理论力学第五章

A
O
C
l
B
x
例题
点
的 运 动
例 题 4
小船受绳子牵引向河岸靠拢，开始时小船位于M0处，
离开河岸距离l0=12 (m)。已知河岸高h=5（m），牵引小船 的绳索绕过定滑轮A以匀速u=1（m/s）向右拉动，试建立小
船的运动方程，并求小船运动到中点时的速度和加速度。
例题
点
的 运 动
例 题 4
或参考系。
一般未经说明，在工程问题中都取与地面固连的坐标系作为 参考系。
2、瞬时、时间间隔 瞬时应理解为物体运动过程中的某一时刻，而时间间隔 则是指两个瞬时之间的一段时间。
()t
( )t t 2 t1
t1
t2
t
4
运动学的主要内容
（二）运动学研究内容
建立物体的运动方程 分析点的运动速度、加速度和刚体的角速度、角加速度等
运动形式包括：
质点
直线运动 曲线运动
最一般的情形为三维变速曲线运动
7
刚体
定轴转动
平行移动
平面运动
8
三. 学习运动学目的
学习运动学除了为学习动力学打基础外，另一方面又有 其独立的意义，为分析机构的运动打好基础。 单个物体，如子弹、保龄球 运动物体 机构，如曲柄连杆机构 本章内容： 1 机构运动简图
Δr v Δt

2．点的速度
dr v dt
动点轨迹在瞬时t 的变化率
定义：点的速度是矢径对时间的一次导数 物理意义：表明了点沿轨迹运动的快慢和方向 单位： 米／秒（m／s） 大小:
dr v dt
方向：速度的方向沿着轨迹 的切线，指向与运动 方向一致
3．点的加速度 2 dv d r a 2 dt dt
– 构件
主动件
相对运动实体
从动件 —随主动件运动而运动的构件
高副—通过点、线接触
两构件组成有确定 相对运动的可动联接
—运动副
低副—通过面接触
移动副 转动副
13
机构运动模型的建立
将实物转化为力学模型，要注意以下几个方面：
(1)注意机构约束的特点，即
固定数支座 滑道 铰接 滑块
(2)注意机构中构件间传动处的连接方式
例题
点
的 运 动
例 题 1
OM BM OL AB
解：取坐标轴 Ox 如图。由三角形相似关系，有
L A l O ut x
h
即
M
x x ut h l
B
从而求得 M 点的直线运动方程 h x x ut hl M 点的速度 dx h
v
dt

hl
u
而加速度 a = 0 ，即 M 点作匀速运动。
15
第五章 点的运动学
第1节 第2节 第3节 矢量法 直角坐标法 自然法
§5-1
1．点的运动方程
矢量法
点的运动方程是点运动时空间位置与时间的关系
r= r(t) 位置矢量为变矢量 单位 米（m） 单质﹑连续函数
轨迹：矢端曲线。 t = t2- t1 r = r(t+t)- r(t) 平均速度:
赠言
赠 言
前事之不忘，后事之师。
《战国策 ·赵策》
欲穷千里目，更上一层楼。
王之涣《登鹳雀楼》
1
2
一.运动学的主要内容
运动学是从几何观点描述物体的机械运动 , 只阐明运动过程的几何特 征及其各运动的要素之间的关系,而不涉及运动的物理原因。 运动学的任务是： 研究物体在空间的位置随时间变化的几何性质。如： （1）、物体机械运动规律的描述方法； （2）、物体运动形式及有关特征； （3）、点的轨迹、速度、加速度，刚体的角速度、角加速度，以及相互 间的关系等。
相对运动实体
– 构件 主动件 —驱动力作用的构件
从动件 —随主动件运动而运动的构件
机构必须有一个固定件，至少有一个主动件
11
构件与运动副
两构件组成有确定 相对运动的可动联接
高副—通过点、线接触
—运动副
低副—通过面接触
移动副 转动副
B
A C E
D
12
构件与运动副
固定件 组成机构的各 —支承运动构件的构件 —驱动力作用的构件
例题
点
的 运 动
例 题 2
参见动画：点的运动－轨迹演示
轨迹演示
例题
点
的 运 动
例 题 2
参见动画：点的运动－例题2(1)
参见动画：点的运动－例题2(2)
思考题：M点的轨迹是什么曲线
？
例题
点
的 运 动
例 题 2
参见动画：点的运动轨迹－例题2(3)
参见动画：点的运动轨迹－例题2(4)
2.刚体的运动形式 平移 — 刚体运动过程中，其上的任意直线始终平行于这一 直线的初始位置。
定轴转动 — 刚体运动过程中，其上（或其延展部分）有一 直线始终保持不动。 平面运动 — 刚体运动过程中，其上各点到某一固定平面的 距离始终保持不变。 定点运动—刚体运动过程中，其上某一点始终 保持不动。 6 一般运动 — 自由刚体在空间的运动。
轨迹演示
例题
点
的 运 动
例 题 2
由于=t， M点的坐标 x，y又
可以表示成
y B
x (a b) cost y b sin t
A

求导后可得点M速度的投影为 C y M
x
O
x
dx vx ( a b) sin t dt dy vy b cost dt
x
例题
点
的 运 动
例 题 2
当= t=/2 时，则有
v x ( a b) sin t ( a b) v y b cost 0 v
2 2 vx vy ( a b)
参见动画：点的运动轨迹－例题2(3)
vx cos 1, 180 v vy cos 0, 90 v
例题
点
的 运 动
例 题 2
椭圆规的曲柄OA可绕定轴
y B
O转动，端点A以铰链连接于规 尺 BC ；规尺上的点 B 和 C 可分
A

别沿互相垂直的滑槽运动，求 规尺上任一点M 的轨迹方程、
C
y M x
O
速度和加速度。
a 已知: OA AC AB 2 CM b, t.
3．点的加速度
dv dvx dvy dvz a i j k dt dt dt dt
a ax i a y j az k
2
dvx d 2 x ax 2 dt dt
d y ay 2 dt dt
2 2 a ax ay a z2
2 点的运动
3 刚体基本运动
引 论
9
机构运动简图
机械—能完成一定机械运动的装置 1.多个实体的组合 机构
2.各实体间具有确定的相对运动
3.能进行能量转换或完成有效的机械功 机器必然包含一个以上的机构
机器
机构传递运动；机器进行能量交换或利用机械能作功。
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构件与运动副
固定件 —支承运动构件的构件
组成机构的各
dvy
dvz d z az 2 dt dt
2
加速度的大小
加速度的方向
ax cos a
cos
ay a
cos
ay a
、、分别为加速度与x、y、z轴正向的夹角
4. 几种特殊运动
匀速直线运动 a=0 v=常数 s= s0+ vt 匀变速直线运动 a=常数 v=v0+ at s=s0+v0t+1/2 at2 v2-vo2=2as 加速直线运动 a与v同号 减速直线运动 a与v异号
定义：
动点速度在瞬时t 的变化率
点的加速度是速度对时间的一次导数，或 等于矢径对时间的二次导数 物理意义：表明了速度（包括大小和方向）对时间的 变化率 单位: 米／秒2 （m／s2） 大小:
2 dv d r a 2 dt dt
方向：沿着速度矢端曲线 的切线方向
矢端曲线
速度 矢径矢端曲线切线
运动演示
例题
点
的 运 动
例 题 3
解:
考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标
x r cos t l 2 r 2 sin 2 t .
求导后可得滑块的速度为
dx r 2 sin t cost v r sin t dt l 2 r 2 sin 2 t r 2 sin 2t y r sin t 2 l 2 r 2 sin 2 t
（一）几个概念
1.参考体 机械运动表现为物体在空间的位置随时间的变动。物体的 位置只能相对地描述，只能说出一个物体相对于另一个物体的位置。这 后一物体被作为确定前一物体位置的参考体，如所选的参考体不同，则对 不同参考体的运动也不同，因此在力学中描述任何物体的运动都要说明参
3
考体。
参考系
固连于参考体上的任何一组坐标系，称为参考坐标系
例题
点
的 运 动
例 题 2
dx vx ( a b) sin t dt dy vy b cost dt
再求导后可得点M加速度的投影为
y B
A

C y M
x
O
dvx ax ( a b) 2 cost dt dvy ay b 2 sin t dt
v vx i v y j vz k
dz vz dt
dx vx dt