垂直平分线的证明讲解
垂直平分线的证明方法
垂直平分线的证明方法
垂直平分线是指一条线段将另一条线段垂直平分成两个相等的部分。
下面是一种证明垂直平分线的方法：
假设有线段AB和CD，且线段AB垂直平分线段CD于点E。
我们需要证明AE=EB 和CE=ED。
首先，连接AE和EB，CE和ED。
因为AE和EB是垂直平分线，所以AE和EB 的长度相等，即AE=EB。
同样地，CE和ED的长度也相等，即CE=ED。
接下来，我们需要证明AE和CE互相垂直。
我们可以通过反证法来证明。
假设AE和CE不垂直，那么它们的夹角不是90度。
我们可以假设它们的夹角为x度。
因为AE和EB相等，CE和ED相等，所以三角形AEB和CED是全等的。
因此，它们的对应边也相等，即AE=CE，EB=ED。
然而，如果AE和CE不垂直，那么它们的夹角x度会导致AE和CE的长度不相等，与我们之前的结论相矛盾。
因此，AE和CE必须互相垂直。
最后，我们需要证明BE和DE互相垂直。
因为AE和CE互相垂直，所以它们的垂线相交于点E。
因为BE和DE都与AE和CE相交，所以它们的交点也必须在点E上。
因此，BE和DE互相垂直。
综上所述，我们证明了垂直平分线的三个性质：AE=EB，CE=ED，BE和DE互相垂直。
线段垂直平分线定理知识总结
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
线段的垂直平分线的性质完整版课件
线段的垂直平分线的性质完整版课件一、教学内容本节课我们将探讨教材第三章第二节的内容——线段的垂直平分线的性质。
具体内容包括：理解线段垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线的性质，学会利用垂直平分线解决实际问题。
二、教学目标1. 理解并掌握线段垂直平分线的定义，能够准确地识别和绘制线段的垂直平分线。
2. 理解并掌握线段垂直平分线的性质，能够运用性质解决相关问题。
3. 能够将线段垂直平分线的性质应用于实际问题，提高解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：线段垂直平分线性质的推理和应用。
教学重点：线段垂直平分线的定义及性质。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、尺子、圆规。
2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入：以教室内的窗户为例，引出线段垂直平分线的概念。
2. 理论讲解：讲解线段垂直平分线的定义，通过示例进行说明。
3. 例题讲解：给出典型例题，引导学生运用垂直平分线性质解决问题。
4. 随堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
六、板书设计1. 板书线段的垂直平分线的性质2. 板书内容：线段垂直平分线的定义线段垂直平分线的性质典型例题及解题方法七、作业设计1. 作业题目：（1）已知线段AB，求证：线段AB的垂直平分线上的任意一点C，到A、B两点的距离相等。
（2）已知线段AB，求出线段AB的垂直平分线。
2. 答案：（1）证明：设点C在线段AB的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质，得AC=BC。
（2）解：以A、B为圆心，以AB的长度为半径画两个圆，两圆相交于两点，连接这两点，即为线段AB的垂直平分线。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对线段垂直平分线的定义和性质掌握情况，以及解题方法的熟练程度。
2. 拓展延伸：引导学生思考线段垂直平分线在其他数学问题中的应用，如三角形的中位线、平行线等。
重点和难点解析1. 线段垂直平分线的定义及性质的理解。
2. 例题讲解中，如何引导学生运用垂直平分线性质解决问题。
全等三角形证明：垂直平分线
1、垂直平分线：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反之成立重要条件：中点，垂直，中点和垂足共点，等腰三角形（三线合一）说明：中点和垂足共点，三线合一2、典型例题1．如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠DBC =15°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠A 的度数是．2．如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，且CD ＝CB ，点E 为BD 的中点，点F 为AC 的中点，连结EF 交CD 于点M ，连接AM ．若∠BAC ＝45°，求线段AM 、DM 、BC 之间的数量关系．3．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°．点E 是DC 的中点，过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足CF ＝AD ，MF ＝MA ．（1）若∠MFC ＝120°，求证：AM ＝2MB ；（2）求证：∠MPB ＝90°－12∠FCM ．条件：AC=BC ，DC ⊥AB 于C辅助线：连接DA证明:直接得DA=DB条件：AC=BC辅助线：作CD ⊥AB 于D证明:直接得DA=DB∠ACD=∠BCD 条件：AC=BC ，D 是AB 中点辅助线：连接CD 证明:直接得DA ⊥DB ，∠ACD=∠BCD4．已知，在△ABC 中，点E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且EF ∥BC ，BM 是线段CF 的垂直平分线，垂足为M 。
N 是线段BM 上一点，且NC=EF 。
（1）若∠BNC=150o ，求证：FM=21EF ；（2）若BN=BE ，求证：∠MBC=31∠MNC5．已知等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC AC ，点G 在BC 上，连接AG ，过C 作CF ⊥AG ，垂足为点E ，过点B 作BF ⊥CF 于点F ，点D 是AB 的中点，连接DE 、DF ．（1）若∠CAG =30°，EG =1，求BG 的长；（2）求证：∠AED =∠DFE 。
空间几何中的垂直平分线定理
空间几何中的垂直平分线定理空间几何是研究三维空间中的几何性质和关系的学科。
在空间几何中，垂直平分线定理是一个重要的定理，它揭示了垂直平分线在空间中的特殊性质和作用。
本文将深入探讨空间几何中的垂直平分线定理，以及该定理的应用和相关推论。
一、垂直平分线定理及其推论垂直平分线定理是指在空间中，如果一条线段的中垂线垂直于该线段，那么该线段上的每个点到中垂线的距离相等。
换句话说，垂直平分线将线段分成两段等长的部分，且中点与垂直平分线的距离相等。
根据垂直平分线定理，我们可以推论出以下几个性质：1. 任意线段的中垂线垂直于该线段；2. 中点到垂直平分线的距离相等；3. 线段两侧的每个点到垂直平分线的距离相等。
二、垂直平分线定理的证明垂直平分线定理的证明可以分为两个方向，即从定理中的假设推出定理的结论，以及从定理的结论推出定理的假设。
首先，假设中垂线垂直于线段，我们可以通过矩阵坐标和向量的性质进行证明。
假设线段的两个端点分别为A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则线段的中点C坐标为[(x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2]。
求得线段AB的向量为向量AB = [x2-x1, y2-y1, z2-z1]，而线段AC和线段BC的向量分别为向量AC = [(x1+x2)/2-x1, (y1+y2)/2-y1, (z1+z2)/2-z1]和向量BC = [(x1+x2)/2-x2, (y1+y2)/2-y2, (z1+z2)/2-z2]。
根据向量的垂直性质，向量AC与向量AB的点积为0，即[(x1+x2)/2-x1, (y1+y2)/2-y1, (z1+z2)/2-z1]·[x2-x1, y2-y1, z2-z1] = 0，通过化简可以得出中垂线AC垂直于线段AB，同理可证中垂线BC也垂直于线段AB。
其次，假设线段的中点C到垂直平分线的距离为d，我们可以通过距离的性质进行证明。
证明垂直平分线的性质
证明垂直平分线的性质垂直平分线是几何学中的一个重要概念，它有着一些特殊的性质。
本文将为你详细阐述垂直平分线的性质及其证明。
一、垂直平分线的定义与性质垂直平分线是指一条直线能够将一个线段垂直地平分成两个相等的部分。
具体来说，如果一条直线与一条线段相交，并且将该线段分成两个相等的部分，并且与这条线段垂直相交，那么这条线段就被称为一条垂直平分线。
垂直平分线的性质如下：1. 垂直平分线上任意两点到被分割线段的两个端点的距离相等。
2. 垂直平分线将被分割的线段平分成两个相等的部分。
3. 垂直平分线的两侧呈现对称性，即与被分割线段的两侧形成的角度相等。
二、证明垂直平分线的性质证明垂直平分线的性质需要运用几何学中的一些基本定理和推理，下面将结合相关定理进行证明。
性质1的证明：设有线段AB，垂直平分线为CD。
需要证明AC=BC和AD=BD。
证明过程如下：1. 连接AC、BC和AD、BD；2. 根据垂直平分线的定义，CD与线段AB相交，且将其垂直平分；3. 由垂直平分线的性质可知，角ACD和角BCD相等，并且角ACD为直角；4. 同理可得，角ADB和角BDB也相等，并且角ADB为直角；5. 根据三角形的性质可知，由于角ACD和角ADB都为直角，而且AC=AD，BC=BD，所以三角形ACD和三角形ADB全等；6. 由全等三角形性质可得，AC=BC，AD=BD，即证明了性质1。
性质2的证明：设有线段AB，并且垂直平分线为CD。
需要证明CD是线段AB的中点。
证明过程如下：1. 同样连接AC、BC和AD、BD；2. 根据垂直平分线的定义，CD与线段AB相交，且将其垂直平分；3. 根据性质1的证明可知，AC=BC，AD=BD；4. 由全等三角形性质可得，三角形ACD和三角形BCD全等；5. 根据全等三角形的性质可知，CD为线段AB的中点，即证明了性质2。
性质3的证明：设有线段AB，并且垂直平分线为CD。
需要证明角ACD与角BCD相等。
《线段的垂直平分线》数学教学PPT课件(3篇)
D
Байду номын сангаас
E P
B
C
线段垂直平分线的性质的逆定理
证明：连接PA、PB、PC.
∵ 点P在AB、AC的垂直平分线上（已知）
A
∴ PA＝PB，PA＝PC
D
（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等） B
∴ PB＝PC（等量代换）
E P
C
∴ 点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上)
∴AB=CE． ∴AB=AC=CE．
B DC
E
∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.
变式练习2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、 BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再
变式练习1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上， AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
解：AB=AC=CE ;AB+BD=DE .理由如下：
∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
A
∴AB=AC．
∵点C 在AE 的垂直平分线上，
解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
【名师点睛】本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长 转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC 的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，已知两 个即可求得第三个．
垂直平分线证法
垂直平分线证法介绍在几何学中，垂直平分线证法是一种常见的证明方法，用于证明一个点到一条线段的垂直平分线。
该证法基于几何学的基本公理和定理，通过构造垂直线和利用垂直线的性质来证明垂直平分线的存在和唯一性。
构造垂直线要证明一个点到一条线段的垂直平分线，首先需要构造一个垂直线。
垂直线是指与给定线段的两个端点连线垂直的直线。
步骤1.给定线段AB，画出线段AB的中点C。
中点C是指线段AB上距离A和B相等的一点。
2.以C为圆心，以AC或BC的长度为半径，画一个圆。
该圆与线段AB相交于两个点D和E。
3.连接点D和点E，得到直线DE。
4.直线DE即为线段AB的垂直平分线。
证明垂直平分线的存在和唯一性构造了垂直线后，需要证明该垂直线是线段AB的垂直平分线，并且不存在其他垂直平分线。
步骤1.证明DE与线段AB垂直。
根据垂直线的定义，DE与线段AB的两个端点连线是垂直的。
因此，DE是线段AB的垂直平分线。
2.证明DE是线段AB的平分线。
根据线段的定义，DE与线段AB的中点C相交于一点。
由于DE与线段AB垂直，所以DE将线段AB分成两个相等的部分。
因此，DE是线段AB的垂直平分线。
3.证明不存在其他垂直平分线。
假设存在另一条垂直平分线FG。
根据垂直线的定义，FG与线段AB的两个端点连线是垂直的。
由于DE与FG都是线段AB 的垂直平分线，所以DE与FG必须重合。
因此，不存在其他垂直平分线。
应用垂直平分线证法在几何学的证明中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：证明角的平分线垂直平分线证法可以用于证明一个角的平分线。
通过构造该角的垂直平分线，可以证明该平分线将该角分成两个相等的部分。
证明三角形的垂心垂直平分线证法可以用于证明一个三角形的垂心。
垂心是指三条高线的交点，而高线是指从三角形的顶点到对边垂直的线段。
通过构造三角形的垂直平分线，可以证明这三条垂直平分线的交点即为三角形的垂心。
证明四边形的对角线相互垂直垂直平分线证法可以用于证明一个四边形的对角线相互垂直。
证明垂直平分线的方法
证明垂直平分线的方法
垂直平分线的判定：垂直平分线垂直且平分其所在线段。
垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
判定方法
①利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。
垂直平分线的性质定理
性质
1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
4、垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点;（2）直线⊥线段。
定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
怎样画垂直平分线
用圆规，随便拉比所求线段1/2更长的距离，然后以线段两个端点为圆点画弧线，左边画右弧线，右边画左弧线，左右两边弧线相交在线段上下交于两点。
两点相连，画出的就是线段的垂直平分线。
这样做的原理是：菱形对角线垂直平分。
初中数学 什么是三角形的垂直平分线定理
初中数学什么是三角形的垂直平分线定理三角形的垂直平分线定理是指：如果一条直线同时垂直于一条边，并且平分另外两条边，那么这条直线必定经过三角形的内心。
一、垂直平分线的定义垂直平分线是指一个直线，它与一条边垂直且平分另外两条边。
对于任意给定的三角形，都可以找到三条垂直平分线，它们分别垂直于三条边并平分另外两条边。
二、垂直平分线的性质1. 垂直平分线与三角形的内心有一个共同点。
2. 垂直平分线与三角形的内心的连线是三角形的高线。
3. 三角形的三条垂直平分线交于一个共同点，即三角形的内心。
三、垂直平分线定理的证明为了证明垂直平分线定理，我们需要利用以下几个重要的几何性质：1. 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线相交于一个共同的点，即三角形的内心。
2. 三角形的内心到三角形的每条边的距离相等。
3. 三角形的内心是三角形内切圆的圆心，内切圆与三角形的每条边都相切。
根据这些性质，我们可以进行如下的证明：假设三角形ABC的垂直平分线AD经过三角形的内心I。
首先，我们证明垂直平分线AD与边BC垂直。
由于AD是边BC的垂直平分线，所以角BAD = DAC，角BAC = 2 * BAD。
又由于角BAD = DAC，所以角BAC = 2 * DAC。
因此，角BAC = 2 * DAC，即角BAC为直角。
其次，我们证明垂直平分线AD平分边AB和边AC。
由于AD是边AB的垂直平分线，所以角BAD = DAB。
又由于角BAD = DAB，所以角BDA = BAD。
因此，边AD平分边AB。
同理，我们可以证明边AD平分边AC。
最后，我们证明垂直平分线AD经过三角形的内心I。
由于垂直平分线AD平分边AB和边AC，所以点D到边AB和边AC的距离相等。
根据三角形的内心到三角形的每条边的距离相等的性质，点D到边AB和边AC的距离相等于点I到边AB和边AC的距离。
因此，点I和点D到边AB和边AC的距离相等。
根据三角形内心的定义，点I到边AB和边AC的距离相等于点I到边BC的距离。
13.5.2线段垂直平分线的性质和判定
A N
C
B
试一试：
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
A
O
P
B
基础闯关
1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上 的一点,如果EC=7cm,那么ED= 7 cm;如果 0. ∠ECD=600,那么∠EDC= 60
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
二、线段垂直平分线的判定性质:
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三、关系：互逆
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
C
二、线段垂直平分线的判定:
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”， “箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木 棒垂直呢？为什么？
A
答：当PA=PB时，射出的箭 的方向与木棒垂直
O
P
与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
B
二、线段垂直平分线的判定:
线段垂直平分线的性质和判定
垂直平分线:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段 的垂直平分线。
图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平分线。 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
初中数学 什么是三角形的垂直平分线定理
初中数学什么是三角形的垂直平分线定理
三角形的垂直平分线定理是指一个点在三角形的垂直平分线上，当且仅当这个点到三角形的三个顶点的距离相等。
下面是一个关于三角形垂直平分线定理的详细解释：
假设我们有一个三角形ABC，其中D是边AC的垂直平分线上的一个点。
我们要证明D到顶点A、B和C的距离相等。
步骤1：连接顶点B和D，得到线段BD。
步骤2：由于D在边AC的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质，我们可以得到以下等式：
AD = CD
这是因为D到边AC两个端点的距离相等。
步骤3：连接顶点A和D，得到线段AD。
步骤4：我们需要证明D到顶点B的距离和D到顶点C的距离相等。
步骤5：假设D到顶点B的距离为DB，D到顶点C的距离为DC。
步骤6：由于D在边AC的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质，我们可以得到以下等式：
BD = CD
这是因为D到边AC两个端点的距离相等。
步骤7：将已知条件代入到等式中，得到：
DB = DC
步骤8：根据以上步骤，我们可以证明D到顶点B和D到顶点C的距离相等，即DB = DC。
通过以上步骤，我们可以证明一个点在三角形的垂直平分线上，当且仅当这个点到三角形的三个顶点的距离相等。
这个定理在解决一些三角形的问题时非常有用，例如确定三角形的垂直平分线、证明三角形的等腰性质等。
需要注意的是，在应用这个定理时，我们需要确保所使用的线段或线是三角形的垂直平分线，以及小心处理单位和精确度，确保计算结果准确。
垂直平分线课件
首先，将圆规的两脚分开，分别置于 已知线段的两个端点上。然后，将圆 规的笔头置于线段的中点，旋转圆规 即可得到垂直平分线。
利用尺规作图作垂直平分线
总结词
尺规作图是一种更为精确的作图方法 ，通过尺规作图可以作出更为精确的 垂直平分线。
详细描述
首先，用直尺画出已知线段。然后， 用圆规以线段的中点为圆心，分别在 已知线段的两侧画弧。接着，用直尺 连接两个交点，即可得到垂直平分线 。
02
垂直平分线也是一条直线，它经 过线段的中点，并且与线段垂直 。
垂直平分线的图形定义
在几何图形中，垂直平分线通常用一 条通过线段中点并与线段垂直的虚线 表示。
这条虚线将线段分为两个相等的部分 ，并且与线段垂直。
垂直平分线的性质
垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等。 经过线段中点的直线是该线段的垂直平分线。
利用垂直平分线性质解决实际问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
垂直平分线的性质在实际问题中有着广泛的应用，如解决 几何作图问题、确定物体的位置等。
在几何作图问题中，利用垂直平分线的性质可以确定对称 点的位置。在解决实际问题时，如建筑、机械设计等领域 ，垂直平分线的性质可以帮助确定物体的位置和方向，简 化问题的解决过程。
垂直平分线的逆定理
总结词
垂直平分线的逆定理是，如果一条直线是某点的垂直平分线，则这条直线上有两点到该点的距离相等。
详细描述
垂直平分线的逆定理是一个与判定定理相反的结论。如果一条直线是某点的垂直平分线，那么在这条直线上存在 两个点，它们到该点的距离是相等的。这个逆定理常常用于证明两条线段相等，或者确定一个点是否在某条直线 上。
质等来进行判定。
垂直平分线的判定
2.如图，AB=AC,MB=MC上, 求证： 直线AM是线段BC的 垂直平分线上．
A
M
B
C
1． 如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD ＋AD＝BC．求证： 点D在AC的垂直平分线上．
证明：∵ BD＋AD＝BC
∴AD=BC-BD=CD
∴点D在AC的垂直平分 线上(到一条线段两个端 点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上)
C
B
判断
（1）如图，CDAB于D，则AC＝BC。（ ）
C A
D
C
B
A
D
B
（2）如图，AD＝BD，则AC＝BC。（ ）
C
A
D
B
1. 已知线段AB （1）若CA=CB，问：过C点的直线是 不是线段AB的垂直平分线？若不是，请找出 反例.
（2）若CA=CB，DA=DB，问过C和D两点 的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？
解：∵ED是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD
A
∴ △BCD的周长=BD+DC+BC
=AD+DC+BC
B
E
D
12
C
变式：如图，若AC=12，△BCD的周长=25， AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求BC。
=AC+BC =12+7 =19 所以△BCD的周长为19。 7
4.在△ABC中,DE为BC 的垂直平分 线,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于 点E,EF⊥AB于F点, A
B
C
线段的垂直平分线
一、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
三角形的垂直平分线定理解析
三角形的垂直平分线定理解析在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
而三角形的垂直平分线定理是关于三角形内部角平分线及垂直平分线的一个重要定理。
本文将对三角形的垂直平分线定理进行解析，帮助读者更好地理解和应用该定理。
一、三角形的垂直平分线定理三角形的垂直平分线定理是指：在任意三角形ABC中，如果有一条边上的垂直平分线AD（点D在边BC上），那么AD将边BC平分为两个相等的部分，并与边BC垂直。
二、证明过程为了证明三角形的垂直平分线定理，我们假设在三角形ABC中，有一条边上的垂直平分线AD。
我们首先证明AD将边BC平分为两个相等的部分。
根据垂直平分线的定义，AD与BC垂直，所以∠DAB = ∠DAC，∠ADB = ∠ADC。
由于三角形内角和为180度，我们知道∠DAB + ∠ADB + ∠BAD =180度，同样地，∠DAC + ∠ADC + ∠CAD = 180度。
将这两个等式相加，得到：∠DAB + ∠ADB + ∠DAC + ∠ADC +∠BAD + ∠CAD = 360度。
由于∠DAB = ∠DAC，∠ADB = ∠ADC，我们可以将上式改写为：2(∠DAB + ∠ADB) + ∠BAD + ∠CAD = 360度。
将等式中的∠DAB + ∠ADB替换为∠BAD + ∠CAD，得到：2(∠BAD + ∠CAD) + ∠BAD + ∠CAD = 360度。
化简上式，得到：4(∠BAD + ∠CAD) = 360度。
进一步化简，我们可以得到：∠BAD + ∠CAD = 90度。
这说明在三角形ABC中，点D所在的垂直平分线AD将边BC平分为两个相等的部分。
接下来，我们证明AD与BC垂直。
由于AD是BC上的垂直平分线，所以∠DAB = ∠DAC，∠ADB = ∠ADC。
我们还知道∠DAB +∠ADB + ∠BAD = 180度，∠DAC + ∠ADC + ∠CAD = 180度。
将这两个等式相加，得到：∠DAB + ∠ADB + ∠DAC + ∠ADC +∠BAD + ∠CAD = 360度。
垂直平分线的证明
M
• •
• •
•
•
N
M
• •
• • •
A
•
•C
B
•
•
•
N
线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的
垂直平分线相交于点P.
A
求证:PA=PB=PC.
M
证明: ∵ 点A在线段
AB的垂直平分线上已
知
B
M/ P N C
N/
∴ ABC=60o三角形内角和定理
∵BD平分A BC(已知)
30o
∴ ABD=30o(角平分线的定义)
∴ A= ABD 等量代换
D
∴ AD=BD等角对等边
30o
∴ D点在AB的垂直平分线上.和一条 线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上.
C
B
证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:AD∥BC.
P
在PCA和PCB中,
AC=CB(已知),
PCA=PCB(已证)
A C B PC=PC(公共边)
N ∴ PCA ≌ PCBSAS
∴PA=PB全等三角形的对应边相等
M
当点P与点C重合时,上述证 明有什么缺陷
P
PCA与PCB将不存在.
AC
N
PA与PB还相等吗
B
相等
此时,PA=CA,PB=CB
已知AC=CB ∴PA=PB
A
E
300
300
B
CF=2AF
60O F
30O C
AF=BF CF=2BF
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问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C
A
B
P A
N
M
C
B
M
A
C
B
N
Q
M P
.
C
A
N
B
.Q
定理(线段垂直平分线的性质定理) 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:AD∥BC. C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又 ∵ AB 平分 CAD( 已知 ) 3 1 A B ∴ 1= 2(角平分线的定义) 2 O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D
A 1题图 B
E
D
C
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号) A 1题图 B
A 2题图 C B
E
E
D
D
C
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M
D
30o
B 2
1 75o C
N
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm A
E 13cm
B
D
C
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直 平分线.请你指出图中相等的线段有哪些? D AD =BD AC = BC CE = BE CF = BF 3 F CF =DF
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C P A
B
点P为校址
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
A
B l
P
点P为所求作的点
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
M P
当点P与点C重合时,上述证 明有什么缺陷? PCA与PCB将不存在. PA与PB还相等吗? B
A
C N
相等!
此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB
M
P P/
已知线段AB,有一 点P,并且PA=PB. 那么,点P是否一定 在AB的垂直平分 线上?
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
已知： 直线MNAB，垂足是C，
且AC=CB.点P在MN上.
M P 求证： PA=PB A
C
B
N
A
证明: ∵MNAB（已知） M ∴PCA=PCB(垂直的定义) P 在PCA和PCB中, AC=CB(已知), PCA=PCB(已证) B C PC=PC(公共边) ∴ PCA ≌ PCB(SAS) N
证明题:3.已知:如图,在ABC中, AB=AC,A=120o, AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.
A E
300 300
60O F AF=BF
30O
B
CF=2AF
C
CF=2BF
线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等. 和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.
B
N
线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的 A 垂直平分线相交于点P. M 求证:PA=PB=PC. M/ 证明: ∵ 点A在线段 P AB的垂直平分线上 N C B (已知) N/ ∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点距离相等) 同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC.
2
即:BF=CF=DF
A
C
E
1
B
证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上. A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知) ∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分A BC(已知) ∴ ABD=30o(角平分线的定义) 30o ∴ A= ABD (等量代换) D ∴ AD=BD(等角对等边) ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 30o 条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上.) C B
作业: P95 2. 3. 4
证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分 AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B. A 3 2 1
E 4
B D C
F
A 3 2 1 E F B D C 证明:∵ EF垂直平分AD(已知) ∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理) ∴ 1+ 2= 4(等边对等角) 又∵ 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与它
逆定理
和一条线段两个端 点距离相等的点,在 这条线段的垂直平 分线上.
小结: 1.线段的垂直平分线上的点,和这条 线段两个端点的距离相等. 2.和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.
M
A
C
B
N
M
A
C
这样的点P /不存在
A
C
B
N
已知: 线段AB,且PA=PB 求证: 点P在线段AB的垂直
P
证明: 过点P作PCAB垂足为C.
平分线MN上.
A
C
∵ PA=PB(已知) ∴ PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义) ∴AC=BC(等腰三角形底边上 B 的高是线段AB的垂直 平分线MN上.