滁州学院2013-2014学年度第2学期高等数学期末考试试卷及参考答案

分钟）

）。 5、级数

11

1(1)n n n ∞

-=-∑的收敛情况为（ C ）。 （A ）绝对收敛 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）无法判别

二、填空题（每小题3分，共15分）

6、过点(0,1,1)-且与直线1:

123x y z L -==平行的直线方程为11

123

x y z +-==

。 7、yOz 平面上的抛物线2

z y =绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为2

2

z x y =+。

8、函数(,,)u x y z xy yz zx =++在点(1,0,1)-处的全微分为dx dz -+。 9、设2

2xy

x e

+=可确立一个一元函数()y y x =, 则

d (1,0)

d y

x =2-。

10、()x

f x e =展开成麦克劳林级数的表达式为0, !

n

n x x R n ∞

=∈∑。

三、计算题（每小题6分，共30分）

11、已知2

2

,,z u v uv u x y v xy =+=+=，求

,z z

x y

∂∂∂∂。 解：

22(2)1(2)z z u z v uv v u uv y x u x v x

∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅++⋅∂∂∂∂∂ 2222()[()2()]x y xy x y x y xy x y y =++++++；…………………………（3分）

由,x y 的对称性可得：

2222()[()2()]z

x y xy x y x y xy x y x y

∂=++++++∂。……（6分） 12、计算二重积分

d D

xy σ⎰⎰，其中积分区域{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤。

解：

1

1 0

d D

xy dx xydy σ=⎰⎰⎰⎰……………………………………………………………（3分）

专业： 年级/班级： 姓名： 学号：

1

1

0 0111

224

xdx ydy =⋅=⋅=⎰⎰。…………………………………………（6分） 13

、利用极坐标求D

σ，其中积分区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤。

解：

2 2

1

D

d d π

σθρρρ=⋅⎰

⎰………………………………………………（3分）

143

π

=

。………………………………………………………………………………（6分） 14、计算22

L

x y s +⎰

（）d ，其中L 为圆周222

2x y +=。

解：2

2

22L L

x y s s +=

⎰

⎰

（）d d ……………………………………………………（3分）

22228ππ=⋅⋅=。……………………………………………（6分）

15、计算曲面积分

d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++⎰⎰，其中∑是界于0, z =3z =之间的圆柱

体2

2

1x y +≤的整个表面的外侧。 解：设,,,P x Q y R z ===且

1P Q R x y z

∂∂∂===∂∂∂。………………………………（3分） ,,P Q R 在整个Oxyz 空间内有连续偏导，由高斯公式可得

d d 3339x y z ydzdx zdxdy dxdydz ππ∑

Ω

++==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰。………………………（6分）

四、解答题（每小题8分，共40分）

16、设2

(,,)u f x y z xyz ==，求出f 在点(1,2,1)处沿什么方向具有最大的增长率，最大 增长率是多少？

解：2

2

,,2x y z u yz u xz u xyz ===，(1,2,1)(,,)

(2,1,4)(1,2,1)

grad x y z f u u u ==。

即f 在点(1,2,1)处沿(2,1,4)方向具有最大的增长率。………………………………（5分）

最大的增长率为(1,2,1)grad f =

=。……………………………（8分）

17、求旋转抛物面22

z x y =+在(1,1,2)处的切平面和法线方程。 解：

22,2,(1,1)2(1,1)

z z

x x x y ∂∂====∂∂得切平面的法向量(2,2,1)n =-。……（4分）

切平面方程: 2(1)2(1)(2)0x y z -+---=；法线方程：112

221

x y z ---==

-。（8分）

18、求表面积为2

(0) a a >体积为最大的长方体的体积。

解：设长方体三边长为,,x y z 。设2

(,,,)(222)L x y z xyz xy yz zx a λλ=+++-。（3分）

对L 关于,,,x y z λ

求偏导并使之为零，解得：x y z ===

。………………（6分） 这是唯一的可能极值点。因为该问题的最大值一定存在，所以最大值即在这个可能的极

3a =。………………（8分） 19、计算积分

22()(sin )L

x y dx x y dy --+⎰

，其中L

为圆周y =(1,0)A -到

(1,0)B 的一段弧。

解：令2

2

,(sin )P x y Q x y =-=-+，

1P Q

y x

∂∂=-=∂∂，注意到,P Q 在整个xOy 平面内有连续偏导，则该曲线积分与路径无关。……………………………………………（4分） 令l 为从(1,0)A -到(1,0)B 的直线段，则积分

22222

22

()(sin )()(sin )3

1

-1

d d d d d L

l

l

x y x x y y x y x x y y x x x dx --+=--+===

⎰

⎰⎰⎰。 ……………………………………………………………………………………………（8分）

20、求幂级数1

n

n x n ∞

=∑的收敛区间及在该区间内的和函数。