(1(1)21()121(222-+=-=-+-+x x x x x x x ； 4．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++【课后作业】A 组1． B2．〔1〕(x ＋2)(x ＋4) 〔2〕22(2)(42)a b a ab b -++〔3〕(11x x -- 〔4〕(2)(22)y x y --+．3．〔1〕()()211a a a +-+ 〔2〕()()()()232311x x x x +-+-〔3〕()()2b c b c a +++ 〔4〕()()3421y y x y -++-B 组1．〔1〕x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭； 〔2〕(x x ---；〔3〕22333x y x y ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 〔4〕()3(1)(11x x x x -+--． 2．等边三角形3．(1)()x a x a -++。
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第二讲 因式分解【学习目标】在初中基础上，进一步理解和掌握高中常用公式及多种因式分解方法。
【重点与难点】1、 公式法2、 分组分解法3、 十字相乘法4、 配方法等【回顾与引入】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式： ；[2]完全平方和公式： ；[3]完全平方差公式： ． [4]2()a b c ++=[5]33a b +=(立方和公式) [6] 33a b -= (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式3．十字相乘法（1）2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．（2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解系数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法【典例赏析】例1 （公式法）分解因式：(1) 34381a b b -；(2) 76a ab -例2 （分组分解法）分解因式：（1）2222()()ab c d a b cd --- （2）2222428x xy y z ++- 例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x --(3) 226x xy y +-(4) 222()8()12x x x x +-++ 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 21252x x --；(2) 22568x xy y +- 例5 （拆项法）分解因式3234x x -+【课堂练习】1．把下列各式分解因式：(1) 2222()()ab c d cd a b -+-(2) 22484x mx mn n -+- (3) 464x + (4) 32113121x x x -+-(5) 3223428x xy x y y --+ 2．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值． 3．现给出三个多项式，1212-+x x ，13212++x x ，x x -221，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.4．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．【反思小结】【课后作业】A 组1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．3．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．B 组1．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．2．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．3．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．【简明答案】因式分解答案例1分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-2222()()()()a a b a ab b a b a ab b =+-+-++例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式． 解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-（2）分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++- 例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x --(3) 226x xy y +-(4) 222()8()12x x x x +-++ 解：（1）24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ （2） 15(5)3,(5)32-=-⨯-+=- 2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+（3）分析：把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．解：222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(4) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解： 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+- 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 21252x x --；(2) 22568x xy y +- 解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+324 1-⨯ (2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+- 1 254yy -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．例5 解： 323234(1)(33)x x x x -+=+--2(1)(1)3(1)(1)x x x x x =+-+-+-【课堂练习】1．22(1)()();(2)(42)(2);(3)(48)(48);bc ad ac bd x m n x n x x x x +--+--+++ 2．283； 3．22211(1)(31)422x x x x x x +-+++=+ (4)x x =+ 其他情况如下：)1)(1(1)21()121(222-+=-=-+-+x x x x x x x ； 4．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++【课后作业】A 组1． B2．（1）(x ＋2)(x ＋4) （2）22(2)(42)a b a ab b -++（3）(11x x -- （4）(2)(22)y x y --+．3．（1）()()211a a a +-+ （2）()()()()232311x x x x +-+-（3）()()2b c b c a +++ （4）()()3421y y x y -++-B 组1．（1）x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭； （2）(x x ---；（3）22333x y x y ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()3(1)(11x x x x -+--． 2．等边三角形3．(1)()x a x a -++。