最新中职数学基础模块教学设计：一元线性回归

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8.5一元线性回归案例(3)教学设计

8．5一元线性回归案例（3）一、教学目标（一）知识目标一元线性回归直线方程的求法（二）能力目标熟练利用公式求相关系数；掌握求一元线性回归直线方程a=的方法；加深理bxy+解线性回归模型的意义（三）情感目标培养学生分析问题，解决问题的能力，收集数据和处理数据的能力二、教学重点一元线性回归方程的求法三、教学难点对线性回归模型的理解四、教学过程（一）引入课题在上两节课中我们学习了如何求相关系数，建立线性回归模型，利用最小二乘法得到线性回归模型。

那么这节课我们对这些知识加深理解和巩固。

（二）案例讲解案例一“小卖部”遇到的一个小难题：昨天最高气温c 0，生产的100杯热珍珠奶茶下午全部买完，晚间无货供应；今天加大生产150杯，谁知“天公不作美”，最高气温c 7，只买出102杯，剩下全部报废，小卖部损失严重。

气象台预测明天：最高气温c 5，估计应该生产多少杯比较适合呢？就读高二的你能根据下列有关数据利用“数学方法”作出相对合理决策吗？解：设温度为x，卖出的杯数为y，画出散点图图8－5－11从散点图看，点分布在以直线附近，可建立线性回归模型。

列表如下：则利用计算器得：98.01111111112211122111-=---=∑∑∑===i i i ii i iyy xxyx y xr ，所以x 与y 高度负相关，建立线性回归方程a bx y +=，计算得35.2-=b ，77.147=a ，所以回归直线方程为77.14735.2+-=x y当c x5=时，136≈y 所以明天生产136杯较为合适。

（三）课堂练习1．在下列各量与量的关系中： ①正方体的体积与棱长间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄；④家庭的支出与收入；⑤某户家庭用电量与电价间的关系。

是相关关系的为（）A ．②③B ．③④C ．④⑤D ．②③④2．某工厂某产品产量x（千件）与单位成本y（元）满足回归直线方程x77-=，.36y82.1则以下说法中正确的是（）A．产量每增加1000件，单位成本下降1.82元B．产量每减少1000件，单位成本上升1.82元C．产量每增加1000件，单位成本上升1.82元D．产量每减少1000件，单位成本下降1.82元3．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为x60+=，下列判y90断正确的是A．劳动生产率为1000元时，工资为150元B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D．劳动生产率为1000元时，工资为90元4．现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩（x）与入学后的第一次考试中的数学成绩（y），数据如下：5．为研究重量x（单位：克）对弹簧长度y（单位：厘米）的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，得如下数据：（2）如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程。

一元线性回归方程教案

8.5 一元线性回归案例湘教版选修 2-3 第 8.5 节【教学目标】（一）知识与技能了解样本、样本容量、线性回归的概念，理解变量之间的相关系数的概念、相关系数、一元线性回归直线等概念。

（二）过程与方法熟练利用公式求相关系数，掌握求一元线性回归直线方程 l : y = bx + a. 的方法，加深理解线性回归模型的意义。

判断变量间是否线性相关。

（三）情感、态度与价值观培养学生分析问题、解决问题的能力，收集数据和处理数据的能力。

【教材分析】1. 教学重点：让学生了解线性回归的基本思想和方法。

2. 教学难点：掌握建立回归模型的基本步骤。

3. 变量间的关系：函数关系：自变量 x 确定 y 唯一确定；（确定关系）相关关系：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系。

例如：在水稻产量与施肥量的关系中，施肥量是可控制变量，而水稻产量是随机变量。

因此只能说明水稻产量与施肥量是相关关系。

现实生活中相关关系大量存在，从某种意义上看，函数是一种理想的关系模型，而相关关系式一种更为一般的情况，因此更有研究相关关系的必要了。

4. 一元线性回归分析在具有相关关系的变量中如果因变量仅与一个变量有关，相应的统计分析成为一元回归分析；若与因变量与多个自变量有关，称为多元线性回归分析。

5. 线性相关性检验：（相关系数检验法）当 r>0 时，我们称其正相关；当 rxy <0 时，我们称其负相关；当r xy=0 时，我们称其不相关。

教学过程教师活动学生活动问题一：如果有两个变量X和Y，那么这两个变量之间有什么关系呢？答：设计意图引入新知讲授新知（联系我们之前学过的知函数：涉及了两个变量，自通过对两识，哪些涉及了两个变量并变量X因变量Y，个变量之着重强调两个变量之间的随着自变量X的变化相应间关系的关系呢？）的有唯一的因变量Y与之探讨，既用身高和体重这个例子引对应复习了已出相关关系学的函数那么什么叫做相关关系函数关系知识，又呢？引出这节函数关系与相关关系之间课所要关又有什么异同点呢？相关关系注的相关那么这节课我们就一起来关系。

《一元线性回归》中职数学(基础模块)下册10.5【高教版】2

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与此相反，如果坐在前面，首先心情就很不同，自己比别人靠前的感觉让你听课时的态度变得更积极。与老师眼神交会的机会增多，感觉就好像是老师在做一对一个人辅导。
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有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
理论升华整体建构
相关关系的定义？相关关系的特点？
变量之间的这种非确定性的相互依存的关系叫做相关关系．
相关关系的特点是，当一个变量或n个变量的值
确定后，另一个变量的值虽然与它（或它们）有着密切的关系，但却无法完全确定．

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10.5 一元线性回归
自我反思目标检测
学习方法
2019/8/9
教学资料精选
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谢谢欣赏！
2019/8/9
教学资料精选
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表面上散点图中的这些点杂乱无章，
但是大体上呈现出一种直线走向趋势〔这
是非常重要的，否则不能用一次函数来近
似〕.这启发我们，人的体重y与身高x大体
上有一次函数的关系，，即可以近似地有 y a bx
其中a、b是未知的，可以用样本的数
aˆ 据去估计a、b的值，估计值分别写作
和 bˆ

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认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
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低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充

一元线性回归案例教案设计人教课标版(实用教学设计)

一元线性回归案例教案设计人教课标版(实用教学设计)引言教案的目的是帮助学生理解并掌握一元线性回归的基本概念和应用。

本教案设计适用于人教课标版教材，旨在提供实用的教学设计方案。

教学目标- 让学生了解一元线性回归的定义和基本原理。

- 培养学生使用一元线性回归进行数据分析和预测的能力。

- 培养学生运用一元线性回归解决实际问题的能力。

教学内容1. 一元线性回归的概念和原理- 引导学生了解线性回归的基本概念，并重点介绍一元线性回归。

- 讲解一元线性回归的原理和数学表达式。

- 实际案例分析，让学生明确一元线性回归的实际应用。

2. 数据集收集和处理- 引导学生研究如何收集适用于一元线性回归的数据集。

- 教授数据处理和清洗的方法，确保数据的准确性和可靠性。

3. 模型建立和拟合- 讲解如何建立一元线性回归模型。

- 引导学生研究如何进行模型参数拟合，并解读拟合结果。

4. 数据分析和预测- 使用建立好的一元线性回归模型，进行数据分析和预测。

- 引导学生分析预测结果，并讨论模型的准确性和可靠性。

5. 实际问题解决- 引导学生应用一元线性回归解决实际问题。

- 带领学生思考如何调整模型参数以获得更好的结果。

教学方法与手段- 课堂讲授：通过讲解基本概念、原理和方法，帮助学生建立知识框架。

- 案例分析：通过实际案例分析，让学生了解一元线性回归的实际应用。

- 数据实践：引导学生收集数据集并进行分析和预测，让学生亲身体验一元线性回归的过程。

教学评价与反馈- 课堂小测验：通过布置小测验，检查学生对一元线性回归的理解和能力。

- 学生作业：布置作业，让学生运用一元线性回归解决实际问题，并提交报告。

- 教师评价与反馈：根据学生的表现和作业报告，评价学生的理解和能力，并提供反馈建议。

结束语通过本教学设计，学生能够全面了解一元线性回归的概念、原理和应用，并具备运用一元线性回归解决实际问题的能力。

希望本设计能为教师提供实用的教学指导，帮助学生取得良好的学习效果。

一元线性回归模型教学设计

一元线性回归模型教学设计一、教学目标通过本次教学，学生应该能够：1. 了解一元线性回归模型的基本概念和原理；2. 掌握一元线性回归模型的建立和求解方法；3. 能够运用一元线性回归模型解决实际问题；4. 培养学生的数据分析和模型建立能力。

二、教学内容1. 介绍一元线性回归模型的基本概念- 线性回归模型的基本思想- 回归方程和回归线的含义- 最小二乘法的原理2. 一元线性回归模型的建立和求解方法- 数据收集和变量选择- 模型建立和参数估计- 残差分析和模型检验3. 运用一元线性回归模型解决实际问题- 实际问题的建模方法- 数据处理和分析方法- 结果解释和模型评价三、教学过程1. 导入引入案例通过一个实际案例来引入一元线性回归模型的概念和应用，例如预测房价与房屋面积的关系。

2. 概念讲解- 介绍线性回归模型的基本思想和原理，以及回归方程和回归线的含义；- 解释最小二乘法的原理及其在一元线性回归模型中的应用。

3. 模型建立和参数估计- 数据收集和变量选择：讲解数据收集的方法和重要性，以及对自变量的选择；- 模型建立和参数估计：讲解如何建立一元线性回归模型并通过最小二乘法来估计模型的参数。

4. 残差分析和模型检验- 残差分析：讲解残差的概念及其在回归模型中的含义；- 模型检验：讲解常用的模型检验方法，如回归系数的显著性检验、模型拟合优度检验等。

5. 实际问题的建模和解决- 介绍实际问题的建模方法和步骤，包括数据处理、模型选择和参数估计；- 使用实际数据进行模型的建立和求解，分析结果并给出合理解释。

6. 教学案例练习提供多个一元线性回归的教学案例，供学生进行实践操作和分析讨论。

7. 总结归纳小结一元线性回归模型的基本概念、建立方法和应用步骤，提醒学生需要注意的问题和要点。

四、教学手段教学手段可以采用多种形式，如讲解、示范、案例分析、课堂练习、小组讨论等，通过多种形式的互动与合作，达到知识的传授和能力的培养。

“一元线性回归模型”教学设计

一、内容和内容解析1.内容结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.2.内容解析“一元线性回归模型”是北师大版《普通高中课程标准实验教科书·数学3（必修）》（以下统称“教材”）第一章“统计”第8节的内容，是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例.在此之前学生学习了数据的统计特征，在实际中经常要研究变量之间的相关关系，以最基本的一元线性回归为载体，通过画散点图描述两个变量之间关系的统计特征，用样本的情况去估计总体的情况，启发学生理解拟合思想，尝试构造函数模型去近似刻画变量之间的相关关系，有利于进一步发展学生的统计观念，培养学生的统计应用意识和能力，也为后面进一步学习独立性检验奠定基础.本节课的教学重点为经历一次完整的统计应用活动，会画散点图直观表示两个变量之间的相关关系，理解直线拟合的思想，理解最小二乘原理，会利用计算器和Excel 软件进行数据处理，会根据最小二乘法建立一元线性回归模型解决实际问题.教材从身高与右手一拃长的相关关系研究出发，通过画散点图，观察发现所有点都在一条直线附近波动，进而判断两个变量之间线性相关，从而可以用一条直线近似刻画两个变量之间的相关关系.引入直线拟合的概念，然后思考如何确定这条直线能更合理地近似刻画这种关系.采取小组讨论的方式，引导学生从定性到定量，建立一种数学上的“理想”的拟合方式，即考虑如何使得所有样本点到一条直线的“整体距离”最小，从而引入最小二乘法，建立一元线性回归模型.会利用信息技术求出两个变量之间的线性回归方程，从而对实际问题进行预判和决策.为了创设有利于学习的实际问题情境，本节课选取中央电视台社会与法频道《见证》栏目《神眼追踪》中足迹鉴定专家神奇破案的真实案例片断导入课题，通过思考怎样根据足迹推断犯罪嫌疑人的身高引出身高与鞋码有相关关系，引导学生经历一个完整的统计活动过程，探究身高与鞋码之间的相关关系.通过从学生中现场收集数据、整理数据，利用散点图描述数据、分析数据（直线拟合，探索回归直线方程的求法），运用最小二乘法刻画数据特征求得回归直线方收稿日期：2021-01-15作者简介：黄润华（1982—），男，中学一级教师，主要从事高中数学教育教学研究.“一元线性回归模型”教学设计黄润华摘要：本节课是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例.结合两个变量之间线性相关的具体实例，经历统计活动，理解最小二乘原理，利用计算器和Excel 软件进行数据处理，建立一元线性回归模型，从而进行实际预测，解决实际问题.了解利用回归直线刻画两个变量之间相关关系的代表性，理解回归直线必过样本点的中心，并能对统计活动结果进行反思.关键词：线性回归；统计应用；数学建模；数据处理··9程，对实际问题进行预测，对统计结果分析与反思等环节，理解统计应用的思路与过程.在由散点图得到两个变量之间线性相关的基础上，着力探讨如何确定一条直线来更好地近似刻画这种关系，进行直线拟合.通过小组讨论与交流，引导学生从定性分析到定量计算，建立一种数学上的“理想”的拟合方式，即考虑如何使得所有样本点到一条直线的“整体距离”最小，从而引入最小二乘法建立一元线性回归模型.引导学生理解任一样本点()x i ，y i 与直线上横坐标为x i 的点之间的距离是刻画点到直线的远近的一种新的形式，其平方同样可以近似刻画点到直线的远近，从便于运算的角度我们选择平方，最小二乘法的基本思想即使所有样本点到直线的“距离”的平方和最小.从而，如果能判断两个变量之间具有线性相关关系，就能利用最小二乘法求出两个变量之间的线性回归方程，从而进行预判决策.本节课旨在建立一种统计模型来近似刻画实际问题中两个变量之间的关系，在问题解决的过程中发展学生的统计观念，理解数据分析的新思路和新方法，理解方法中蕴涵的数学思想，理解方法的目的和本质，体会统计模型的必要性和合理性.引导学生陷入机械、烦琐的公式计算中，从数据处理的角度思考如何避免繁杂的运算，认识到根据最小二乘法的思想和公式研发程序是源于生产生活实际需要，有其必然性，把握数据处理的思路，注重与信息技术的融合，对于提高学生的信息素养、进一步发展学生的统计观念、培养学生数据分析和数学建模等核心素养都起着非常重要的作用.二、目标和目标解析1.目标以发展学生的统计观念为核心，践行“四基”、发展“四能”，在问题解决中着重培养学生数据分析和数学建模等素养，根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）中“一元线性回归模型”的内容及要求，确定本节课的教学目标如下.（1）经历完整的统计活动过程，进一步体会应用统计的思想和方法解决实际问题.（2）会画散点图判断两个变量之间是否线性相关，理解数据分析的思路和方法.（3）掌握用最小二乘法建立一元线性回归模型刻画两个变量之间的线性相关关系的方法.（4）会用计算器和Excel 软件求线性回归方程，并能根据一元线性回归模型进行预测.（5）理解一元线性回归模型参数的含义和统计结果的意义，会进行反思.2.目标解析目标（1）解析：本节课是统计应用案例，通过对实际问题中两个变量之间相关关系的研究，经历对两个变量间呈现一个大致的整体集中趋势的近似刻画的过程，开拓统计应用的新天地，进一步培养学生的统计应用意识.目标（2）解析：通过画散点图，类比函数图象可以看出两个变量之间的大致关系，并判断它们之间是否线性相关，探索发现数据处理的新思路和新方法.目标（3）解析：通过分组讨论和思考交流，了解直线拟合的思想，理解最小二乘法是一种方便可行、直观美妙的方法，从而建立一元线性回归模型.目标（4）解析：理解运用信息技术进行数据处理的必要性，并学会利用计算器和Excel 软件求线性回归方程，理解程序背后的数学思想与方法.能根据一元线性回归模型完成计算预测，从而解决实际问题.目标（5）解析：数学源于生活，又服务于生活.结合实际理解一元线性回归模型的含义和统计结果的意义.通过对统计活动各环节的反思，逐渐理解问卷的设计、样本的选取、分析方法的运用都会对统计结果产生影响，引导学生理解对统计结果保持批判性态度的必要性和重要性.三、教学问题诊断在义务教育阶段，学生初步建立了统计观念，了解了统计活动的全过程，学习了数据收集、整理、描述和分析的基本方法.在高中阶段，学生通过统计的学习进一步发展了统计观念，能较好地把握数据分析的基本思路，对统计的基本思想与应用有了更加深刻的体会.学生不知道应该怎样刻画两个变量之间的相关关··10系.尽管经过初中的学习，学生已经具备了比较丰富的函数知识，知道了函数可以刻画两个变量之间的一种确定性关系，但是对不满足函数关系的两个变量要怎么处理会感到困难.要引导学生理解相关关系的本质是一个变量可能受到其他多个变量的影响，故它的值会呈现一定的随机性或者波动性，这种波动在大量数据中往往会呈现一定的规律性，这就是回归分析要解决的问题.对两个变量之间相关关系的刻画，本质上是利用函数模型进行近似刻画，蕴涵着转化与化归思想.在画出散点图后，引导学生观察、刻画两个变量之间关系的统计特征.在给出线性相关的基础上，到底用哪条直线近似刻画更好，学生感到很茫然.故而采取分组讨论的方式，先让学生自主尝试，彼此交流想法，体会回归的含义，画出直线，然后通过小组间的交流再去归纳共性，建立一定的“理想”标准——所有样本点和直线整体上最接近.怎么刻画所有样本点和直线整体上最接近呢？这是一个很关键的问题，要引导学生理解在横坐标一定的情况下，样本点可以理解为在平均水平上下波动，从而建立一种新的标准来刻画点到直线的远近，即用任意一点()x i ，y i 与这条直线上横坐标为x i 的点之间的距离来刻画，而不是用数学上的距离来刻画.不仅如此，绝对值还面临一个计算上的困难，而统计上在方差里已经用了平方和表示，这里的本质其实是一样的.教学中采用对话教学法，启发学生进行知识迁移.学生对系数计算公式的理解存在较大的困难.根据最小二乘法推导出来的系数计算公式比较复杂，还包括两种不同形式的表达，直接运用公式计算需要分若干步，比较麻烦.教学时引导学生逐步认识公式，分析公式结构的特点，帮助学生更好地了解公式，并逐步渗透研发程序计算的必要性，建立自然合理的教学逻辑，了解程序背后的思想方法.利用计算器和Excel 软件求线性回归方程属于新的技能，需要教师以适当的方式传授.虽然学生具备了一定的计算机操作与计算器使用技能，但涉及利用最小二乘原理求系数的值，这需要学会使用计算器有关的统计功能.为了使计算器操作程序直观化、效果有引领性，教师在课前录制“利用计算器求线性回归方程”的微课，课上播放微课传授新技能.而对于利用Excel 软件求线性回归方程，则根据其操作简单易学的特点，采取教师随堂操作演示的方式传授技能，并录制微视频供学生课后上机操作时使用，以调动学生的学习热情，辅助学生学习.本节课的教学难点是理解直线拟合的必要性与合理性，掌握建立一元线性回归模型的一般原理.为突破难点，设计了求线性回归方程的小组讨论活动和帮助小卖部决策等问题，在探究和交流中领会思想，提升统计应用的能力.四、教学媒体设计本节课思想性、整体性、应用性强，决定采用情境—启发式探究教学模式，创设有利于学生学习的环境，通过小组讨论与实践应用，引导学生理解拟合思想，培养学生的自主探究能力与合作交流能力，发展学生的统计观念，提高学生的数学应用意识.为创设情境，更好地突出重点，突破难点，本节课主要进行了如下设计.1.导入使用真实案例为了创设真实的问题情境，选取了中央电视台社会与法频道《见证》栏目的真实神探破案视频导入课题，围绕神探怎样由足迹推断出犯罪嫌疑人的身高这一核心问题，根据足迹提供的有关信息，导入身高与鞋码这两个变量之间的相关关系的研究.2.设计了画散点图的课堂活页为了让学生亲自体会描点画图描述身高与鞋码之间的相关关系的过程，专门设计了一份课堂活页，内容为平面直角坐标系，横轴表示鞋码，纵轴表示身高，标示了相应的数值，便于学生描点.展示学生作图成果，并在后面的小组讨论中继续使用，在黑板上张贴画回归直线的成果，表述作法，有效揭示了学生的思维过程.3.Excel 表格一表多用，无缝衔接在现场收集数据时，由学生负责将样本数据逐一输入Excel 表格中，运用信息技术将表格数据同步到描述数据环节和学生利用计算器根据现场数据计算线性回归方程、教师操作演示利用Excel 软件求线性回归方程等环节，实现了数据的同步无缝应用，体现了信息··11技术的实用性.4.自主录制微课，传授技能经过反复研究，为了便于学生学习如何利用计算器求线性回归方程，采取了自主录制微课的形式；为了辅助学生课后上机利用Excel软件求线性回归方程，也录制了一个微课，供学生自主学习使用，课堂上不播放.5.课件简洁优美整节课共六个环节，仅使用10张幻灯片，节奏明快，界面简洁优美，既呈现了主要思路和内容，又做到了不同环节之间必要的无缝对接，信息技术融合应用恰当.6.板书简洁有条理板书呈现了统计活动的主要过程和一元线性回归模型的基本原理，通过学生活动和小组活动成果的展示，能够引导学生更好地理解直线拟合的背景和一元线性回归模型的含义，便于学生从整体上把握整节课的学习.五、教学过程设计1.创设情境，提出问题（1）俗话说，三百六十行，行行出状元.各行各业都有许多楷模.他们是公安楷模，是人民的守护神.下面我们来看一段公安神探破案的视频.播放《见证》栏目《神眼追踪》中神探足迹鉴定专家神奇破案的真实案例片断.（2）思考：神探根据足迹推断出了犯罪嫌疑人的身高，足迹能给我们提供什么信息呢？（3）提出问题：它们之间的相关关系具体是怎样的？神探又是怎样推断的呢？（4）导入课题：一元线性回归模型.【设计意图】以真实案件视频片断导入课题，关注社会、设置悬念，从研究身高与鞋码之间的相关关系入手，也为后面反思身高与足迹之间的相关关系埋下伏笔.2.统计分析，探究交流要研究两个变量之间的相关关系，根据统计学知识，我们首先应该做什么呢？收集数据：现场收集8对鞋码与身高的数据，用Excel软件同步导入如表1所示的电子表格中.表1鞋码身高通过观察表中数据，大体上可以发现，随着鞋码的增加，身高也在增加.【设计意图】从在座学生中现场随机收集鞋码与身高的数据，使样本数据源自学生，让学生体验样本的随机性，理解样本的代表性.描述数据：观察表中数据，大体上看，随着鞋码的增加，身高也在增加.你会怎样来直观表示身高与鞋码之间的这种关系呢？类比函数图象，描点画图.不妨设鞋码为x，身高为y，得到8个数对()x1，y1，()x2，y2，…，()x8，y8，将它们对应的点描出来，所得到的图称为散点图.学生在活页上的平面直角坐标系中画出散点图.教师展示学生作图成果，张贴到黑板上，随即分析图形特点.【设计意图】引导学生类比函数去认识身高与鞋码两个变量之间的相关关系，并亲自画散点图直观表示它们之间的相关关系，为数据分析作准备，了解拟合的背景.分析数据：观察散点图，你有什么发现呢？所有点看上去都在一条直线附近波动.线性相关：如果散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动，称变量间线性相关.此时，可以用一条直线来近似刻画它们之间的关系，这样近似的过程称为直线拟合.探究：怎样确定这条直线呢？你是怎么想的？在小组内交流，并画出这条直线.教师展示小组讨论成果，汇报各自想法，分析不同想法的共同点.【设计意图】设计确定回归直线的小组讨论活动，自主探究、交流讨论，加深对回归含义的感知，并尝试得出确定这条直线的方法.3.建立模型，理解原理各小组做法虽然不同，但其实想法是一致的，都是希望所有点和这条直线尽可能接近，也就是整体距离最小，如何用数学的方法刻画呢？··12建立模型：假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据()x 1，y 1，()x 2，y 2，…，()x n ，y n ，所求回归直线方程为y =bx +a ，那么如何刻画这些点和直线y =bx +a 整体上最接近呢？思考交流：不妨先刻画任意一点P i ()x i ，y i 和直线y =bx +a 的远近，说说你的想法！①用点到直线的距离来刻画.②用点()x i ，y i 与这条直线上横坐标为x i 的点之间的距离来刻画点()x i ，y i 到直线y =bx +a 的远近，即用||y i -()bx i +a ()i =1，2，3，…，n 来刻画点()x i ，y i 到直线y =bx +a 的远近.哪一种想法更合适呢？【设计意图】设置问题串启发学生分析如何刻画一个点到回归直线的远近，从实际意义的角度创造性地定义新的标准来刻画点到直线的远近，进一步理解波动和回归的意义，渗透创新思维的培养，理解数学的应用价值.所有点()x i ，y i 到直线y =bx +a 的“整体距离”表示为Q =||y 1-()bx 1+a +||y 2-()bx 2+a +…+||y n -()bx n +a =∑i =1n||y i-()bx i+a .要求回归方程，就是要确定a ，b 的值，使Q 的值最小.绝对值方便计算吗？【设计意图】通过对绝对值运算的分析，理解图中点与直线位置关系的不确定性，即点的波动性与直线的待定性.类比方差的知识，用∑i =1n[]y i -()bx i +a 2表示所有点到直线的“整体距离”，发挥知识的正迁移作用.理解原理：由于绝对值计算不方便，在实际应用中，我们常使用Q =[]y 1-()bx 1+a 2+[]y 2-()bx 2+a 2+…+[]y n-()bxn+a 2=∑i =1n[]y i -()bx i +a 2进行计算.线性回归方程：经过推导，确定回归方程y =bx +a 中b ，a 的计算公式如下.ìíîïïïïb =∑i =1n ()x i -xˉ()y i -y ˉ∑i =1n()x i -x ˉ2=∑i =1nx i y i -nx ˉy ˉ∑i =1n x i 2-nx ˉ2，a =yˉ-bx ˉ.意义分析：第一个表达式是x i 减x ˉ乘以对应的y i减y ˉ求和，去除以x i 减x ˉ的平方和；第二个表达式是x i 乘以对应的y i 求和减x ˉyˉ积的n 倍，去除以x i 的平方和减x ˉ的平方的n 倍.公式看似复杂，但是结构优美，都是分式形式.先看第一个公式，分子分母结构相同，如果把分子中的y i 变成x i ，y ˉ变成x ˉ，则分子与分母就完全一样了；第二个公式也具有一样的结构.公式的具体推导过程大家可以在课后进行思考.使∑i =1n[]y i -()bx i +a 2最小从而求得线性回归方程的方法叫做最小二乘法.思考：由a =y ˉ-bx ˉ，得y ˉ=bx ˉ+a.你发现了什么？回归直线y =bx +a 经过点()x ˉ，y ˉ，即样本点的中心.【设计意图】根据《标准》的要求和课程安排，着重把握方法背后的数学思想方法，引导学生课后探讨使Q 最小的系数b ，a 公式的推导过程，课堂上对公式进行详实分析，充分认识公式的结构，引导学生欣赏数学美.同时，还分析得到回归直线过样本点的中心，了解回归直线的代表性.4.运行程序，计算预测设置递进式问题串：（1）有了公式，下面是否可以动手计算系数b ，a 呢？（2）是否可以用计算器？（3）用计算器肯定可以轻松很多，但是如果有成千上万个数据呢？随着信息技术的发展，根据最小二乘法的思想和公式研发程序进行数据处理成为必然.【设计意图】从公式的理解到引导学生认识运用公式计算系数b ，a 的困难，感受使用计算器的必要性，再考虑到统计往往面对的是大量的数据处理工作，用计算器替代公式计算也是非常繁杂且易出错的，从而认识到研发程序的必要性，培养学生优化运算的思维.利用计算器求回归方程（播放微课），先开启计算器，然后分如下三个步骤.①选择模式：按MODE 键，进入模式选择，按3，选择Reg 回归，再按1，选择Lin 线性.②输入数据：按SHIFT 键+CLR +1=，清空统计存储器，再逐一输入收集的数据.··13③计算统计变量，按SHIFT键，按数字键2，就切换到了S-VAR功能，按两次方向键，选择1，计算a，同样操作，选择2，计算b.具体参考操作步骤如下图所示.学生两人一组，根据刚才的数据计算a，b的值.学生报告操作结果.【设计意图】为了便于传授利用计算器求值的技能，经过反复研究，确定由教师录制微课；为了突出程序思维，将利用计算器求值的技能分为三个步骤，易懂易学、方便操作.利用Excel软件求回归方程.如果有很多数据，怎么导入呢？需要一个个输入吗？教师操作演示，顺便验证大家刚才的操作结果.具体步骤如下.①在Excel表格中选定表示鞋码与身高关系的散点图，在菜单中选定“图表”中的“添加趋势线”选项，弹出“添加趋势线”对话框.②单击“类型”标签，选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项，单击“确定”按钮，得到回归直线.③双击回归直线，弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签，选定“显示公式”，最后单击“确定”按钮，得到回归直线的方程.计算结果为什么是一样的呢？用计算器和用Excel软件求回归方程本质上没有区别，都是根据最小二乘法的思想和公式计算.不仅如此，标准统计软件SAS和SPSS也是根据最小二乘法的思想和公式求线性回归方程.课后，教师让学生参考视频教程在计算机上操作实践.有了回归方程，我们就知道了身高与鞋码的具体相关关系，并且可以根据鞋码预测身高.例如，根据42码的鞋印预测身高大概是多少？即当x=42时，y≈175.5.【设计意图】从计算器到Excel软件，从微课传授技能到当堂操作演示，都是以教与学的需要为出发点和落脚点，引导学生分析计算器和计算机软件求线性回归方程的区别与联系，并介绍了标准的统计软件.加强信息技术与统计内容的融合，启发学生思考如何从机械、烦琐的数据处理中解脱出来，培养程序化思维，发展学生的统计观念和信息素养.配套使用Excel 软件求回归方程的微视频教程，供学生上机操作时参考.分析不同软件求回归方程的本质，渗透程序思想.5.分析反思，实际预测下面我们利用全国统计数据预测一下鞋码为42码的人对应的身高.比较两个预测的样本与结果，你有什么发现呢？反思1：预测结果差异大吗？哪个结果会相对可靠呢？为什么？反思2：事实上，视频中足迹专家的推断与实际非常吻合，他怎么能推断得这么准呢？如果只根据鞋码推断可靠吗？鞋码是一元的，足迹是多元的，专家一般都是研究多元变量的影响进行推断的.怎么进行多元回归分析呢？教师让感兴趣的学生课后思考.【设计意图】统计是根据样本的情况估计总体情况，回归分析是通过函数模型近似刻画相关变量关系的统计方法.设计分析反思活动，引导学生对统计结果的合理性进行必要的批判与质疑，从数学问题的结论再回归到生活实际，呼应本节课引入的真实问题情境，身高与鞋码之间是一元线性相关，而身高与足迹之间却是多元回归分析问题，将相关关系的思考延伸到课外，重视培养学生的统计思维和应用意识.实际预测：线性回归能够帮助我们进行实际的预判决策.学校旁边有个小卖部卖奶茶，根据表2中收集的数据，你能帮小卖部进行决策吗？看看气温是6℃时大概要准备多少杯奶茶.表2气温x/°C奶茶杯数y/杯150413271281511619104238931763654（下转第21页）··14。

中职数学中的一元线性回归教学技巧探讨

中职数学中的一元线性回归教学技巧探讨摘要：回归分析在中职数学中属于难度较大的内容，理解回归分析的思想、回归方程与函数的联系与区别、回归与相关的联系与区别、回归方程的估计与解释等问题，是进一步学习统计学等相关课程的必备基础。

本文对一元线性回归的教学内容、形式、技巧作探讨。

使用案例教学、启发式教学、实践教学等教学方法，使得中职学生能够深入理解回归分析并学以致用。

关键词：中职数学教学一元线性回归教学技巧正如哲学所言，事物是变化的，于是有了变量。

而一切自然现象和社会现象都不是孤立存在和变化的，事物与事物之间，变量与变量之间，都存在着某种关系。

这类关系大体可分为两类：一类是确定性的，可以用函数关系表述。

另一类是非确定性的，可以用统计关系表述。

而回归分析是度量统计关系的方法中很常见和重要的一种。

回归分析在中职数学中属于难度较大的内容，理解回归分析的思想、回归方程与函数的联系与区别、回归与相关的联系与区别、回归方程的估计与解释等问题，是进一步学习统计学等相关课程的必备基础。

本文对一元线性回归的教学内容、形式、技巧作探讨。

在教学中使用案例教学、启发式教学、实践教学等教学方法与技巧，使得中职学生能够深入理解回归分析并学以致用。

一、回归方程与函数的联系与区别。

学生会发现回归方程和函数公式法表达式非常像，比如一元线性回归方程的样本回归方程就是一条直线，也如函数表达式一样由y和x表达，也可以叫因变量和自变量，也能代入x解出y的点估计值，斜率系数也可以和微积分中一样解释为导数，截距系数的解释也一样表示x=0时y的取值。

所以学生容易把两者混淆，认为既然两者那么类似，为什么要那么辛苦地学习回归分析呢？所以笔者认为讲解回归分析，首先要让学生理解回归分析与函数的联系与区别。

一切自然现象和社会现象都不是孤立存在和变化的，事物与事物之间，变量与变量之间，都存在着某种关系。

这类关系大体可分为两类：一类是确定性的，可以用函数关系表述。

另一类是非确定性的，可以用统计关系表述。

《10.2一元线性回归》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一上册

《一元线性回归》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解一元线性回归的概念和基本原理；2. 掌握一元线性回归的拟合方法；3. 能够运用一元线性回归解决实际问题。

二、教学重难点1. 教学重点：理解一元线性回归的概念，掌握线性回归的拟合方法；2. 教学难点：如何将线性回归原理应用于实际问题，建立合适的数学模型。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、投影仪等；2. 准备教学材料：线性回归相关案例、习题及数据；3. 安排教学时间：本课时为单课时，约45分钟。

四、教学过程：（一）引入1. 提出实际问题，激发兴趣通过实际问题引入，使学生感受数学知识的应用价值，增强学习数学的信心和兴趣。

例题：某公司计划推出一种新产品，需要确定产品价格。

市场调查发现，在一定范围内，产品的需求量P与价格x之间存在线性关系。

问题：如何根据需求量与价格之间的关系，来确定产品的价格？2. 展示图表，提出问题根据调查数据，展示需求量与价格之间的关系图表，提出本节课要学习的内容：一元线性回归分析。

（二）讲解1. 一元线性回归的概念一元线性回归是数学中一种常见的问题，它是指两个变量之间存在一种线性关系。

通过这种关系，我们可以利用已知的一个变量的值来预测另一个变量的值。

2. 回归直线方程的求法为了解决一元线性回归问题，我们需要求出回归直线方程。

具体来说，我们需要找到一个直线，使得该直线上的所有点的斜率与这两个变量之间的实际斜率最接近。

具体步骤包括：选择样本、计算样本数据、绘制散点图、选择模型参数等。

3. 利用回归直线进行预测一旦求出回归直线方程，我们就可以利用它来进行预测。

具体来说，给定新产品价格，我们就可以利用回归直线方程来预测需求量P。

（三）实践1. 学生分组，收集数据让学生分组收集数据，并绘制散点图。

通过实践操作，使学生更好地理解一元线性回归分析的基本概念和方法。

2. 小组讨论，解决问题让学生根据收集的数据，尝试建立一元线性回归模型并进行预测。

精品中职数学基础模块下册：10.5《一元线性回归》ppt课件(两份)

较大的．
10.5 一元线性回归 LOGO
动脑思考
探索新知
建立平面直角坐标系Oxy， x轴表示身高(单位:cm)， y轴表示体重(单位:kg).
上述样本中每位学生的身高与体重组成的有序数对，对应于平面上一个点，这些点组成的图形叫做散点图.如图所示. 表面上散点图中的这些点杂乱无章，但是大体上呈现出一种直线走向趋势〔这是非常重要的，否则不能用一次函数来近似〕.这启发我们，人的体重y与身高x大体上有一次函数的关系，，即可以近似地有编号身高x1 172
2 150
3 170
4 165
5 180
6 176
7
8
变量之间的这种非确 155 160 定性的相互依存的关系叫做相关关系．它的特 60 47 85 70 75 80 点是，当一个变量或 50 65 体重y n 个变量的值确定后，另一个变量的值虽然与它学生的身高与体重之间存在着一定的关系，这种关系不像以前研究的函数（或它们）有着密切的关系，但却无法完全确定．关系那样，知道身高，就能确定体重的值．但是一般身高的人，体重还是比
i 1 i 1 i 1 n n n
ˆ b
n xi2 ( xi ) 2
i 1 i 1
n
n
,
n n 1 1 ˆ , 其中 x xi , y yi ˆ y bx a n i 1 n i 1
ˆ ˆ 叫做y关于x的回归方程，它的图形叫做回归直线. ˆ a ˆ bx 方程 y
试求销售额y关于广告费x的一元线性回归方程．
相关关系的定义？相关关系的特点？
变量之间的这种非确定性的相互依存的关系叫做相关关系．相关关系的特点是，当一个变量或n个变量的值确定后，另一个变量的值虽然与它（或它们）有着密切的关系，但却无法完全确定．

中职数学课件10.2一元线性回归

因此，当一个人身高为183cm时，其体重大约是69.31kg．
意义是：身高x每增
加1cm，体重y就增
加0.43kg ．
10.2 一元线性回归
情境导入
探索新知
典型例题巩固练习归纳总结布置作业
练习
1.判断下列各组变最是否具有相关关系．
（1）某农作物的施肥量与产量；
（2）学生年龄与学生学号；
（3）商品价格与商品销售量；
（2）当气温为38℃时，试预测该品牌冷饮的销量(结果保留整数)．
10.2 一元线性回归
情境导入
探索新知
典型例题巩固练习归纳总结布置作业
10.2 一元线性回归
情境导入探索新知
例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
数学上，如何描述这种关系呢？
研究表明，人的身高与体重之间存在着一定的相关
性．但人的体重并不是身高的两数，对于确定的身高，
体重具有不确定性．
10.2 一元线性回归
情境导入
探索新知
典型例题巩固练习归纳总结布置作业
当一个变量取某个值时，另一个变量的取值与
它有关，且带有一定的随机性，则称这两个变量之
间的关系为不确定性相关关系，简称相关关系．
想一想
生活中还有哪
些变量具有相
关关系？
10.2 一元线性回归
情境导入
探索新知
典型例题巩固练习归纳总结布置作业
与函数关系不同，相关关系是两个变量之间的一种非确定性依赖关
系．下面以上节表中名同学的身高x与体重y为例，探讨两个变量之间的相
关关系的特征．
10.2 一元线性回归
当x=6 时，y=6 时，y大约是多少？
10.2 一元线性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ归

语文版中职数学基础模块下册10.9《一元线性回归》ppt课件2

9.1.4相关系数的显著性检验
为什么要检验？检验什么？怎么检验？检验的依据：如果X和Y都服从正态分布，在总体相关系数 0 的假设下，与样本相关系数 r 有关的 t 统计量服从自由度为n-2的 t 分布：
t r n 2 1 r
0
2
4
6
8
10
● 从变量相关关系变化的方向看
正相关——变量同方向变化同增同减 (A) 负相关——变量反方向变化
一增一减 (B)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
A
B
25 20 15
● 从变量相关的程度看
完全相关不完全相关不相关 (C)
10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度 (x3)之间的关系
收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
子女身高 (y)与父亲身高(x)之间的关系
巴菲特：股市和经济不是每时每刻都紧密相联，但如果经济在很长一段时间内都向好，那么股市也会在很长一段时间内向好。如果经济不太好，那么股市也会不太好。但是具体每一周，每一月的变化我就不是那么在意，如果经济好，那么最后股市就会好。我并不知道市场明年或接下来两年怎么样。我并不想被称作是中国股市的专家，我不太了解中国股市。——2010 年年会接受《经济半小时》采访
散点图（用来判断变量间的关系形态）

完全正线性相关
完全负线性相关

非线性相关

正线性相关

中职数学基础模块10.3.4一元线性回归教学设计教学设计教案人教版

⑴计算平均数 x, y ；
⑵计算 xi与yi 的积，求 xi yi ；
教师引导学生一起回顾求回归直线方程的步骤．
⑶计算 xi 2 ；
⑷将结果代入公式求 b；
⑸用 a y bx 求 a；
⑹写出回归方程．
第 4 页（总页）
太原市教研科研中心研制
课时教学设计尾页（试用）
3．类似的情况生活中还有：
(1)商品销售收入与广告支出经费；
(2)粮食产量与施肥量．
新课
1. 相关关系与函数关系的异同点
相关关系
函数关系
相同点均是指两个变量的关系
非确定的关系确定的关系
不同点两个随机变量的两个非随机变量
关系
的关系
师生互动教师引导
学生得出结论：两个变量之间除了函数关系外还有相关关系．
线，记此直线方程为
y^＝a＋bx．
①
教师问如
何才能确定回
归直线方程．
学生回
答，只要确定 a
与回归系数 b．
公式的推
导较复杂，故
学生记忆让学生直接记
公式．
忆．
则①式叫做 Y 对 x 的回归方程，b 叫做回归系数．而且

n
n
(xi x )( yi y )
xi yi nxy
b i1
教师用课件展示表格，学生讨论总结．
设计意图通过生活
实例认识现实生活中存在大量的非确定性的相关关系．
让学生对相关关系的概念从感性认识上升到理性思维．
2．一元回归分析通常把研究两个变量间的相关关系叫做一元回归分析．
看下面的例子．例 1 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度 Y 与腐蚀时间 x 之间的一组观察值如下表： x/s 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 Y/m 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 由表中数据看出，Y 有随 x 增加而增加的趋势，但它们之间的这种关系无法用函数式准确表达，是一种相关关系．作出下图．

一元线性回归案例教案人教课标版(实用教案)

《一元线性回归案例》教案一、教学内容与教学对象分析学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。

二、学习目标、知识与技能通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。

、过程与方法本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路—进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。

、情感、态度与价值观通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。

加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。

教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。

体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。

培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。

三、教学重点、难点教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。

教学难点：求回归系数 , ；相关指数的计算、残差分析；了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。

四、教学策略：教学方法：诱思探究教学法学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

高教版中职数学(基础模块)下册10.5《一元线性回归》ppt课件3

使用函数型计算器求Y对x的回归直线方程． (结果保留到小数点后三位数字)
求回归直线方程的步骤：
x ⑴计算平均数与； y
⑶计算
；xi 2
⑵计算xi与yi的积，求
xi yi
⑷将结果代入公式求 a；
⑸用 b y 求abx；
⑹写出回归方程．
教材 P193- 194 A 组
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
⑵⑶⑴在观观直察察角图表坐象中标中数系的据内点的作有变出什化图么趋象特势．点．？
5500
4400
由表中数据看出，Y有随x增加而增加的趋势，但它们结论：表示具有相关关系的
之间123123000000的这种关系无法用函数式准确系系表列列11达，两叫是个做所画一变散有出种量点散的相的图点一关一．大条关组致直系数分线．据布的的在附图图近形中．，
相关关系与函数关系的异同点：
相同点
不同点
相关关系
均是指两个变量的关系
函数
不确定性的随机变量相关关系
确定性的函数关系
通常把研究两个变量间的相关关系叫一元线性回归分析．
例1 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度 Y 与腐蚀时间x之间的一组观察值如下表：
x/s Y/μ m
5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
⑴观察表中数据的变化趋势． ⑵在直角坐标系内作出图象． ⑶观察图象中的点有什么特点？