切变模量的研究和垂直轴定理的验证

切变模量的研究和垂直轴定理的验证

摘要：切变模量是材料在弹性限度内剪应力同剪应变的比值，是度量物体受力时形变大小的重要参量。本实验粗略研究了铜丝的切变模量随其扭转角度的变化关系，确定合适的实验条件测量切变模量，测量物体的转动惯量并与理论值进行比较，验证垂直轴及平行轴定理。

关键词：切变模量；转动惯量；垂直轴定理；数字计时器

一.引言

本实验通过用扭摆法测量铜丝材料的切变模量，了解测量材料切变模量的基本方法，进一步掌握基本长度量和时间测量仪器的正确使用方法，同时还可以用扭摆法测量各种形状刚体绕同一轴转动的转动惯量以及同一刚体绕不同轴转动的转动惯量，加深对转动惯量的概念和垂直轴定理的理解。

二.实验原理

1.切变模量定义

剪应力同剪应变的比值，称剪切弹性模量，

即切变模量。设有某一弹性固体的一个长方形

体积元，顶面面积为A，且顶面固定，F为与

顶面平行且均匀分布的切力，在F的作用下产

生切变，切变角为α，如图1所示，在α较小时

满足：

图1：切变模量原理图

F

=Gα(1)

A

比例系数G即为切变模量，单位为N∙m−2。

2.切变模量的计算

[1]实验中，待测样品是一根上下均匀而细长的铜丝，近似为圆柱体，根据几何关系，力矩平衡方程，转动定律，解微分方程最后可得到切变模量的计算式：

G=8πLI

R4(T12−T02)

(2)

其中，L、R分别为待测铜丝的长度和半径，I为所加圆环绕转轴作水平转动的转动惯量，T1和T0分别为爪手上水平放置圆环和空载时扭转后所对应的扭摆周期。

环状刚体绕中心轴作水平振动的转动惯量为

I1=1

2

M(R12+R22)(3)

其中R1为环内径，R2为环外径，M为环状刚体质量。

[2]环状刚体处于垂直方向绕同一轴振动的转动惯量为

I2=1

4M(R12+R22+S2

3

)(4)

其中S为环状刚体厚度。

3.方柱、圆柱和小球转动惯量

圆柱转动惯量理论值：

I

圆柱=1

4

m(1

3

l2+r2)(5)

其中l为圆柱长度，r为圆柱半径。

方柱转动惯量理论值：

I

方柱=1

12

m(l2+d2)(6)

其中l为方柱长度，d为方柱宽度（沿垂直于转动轴的方向）。

小球转动惯量理论值：

I

小球=2

5

(m1r12+m2r22)+m1l1+m2l2(7)

其中r1、r2分别为两个小球的半径，l1、l2分别为两个小球中心轴到转轴的距离。

转动惯量测量值的计算直接利用(2)式变形为：

I=GR4(T12−T02)

8πL

(8)

得到负载周期T1和空载周期T0即可直接得到测量值。

4.垂直轴定理

若已知一块薄板（或薄环）绕位于板（或环）上相互垂直轴（X和Y轴）的转动惯量为I x和I y，则薄板（或环）绕Z轴的转动惯量为：

I z=I x+I y(9)

此即垂直轴定理。由此定理可知：圆盘（或环）通过中心且垂直盘面的转轴的转

动惯量为圆盘绕其直径的转动惯量的两倍，即

I z =2I x (10)

三. 实验装置及过程

1. 实验装置

切变模量与转动惯量实验仪，数字计数器，秒表，方柱，圆柱，小铁球，螺旋测微仪，游标卡尺，卷尺，钢尺，电子天平等。

切变模量与转动惯量实验仪简图如图 2 所示，使用较为简单，调节底座可调整爪手和感应器之间的距离，调节扭动旋钮可调整爪手的平衡位置。

数字计数器如图2中的7所示，使用时按上升键预先调节所需要测量的数目，使爪手作扭转振动。当铷铁硼小磁钢靠近霍耳开关约1.0cm 距离时，霍耳开关将导通，即产生计时触发脉冲信号，大约感应3次后开始计数，计数计时结束,

可以读出由于爪手振动在霍耳开关上产生计时脉冲的计数值和总时间，其中计数2次为一个周期。可通过上下键来查阅每次感应计数所对应的时间。

2. 测量铜丝的切变模量

(1). 用电子天平测量圆环的质量，游标卡尺测量圆环的内外直径及厚度各5

次，用螺旋测微仪在铜丝的不同位置测量铜丝直径5次，用卷尺测量铜丝长度3次。

(2). 研究不同初始角度对于周期和算得的切变模量的影响。由于旋转角度没

有定量的标准，所以选取分度为90°，范围为90°~720°，测量并记录空载、圆环水平和竖直放置时转动10个周期所对应的总时间，并计算得到相应角度下的转动周期。其中初始角度为360°和720°时用秒表计时，其余角度用数字计数器计时。作出转动周期随角度变化的图像，观察周期变化趋势。

图 2：切变模量与转动惯量实验仪简图

1、

爪手 2、环状刚体 3、待测材料 4、霍耳开关 5、铷铁硼小磁铁 6、底座 7、

数字式计数计时仪 8、标志旋钮 9、扭动旋钮

(3).根据上一步实验结果选取合适的初始角度。分别测量空载、圆环水平放

置，圆环竖直放置时转动10个周期所对应的时间各5次，记录并利用公

式(2)计算切变模量G及其不确定度。

3.测量圆柱、方柱和钢球的转动惯量并与理论值进行比较

(1).用电子天平测量圆柱、方柱和两个小球的质量，游标卡尺测量圆柱的长

度、直径和方柱的长度、宽度、高度各3次，螺旋测微器测量两小球直

径各5次，钢尺测量小球中心轴与转轴距离。代入公式(5)、(6)、(7)算出

圆柱、方柱和小球的转动惯量理论值。

(2).选取合适的初始角度。分别测量和记录放置圆柱、方柱、小球时转动10

个周期所对应的时间各5次，放置圆柱、方柱时，柱体上的刻线对准爪

手上的刻线。利用公式(8)算出圆柱和方柱的转动惯量，与理论值进行比

较。

4.验证垂直轴定理

在测量铜丝的切变模量实验中测得的空载、圆环水平放置和圆环竖直放置的周期分别为T0、T1和T2，利用公式(8)和(10)得出

I z I x =(T12−T02)

(T22−T02)

(11)

带入实验结果并与2进行比较。

四.实验结果及分析

1.测量铜丝的切变模量

(1).测量结果和圆环转动惯量

圆环质量M=556.66g

D1，D2，S均由游标卡尺测量，故u B(D1)=u B(D2)=u B(S)=

√3

；