垂直平分线的证明讲解
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哈五中
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C
A
B
P A
N
M
C
B
M
A
C
B
N
Q
M P
.
C
A
N
B
.Q
定理(线段垂直平分线的性质定理) 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:AD∥BC. C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又 ∵ AB 平分 CAD( 已知 ) 3 1 A B ∴ 1= 2(角平分线的定义) 2 O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D
A 1题图 B
E
D
C
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号) A 1题图 B
A 2题图 C B
E
E
D
D
C
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M
D
30o
B 2
1 75o C
N
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm A
E 13cm
B
D
C
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直 平分线.请你指出图中相等的线段有哪些? D AD =BD AC = BC CE = BE CF = BF 3 F CF =DF
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C P A
B
点P为校址
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
A
B l
P
点P为所求作的点
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
M P
当点P与点C重合时,上述证 明有什么缺陷? PCA与PCB将不存在. PA与PB还相等吗? B
A
C N
相等!
此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB
M
P P/
已知线段AB,有一 点P,并且PA=PB. 那么,点P是否一定 在AB的垂直平分 线上?
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
已知： 直线MNAB，垂足是C，
且AC=CB.点P在MN上.
M P 求证： PA=PB A
C
B
N
A
证明: ∵MNAB（已知） M ∴PCA=PCB(垂直的定义) P 在PCA和PCB中, AC=CB(已知), PCA=PCB(已证) B C PC=PC(公共边) ∴ PCA ≌ PCB(SAS) N
证明题:3.已知:如图,在ABC中, AB=AC,A=120o, AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.
A E
300 300
60O F AF=BF
30O
B
CF=2AF
C
CF=2BF
线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等. 和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.
B
N
线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的 A 垂直平分线相交于点P. M 求证:PA=PB=PC. M/ 证明: ∵ 点A在线段 P AB的垂直平分线上 N C B (已知) N/ ∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点距离相等) 同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC.
2
即:BF=CF=DF
A
C
E
1
B
证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上. A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知) ∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分A BC(已知) ∴ ABD=30o(角平分线的定义) 30o ∴ A= ABD (等量代换) D ∴ AD=BD(等角对等边) ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 30o 条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上.) C B
作业: P95 2. 3. 4
证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分 AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B. A 3 2 1
E 4
B D C
F
A 3 2 1 E F B D C 证明:∵ EF垂直平分AD(已知) ∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理) ∴ 1+ 2= 4(等边对等角) 又∵ 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与它
逆定理
和一条线段两个端 点距离相等的点,在 这条线段的垂直平 分线上.
小结: 1.线段的垂直平分线上的点,和这条 线段两个端点的距离相等. 2.和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.
M
A
C
B
N
M
A
C
这样的点P /不存在
A
C
B
N
已知: 线段AB,且PA=PB 求证: 点P在线段AB的垂直
P
证明: 过点P作PCAB垂足为C.
平分线MN上.
A
C
∵ PA=PB(已知) ∴ PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义) ∴AC=BC(等腰三角形底边上 B 的高是线段AB的垂直 平分线MN上.
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C
A
B
P A
N
M
C
B
M
A
C
B
N
Q
M P
.
C
A
N
B
.Q
定理(线段垂直平分线的性质定理) 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:AD∥BC. C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又 ∵ AB 平分 CAD( 已知 ) 3 1 A B ∴ 1= 2(角平分线的定义) 2 O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D
A 1题图 B
E
D
C
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号) A 1题图 B
A 2题图 C B
E
E
D
D
C
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M
D
30o
B 2
1 75o C
N
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm A
E 13cm
B
D
C
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直 平分线.请你指出图中相等的线段有哪些? D AD =BD AC = BC CE = BE CF = BF 3 F CF =DF
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C P A
B
点P为校址
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
A
B l
P
点P为所求作的点
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
M P
当点P与点C重合时,上述证 明有什么缺陷? PCA与PCB将不存在. PA与PB还相等吗? B
A
C N
相等!
此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB
M
P P/
已知线段AB,有一 点P,并且PA=PB. 那么,点P是否一定 在AB的垂直平分 线上?
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
已知： 直线MNAB，垂足是C，
且AC=CB.点P在MN上.
M P 求证： PA=PB A
C
B
N
A
证明: ∵MNAB（已知） M ∴PCA=PCB(垂直的定义) P 在PCA和PCB中, AC=CB(已知), PCA=PCB(已证) B C PC=PC(公共边) ∴ PCA ≌ PCB(SAS) N
证明题:3.已知:如图,在ABC中, AB=AC,A=120o, AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.
A E
300 300
60O F AF=BF
30O
B
CF=2AF
C
CF=2BF
线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等. 和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.
B
N
线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的 A 垂直平分线相交于点P. M 求证:PA=PB=PC. M/ 证明: ∵ 点A在线段 P AB的垂直平分线上 N C B (已知) N/ ∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点距离相等) 同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC.
2
即:BF=CF=DF
A
C
E
1
B
证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上. A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知) ∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分A BC(已知) ∴ ABD=30o(角平分线的定义) 30o ∴ A= ABD (等量代换) D ∴ AD=BD(等角对等边) ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 30o 条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上.) C B
作业: P95 2. 3. 4
证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分 AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B. A 3 2 1
E 4
B D C
F
A 3 2 1 E F B D C 证明:∵ EF垂直平分AD(已知) ∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理) ∴ 1+ 2= 4(等边对等角) 又∵ 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与它
逆定理
和一条线段两个端 点距离相等的点,在 这条线段的垂直平 分线上.
小结: 1.线段的垂直平分线上的点,和这条 线段两个端点的距离相等. 2.和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.
M
A
C
B
N
M
A
C
这样的点P /不存在
A
C
B
N
已知: 线段AB,且PA=PB 求证: 点P在线段AB的垂直
P
证明: 过点P作PCAB垂足为C.
平分线MN上.
A
C
∵ PA=PB(已知) ∴ PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义) ∴AC=BC(等腰三角形底边上 B 的高是线段AB的垂直 平分线MN上.