卫星测控模型

卫星或飞船测控模型摘要本文对通过测控站分布问题进行了简化，建立了数学模型。

我们对卫星或飞船如何运行，如何使测控站合理分布，以及如何使测控站数最少等问题进行了分析讨论，最终计算出最少的测控站数。

对于问题一，我们先得出每一个测控站的最大测控区域对应的圆心角与卫星或飞船离地高度的关系式)93sin arcsin 931802H R R +-- （＝β，因为所有测控站与运行轨道共面且是个圆周，则对卫星或飞船进行全程跟踪测控最少为]360[β =N 个测控站。

但是对于不同的轨道上的卫星或飞船，则有不同的情况。

为此我们分别对同步卫星、远距离的卫星或飞船、近地轨道的卫星或飞船进行分序号 出现的情况 所需要测控站个数1 离地36000km 同步卫星 12 远距离超过的卫星 33 近地轨道200km 的卫星或飞船 16α，所以卫星或飞船的运行轨道只在以球心为中心，半径为R+H 的球面，去掉上下两个高度为（H+R ）(1-sin α)的球冠剩余的部分 。

方法一，首先，我们采用测控点测控区域重叠的方式，以圆的内接正方形的边为重叠部分的交线，所以得出重叠后能完全监控测控区域所对应的圆心角)2tan 22arctan(21ββ= 从而得出需要布控监控点的纬线数及纬度，最后得出总监控点数为∑==i i i N 11cos 2βαπ（i=…）方法二，我们经过公式推导，得出经度差的表达式：32⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆R H R A π；假设卫星或飞船沿固定的轨道运转n 1后，卫星或飞船又回到了原来的出发点上，即满足An n ∆=π212条件。

此时，测控站所要测控的范围，并且所需要的测控站数也减少了，其测控范围即为一条近似于正弦函数曲线图像。

再运用简化思想把曲线拉直成为直线l 。

以测控站所对应的测控圆的直径d 截取。

最后，得到最少所需的测控站数为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=)93sin arcsin 87sin(H R R N π 关键词：测控面，经度差， 排布一．问题重述卫星或飞船和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星或飞船和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。

测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。

请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。

考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星或飞船所能测控的范围。

二．问题分析对于问题一，因为所有测控站与卫星或飞船的运行轨道共面，所以卫星或飞船相对于地球的运行轨道是一个以地心为圆心，以地球半径R与卫星或飞船离地高度H的和为半径的圆；而每个测控站的测控范围是与地切平面夹角3度以上的空域，所以每个测控站的测控范围相对与卫星或飞船的运行轨道是一段弧，我们利用以上条件构造出一个三角形，利用正弦定理，得出测控弧所对应的圆心角，最后得出至少所需的测控站。

对于问题二：由于卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角a，所以卫星或飞船的运行轨道只在北纬a南纬a之间，所以所有测控站的测控范围之和应等于北纬a南纬a之间的地区。

由于地球自转，所以卫星或飞船在运行过程中相继两圈有经度差△A。

三．模型假设1 地球是一个球体2 卫星或飞船做匀速圆周运动3 不考虑卫星或飞船发射和降落的情况4 不考虑其他天体对卫星万有引力的影响5不考虑空气对卫星或飞船的阻碍作用四．符号说明O为地心 C为测控站所在地点 β为测控弧所对应的圆心角 Ｒ为地球半径 Ｈ为卫星或飞船离地高度 n 1为卫星或飞船沿固定的轨道运转的圈数 n 2Ａ回到Ｂ0所绕地球转的圈数（可以取任意的自然数） △Ａ为卫星或飞船运行过程中相继两圈经度差 α为卫星或飞船轨道平面与赤道平面的夹角 l为卫星或飞船轨道的周长 m为卫星或飞船的质量 Ｍ为地球的质量 Ｇ为引力常量 g为重力常量 ω为地球自转的角速度 d为测控站在卫星或飞船轨道所在球面上的测控直径 N为所需的测控站数五．模型建立与求解建立问题一的模型5.1.1情形一：不考虑卫星或飞船发射的过程，假设卫星或飞船直接飞到同步卫星的轨道上，因为同步卫星运转的角速度与地球自转的角速度相同，所以相对于地球，同步卫星没有发生运动。

所以在同步卫星下设一个测控站就可以全程跟踪测控，即N ＝1。

5.1.2情形二：所有测控站都与卫星或飞船运行轨道共面的情况：因为卫星或飞船绕地球运行所需的向心力是由地球对卫星或飞船的万有引力所提供的，地球的卫星或飞船做圆周运动都是以地心为圆心，如下图1所示（为卫星或飞船飞行轨道的面），地心为O ，在有测控点C ，其测控范围与飞行轨道的交点为D ，在三角形COD 中，因为每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，由图1易得：∠OCD ＝ 90+ 3＝ 93，OC 为地球半径R ，OD 为地球半径R 与离地高度H 的和，即：OD ＝H+R 。

图1首先，在三角形OCD 中，运用正弦定理，求出θ：HR R arc +∠=OCD sin θ （1）因为三角形内角的和为180度，所以：)180(2θβ-∠-=OCD （2）由式（1）和（2）得高度H 与测控弧所对的圆心角β的关系式：)sin arcsin --1802HR OCD R OCD +∠∠ （＝β H R R +93sin arcsin 2-174＝β （3）由模型分析可知，所以问题一的测控总角为360度。

由此可得测控站数至少为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=βπ2N （4） 当H 远大于R 时,β的近似值为17493sin arcsin lim =+=∞→HR R H β那么，至少的测控站数为N⎥⎦⎤⎢⎣⎡=β360N＝35.1.3情形三：当卫星或飞船在近地轨道上运行时，由资料可知，卫星或飞船飞行的轨道的高度为H＝200km由上推导公式：β360=N可得：N=16建立问题二的模型5.2.1 模型二卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角α。

轨道的范围是：与地球同心半径为（R+H）的球面去掉上、下两个高度为)sin1)((α-+HR的球冠剩下的区域。

该区域对应与地球南纬α到北纬α之间区域，所以只需要安排测控点使所有的测控点的测控范围覆盖该区域，并使测控点最少。

测控站测控的圆心角为)93sinarcsin93(2360HRR++-=β因为每个测控点的测控区域为一个球冠表面，为了能测完整个卫星或飞船的飞行轨道，采用测控点测控区域部分重叠的方式，又因为圆内接四边形为正方形时面积最大，所以重叠部分的交线为圆内接正方形的边，如图2所示：图2)2tan 22arctan(21ββ=为能完全测控区域对应的圆心角。

我们采用在一条或多条同一纬度线上布控测控点，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡12βα确定要布控测控点的纬度线的条数m 及度数 i α (i=1.2.3…)。

由i α(i=…)可求出各条纬度线对应在卫星或飞船的飞行轨道球面上的圆的周长i i H R C απcos )(2+= (i=…)，根据弧长公式求出重叠后正方形对应的球冠的弧长为)(1H R l +=β。

所以，各条要布控的纬线上需要的测控点数为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=l C n i i （i=…)。

最后求出需要布控的总测控点数为i n n n N +++= (21)即 ∑==i i i N 11cos 2βαπ以神舟七号为例，H=343km2.42=α求出 24.31=β， 37.221=β，m=4，1641==n n ，1432==n n ，60=N 。

5.2.2 模型三由于模型二只是简单地考虑卫星可能飞行的区域，没有从飞行原理上分析，因此我们对其进行改进，由于卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角α，所以卫星或飞船的运行轨道。

如图3所示：图35.2.2.1对卫星或飞船相对地球的路径的讨论当卫星或飞船转第一圈时：如图4所示，所设卫星或飞船从赤道与西经180度的交点1出发,因为卫星或飞船相对于地球的速度由两部分合成（地球某一纬度的线速度和卫星或飞船的速度），而地球某一纬度的线速度是随纬度的升高而减少，即卫星或飞船从1到2时，水平速度不断减少，而垂直速度不变，从而得出卫星或飞船从1到2的路径大约下，同理，可以得出从2到3；从3到4的路径。

但由于地球处转的响影，会产经度差。

即如图4所示卫星或飞船转一圈从1到4，而到不了东经180度，即1点。

图4当卫星或飞船转第二圈时：如图5所示，当卫星或飞船转完第一圈后，在4点上，因为西经180度就是东经180度，所以4点可以是西经向西△A 度。

和第一圈一样，卫星或飞船由4点到5点，与4点相差△A 。

由上述可得：卫星或飞船每转一圈，其相对地球的的路径向西平移△A 。

当卫星或飞船转第一圈后，第二圈的起点是第一圈的起点向西平移△A 。

当卫星或飞船转第二圈后，第三圈的起点是第二圈的起点向西平移△A 。

当卫星或飞船转第三圈后，第四圈的起点是第三圈的起点向西平移△A 。

……… ……… ………当卫星或飞船转第1n 圈后，每1n +1的起点是第1n 圈的起点向西平移△A由数学归纳法可得,当卫星或飞船转第1n 圈后，每1n 圈的起点是第一圈的起点向西平移 1n ×△A.假设当卫星或飞船绕地球转1n 时，卫星或飞船回到了原起点。

如果卫星或飞船向西平移1圈重新回到了原出发点则：121⨯=∆⨯πA n如果卫星或飞船向西平移2圈重新回到了原出发点则：221⨯=∆⨯πA n如果卫星或飞船向西平移3圈重新回到了原出发点则：图5321⨯=∆⨯πA n如果卫星或飞船向西平移4圈重新回到了原出发点则：421⨯=∆⨯πA n由数学归纳法可得,若卫星或飞船绕地球转2n 圈重新回到了原出发点则212n A n ⨯=∆⨯πAn n ∆=π212 （5） 5.2.2.2卫星或飞船可能出现的区域与测控站在Ｊ球面上的测控直径的讨论Step1:假设卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面的夹角为α,所以卫星或飞船到达的最高纬度为α.因此卫星或飞船在北纬α到南纬α之间运转，如图6所示。

图6那么卫星或飞船可能出现在区域为（αN,αS ）。

Step2:计算测控站在Ｊ球面上的测控直径如图7所示在三角形ABO 中运用正弦定理93sin sin H R R +=θ得 HR R +=93sin arcsin θ （6）图7在三角形ABO 中，由 180932=++θβ得θβ-= 872（7）因为直角三角形ODB 中得)(2sin 2H R d +⨯=β （8） 由式(6)(7)(8)得)93sin arcsin 87sin()(2H R R H R d +-+=（9） Step3:推导公式首先我们求出卫星或飞船的轨道周长)(2H R l +=π （10）根据卫星或飞船的向心力等于地球对卫星或飞船的万有引力22)()(H R Mm G H R m V +=+得 HR GM v += （11） 位于赤道上的物体，其向心力由物体的重力提供，由mg mR =2ω得R g =ω （12）由式(10)(11)得卫星或飞船转一圈所用的时间GMH R H R v l t ++==)(2π （13） 由式（12）（13）得飞船运行过程相继两圈的经度差：RgGMH R H R t A ⨯++⨯==∆)()(2πω （14） 根据物理黄金代换公式2gR GM = （15）将式(15)带入式子(14)中得32⎪⎭⎫⎝⎛+=∆R H R A π （16）最后由式(5)(16)可得：321⎪⎭⎫ ⎝⎛+=H R R n n (17)由式（17），当1n 为正整数时，1n 越小，卫星或飞船回到原出发点的周期就越短，其相对地球的路径就越简单，比可能要测控的范围（北纬α到南纬α之间）小，所需的测控点就少。