初中数学竞赛模拟试题(1)概要

初中数学竞赛模拟试题(1)

一、选择题（每小题6分，共30分）

1．方程1)

1(3

2

=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）

（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3

1

=AB AD ．若在边AC 上取一点E ，

使四边形DECB 的面积为

43，则EA

CE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5

1

3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底 边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ）

（A ）等于4 （B ）等于5

（C ）等于6 （D ）不能确定 （第3题） 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线

2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个

（A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分．

（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分）

6．当x 分别等于

20051，20041，20031，20021，20011，2000

1

，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式

2

2

1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ．

7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2

5

，则关于x 的不等式b ax +＜ 0的解为 ．

·

D

C

O

B

A

8．方程02

=++q px x 的两根都是非零整数， 且198=+q p ，则p ＝ ．

9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积 等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积

等于 ． （第9题）

10．设有n 个数1x ，2x ，…，n x ，它们每个数的值只能取0，1，－2三个数中的

一个，且++21x x …5-=+n x ，++2

221x x …192=+n x ，则++5251x x …5n x +的值是

．

三、解答题（每小题15分，共60分）

11．如图，凸五边形ABCDE 中，已知S △ABC ＝1，且EC ∥AB ，AD ∥BC ，BE ∥CD ， CA ∥DE ，DB ∥EA ．试求五边形ABCDE 的面积．

（第11题）

12．在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程

k x x kx x +=-++31

3

2的解，求 实数k 的取值范围．

13．如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，求△AOB 面积的最小值．

A

B

F

C

E

D

D

A B

C

E F

14．预计用1500元购买甲商品x 个，乙商品y 个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．

（1）求x 、y 的关系式；

（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x 、y 的值．

参考答案

一、选择题

1．C 2．B 3．B 4．A 5．C 二、填空题

6．6 7．8-

11．∵ BE ∥CD ，CA ∥DE ，DB ∥EA ，EC ∥AB ，AD ∥BC ，

∴ S △BCD ＝S △CDE ＝S △DEA ＝S △EAB ＝S △ACB ＝S △ACF ＝1． 设S △AEF ＝x ，则S △DEF ＝x -1，

又△AEF 的边AF 与△DEF 的边DF 上的高相等， 所以，

x

x

AF DE -=1，而△DEF ∽△ACF ，则有 x x x AF DF S S ACF DEF -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆1)1(2

22

． 整理解得 2

1

5-=

x ． 故S ABCDE ＝3S △ABC ＋S △AEF ＝

2

5

5+． 12．原方程可化为0)3(322

=+--k x x ，①

（1）当△＝0时，833-

=k ，4

3

21==x x 满足条件； （2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122

=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为

21，故原方程也只有一根2

1

=x ； （3）当方程①有异号实根时，02

3

21<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有

一个正实数根；

（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为2

3

=

x ，此时原方程也只有一个正实根。

综上所述，满足条件的k 的取值范围是8

33

-

=k 或4-=k 或3-≥k ． 13．解：设一次函数解析式为y kx b =+，则32k b =+，得32b k =-，令0y =得

b x k =-，则OA ＝b k

-．

令0x =得y b =，则OA ＝b ．

222

1()21(32)214129

2124]212.

AOB b

S b k

k k

k k k

∆=

⨯-⨯-=⨯--+=⨯

-=⨯-+≥ 所以，三角形AOB 面积的最小值为12．

14．（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a 元和b 元，则原计划是

1500=+by ax ， ①

由甲商品单价上涨1. 5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得

1529)1()10)(5.1(=++-+y b x a ．②

再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得

5.1563)1()5)(1(=++-+y b x a ， ③