整数的可除性
1第一章 第一讲整数的可除性(闵嗣鹤)2011.02.10(1)
主要内容:1．1.整除的概念1．2.带余数除法1．3.最大公因数的理论与性质1．4.最小公倍数的理论与性质1．5.辗转相除法1．6.素数与合数1．7.算术基本定理1．8.高斯函数[x]与{x}及其应用1.1.1 整除的定义与性质1.整除的定义定义设a，b∈Z，b≠ 0，若存在整数c，使得a = bc成立，则称a被b整除（或b整除a），并称a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），记为b∣a；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不能被b整除，记为b|/a。
在整除的定义中应特别注意：（1）0不整除任何整数（即0不能作除数），但任何非零数整除0；在记号“b∣a”中蕴含着b≠ 0成立。
（2）显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数（平凡因子），a的除±1，±a外的约数称为非平凡约数（或真因数）。
（3）能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。
若整数a ≠0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
2.整除的性质定理1.1.1 设,,a b c ,m,n 是整数,下面的结论成立：(ⅰ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c （整除的传递性）；(ⅱ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ，即a ∣b ⇔ |a |∣|b |;m ∣a , n ∣b ⇒ mn ∣ab ；(ⅲ) 若b ∣a ，且b ∣c ⇒ b ∣(ka+lc)（其中k , l 是任意的整数）；一般地，若m ∣a i ，i = 1, 2, , n ⇒ m ∣（q 1a 1 + q 2a 2 + + q n a n ）， 此处q i （i = 1, 2, , n ）是任意的整数；(ⅳ) b ∣a ⇔ bc ∣ac ，此处c 是任意非零的整数；(ⅴ) 若b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；若b ∣a ，且|a | < |b | ⇒ a = 0；若b ∣a ，且a ∣b ，a >0, b>0, 则a =b.证明 (ⅰ)由整除定义及|a b ，|,b c 知: 存在两个整数12,k k 使得:12,b ak c bk ==, 因此12()c k k a =, 由于12k k 是整数, 故 |a c .(ⅱ) — (ⅳ)的结论类似可证. 证毕.注 为了证明“|b a ”，最为基本的手法是将a 分解为b 与某个整数之积，即a bc =，其中c 是整数.这样的分解, 常常通过某些代数式的分解因式公式中取特殊值而产生. 如：（Ⅰ）若n 是正整数，则1221()();n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++（Ⅱ）若n 是正奇数，则在上式中以（b -）代换b 得:1221()().n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+例1 证明十进制整数5001001个能被十进制整数1001整除.证明 由分解因式公式(Ⅱ),有500513171*********=+=+个（）33163153101[(10)10101],=+-+-+（）（）所以, 31011001+=能整除5001001个.证毕想一想:此题目能变形推广吗?推广后的一般形式是什么?例2 若n 是正奇数，则8∣（n 2 - 1）.证明 设n = 2k + 1，()k Z ∈，则 n 2 - 1= (2k + 1)2 - 1 = 4k (k + 1).由于k 和k + 1中必有一个是偶数，所以8∣（n 2 - 1）. 证毕注 由此得到一个重要且常用的结论：“任何奇数的平方与1的差都能被8整除”.诸如此类的还有，“任何整数的平方被4除的余数为0或1，被3除的余数为0或1; 任何整数的立方被9除的余数为 0，1或8”等，解题后可及时总结归纳, 并灵活运用这些性质.例3 设n 是奇数，则16∣(n 4 + 4n 2 + 11).解 因为 n 4 + 4n 2 + 11 = (n 2 - 1)(n 2 + 5) + 16.由于n 是奇数,有8∣(n 2 - 1)，且2∣(n 2 + 5),故16∣(n 2 - 1)(n 2 + 5).从而16∣(n 2 - 1)(n 2 + 5)+16,即16∣(n 4 + 4n 2 + 11).例4 设,m n 为正整数，且0m n >≥, 证明: 22(21)|(21)n m +-. 证明 由于0m n >≥, 故10m n --≥. 于是:112222(2)m n m n +--=在公式(Ⅰ)中，令 122n a +=, 1b =，则:11111111221222222222(2)(2111[(2)(1)2)2]n m n n m n m m n n n n +--+--+++------++=+=+-所以 122(21)|(21),n m +-- 又 1222(221(21),1)n n n ++-=-因此 122(21)|(21).n n ++-由定理1.1.1中 (ⅰ),即整除的传递性知：22(21)|(2).1n m+- 证毕． 注1 在此例中，直接证明“22(21)|(21)n m +-”不易入手，因此尝试选择适当的“中间量（1221n +-）”，使之满足定理1.1.1中 (ⅰ)的条件，再利用整除的传递性导出所要的结论.注2 在此例中，形如“221n n F =+()n N ∈”的数称为费马数.当0m n >≥时, 费马数满足: |(2)n m F F -，即存在整数t ，使得2m n F t F -=⋅.例5 设正整数n 的十进制表示为: 10(09,0,0)k i k n a a a a i k a =≤≤≤≤≠，且110()k k S n a a a a -=++++，证明：9|n 的充要条件是9|()S n .证明：由于101010k k n a a a =⨯++⨯+,110()k k S n a a a a -=++++，1()(101)(101)(101)k i k i n S n a a a ∴-=-+-++-, 对于所有的0,i k ≤≤ 有9|(101),i -由整除的性质知上式右端k 个加项中每一项都是9的倍数，由定理1.1.1之(ⅲ)知它们的和也被9整除，即9|(()),n S n - 从而 9|9|()n S n ⇔. 证毕.注 两个十进制正整数,其中一个被另一个正整数整除的条件，称为“整除的数字特征”.例5得出十进制正整数n 被9整除的数字特征是:“9整除n 的各位数字之和”.下面例题6得出十进制正整数n 被11整除的数字特征是:“11整除n 的各位数字的正负交错之和”.例6 设正整数n 的十进制表示为10(09,0)k i k n a a a a a =≤≤≠，n 的个位为起始数字的正负交错和 01()(1)k k T n a a a =-++-，证明：“11|n ”的充分必要条件是“11|()T n ”.证明 由于 101010k k n a a a =⨯++⨯+, 01()(1)k k T n a a a =-++-，1()(10(1))(10(1))(101)k k i i k i n T n a a a ∴-=--++--+++ 当i 为偶数时， 10(1)9999i i --= ，其中有偶数个9，显然它是11的倍数；当i 为奇数时，10(1)101(101)11()i i i s s s z --=+=+=∈， 它也是11的倍数,故总有11|(10(1)),(0).i i i k --≤≤ 即11|(())n T n -成立. 从而11|11|().n T n ⇔习题1.11．设n 是整数，则3|(1)(21)n n n ++. 2. 设正整数n 的十进制表示为10(09,0,0)k i k n a a a a i k a =≤≤≤≤≠，n 的个位为起始数字的正、负交错的和 01()(1)k k T n a a a =-++-，证明：“11|n ”的充分必要条件是“11|()T n ”.3. 若10个男孩和n 个女孩共买了282n n ++本书, 已知他们每人买的书本数量相同, 且女孩人数多于男孩人数, 问女孩人数是多少?4．证明一个整数a 若不能被2整除，也不能被3整除, 则223a +必能被24整除.5. 已知整数,,,m n p q 适合: (m - p ) ∣(mn + pq )，证明:(m - p )∣(mq + np ).对任意两个整数,(0)a b b ≠，a 未必能被b 整除. 为了能在整数范围内研究除法，引入整数的除法算法——带余数除法，它是初等数论证明中最重要、最基本、最常用的工具. 本节中，我们将介绍带余数除法及其简单应用. 我们约定, 以Z 表示所有整数的集合，N 表示所有正整数的集合. 除特别声明外，在涉及到带余数除法时总假定除数是正整数.1. 带余数除法定理1.2.1 (带余数除法) 设a 与b 是两个整数，b>0，则存在惟一的一对整数q 和r ，使得:a = bq + r ，0 ≤ r <b . (2)若a = bq + r (0 ≤ r < b ), 则|b a 的充分必要条件是0r =.证明: 存在性作整数序列: ,3,2,,0,,2,3,b b b b b b ---则a 必在上述序列的某两项之间,即存在一个整数q ,使得(1)qb a q b ≤<+成立. 令a qb r -=,则,a qb r =+而0.r b ≤<1.1.2 带余数除法惟一性 假设11,q r 是满足(2) 的两个整数，即 111(0),a bq r r b =+≤< 则 11a bq r bq r =+=+于是 1111()||||b q q r r b q q r r -=-⇒-=-(3)由上式推出: 1||b r r -,由于 110,0||r r b r r b <<⇒≤-<因此必有1||0r r -=,即1r r =，代入式(3)得 1q q =，惟一性得证.若a bq r =+(0)r b ≤<，则 ||,b a b r ⇔ 又 0r b ≤<, 则 |0.b r r ⇔=故|0.b a r ⇔= 证毕 注:这个结论揭示了整除与带余数除法之间的联系,说明了整除问题可以化归为带余数除法问题来解决.定义：在式a = bq + r （0 ≤ r < b ）中，q 称为a 被b 除的不完全商，r 称为a 被b 除的余数, 也称为最小非负剩余.带余数除法是一个重要的工具，数论的许多基本性质都是建立在带余数除法基础之上的.例1 当 15,225b a ==时有 1701022515,175,;r q <===⨯+ 当 15,417b a ==时有 1241715,15,;2072712q r <<===⨯+ 当 15,81b a ==-时, 有 0(6)8115,15,9;96q r --<=+<=-=⨯且有 (6)8115,(5)5;60,q r =--<=⨯-=--+ 此处{0,1,2,,151}r ∉-，这时的余数r 不是最小非负剩余。
自考初等数论复习
初等数论初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程c by ax =+多元一次不定方程c x a x a x a n n =++Λ2211 勾股数 费尔马大定理。
习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质 剩余类和完全剩余系 欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用 习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。
第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念 孙子定理高次同余方程的解数和解法 素数模的同余方程 威尔逊定理。
习题要求60p ：1；64p ：1，2；69p ：1，2。
第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 二次互反律 雅可比符号、素数模同余方程的解法习题要求78p ：2； 81p ：1，2，3；85p ：1，2；89p ：2；93p ：1。
第六章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质 原根存在的条件 指标及n 次乘余 模2 及合数模指标组、 特征函数习题要求123p ：3。
➢ 第一章 整除 一、主要内容筛法、[x]和{x}的性质、n ！的标准分解式。
二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除 整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。
认真体会求二个数的最大公因数的求法的理论依据，掌握素数的定义以及证明素数有无穷多个的方法。
§1.1整除的概念及带余除法
第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的q，使得成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a称这四个数为a的平凡约数，a下面的结论成立：∣a⇔±b∣±a；(ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。
) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r <b (2) 成立且q 。
中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被例1 若1n >，且111n n -+ 求n222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什300”位于哪个字母的下面A B C D E F G1 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 1415 16 17 ……. 解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D 的下面例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为 ， 余数为 。
m N +∈某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余 ？三、整除的特征从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和1()1()2()()()(1)t kk k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和 1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。
数字的整除性质
数字的整除性质数字的整除性质是数学中一个非常重要且基础的概念。
在数学中，我们经常会遇到数字之间的整除关系，通过研究数字的整除性质，我们可以得到许多有用的结论和推论。
本文将探讨数字的整除性质，讨论其定义、性质以及应用。
一、定义在整数集合中，对于任意的整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就说a能被b整除，或者b是a的因数，记作b|a。
其中，a被称为被除数，b被称为除数，c被称为商。
如果a不能被b整除，我们就说a不能被b整除，记作b∤a。
二、性质1. 对于任意的整数a，a|a。
这个性质非常显然，任何一个整数都能整除它自身。
2. 对于任意的整数a，1|a。
同样地，因为1乘以任何一个整数都等于这个整数本身，所以1能整除任意一个整数。
3. 对于任意的整数a，a|0。
这个性质是因为任何一个整数乘以0都等于0，所以任意一个整数都能整除0。
4. 如果a|b且b|c，则a|c。
这个性质表明，如果一个整数能同时整除另外两个整数，那么它也能整除它们的和。
5. 如果a|b且a|c，则a|(bx + cy)，其中x和y是任意整数。
这个性质表示了如果一个整数能整除其他两个整数，那么它也能整除它们的线性组合。
三、应用1. 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是关于整除性质的两个重要概念。
最大公约数指的是两个或多个整数中能够整除它们的最大的正整数，用gcd(a, b)表示。
最小公倍数指的是两个或多个整数中能够被它们整除的最小的正整数，用lcm(a, b)表示。
通过研究数字的整除性质，我们可以发现最大公约数和最小公倍数的计算方法，这对于解决实际问题非常有用。
2. 整数的因式分解通过对一个整数进行因式分解，我们可以将这个整数表示为若干个素数的乘积形式。
因式分解是数学中一个重要的内容，它不仅能够帮助我们理解整数的结构，还能够在解决一些数学问题时提供便利。
3. 同余定理同余定理是整除性质的一个重要应用，它在数论中有广泛的应用。
数的整除性质与应用
数的整除性质与应用数的整除性质是数学中的重要概念之一，它描述了一个数能够整除另一个数的性质。
在日常生活和数学应用中，我们经常用到数的整除性质来解决问题。
本文将对数的整除性质进行详细介绍，并探讨它在实际应用中的作用。
一、整数的除法定义与整除性质在数学中，我们将一个整数a除以另一个非零的整数b，如果能够得到一个整数q，使得a = bq，我们就称a能够被b整除，或者说b能够整除a，记作b|a。
整除性质主要包括以下几个方面：1. 传递性: 如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a也能够被c整除。
2. 常数倍数性质: 如果a能够被b整除，那么对于任意非零常数k，ka也能够被kb整除。
3. 相等性: 一个数能够被自身整除，即对于任意非零整数a，a能够被a整除。
4. 整除的基本性质: 如果a能够被b整除，那么a的所有倍数也能够被b整除。
二、整除的应用数的整除性质在实际应用中起着重要的作用，以下是一些常见的应用场景：1. 分数化简在分数的运算中，我们经常需要对分数进行化简。
利用整除性质可以帮助我们快速找到最大公约数，从而将分数化简为最简形式。
例如，对于分数12/18，我们可以通过求12和18的最大公约数来进行化简。
由于18能够整除12，所以12/18可化简为2/3。
2. 整数的因数与倍数在数的因数和倍数问题中，整除性质是一个重要的工具。
我们可以利用整除性质判断一个数是否是另一个数的因数，或者判断两个数是否互为倍数。
例如，判断一个数是否是另一个数的因数时，我们只需要通过整除性质将这两个数相除，如果余数为0，则该数是另一个数的因数。
3. 素数与合数素数是指只有1和自身两个因数的数，而合数是指除了1和自身之外还有其他因数的数。
利用整除性质，我们可以判断一个数是否为素数。
例如，判断一个数n是否为素数时，我们只需要将n与2到√n之间的所有整数相除，如果都无法整除，则n为素数。
因为如果n能够被大于√n的数整除，那么一定能够被小于√n的数整除。
§2初等数论--整除
2019/11/16
阜阳师范学院 数科院
3
5. 100个正整数之和为101101，则它们的最大公约 数的最大可能值是多少?证明你的结论。
6. 证明T 1 1 1 1 (n 1)不是整数.
23
n
7. 求自然数n，使得28 211 2n是一个整数的平方。
2019/11/16
阜阳师范学院 数科院
19
定理2 在上面的表达式( * )中，有 (a,b) rn , (rn1 0).
证明：令 (a,b) d , 则 d a ,d b.
a bq1 r1 b r1q2 r2
由r1 a bq1 d r1 ; 由r2 b r1q2 d r2 ;
4
§1.1 整除的概念 带余数除法 一、整除的概念
定义1：设a,b是整数，b 0,如果存在整数q,使得 a bq成立，则称b整除a,或a能被b整除.记作：b a .
相关概念：因数、约数、倍数、奇数、偶数。 注：显然每个非零整数a都有约数 1，a，称这四个 数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。
rn2 rn1 qn (余rn )
b r1q2 r2 , 0 r2 r1 (*)
rn2 rn1qn rn , 0 rn rn1
rn1 rn qn1 ,(rn1 0) rn1 rnqn1 rn1 , rn1 0.
2019/11/16
阜阳师范学院 数科院
18
二、辗转相除法
定义：设有整数 a,b(b 0)，在a b 的带余数除法中， 每次用余数去除除数，直到余数为0停止，这种运算 方法称为辗转相除法。即有
a b q1 (余r1 )
连加号 整数的整除性理论 数学归纳法
首页
上页
下页
返回
结束
22
设a 0, b是a的因数, 如果b a, b 1, 则称 b是a的真因子.
定义 设a是大于1的整数, 如果除去1和本身外, a没有其它因子(即a没有真因子), 则称a为素数(或质 数), 否则a叫做合数.
由定义可知, 如果素数 p表示成 p a b, 则必有 a 1, b p或a p, b 1.
设a, b是两个整数. 如果整数d 适合 : d | a, d | b, 则 称d 是a, b的一个公因子(公因数).
定义 设d 是a, b的一个公因子, 如果a, b的任一公 因子都是d的因子, 则称d 是a, b的一个最大公因子(最 大公因数).
最大公因子可描述为:
d 是a, b的最大公因子 (1) d | a, d | b; (2) 若h | a, h | b, 则h | d .
首页 上页 下页 返回 结束
18
辗转相除法
设a, b是任意两个正整数, 反复运用带余除法: a q1b r1 , 0 r1 b,
b q2 r1 r2 , r1 q3 r2 r3 ,
rk 2 qk rk 1 rk ,
0 r2 r1 , 0 r3 r2 ,
第一型数学归纳法原理 设有一个与自然数n 有关的命题, 如果 : 1 当n 1时命题成立; 2 假设n k时命题成立, 则n k 1时命题也 成立, 那么这个命题对于一切自然数n都成立.
首页 上页 下页 返回 结束
6
注：
1) 数学归纳法就是一种用“有限”解决“无限” 的数学思维方法,它是一种既重要又很有用的数学证 明方法. 2) 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不 可的,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据.第 一步说明n从何数起,命题成立,起奠基作用,如果只有 步骤二而没有步骤一,就有可能得出不正确的结论.
第一节整除的概念
第一章整数的可除性第一节整除的概念带余数除法1．m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( )D.m+n=0A.m－n=3B.m+2n=5C.2m+n=122．若a,b,c均为整数，且a+b被c整除，则下列一定成立的是( ) A.c|a B.c|bC.c|a－bD.c|a2－b23．已知a=－81,b=16,a被b除的带余除法表达式为a=bq+r，则( )A.q=－6 r=15B.q=－5 r=－1C.q=－4 r=－17D.q=－7 r=314．若2|4a-6b+c，则以下一定成立的是( ) A.2|a B.2|2a-3b C.2|2a+3cD.2|b37284961a能被2整除，同时又能被3整除，则a为( ) A.8 5．九位数B.3C.4D.66．若a|M,b|M，则一定有（B）A．ab|M B．[a,b]|M C．[a,b](a,b)|MD．(a+b)|M7．若n=3k+1,则n被6除的带余除法表达式是（）A．6l+1或6l+4 B．6l+5或6l+4 C．6l+2或6l+4 D．6l+3或6l+58．既能被3整除，又能被8整除的数是（）A．24572 B．48576 C．96558 D．125869．能由21和56的倍数之和表示的最小自然数是（）A．7 B．3 C．21D．2810．存在整数n，使得n2的个位数是（）A．3 B．6 C．7 D．811．下列数中能被7整除的是( )。
A. 88888 B. 888888 C. 888 D. 888812．m,n为整数，下列式子一定不成立的是（）A.4m-1=4n+1B.2m+1=4n+3C.2m+3=4n-1D.2m=4n13．若2|8a-4b+3c ，则下列不一定成立的是（ ）A.2|3a+2c B.2|2a+cC.2|3c-2bD.2|6a-2b+c14．若b|a,c|b,则一定有（ ）A.a|c B.a|b C.b|a+cD.c|a+b15.已知a 3689218既能被3整除，又能被5整除，则a 的值是（ ）A.0 B.2C.5D.616.任意10个连续整数中，能被3整除的至多有 个。
数字的整除性与分析
数字的整除性与分析我们生活在一个数字的世界里，数字无处不在，它们贯穿着我们的日常生活。
在数学领域中，我们早已熟悉了数字的运算规则和性质。
其中一个重要的性质就是整除性，即一个数能够被另一个数整除。
本文将深入探讨数字的整除性及其分析。
一、整除性的定义和性质在数学中，如果一个整数 a 能够被另一个整数 b 整除，我们称 a 是b 的倍数，b 是 a 的约数。
符号“a | b”表示 a 可以整除 b。
例如，2 | 6，表示 2 可以整除 6。
在整除性中有一些重要的性质：1. 对于任意的整数 a，a 可以整除 0，即 a | 0。
2. 任何整数 a 都可以整除它本身，即 a | a。
3. 一个数 a 能够整除另一个数 b，同时 b 能够整除另一个数 c，则 a 能够整除 c，即如果 a | b 且 b | c，则 a | c。
4. 一个数 a 能够整除另一个数 b，同时 a 能够整除另一个数 c，则 a 能够整除 b 和 c 的线性组合，即如果 a | b 且 a | c，则对于任意的整数m、n，都有 a | (mb + nc)。
二、整除性的应用1. 素数判断：一个大于 1 的整数如果除了 1 和它本身之外没有其他约数，那么它就是素数。
通过判断某一个数是否能够被小于它的数整除，可以快速判断该数是否是素数。
例如，为了判断一个数 23 是否是素数，我们只需要验证 23 能否被小于 23 的素数整除。
2. 最大公约数与最小公倍数：对于两个整数 a 和 b，它们的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称 GCD）表示能够同时整除 a 和 b 的最大正整数；最小公倍数（Least Common Multiple，简称 LCM）表示同时是 a 和 b 的倍数的最小正整数。
通过整除性的概念，我们可以快速求解两个数的最大公约数和最小公倍数，进而解决应用问题。
3. 整除关系的推导：通过整除性及其性质，我们可以进行一系列整除关系的推导。
初等数论：数的整除性
此时 2b-1=
k
0，3 ，或
2
3k
，这都是不可能的，
所以
k
3
|
2b
1。
17
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 6. 写出不超过 100 的所有的素数。 解： 将不超过 100 的正整数排列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
若 n 2s，由上式知 n 22， 因为 n 2 > 2，这是不可能的，所以 n 2 | s。
10
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 2. 设 A = { d1, d2, , dk }是 n 的所有约数的集合，
则B
={dn1
,
n d2
,,
n dk
}也是
n
的所有约数的集合。
8
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
推论. 任何大于 1 的合数 a 必有一个不超过 a 的素约数。
证明：使用定理 2 中的记号，有 a = d1d2，
其中 d1 > 1 是最小的素约数，
所以
d2 1
a。证毕。
9
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 1. 设 r 是正奇数，证明：对任意的正整数 n，有
数字的整除性初步了解数字的整除性质
数字的整除性初步了解数字的整除性质数字的整除性是数学中一个基本的概念，它描述了一个数能否被另一个数整除的性质。
在我们日常生活和数学学科中，整数的整除性质被广泛应用，帮助我们解决各种问题和计算。
本文将初步探讨数字的整除性质，并介绍一些相关概念和规则。
一、整除性的定义与性质在数学中，我们说整数a能够被整数b整除，当且仅当存在另一个整数c，使得a = b ×c。
这里，我们可以把a称为被除数，b称为除数，c称为商。
例如，当a = 10，b = 2时，c = 5，因为10可以被2整除。
在整除性中，我们可以得到以下几点性质：1. 若一个整数a能够被整数b整除，那么a一定是b的倍数。
即a =b × c，c为整数。
例如，10能被2整除，因此10是2的倍数。
2. 若一个整数能够被其他整数整除，那它一定能被这个数的所有因数整除。
例如，30能被2整除，因为2是30的因数。
3. 若一个整数能够被某个整数整除，那它一定能被这个整数的倍数整除。
例如，10能被2整除，那它也能被2的倍数4整除。
二、整数的整除规则在我们的日常生活和数学学科中，数字的整除性质被广泛应用于各种计算和问题解决中。
掌握一些整除规则可以帮助我们更好地理解和应用整除性质。
1. 偶数的整除性：偶数能够被2整除，即偶数的因数中一定包含2。
例如，4能被2整除，所以4是一个偶数。
2. 十的整除性：一个数能够被10整除，当且仅当它的个位上是0。
例如，30能被10整除，因为个位上是0。
3. 末位数字的整除性：如果一个数的末位数字是偶数，那么它一定能被2整除。
如果一个数的末位数字是5或0，那么它一定能被5整除。
例如，25的末位是5，所以25能够被5整除。
4. 数字和的整除性：如果一个数各位上的数字之和能够被3整除，那么该数能够被3整除。
例如，15的各位数字之和是1+5=6，6能被3整除，所以15能够被3整除。
总结起来，数字的整除性是一个广泛应用的数学概念，在日常生活和学习中具有重要意义。
初等数论(闵嗣鹤版课件
第一节 整除的概念 带余数除法
如果不存在整数q使得a bq成立，则称a不被b整除， 记为b † a。
2、整除的基本定理
思考：逆命题是否成立？ 1、m|(a±b) →m|a,m|b 2、m|(a±b) ，m|a→m|b
定理2’ m | a, m | (a b) m | b
特例：m||a
1、a=81; 2、a=-81;
• 例2(1)一个数除以2,余数可能为
,
所有的整数按被2除所得的余数分类可分
为
.
• (2)一个数除以3,余数可能为
,所有
的整数按被3除所得的余数分类可分为
.
• (3) 一 个 数 除 以 正 整 数 b, 余 得的余
数分类可分为
.
带余数除法的应用举例
此时
a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3r
可以被3整除。
例3、设a 1为奇数，证明： 存在正整数d a 1,使得a 2d 1
证：考虑下面的a个数： 20, 21, , 2a1，显然a不整除2 j (0 j a)，
由带余除法，对每个2 j (0 j a)， 2 j q ja rj , (0 rj a)
数论第一章(1)整数的可除性
{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
或是
{30 30 / 1, 15 30 / 2, 10 30 / 3, 6 30 / 5, 5 30 / 6, 3 30 / 10, 2 30 / 15, 1 30 / 30}
例 8 整数 2, 3, 5, 7 都是素数；而整数 4, 6, 10, 15, 21 都是合数.
下面我们要证明每个合数必有素因子.
定理 6 设 n 是一个正合数， p 是 n 的一个大于 1 的最小正因数，则 p 一定是素数，且 p n.
证 反证法. 如果 p 不是素数，则存在整数 q ，1 q p, 使得 q | p . 但 p | n, 根据定理 1，我们有 q | n. 这与 p 是 n 的最小正因数矛盾. 所以， p 是素数.
例 1 30 215 310 56 . 我 们 有 2, 3, 5 分 别 整 除 30 ， 或 者 30 被 2, 3, 5 分 别 整 除 ， 记 作 2 | 30, 3 | 30, 5 | 30. 这时， 2, 3, 5 都是 30 的因数， 30 是 2, 3, 5 的倍数. 30 的所有因数是 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} ，
a bq r, 0 r b
（惟一性）如果分别有整数 q, r 和 q1, r1 满足（2），则
例 6 设 a, b, c 0 是三个整数， c | a, c | b. 如果存在整数 s,t, 使得 sa tb 1 ，则 c 1. 证 设 c | a, c | b, 因为存在整数 s,t, 使得 sa tb 1, 根据定理 3，我们有 c | sa tb 1
初等数论-第一章
取
则
x (1)31Q3 3,
y (1)3 P 22, 3
125 3+17（-22）=(125,17)=1
定理2、
若a, b, c是三个整数，且(a, c) 1，则
（i)ab, c与b, c有相同的公因数， （ii ) (ab, c) (b, c), 上面假定了b, c至少有一不为零。
如果不存在整数q使得a bq成立，则称a不被b整除， 记为b † a。
2、整除的基本定理
定理1（传递性）：ab，bc ac 定理2：若a，b都是m的倍数，则ab都是m的倍数
定理3
若a1 , a2 ,, an都是m的倍数，q1 , q2 ,, qn
是任意n个整数，则a1q1 a2 q2 an qn是m的倍数
rn 1 rn qn 1 +rn 1,
定理4
rn 1 0。
若a, b是任意两个正整数，则(a, b) rn ，
rn是上式中最后一个不等于零的余数。
推论4.1
a, b的公因数与(a, b)的因数相同。
说明： （1）利用辗转相除法可以求两个整数的最大公因数
（2 ）辗转相除法中所包含的等式个数, 即所要做的带余数除法的次数估计为 2 log b n log 2
数的倍数，则d就叫作a1 , a2 , , an的一个公倍数。所有公 倍数中最小的一个叫最小公倍数，记作[a1 , a2 , , an ]。
定理3
定理4
[a1, a2 ,, an ] [ a1 , a2 ,, an ].
设a, b是任意两个正整数，则(i)a, b的所有公倍数
即当a与b是正整数时，只要使用被2除的除法运算和 减法运算就可以计算出(a,b) 例1、求（12345,678）
第1章 整除
本书结构1.数论部分包括整除,同余,同余式,平方剩余,原根与指标,素性检验,连分数2.代数部分群,环,域3.椭圆曲线部分主要是有限域第一章整数的可除性本章主要介绍整数的可除性和因数分解等内容． 1.1 整除的概念,欧几里得除法1.2 整数的表示1.3 最大公因数与广义欧几里得除法1.4 整除的进一步性质及最小公倍数1.5 素数算术基本定理1.6素数定理1.1整除的概念,欧几里得除法 证明: ①由整除定义有:b=qa, c=pb 则c=pqa 即a|c②b=qa c=pa ,则b ±c=qa+pa=a(p+q)③因为a|b 且a|c, 故b=aq 1和c=aq 2. 于是,bm+cn=a(q 1m+q 2n), 所以, a|(bm+cn).⑤b=aq 对任意的c, 有bc=caq=acq1.1整除的概念,欧几里得除法⑥bc=acq有bc-acq=0 即c(b-aq)=0 又c≠0,则b-aq=0 因此a|b⑦a=bq b=ap则a=bq=apq从而a(1-pq)=0因为a,b≠0 ,因此pq=1 即p=q=±1,即a=±b1.1整除的概念,欧几里得除法定义1.2若整数a≠0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
由该定义可知，正整数集合可分三类:素数、合数和1.素数常用p或p1, p2…,来表示.整数2.3.5.7.11等都是素数,4.6.8.10都是合数1.1整除的概念,欧几里得除法1.1整除的概念,欧几里得除法1.1整除的概念,欧几里得除法1.1整除的概念,欧几里得除法1.2整数表示对于数的十进制表示，我们已经是很熟悉的了。
本章主要介绍实数的b 进制表示，以及一些基本知识定理1设b 是大于１的整数，则任何正整数a 都可以写成a = a kb k +a k −1b k −1+L +a 1b +a 0的形式，其中a k ≠0，a i （0 ≤i ≤k ）是在0与b −1之间唯一确定的整数。
数论习题
数论习题第一章 整数的可除性1、 设,a b q r ÷= 则(,)(,)a b b r =.2、 设n 为整数，求证：24∣n(n+2)(5n+1)(5n －1).3、00(,,,,,0)ax by ax by a b x y Z a b ++∈若是形如不全为的最小正整数，00()().ax by ax by ++则且00(,).ax by a b +=4、已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。
5、利用辗转相除法求最大公约数.（1）(1859,1573)；（2）(12345, 678)；（3）（76501，9719）.6、求三个数的最大公约数.（1）(48,72,108)；（2）(27090, 21672, 11352).7、(,)6,[,]138,,.a b a b a b ==已知求8、求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24， [a , b ] = 144。
9、设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ].(,)(,)(,).a b a a b b a b +=+=提示：10、1100,0n n n a x a x a a a +++≠ 设是整系数多项式，，则该多项式0n a a 的因数的有理根只能是形如的既约分数；并证明是有理数。
的因数11、证明质数的个数是无穷的。
12、写出51480的标准分解式。
13、1111(1)(2).23N n n n =++++>≥ 证明不是整数14、求12!、15！、20！的标准分解式。
15、证明：设,a b 是两个正整数，则 [,](,)aba b a b =.第二章不定方程1、74100.x y+=求方程所有正整数解2、11132175.x y-=求方程所有整数解3、1761622.x y-=求方程所有整数解4、15201291x y z++=求方程所有整数解和正整数解.5、写出20以内的所有勾股数.6、证明x2+y2+z2 = x2y2没有满足xyz ≠ 0的整数解。
初等数论 第一章 整数的可除性
第一章整数的可除性§1 整除整数集对于加、减、乘三种运算都是封闭的，但是对于除法运算不封闭。
为此，我们引进整除的概念。
定义1设a,b∈Z，b≠0，如果存在q∈Z，使得等式a=bq成立，那么称b 整除a或a被b整除，记作：b|a，此时称b为a的因数（约数），a为b的倍数。
如果不存在满足等式a=bq的整数q，那么称b不能整除a或a不被b整除，记作b| a。
定理1设a,b,c∈Z，b≠0，c≠0，则（1）如果c|b，b|a，那么c|a；（2）如果b|a，那么bc|ac；反之亦真；（3）如果c|a，c|b，那么，对于任意m,n∈Z，有c|(ma+nb)；（4）如果b|a，a≠0，那么|b|≤|a|；（5）如果b|a，a|b，那么|b|=|a|。
证明可选证。
定理2（带余除法）设a,b∈Z，b≠0，则存在q,r∈Z，使得a=bq+r，0≤r<|b|，并且q及r是唯一的。
证明当b|a时，取q=a/b，r=0即可。
当b!|a时，考虑集合E={a-bk|k∈Z }，易知E中有正整数，因此E中有最小正整数，设为r=a-bk>0，下证：r<|b|。
因为b!|a，所以r≠|b|，若r>|b|，则r’=r-|b|>0，又r’∈E，故与r的最小性矛盾，从而存在q,r∈Z，使得a=bq+r，0≤r<|b|。
唯一性。
设另有q’,r’∈Z，使得a=bq’+r’，0≤r’<|b|，则b(q-q’)=r’-r，于是b|(r’-r)，但由于0≤|r’-r|<|b|，故r’-r=0，即r=r’，从而q=q’。
定义2等式a=bq+r，0≤r<|b|中的整数q称为a被b除所得的（不完全）商，整数r称为a被b除所得的余数。
注r=0的情形即为a被b整除。
例1 设b=15，则当a=255时，a=17b+0，故q=17，r=0；当a=417时，a=27b+12，故q=27，r=12；当a=-81时，a=-6b+9，故q=-6，r=9。
深入理解数的整除性
深入理解数的整除性数的整除性是数学中一个重要的概念，它涉及到数的除法运算和整数的性质。
了解和理解数的整除性对于解决许多数学问题以及应用于实际生活中的计算和推理都至关重要。
本文将深入探讨数的整除性的概念、性质以及应用。
一、数的整除性的概念数的整除性指的是一个数能够被另一个数整除，即余数为零。
具体而言，如果有整数a和b，且b不等于零，那么a能够被b整除，记作a能够整除b，可以表示为b|a。
例如，6能够被3整除，可以表示为3|6。
二、数的整除性的性质1. 任何数都能被1整除：对于任何整数a，有1|a。
2. 任何数都能被自身整除：对于任何整数a，有a|a。
3. 如果a能够整除b，而b能够整除c，则a能够整除c：如果a|b 且b|c，那么a|c。
这是因为如果a能够整除b，意味着a是b的约数，而b能够整除c，意味着b是c的约数，那么a也是c的约数，即a能够整除c。
4. 如果a能够整除b且b能够整除a，则a与b的绝对值相等：如果a|b且b|a，那么|a|=|b|。
这是因为整除的定义要求余数为零，而如果a能够整除b且b能够整除a，意味着a和b的余数都为零，所以它们的绝对值相等。
5. 如果a能够整除b且b不等于0，则|a|小于等于|b|：如果a|b且b≠0，那么|a|≤|b|。
这是因为整除的定义要求余数为零，而b不等于0意味着b无限制地向左或向右扩大，所以|a|≤|b|。
6. 两个数的公约数的绝对值一定是它们的最大公约数的绝对值：如果d是a和b的公约数，那么|d|是a和b的最大公约数。
这是因为公约数是能够整除a和b的数，而最大公约数是所有公约数中绝对值最大的那个数。
三、数的整除性的应用1. 素数判定：利用整除性的性质，可以很容易地判断一个数是否为素数。
如果一个数只能被1和自身整除，即它的约数只有两个，那么它就是素数。
例如，判断17是否为素数，我们可以依次尝试用2、3、4、5、6、7、8、9、10等数去整除17，发现除了1和17本身之外，没有其他数能够整除17，所以17是素数。
第1章整数的可除性
将 2, 3, 5 分别整除 30 或 30 被 2, 3, 5 分别整除, 记作 2 | 30, 3 | 30, 5 | 30. 这时,
a = q1 · b, b = q2 · c.
因此, 有
a = q1 · b = q1 · (q2 · c) = q · c.
因为 q = q1 · q2 是整数, 所以根据整除的定义, 有 c | a. 例 1.1.3 因为 7 | 42, 42 | 84 , 所以 7 | 84. 在加法、 减法运算中, 整除的性质是保持的. 定理 1.1.2 设 a, b, c = 0 是三个整数. 若 c | a, c | b, 则 c | a ± b. 证 设 c | a, c | b, 那么存在两个整数 q1 , q2 分别使得
n = n1 · p, 1<p n1 < n.
因此, p2 理 1.6.1).
1.1.2
n. 故 p
√
n.
证毕.
注 定理 1.1.6 表明, 素数为乘法的最小单元, 并且整数可以表示成素数的乘积 (定
Eratoshenes 筛法 √ √ n. 由此, 可立即得到一个判断整
根据定理 1.1.6, 合数 n 的最小因数 p 为素数, 且 p 数是否为素数的法则 (只用到整数的乘法运算). 定理 1.1.7 设 n 是正整数. 如果对所有的素数 p
p1 的倍数 : p2 的倍数 : . . . pk 的倍数 : 2 · pk , 3 · pk , · · · , 2 · p1 , 2 · p2 , 3 · p1 , 3 · p2 , ··· , ··· , N · p1 ; p1 N · p2 ; p2 N · pk . pk
整数的可除性试题及答案
整数的可除性试题及答案例1.请写出10个连续正整数都是合数. 解: 11!+2，11!+3，……，11！+11。
例2. 证明连续三个整数中，必有一个被3整除。
证：设三个连续正数为a ，a +1，a +2，而a 只有3k ，3k +1，3k +2三种情况，令a =3k ，显然成立，a =3k +1时，a +2=3(k+1)，a =3k +2时，a +1=3(k +1)。
例3. 证明lg2是无理数。
证：假设lg2是有理数，则存在二个正整数p ，q ，使得lg2=qp，由对数定义可得10p =2q ，则有2p ·5p =2q ,则同一个数左边含因子5，右边不含因子5，与算术基本定理矛盾。
∴lg2为无理数。
例4. 求(21n+4，14n+3)解：原式=(21n+4,14n+3)=(7n+1,14n+3)=(7n+1,7n+2)=(7n+1,1)=1例5. 求2004!末尾零的个数。
解：因为10=2×5，而2比5多， 所以只要考虑2004！中5的幂指数，即5（2004！）=499520045200412520042520045200454=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛例6.证明（n !）(n-1)!|(n !)!证：对任意素数p ,设（n !）(n -1)!中素数p 的指数为α， （n !）!中p 的指数β，则∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞=11k k p n n )!(α，∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∞=11k k p n n !)!(β,)()(x n nx ≥α=∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∞=∞=∞=∞=1111111k k k k k k k k p n n p n n p n n p n !)!(!)!()!(! 即αβ≥，即左边整除右边。
例7. 证明2003|（20022002+20042004-2005） 证：∵ 20022002=（2003-1）2002=2003M 1+120042004=（2003+1）2002=2003M 2+1 ∴20022002+20042004-2005=2003（M 1+M 2-1） 由定义2003|（20022002+20042004-2005）例8. 设d (n )为n 的正因子的个数，σ (n )为n 的所有正因子之和，求d (1000)，σ (1000)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
p1 的倍数 :
p2 的倍数 : ...
pk 的倍数 :
2 · p1, 3 · p1, · · · , 2 · p2, 3 · p2, · · · ,
N p1
进一步, 在整数 a, b 的线性组合中, 整除的性质是保持的. 定理 1.1.3 设 a, b, c = 0 是三个整数. 若 c | a, c | b, 则对任意整数 s、t, 有 c | (s·a+t·b). 证 设 c | a, c | b, 那么存在两个整数 q1, q2 分别使得
a = q1 · c, b = q2 · c.
2
第 1 章 整数的可除性
• 0 是任何非零整数的倍数. • 1 是任何整数的因数. • 任何非零整数 a 是其自身的倍数, 也是其自身的因数. 例 1.1.2 设 a, b 为整数. 若 b | a, 则 b | (−a), (−b) | a, (−b) | (−a). 证 设 b | a, 则存在整数 q 使得 a = q · b. 因而,
是 c 的倍数. 证 设 c | ai, 1 i n, 那么存在 n 个整数 qi, 1 i n 使得
ai = qi · c, 1 i n.
因此,
s1a1 + · · · + snan = s1(q1 · c) + · · · + sn(qn · c) = (s1q1 + · · · + snqn) · c
· p1;
N p2
· p2;
2 · pk, 3 · pk, · · · ,
N pk
· pk.
余下的整数 (不包括 1 ) 就是所要求的不超过 N 的素数 (符号 [ ] 的解释见定义 1.1.4). 例 1.1.9 求出所有不超过 N = 100 的素数. √ 解 因为 N = 100, 所以不大于 N = 10 的所有素数为 2, 3, 5, 7, 所以依次删除
数.
人们常将
q
写成
a/b
或
a b
.
否则,
就称
b
不能整除
a,
或者
a
不能被
b
整除,
记作
b
| a.
因为整数乘法运算的可交换性, 又有 a = b · q, 所以 q 也是 a 的因数. 此外, 在不会混淆
的情况下, 乘法 a · b 常简记为 a b.
注
(1) 当 b 遍历整数 a 的所有因数时, −b 也遍历整数 a 的所有因数.
2, 3, 5, 7 的倍数,
2 · 2, 3 · 2, 4 · 2, · · · , 49 · 2, 50 · 2 2 · 3, 3 · 3, 4 · 3, · · · , 32 · 3, 33 · 3 2 · 5, 3 · 5, 4 · 5, · · · , 19 · 5, 20 · 5 2 · 7, 3 · 7, 4 · 7, · · · , 13 · 7, 14 · 7.
因为 s1q1 + · · · + snqn 是整数, 所以 s1a1 + · · · + snan 能被 c 整除. 例 1.1.7 因为 7 | 14, 7 | 21, 7 | 35, 所以
证毕.
7 | (5 · 21 + 4 · 14 − 3 · 35) = 56.
定理 1.1.5 设 a, b 都是非零整数. 若 a | b, b | a, 则 a = ±b. 证 设 a | b, b | a, 那么存在两个整数 q1, q2 分别使得
余下的整数 (不包括 1 ) 就是所要求的不超过 N = 100 的素数.
1.1 整除的概念、欧几里得除法
5
将上述解答列表如下:
对于素数 p1 = 2,
对于素数 p2 = 3,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
123
5
7
9
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11
13
15
17
19
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21
23
25
27
29
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 31
33
35
37
39
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 41
43
45
47
49
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 51
因此,
s · a + t · b = s · (q1 · c) + t · (q2 · c) = (s · q1 + t · q2) · c.
因为 s · q1 + t · q2 是整数, 所以 s · a + t · b 被 c 整除.
证毕.
1.1 整除的概念、欧几里得除法
3
例 1.1.5 因为 7 | 14, 7 | 21, 所以
,
±1 =
30 ±30
.
列表就是:
d ±1 ±2 ±3 ±5 ±6 ±10 ±15 ±30
−d ∓1 ∓2 ∓3 ∓5 ∓6 ∓10 ∓15 ∓30
n d
±30 ±15 ±10 ±6
±5
±3
±2
±1
又例如: 7 | 84, −7 | 84, 5 | 20, 19 | 171, 3 | 8, 5 | 12, 13 | 0, 11 | 11. 根据定义有:
(2)
当
b
遍历整数
a
的所有因数时,
a b
也遍历整数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
的所有因数.
例 1.1.1 30 = 15 · 2 = 10 · 3 = 6 · 5.
将 2, 3, 5 分别整除 30 或 30 被 2, 3, 5 分别整除, 记作 2 | 30, 3 | 30, 5 | 30. 这时,
2, 3, 5 都是 30 的因数, 30 是 2, 3, 5 的倍数. 同时, 也有 15 | 30, 10 | 30, 6 | 30.
a = q1 · b, b = q2 · c.
因此, 有
a = q1 · b = q1 · (q2 · c) = q · c.
因为 q = q1 · q2 是整数, 所以根据整除的定义, 有 c | a. 例 1.1.3 因为 7 | 42, 42 | 84 , 所以 7 | 84. 在加法、减法运算中, 整除的性质是保持的. 定理 1.1.2 设 a, b, c = 0 是三个整数. 若 c | a, c | b, 则 c | a ± b. 证 设 c | a, c | b, 那么存在两个整数 q1, q2 分别使得
1.1 整除的概念、欧几里得除法
1.1.1 整除的概念
本节考虑关于整数的一些基本概念和性质: 整除和欧几里得除法. 首先考虑具有一般意义的整除定义, 它只涉及乘法运算. 定义 1.1.1 设 a, b 是任意两个整数, 其中 b = 0. 如果存在一个整数 q 使得等式
a=q·b
(1.1)
成立, 就称 b 整除 a 或者 a 被 b 整除, 记作 b | a, 并把 b 叫做 a 的 因数, 把 a 叫做 b 的 倍
进而, a = ±b.
证毕.
前面考虑了整除和因数, 现在考虑对于乘法的最小整数, 也就是不能继续分解的整数
(±1 除外), 即下面的素数.
定义 1.1.2 设整数 n = 0, ±1. 如果除了显然因数 ±1 和 ±n 外, n 没有其他因数, 那
么, n 就叫做 素数 ( 或质数或不可约数), 否则, n 叫做 合数.
当整数 n = 0, ±1 时, n 和 −n 同为素数或合数. 因此, 若没有特别声明, 素数总是指正
整数, 通常写成 p.
例 1.1.8 整数 2, 3, 5, 7 都是素数；而整数 4, 6, 10, 15, 21 都是合数.
4
第 1 章 整数的可除性
下面要证明每个合数必有素因子. 定理 1.1.6 设 n 是一个正合数, p 是 n 的一个大于 1 的最小正因数, 则 p 一定是素数, 且 p √n . 证 反证法. 如果 p 不是素数, 则存在整数 q, 1 < q < p, 使得 q | p. 但 p | n, 根据整除 的传递性 (定理 1.1.1), 有 q | n. 这与 p 是 n 的最小正因数矛盾. 所以, p 是素数. 因为 n 是合数, 所以存在整数 n1 使得
53
55
57
59
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 61
63
65
67
69
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 71
73
75
77
79
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 81
83
85
87
89
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 91
(−a) = (−q) · b, a = (−q) · (−b), (−a) = q · (−b).
因为 −q, q 都是整数, 所以根据整除的定义有
b | (−a), (−b) | a, (−b) | (−a).
整除具有传递性, 即 定理 1.1.1 设 a, b = 0, c = 0 是三个整数. 若 b | a, c | b, 则 c | a. 证 设 b | a, c | b, 根据整除的定义, 分别存在整数 q1, q2 使得