高二数学反证法(公开课)ppt
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人教A版选修2-22.2.2反证法课件23张ppt优质课件PPT
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
小华的理由：
我们可以把这种说理方法总结一下：
1．反证法 假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________、____、____、____等矛盾．
A
B
C
P
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立. ∴PB≠PC
作业： 练习：学案中巩固提高 习题91页：A组
独立 作业
谢谢大家
0
（平行四边形对边平行）
证明：假设CD、BE互相平分
连结DE，故四边形BCED是平行四边形
∴BD∥CE
这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
变式训练1 已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca不大于零． 证明：假设ab＋bc＋ca>0， 因为a2＋b2＋c2≥0. 则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0. 所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.
显然这与故事中的李树长满果子相矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？
人教新课标版数学高二-1-2课件 反证法
检查预习
课前预习课本相应部分，检查提问“自主学 习”部分
自主学习
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游 玩,看到路边的李树上结满了果 子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只 有王戎站在原地不动.有人问王 戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
如果当时你在场，你会怎么办？
个明显成立的条件。 要证：
要证：
只要证：
格 只需证： 式 显然成立
上述各步均可逆
所以 结论成立
所以 结论成立
复习回顾
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求
使它成立的充分条件，直至最后，把要证
明的结论归结为判定一个明显成立的条件
（已知条件、定理、定义、公理等）。
这种证明的方法叫做分析法.
Q P1
P1 P2
得到一个明显
P2 P3
…
成立的条件
执果索因
1.直接证明的方法: (1)比较法: 作差比较法; 作商比较法; (2)综合法: (3)分析法:
2.没有特别要求的证明题:
用分析法寻找证明思路,用综合法写出证明过程!
展示目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理 方法?
知识点一 反证法的概念
思考 通过情境导学可知上述方法的一般模式是什么？
答案 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子不苦”)； (2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光 了”)； (3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从 而证明了原命题成立. 反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正 确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫唯一的.
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
高二数学课件：6.2.2-反证法
6.2.2
反证法
• 1. 反 证 法 是 间 接 证 明 的 一 种 基 本 方 法．假设原命题 不成立 ，经过正确的推 理，最后得出 矛盾 ，因此说明假设 错误 ， 从而证明了原命题成立，这样的证明方 法叫做反证法．
–
反证法的思维方法：正难则反
• 2．反证法的一般步骤 • (1) 反设：假设所要证明的结论不成立， 假设结论的反面成立； • (2) 归谬：由“反设”出发，通过正确的 推理，导出矛盾 ——与已知条件、已知的 公理、定义、定理、反设及明显的事实 矛盾或自相矛盾； • (3) 结论：因为推理正确，产生矛盾的原 因在于“反设”的谬误，既然结论的反 面不成立，从而肯定了结论成立．
都是
不都是
p或q
┐p且┐q
p且q
┐p或┐q
• 4．常见的主要矛盾 • 反证法的关键是在正确的推理下得出矛 盾，常见的主要矛盾有三类： • (1)与已知条件矛盾； • (2)与假设矛盾(自相矛盾)； • (3)与定义、定理、公理、事实矛盾．
• 5．一般情况下，什么样的证明题型适宜 用反证法 • 宜用反证法证明的题型一般有： • (1)一些基本命题、基本定理； • (2)易导出与已知矛盾的命题； • (3)“否定性”命题； • (4)“唯一性”命题； • (5)“必然性”命题； • (6)“至多”“至少”类命题； • (7)涉及“无限”结论的命题等.
[证明]
假设 2、 3、 8是一等差数列的某三项，
即存在自然数 m、n，使得 3－ 2＝md， 8－ 3＝nd， 3－ 2 8－ 3 即 ＝ ， m n 8－ 3 ( 8－ 3)( 3＋ 2) n 于是m＝ ＝ 3－ 2 ( 3)2－( 2)2 ＝ 24＋ 16－3－ 6＝ 6＋1. n 而 为有理数与 6＋1 为无理数矛盾． m 所以 2、 3、 8不可能是一个等差数列中的三项.
反证法
• 1. 反 证 法 是 间 接 证 明 的 一 种 基 本 方 法．假设原命题 不成立 ，经过正确的推 理，最后得出 矛盾 ，因此说明假设 错误 ， 从而证明了原命题成立，这样的证明方 法叫做反证法．
–
反证法的思维方法：正难则反
• 2．反证法的一般步骤 • (1) 反设：假设所要证明的结论不成立， 假设结论的反面成立； • (2) 归谬：由“反设”出发，通过正确的 推理，导出矛盾 ——与已知条件、已知的 公理、定义、定理、反设及明显的事实 矛盾或自相矛盾； • (3) 结论：因为推理正确，产生矛盾的原 因在于“反设”的谬误，既然结论的反 面不成立，从而肯定了结论成立．
都是
不都是
p或q
┐p且┐q
p且q
┐p或┐q
• 4．常见的主要矛盾 • 反证法的关键是在正确的推理下得出矛 盾，常见的主要矛盾有三类： • (1)与已知条件矛盾； • (2)与假设矛盾(自相矛盾)； • (3)与定义、定理、公理、事实矛盾．
• 5．一般情况下，什么样的证明题型适宜 用反证法 • 宜用反证法证明的题型一般有： • (1)一些基本命题、基本定理； • (2)易导出与已知矛盾的命题； • (3)“否定性”命题； • (4)“唯一性”命题； • (5)“必然性”命题； • (6)“至多”“至少”类命题； • (7)涉及“无限”结论的命题等.
[证明]
假设 2、 3、 8是一等差数列的某三项，
即存在自然数 m、n，使得 3－ 2＝md， 8－ 3＝nd， 3－ 2 8－ 3 即 ＝ ， m n 8－ 3 ( 8－ 3)( 3＋ 2) n 于是m＝ ＝ 3－ 2 ( 3)2－( 2)2 ＝ 24＋ 16－3－ 6＝ 6＋1. n 而 为有理数与 6＋1 为无理数矛盾． m 所以 2、 3、 8不可能是一个等差数列中的三项.
《反证法》ppt课件
.. 导. 学 固思
问题1 如何证明上述结论呢?
证明:假如
不是妈妈打破的 ,妈妈一定会大骂,当时是没
有.所以结论是妈妈打破了盘子.
问题2 反证法的意义及用反证法证明命题的基本步骤
假设命题结论的 证明方法叫反证法.
反面 成立,经过正确的推理,引出
矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的
用反证法证明问题的基本步骤:
3
C ).
2
用反证法证明命题“如果 a>b,那么 3 ������ > ������”时,假设的内 容应是( D ).
A. 3 ������ = ������ C. 3 ������ = ������且 3 ������ < ������
3 3
3 3
B. 3 ������ < ������
3
3
D. 3 ������ = ������或 3 ������ < ������
问题4 适合用反证法证明的试题类型
(1)直接证明困难, (2)需分成很多类进行讨论, (3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题, (4)结论为“唯一”类命题.
.. 导. 学 固思
1
否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是(
A.有一个解 C.至少有三个解 B.有两个解 D.至少有两个解
明:数列{cn}不是等比数列.
【解析】假设数列{cn}是等比数列,则(an+bn) =(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),① 因为{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为 p,q,所以 2 2 ������������ =an-1an+1,������������ =bn-1bn+1, 代入①并整理得:2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn( + ),即 2= + ,②
高中数学选修12反证法PPT课件
是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾，自相矛盾等．
18
推理
合情推理 （归纳、类比）
演绎推理 （三段论）
证明
直接证明 （分析法、综合法）
间接证明 （反证法）
数学—公理化思想 19
备选
1、平面内有四个点，没有三点共线，求证：以任意三个点为顶点
的三角形不可能都是锐角三角形 证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个
7
引例
证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
8
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
证明： 假设 ABC 的三个内角A，B，C都小于60°，
所以
∠ A < 60°，∠B < 60°， ∠C < 60°
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.
∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立.
9
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 反设 设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
归谬
反证法
1
直接证明： 条件p结论q
(1)综合法—— 由因导果 已知条件 … … 结论
(2)分析法—— 执果索因 结论 … … 已知条件
2Байду номын сангаас
小故事 路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩，看见 一棵李子树上的果实多得把树枝都 快压断了，小伙伴们都跑去摘，只 有王戎站着没动。他说：“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝， 李子果然苦得没法吃。
18
推理
合情推理 （归纳、类比）
演绎推理 （三段论）
证明
直接证明 （分析法、综合法）
间接证明 （反证法）
数学—公理化思想 19
备选
1、平面内有四个点，没有三点共线，求证：以任意三个点为顶点
的三角形不可能都是锐角三角形 证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个
7
引例
证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
8
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
证明： 假设 ABC 的三个内角A，B，C都小于60°，
所以
∠ A < 60°，∠B < 60°， ∠C < 60°
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.
∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立.
9
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 反设 设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
归谬
反证法
1
直接证明： 条件p结论q
(1)综合法—— 由因导果 已知条件 … … 结论
(2)分析法—— 执果索因 结论 … … 已知条件
2Байду номын сангаас
小故事 路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩，看见 一棵李子树上的果实多得把树枝都 快压断了，小伙伴们都跑去摘，只 有王戎站着没动。他说：“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝， 李子果然苦得没法吃。
高中数学选修22人教A版 .2反证法优质课件
选做作业: 高中数学选修22人教A版 .2反证法优质课件
1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内
引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC .
求证： PO .
P
A E
2.已知 f ( x) x2 px q ，
O
H
a
CF B
求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 1 。 2
至少有 一个也 否定 两个 没有
某个
某些 至少有n 某两个 ＋1个
高中数学选修22人教A版 .2反证法优质课件
高中数学选修22人教A版 .2反证法优质课件
求证： 2 是无理数.
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
高中数学选修22人教A版 .2反证法优质课件
高中数学选修22人教A版 .2反证法优质课件
说谎者悖论
M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是 它的最简单的形式。
甲：这句话是错的。 M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就
你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理 的例子吗？
“昨晚下雨了……”
下面的计算结果是否正确：
123456789 999999999 123456789876543211
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要 改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难 解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的 间接解法中的一种——反证法. (又比如课本的思考)
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例5.(2011·南通模拟)若a、b、c均为实数,且 2 2 2 a x 2y , b y 2z ,c z 2x . 3 6 2 求证：a、b、c中至少有一个大于0.
[证明]
假设 a，b，c 三个数均不大于 0，
即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c≤0， π 2 π 2 π 又 a＋b＋c＝x －2y＋ ＋y －2z＋ ＋z －2x＋ 2 3 6
2.2.2 反证法
引例1： 将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样 染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结 论吗？
引例2： 证明：设p为正整数，如果p2是偶数, 则p也是偶数。 假设p不是偶数，可令p=2k+1，k为非负整数。 可得 p2=4k2+4k+1，此式表明，p2是奇数，这与条件矛 盾，因此假设p不是偶数不成立，从而证明p为偶数。
2
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3>0. 与假设矛盾，所以假设不成立．故原命题成立． 即 a，b，c 至少有一个大于 0.
例6.设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1
1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于 4 1 1 证明：设(1 a)b > , (1 b)c > , 4 4 1 (1 c)a > , 4
例 4 ：已知 f ( x ) x 2 px q ，求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中 1 至少有一个不小于 . 2
1 分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 ， 2 观察： f (1) 1 p q, f (2) 4 2 p q, f (3) 9 3 p q 得： f (1) 2 f (2) f (3) 2 所以 2= | f (1) 2 f (2) f (3) | ≤ | f (1) | 2 | f (2) | | f (3) | 1 1 1 < +2× + =2 这是不可能的，矛盾表明原结论成立。 2 2 2 证明：略. 说明： “至少”型命题常用反证法，由于其反面情况也只有一 种可能，所以属于归谬反证法.
则三式相乘：
1 (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a < 64
①
又∵0 < a, b, c < 1
1 (1 a) a 所以 0 (1 a)a 2 4 1 1 (1 c)c 同理：(1 b)b 4 4
2
以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ ∴原式成立。
对所有x 存在某个 x不成立 成立
正难则反
反证法
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛 盾，因此说明假设错误,从而间接证明原命题成立,这 样的的证明方法叫反证法。
ห้องสมุดไป่ตู้
•反证法的证明过程： • 反设—归谬—存真
反设－－假设命题的结论不成立， 即假设原结论的反面为真.
归谬－－从反设和已知条件出发， 经过一系列正确的逻辑推理， 得出矛盾结果. 存真－－由矛盾结果，断定反设不真， 从而肯定原结论成立.
例1．证明
2 不是有理数。
p 证明：假定 2 是有理数，则可设 2 ,其中p，q为 q 互质的正整数， 两边平方得到，2q2=p2， ①
①式表明p2是偶数，所以p也是偶数，于是令p=2l，l 是正整数，代入①式， 得q2=2l2， ②
②式表明q2是偶数，所以q也是偶数，这样p， q都有公因数2，这与p，q互质矛盾， 因此 2 是有理数不成立，于是 2 是无理数.
例3.已知a, b, c是互不相等的实数, 求证： 由y1 ax 2bx c, y2 bx 2cx a
2 2
和y3 cx 2ax b确定的三条抛物线
2
至少有一条与x轴有两个不同的交点.
例3证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线 都不与x轴有两个不同的交点, 则 1 = 2b 2 4ac 0 2 2 = 2c 4ab 0 2 1 = 2a 4bc 0 以上三式相加得a 2 b 2 c 2 ab bc ac 又因为互不相等，由基本不等式得 a 2 b 2 2ab, b 2 c 2 2bc, a 2 c 2 2ac 相加得a 2 b 2 c 2 ab bc ac 以上两式矛盾 因此假设不成立, 从而命题得证
1 与①矛盾 64
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语
等于
否定词 不等于
不是 不都是 不大于 不小于
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
是 都是 大于 小于
一个也没有 至少有两个 至多有一个 至少有n个 至多有（n-1)个 至多有n个 至少有（n+1)个 对任何x 不成立 存在某个x,成立
例2．证明1， 3 ，2不能为同一等差数列 的三项。 证明：假设1， 3 ，2是某一等差数列中的 三项，设这一等差数列的公差为d，则 1= 3 －md，2= 3 +nd，其中m，n为某 两个正整数，
由上两式中消去d，得到n+2m=(n+m) 3 , 因为n+2m为有理数，(m+n) 3 为无理数, 所以n+2m≠(n+m)，因此假设不成立， 1， 3 ，2不能为同一等差数列中的三项.