三角形地五心向量结论证明

三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。

* △ABC 中+一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.*222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心证明：由，得，所以。

同理可证。

容易得到由以上结论知O 为△ABC 的垂心。

* 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC的垂心⎪⎭⎝cos cos C AC B* 若H 是△ABC(非直角三角形)的垂心， 则S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC BC AB BC AC BC AB B AC C AB B AC C ⋅⋅⋅+=+||||cos()||||cos ||||0||cos ||cos BC AB B BC AC C BC BC AB B AC C π⋅-⋅=+=-+=()||cos ||cos AB ACBC AB B AC C⊥+故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·=03.点O 是123PP P ∆的外心⇔23OP OP OP ==． 证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC=(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交点)*若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足，则点O 为△ABC 的外心。

证明：因为，所以同理得由题意得，所以，得。

故点O 为△ABC 的外心。

*D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且DP PB DP PCP ABC EP PC EP PA⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的外心 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin ∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m r n m ,,，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆ABCDO若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin ∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =04.O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。

(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性： 1230⋅+⋅+⋅=a OP b OP c OP ⇒O 是123PP P ∆的内心1231112113()()a OP b OP c OP a OP b OP PP c OP PP ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅++⋅+=11213()0++⋅+⋅+⋅=a b c OP b PP c PP所以13121()PP PP bc PO a b c c b =+++，而12P Pc ，13P P b分别是12PP ，13PP 方向上的单位向量，所以向量1312PP PP c b+平分213P P P ∠，即1PO 平分213P P P ∠，同理2P O 平分123PP P ∠，得到点O 是123PP P ∆的内心。

*O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. 内心（角平分线交点）证明：b c 、分别为方向上的单位向量，∴b c +平分BAC ∠, (λ=∴b ACc AB +)， 同理：()BC BABO u a c=+ 11(()[()]())BC BA u AB AO OB u AB AC a c c a c AB AC u bc a b λλλ=+=+++--++=11()10u c a cu a bλλ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得a u b λ=代入11()1u c a c λ++=解得c b a bc ++=λ，∴c b a bc ++=（bc +) 化简得)(=++++c b c b a ，∴0=++OC c OB b OA a* 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必平分∠BAC ，该向量必通过△ABC 的内心;* 设()+∞∈,0λ，则向量-λ必平分∠BAC 的邻补角*(),0()0AB ACAP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩为的内心，*O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB ∙-=∙-=∙-=*若O 是△ABC 的内心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB=a ：b ：c故a ·OA +b ·OB +c ·OC =0或sinA ·OA +sinB ·OB +sinC ·OC =0;*设O 为△ABC 所在平面内任意一点，I 为△ABC 的内心，* cb ac b a OI ++++=内心I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy Ca+b+c）证明：由I 是ABC ∆的内心⇔0a IA b IB c IC ⋅+⋅+⋅=。

(其中,,a b c 是ABC ∆三边)（见内心的充要条件的证明）OI OA AI OB BI OC CI =+=+=+()()()()a b c OI a OA AI b OB BI c OC CI ++=+++++=()aOA bOB cOC aAI bBI cCI aOA bOB cOC +++++=++cb a OCc OB b OA a ++++=, ∴I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy Ca+b+c ）.O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。

(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)5.若o 为三角形的旁心，则a →OA =b →OB +c →OC (abc 是三边)*已知O 为△ABC 的外心，求证：sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB ++=．分析 构造坐标系证明．如图３，以A 为坐标原点，B 在x 轴的正半轴，C 在x 轴的上方．2012AOB S x y =△，直线BC 的方程是32323()0y x x x y x y +--=，由于点A 与点O 必在直线BC 的同侧，且230x y -<，因此有03302020x y x y x y x y -+-<，得302303201()2BOC S x y x y x y x y =+--△． 直线AC 的方程是330y x x y -=，由于点(1,0)与点O 必在直线AC 的同侧，且33100y x ⨯-⨯>，因此有03300x y x y ->，得03301()2AOC S x y x y =-△． 于是，容易验证，0BOC AOC AOB OA S OB S OC S ⨯+⨯+⨯=△△△， 又1||||sin 2BOC S OB OC BOC =△，1||||sin 2BOA S OB OA AOB =△，1||||sin 2AOC S OA OC AOC =△， 又||||||OA OB OC ==， 则所证成立． 与三角形“四心”相关的向量结论随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。

平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。