数论、组合数学、具体数学
数论和组合数学知识
• 进阶:/
• 6、全排列 next_permutation 康托展开STL 常见算法
• 7、回溯
• 2、C++ 输入输出（包括流、文件） • 8、DFS、BFS、hash表
• 3、C++常用泛型：list vector stack map • 9、数学上的有：辗转相除（两行
•
9、数学：线段交点、多角形面积公式 等
排列组合
排列组合
公式
二项式定理
a的n次幂，超范围处理
较小的数可以直接相乘求出幂指数，一旦指数超出范围，则溢出 处理方式1：在程序运行中对p取余（p常取一个质数），结果为a^n取余。 处理方法2：当指数过大时，方法1不能解决，使用分治法
例题：素数计算超范围
例题：最大买不到的数目
出现连续4次(a次)能买到，之后的就都可以 买到，最大不能买到的数字就是这之前的数
比酒量
利用浮点数近似相等
通分，转为整数运算
保留分数形式， 不进行运算！
有理数是整数和分数的集合。 有理数：整数或有限小数或无限循环小数； 无理数：无限不循环小数 任何一个有理数，都可以表示成 分数 形式
整数的基本性质
• 素数、和数、整除、余数、最大公约数、最
小公倍数
• 互质的两个数的最大公约数是1，两个数如果
数论和组合数学知识
高华玲 主讲 2018.12.3
穷举法（暴力破解）
穷举法（暴力破解）
穷举法（暴力破解）
浮点数不能直接使用==来判断。 因为计算机中是二进制表示，有可能是无限循环小数，导致 不能精确相等。
乘以10，避免小数
注意：啤酒2.3，饮料1.9，啤酒比饮料的少，求啤酒的数量。 答案有两组，应该取11，30这一组，啤酒的数量为11.
组合数学简介
映射的个数
n元集上的幂等映射的个数 n元集上的部分映射的个数
n
C
k n
k
n
k
k 1
n
Cnk nk (1 n)n
k 0
例题
• 问题一：对三角形的三个顶点u,v,w染以红、蓝两 种颜色，求不同的染色方案数。
• 问题二：求集合{u,v,w}到集合{r,b}的映射的数目。
例题
• 问题1：求n元集合上有多少个不同的自反关系？
组合数学 Combinatorics
教材
课程安排
• 组合数学简介 • 排列组合公式 • 母函数 • 递推关系 • 容斥原理 • 抽屉原理 • Polya计数
组合数学简介
• 组合数学也称为组合分析或组合学，按研究的对象 归于离散数学家族。
• 早在中国古代的洛书、河图中就有组合数学的思想。 • 组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏中。 • 现代组合数学在纯粹和应用科学上都有重要的价值。 • 组合数学与抽象代数、拓扑学、数学基础、图论、
• 主要内容：把有限集合的元素按一定的规则进行安排。 • 这种安排被考究地称为组态（Configuration）。
解决的问题
• 组态的存在性 • 组态的枚举、分类和计数 • 组态的构造 • 组态的优化
幻方
• 幻方是最古老最流行的一个数学游戏之一。 • 在中世纪时期曾存在与幻方相关的玄想，人们将
幻方佩戴身上辟邪。 • 本杰明·富兰克林就是一个幻方迷，他的论文中包
有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在ห้องสมุดไป่ตู้n类 办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不 同方法。
组合数学与数论1
第一部分：组合数学第一章计数的基本原则一．组合数学的历史和内容1.历史：组合数学最早起源于中世纪的印度，在漫长的历史中，一直发展缓慢。
随着上一世纪计算机的出现，组合数学开始快速地发展。
近几年，由于计算机安全领域受到重视以及组合数学在计算机安全领域的应用，组合数学受到越来越多的重视。
2.内容：组合数学主要包括以下几个内容：(1)组合分析（也称为组合计数理论）(2)组合优化（包括线性规划，整数规划等）(3)组合设计（包括区组设计等）(4)组合算法（例如：搜索算法，DFS算法与分支定界法，动态规划等）*图论本是组合数学这个家族的一个主要成员，但它已成长壮大，独立成一门学科。
3. 本课程介绍的主要内容：组合计数理论二．加法原则与乘法原则1. 加法原则：设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A 或事件B”有m+n种产生方式。
例子：大于0而小于10的偶数有4个，即：{2，4，6，8}，大于0而小于10的奇数有5个，即：{1，3，5，7，9}。
则大于0而小于10的整数有：4+5=9个，即：{1，2，3，4，5，6，7，8，9}。
*如果A1,A2,⋯,A n是互不相交的有穷集，那么|A1∪A2∪⋯∪A n|=|A1|+|A2|+⋯+|A n|2.乘法原则：若事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A 与事件B”有mn种产生方式。
例1：设一个符号由两个字符组成，第一个字符有a,b,c,d,e五种方式，第二个字符有1,2,3三种方式。
则根据乘法原则，该符号具有5×3= 15种方式，即a1,b1,c1,d1,e1;a2,b2,c2,d2,e2;a3,b3,c3,d3,e3.例2：从A到B有3条不同的道路，从B到C有2条不同的道路，从A经B到C共有n=3×2=6条不同的道路。
例3：求比10000小的正整数中含有数字1的数的个数。
解：先求所有4位数中不含有数字1的个数，即求由{0，2，3，4，5，6，7，8，9} 9个数字组成的4位数的个数。
数论基础知识
数论基础知识数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质和整数之间的相互关系。
数论的基础知识包括但不限于以下几个方面：1. 整数和自然数整数包括正整数、负整数和零，而自然数通常指的是从1开始的正整数。
在数论中，整数的性质和它们之间的运算是研究的重点。
2. 素数和合数素数是指只能被1和它本身整除的大于1的自然数，例如2、3、5、7等。
合数则是除了1和它本身之外，还能被其他自然数整除的数。
例如，4是合数因为它可以被2整除。
3. 因数和倍数一个数的因数是可以整除它的数，而倍数则是这个数的整数倍。
例如，6的因数有1、2、3和6，而6的倍数包括6、12、18等。
4. 最大公约数和最小公倍数两个或多个整数的最大公约数（GCD）是它们共有的最大的因数。
最小公倍数（LCM）是能被这些数整除的最小的正整数。
例如，8和12的最大公约数是4，最小公倍数是24。
5. 算术基本定理算术基本定理指出，每个大于1的自然数都可以唯一地分解为素数的乘积，不考虑因数的顺序。
例如，60可以分解为2^2 * 3 * 5。
6. 同余和模运算同余是指两个整数在除以某个数后余数相同。
模运算是数论中的一个重要概念，它涉及到整数除法的余数。
例如，5和10在模3的意义下是同余的，因为5除以3余2，10除以3也余2。
7. 二次剩余和勒让德符号二次剩余是指在模p（p为素数）的意义下，某个数的平方根存在的情况。
勒让德符号是一个用于判断一个数是否是某个素数模的二次剩余的符号。
8. 费马小定理费马小定理是数论中的一个基本定理，它指出如果p是一个素数，那么对于任何整数a，a^p - a是p的倍数。
特别地，当a不是p的倍数时，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
9. 欧几里得算法欧几里得算法是一种用于计算两个整数最大公约数的算法。
它基于这样的事实：两个整数的最大公约数与它们的差的最大公约数相同。
10. 丢番图方程丢番图方程是一类特殊的多项式方程，它们通常涉及到整数解。
组合数学
1
组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。
传说，大禹在4000多年前就观察到神龟 背上的幻方…... 幻方可以看作是 一个3阶方阵，其元 素是1到9的正整数， 每行、每列以及两条 对角线的和都是15。
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贾宪 北宋数学家（约11世纪） 著有《黄 帝九章细草》、《算法斅古集》斅 音“笑 （“古算法导引”）都已失传。 杨辉著《详解九章算法》（1261年）中 曾引贾宪的“开方作法本源”图（即指数为 正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三 角形”）和“增乘开方法”（求高次幂的正 根法）。 前者比帕斯卡三角形早600年，后者比霍 纳（William Geoge Horner，1786—1837）的 方法（1819年）早770年。
若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙 、黄四种颜色的话，则，方案数就不是4 4 = 16， 而只有 4 3 = 12 种。 在乘法法则中要注意事件 A 和 事件 B 的 相互独立性。
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加法和乘法法则的综合运用
例1：我国曾经推行的02式汽车的牌照的式样 如下：999.999、999.XXX、XXX.999，那么 共有多少个不同的车牌号码？（其中9代表该 位为数字，X表示该位为大写字母） 例2：计算机系统的每个用户有一个6-8个字 符构成的登录密码，其中每个字符是一个大 写字母或数字，且每个密码必须至少包含一 个数字，有多少个可能的密码？
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定理：如果把n+1个或更多的物体被放入到n
个盒子里，则至少有一个盒子包含了
两个或更多的物体。
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2. 推广的鸽巢原理 鸽巢原理指出当物体比盒子多时，一定 至少有两个物体在同一个盒子里。
小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、
小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、应用题、行程、组合七大板块，其中必须掌握的三十六个知识点，内容从和差倍问题、年龄问题到循环小数，包含了小学奥数七个模块的知识。
以下是小学奥数知识清单：2、年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3、归一问题基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；5、鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6、盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
计算机专业应该掌握的理论知识
首先，应该意识到数学修养的重要性。
作为一个优秀的程序员，一定的数学修养是十分重要也是必要的。
数学是自然科学的基础，计算机科学实际上是数学的一个分支。
计算机理论其实是很多数学知识的融合，软件工程需要图论，密码学需要数论，软件测试需要组合数学，计算机程序的编制更需要很多的数学知识，如集合论、排队论、离散数学、统计学，当然还有微积分。
计算机科学一个最大的特征是信息与知识更新速度很快，随着数学知识与计算机理论的进一步结合，数据挖掘、模式识别、神经网络等分支科学得到了迅速发展，控制论、模糊数学、耗散理论、分形科学都促进了计算机软件理论、信息管理技术的发展。
严格的说，一个数学基础不扎实的程序不能算一个合格的程序员，很多介绍计算机算法的书籍本身也就是数学知识的应用与计算机实现手册。
第一部是《算法导论》，英文名称:Introduction to Algorithms，作者:Thomas H. Cormen ，Ch arles E. Leiserson ，Ronald L. Rivest ，Clifford Stein。
本书的主要作者来自麻省理工大学计算机，作者之一Ronald L.Rivest 由于其在公开秘钥密码算法RSA上的贡献获得了图灵奖。
这本书目前是算法的标准教材，美国许多名校的计算机系都使用它，国内有些院校也将本书作为算法课程的教材。
另外许多专业人员也经常引用它。
本书基本包含了所有的经典算法，程序全部由伪代码实现，这更增添了本书的通用性，使得利用各种程序设计语言进行程序开发的程序员都可以作为参考。
语言方面通俗，很适合作为算法教材和自学算法之用。
另一部是很多人都应该知道的Donald.E.Knuth所著《计算机程序设计艺术》，英文名称:The Art of Computer Programming。
Donald.E.Knuth人生最辉煌的时刻在斯坦福大学计算机系渡过，美国计算机协会图灵奖的获得者，是本领域内当之无愧的泰斗。
高等代数中的组合数学 基本概念与方法
高等代数中的组合数学基本概念与方法高等代数中的组合数学：基本概念与方法组合数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是离散结构的数学对象。
在高等代数中，组合数学的基本概念和方法被广泛应用于解决各种复杂的问题。
本文将介绍高等代数中组合数学的基本概念和方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、组合数学的基本概念1. 排列与组合在组合数学中，排列和组合是两个基本的概念。
排列是指从一组对象中选取若干个对象进行排序的方式，而组合是指从一组对象中选取若干个对象，不考虑排序的方式。
2. 阶乘与二项式系数阶乘是指自然数相乘的结果，例如n的阶乘（n!）表示从1到n的所有自然数相乘的结果。
二项式系数是组合数学中的一个重要概念，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，记作C(n,k)或者nCk。
二、基本方法与技巧1. 计数原理计数原理是组合数学中最基本的方法之一，它包括加法原理、乘法原理和减法原理。
通过运用计数原理，可以对复杂的问题进行分析和解决。
2. 递推关系式在组合数学中，递推关系式是一个常用的方法，通过推导递推关系式，可以将复杂的组合问题转化为简单的递推计算过程。
3. 生成函数生成函数是组合数学中的一种重要工具，可以将组合问题转化为代数问题。
通过生成函数，可以求解各种组合数的性质和关系。
4. 容斥原理容斥原理是组合数学中用于处理包含关系的方法之一。
通过运用容斥原理，可以解决一些包含排列和组合问题的复杂情况。
5. 逆序排列与有限差分逆序排列和有限差分是组合数学中的两个重要方法，可以用于求解排列和组合问题中的一些性质和关系。
三、应用案例分析1. 组合数学在密码学中的应用通过组合数学的方法，可以破解密码中的一些加密算法，提高密码的安全性。
2. 组合数学在网络传输中的应用通过组合数学的方法，可以优化网络传输中数据的传输效率，提高网络传输的稳定性和可靠性。
3. 组合数学在图论中的应用组合数学在图论中有广泛的应用，通过组合数学的方法，可以分析和解决图的连通性、最短路径等问题。
数学学科中的数论基础知识
数学学科中的数论基础知识数学学科中的数论是研究整数的性质和结构的学科。
它是数学的一个重要分支，具有广泛的应用价值。
数论的基础知识是数学学习的重要组成部分，掌握数论的基础知识对于深入理解数学的其他分支和解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍数学学科中的数论基础知识，包括素数、最大公约数、同余定理等内容。
一、素数素数是指只能被1和自身整除的正整数。
素数在数论中具有重要地位，它们是整数的基本构成单元。
素数的性质十分丰富，其中最著名的是费马小定理和欧拉定理。
费马小定理指出，如果p是一个素数，a是一个整数，那么a的p次方与a对p取余的结果相等。
欧拉定理则给出了一个更一般的结论，即如果a和n互质，那么a的φ(n)次方与a对n取余的结果相等，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。
二、最大公约数最大公约数是指两个或多个整数中最大的能够同时整除它们的正整数。
最大公约数在数论中具有重要的作用，它是许多数论问题的关键。
最大公约数的计算可以使用辗转相除法，该方法通过连续除法的过程逐步缩小被除数和除数的差距，最终得到最大公约数。
最大公约数的性质也十分重要，其中最著名的是贝祖定理，它指出对于任意两个整数a和b，存在整数x和y，使得ax+by等于它们的最大公约数。
三、同余定理同余定理是数论中的一个重要概念，它描述了整数之间的一种特殊关系。
如果两个整数a和b除以一个正整数m所得的余数相等，那么我们称a和b对于模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系具有一系列重要性质，例如同余关系具有传递性、对称性和反对称性。
同余定理在数论中有广泛的应用，例如在密码学中的RSA算法中，就是基于同余定理构建的。
四、数论的应用数论的应用非常广泛，它在密码学、编码理论、组合数学等领域都有重要的作用。
在密码学中，数论的基础知识可以用来构建安全的加密算法，保护通信的机密性。
在编码理论中，数论的基础知识可以用来设计高效的纠错码，提高数据传输的可靠性。
数学中的数论
数学中的数论数论是数学的一个重要分支，研究整数的性质和关系。
它涉及到许多有趣而深奥的问题，如质数、素数定理、费马大定理等。
在本文中，我们将探讨数论中的一些基本概念和有趣的应用。
一、质数与合数质数是指只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7等。
而合数则是指除了1和自身外还能被其他正整数整除的数，如4、6、8、9等。
质数和合数是数论中最基本的概念，它们在数学和密码学等领域中有着广泛的应用。
二、费马大定理费马大定理是数论中的一个著名问题，由法国数学家费马于17世纪提出。
它的表述是：对于任意大于2的正整数n，不存在整数解x、y、z，使得x^n + y^n =z^n成立。
这个问题在数学界引起了巨大的争议和研究，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马大定理的一般情况，解决了这个问题。
三、素数定理素数定理是数论中的一个重要结果，由法国数学家欧拉于18世纪提出。
它的表述是：当n趋向于无穷大时，小于等于n的素数的个数约为n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。
素数定理的证明非常复杂，但它对于理解素数的分布规律和研究质数有着重要的意义。
四、模运算模运算是数论中的一个重要概念，它是对整数进行取余运算的一种方式。
例如，对于整数a和正整数n，a mod n表示a除以n所得的余数。
模运算在密码学中有着广泛的应用，如RSA加密算法就是基于模运算的。
五、同余定理同余定理是数论中的一个重要结果，它描述了整数之间的一种特殊关系。
对于整数a、b和正整数n，如果a与b对n取余所得的余数相同，即a mod n = b mod n，那么我们称a与b在模n下是同余的。
同余定理在代数、密码学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
六、欧几里得算法欧几里得算法是数论中的一个重要算法，用于求解两个正整数的最大公约数。
它的基本思想是通过连续的除法运算，将两个数逐渐缩小为最大公约数。
欧几里得算法在数学和计算机科学中有着广泛的应用，如分数的化简、模运算的求解等。
计算机专业经典书籍
计算机专业经典书籍1.The C Programming Language 2nd EditionBrian W.Kernighan和Dennis M.Ritchie的传世之作.千千万万程序员和编程爱好者的圣经,每一页都是价值连城的秘诀.不管你从哪一页信手翻起,最终你都会发现自己已经深陷其中而不能自拔.书籍简介：在计算机发展的历史上，没有哪一种程序设计语言像C语言这样应用广泛。
本书原著即为C语言的设计者之一Dennis M.Ritchie和著名计算机科学家Brian W.Kernighan合著的一本介绍C语言的权威经典著作。
我们现在见到的大量论述C语言程序设计的教材和专著均以此书为蓝本。
2.Introduction to Algorithms简称为CLRS的<<算法导论>>,被称作"计算机算法的圣经".本书的主要作者来自麻省理工大学计算机,作者之一Ronald L.Rivest由于其在公开秘钥密码算法RSA上的贡献获得了图灵奖,目前是算法的标准教材,美国许多名校的计算机系都使用它,国内有些院校也将本书作为算法课程的教材.另外许多专业人员也经常引用它.由于TAOCP只出版了3卷,CLRS比较起前者来则显得内容更为全面,基本包含了所有的经典算法.本书程序全部由伪代码实现,这更增添了本书的通用性,使得利用各种程序设计语言的程序员都可以作为参考.语言方面通俗,很适合作为算法教材和自学算法之用.3.Data Structure & Algorithm Analysis in C (Second Edition)本书曾被评为20世纪顶尖的30部计算机著作之一,作者Mark Allen Weiss在数据结构和算法分析方面卓有建树.他的数据结构和算法分析的著作尤其畅销,并受到广泛好评.已被世界500余所大学用作教材.计算机概论类《计算机程序的构造和解释(原书第2版)》1984年出版，成型于美国麻省理工学院(MIT)多年使用的一本教材，1996年修订为第2版。
组合数学
6． n 个不同元中允许重复地取 r 个元的
组合，称为 n 元可重 r-组合，其组合数
记为 F(n, r)。
或用集合描述为：重集
{ ∞ ·1，∞ ·2，…，∞ · n} a a a
的 r-组合数为F(n, r)。
定理1 F(n, r) = C(n+r-1, r)，其中 n, r 均为正整数。
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问 世，这是组合数学的第一部专著。书中首次使 用了组合论（Combinatorics）一词。
组 合 数 学
4.1 排列与组合 4.2 鸽笼原理与容斥原理
4.3 有限制的排列
4.4 母函数 4.5 递推关系 4.6 常系数线性递推关系
§4.1
一．两个基本法则
4． 从 n 个不同元中取 r 个元围成一圈, 称为从 n 个不同 元中取 r 个元的圆排列, 其排列数记为 K(n,r)，有
K(n,r) =
( n, r )
r
理由：因 r 个不同的线 排列（即一般的排列）， 如 (1, 2,…, r)，(2, 3,…, r-1, r, 1) ,…, (r, 1, 2,…, r-1) 一一对应一个如右图的 圆排列
排列与组合
加法法则：设 A, B 为两类不同的事件。若事件A 有
m 种不同的产生方式，事件B 有n 种不同的产生方式，
则 “事件A 或事件B” 有 m+n 种产生方式。 例如，小于10的正偶数有4个，小于10的正奇数 有5个，则小于10的正整数有4+5 = 9个。
乘法法则：设 A, B 为两类不同的事件。若事件A有m
是一一的。所以 n 元可重r-组合数等于 n+r-1元的普通
r-组合数，即 F(n, r) = C(n+r-1, r)
高等数学数论教材
高等数学数论教材高等数学是大学数学中的一门重要课程，而数论是在高等数学中的一个分支学科。
本教材旨在介绍高等数学中的数论知识，帮助学生深入了解数论的概念、性质以及应用。
第一章：数论基础1.1 自然数与整数自然数是人们最早接触到的数，它是用来计数的工具，由0和正整数组成。
整数是由自然数和负整数组成，包括零以及自然数的负数。
1.2 素数与合数素数是只能被1和自身整除的整数，而合数是除了1和自身外还能被其他数整除的整数。
素数在数论中具有重要的地位，很多数论问题都与素数相关。
1.3 整除关系对于两个整数a和b，如果存在整数c，使得a=bc，那么称a能够被b整除，并记作b|a。
整除关系是数论中一个重要的概念，会在后续的章节中频繁应用到。
第二章：数论定理与性质2.1 唯一分解定理唯一分解定理，也称为质因数定理，指出每个大于1的整数都可以唯一地表示为一系列素数的乘积。
2.2 欧拉定理欧拉定理是数论中的一个重要定理，它描述了在模运算下，指数次幂的性质。
它为其他定理的证明提供了重要的基础。
2.3 费马小定理费马小定理是数论中的一条重要定理，描述了在模运算下，指数为素数的情况下的性质。
它在密码学和编码理论中有广泛的应用。
第三章：数论应用3.1 数论在密码学中的应用数论在密码学领域中有着重要的应用，比如RSA算法就是基于数论中的相关定理和性质来设计的。
3.2 数论在编码理论中的应用编码理论是研究信息的可靠传输和存储的一门学科，而数论在编码理论中具有重要作用，比如纠错码的设计和解码算法等。
3.3 数论在组合数学中的应用组合数学是数学中的一个研究对象，而数论在组合数学中的应用广泛，比如排列组合、图论等领域。
结语：通过本教材的学习，相信同学们能够对高等数学数论有一个深入的理解。
数论作为数学中的一个重要分支，不仅有着理论的研究，也有着广泛的应用。
希望本教材能够为同学们的学习提供帮助，让大家在高等数学数论中取得更好的成绩。
数学竞赛中的组合数论问题
数学竞赛中的组合数论问题代数、几何、数论轮、组合是奥林匹克数学的主要内容，数学竞赛中常常遇到这样一些题目，这些题目把组合知识和数论知识交汇在一起，使得竞赛题目更有活力．我们姑且把这类题目叫做“组合数论”问题．组合数论问题大致有两类，一类是用组合数学的原理解决数论问题，另一类是用数论知识解决组合问题． ．从两道经典的数论问题谈起．1．狄利克雷（Dirichlet 1805-1859）定理．设θ为无理数，则对任意的正整数n ，存在整数,p q ，其中q n ≤，并且1q p nθ-<． 证明 将区间[]0,1分成n 等份，每份长为1n． 考虑1n +个数{}j θ，0,1,2,,j n =．这里{}j θ是j θ的小数部分，即{}[]j j j θθθ=-．因而{}()0,1j θ∈．由于把1n +个数{}j θ，放入n 个长为1n的区间，由抽屉原理，必有两个数在同一区间， 设为{}h θ和{}k θ，{},0,1,2,,h k n ∈，且h k ≠． 则有 {}{}1h k nθθ-≤． 从而()[][]()1h k h k nθθθ---≤， 令q h k =-，[][]p h k θθ=-，则上式化为1q p nθ-≤， 因为θ为无理数，所以等号不可能成立． 因而1q p nθ-<． 狄利克雷应用抽屉原理导出了他的有理数逼近定理，这是历史上第一次应用抽屉原理获得的不平凡结果，是一项很好的原创性工作，所以抽屉原理又称狄利克雷原理．2．证明不定方程442x y z +=没有正整数解．证明 假设不定方程442x y z +=有正整数解(),,x y z ，在所有的解中一定有一组解，它的z 值比其余组解的z 值小．（这是极端原理的体现，极端原理的一种形式是在一个有限正整数集合中，必有一个最小数．）因而，存在一个最小的正整数u ，使得442x y u +=，0,0,0x y u >>>． ① 有解．这时(),1x y =，不然的话，就有(),1x y >，且()()()2442,,,x y u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 但()20,uu x y <<，与u 的假定矛盾．由222x y u +=的正整数解的结果可知，①中的2x 和2y 必定一为奇数，一为偶数，不妨假定2x 为偶数，则有2222222,,x ab y a b u a b ==-=+ ② 其中0a b >>，(),1a b =，且a 和b 一为奇数，一为偶数．因此2|x ，2|y /，且2|a /，2|b ．这时因为，若2|a ，2|b /，则()2221mod4y a b =-≡-，此时不可能为平方数．于是由 222y b a +=，有 2222,2,y p q b pq a p q =-==+，这里(),1,0p q p q =>>，且p 和q 一为奇数，一为偶数． 由22x ab =，有()2224x pq p q =+，因为22,,p q p q +两两互质，则它们都是某个整数的平方．即 22222,,p r q s p q t ==+=， 所以 442r s t +=． 于是(),,r s t 是①的一组解．这时，22222u a b a p q t t =+>=+=>．与u 的最小性矛盾．这个证明方法叫无穷递降法，是从极端原理出发的一种证法．这一命题是Fermat 大定理的一个组成部分，1637年法国数学家费马（Pierre de Fermat ，1601～1665）提出了下面的猜想：当2n >时，方程nnnx y z +=没有正整数解．因为大于2的整数必能被4或奇质数整除，因此，如果对于4n =或n 等于任意奇质数，方程都没有正整数解，那么费马问题就全部解决。
数论包括哪些内容
数论包括哪些内容
1.数论主要有整除论、同余论、连分数论。
2、数论早期称为算术。
到20世纪初，才开始使用数论的名称，而算术一词则表示“基本运算”，不过在20世纪的后半，有部份数学家仍会用“算术”一词来表示数论。
1952年时数学家harold davenport仍用“高等算术”一词来表示数论，戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特在1938年写《数论介绍》简介时曾提到“我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》，某方面而言是更合适的书名，但也容易让读者误会其中的内容”。
3.公元前300年，古希腊数学家欧几里德证明了素数有无穷多个。
公元前250年，古希腊数学家厄拉多塞发明了一种寻找素数的厄拉多塞筛选法。
寻找一个素数的普遍公式，或者说素数的普适公式，是经典数论中最重要的问题之一。
4、数论从早期到中期跨越了1000—2000年，在接近2000年时间，数论几乎是空白。
中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马，梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特、heegner等人发展的。
5.内容是以寻找素数通式的思想为主线，开始从初等数论向解析数论和代数数论转变，产生越来越多的无法解决的猜想。
很多难点还是取决于素数的通式，比如黎曼猜想。
如果找到了素数的一般公式，就可以把一些难题从解析数论转移到初等数论。
数论中的组合-概念解析以及定义
数论中的组合-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数论是研究整数性质和结构的数学分支，而组合数学则是研究离散结构和组合对象的数学分支。
两者看似不相关，但实际上在数论中，组合数学的概念和方法有着重要的应用。
本文将就数论中的组合问题展开讨论，包括数论基础、组合数学概念以及数论中的组合应用。
通过深入探讨数论中的组合，我们可以更好地理解数论问题，同时也可以发现组合数学在数论领域的重要性和应用价值。
1.2 文章结构文章结构部分:本文主要分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分中，将概述数论中组合的重要性，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将首先介绍数论的基础知识，然后引入组合数学的概念，接着探讨数论中组合的应用。
最后结论部分将对数论中的组合进行总结，展望未来的研究方向，并进行结语。
整个文章将从基础到应用，全面探讨数论中的组合，并为读者提供清晰的逻辑和引导。
1.3 目的本文的目的是探讨数论中的组合理论，以及其在数论中的应用。
通过对数论基础和组合数学概念的介绍，我们将深入探讨在数论领域中如何运用组合的方法和技巧来解决问题。
我们的目标是为读者提供一个全面的了解数论中组合的重要性，并展望未来在这一领域的发展。
分的内容2.正文2.1 数论基础数论作为数学的一个分支，主要研究整数及其性质。
在数论中，我们经常会遇到一些重要的概念和定理，这些内容对于理解数论中的组合问题至关重要。
首先，数论中的基本概念包括整数、素数、约数、最大公约数和最小公倍数等。
其中，素数是指只能被1和自身整除的整数，如2、3、5、7等。
而最大公约数是指两个整数共有的约数中最大的一个，最小公倍数则是指两个整数公有倍数中最小的一个。
其次，数论中还有一些重要的定理，如费马小定理、欧拉定理等。
费马小定理表明对于任意素数p和整数a，a的p次方减去a都能被p整除。
而欧拉定理则建立了模运算与指数运算之间的联系，为解决一些复杂的数论问题提供了重要的工具。
除此之外，数论中的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算是进行数论证明和计算的基础。
数学主要分支有哪些？
数学主要分支有哪些？1、数学史数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。
它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。
因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。
2、数理逻辑与数学基础a、演绎逻辑学(亦称符号逻辑学)b、证明论 (亦称元数学)c、递归论d、模型论e、公理集合论f、数学基础g、数理逻辑与数学基础其他学科3、数论数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。
初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。
高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。
它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
a、初等数论b、解析数论c、代数数论d、超越数论e、丢番图逼近f、数的几何g、概率数论h、计算数论i、数论其他学科4、代数学代数学是数学中最重要的、基础的分支之一。
代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。
在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。
代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。
初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。
a、线性代数b、群论c、域论d、李群e、李代数f、Kac-Moody代数g、环论(包括交换环与交换代数，结合环与结合代数，非结合环与非结合代数等)h、模论i、格论j、泛代数理论k、范畴论l、同调代数m、代数K理论n、微分代数o、代数编码理论p、代数学其他学科5、代数几何学代数几何研究就是平面解析几何与三维空间解析几何的推广。
解析数论学
解析数论学数论学是数学中的一个重要分支，它主要研究整数及其性质。
在数论学中，人们探索数的规律、性质和相互关系，以及数与其他数学领域的联系。
数论学在代数、几何、组合数学等领域中都有广泛的应用，对于数学研究和实际问题的解决都起到了重要的作用。
在数论学中，人们研究的对象是整数。
整数是自然数、零和负整数的集合，可以用来表示计数、排序和测量等。
数论学的研究内容包括整数的性质、整数的运算规律、整数的因子分解、整数的素数性质等。
数论学研究整数的性质。
整数有很多独特的性质，例如奇偶性、整除性等。
数论学家通过研究整数的性质，探索整数的规律和特点。
例如，欧几里得算法就是数论学中一个重要的定理，它描述了两个整数的最大公约数与它们的整除关系。
数论学研究整数的运算规律。
整数的运算规律包括加法、减法、乘法和除法等。
数论学家通过研究整数的运算规律，探索整数运算的特点和规律。
例如，费马小定理是数论学中一个重要的定理，它描述了整数幂的取模运算规律。
除此之外，数论学还研究整数的因子分解。
每个整数都可以唯一地分解成素数的乘积。
这个分解过程可以帮助数论学家研究整数的性质和规律。
例如，欧拉定理就是数论学中一个重要的定理，它描述了整数与欧拉函数和模运算的关系。
数论学还研究整数的素数性质。
素数是只能被1和自身整除的整数，它们具有很多独特的性质和规律。
数论学家通过研究素数的性质，探索素数的分布规律和性质。
例如，黎曼猜想是数论学中一个重要的猜想，它描述了素数的分布规律。
数论学是数学中的一个重要分支，它研究整数及其性质。
数论学在代数、几何、组合数学等领域中都有广泛的应用，对于数学研究和实际问题的解决都起到了重要的作用。
通过研究整数的性质、运算规律、因子分解和素数性质等，数论学家可以揭示整数的规律和特点，推动数学理论的发展，为实际问题的解决提供有力支持。
数论学的研究对于数学教育和科学研究具有重要意义，它不仅能够培养学生的逻辑思维能力和数学素养，还能够为科学研究和技术创新提供理论支撑。
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30
N1nL|n(L)*(xL)^(n/L)
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2888
一条项链，n个珠子，m种颜色，给定k对颜色不能相邻，循环同构，求方 案数？
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3
The iterative method
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Recursive method
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5
Miller Rabbin
• BASIS: That is ,
a^p mod p = a a^(p-1) mod p = 1
TOOLS: power_product
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6
Cycle detection
Rho
How to calculate :
数论、组合数学、具体数学
李寅
h
1
Euclidean algorithm
• Gcd( a , b ) = gcd( b*(a/b)+(a%b) , b)
•
= gcd( b , a%b )
•
=…
h
2
Extended Euclidean algorithm
The iterative method The recursive method
λ divides ν, xν + μ = xμ, the start of the first
repetition.
• Finally, from xμ it is trivial to find the length of the shortest repeating cycle, xμ + λ = xμ.
You task is to calculate the number of terms in the Farey sequence Fn.
h
22
加减法原理
• 在空间中给出了n个点。这些点任三点不共 线，并且每两个点之间都有一条线相连， 每一条线不是红的就是黑的。在这些点和 线组成的三角形中，如果一个三角形的三 条边的颜色都相同，那么我们就称这个三 角形为单色三角形。现给出所有涂红色的 线，试求出单色三角形的数目。
h
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Euler Function
h
17
• （1）
• （2）
• （3） （ p ^ n ) (p 1 )* p ^ (n 1 )
• （4） (m ,m ') (m )* (m ')
• （5） ( m ,k ) 1 ,k ^( m ) 1 ( m o d m )
h
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pku2480
n
f (n) gcd(i,N) i1
• Solution:
f(n) d*(n/d) d|n
d
T r y t o p r o v e ： f( m * m ') f( m ) * f( m ')
h
19
h
20
Euler递推式
• 若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:
(n)(n/a)*a
• 若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:
observation that (as in the birthday
paradox) two numbers x and y are congruent modulo p with probability
0.5 after
numbers have been
randomly chosen. If p is a factor of
• Thus, we need only check for repeated values of this special form to find a period ν of a repetition that is a multiple of λ. Once ν is found, we may retrace the sequence from its start to find the first repetition of length ν; since
h
23
• （1）C(n,3) • （2） 1 n ri*(n1ri)
2 i1
h
24
Generating function
h
25
3045
h
26
Group Theory
1 35 26 34 45 21 6 = （ 136） （ 25） （ 4）
h
27
Burnside lemma
h
28
• Rotate i • Number of cycles : gcd(n,i) • Length of cycles: n/gcd(n,i)
Bi - Calculate
h
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Think it in another way
Li = n/gcd(n,i） L: gcd(n,i) = n/L = a
gcd(aL,i)=a Let i=at, because n>i, aL>at , so L>t
gcd(aL,at)=a gcd(L,t)=1
h
14
• POJ 1811
Practice
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modular_linear_equation
• ax mod n = b • ax = ny + b • ax – ny =b • d = gcd(a, n) • If( b % d !=0 ) :: no solution • else solve ax0 – ny0 = d • X = (x0 * b/d + n) % n
HASH?
h
7
Floyd's cycle-finding algorithm
h
8
• The key insight in the algorithm is that, whenever
i > 0 is a multiple of λ that is greater than μ, xi = x2i (and conversely).
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9
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Brent's algorithm
• X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14
h
11
h
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Pollard Rho – factorize bigint
• The rho algorithm is based on Floyd's cycle-finding algorithm and on the
n, the integer we are aiming to
factor, then
•
since p divides both h
and n. 13
Note that this algorithm will return failure for all prime n, but it can also fail for composite n. In that case, use a different f(x) and try again
(n ) (n/a )*(a 1 )
h
21
• The Farey Sequence Fn for any integer n with n >= 2 is the set of irreducible rational numbers a/b with 0 < a < b <= n and gcd(a,b) = 1 arranged in increasing order. The first few are F2 = {1/2} F3 = {1/3, 1/2, 2/3} F4 = {1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4} F5 = {1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5}