王娜-量子体系相干态的Wigner函数6月17日
【国家自然科学基金】_量子相干效应_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
科研热词 量子光学 非线性光学 量子阱 量子干涉 退相干 负折射率 自旋 纤锌矿 真空场诱导相干 电磁诱导透明 电磁诱导 电磁感应透明 电子顺磁共振 梯形四能级原子系统 左手材料 双模纠缠相干态 动力学解耦 光学声子模 偶极压缩效应 交叉kerr非线性效应 三元混晶 cauchy-schwarz不等式
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2011年 科研热词 非线性光学 量子自旋霍尔效应 量子相干 量子光学 退相干 耦合场 电磁感应透明 电光调制 拓扑绝缘体 弱光非线性 多光子 基态精细结构能级 四波混频 吸收峰 反聚束 压缩效应 sagnac干涉仪 pancharatnam-berry相 kerr非线性 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
2014年 科研热词 推荐指数 非线性光学 1 自旋压缩 1 自囚禁 1 相干控制 1 相干布居囚禁 1 玻色约瑟夫森结 1 暗态 1 数值模拟 1 多普勒背景 1 周期性吸收调制 1 双共振 1 原子相干特性 1 原子相干效应 1 原子相干 1 原子与分子物理 1 冷冻自旋近似 1 光学操控 1 光子晶体 1 光子带隙 1 不等臂马赫-曾德尔干涉仪 1 不同原子汽室 1 三芯耦合波导 1
带电粒子在均匀磁场中运动的Wigner函数
2010年12月 陕西理工学院学报(自然科学版)D ec .2010第26卷第4期 Journal o f Shaanx i U nivers it y of T echno logy (N atura l Sc ience Edition)V o.l 26 N o .4[文章编号]1673-2944(2010)04-0052-06带电粒子在均匀磁场中运动的W i gner 函数王 强1, 剡江峰2(1.陕西理工学院计算机系, 陕西汉中723001;2.陕西理工学院物理系, 陕西汉中723001)[摘 要] 研究W i g ner 函数具有十分重要的物理意义,因为它是密度矩阵的特殊表示形式,并且是相空间中的一个准概率分布函数。
本文首先回顾了W igner 函数的计算方法及其性质;然后通过求解星本征方程(M oyal 方程)得到了均匀磁场中二维带电粒子的W i g ner 函数。
[关 键 词] 带电粒子; W i g ner 函数; M oya l-W eyl 乘法; 均匀磁场[中图分类号] O413.1 [文献标识码] A收稿日期:2010 04 03基金项目:陕西省科学研究计划项目(2009K 1 54);超晶格国家重点实验室研究项目(C H J G200902)。
作者简介:王强(1977 ),男,陕西省勉县人,陕西理工学院讲师,主要研究方向为电磁场量子理论、计算机科学技术。
W i g ner 函数的提出是在20世纪30年代,但是之后并没有引起人们很大的关注。
直到1975年,M oya l 才发现了一种新的量子化方法[1]。
因为W i g ner 函数在描述核物理、量子光学以及量子信息的传递和控制中具有十分重要的作用[2]。
更值得一提的是它和已有的量子化方法(Schr dinger 、H e isenberg 算符正则化,Feynm an 路径积分量子化)是等价的,它的基本方程是M oyal 星乘本征值方程。
【国家自然科学基金】_fock态_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
科研热词 非经典特性 wigner函数 非经典量子态 量子相干性 量子无损耗分束器 量子光学 粒子数态光场 激发相干态 湮灭算符 极化自由度 本征态
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
2011年 序号 1 2 3 4
科研热词 李代数 平方根代数 反铁磁 二模
推荐指数 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
2013年 科研热词 解析解 稠环芳烃 激发态 最高活性碳位 基态 rabi模型 berry相 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1
2013年 科研热词 推荐指数 序号 fock态 3 1 玻色子 2 2 量子门 1 3 量子比特 1 4 量子力学 1 5 量子光学 1 6 量子信息 1 7 量子位 1 超导量子干涉仪 1 费米 1 衰减率 1 线性熵 1 纠缠突然产生 1 环形腔 1 热纠缠态 1 操作 1 振荡器 1 并发度 1 密度算符 1 定义 1 宏观物体量子退相干 1 子代数 1 多能级原子 1 多模腔 1 图表 1 图形类 1 向量空间 1 压缩态 1 单模腔场 1 分类 1 内积 1 光子比特 1 代数和 1 产品 1 主方程 1 squid, quantum gate, c^2-phase1 gate, c^2-not gate squid 1 ghz态 1 categorification, q-boson algebra, 1 q-fock state, q-fermion algebra categorification, boson oscillator, 1 fock state, heisenberg algebra
叠加相干态的Wigner函数及其边缘分布
叠加相干态的Wigner函数及其边缘分布
江俊勤
【期刊名称】《广东第二师范学院学报》
【年(卷),期】2009(029)005
【摘要】构造了叠加相干态|αθ＞=C(|α＞+eθ|-α＞),研究了θ和α对该量子态Wigner函数及其边缘分布的影响.结果表明:Wigner函数及其边缘分布明显受到θ和α的调节.
【总页数】4页(P59-62)
【作者】江俊勤
【作者单位】广东教育学院,物理系,广东,广州,510303
【正文语种】中文
【中图分类】O431.2
【相关文献】
1.由奇偶相干态组成的两种四态叠加多模叠加态光场的等阶N次方Y压缩 [J], 李英;陈永庄;刘宝盈;许定国;杨志勇
2.Klauder-Perelomov相干态Wigner函数的边缘分布及Tomogram函数 [J], 张晓燕
3.多光子催化叠加相干态及其Wigner函数 [J], 李恒梅;肖进;袁洪春;王震
4.叠加激发相干态的Wigner函数 [J], 江俊勤
5.任意两个相干态的叠加态的相位分布和Wigner函数(英文) [J], 张爱萍;史毅敏;魏诺
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Wigner超多重态的解析解
Wigner超多重态的解析解
任中洲
【期刊名称】《《数学物理学报：A辑》》
【年(卷),期】1992(012)001
【摘要】考虑一个单l能级自旋。
同位旋无关的成对力模型,当先辈数为零时,它对应于Winger超多重态对称性,借助子Dyson玻色子表示,我们求得了对应于Wigner超多重态对称性的解析解。
【总页数】6页(P35-40)
【作者】任中洲
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O572
【相关文献】
1.双模压缩真空态光场作用下耦合双原子的Wigner－Yanase偏态信息 [J], 李敏
2.高压下:氦将不再呈“惰性”——科学家预言氦水化合物及其多重超离子态 [J], 孙建; 王慧田
3.Wigner相空间中的相干态和压缩态 [J], 金维睦
4.任意两个相干态的叠加态的相位分布和Wigner函数(英文) [J], 张爱萍;史毅敏;魏诺
5.引入Wigner函数,Weyl对应和Wigner算符相干态表象的新途径 [J], 徐兴磊;李洪奇;范洪义
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【国家自然科学基金】_wigner函数_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
科研热词 wigner函数 非经典特性 线性正则变换 wigner分布 非经典量子态 非对易空间 量子光学 激发相干态 湮灭算符 模糊函数 本征态 时频滤波 时频分布 带通滤波器 带电线性谐振子 多晶体材料弹性本构关系 六角晶粒 odf clebsch-gordan表达式
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
2011年 科研热词 wigner函数 非对易相空间 魏格纳函数 非对易空间 纠缠态表象 bopp平移 非经典性质 集成技术 随机矩阵 通道 谐振子相干态 耦合谐振子 耗散 维格纳 统计分布函数 矩阵方程 狄拉克方程 热相干态 消相干 李代数 本征频率 有限维 星乘 旋量空间 振荡器 微波混沌 双模压缩数态 压缩真空态 勒让德多项式 函数空间 克莱因-戈登谐振子 光子 wigner分布函数 wigner分布 moyal方程 dirac方程 推荐指数 5 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
【国家自然科学基金】_相位概率分布_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 量子干涉 相空间 wigner函数 高相干光源 量子相位 量子点分子 统计光学 瑞利散射 概率密度函数 声子 q函数 noon态 n00n态
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
科研热词 推荐指数 非经典特性 1 采样控制体 1 相位多普勒粒子测速技术 1 液滴粒径 1 扇形水射流 1 叠加激发相干态 1 二阶相干度 1 wigner函数 1 mandelq因子 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2011年 科研热词 粒子滤波 高斯最小频移键控 频率跟踪 非线性 随机仿真 跳频 路径跟踪 脉动风速模拟 第二类随机谐和函数 相关函数 相位角 相位演化速度 相位清空可靠度 相位 演化相位谱 最小均方误差 平稳过程 实时估计 城市交通 周期时长 合成孔径雷达干涉测量 单通道 功率谱密度 交通信号控制 不敏粒子滤波 推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词 风沙流 随机射线 量子干涉效应 轨道随机不平顺 谱密度 蒙特卡罗方法 相位概率分布 相位态 电波传播 激发压缩真空态 沙粒速度 概率分布 多径传播 傅立叶变换 信道模型
湮灭算符任意次幂本征态的Wigner函数
湮灭算符任意次幂本征态的Wigner函数
蓝海江;韦联福
【期刊名称】《西南交通大学学报》
【年(卷),期】2009(044)006
【摘要】用在Fock态表象下的Wigner函数重构了湮灭算符任意次幂本征态的Wigner函数.分析了这些函数在相空间中的分布规律,并据此讨论了湮灭算符任意次幂的本征态的非经典特性.结果表明,Wigner函数的分布与湮灭算符本征值的大小有关;湮灭算符1次幂的本征态(即相干态)为准经典态(其Wigner函数的取值总是非负的),而其高次幂的本征态则具有明显的非经典特性(其Wigner函数均出现了负值).
【总页数】6页(P940-945)
【作者】蓝海江;韦联福
【作者单位】柳州师范高等专科学校物理与信息科学系,广西,柳州,545003;西南交通大学量子光电信息实验室,四川成都,610031;西南交通大学量子光电信息实验室,四川成都,610031
【正文语种】中文
【中图分类】O431.2
【相关文献】
1.非简谐谐振子湮灭算符四次幂的本征态和性质 [J], 谢鸿伟;钱妍
2.非简谐振子湮灭算符三次幂的本征态及其性质 [J], 刘友文;陈昌远
3.湮没算符高次幂本征态的Wigner函数 [J], 李珏璇;蓝海江
4.非简谐振子湮灭算符高次幂b^N—本征态的量子统计性质 [J], 刘友文;陈昌远
5.湮没算符k次幂本征态的Wigner函数及其非经典特性 [J], 蓝海江;韦联福因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
量子力学 Wigner算符与Husimi算符
第六章 Wigner 算符与Husimi 算符的纯态密度矩阵形式在量子力学的相空间描述中，Wigner 分布函数是最常用的一类，因为一个量子态的Wigner 函数的两个边缘分布正好对应着在坐标和动量空间中测量粒子的概率密度，但是Wigner 函数本身并不总是正定的,故不能作为一个概率分布函数 (通常称之为准概率分布函数)。
在Wigner 函数定义的基础上Husimi 引入了一个新的分布函数——Husimi 函数，克服了Wigner 函数不总是正定的缺点，因而可作为一个新的概率分布函数； Husimi 分布函数的边缘分布有其自身的特点，特别适合于研究复杂体系的量子态。
但是对于Husimi 函数以前还没有人定义过与之对应的Husimi 算符, 本章中我们将引入它, 并发现它是一个纯压缩相干态密度矩阵, 利用IWOP 技术我们很容易导出其正规乘积形式，这就为求各种量子态的Husimi 函数提供了简洁明确的方法，这是量子统计一个新进展。
§ 6.1 从Wigner 算符到Husimi 算符：纯压缩相干态的密度矩阵[1]由于在量子力学中不能同时精确地测量粒子的坐标和动量，Wigner [2]曾提出描写粒子或系综的相空间函数理论。
在第一章中，我们曾看到位置与动量纯态密度矩阵分别为()2::q Q q q e--=， ()2::p P p p e--=， （6.1.1）把二者以如下方式合并写为()()()221::,q Q p P e q p π----≡∆， （6.1.2）而以往的文献中把(),q p ∆写在坐标表象中为(),2ipu duq p q u q u e π∞-∞∆=+-⎰。
（6.1.3） 从（6.1.2）式可见()()22,::q Q dp q p e q q q ψψψψψψ∞---∞∆===⎰, （6.1.4）()()22,::p P dq q p e p ψψψψ∞---∞∆==⎰. （6.1.5）它们分别代表在坐标和动量空间测到的概率密度，这正符合Wigner 当初引入相空间分布函数的动机，所以(),q p ψψ∆就是ψ态的Wigner 函数。
wigner函数的性质及其在一维无限深势阱和一维谐振子中的应用
wigner函数的性质及其在一维无限深势阱和一维谐振子中的应用Wigner函数是由美国物理学家Eugene Wigner提出的，它是物理量学的一种重要的理论工具，是用来描述量子态的双变量系统的分布函数。
它可以记录系统的状态，反映系统运动的特性，也可以用来研究系统的量子相干性。
Wigner函数的特征是具有完整的对称性。
它是一个对称的函数，可以看作是把量子的表示和叠加分解的不同组合，如经典动量、位置和能量三种叠加状态的叠加。
Wigner函数在一维无限深势阱中具有显著的应用，其定义为：\begin{equation}W(x,p)=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}(x-y)\Psi(x+y)e^{-2ipy}dy \end{equation}在一维谐振子中，两个Wigner函数可以用来描述谐振子在位置和动能分量之间的变换。
它们被定义为：\begin{equation}W_{1}(x,p)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}(x-y)\psi(x+y)e^{-2ipy}dy\end{equation}\begin{equation}W_{2}(x,p)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x-y)\psi(x+y)e^{-2ipy}dy\end{equation}上述两个Wigner函数可以用来计算一维谐振子的相关函数，从而得出一维谐振子的Wigner分布图。
众所周知，一维谐振子的运动具有激光特性，也就是说，它的Wigner分布是一种具有上述特性的分布。
从离散Wigner函数的角度探讨量子相干性度量
从离散Wigner函数的角度探讨量子相干性度量林银;黄明达;於亚飞;张智明【摘要】Quantum coherence is an essential ingredient in quantum information processing and plays an important role in quantum computation.Therefore,it is a hot issue about how to quantify the coherence of quantum states in theoretical framework.The coherence effect of a state is usually described by the off-diagonal elements of its density matrix with respect to a particular reference basis.Recently,based on the established notions from quantitative theory of entanglement,a resource theory of coherence quantification has been proposed [1,2].In the theory framework,a proper measure of coherence should satisfy three criteria:the coherence should be zero for all incoherent state;the coherence should not increase under mixing quantum states;the coherence should not increase under incoherent operations.Then,a number of coherence measures have been suggested,such as l1 norm of coherence and the relative entropy of coherence [2].Wigner function is known as an important tool to study the non-classical property of quantum states for continuousvariable quantum systems.It has been generalized to finite-dimensional Hilbert spaces,and named as discrete Wigner function [9-16] The magic property of quantum states,which promotes stabilizer computation to universal quantum computation,can be generally measured by the absolute sum of the negative items (negativity sum) in the discrete Wigner function of the observed quantum states.In this paperwe investigate quantum coherence froin the view of discrete Wigner function.From the definition of the discrete Wigner function of the quantum systems with odd prime dimensions,for a given density matrix we analyze in phase space the performance of its diagonal and off-diagonal items.We find that,the discrete Wigner function of a quantum state contains two aspects:the true quantum coherence and the classical mixture,where the part of classical mixture can be excluded by only considering the discrete Wigner function of the diagonal items of the density matrix.Thus,we propose a possible measure method for quantum coherence from the discrete Wigner function of the off-diagonal items of the density matrix.We show that the proposed measure method satisfies the criteria (C1) and (C2) of coherence measure perfectly.For the criteria (C3),we give a numerical proof in three-dimensional quantumsystem.Meanwhile,we compare the proposed coherence measure with l1 norm coherence,and get an inequality relationship betweenthem.Finally,an inequality is obtained to discuss the relation between quantum coherence and the negativity sum of discrete Wigner function,which shows that the quantum coherence is only necessary but not sufficient for quantum computation speed-up.%量子相干性是量子信息处理的基本要素,在量子计算中扮演着重要的角色.为了便于讨论量子相干性在量子计算中的作用,本文从离散Wigner函数角度对量子相干性进行了探讨.首先对奇素数维量子系统的离散Wigner函数进行了分析,分离出表征相干性的部分,提出了一种可能的基于离散Wigner函数的量子相干性度量方法,并对其进行了量子相干性度量规范的分析;同时也比较了该度量与l1范数相干性度量之间的关系.重要的是,这种度量方法能够明确给出量子相干性程度与衡量量子态量子计算加速能力的负性和之间不等式关系,由此可以解析地解释量子相干性仅是量子计算加速的必要条件.【期刊名称】《物理学报》【年(卷),期】2017(066)011【总页数】8页(P27-34)【关键词】量子相干性度量;量子计算加速;离散Wigner函数【作者】林银;黄明达;於亚飞;张智明【作者单位】华南师范大学,广东省微纳光子功能材料与器件重点实验室(信息光电子科技学院),广东省量子调控工程与材料重点实验室,广州510006;华南师范大学,广东省微纳光子功能材料与器件重点实验室(信息光电子科技学院),广东省量子调控工程与材料重点实验室,广州510006;华南师范大学,广东省微纳光子功能材料与器件重点实验室(信息光电子科技学院),广东省量子调控工程与材料重点实验室,广州510006;华南师范大学,广东省微纳光子功能材料与器件重点实验室(信息光电子科技学院),广东省量子调控工程与材料重点实验室,广州510006【正文语种】中文量子相干性是量子信息处理的基本要素,在量子计算中扮演着重要的角色.为了便于讨论量子相干性在量子计算中的作用,本文从离散Wigner函数角度对量子相干性进行了探讨.首先对奇素数维量子系统的离散Wigner函数进行了分析,分离出表征相干性的部分,提出了一种可能的基于离散Wigner函数的量子相干性度量方法,并对其进行了量子相干性度量规范的分析;同时也比较了该度量与l1范数相干性度量之间的关系.重要的是,这种度量方法能够明确给出量子相干性程度与衡量量子态量子计算加速能力的负性和之间不等式关系,由此可以解析地解释量子相干性仅是量子计算加速的必要条件.量子相干性作为量子力学的重要性质之一,在量子计算和量子信息等领域扮演着重要的角色,因此如何在理论上度量量子相干性程度一直是一个热点问题.通常,人们定性地认为相干效应是由选定基矢下量子态密度矩阵的非对角元引起的.近期,类比纠缠度量,文献[1,2]提出一个严格的量子相干性度量的资源理论框架,并验证相对熵相干性度量及l1范数相干性度量满足该框架要求.在此框架下,对合适的相干度量方法,非相干态的度量值为零,而且通过非相干信道后量子态的相干性度量值不会增加.在此框架的基础上,一系列相干性度量方案被提出和验证,例如文献[3]中提出用可观测量度量相干性并设计了实验方案;文献[4]提出通过纠缠度量相干性的方案;文献[5]提出利用内在随机度量相干性,以及文献[6]中讨论了用保真度和迹距离度量量子相干性.同时,文献[7,8]讨论了量子相干性和其他量子关联形式(量子失谐,量子纠缠)之间的关系.Wigner函数是研究连续变量量子系统的非经典性质的一个重要的工具.近年来人们将其推广到有限维Hilbert空间来研究离散量子系统的非经典性质,称作离散Wigner函数[9−16].离散Wigner函数可用于判定对稳定子量子计算提供量子计算加速的资源,如不能够提供稳定子量子计算加速的量子态的Wigner函数取值非负[17−19];具有非负离散Wigner函数的量子操作或量子计算线路都可以通过经典有效模拟实现[20,21].如果能够在离散Wigner函数的基础上探讨量子相干性,将可能在量子相干性及量子计算之间建立解析的联系.本文的结构如下:第二部分简单介绍量子相干性度量的资源理论框架和离散Wigner 函数;第三部分分析量子态对角项在相空间的表现,从而建议新的量子相干性度量方法,并对其进行量子相干性度量规范的分析,同时探讨其与l1范数度量之间的联系,最后基于我们的度量方法分析量子相干性在通用稳定子量子计算中的作用;第四部分对全文进行简短的总结.2.1 量子相干性度量在给定基矢{|i⟩}i=0···d−1下的d维Hilbert空间中,非相干态定义为这里pi为布居概率.我们把非相干态的集合记为I,δ∈I.除此之外的量子态都为相干态,如⟩为最大相干态.由非相干态的定义可知量子相干性度量值大小是由基矢选择决定的,在不同的参考基矢下同一个量子态的相干性大小不同,也即相干性的大小由所研究的物理问题决定.类似于纠缠度量理论[23−25]中的局域操作与经典通信,引入非相干操作研究量子相干性度量的单调性.非相干操作定义为作用于非相干态不产生相干性的操作,设有满足算子集合,若,该Kraus算子为非相干操作.非相干操作可分为两种情况:第一种为没有后选择的非相干的正定保迹映射(ICPTP),输出的量子态为;第二种考虑后选择测量,测量后的结果可以保留,那么对应第n个Kraus操作后的输出态可以相应地写为ρ,相应概率上述的非相干操作定义保证了其作用于非相干输入态不会产生相干性. 有了以上关于非相干态、相干态以及非相干操作的定义,Baumgratz等[2]根据量子资源理论提议下面3个条件作为量子相干性度量的准则.一个合适的量子相干性度量C是从量子态ρ到一个非负实数的映射,并遵循以下准则:(C1)对于所有的非相干态相干性度量值为0,即C(ρ)=0,当且仅当ρ∈I;(C2)量子相干性度量的凸性,即pn为混合概率,(C3)量子相干性度量的单调性,经过非相干操作后量子态的相干性不会增加.考虑是否有后选择测量,可分为弱单调性和强单调性其中由(C3b)和(C2)可得到(C3a)[2].2.2 离散Wigner函数Wigner函数是研究连续变量系统量子态非经典性的重要工具[22].为了进一步研究有限维Hilbert空间量子态在相空间的分布,人们提出和研究了离散Wigner函数的概念,由于定义离散Wigner函数的出发点不同,其定义众多.其中较为主流的有两种:一种是由Wootters[9]提出,后来由Gibbons等[10],Cormick等[11]和Galvao[12]发展而来的基于共同无偏基的广义Wigner函数.另一种是由Buot[13]提出,Cross[14]和Baron[15]加以发展的基于Weyl-Heisenberg算子的Wigner函数,该定义适用于奇素数维量子系统.最近文献[16]证明上述两种定义方法在Cli ff ord变换下是等价的.下面我们介绍基于Weyl-Heisenberg算子的离散Wigner函数的定义方式.对于一个奇素数d维的Hilbert空间,选择集合作为其标准正交基矢.定义广义泡利矩阵X和Z:这里.通过算符X和Z定义d2个Weyl-Heisenberg算子:其中,(a,b)∈Zd×Zd.我们定义相空间点算子为其中对一个密度矩阵为的量子系统,它的离散Wigner函数是一个在空间Zd×Zd上的准概率分布表示,这个相空间则可以看作为d×d的格子,每个格子的值由下式给出:由于相空间点算子厄米,Wigner函数为实数.对相空间中每列值求和,即,则pb表示将系统投影到基矢|b⟩上的概率.3.1 基于离散Wigner函数的量子相干性度量在连续变量领域中,利用Wigner函数来度量量子相干叠加性的思想已经被提出和研究,如文献[26]利用连续变量Wigner函数有效地度量宏观量子叠加态.在连续变量Wigner函数表示的相空间中,宏观量子叠加态会呈现出两个或多个可区分的峰并且在它们之间会有一定的振荡模式,这就类似于经典相干现象中的干涉条纹.文献[26]中通过相应频率下相干条纹的复振幅,即特征函数模方来度量宏观量子叠加性.也有文献试图在离散相空间讨论量子干涉,如文献[27]研究了干涉现象在离散相空间中的表示,对于两个稳定子态构成的相干叠加态,其干涉条纹分布在整个相空间中. 量子态|的离散特征函数定义为当a=0时,特征函数的值只与密度矩阵的对角元有关,与非对角元无关.我们知道量子相干性是由密度矩阵的非对角元产生的.为了不使密度矩阵对角元对度量造成影响,我们令a=0的离散特征函数值为0,把这样处理后的离散特征函数记为χ′(a,b),对其做离散傅里叶变换:这里(a,b)是离散Wigner函数的相空间,(a′,b′)是特征函数的相空间.我们发现上式可以直接通过离散Wigner函数得到.对密度矩阵ρ我们分离出其对角部分,定义正定厄米矩阵为|,表示对应于量子态ρ的非相干态,相应的离散Wigenr函数记为,则从(7)式我们可以看到,是密度矩阵非对角项在相空间上的准概率分布,反映了量子态中相干叠加性.参考l1范数度量[1]我们可以用度量量子态ρ在标准基中的量子相干性大小.3.2 离散Wigner函数相干性度量的度量规范分析基于离散Wigner函数量子相干性度量能很好地符合Baumgratz标准(C1)和(C2).从定义中显然可以看出这种度量满足(C1),对于凸性条件(C2),量子态处于混合态,我们有从而CW(ρ)的凸性得证.量子相干性度量CW(ρ)在计算基测量下符合相干性度量准则(C3).我们对单体系统和多体系统分别进行讨论.首先看单体系统,初始量子态经过计算基测量后形式为,明显只有对角元素,是非相干态,所以满足准则(C3).再看多体系统的情况,整个系统在Hilbert空间可分为u,v两个部分,我们对最后一个粒子进行计算基测量,则第i个测量算子Mi=I⊗|i⟩⟩i|,测量前的状态为,则测量后情况为经过测量后第i个输出态的概率为经过测量后第i个输出态为相应的离散Wigner函数可表示为同理可得由以上证明结果可得CW相干性度量在计算基测量情况下满足强单调性,即准则(C3b).由于非正定,更严格地证明非相干操作下CW(ρ)满足相干性度量准则(C3)存在困难,但我们可以从数值上给出验证.下面基于3维量子系统,数值验证相干性度量满足准则(C3)中不等式.三维qurit量子系统的密度矩阵可以通过SU(3)生成元表示[28]如下:以上的8个系数ni,i=1,···,8是SU(3)群8个生成元对应的系数.基于离散Wigner 函数的相干性度量为考虑三维量子系统的非相干操作为其中ci∈C,n=1,2,3,并且满足是复数,写成,其他的以此类推.在有后选择的情况下,经过非相干信道后第n个输出态为.根据CW的定义,我们可以计算非相干操作后系统的相干性度量的表达式.下面我们选择两种的量子态,通过数值验证相干性度量CW 符合准则(C3b).我们选取两种不同的量子态,分别观察它们的度量结果.图1选取的量子态为最大相干态,其中图1(a)和图1(b)分别是系统经过不同参数下非相干操作的度量情况,两种情况下红线始终处于蓝线上方,表明CW度量满足不等式,即符合相干性度量标准(C3b).图2选取的量子态为混合量子态p是最大相干态和最大混态所占的比例.由于图2(a)和图2(b)是在不同参数非相干操作下的度量情况,从图2中可以看出绿色曲面始终处于蓝色曲面上方,说明CW度量满足不等式),即符合相干性度量标准(C3b).的值)(a)非相干操作的参数,(b)非相干操作的参数,Fig.1.(color online)The quantum coherence CWof maximally coherent state under the incoherent operations(the red curve depicts the quantum coherence before incoherent operations,the blue curve represents the quant um coherence after incoh√erent operations where post-selection is enabled):(a)Parameters of incoherent opera√tions,经过非相干操作前后相干性度量值对比(绿色曲面代表未经过非相干操作的√度量结果,蓝色曲面代表经过有后选择下非相干操作的度√量结果)(a)非相干操作参数,Fig.2.(color online)The quantum coherenceunder the incoherent operations(the green surface shows the quantum coherence before incoherent operations,The blue surface the quantum coherence after incohe√rent operations where post-selection is enabled):(a)Parameters of incoherent;(b)parameters of incoherent operations:3.3离散Wigner函数相干性度量与l1范数相干性度量l1范数相干性度量[1]定义为密度矩阵非对角元模和:其中|ρi,j|为密度矩阵元的模,在文献[2]中已经证明这种方案符合资源理论的相干性度量结构.离散Wigner函数相干性度量与l1范数相干性度量是从不同的角度对量子系统的相干性进行度量,它们之间也存在一定的联系.这里令量子态的密度矩阵为系数是一个随系统维度变化的值.上述证明过程中的第二个不等式是基于离散形式的Hölder不等式,第三个不等式是基于不等式|.以上证明过程解析地给出了奇素数d维情况下量子态的相干性度量CW和Cl1之间的不等式关系.下面在三维量子系统中对二者进行数值比较,我们在量子态ρp中进行比较.图3给出了ρp分别在CW度量和Cl1度量下的相干性度量值随参数p的变化情况.随着p的增大,即最大相干态的比例增大,ρp的相干性也增加,所以度量值变大,满足3.4 基于CW分析量子相干性在通用量子计算中的作用通过稳定子量子计算模型我们可以将量子计算加速的资源锁定于量子态的非经典性质[17−21].量子态的通用计算能力(提供稳定子量子计算加速的能力)可以通过离散Wigner函数负值的绝对值之和来度量[18],我们称为负性和,记为NW,由负性和的定义可以得到量子相干性度量CW和NW的不等式关系,即在稳定子量子计算理论中,量子变换由Clifford操作实现,此不等式说明:如果对于一个量子态,存在一组Cli ff ord操作,使得此操作下的量子态的量子相干性CW=0,则此量子态的量子相干性不能向稳定子量子计算提供量子加速.文献[14]指出Cli ff ord操作下量子态Wigner函数的各个格点取值相互换,即Wρ(v),v和v′分别为经过Cli ff ord操作前后的离散相空间,因此负性和NW的值不变.但经过Cli ff ord 操作后量子态对角矩阵发生变化:,从而引起CW的变化,即由CW和NW的不等式关系说明负性和是Cli ff ord操作下量子相干性的最小值,同时也表明量子态的相干性是其具有量子计算加速能力的必要条件.本文讨论了奇素数维量子系统的离散Wigner函数,在离散相空间中分离出表征量子相干性的部分,从而建议了一种可能的量子相干性度量方法.我们证明了该方法满足资源理论相干性度量框架中的准则(C1)和(C2),并且证明了在计算基测量下满足准则(C3b),同时通过数值模拟验证了3维量子系统在对应非相干操作下也符合准则(C3b).另外,本文还给出了这种度量方法与l1范数度量之间的联系.更重要的是我们明确得到了该度量与衡量量子态计算加速能力的负性和之间的不等式关系,从而解析地解释量子相干性仅是量子计算加速的必要条件.本文在讨论强单调性证明时仅考虑一些特殊情况下的非相干操作及特定维度的量子态,对于任意奇素数维量子系统在任意非相干操作下的单调性证明还有待进一步研究.[1]Aberg J 2006 arXiv:quant-ph/0612146v1[2]Baumgratz T,Cramer M,Plenio M B 2014 Phys.Rev.Lett.113 140401[3]Girolami D 2014 Phys.Rev.Lett.113 170401[4]Streltsov A,Singh U,Dhar H S,Bera M N,Adesso G 2015 Phys.Rev.Lett.115 020403[5]Yuan X,Zhou H Y,Cao Z,Ma X F 2015 Phys.Rev.A 92 022124[6]Shao L H,Xi Z J,Fan H,Li Y M 2015 Phys.Rev.A 91 042120[7]Xi Z J,Li Y M,Fan H 2015 Sci.Rep.5 10922[8]Yao Y,Xiao X,Ge L,Sun C P 2015 Phys.Rev.A 92 022112[9]Wootters W K 1987 Ann.Phys.176 1[10]Gibbons K S,Ho ff man M J,Wootters W K 2004 Phys.Rev.A 70 062101[11]Cormick C,Galvao E F,Gottesman D,Paz J P,Pittenger A O 2006 Phys.Rev.A 73 012301[12]Galvao E F 2005 Phys.Rev.A 71 042302[13]Buot F A 1974 Phys.Rev.B 10 3700[14]Gross D 2006 J.Math.Phys.47 122107[15]Baron T 2009 EPL 88 10002[16]Zhu H J 2016 Phys.Rev.Lett.116 040501[17]Veitch V,Ferrie C,Gross D,Emerson J 2012 New J.Phys.14 113011[18]Veitch V,Mousavian S A H,Gottesman D,Emerson J 2014 New J.Phys.16 013009[19]Galvao E F 2005 Phys.Rev.A 71 042302[20]Mari A,Eisert J 2012 Phys.Rev.Lett.109 230503[21]Pashayan H,Wallman J J,Bartlett S D 2015 Phys.Rev.Lett.115 070501[22]Zhang Z M 2015 Quantum Optics(Beijing:Science Press)pp111–116(in Chinese)[张智明2015量子光学(北京:科学出版社)第111—116页][23]Vedral V,Plenio M B 1998 Phys.Rev.A 57 1619[24]Plenio M B,Virmani S 2007 Quantum put.7 1[25]Vedral V,Plenio M B,Rippin M A,Knight P L 1997 Phys.Rev.Lett.78 2275[26]Lee C W,Jeong H 2011 Phys.Rev.Lett.106 220401[27]Cormick C,Paz J P 2006 Phys.Rev.A 74 062315[28]Thew R T,Nemoto K,White A G,Munro W J 2002 Phys.Rev.A 66 012303 PACS:03.65.Aa,03.65.Ta,03.65.Yz,03.67.AcDOI:10.7498/aps.66.110301 Quantum coherence is an essential ingredient in quantum information processing and plays an important role in quantumcomputation.Therefore,it is a hot issue about how to quantify the coherence of quantum states in theoretical framework.The coherence e ff ect of a state is usually described by the o ff-diagonal elements of its density matrix with respect to a particular reference basis.Recently,based on the established notions from quantitative theory of entanglement,a resource theory of coherence quanti fi cation has been proposed[1,2].In the theory framework,a proper measure of coherence should satisfy three criteria:the coherence should be zero for all incoherent state;the coherence should not increase under mixing quantum states;the coherence should not increase under incoherent operations.Then,a number of coherence measures have been suggested,such as l1norm of coherence and the relative entropy of coherence[2].Wigner function is known as an important tool to study the non-classical property of quantum states for continuousvariable quantum systems.It has been generalized to fi nite-dimensional Hilbert spaces,and named as discrete Wignerfunction[9−16].The magic property of quantum states,which promotesstabilizer computation to universal quantum computation,can be generally measured by the absolute sum of the negative items(negativity sum)in the discrete Wigner function of the observed quantum states.In this paper we investigate quantum coherence from the view of discrete Wigner function.From the de fi nition of the discrete Wigner function of the quantum systems with odd prime dimensions,for a given density matrix we analyze in phase space the performance of its diagonal and o ff-diagonal items.We fi nd that,the discrete Wigner function of a quantum state contains two aspects:the true quantum coherence and the classical mixture,where the part of classical mixture can be excluded by only considering the discrete Wigner function of the diagonal items of the density matrix.Thus,we propose a possible measure method for quantum coherence from the discrete Wigner function of the o ff-diagonal items of the density matrix.We show that the proposed measure method satis fi es the criteria(C1)and(C2)of coherence measure perfectly.For thecriteria(C3),we give a numerical proof in three-dimensional quantum system.Meanwhile,we compare the proposed coherence measure withl1norm coherence,and get an inequality relationship betweenthem.Finally,an inequality is obtained to discuss the relation between quantum coherence and the negativity sum of discrete Wigner function,which shows that the quantum coherence is only necessary but not sufficient for quantum computation speed-up.。
量子相干性的探索与表征
量子相干性的探索与表征量子相干性是量子力学中一个重要的概念，它描述了量子系统中粒子之间的相互作用和相位关系。
量子相干性的探索与表征是量子信息科学和量子计算领域的核心问题之一。
本文将从理论和实验两个方面，介绍量子相干性的研究进展和方法。
一、理论研究量子相干性的理论研究主要包括相干性的定义、量子相干性的测度和相干性的演化等方面。
在量子力学中，相干性指的是量子态的纯度和幺正演化。
一个纯态的量子系统是相干的，当且仅当它可以被一个幺正演化从另一个纯态得到。
而一个混合态的量子系统是相干的，当且仅当它不能通过任何幺正演化从一个纯态得到。
因此，相干性可以用来区分纯态和混合态。
量子相干性的测度是一个重要的问题。
目前，常用的相干性测度方法包括相对熵、Wigner函数和纠缠熵等。
相对熵是一种广泛使用的相干性测度方法，它可以用来描述两个量子态之间的差异。
Wigner函数是一种在相空间中描述量子态的方法，它可以直观地展示量子态的相干性。
纠缠熵是一种用于描述纠缠态的相干性的测度方法，它可以用来刻画量子系统中的纠缠程度。
相干性的演化是量子相干性研究中的一个重要问题。
量子相干性的演化可以通过幺正演化和非幺正演化来实现。
幺正演化是指量子系统在一个幺正算符的作用下发生的演化，它可以保持量子态的相干性。
非幺正演化是指量子系统在一个非幺正算符的作用下发生的演化，它会破坏量子态的相干性。
因此，相干性的演化是一个动态的过程，可以通过对量子系统的演化过程进行观测和控制来研究。
二、实验研究量子相干性的实验研究主要包括相干态的制备、相干性的检测和相干性的控制等方面。
相干态的制备是实验研究中的一个关键问题。
目前，常用的相干态制备方法包括光学方法、原子方法和超导方法等。
光学方法是一种常用的制备相干态的方法，它可以通过调节光的相位和振幅来实现。
原子方法是一种利用原子的内部自旋和外部运动来制备相干态的方法，它可以通过激光和磁场的作用来实现。
超导方法是一种利用超导电路来制备相干态的方法，它可以通过调节电流和电压来实现。
Klauder-Perelomov相干态Wigner函数的边缘分布及Tomogram函数
（ ｇ＝ ）
（ ０ ２）
借 助 于数值 计算 方法 ，当选 取不 同的参 数 ｚｋ时 ， 简谐 振子 ＫＰ相干态 Ｉ ，） 的 Ｔ ｍｏｒｍ 函数 ， 非 － ｋ ｚ ｏ ｇａ
随着 ｑ ０的变 化规 律如 图 １ 示． ， 所
ｚ ０ ７ ， ＝ ．５ ＝ ．５ ｋ ０ ７
ｚ ０７ ， ＝ ＝ ．５ ｋ ５
相干态 Ｗｉ ｅ ｇ ｒ函数的边缘分布及 Ｔ ｍ ｇａ ｎ ｏ ｏｒｍ函数 ．借助于 数值计算 ， 论了此量 子态所 具有 的量 子特性 和 讨
Ｗｉ ｅ 函 数 边 缘 分 布 的 物 理 意 义 ． ｇ ｒ ｎ
关键词 ： 量子光学 ； 边缘分布 ； ｏ ｇ ｍ 函数 Ｔ ｍｏｒ ａ
中 图分 类 号 ：Ｏ４ １２ ３ ． 文 献 标 志码 ：Ａ
（） ， （４ ｑ Ｉ １）
类 似地 ，可得 非简 谐振 子 Ｋ Ｐ相 干态 的 Ｗｉｎ ｒ － ｇ ｅ 函数 （ ）在 ｐ方 向的边 缘分 布 ，
ｌ ２
Ｆ ｎ＋１ Ｆ ２ ）， Ｆ ＋２ ） （ ） （ ｋ ／／ （ ／ ！ ｜ ｊ ｝
（） ． （５ ＰＩ １）
由式 （４ １ ）和 （５ 可看 出 ， 简谐振 子 ＫＰ相 干 态 Ｗｉｎｒ １） 非 — ｇｅ 函数 的边 缘分 布 Ｐ ｑ （ Ｐ ｐ ）即为 （ ） 或 （ ） 坐 标 ｑ 或 动量 为 Ｐ （ ）的粒子 在 此量 子态 中出现 的概 率．
１ １ １
ｐ ｎＪ ＝ （ ，） ｝
，
（） ４
利用正交归一化关系 （， Ｊ ，） ＝１ ｚｋ ｋ 得到归一化常数
Ｎ（ ｌ ）＝ （ Ｉ Ｉ Ｉ 。 １一 ）． 因此 ， 简谐 振子 Ｋ Ｐ相 干态可 表示 为 非 ．
基于实稳定方法求解单粒子共振态的Wigner函数
基于实稳定方法求解单粒子共振态的Wigner函数张涵;刘志伟;任政学;孙保元【摘要】利用坐标空间的实稳定方法,求解了一维势场中单粒子散射态与其中共振态的本征值问题,由得到的单粒子本征波函数进一步给出相应的Wigner函数,分析了单粒子散射态与其中共振态的相空间分布特征.发现除了本征能量与本征波函数存在差异,Wigner函数在相空间的具体分布行为也可用于区分单粒子共振态与一般的散射态,在相关的量子测量实验中可能用作确定量子态的特征判据.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2018(037)001【总页数】5页(P17-20,24)【关键词】共振态;散射态;实稳定方法;Wigner函数【作者】张涵;刘志伟;任政学;孙保元【作者单位】兰州大学核科学与技术学院,甘肃兰州730000;兰州大学核科学与技术学院,甘肃兰州730000;北京大学物理学院,北京100871;兰州大学核科学与技术学院,甘肃兰州730000【正文语种】中文【中图分类】O413.1在量子力学中，单个粒子(或体系)的量子态是不能观测的，但对于在同样实验条件下制备出来的粒子(或体系)所构成的系综而言，量子态的测量是有意义的.而在测量量子态的实验中，发现Wigner函数可以作为一个定量描述量子态的特征量，它与波函数或密度矩阵等价，能够直接从实验中测量得到.Wigner函数是定义在相空间中的一个实函数，它具有准概率分布函数的性质，但是Wigner函数并非粒子坐标和动量的联合分布，因为这违反了海森伯不确定度关系.特别是Wigner函数既可以取正值，也可以取负值，而取负值正是非经典性质的反映[1,2].实验上，若测量得到负值的Wigner函数，可以认为其对应于非经典场的统计[3].而对于准经典态，Wigner函数值恒大于等于零.曾谨言所著《量子力学卷II》[1]教材中举例给出了一维谐振子的基态和低激发态的Wigner函数，此外也有文献讨论了无限深方势阱中单粒子的Wigner函数[4].但在更一般的研究中，量子体系的势场深度通常是有限的，其能谱既包含有束缚态，也包含散射态.不同于束缚态，坐标表象下散射态波函数可以在势阱外无限延展.但在散射态中也存在一类特殊的能量本征态，即共振态，其波函数主要分布于势阱内，并且相关能级寿命比较长，类似于束缚态.因此，进一步研究单粒子共振态与一般散射态的Wigner函数分布，拓展教材中的相关讨论，将有助于加深对量子态问题的认识.研究共振态的理论方法主要有两类，一类是传统的散射理论，如R矩阵理论、K矩阵理论、S矩阵理论等；另一类是类束缚态处理方法，即基于成熟的束缚态处理方法来研究共振态，例如复标度法[5]、解析延拓法[6]、实稳定方法[7-9]等.其中比较简单的一种方法是实稳定方法，其主要物理思想为通过检验本征能量对于基空间维数的稳定性来区分不同的量子态.即在分立谱能区，各束缚态的本征能量不会随基空间维数的改变而改变.但在连续谱能区，各散射态的本征能量多数会随基空间维数的增加而逐渐降低.但仍有一些特殊的散射态，其本征能量几乎不随基空间维数的增加而改变，称之为实稳定态，可以认为其对应于单粒子共振态.文献[7]和[8]分别在谐振子基空间和坐标空间内应用实稳定方法，讨论了一维势场中的单粒子共振态问题.本文尝试利用坐标空间的实稳定方法，求解一维势场中的单粒子本征方程，得到单粒子散射态的本征能量和本征波函数，并寻找其中的共振态，进一步给出相应的Wigner函数，分析单粒子散射态与其中共振态的相空间分布特征.1 理论方法与数值细节为便于理解，这里以一个简单的一维势场为例来说明问题，如图1所示，其可表示为图1 一维势场V(x)，其中w1、w2、h分别对应着势场的阱宽，垒宽和垒高.(1)势场参数选取为：阱宽w1=1，垒宽w2=1，垒高h=5(在这样的势场下，既存在类似于束缚态的共振态，同时存在一般的散射态).在势场V(x) 中，单粒子本征能量和本征波函数满足一维定态的薛定谔方程：(2)为方便讨论，采用自然单位，即ћ=m=1.在给定的一维势场下，薛定谔方程可进一步分段写为下列方程组形式：(3)并且本征波函数应当满足如下边界条件和连续性条件：(4)而散射态波函数在无穷远处将渐近趋于平面波形式，因此在坐标空间数值求解上述方程组时需引入坐标截断.对于束缚态，当所选取的坐标截断足够大时，本征能量等结果将不受截断参数影响，但对于散射态，结果将敏感依赖于截断参数的选取，这是由于散射态波函数本身的空间延展性所导致的.理论上发展了一系列的类束缚态处理方法来解决这个问题，如实稳定方法等.实稳定方法在不同大小的基空间上求解本征值问题，通过检验本征能量对于基空间维数的稳定性来区分不同的量子态.若选择的基空间是谐振子基空间[7]，则通过改变谐振子基的数目来实现基空间大小的改变；若选择的基空间是坐标空间[8,9]，则通过改变坐标空间(形象的将坐标空间的选取比作“盒子”，即表示数值计算所选取的坐标空间的大小)的大小来实现基空间大小的改变.对于一维系统，坐标空间取为-xm≤x≤xm，可以得到本征能量随“盒子”大小xm的变化关系.数值模拟过程中，利用shooting方法，根据不同的空间截断的选取，求解了上述薛定谔方程，得到对应本征波函数以及本征能量. 本文使用的是坐标空间的实稳定方法，对于一般情况，当增大波函数的存在范围，即增大“盒子”大小时，粒子位置的不确定度相应地增大，根据不确定度关系，此时粒子动量的不确定度将随之减小，本征能量也相应减小.但存在一类特殊情况，其能量随“盒子”大小改变而变化很小，这些态就对应着共振态.这是由于单粒子共振态波函数主要分布于势阱内，其位置不确定度基本不受“盒子”大小的影响，因此相应的本征能量也基本不受“盒子”大小的影响.由坐标空间单粒子波函数ψ(x)可以定义相应的Wigner函数[1,10]：W(x,p)=(5)利用实稳定方法求解得到散射态与其中共振态的本征波函数，可以给出相应的Wigner函数，用于分析单粒子散射态与其中共振态的相空间分布特征.2 共振态与散射态的分布特征在图1所示一维势场下，我们利用坐标空间的实稳定方法求解本征值问题，分别给出了主量子数n=1、2、3、4、5时各本征能量随“盒子”大小的变化关系，如图2所示.可以看出各本征能量总体随“盒子”增大而减小，但存在一个特殊的“盒子”区间，其中本征能量出现稳定的平台(E≈2.7)且基本不随xm的增加而改变.基于之前的物理分析，可以认为平台处的解即对应于单粒子共振态.图2 一维势场中，各本征能量随“盒子”大小的变化为了更直观理解单粒子共振态与一般散射态的差异，这里分别给出主量子数n=1、2、3、4、5所对应的本征波函数，如图3所示.其中包括：(a)为图2中平台处(E≈2.7)所对应的共振态波函数，相对应的“盒子”大小xm分别为2.5、3.5、5、6.5、8；(b)和(c)分别为固定本征能量(E≈1.6为例)，相对应的“盒子”大小xm分别为3.5、5、6.5、8、10和固定“盒子”大小(xm=9为例)给出的散射态波函数.可以发现，对于单粒子共振态，其波函数主要分布于势阱内，在势阱外振幅明显衰减，并且具体分布形式与“盒子”大小xm的选取基本无关；对于选取不同“盒子”大小而固定本征能量的单粒子散射态，其波函数在势阱内振幅很小，主要分布于势阱外，并且具体分布形式也与“盒子”大小xm的选取基本无关；此外还可以发现，由于散射态波函数主要分布在势阱以外，因此外部波函数的差异将会明显导致散射能量的改变.图3 一维势场中，(a) 本征能量E≈2.7的单粒子共振态波函数，(b) 本征能量E≈1.6的单粒子散射态波函数，(c) 固定盒子大小xm=9时的单粒子散射态波函数如前所述，在给出平台条件得到共振态能量后，单粒子共振态波函数的空间分布就基本确定了.因此下面以主量子数n=1的单粒子本征态为例，选取其共振态能量E≈2.7且“盒子”大小xm=2.5(图3(a)情形)进一步分析其Wigner函数，并选取主量子数n=1，本征能量E≈1.6且“盒子”大小xm=3.5的散射态(图3(b)情形)相应作比较.3 Wigner函数分布3.1 单粒子共振态的Wigner函数图4即一维势场中，单粒子共振态的Wigner函数的三维分布图.可以发现，共振态的Wigner函数主要分布于势阱内(0<x<1)，在势阱外的贡献很小，这与单粒子共振态波函数的空间分布一致；动量方向上，Wigner函数随动量p绝对值增大而震荡衰减.图4 一维势场中，单粒子共振态的Wigner函数的三维分布图Wigner函数既可以取正值，也可以取负值，而取负值正是体系非经典性质的反映.为更直观地体现非经典特性，进一步给出Wigner函数的二维Contour图，如图5所示，其中阴影部分表示函数负值区域.可以发现，单粒子共振态的Wigner函数在相空间中出现明显的负值区域.在坐标x≈0.7处，亦即在势阱中，当动量p≈±7时，函数的负值达到极小，这表明此时的量子效应最为显著；此外，当动量p绝对值较小时，Wigner函数恒为正值.这是由于Wigner函数中的低动量成分对应于粒子能量较低的情况，此时粒子基本被囚禁在势阱当中，倾向于准经典情形. 图5 一维势场中，单粒子共振态的Wigner函数的Contour图3.2 单粒子散射态的Wigner函数图6即一维势场中，单粒子散射态的Wigner函数的三维分布图.可以发现，单粒子散射态的Wigner函数主要分布于势阱外，在势阱内(0<x<1)的贡献很小，这与单粒子散射态波函数的空间分布一致；动量方向上，随着动量p绝对值的增大，其Wigner函数也是震荡衰减的.图6 一维势场中，单粒子散射态的Wigner函数的三维分布图进一步给出相应Wigner函数的二维Contour图，如图7所示，其中阴影部分表示函数负值区域.可以发现，单粒子散射态的Wigner函数在相空间中也出现明显的负值区域，但分布行为与共振态的结果有所差异，其极小值出现的位置移动到势垒之中.即在坐标x≈1.5处，当动量p≈±3时，函数的负值达到极小，这表明此时的量子效应最为显著.图7 一维势场中，单粒子散射态的Wigner函数的Contour图4 结论本文利用坐标空间的实稳定方法，求解了一维特殊势场中的单粒子本征方程，分别从本征能量和本征波函数两方面对单粒子散射态，特别是其中的共振态进行了讨论，并根据对应的本征波函数计算了Wigner函数，分析了单粒子散射态与其中共振态的相空间分布特征.研究发现，对于一维势场中的单粒子共振态，其Wigner函数主要分布于势阱内，在势阱外的贡献很小，并且在势阱内函数的负值达到极小，这表明此时量子效应在势阱内相对更为显著；对于一般的单粒子散射态(非共振态)，其Wigner函数主要分布于势阱外，在势阱内的贡献很小，并且在势垒中函数的负值达到极小，这表明此时量子效应在势垒中相对更为显著.该讨论内容可用于量子力学课程相关章节的教学环节中，对于丰富教学内容，加深对于波函数与Wigner 函数物理内涵的认识是一种很好的尝试.此外，Wigner函数在相空间的具体分布行为可作为除本征能量与本征波函数之外，区分共振态与一般散射态的另一判据，特别是该判据更易在实验测量中作验证.该讨论也可进一步应用于原子和原子核中单粒子共振态和散射态物理的研究中.【相关文献】[1] 曾谨言.量子力学：卷II[M].5版.北京：科学出版社，2014：64-83.[2] D’Auria V,Lee N,Amri T,et al.Quantum Decoherence of Single-PhotonCounters[J].Phys Rev Lett,2011,107: 050504.[3] Bimbard E,Boddeda R,Vitrant N,et al.Homodyne Tomography of a Single Photon Retrieved on Demand from a Cavity-Enhanced Cold Atom Memory[J].Phys RevLett,2014,112: 033601.[4] 徐皓，石田君.Wigner函数的性质及其在一维无限深势阱和一维谐振子中的应用[J].原子核物理评论，2011，28(1)：44-50.[5] Y.K.Ho.The method of complex coordinate rotation and its applications to atomic collision processes[J].Phys Rep,1983,99(1):1-68.[6] Kukulin V I,Krasnopl’sky V M,Horcek J.Theory of Resonances: Principles and Applications[M].Kluwer Academic,Dordrecht,1989.[7] Hazi A U,Taylor H S.Stabilization Method of Calculating Resonance Energies: Model Problem[J].Phys Rev A,1970,1: 1109-1120.[8] 张力，周善贵，孟杰.单粒子共振态的实稳定方法研究[J].物理学报，2007，56(7)：3839-3844.[9] 张力.原子核单粒子共振态的实稳定方法研究[J].北京大学：硕士论文.2008.[10] 谢传梅，范洪义.Wigner函数的简单引入[J].大学物理，2012,31(5)：17-18.。
量子计算中的量子Wigner函数及其应用
量子计算中的量子Wigner函数及其应用量子计算是指使用量子力学原理来设计并实现计算机算法的学科。
在量子计算中，量子比特（qubits）可以处于多个状态的叠加态，这使得量子计算能够比传统计算更快地处理某些问题。
量子Wigner函数是量子态描述的一种方式，在量子计算中具有广泛的应用。
本文将介绍量子Wigner函数的基本概念和应用。
量子Wigner函数是一种光学中Wigner函数的量子化形式。
光学Wigner函数是描述光子在光学元件中传播的函数，它是时间-空间相空间中的函数，对应物理上一个光学波的横向和纵向运动。
量子Wigner函数的作用是在相空间中展现出量子态，即把一个量子态映射到一个函数中，这个函数可以描述量子态的运动和演化。
量子Wigner函数可以用Q函数、Husimi函数和Weyl函数间的互换关系来定义。
其中，Q函数通常被用于描述态的性质，Husimi函数用于描述态的等效或者重构，Weyl函数则用于描述态的量子特性和时间演化。
量子Wigner函数的应用有很多，其中一个是描述量子通信中的纠缠态。
在量子通信中，常见的纠缠态有Bell态和W态。
Bell态可以描述两个量子比特之间的量子纠缠，W态可以描述多个量子比特之间的量子纠缠。
利用Bell态和W态可以实现远程量子通信、量子密码学和量子隐形传态等量子技术，同时也为量子计算提供了支持。
除了量子通信，量子Wigner函数还可以用于描述量子场论中的粒子时空演化和相干态的描述等。
另外，在实验室制备和探究新型量子态时，利用量子Wigner函数可以帮助量子物理学家更好地理解新型量子态的物理特性和量子特性。
总之，量子Wigner函数是量子计算中的一个重要工具，它是描述量子态的一种方式，在通信、计算和研究量子现象等方面都有重要的应用。
随着量子技术的不断进步和发展，量子Wigner函数也将有更广阔的应用空间。
非对易相空间中的Moyal方程和Wigner函数
关
键
词 ： 对 易相 空 间 ；Ｗｉｎ ｒ 数 ； ｙ ｌ 非 ｇｅ函 Ｍｏ ａ 方程 ；星 乘 ；谐 振 子 相 干 态 文献标志码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ０ ８９ ９ （ ０ １ ０ — ６ 一 ５ １ ０ — ４ ７ ２ １ ） ２１ ３ Ｏ
ｍｕ ｉ８ ０ ４ ，Ｃ ｉ ａ ． ｐ ｒ ｎ ｆ Ｐ ｙ ｉｓ ｑ ３ ０ ６ ｈ ｎ ；２ Ｄｅ ａ ｔ ｔｏ ｈ ｓ ，Ｈａ ｇ ｈ ｕ Ｔ ａ ｈ ｒ Ｕ ｉｅｓｔ ｍｅ ｃ ｎ ｚ ｏ ｅ ｃ ｅ ｓ ｎ ｖ ｒｉ ｙ，Ｈａ ｇ ｈ ｕ ３ ０ ３ ，Ｃ ｉａ ｎ ｚ ｏ １ ０ ６ ｈｎ ； ３ Ｄ ｐ ｒｍｅ ｔ ｆ Ｐ ｙ ｉ ， ｈ ｎ ｉ ｉ ｅｓ ｙ ｏ ｅｈ ｏｏ ｙ， ｎ ｈ ｎ ２ ０ １ Ｓ ａ ｘ ｒ ｖ ｎ ｅ ｈ ｎ ） ． ｅ ａ ｔ ｎ ｈ ｓ ｓ Ｓ ａ ｘ ｖ ｒ ｉ ｆ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｈａ ｚ ｏ ｇ ７ ３ ０ ， ｈ ｎ ｉ ｏ ｉｃ ，Ｃ ｉａ ｏ ｃ Ｕｎ ｔ Ｐ
第 ３ ８卷 第 ２期 ２ １ 年 ３月 ０１
浙 江 大 学 学 报 （ 学版 ） 理 Ｊ ｕ ｎ ｔｏ ｈ ｊ ｎ ｎｖｓ ｉｕＳ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒｈｌ ｆ ／ ｅ ａ ｇＵ ｎ ｅｓｊ（ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ａ ｐ： ｗｗｗ．ｏ ｒ ａｒｚ ． ｄ ． ｎ ｓｉ ／ ｉ ｊ ｕ ｉｌ．ｔ ｅ ｅ ｃ ／ ｃ ｙ ｕ ｉ ｔ Ｚ
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wigner函数的性质及其在一维无限深势阱和一维谐振子中的应用
wigner函数的性质及其在一维无限深势阱和一维谐振子中的应用Wigner函数是量子力学中的一个重要概念，用于描述粒子的相空间分布。
它是一个实数函数，通过对波函数的坐标和动量进行Wigner变换得到。
Wigner函数在描述粒子的位置和动量分布方面具有一些独特的性质，同时在一维无限深势阱和一维谐振子中也有广泛的应用。
首先，我们来讨论Wigner函数的性质。
以下是一些关于Wigner函数的性质：1. Wigner函数是实数函数：相比于波函数，Wigner函数是实数函数，因此可以更直观地描述粒子的相空间分布情况。
2. Wigner函数的几何表示：Wigner函数的绝对值平方在相空间上给出了粒子的概率分布，而其相位则提供了粒子的相对相位信息。
因此，Wigner函数在一定程度上可以看作是粒子的“相干叠加”的结果。
3. Wigner函数的归一化：Wigner函数的积分对于任何变量都是归一化的，即积分值为1、这说明Wigner函数所描述的相空间概率分布与波函数所描述的位置和动量概率分布之间存在一种对应关系。
4. Wigner函数的量子化条件：由于Wigner函数既要满足位置空间的正定性又要满足动量空间的正定性，因此在进行Wigner变换时需要将一些苛刻的条件 imposed on it。
5. Wigner函数的时间演化：Wigner函数可以随着时间的演化而变化，这使得我们可以研究粒子在相空间中的运动轨迹。
现在我们来讨论Wigner函数在一维无限深势阱中的应用。
一维无限深势阱是一个极简单的势能形式，它在有限的区域内具有无限大的势能，在其它地方则势能为零。
在一维无限深势阱中，Wigner函数可以用来描述粒子在位置和动量方向上的分布情况。
通过计算Wigner函数，我们可以直观地了解粒子在势阱内的行为，例如粒子的位置分布、动量分布以及可能的相空间流动。
另一个常见的应用是在一维谐振子中。
一维谐振子是一个势能形式为x^2的系统。
引入Wigner函数,Weyl对应和Wigner算符相干态表象的新途径
关 键词 ：正规 乘积 内积分 ； ｇｅ 算 符 ； ｇ ｅ 函数 ； ｙ 对 应 Ｗｉｎｒ Ｗｉ ｒ ｎ Ｗｅ ｌ
中图分类 号 ：０ ３ ４１ 文献标 识 码 ：Ａ
０ 引 言
量 子 态 的 Ｗｉｎ ｒ函 数 理 论 … 是 量 子 光 学 和 ｇｅ
・＜＝ ｘ ＞ｌ ｘ 旁
却 ｐ ＜ ＞ ｐ Ｉ＝
特点 是 在 坐标 空 间 与动 量 空 间 的边 缘 分 布 恰 好 分
其 中 ：： 表 正 规 乘 积 。 于 是 我 们 自然 地 想 到 从 代 （ ） （ ） 造 出 如下 Ｇ ｕｓ型算 符 １与 ２构 ａｓ
△（ ）＝ ： （） ３
别是 测量 粒 子 在 坐 标 空 间与 动 量 空 间 的几 率 。 Ｗｉ ｅ ｇ ｒ函数 在 解 量 子 光 学 的 密 度 矩 阵 主 方 程 等 ｎ 方 面 都 有 广 泛 的 应 用 。近 来 若 干 新 的量 子 力 学 教
算 符 ， ｇｅ Ｗｉ ｒ函数 和 Ｗｉｎｒ 符 的 相 干 态 表 象 ， ｎ ｇｅ 算 简 洁地 阐述 了它 与 Ｗｅｌ 应 的关 系 ， ｙ对 出发 点 是 文 献 ［ ］ 介 绍 的坐 标 表 象 与 动 量 表象 完 备 性 的 正 ２中 规 乘 积 内 的积 分 形 式 ， 易 被 读 者 理 解 和 掌 握 。 容
代人 （３ 式积分立刻得 ｅ １）
收稿 日期 ：２ １ －３ １ ０ ０ —８ ０
基 金项 目：山东省 自然 科学 基金 （ ２ ０ Ａ１ ； 泽学 院 自然科 学 基金 （ Ｙ ７ ０ ）； Ｙ ０ ８ ６） 菏 Ｘ ０ ＷＬ １ 山东 省高 等 学校 实验 技 术 资
助 课 题 （ ｏ Ｓ４ １ ８ Ｎ ．０ Ｗ ３ ）
Wigner分布变换在全息计算中的应用
Wigner分布变换在全息计算中的应用
曹玉茹;韦穗
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2007(043)030
【摘要】Wigner分布函数的应用为信号的描述,特别是全息计算提供了一个新的研究方法.首先通过研究Wigner分布函数的性质特征,提取出Wigner分布函数中所包含的全息信息,其次给出Wigner分布变换在数字全息计算中的应用并给出模拟实验结果.
【总页数】3页(P15-17)
【作者】曹玉茹;韦穗
【作者单位】上海对外贸易学院,教育技术部,上海,201620;安徽大学,智能计算与信号处理教育部重点实验室,合肥,230039
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
【相关文献】
1.基于Wigner-Ville分布和Hilbert变换相结合的降噪解调法及应用研究 [J], 孙晖;赵菁;朱善安
2.基于短时傅立叶变换和Wigner-Ville分布的联合变换 [J], 张鑫;赵拥军
3.基于Wigner分布的全息显示方法 [J], 李克勋;曹玉茹;张子云;韦穗
4.像素全息谱的傅里叶变换全息图在防伪中的应用 [J], 朱芃芃;刘守;张向苏;刘川;
陈朋
5.裂纹转子识别中Wigner-Ville分布与小波变换的比较 [J], 邹剑;陈进;董广明因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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量子体系相干态的Wigner函数王娜（陕理工学院物理系物理学063班，陕西汉中，723001）指导教师：王剑华教授【摘要】：Wigner函数作为相空间中的一个准概率分布函数，它包含了量子态在整个相空间演化过程中的全部信息，具有十分重要的物理意义。
本文首先介绍了Wigner函数的定义和性质，其次计算了一维谐振子的相干态,并推广到三维谐振子相干态，将相干态表达式代入三维坐标空间Wigner函数的一般表达形式中，得到了相应的Wigner函数。
最后,介绍了增、减光子奇偶相干态下的Wigner函数及其所表现出的特性。
【关键词】：谐振子；量子体系；相干态；Wigner函数引言Wigner函数最早是由著名的物理学家Wigner于1932年[1]引进的，Wigner函数的引进是为了对热力学体系做量子修正而引入相空间中的准几率分布函数。
在描述量子光学、核物理、量子计算、量子混沌以及量子信息的控制和传递中，Wigner函数也有着非常重要的作用，并且是一个很好的半经典近似。
在上世纪70年代以前，Wigner函数并没有引起人们更多的关注。
直到1975年，Moyal 才从量子力学的内部逻辑出发，发现了这个引人入胜的乘法量子化方法[2]。
在这种量子化方法中，我们不需要选定一个特定的表象空间，比如坐标表象或动量表象，而且在现代量子测量中，量子态Wigner函数的重构[3]和测量对研究量子体系的演化过程有着重要的意义，这个定义于相空间的实函数具有准概率分布函数的性质。
一般说来，Wigner函数既可以取正值，也可以取负值，故不能像经典物理中那样，把Wigner函数看成粒子在同一时刻的坐标、动量的概率密度[4]。
准经典态的Wigner 函数始终是非负的，比如一维谐振子的较低的两个能量本征态[5]的Wigner函数，其中基态波函数相应的Wigner函数为非负[6]的，具有相空间中的旋转不变形。
但对于它的激发态，Wigner函数则可正可负，呈现出明显的非经典特征。
例如，从理论上，对行波场，重构方案包括光学零拍层析法[6]和光子计数法[7]；提出了腔场的原子偏转技术和微脉腔法[8]的重构方案；对腔肠，重构包括非线性原子零拍探测法[9]、量子态内窥法和原子偏转技术[10]等。
在实验上，稽英华[11]通过介观LC电路实现了压缩偶相干态，并讨论了其非经典特性；Kurtsiefer[12]对He原子束在双缝干涉实验中的Wigner 函数进行了很巧妙的测量，得到的结果与理论计算相一致； Nogues[13]利用原子偏转技术测量了单光子Fock态的Wigner函数。
这些重构和测量量子态的Wigner函数方案，极大地激发了研究者的兴趣。
在本文中我们首先回顾Wigner函数的定义和性质及其计算方法，其次利用积分法求出了谐振子相干态的Wigner函数，并将其扩展到多粒子体系，也即量子体系中来研究，并且得出多粒子体系的Wigner函数的表达式。
最后，介绍了增、减光子奇偶相干态下的Wigner函数及其所具有的特性。
1.Wigner函数的定义及性质对量子态的测量，是测量与波函数或密度矩阵等价的Wigner 函数。
Wigner 函数作为相空间中的一个实函数，具有准概率分布函数[14]的性质，是一个很好的半经典近似。
在三维相空间中，定态Wigner 函数的形式为，()()*31,()exp ()(2)22y y W x p dy x iyp x ϕϕπ+∞-∞=--+⎰ (1.1) 2/31()i py dy x y x y e ϕϕπ+∞-∞=-+⎰ (1.2) 按照（1.1）式的定义我们可以得到，含时Wigner 函数具有如下与经典力学中的Liouville 定理相似的动力学演化方程，W p W V Wt m x x p∂∂∂∂=-+∂∂∂∂. (1.3)对于给定的Hamiltonian (,)H x p ，Wigner 函数的动力学演化方程（1.3）可改写为如下的Moyal 方程，H W W HW t i*-*∂=∂, (1.4)这里的星乘*[15]由下式给出，()exp ,2x p p x i ⎡⎤*≡∂∂-∂∂⎢⎥⎣⎦(1.5)星乘*包含指数算符，由于是一个很小的量，因此，作为一个级数展开，乘法*可表示为， (,)(,)(,)(,),22p x i if x pg x p f x p g x p *=+∂-∂ (1.6)或者，(,)(,)(,)(,),22p x i if x pg x p f x p g x p *=-∂+∂ (1.7)对于能量本征态，Wigner 函数满足更具有约束性的*本征值方程，(,)(,)(,)(,)(,),22p x i iH x p W x p H x p W x p EW x p *=+∂-∂= (1.8)或者，(,)(,)(,)(,)(,),22p x i iW x p H x p W x p H x p EW x p *=-∂+∂= (1.9)这里的E 是能量本征方程H E ϕϕ=的能量本征值。
这两个方程完全描述了Wigner 函数的性质我们也知道，Wigner 函数重要性质之一就是(),W x p 为相空间中的实函数，即()()*,,W x p W x p = (1.10)重要性质之二为，(,)()()W x p dxp p ϕϕ*=⎰，(1.11)(,)()()W x p dp x x ϕϕ*=⎰， (1.12)(1.11)和(1.12)式表明Wigner 函数对坐标空间（或动量空间）的边缘分布为坐标表象（或动量表象）中的概率密度分布。
这一重要性质使得Wigner 函数具有更广泛的应用。
2.谐振子的相干态粒子在一维谐振子势221()2V x m x ϖ=中，选取自然长度(L =，初始时刻的状态为220()/21412(,0)x x L x L eϕπ----= (2.1)从量子力学看，它不可能是一个定态，事实上它既不是基态，也不是任何一个能量本征态，而是无限多个能量本征态按一定的权重的相干叠加[16]，即 0(,0)()n n x C x ϕϕ∞=∑ (2.2)其中，2212/2()!)(/)n xL n n x n L e H x L ϕ--=，22/40(/)xL n n C x L e -= (2.3)亦可采用平移算符D (x 0)表示为0/0(,0)()00xix p x x D x x e ϕ-== (2.4)利用谐振子的升降算符a +和a ，x p 可表示为 (2x m p a a ϖ+=- (2.5) 那么，()(,0)0aa x x eαϕ+-= (2.6)其中0α=则谐振子的相干态可表示为()0aa eαα+-= (2.7)可证明它为湮灭算符的本征态， aααα= (2.8)由于()a a a ++=≠，所以a 不是厄米算符，因此a 的本征值α不是实数而是复数。
3.坐标表象中谐振子相干态的波函数首先选取自然单位1m ϖ===，三维谐振子的升降算符a +和a 表示为，111111222222333333()()/()()/()()/a x ip a x ip a x ip a x ip a x ip a x ip +++⎧=+=-⎪⎪=+=-⎨⎪=+=-⎪⎩(3.1)由(2.7)式三维相干态αβγ可表示为,222,,e n m k nmk αβγαβγ⎧⎪⎪⋅⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩-∞--=∑= (3.2) 那么在坐标表象中，有222222112233222222112233,,222222112233,,,,,,,,,n m k n m k x x x x x x x x x x x x nmk x x x x x x nmk αβγαβγαβγ-∞--=-∞--='''---'''=---'''=---∑∑(3.3)其中，,,112233()()()112233222()()()112233222()()()112233x x x x x x nmk x x x x x x n m k x x x x x x N N N e e e H x x H x x H x x n m k n m k ϕϕϕ'''---'''=---'''------'''=--- (3.4) 将(3.4)代入(3.3)得，112233,,,x x x x x x αβγ'''---222222331122()()()12222222112233,,01(((!!!x x x x x x n n n n m k n m k eeeH x x H x x H x x n m k αβγπ---'''-------∞=='''⨯---∑ (3.5)利用公式2201()!s sxn n n eH x s n ∞-+==∑，可得1122332222221/2211221122223333,,1exp[()222222211()()()()()]22x x x x x x x x x x x x x x x x x x αβγαβγαβγπ-'''---'=--------'''''------- (3.6) 同理可得，112233222*2*2*21/22*11112*2*22223333,,1exp[()()222222211()()()()]22x x x x x x x x x x x x x x x x x x αβγαβγαβγπ-'''+++''=-------++''''-++-++ (3.7) 4.谐振子相干态的Wigner 函数下面我们利用Wigner 函数的定义式计算三维谐振子相干态的Wigner 函数。
将(3.6)、(3.7)代入(1.2)中得相应Wigner 函数为()3311221122331122331122333222123,;,;,1,,,,ip x ip x ip x W x p x p x p x x x x x x x x x x x x e e e dx dx dx αβγαβγαβγπ+∞-∞'''''''''=---+++'''⋅⎰2*22*22*22223222222111122223333***11112222333321exp{[]222111111[()()()()()()]222222()()()()()()]}ip x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e ααββγγαβγπ+∞-∞+++=------''''''+---+---+---+''''''+-++-++-++⋅⎰33112222123ip x x ip x e e dx dx dx ''''''进一步计算，有()331122112233*2*22*21123*2*2*233*2*2*2112233222123,;,;,1()()exp[)22()))]2exp[)))]+∞-∞'''++=--++--++--++''''''+------'''⋅⎰ip x ip x ip x W x p x p x p x x x x x x x x x x x x e e e dx dx dx αβγααββααπγγββγγαβγ***2221233**22111222*23131231exp[(((]exp{[2(2(][2(]}x x x x i p x x i p x x i p x dx dx dx π+∞-∞=---''''⨯-----'''''+--⎰ (4.1)利用积分公式2222exp[2]x i x dx γββγβ+∞--∞-±=⎰，得到()112233****22221122**2233,;,;,11exp[((]exp[((]1exp[((]W x p x p x p x p x p x p αβγπππ=--⨯---⨯--22221122322331exp{[()()][()()][()()]}x p x p x p ααββπγγ=---+---+-- (4.2)此式即为三维谐振子相干态的Wigner 函数的表达式。