高二数学反证法(公开课)ppt

例5.(2011·南通模拟)若a、b、c均为实数,且 2 2 2 a x 2y , b y 2z ,c z 2x . 3 6 2 求证：a、b、c中至少有一个大于0.
[证明]
假设 a，b，c 三个数均不大于 0，
即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c≤0， π 2 π 2 π 又 a＋b＋c＝x －2y＋ ＋y －2z＋ ＋z －2x＋ 2 3 6
ຫໍສະໝຸດ Baidu1 与①矛盾 64
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语
等于
否定词 不等于
不是 不都是 不大于 不小于
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
是 都是 大于 小于
一个也没有 至少有两个 至多有一个 至少有n个 至多有（n-1)个 至多有n个 至少有（n+1)个 对任何x 不成立 存在某个x,成立
2
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3>0. 与假设矛盾，所以假设不成立．故原命题成立． 即 a，b，c 至少有一个大于 0.
例6.设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1
1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于 4 1 1 证明：设(1 a)b > , (1 b)c > , 4 4 1 (1 c)a > , 4
正难则反
反证法
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛 盾，因此说明假设错误,从而间接证明原命题成立,这 样的的证明方法叫反证法。
•反证法的证明过程： • 反设—归谬—存真
反设－－假设命题的结论不成立， 即假设原结论的反面为真.
归谬－－从反设和已知条件出发， 经过一系列正确的逻辑推理， 得出矛盾结果. 存真－－由矛盾结果，断定反设不真， 从而肯定原结论成立.
例3.已知a, b, c是互不相等的实数, 求证： 由y1 ax 2bx c, y2 bx 2cx a
2 2
和y3 cx 2ax b确定的三条抛物线
2
至少有一条与x轴有两个不同的交点.
例3证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线 都不与x轴有两个不同的交点, 则 1 = 2b 2 4ac 0 2 2 = 2c 4ab 0 2 1 = 2a 4bc 0 以上三式相加得a 2 b 2 c 2 ab bc ac 又因为互不相等，由基本不等式得 a 2 b 2 2ab, b 2 c 2 2bc, a 2 c 2 2ac 相加得a 2 b 2 c 2 ab bc ac 以上两式矛盾 因此假设不成立, 从而命题得证
例1．证明
2 不是有理数。
p 证明：假定 2 是有理数，则可设 2 ,其中p，q为 q 互质的正整数， 两边平方得到，2q2=p2， ①
①式表明p2是偶数，所以p也是偶数，于是令p=2l，l 是正整数，代入①式， 得q2=2l2， ②
②式表明q2是偶数，所以q也是偶数，这样p， q都有公因数2，这与p，q互质矛盾， 因此 2 是有理数不成立，于是 2 是无理数.
例2．证明1， 3 ，2不能为同一等差数列 的三项。 证明：假设1， 3 ，2是某一等差数列中的 三项，设这一等差数列的公差为d，则 1= 3 －md，2= 3 +nd，其中m，n为某 两个正整数，
由上两式中消去d，得到n+2m=(n+m) 3 , 因为n+2m为有理数，(m+n) 3 为无理数, 所以n+2m≠(n+m)，因此假设不成立， 1， 3 ，2不能为同一等差数列中的三项.
对所有x 存在某个 x不成立 成立
则三式相乘：
1 (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a < 64
①
又∵0 < a, b, c < 1
1 (1 a) a 所以 0 (1 a)a 2 4 1 1 (1 c)c 同理：(1 b)b 4 4
2
以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ ∴原式成立。
2.2.2 反证法
引例1： 将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样 染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结 论吗？
引例2： 证明：设p为正整数，如果p2是偶数, 则p也是偶数。 假设p不是偶数，可令p=2k+1，k为非负整数。 可得 p2=4k2+4k+1，此式表明，p2是奇数，这与条件矛 盾，因此假设p不是偶数不成立，从而证明p为偶数。
例 4 ：已知 f ( x ) x 2 px q ，求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中 1 至少有一个不小于 . 2
1 分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 ， 2 观察： f (1) 1 p q, f (2) 4 2 p q, f (3) 9 3 p q 得： f (1) 2 f (2) f (3) 2 所以 2= | f (1) 2 f (2) f (3) | ≤ | f (1) | 2 | f (2) | | f (3) | 1 1 1 < +2× + =2 这是不可能的，矛盾表明原结论成立。 2 2 2 证明：略. 说明： “至少”型命题常用反证法，由于其反面情况也只有一 种可能，所以属于归谬反证法.