北师大版九年级数学下册第一章教学课件全套
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北师大版数学九年级下册全册教学课件
B
解 tanAB C= 55 ≈ 0.286.
A C 2002552
┌
A
C
谢谢 大家
1 锐角三角函数
第2课时 正弦、余弦
北师版 九年级下册
新课导入
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻 边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?
斜边
B ∠A的对边
A
C
∠A的邻边
斜边
A ∠A的邻边
做一做:(1)60 °角的三角函数值分别是多少? 你是怎样得到的?
(2)45 °角的三角函数值分别是多少? 你是怎样得到的?
利用求30 °角的三角函数值相同的方法,可以分别 求得60 °角和45 °角的三角函数值.
(3)完成下表:
三角 角α
函
数值
三角 函数
sinα
1
30°
2
45°
2
2
60°
3
2
cosα
DE
FC
45°
A
B
DE
FC
45°
A
B
解: 如图,由题意可知,BF⊥CD,AE⊥CD.
∴ BF=AE=0.8m.
由AB∥CD可知∠C=45 °,则FC=FB=0.8m.
∴ CD=DE+EF+FC=0.8×2+1.2=2.8m.
∴ S梯形ABCD=(2.8+1.2)×0.8÷2=1.6m2. ∴ V=1.6×1500=2400m3.
本章我们将借助生活中的实例,探索直角三角形边 角之间的关系,并利用三角函数解决生活中一些简单的 实际问题.
进行新课
梯子是我们日常生活中常见的物体. 你能比较两个梯子哪个更陡吗?
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2020最新北师大版九年级数学下 册电子课本课件【全册】目录
0002页 0041页 0088页 0143页 0188页 0304页 0420页 0442页 0466页 0529页 0531页 0612页 0670页 0722页 0742页 0822页 0902页
第一章 直角三角形的边角关系 2 30°，45°，60°角的三角函数值 4 解直角三角形 6 利用三角函数测高 复习题 1 二次函数 3 确定二次函数的表达式 5 二次函数与一元二次方程 复习题 1圆 *3 垂径定理 5 确定圆的条件 *7 切线长定理 9 弧长及扇形的面积 复习题 视力的变化 哪种方式更合算
第一章 直角三角形的边角关系
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1 锐角三角函数
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2 30°，45°，60°角的三角函数 值
2020最新北师大版九年级数学下册 电子课Biblioteka 课件【全册】3 三角函数的计算
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4 解直角三角形
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5 三角函数的应用
1 二次函数
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2 二次函数的图象与性质
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第二章 二次函数
2020最新北师大版九年级数学下册 电子课本课件【全册】
3 确定二次函数的表达式
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0002页 0041页 0088页 0143页 0188页 0304页 0420页 0442页 0466页 0529页 0531页 0612页 0670页 0722页 0742页 0822页 0902页
第一章 直角三角形的边角关系 2 30°，45°，60°角的三角函数值 4 解直角三角形 6 利用三角函数测高 复习题 1 二次函数 3 确定二次函数的表达式 5 二次函数与一元二次方程 复习题 1圆 *3 垂径定理 5 确定圆的条件 *7 切线长定理 9 弧长及扇形的面积 复习题 视力的变化 哪种方式更合算
第一章 直角三角形的边角关系
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1 锐角三角函数
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2 30°，45°，60°角的三角函数 值
2020最新北师大版九年级数学下册 电子课Biblioteka 课件【全册】3 三角函数的计算
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4 解直角三角形
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5 三角函数的应用
1 二次函数
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2 二次函数的图象与性质
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第二章 二次函数
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3 确定二次函数的表达式
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1.3 三角函数的计算(课件)-2023-2024学年九年级数学下册(北师大版)
∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修
建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
二、自主合作，探究新知
(1)求改直后的公路AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，
根据正弦的定义，得sinβ= ，即sin
∴DE＝BDsin β°＝200sin42°(m).
42°＝ ，
E
二、自主合作，探究新知
探究二：利用计算器由三角函数值求角度
想一想：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修
建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
在Rt△ABC中，sinA=
屏幕显示结果cos 72°=0.309 016 994.
和
键.
也有的计算器是
先输入角度再按
函数名称键.
二、自主合作，探究新知
3.求 tan30°36'.
方法一： 第一步：按计算器
键，
第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用
键)，
屏幕显示答案：0.591 398 351；
方法二： 第一步：按计算器
北师大版 数学 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
3
三角函数的计算
学习目标
1.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.
(重点)
2.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.
（难点）
复习回顾
30°，45°，60°角的三角函数值：
三
角函
角α
三角函数
建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
二、自主合作，探究新知
(1)求改直后的公路AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，
根据正弦的定义，得sinβ= ，即sin
∴DE＝BDsin β°＝200sin42°(m).
42°＝ ，
E
二、自主合作，探究新知
探究二：利用计算器由三角函数值求角度
想一想：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修
建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
在Rt△ABC中，sinA=
屏幕显示结果cos 72°=0.309 016 994.
和
键.
也有的计算器是
先输入角度再按
函数名称键.
二、自主合作，探究新知
3.求 tan30°36'.
方法一： 第一步：按计算器
键，
第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用
键)，
屏幕显示答案：0.591 398 351；
方法二： 第一步：按计算器
北师大版 数学 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
3
三角函数的计算
学习目标
1.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.
(重点)
2.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.
（难点）
复习回顾
30°，45°，60°角的三角函数值：
三
角函
角α
三角函数
三角函数的计算-九年级数学下册课件(北师大版)
8
1
shift
6
=
cos-1
0
.
8
30.60473007
cosB=0.8607
6
tanC=56.78
shift
7
=
tan-1
5
6
.
88.99102049
7
还可以利用
0
8
=
键，进一步得到以“度、分、秒”显示的结果
课堂基础练
例1 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)tan47°；
(3)sin25°18′；
随堂测试
6．利用计算器求下列各角(精确到1′)．
(1)sinA＝0.75，求∠A的度数；
(2)cosB＝0.888 9，求∠B的度数；
(3)tanC＝45.43，求∠C的度数；
(4)tanD＝0.974 2，求∠D的度数．
【详解】解：（1）∵sinA=0.75，
∴∠A≈48.59°≈48°35′24″≈48°35′；
例2 根据下列条件求锐角A的度数：(结果精确到1′)
(1)sin A＝0.732 1；(2)cos A＝0.218 7；(3)tan A＝3.527.
解：(1)先按SHIFT sin 0.7321＝键，显示：47.062 734 57，
再按°’”键，即可显示47°3′45.84″，所以∠A≈47°4′.
(5) 若cosα = 0.3145，则 α ≈
71.7°
(精确到 0.1°).
随堂测试
5．求满足下列条件的锐角θ的度数（精确到0.1°）：
（1）sinθ=0.1426；
（2）cosθ=0.7845．
解：（1）∵sinθ=0.1426，∴∠θ≈8.2°；
1
shift
6
=
cos-1
0
.
8
30.60473007
cosB=0.8607
6
tanC=56.78
shift
7
=
tan-1
5
6
.
88.99102049
7
还可以利用
0
8
=
键，进一步得到以“度、分、秒”显示的结果
课堂基础练
例1 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)tan47°；
(3)sin25°18′；
随堂测试
6．利用计算器求下列各角(精确到1′)．
(1)sinA＝0.75，求∠A的度数；
(2)cosB＝0.888 9，求∠B的度数；
(3)tanC＝45.43，求∠C的度数；
(4)tanD＝0.974 2，求∠D的度数．
【详解】解：（1）∵sinA=0.75，
∴∠A≈48.59°≈48°35′24″≈48°35′；
例2 根据下列条件求锐角A的度数：(结果精确到1′)
(1)sin A＝0.732 1；(2)cos A＝0.218 7；(3)tan A＝3.527.
解：(1)先按SHIFT sin 0.7321＝键，显示：47.062 734 57，
再按°’”键，即可显示47°3′45.84″，所以∠A≈47°4′.
(5) 若cosα = 0.3145，则 α ≈
71.7°
(精确到 0.1°).
随堂测试
5．求满足下列条件的锐角θ的度数（精确到0.1°）：
（1）sinθ=0.1426；
（2）cosθ=0.7845．
解：（1）∵sinθ=0.1426，∴∠θ≈8.2°；
北师大版九年级数学下册第一章章末整合课件
13.8
三、解答题 10．(2023·广东)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功， 3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一 种工作状态．当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的 距 离 ． ( 结 果 精 确 到 0.1 m ． 参 考 数 据 ： sin 50°≈0.766 ， cos 50°≈0.643 ， tan 50°≈1.192)
B
D
B
5．(2023·杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中 国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE，△ABF， △BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF， 连接BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱtan α＝tan2 β，则n＝( C )
13．(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝 的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的 比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米．参 考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
第一章 直角三角形的边角关系
章末整合
【知识导图】
【体验中考】
一、选择题 1．(2023·长春)学校开放日即将来临，负责布置的林老 师打算从学校图书馆的顶楼拉一条彩旗绳AB到地面，如图．已 知彩旗绳与地面成25°角(即∠BAC＝25°)，彩旗绳固定在地 面的位置与图书馆相距32米(即AC＝32米)，则彩旗绳AB的长度 为( D )
新北师大版九年级数学下册第一章《锐角三角函数(第2课时)》精品课件 (2)
北师大版九年级数学 下册第一章
1.1锐角三角函数 (第2课时)
有的放矢
1
正切与余切
驶向胜利 的彼岸
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个 定值,那么这个角的值也随之确定.
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比
叫做∠A的正切,记作tanA,即
求:AB,sin解 B.: coAsAC 101.2B
13
怎样
ABAB13
┐
思考？
AB101365. C
10
A
12 6
注老意师到期这望里:cossAin=BsinABA,CB其中166有05没11有23.什么
内有的关系?
7 随堂练习P9
真知在实践中诞生
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
B
tanA= A的对边 A的邻边
斜边 A ∠A的邻边
∠A的对边
┌ C
想一想P1
2
本领大不大 悟心来当家
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻 边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?
结论: 在Rt△ABC中,如果锐角A确定 时,那么∠ A的对边与斜边的比, 邻边与斜边的比也随之确定.
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的 正切,习惯省去“∠”号；
3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且 sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
扩大100倍,sinA的值（ ）
1.1锐角三角函数 (第2课时)
有的放矢
1
正切与余切
驶向胜利 的彼岸
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个 定值,那么这个角的值也随之确定.
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比
叫做∠A的正切,记作tanA,即
求:AB,sin解 B.: coAsAC 101.2B
13
怎样
ABAB13
┐
思考？
AB101365. C
10
A
12 6
注老意师到期这望里:cossAin=BsinABA,CB其中166有05没11有23.什么
内有的关系?
7 随堂练习P9
真知在实践中诞生
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
B
tanA= A的对边 A的邻边
斜边 A ∠A的邻边
∠A的对边
┌ C
想一想P1
2
本领大不大 悟心来当家
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻 边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?
结论: 在Rt△ABC中,如果锐角A确定 时,那么∠ A的对边与斜边的比, 邻边与斜边的比也随之确定.
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的 正切,习惯省去“∠”号；
3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且 sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
扩大100倍,sinA的值（ ）
新北师大版九年级数学下册第一章《锐角三角函数(1)》公开课课件.ppt
扩大100倍,tanA的值（ C ）
B
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
┌
5.已知∠A,∠B为锐角
A
C
(1)若∠A=∠B,则tanA = tanB;
(2)若tanA=tanB,则∠A = ∠B.
随堂练习
八仙过海,尽显才能
C
6.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
(CD)D ( A)CB( ) ADC
小颖的问题,如图
A
E
4m 3.5m
B 1.5m C F 1.3m D
做一做
永恒的真理
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
小亮的问题,如图:
E A
4m
6m
B 2m C F 3m
D
想一想
在实践中探索
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
小丽的问题,如图:
E
A
?
5m
6m
B 2m C F 2m
tan B 10 ( ). 7
7m┍
A
C A 10m C
(1)
(2)
(6).如图 (2)
( ).
tanA0.7,
tanA0.7或tanA0.7
老师期望:你能从
(5).如图 (2) taA n0.7m ( ). 中悟出点东西.
随堂练习
八仙过海,尽显才能
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时
AC12
3
A
┌C
3 5, AC 12
AC31236. 55
(2)
AB A2 C B2 C 362323.9
老师提示:
5
北师大版九年级数学下册全套课件
学习目标
掌握二次函数、一元 二次方程、相似三角 形等核心概念和性质 。
了解数学在日常生活 和科技领域中的应用 ，提高数学素养。
学会运用数学知识解 决实际问题，培养数 学思维和解决问题的 能力。
02
第一章：二次函数
二次函数的基本概念
二次函数定义
一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$、$c$为常数，且$a neq 0$。
北师大版九年级数学下册全 套课件
汇报人： 202X-12-30
目 录
• 引言 • 第一章：二次函数 • 第二章：相似图形 • 第三章：解直角三角形 • 第四章：概率初步知识 • 第五章：投影与视图
01
引言
课程简介
课程名称：北师大版九年级数学下册
适用对象：九年级学生
课程目标：通过学习本册内容，学生将掌握初中数学的核心知识和技能，为进一步 学习高中数学打下基础。
THANKS
感谢观看
03
如一次函数、反比例函数等，可以结合图像进行比较和性质分
析。
03
第二章：相似图形
相似图形的概念和性质
01
02
03
相似图形的定义
两个图形如果形状相同， 大小可以不同，则称这两 个图形相似。
相似图形的性质
相似图形对应边的长度成 比例，对应角的大小相等 。
相似图形的分类
根据相似比的大小，相似 图形可分为相似多边形、 相似三角形等。
航海问题
在航海中，需要利用解直 角三角形的方法来确定船 只的位置和航向。
工程问题
在桥梁、建筑等工程领域 ，解直角三角形可以帮助 设计师进行精确的计算和 设计。
05
第四章：概率初步知识
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.4 解直角三角形 课件
∵AB＝1，sin B＝
2， 42
2
∴AD＝AB·sin B＝1×
＝
4
. 4
∴BD＝
AB2 AD2
12
2 2 4
14 , 4
CD＝ AC 2 AD2
2 2 2
30
2
4
. 4
∴BC＝ CD BD
30
14
30 14 .
44
4
总结
知3－讲
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角 形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种 “化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知 条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线， 则∠B的正弦值就无法利用．
A．2 3
B．2 2
C. 11
4
D. 5 5
4
（来自《典中点》 ）
知2－导
知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角形
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠
A；②c=
a ;③b sin A
a tan
. A
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
则∠A的度数为( D )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
（来自《典中点》 ）
知1－练
2 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( C ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
北师大版九年级下册数学全册教学课件
A
解：由已知得DC EB 20m， tan ADC tan 42 AC , DC
AC DC tan 42,
AB AC CB 20 tan 42 1.6.
这里的tan42°是多少呢？
D 42°
C
1.6m
E
20m
B
讲授新课
用计算器求三角函数值
1.求sin18°．
第一步：按计算器
sin
水平宽度
A
铅 直 高 度
C
合作探究1 问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
倾斜角越大——梯子越陡
A
E
B
CF
D
问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
4
解 : 如图, tan A BC 3 3k . AC 4 4k
3k 2 4k 2 152.
A
25k 2 225.
k 3.
BC 3k 33 9, AC 4k 43 12.
B
15
3k
4k ┌ C
7.如图,正方形ABCD的边长为4,点N在BC上,M、N两点关于对角线AC对 称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
tan
键，
第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用 °＇ ″ 键)，
屏幕显示答案：0.591 398 351；
第二种方法：
第一步：按计算器
tan 键，
第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）
屏幕显示答案：0.591 398 351.
解：由已知得DC EB 20m， tan ADC tan 42 AC , DC
AC DC tan 42,
AB AC CB 20 tan 42 1.6.
这里的tan42°是多少呢？
D 42°
C
1.6m
E
20m
B
讲授新课
用计算器求三角函数值
1.求sin18°．
第一步：按计算器
sin
水平宽度
A
铅 直 高 度
C
合作探究1 问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
倾斜角越大——梯子越陡
A
E
B
CF
D
问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
4
解 : 如图, tan A BC 3 3k . AC 4 4k
3k 2 4k 2 152.
A
25k 2 225.
k 3.
BC 3k 33 9, AC 4k 43 12.
B
15
3k
4k ┌ C
7.如图,正方形ABCD的边长为4,点N在BC上,M、N两点关于对角线AC对 称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
tan
键，
第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用 °＇ ″ 键)，
屏幕显示答案：0.591 398 351；
第二种方法：
第一步：按计算器
tan 键，
第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）
屏幕显示答案：0.591 398 351.
北师大版九年级数学下册第1章 全章热门考点整合应用 (共27张PPT)
∴PF＝AD. ∴四边形APFD是平行四边形．
在Rt△APB中，AB＝4，BP＝3，∠B＝90°， ∴AP＝5＝PF.
∴四边形APFD是菱形．
AP 1 (3)根据tan ∠PAE＝ 可得 ＝2， PE 2
易得△ABP∽△PCE，
BP AB AP = ＝2或 ＝2， y a- 5 y 5- a
概念1
1
两个概念
锐角三角函数
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC
＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值.
思路导引： 求∠BCD的三个三角函数值，关键要弄清它们的 定义．由于∠BCD是Rt△BCD中的一个内角，根
据定义，仅一边BC的长是已知的，此时有两条路
可走，一是设法求出BD和CD的长，二是把∠BCD 转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在 Rt△ABC中，三边的长均可得出，利用三角函数 的定义即可求出答案．
方程思想是一种重要的思想方法，运用方程
思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，
平时学习时，应该不断积累用方程思想解题 的方法．
考点
2
一个运算—— 特殊角的三角函数值与实数运算
3．计算： (1)tan 30°sin 60°＋cos230°－sin245°tan 45°； 1 1 2 (2) tan 45°＋ 2 －3cos230°＋ 4 sin 30°
BC 4 = . tan ∠BCD＝tan A＝ AC 3
概念2
解直角三角形
3 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝ ，D 5 是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝
9，求BE，CE的长．
思路导引： DE AC 3 = = , 可设DE 由sin B＝ DB AB 5 ＝CD＝3k，则DB＝5k，求得BC＝8k，AC＝6k，AB＝ 10k.再由AC＋CD＝9，可列出以k为未知数的方程，进而 求出各边的长．在Rt△BDE中，由勾股定理求BE的长，
北师大版九年级数学下册第一章《锐角三角函数1》公开课课件
100 30
60
40
40
20
如图,小红骑车上学路上要依次经过这 样的三个斜坡,你认为哪一个斜坡更陡 些?并说一说你是用什么方法来判别 的?
∠A的对边a 正弦函数
斜边c
∠A的
对边 ∠A的邻边b
a
斜边c
余弦函数
C
∠A的对边a ∠A的邻边b
正切函数
sinA cosA tanA
ssssiiiinnnn ccccoooossss ttttaaaannnn
AAAA AAAA AAAA
==== ==== ====
aaaaccccbbbaaaabbbbcccc
2、你能用所学知识分别求出30 ° 、45°、 60 °的三角
函数 值吗？
C
思考题：
1、若y=sinA+3,则y取值范围为________ A
B
2、如图，在Rt Δ ABC中， ∠B=90 °，则sinA =____
cosA =______,猜想： sin²A+ cos²A=_____
生活问题数学化?
sin A a c
tan A a b
A
cos A b c
b
cot A b a
C
c
a
B
从最简单的做起---波利亚
探索园地
•
【量一量】你的那块不 等腰的三角尺中，
30°角所对的直角边
与斜边的长分别是多少?
它们的比等于多少?
如果改成是测量 这块等腰的三角 尺呢？还有刚才
的结论吗？
• 【想一想】老师上课时 用的那块不等腰的三角 尺中，30°角所对的
cos = ______， tan = _____， cot =_______。
三角函数的应用-九年级数学下册课件(北师大版)
【详解】
解：设 = 米，由题意得： ⊥ ，∠ = 30°，∠ = 45°，
∴∠ = ∠ = 90°，∴ =
∵ + = = 100米，∴
3
3
3
3
=
3
3
米， = = 米，
+ = 100，解得： = 150 − 50 3，
参考数据： ≈1.414， ≈1.732
【详解】
解：在Rt△CDE中，
∵sin∠C= ，cos∠C=，
1
3
2
∴DE=sin30°×DC=2×14=7 m ，CE=cos30°×DC= ×14=7 3≈12.124≈12.12 m ，
∵四边形AFED是矩形，∴EF=AD=6m，AF=DE=7m，
解法2:如图,根据题意知,∠A=30º,∠DBC=60º,AB=50m.
则∠ADC=60º,∠BDC=30º, ∴∠BDA=30º
∴∠A=∠BDA∴BD=AB=50
在Rt△DBC中,∠DBC=60º则sin60º=
∴DC=50×sin60º=25 3 ≈43 m
答:该塔约有43m高
50
30º
50 m
∵直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半∴AC=240 m
∴设BD=x,则AB=2x，由勾股定理得2 = 2 + 2
B
α
A β
D
解得x= 40 3 m，同理求得DC= 120 3 m
则BC=BD+DC=160 3≈277 m 答：楼高277米
俯角
C
水平
线
情景引入
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，
解：设 = 米，由题意得： ⊥ ，∠ = 30°，∠ = 45°，
∴∠ = ∠ = 90°，∴ =
∵ + = = 100米，∴
3
3
3
3
=
3
3
米， = = 米，
+ = 100，解得： = 150 − 50 3，
参考数据： ≈1.414， ≈1.732
【详解】
解：在Rt△CDE中，
∵sin∠C= ，cos∠C=，
1
3
2
∴DE=sin30°×DC=2×14=7 m ，CE=cos30°×DC= ×14=7 3≈12.124≈12.12 m ，
∵四边形AFED是矩形，∴EF=AD=6m，AF=DE=7m，
解法2:如图,根据题意知,∠A=30º,∠DBC=60º,AB=50m.
则∠ADC=60º,∠BDC=30º, ∴∠BDA=30º
∴∠A=∠BDA∴BD=AB=50
在Rt△DBC中,∠DBC=60º则sin60º=
∴DC=50×sin60º=25 3 ≈43 m
答:该塔约有43m高
50
30º
50 m
∵直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半∴AC=240 m
∴设BD=x,则AB=2x，由勾股定理得2 = 2 + 2
B
α
A β
D
解得x= 40 3 m，同理求得DC= 120 3 m
则BC=BD+DC=160 3≈277 m 答：楼高277米
俯角
C
水平
线
情景引入
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，
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B．2
C. D.
3 3
3
（来自《典中点》）
知3－讲
知识点
探究
3
坡度(坡角)与正切的关系
B C
一、如图是某一大坝的横断面： 坡面AB的垂直高度与 水平宽度AE的长度之 A
α
E
D
比是α的什么三角函数？
BE tan 坡面AB与水平面的夹角叫做坡角. AE
知3－讲
坡度的定义： 坡面的垂直高度与水平宽度之比 叫做坡度，记作 i .
知2－讲
总 结
tanA的值越大，梯子越陡.
（来自教材）
知2－讲
1. 当梯子与地面所成的角为锐角A时，
梯子的竖直高度 , tan A的值越大，梯子越陡． tan A＝ 水平宽度
因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度． 2. 当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比 值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
1 2
B． 4 D.
1 4
（来自《典中点》）
知2－练
4
如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的 3 锐角为α，tan α＝ ，则t的值是( C ) 2 A．1 B．1.5
C．2
D．3
（来自《典中点》）
知2－练
5 【中考· 烟台】如图，BD是菱形ABCD的对角线， CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是边AB的 中点，则tan∠BFE的值是( D ) 1 A. 2
(2)在图1-2中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎 样判断的？
知1－导
知识点
想一想
1
正切的定义
如图1-3,小明想通过测量
B1C1及AC1，算出它们的比， 来说明梯子的倾斜程度；而 小亮则认为，通过测量B2C2 及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意
小亮的看法吗？
知1－导
(1) 直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
知2－讲
例3 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比 较陡?
4 1 解：甲梯中， tan . 8 2 5 5 . 乙梯中， tan 2 2 12 13 5
因为tanα＞tanβ，所以甲梯更陡.
知2－讲
总 结
(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾 斜角较大的物体，就说它放得更“陡”． (2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程
（来自《点拨》）
知1－讲
例2〈桂林〉如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ 8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝ 3 ________． 4
根据题意得∠BCD＝∠CAB， 导引：
BC 6 3 = = . 所以tan ∠BCD＝tan ∠CAB＝ AC 8 4
（来自《点拨》）
A )
（来自《典中点》）
知1－练
2 【中考· 包头】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜 边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是(
1 A. 3
D )
B.
3
C.
2 4
D. 2 2
（来自《典中点》）
知1－练
3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶3， 则tan B的值是( A ) A. 3 B.
知2－练
2 (2016· 安顺)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，
点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( D ) A．2
2 5 B. 5 5 C. 5 1 D. 2
（来自《典中点》）
知2－练
3
在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，且CD＝2， BD＝8，则tan A的值是( B ) A．2 C.
知1－讲
总 结
直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利 用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还
可以利用相似，得到相等的比作为中间量．
（来自《点拨》）
知1－练
1 【2017· 金华】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝ 5，BC＝3，则tan A的值是(
3 A. 4 3 C. 5 4 B. 3 4 D. 5
A的对边 BC tan A = . A的邻边 AC
B
斜边 ∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
A
知1－讲
AB 17 = , 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC 15 15 则tan A＝________ ． 8 BC , 在本题中已知两边之比，可运 由正切定义可知tan A＝ 导引： AC AB 17 = , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可 用参数法，由 BC 15
第一章 直角三角形的边角关系
1.1
锐角三角函数
第 1 课时
正
切
最新北师大版九年级下册配套课件
1
课堂讲解
正切的定义 正切的应用
2
课时流程
逐点 导讲练
坡度(坡角)与正切的关系
课堂 小结
作业 提升
梯子是我们日常生活中常见的物体. (1) 在图1-1中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎 样判断的？ 你有几种判断方法？
1 3
C. 10 D.
10 10
（来自《典中点》）
知1－练
4 一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来 的2倍，那么它的两个锐角的正切值( A ) A．都没有变化 B．都扩大为原来的2倍 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化
（来自《典中点》）
知2－讲
知识点
议一议
2 正切的应用
在图1 -3中，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?
B1C1 B2C 2 (2) 有什么关系? 和 AC1 AC 2
(3) 如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么 结论?
知1－导归纳BC 改变点B的位置， 的值始终不变。 AC
（来自《点拨》）
知1－讲
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的正切， 记作tanA，即
度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放
置得越“陡”．
（来自《点拨》）
知2－练
1 如图， △ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出 tanC吗？
B
解： ∵△ABC是等腰三角形， BD⊥AC，
C
∴D是AC的中点．
1 ∴DC＝AD＝ AC＝2. 2
3 BD 1.5 在Rt△BCD中，tan C＝ ＝ ＝ . 4 2 DC
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得
BC 15 = . tan A＝ AC 8
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
直角三角形中求锐角正切值的方法： (1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；
(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利
用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义 求解．