2014年安徽省合肥市高考文科数学二模试题及答案解析
安徽省合肥八中等2014届高三上学期联考(二)数学文试题含答案
安徽省合肥八中等2014届高三上学期联考（二）数学文试题本试卷分第I 卷（选择题）和第11誊（非选择题）两部分。
本卷满分 钟。
所有答案均在答题卷上，否则无效。
考试结束后只交答题卷。
第I 卷选择题（共50 分）、选择题（本题包括 10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个选项符合题意。
答案填涂在答题卷的相应位置 ）2已知数列｛a n ｝的通项公式是a nn sin （1.已知平面向量 a (1,2),b (2, m),且a Pb ，贝U m=A . 1B .—C .1D .二2222已知集合M ｛ 2, 1,0,1,2}, N {x|x2x 8,xR},则 M INA . {— 1, 0, 1}B . {0 , 1} C.{0 , 1 , 2}D . {1 , 2} 数列 {a n }是首项a 1=4的等比数列，且4a 1, 35,—2a 3成等差数列，则其公比为A . 1B .— 1C . 1或—1D .已知 x , y , z 均为复数，则x z 2y 是x z 2y 0成立的什么条件A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件右ab 0,则下列不等式中总成立的是( )1 , 11 , 1A . a b —B . a b -b aa bb b 12a b aC .D .a a 1a 2b b将函数y =sin2x的图象向左平移4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是A . y=cos2xB .2y=2cos xC .y 1 si n(2x4）D . y 2sin 2x()(3.(4. (5.6. (7.150分，考试时间：1 20分 请把正确A . 116 cos( ) 32.2n 1 …)，则 aia 2 a 3在区间(a, a+1) (a Z)上有零点，则a=( ) A . 2 或一6B .1 或—7C . 2 或—7D .1或一6210.已知函数f(x) x mx m1nx ，以下四个命题中正确的个数有几个()①当m 0时，函数y f (x)有零点 ②若函数y f (x)有零点，贝U m 0 ③ 存在m 0 ,函数y f (x)有唯一的零点 ④ 若函数y f (x)有唯一的零点，贝U m 1 A . 1个B .2个C .3个D . 4个第H 卷非选择题(共100 分)二、填空题(本大题包括 5小题，每小题5分，共25分。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·安徽卷(文科数学)
2014·安徽卷(文科数学)1． [2014·安徽卷] 设i 是虚数单位，复数i 3＋2i1＋i ＝( )A ．－iB ．iC ．－1D ．11．D [解析]i 3＋2i1＋i＝－i ＋2i （1－i ）2＝1.2． [2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥02．C [解析]易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 3． [2014·安徽卷] 抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．A [解析]因为抛物线y ＝14x 2的标准方程为x 2＝4y ，所以其准线方程为y ＝－1.4． [2014·安徽卷] 如图1-1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图1-1A ．34B ．55C ．78D ．894．B [解析]由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下： 第一次循环，x ＝1，y ＝1，z ＝2； 第二次循环，x ＝1，y ＝2，z ＝3； 第三次循环，x ＝2，y ＝3，z ＝5； 第四次循环，x ＝3，y ＝5，z ＝8； 第五次循环，x ＝5，y ＝8，z ＝13； 第六次循环，x ＝8，y ＝13，z ＝21； 第七次循环，x ＝13，y ＝21，z ＝34；第八次循环，x ＝21，y ＝34，z ＝55，不满足条件，跳出循环． 5． [2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b5．B [解析]因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b .6． [2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π36．D [解析]易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，即k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.7． [2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析]方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.8． [2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476C ．6D ．7 8．A [解析]如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝233.9． [2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8 9．D [解析]当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.10． [2014·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6D ．0 10．B [解析]令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a ·b ，S 3＝4a ·b .又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4a·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.11． [2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.11.278 [解析]原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 12． [2014·安徽卷] 如图1-3，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；….依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．图1-312.14 [解析]在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，由题易知A 1A 2＝a 3＝12AB ＝1，…，A 6A 7＝a 7＝⎝⎛⎭⎫123·AB ＝2×⎝⎛⎭⎫123＝14.13． [2014·安徽卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．13．4 [解析]不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S △ABD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×2×(2＋2)＝4.14． [2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______．14.516 [解析]由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 15． [2014·安徽卷] 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(i)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧．则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2； ③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .15．①③④ [解析]对于①，因为y ′＝3x 2，y ′x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)处的切线，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为y ′＝2(x ＋1)，y ′x ＝－1＝0，所以l ：x ＝－1不是曲线C ：y ＝(x ＋1)2在点P (－1，0)处的切线，②错误；对于③，y ′＝cos x ，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，y ′＝1cos 2x，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y ′＝1x ，y ′x ＝1＝1，所以曲线C 在点P (1，0)处切线为l ：y ＝x －1，又由h (x )＝x－1－ln x (x >0)可得h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以h min (x )＝h (1)＝0，故x －1≥ln x ，所以曲线C在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误．16． [2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解：由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝223. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.17． [2014·安徽卷] 某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1-4(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）17．解： (1)300×450015000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18． [2014·安徽卷] 数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32，所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.19． [2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .图1-5(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ， 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.20． [2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．21． [2014·安徽卷] 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．21．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )· (2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ， 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A . 故△AF 1F 2为等腰直角三角形， 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。
2014年高考数学二模试卷(文科)
2014年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）3．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C D4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）），），5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．（5分）已知，则sin2α的值为（）．C D．7．（5分）若f （x ）=2cos （ωx+φ）+m ，对任意实数t 都有f （t+）=f （﹣t ），且f （）=﹣1则实数m 的值等8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，．CD ．9．（5分）已知函数f （x ）=a x ﹣2，g （x ）=log a |x|（a ＞0，且a ≠1），且f （2011）•g （﹣2012）＜0，则y=f （x ），y=g．C D ．． π C π D ．11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx ﹣4y ﹣k=0与抛物线y 2=x 交于A 、B 两点，若|AB|=4，则弦AB 的中点到直线x+=0的距离等于（ ） ．D 12．（5分）已知函数f （x ）=e x+alnx 的定义域为D ，关于函数f （x ）给出下列命题： ①对于任意函数a ∈（0，+∞），函数f （x ）是D 上的减函数； ②对于任意函数a ∈（﹣∞，0），函数f （x ）存在最小值； ③存在a ∈（0，+∞），使得对于任意的x ∈D ，都有f （x ）＞0． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）利用独立性检验来判断两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定X 和Y 有关系可信度，214．（5分）已知实数x ，y 满足不等式组若目标函数z=y ﹣ax （a ∈R ）取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a 的取值范围是 _________ ．15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为_________．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为_________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．19．（12分）（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．（I）估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．21．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．四、解答题（请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分)22．（10分）（2012•泰州二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．24．（2012•长春模拟）选修4﹣5；不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2014年高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）=复数的虚部为﹣3．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C DAC=PA=4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）），），））的符号，结合函数零点的存在性定理和函数=（=（==，是单调递减函数，是单调减函数，故存在唯一零点5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．（5分）已知，则sin2α的值为（）．C D．）））×+1=，7．（5分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等t+）（t+））8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，．CD ．分别是双曲线离心率9．（5分）已知函数f （x ）=a x ﹣2，g （x ）=log a |x|（a ＞0，且a ≠1），且f （2011）•g （﹣2012）＜0，则y=f （x ），y=g ． C D ．．πCπD．，所以O===11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx﹣4y﹣k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于（）．D，故可知直线恒过定点（的焦点坐标为（=x+=0=12．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意函数a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；②对于任意函数a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0．=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）利用独立性检验来判断两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定X和Y有关系可信度，214．（5分）已知实数x，y满足不等式组若目标函数z=y﹣ax（a∈R）取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围是（1，+∞）．15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．的值，由此求得|两个向量的夹角公式求得向量与+2向量，||=2||=1，则=|||×=+4|=2与+2的夹角为=，16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为2．，c=解：∵2A+=，可得的面积为S=bcsinA=，即×c=根据正弦定理，得=三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．的通项公式代入∴为首项，∴）由为首项为．公比为的等比数列．∴18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．ACB=，BC=PC=，，sinA=，的面积为CE=2，，等积法得．的高为19．（12分）（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．（I）估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．分以上的同学的概率，类资格的概率为20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．=3构造关于（b=c==，其标准方程为，=∵=3）•时，∵=3＜﹣，或＜，﹣21．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．，函数）∵+=（）时，．又四、解答题（请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分)22．（10分）（2012•泰州二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．的参数方程为）因为化为普通方程为，24．（2012•长春模拟）选修4﹣5；不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．。
合肥八中2014届高三二模适应性考试卷文科数学试题含解析
合肥八中2014届高三二模适应性考试卷数学（文科）试卷参考答案命题 钱海新 审题 吴勇智一．选择题 1．复数21i i-+（其中i 是虚数单位,满足21i =-）的实部与虚部之和为（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 【答案】A 【解】2(2)(1)13131(1)(1)222i i i i i i i i ----===-++-,故其实部和虚部分别为13,22- 2．已知全集U R =,且{}12A x x =->，{}2680B x x x =-+<。
则()U C A B =（ ） A ．[)4,1-B ．()3,2C ．(]3,2D ．()4,1-【答案】C【解】{}13u C A x x =-≤≤，{}24B x x =<<，{}()23u C A B x x =<≤ 3．“22≤≤-m ”是“实系数一元二次方程012=++mx x 无实根”的 （ ）A. 必要不充分条件B.充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A4.已知(2,)a m = ，(1,)b m =- ，若(2)a b b -⊥ ，则||a＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解】因为(2a b b -⊥ )，所以(20a b b -⋅=)，即250m -+=，即25m =，所以||3a =，故选B ．5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ） A ．15 B ．29 C ．31 D ．63 【答案】C【解】本题可以用列举法得B=316. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图所示）。
为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000）月收入段应抽出多少人A ．5B ．50C ．25D ．250 【答案】C【解】由图可得月收入在[2 500，3 000）的频率为0.0005×500＝0.25，所以在[2 500，3 000）月收入段应抽取100×0.25＝25（人）。
安徽省“江南十校” 2014届高三第二次模拟考试文科数学试卷(带解析)
安徽省“江南十校” 2014届高三第二次模拟考试文科数学试卷（带解析）1．若3(,,)1xyi x y R i i=+∈+为虚数单位，则复数x yi +的模是（ ）A. D. 【答案】C 【解析】因为(1)(1)1(1)(1)222x x i x i x x i i i i --===-++-， 所以3,22x xy ==-，解得：6,3x y ==-||x yi +==故选C【考点】复数的运算. 2．设集合(3)(2){|21}x x A x +-=<，2{|lg(43)}B x y x x ==-+，则()R A C B =( )A.[1,2)B.(1,2]C.(3,3]-D.(3,3)- 【答案】A 【解析】(3)(2)(3)(2)0{|21}{|22}{|(3)(2)0}(3,2)x x x x A x x x x x +-+-=<=<=+-<=-22{|lg(43)}{|430}(,1)(3,)B x y x x x x x ==-+=-+>=-∞+∞所以[1,3]R C B = 所以()[1,2)R AC B =故选A【考点】集合间的运算.3．从集合{1,2,3,4}中以此有放回地随机抽取2次，每次抽取1个数，则2次抽取数之和等于4的概率为（ ） A.416 B.316 C.216 D.116【答案】B【解析】由1+3=3+1=2+2=4，即2次抽取数之和等于4有3种，总共有2416=，所以2次抽取数之和等于4的概率316P = 故选B【考点】概率统计.4．执行如图所示的程序框图，输出的S 是（ ） A.9 B.10 C.-9 D.-10【答案】D【解析】(1)1S S n n S n n =---=-+-当100n ≤时，(01)(12)(23)(99100)10S =-+-+-+⋅⋅⋅+-=- 故选D【考点】框图的识别.5．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A.85ππ+ B.75ππ+ C.825ππ+ D.725ππ+【答案】B【解析】由三视图知，几何体为底面半径为1，高为3的圆柱挖去一个与圆柱同底，高为2的圆锥，所以几何体的表面积22123257522S πππππ⎛⎫=⨯+⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭故选B【考点】几何体的三视图；几何体的表面积.6．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：21815330a a a -+=，且810a b =，则317b b =（ ）A.9B.12C.16D.36【答案】D【解析】由21815330a a a -+=得：281151158333()32a a a a a a =+=+=⨯，即28860a a -=因为8100a b =≠，所以86a =，106b =10231736b b b ==故选D【考点】等差数列及等比数列的基本计算.7．已知抛物线24x y =的准线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（ ）A.【答案】C【解析】抛物线24x y =的准线为1y =-又抛物线24x y =的准线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相切，所以1b =，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以12122c ⨯⨯=，即得2c =由222a b c =+得a =所以5c e a == 故选C【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率. 8．下列命题中假命题有 （ ）①m R ∃∈，使2431()(2)m m f x m x m -+=++是幂函数； ②R θ∃∈，使3sin cos 5θθ=成立；③a R ∀∈，使220ax y a ++-=恒过定点； ④0x ∀>，不等式24ax x+≥成立的充要条件2a ≥. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【答案】B【解析】①中，令121m m++=，即210m m ++=，其1430∆=-=-<，所以方程210m m ++=无解，故①错；②中，由3sin cos 5θθ=得：6sin 215θ=>不成立，故②错； ③中，由220ax y a ++-=得：(1)220x a y ++-=，所以220ax y a ++-=恒过定点(1,1)-，故③正确；④中，当2a ≥时，24a x x +≥≥成立，反之，当24ax x+≥成立，则22242(1)2a x x x ≥-+=--+恒成立，所以2a ≥，故④正确.故选B【考点】命题的真假判断.9．定义在R 上的函数()f x 满足()(1)f x f x =-，且当12x ≥时，()sin cos 1x f x e x x =+++，则有（ ）A.1()(1)(1)2f f f <<-B.1()(1)(1)2f f f <-<C.1(1)(1)()2f f f -<<D.1(1)(1)()2f f f <-<【答案】A【解析】因为()(1)f x f x =-，所以函数()f x 关于12x =对称 当12x ≥时，()sin cos 1xf x e x x =+++，有12()cos )04xxf x e x sinx e x e π'=+-=--≥->，即函数()f x 在1[,)2+∞上单调增， 又(1)(2)f f -=所以1()(1)(2)(1)2f f f f <<=-故选A【考点】函数的对称性；函数单调性的应用.10．已知向量a ，b 满足||3a =，||1b =，且对任意实数x ，不等式||||a xb a b +≥+恒成立，设a 与b 的夹角为θ，则tan2θ=（ ）C.-D.【答案】D【解析】因为对任意实数x ，不等式||||a xb a b +≥+恒成立 所以22210x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立 所以0∆≤，即()224(21)0a ba b ⋅+⋅+≤又||||cos 3cos a b a b θθ⋅=⋅=所以212cos 4(23cos 1)0θθ++≤，即23cos 23cos 10θθ++≤2(3cos 1)0θ+≤，解得3cos 3θ=-又0θπ≤≤，所以6sin θ=，所以tan θ=2- 因为22tan tan 21tan θθθ=-，所以tan 222θ= 故选D【考点】三角函数求值；恒成立问题；平面向量的数量积.11．已知()f x 是R 上的奇函数，若()()4g x f x =+，且(2)3g -=，则(2)g =.【答案】5【解析】由(2)(2)(2)4(2)48g g f f +-=++-+=，所以(2)5g = 故答案为5【考点】函数求值.12．如图所示是函数()sin()(0,||)f x x ϖϕϖϕπ=+><的部分图像，则()f x 的解析式为.【答案】()sin(2)3f x x π=+【解析】由图像得函数周期4()126T πππ=+=又2T πϖ=，所以2ϖ=，即()sin(2)f x x ϕ=+由图像知()112f π=,所以2()62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2()3k k Z πϕπ=+∈又||ϕπ<，所以3πϕ=故答案为()sin(2)3f x x π=+【考点】三角函数的性质；三角函数的解析式.13．设变量.x y 满足的约束条件102030x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为.【答案】11【解析】如图不等式组表示可行域为ABC ∆的内部及边界其中13(,)22A ，(5,3)B -，(4,3)C -- 因为2z x y =-是斜率等于12的一组平行线，z 的几何意义是直线20x y z --=在x 轴的截距，所以在点B 处取得最大值11 故答案为11【考点】线性规划.14．设函数22,0()|2|,0x bx x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩，(4)(0)f f -=，则函数()ln(2)y f x x =-+的零点有个.【答案】4【解析】由(4)(0)f f -=得4b =所以242,0()|2|,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩由()ln(2)f x x =+，在同一坐标系内作()y f x =和ln(2)y x =+图像，可知有4个交点.故答案为4【考点】函数的解析式；函数与方程.15．设0,0a b >>，且221a b +=，则下列结论中正确的是(填上所有正确结论得序号) ①12ab >；②2a b +≤；③114a b +≥；④21()()322a b a b++≥+；⑤22a ab b a b ++≥+.【答案】②④⑤【解析】由2212a b ab +=≥，所以12ab ≤，故①错； 由22222()212a b a b ab a b +=++≤++=，所以2a b +≤取2a b ==，则11224a b+=<，故③错； 由()2123322b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+⎪⎝⎭63a b ==确；由22()1()(1)(1)a ab b a b ab a b a b ++-+=+-+=--，又0,0a b >>，且221a b +=，所以01a <<，01b <<，所以(1)(1)0a b -->，即得22a ab b a b ++>+，故⑤正确. 故答案为②④⑤【考点】基本不等式的应用.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 文科数学 解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）试题第I 卷（选择题 共50分）一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，复数321iii++=（ ） i - B. i C. 1- D. 1命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x3.抛物线241x y =的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【答案】A 【解析】试题分析：题中抛物线的标准形式为24xy =，则其准线方程为1y =-，故先A.考点：1.抛物线的准线方程.4.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A.34 B.55 C.78 D.895.设 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===则（ ）A.c a b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<6.过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（B.]30π，（C.]60[π，D.]30[π，【答案】D 【解析】试题分析：如下图，要使过点P 的直线l 与圆有公共点，则直线l 在PA 与PB 之间，因为1sin 2α=，所以6πα=，则23AO B πα∠==，所以直线l 的倾斜角的取值范围为]30[π，.故选D.考点：1.直线的倾斜角；2.直线与圆的相交问题.7.若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.8π B.4π C.83π D.43π8.一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（）A.233B.476C.6D.79.若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A.5或8 B.1-或5 C. 1-或4- D.4-或8 【答案】D 【解析】10.设,a b 为非零向量，2b a =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b的夹角为（ ） A.23π B.3π C.6π D.0第I I 卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.34331654+log log 8145-⎛⎫+=⎪⎝⎭________.12.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.不等式组20240320x yx yx y+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.【答案】4若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f .15.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3yx =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内 16.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1b c ==，ABC ∆，求cos A 与a 的值.17、（本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）90；（2）0.75；（3）有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【解析】由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率为0.75.由（2）知，300位学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得2300(456030165)100 4.762 3.841752252109021K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯. 有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.考点：1.频率分布直方图的应用；2.列联表的画法及2K 的求解.18.（本小题满分12分）数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈证明：数列{}n a n是等差数列； 设3n n b ={}n b 的前n 项和n S12123333n n n S n +-=+++-⋅113(13)(12)333132n n n n n ++⋅--⋅-=-⋅=-. 所以1(21)334n n n S +-⋅+=. 考点：1.等差数列的证明；2.错位相减法求和.19（本题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为172.点HF EG ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面⊥GEFH 平面ABCD ，//BC 平面GEFH . 证明：;//EF GH若2=EB ，求四边形GEFH 的面积.再由PO ∥GK 得12GK PO =，即G 是PB 的中点，且142GH BC ==.由已知可得6OB PO ====，所以3GK =，故四边形GEFH 的面积4831822GH EF S GK ++=⋅=⨯=. 考点：1.线面平行的性质定理；2.平行的传递性；3.四边形面积的求解.20（本小题满分13分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >讨论()f x 在其定义域上的单调性；当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.因为0a >，所以120,0x x <>.4a ≥时，21x ≥，由（1）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.②当04a <<时，21x <.由（1）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在2x x ==处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值.考点：1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解. 21（本小题满分13分） 设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.。
2014年安徽省高考数学文科试卷(带解析)
2014年安徽省高考数学文科试卷（带解析）2014年安徽省高考数学文科试卷（带解析）第卷（选择题共50分）一. 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．[2014•安徽卷] 设i是虚数单位，复数i3＋2i1＋i＝( )A．－i B．i C．－1 D．1 1．D [解析] i3＋2i1＋i＝－i＋2i（1－i）2＝1. 2．[2014•安徽卷] 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( ) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0 2．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20<0”． 3．[2014•安徽卷] 抛物线y ＝14x2的准线方程是( ) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x ＝－2 3．A [解析] 因为抛物线y＝14x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1. 4．[2014•安徽卷] 如图11所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) 图11 A．34 B．55 C．78 D．89 4．B [解析] 由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下：第一次循环，x＝1，y＝1，z＝2；第二次循环，x＝1，y＝2，z＝3；第三次循环，x＝2，y＝3，z＝5；第四次循环，x＝3，y＝5，z＝8；第五次循环，x＝5，y＝8，z＝13；第六次循环，x＝8，y＝13，z＝21；第七次循环，x＝13，y＝21，z＝34；第八次循环，x＝21，y＝34，z＝55，不满足条件，跳出循环． 5．[2014•安徽卷] 设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( ) A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b 5．B [解析] 因为2>a＝log37>1，b＝21.1>2，c＝0.83.1<1，所以c<a<b. 6．[2014•安徽卷] 过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A.0，π6 B.0，π3 C.0，π6 D.0，π3 6．D [解析] 易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－1＝0.因为直线l圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离|3k－1|1＋k2≤1，即k2－3k≤0，解得0≤k≤3，故直线l的倾斜角的取值范围是0，π3. 7．[2014•安徽卷] 若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π4 7．C [解析]方法一：将f(x)＝2sin2x＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin2x＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y轴对称，可知sinπ4－2φ＝±1，即sin2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ2＋3π8，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝3π8. 8．[2014•安徽卷] 一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的体积是( ) 图12 A.233 B.476 C．6 D．7 8．A [解析] 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V＝8－2×13×12×1×1×1＝233.9．[2014•安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( ) A．5或8 B．－1或5 C．－1或－4 D．－4或8 9．D [解析] 当a≥2时， f(x)＝3x＋a＋1（x>－1），x＋a－1－a2≤x≤－1，－3x－a－1x<－a2. 由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝a2－1＝3，可得a＝8. 当a<2时，f(x)3x＋a＋1x>－a2，－x－a＋1－1≤x≤－a2，－3x－a－1（x<－1）. 由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝－a2＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8. 10．[2014•安徽卷] 设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成，若x1•y1＋x2•y2＋x3•y3＋x4•y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D．0 10．B [解析] 令S＝x1•y1＋x2•y2＋x3•y3＋x4•y4，则可能的取值有3种情况：S1＝2＋2，S2＝＋＋2a•b，S3＝4a•b.又因为|b|＝2|a|.所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a•b＝2a－b2>0，S1－S2＝a2＋b2－2a•b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3<S2<S1，故Smin ＝S3＝4a•b.设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a•b＝8|a|2cos θ＝4|a|2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 11．[2014•安徽卷] 1681－34＋log354＋log345＝________. 11.278 [解析] 原式＝234－34 ＋log354×45＝23－3＝278. 12．[2014•安徽卷] 如图13，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；….依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．图13 12.14 [解析] 在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2 2，所以AB＝AC＝a1＝2，由题易知A1A2＝a3＝12AB＝1，…，A6A7＝a7＝123•AB＝2×123＝14. 13．[2014•安徽卷] 不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________． 13．4 [解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S△ABD＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.14．[2014•安徽卷] 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sin πx，1<x≤2，则f294＋f416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f294＋f416＝f －34＋f－76＝－f34－f76＝－316＋sin π6＝516. 15．[2014•安徽卷] 若直线l与曲线C满足下列两个条件： (i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y ＝sin x；④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x；⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln x. 15．①③④[解析] 对于①，因为y′＝3x2，y′x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，①正确；对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，②错误；对于③，y′＝cos x，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，③正确；对于④，y′＝1cos2x，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y′＝1x，y′x＝1＝1，所以曲线C在点P(1，0)处切线为l：y＝x－1，又由h(x)＝x－1－ln x(x>0)可得h′(x)＝1－1x＝x－1x，所以hmin(x)＝h(1)＝0，故x－1≥ln x，所以曲线C在点P附近位于直线l的下侧，⑤错误．16．[2014•安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2.求cos A与a的值． 16．解：由三角形面积公式，得12×3×1•sin A＝2，故sin A＝2 23. 因为sin2A＋cos2A＝1，所以cos A＝±1－sin2A＝±1－89＝±13. ①当cos A＝13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a＝2 2. ②当cos A＝－13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×－13＝12，所以a＝2 3.17． [2014•安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)． (1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图14所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图14 (3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） 17．解：(1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据． (2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. (3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得K2＝300×（165×30－45×60）275×225×210×90＝10021≈4.762>3.841. 所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18．[2014•安徽卷] 数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n ＋1)，n∈N*. (1)证明：数列ann是等差数列； (2)设bn＝3n•an，求数列{bn}的前n项和Sn. 18．解： (1)证明：由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，即an＋1n＋1－ann＝1，所以ann是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)得ann＝1＋(n－1)•1＝n，所以an＝n2，从而可得bn＝n•3n. Sn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n，① 3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)3n＋n×3n＋1.② ①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n•3n＋1＝3•（1－3n）1－3－n•3n＋1＝（1－2n）•3n＋1－32，所以Sn＝（2n－1）•3n＋1＋34. 19．[2014•安徽卷] 如图15所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. 图15 (1)证明：GH∥EF； (2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积． 19．解：(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH ＝GH，所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF. (2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD. 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD. 又EF⊂平面ABCD，所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K是OB的中点．再由PO∥GK得GK＝12PO，所以G是PB的中点，且GH＝12BC＝4. 由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2•GK＝4＋82×3＝18.20．[2014•安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性； (2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 20．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2. 令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3， x2＝－1＋4＋3a3，且x1<x2，所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当x<x1或x>x2时，f′(x)<0；当x1<x<x2时，f′(x)>0. 故f(x)在－∞，－1－4＋3a3和－1＋4＋3a3，＋∞内单调递减，在－1－4＋3a3，－1＋4＋3a3内单调递增． (2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值． 21．[2014•安徽卷] 设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝35，求椭圆E的离心率． 21．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得 |AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|•|BF2•cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)• (2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A. 故△AF1F2为等腰直角三角形，从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.。
2014年安徽省高考文科数学试卷及参考答案(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，复数iii ++123=（ ）．（A ）i - （B ）i （C ）－1 （D ） 1（2）命题“02≥+∈∀x x R x ，”的否定是（ ）． （A ）02<+∈∀x x R x ， （B ）02≤+∈∀x x R x ， （C ）02000<+∈∃x x R x ，（D ）02000≥+∈∃x x R x ，（3）抛物线241x y =的准线方程是（ ）． （A ）1-=y （B ）2-=y （C ）1-=x （D ）1-=x （4）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）． （A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89 （5）设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则（ ）．（A ）c a b << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）b c a <<（6）过点）－1,3(-P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）．（A ）]60(π， （B ）]30(π， （C ）]60[π， （D ）]30[π， （7）若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）．（A ）8π （B ）4π（C ）83π （D ）43π（8）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）．（A ）323（B ）647 （C ）6 （D ）7 （9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ）． （A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或-4 （D ）-4或8（10）设a ,b=，两组向量4321,,,x x x x 和4321,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成．若44332211y x y x y x y x ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（ ）．第（4）题图第（12）题图31（A ）32π （B ）3π （C ）6π （D ）0 第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）=++⎪⎭⎫⎝⎛-54log 45log 81163343． （12）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22=BC ．过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作AC 的垂线，垂足为3A ；．．．，以此类推．设1a BA =，21a AA =，321a A A =，．．．，765a A A =，则7a = ．（13）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥-+02304202y x y x y x 表示的平面区域的面积为 ．（14）若函数)(x f （R x ∈）是周期为4的奇函数，且在]2,0[上的解析式为⎩⎨⎧-=,sin ),1()(x x x x f π2110≤<≤≤x x ，则=+)641()429(f f ．（15）若直线l 与曲线C 两个满足下列条件：（i ）直线l 在点),(00y x P 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①直线l ：0=y 在点)0,0(P 处“切过”曲线3x y C =：； ②直线l ：1-=x 在点)0,1(-P 处“切过”曲线2)1(+=x y C ：； ③直线l ：x y =在点)0,0(P 处“切过”曲线x y C sin =：； ④直线l ：x y =在点)0,0(P 处“切过”曲线x y C tan =：； ⑤直线l ：1-=x y 在点)0,1(P 处“切过”曲线x y C ln =：．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分）设ABC △的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,ABC △的面积为2．求A c o s 与a 的值． （17）（本小题满分12分）第（17）题图某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）． （I ）应收集多少位女生的样本数据？（II ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（III ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（18）（本小题满分12分）数列{}n a 满足11=a ，)1()1(1+++=+n n a n na n n ,*N n ∈．（I ）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列； （II ）设n nna b ⋅=3，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （19）（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为172．点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH ．（I ）证明： EF GH ∥；（II ）若2=EB ，求四边形GEFH 的面积． （20）（本小题满分13分）设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． （I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值． （21）（本小题满分13分）设1F ,2F 分别是椭圆12222=+by a x E ：（0>>b a ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，B F AF 113=．第（19）题图A（I ）若4=AB ，2ABF △的周长为16，求2AF ； （II ）若53cos 2=∠B AF ，求椭圆E 的离心率． 数学（文科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）D （10）B 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分． （11）827 （12）41 （13）4 （14）165 （15）①③④ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：由三角形面积公式，得2sin 1321=⋅⨯⨯A ，故322sin =A ．∵1cos sin 22=+A A ，∴31981sin 1cos 2±=-±=-±=A A ． ① 当31cos =A 时，由余弦定理得83131213cos 222222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴22=a ．② 当31cos -=A 时，由余弦定理得12)31(31213cos 222222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，∴32=a ．（17）（本小题满分12分） 解：（I ）90150004500300=⨯，∴应收集90位女生的样本数据．（II ）由频率分布直方图得75.0)025.0100.0(21=+⨯-，∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（III ）由（II ）知，300位学生中有22575.0300=⨯人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又∵样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，∴每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合联表可算得841.3762.4211009021022575)2250(30022>≈=⨯⨯⨯⨯=K ．∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． （18）（本小题满分12分） （I ）证：由已知可得111+=++n a n a n n ，即111=-++nan a n n ． ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是以111=a 为首相，1为公差的等差数列． （II ）解：由（I ）得n n na n=⋅-+=1)1(1，∴2n a n =．从而n n n b 3⋅=． nn n S 3333231321⋅++⋅+⋅+⋅= ， ①13233)1(32313+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ． ②①－②得：233)21(331)31(33333211121-⋅-=⋅---⋅=⋅-+++=-+++n n n n n n n n n S ．∴433)12(1+⋅-=+n n n S ．（19）（本小题满分13分）（I ）证：∵PBC BC GEFH BC 平面，平面∥⊂，且平面GH GEFH PBC =⋂平面， ∴BC GH ∥． 同理可证BC EF ∥． 因此EF GH ∥．（II ）解：连接BD AC ,交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接GK OP ,． ∵PC PA =，O 是AC 的中点，∴AC PO ⊥，同理可得BD PO ⊥． 又O AC BD =⋂，且BD AC ,都在地面内，∴⊥PO 底面ABCD ．又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，且⊄PO 平面GEFH ，∴PO ∥平面GEFH ．∵平面⋂PBD 平面GK GEFH =，∴GK PO ∥，且GK ⊥底面ABCD ，从而EF GK ⊥．∴GK 是梯形GEFH 的高．由2,8==EB AB 得4:1::==DB KB EB AB ，∴OB DB KB 2141==，即K 为OB 的中点． 再由GK PO ∥得PO GK 21=，即G 是PB 的中点，且421==BC GH ，由已知可得63268,2422=-=-==OB PB PO OB ，∴3=GK ．第（19）题图故四边形GEFH 的面积1832842=⨯+=⋅+=GK EF GH S ． （20）（本小题满分13分）解：（I ）)(x f 的定义域为),(+∞-∞，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x a x a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． （II ）∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值； 当1=a 时，)(x f 在 处和1=x 处同时取得最小值； 当41<<a 时，)(x f 在0=x 处取得最小值．（21）（本小题满分13分）解：（I ）由4,311==AB B F AF 得：1,311==B F AF ．∵2ABF △的周长为16，∴由椭圆定义可得82,16421==+=a AF AF a ．故538212=-=-=AF a AF ．（II ）设k B F =1，则0>k 且k AB k AF 4,31==， 由椭圆定义可得ka BF k a AF -=-=2,3222．在2ABF △中，由余弦定理可得BAF BF AF BF AF AB 22222222cos 2∠⋅-+=，即)2()32(56)2()32()4(222k a k a k a k a k -⋅---+-=， 化简可得)3)((=-+k a k a ，而0>+k a ，故k a 3=．于是有k BF AF k AF 5,3212===，因此22222ABAF BF +=，可得AF A F 21⊥，故21F AF △为等腰直角三角形． 从而a c 22=，∴椭圆E 的离心率22==a c e ．。
2014年安徽省高考文科数学试卷及参考答案(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，复数ii i ++123=（ ）．（A ）i - （B ）i （C ）－1 （D ） 1 （2）命题“02≥+∈∀x x R x ，”的否定是（ ）． （A ）02<+∈∀x x R x ， （B ）02≤+∈∀x x R x ， （C ）02000<+∈∃x x R x ，（D ）02000≥+∈∃x x R x ，（3）抛物线241x y =的准线方程是（ ）． （A ）1-=y （B ）2-=y （C ）1-=x （D ）1-=x （4）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）． （A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89（5）设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则（ ）．（A ）c a b << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）b c a <<（6）过点）－1,3(-P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）．（A ）]60(π， （B ）]30(π， （C ）]60[π， （D ）]30[π，（7）若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）．（A ）8π （B ）4π （C ）83π （D ）43π （8）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）．（A ）323 （B ）647 （C ）6 （D ）7 （9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ）． （A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或-4 （D ）-4或8（10）设a ,b 为非零向量，a b 2=，两组向量4321,,,x x x x 和4321,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成．若44332211y x y x y x y x ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为42a ，则a 与b 的夹角为（ ）．开 始x ＝1，y ＝1z ＝x ＋yz ≤50？x ＝yy ＝z输出z结 束是否第（4）题图第（12）题图31第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）=++⎪⎭⎫⎝⎛-54log 45log 81163343． （12）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22=BC ．过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作AC 的垂线，垂足为3A ；．．．，以此类推．设1a BA =，21a AA =，321a A A =，．．．，765a A A =，则7a = ．（13）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥-+02304202y x y x y x 表示的平面区域的面积为 ．（14）若函数)(x f （R x ∈）是周期为4的奇函数，且在]2,0[上的解析式为⎩⎨⎧-=,sin ),1()(x x x x f π2110≤<≤≤x x ，则=+)641()429(f f ． （15）若直线l 与曲线C 两个满足下列条件：（i ）直线l 在点),(00y x P 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①直线l ：0=y 在点)0,0(P 处“切过”曲线3x y C =：；②直线l ：1-=x 在点)0,1(-P 处“切过”曲线2)1(+=x y C ：；③直线l ：x y =在点)0,0(P 处“切过”曲线x y C sin =：； ④直线l ：x y =在点)0,0(P 处“切过”曲线x y C tan =：； ⑤直线l ：1-=x y 在点)0,1(P 处“切过”曲线x y C ln =：．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分）设ABC △的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,ABC △的面积为2．求A cos 与a 的值．第（17）题图某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）． （I ）应收集多少位女生的样本数据？（II ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（III ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（18）（本小题满分12分）数列{}n a 满足11=a ，)1()1(1+++=+n n a n na n n ,*N n ∈．（I ）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列； （II ）设n nn a b ⋅=3，求数列{}n b 的前n 项和n S ．如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为172．点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH ．（I ）证明： EF GH ∥；（II ）若2=EB ，求四边形GEFH 的面积．（20）（本小题满分13分）设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． （I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．（21）（本小题满分13分）设1F ,2F 分别是椭圆12222=+by a x E ：（0>>b a ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，B F AF 113=．（I ）若4=AB ，2ABF △的周长为16，求2AF ； （II ）若53cos 2=∠B AF ，求椭圆E 的离心率．第（19）题图数学（文科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）D （10）B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分． （11）827 （12）41 （13）4 （14）165 （15）①③④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：由三角形面积公式，得2sin 1321=⋅⨯⨯A ，故322sin =A ．∵1cos sin 22=+A A ，∴31981sin 1cos 2±=-±=-±=A A ． ① 当31cos =A 时，由余弦定理得83131213cos 222222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴22=a ．② 当31cos -=A 时，由余弦定理得12)31(31213cos 222222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，∴32=a ．（17）（本小题满分12分） 解：（I ）90150004500300=⨯，∴应收集90位女生的样本数据．（II ）由频率分布直方图得75.0)025.0100.0(21=+⨯-，∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（III ）由（II ）知，300位学生中有22575.0300=⨯人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又∵样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，∴每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合联表可算得841.3762.4211009021022575)2250(30022>≈=⨯⨯⨯⨯=K ．（I ）证：由已知可得111+=++n a n a n n ，即111=-++nan a n n ． ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是以111=a 为首相，1为公差的等差数列． （II ）解：由（I ）得n n na n=⋅-+=1)1(1，∴2n a n =．从而n n n b 3⋅=． n n n S 3333231321⋅++⋅+⋅+⋅= ， ①13233)1(32313+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ． ②①－②得：233)21(331)31(33333211121-⋅-=⋅---⋅=⋅-+++=-+++n n n n nn n n n S ．∴433)12(1+⋅-=+n n n S ．（19）（本小题满分13分）（I ）证：∵PBC BC GEFH BC 平面，平面∥⊂，且平面GH GEFH PBC =⋂平面， ∴BC GH ∥． 同理可证BC EF ∥． 因此EF GH ∥．（II ）解：连接BD AC ,交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接GK OP ,． ∵PC PA =，O 是AC 的中点，∴AC PO ⊥，同理可得BD PO ⊥． 又O AC BD =⋂，且BD AC ,都在地面内，∴⊥PO 底面ABCD ．又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，且⊄PO 平面GEFH ，∴PO ∥平面GEFH ．∵平面⋂PBD 平面GK GEFH =，∴GK PO ∥，且GK ⊥底面ABCD ，从而EF GK ⊥．∴GK 是梯形GEFH 的高．由2,8==EB AB 得4:1::==DB KB EB AB ，∴OB DB KB 2141==，即K 为OB 的中点． 再由GK PO ∥得PO GK 21=，即G 是PB 的中点，且421==BC GH ，由已知可得63268,2422=-=-==OB PB PO OB ，∴3=GK ．84++EF GH 第（19）题图A解：（I ）)(x f 的定义域为),(+∞-∞，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． （II ）∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值； 当1=a 时，)(x f 在 处和1=x 处同时取得最小值； 当41<<a 时，)(x f 在0=x 处取得最小值．（21）（本小题满分13分）解：（I ）由4,311==AB B F AF 得：1,311==B F AF ．∵2ABF △的周长为16，∴由椭圆定义可得82,16421==+=a AF AF a ．故538212=-=-=AF a AF ．（II ）设k B F =1，则0>k 且k AB k AF 4,31==， 由椭圆定义可得ka BF k a AF -=-=2,3222．即)2()32(56)2()32()4(222k a k a k a k a k -⋅---+-=， 化简可得)3)((=-+k a k a ，而0>+k a ，故k a 3=．于是有k BF AF k AF 5,3212===，因此22222ABAF BF +=，可得AF A F 21⊥，故21F AF △为等腰直角三角形． 从而a c 22=，∴椭圆E 的离心率22==a c e ．。
2014年高考安徽文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年安徽，文1，5分】设i 是虚数单位，复数32ii 1i+=+（ ）（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 【答案】D【解析】复数()()()32i 1i 2i 2i 2i i i 11i 1i 1i 2-++=-+=-+=++-，故选D ． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题（2）【2014年安徽，文2，5分】题“2,0x R x x ∀∈+≥”的否定．．是（ ） （A ）2,0x R x x ∀∈+<（B ）2,0x R x x ∀∈+≤（C ）2000,0x R x x ∃∈+<（D ）2000,0x R x x ∃∈+≥ 【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2,0x R x x ∀∈+≥”的否定2000,0x R x x ∃∈+<，故选C ． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．（3）【2014年安徽，文3，5分】抛物线214y x =的准线方程是（ ）（A ）1y =- （B ）2y =- （C ）1x =- （D ）2x =-【答案】A【解析】抛物线214y x =的标准方程为24x y =，焦点在y 轴上，24p =，∴12p =，∴准线方程12py =-=-，故选A ．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置． （4）【2014年安徽，文4，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89 【答案】B【解析】第一次循环得2,1,2z x y ===；第二次循环得3,2,3z x y ===；第三次循环得5,3,5z x y ===；第四次循环得8,5,8z x y ===；第五次循环得13,8,13z x y ===；第六次循环得21,13,21z x y ===；第七次循环得34,21,34z x y ===；第八次循环得55,34,55z x y ===；退出循环，输出55，，故选B ．【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题． （5）【2014年安徽，文5，5分】设3log 7a =， 3.32b =，0.8c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）c a b << （C ）c b a << （D ）a c b << 【答案】B【解析】31log 72<<， 3.322b =>，0.81c =<，则c a b <<，故选B ．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．（6）【2014年安徽，文6，5分】过点()1P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是（ ）（A ）0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ （B ）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意可得点()1P -在圆221x y +=的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为(1y k x +=+，即10kx y -+-=．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径1≤，即22311k k -+≤+，解得0k ≤≤，故直线l 的倾斜角的取值范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选D ． 【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． （7）【2014年安徽，文7，5分】若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）（A ）8π （B ）4π （C）38π （D ）54π【答案】C【解析】函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭图象向右平移ϕ的单位，图象是函数224y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，图象关于y 轴对称，可得242k ππϕπ-=+，即28k ππϕ=--，当1k =-时，ϕ的最小正值是38π，故选C ．【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题． （8）【2014年安徽，文8，5分】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）（A ）233 （B ）476（C ）6 （D ）7【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方形棱锥侧，故选A ．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． （9）【2014年安徽，文9，5分】若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）（A ）5或8 （B ）1-或5 （C ）1-或4- （D ）4-或8 【答案】D【解析】12a -<-时，2a x <-，()123112af x x x a x a =----=--->-；12a x -≤≤-，()12112af x x x a x a =--++=+-≥-； 1x >-，()12312f x x x a x a a =+=+=++>-，132a∴-=或23a -=，8a ∴=或5a =，5a =，122a a -<-，故舍去；12a-≥-时，1x <-，()12312f x x x a x a a =----=--->-；12a x -≤≤-，()12112a f x x x a x a =+--=--+≥-+；2a x >-，()123112af x x x a x a =+++=++>-+，23a ∴-=或132a -+=，∴1a =-或4a =-，1a =-时，122aa -+<-，故舍去；综上，4a =-或8，故选D ．【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．（10）【2014年安徽，文10，5分】设a ，b 为非零向量，||2||b a =，两组向量1234,,,x x x x ，和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列 而成. 若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24||a ，则a 与b 的夹角为（ ）（A ）23π （B ）3π （C ）6π（D ）0 【答案】B【解析】由题意，设a 与b的夹角为α，分类讨论可得：①21122334410x y x y x y x y a a a a b b b b a ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅= ，不满足； ②221122334454cos x y x y x y x y a a a b b a b b a a α⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+ ，不满足； ③221122334448cos 4x y x y x y x y a b a a α⋅+⋅+⋅+⋅=⋅== ，满足题意，此时1cos 2α=，∴a 与b 的夹角为3π，故选B ．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2014年安徽，文11，5分】34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 【答案】278【解析】334333165425427+log log log 81453458--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点评】本题考查分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力． （12）【2014年安徽，文12，5分】如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a = ． 【答案】14【解析】∵等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =1sin 45AA AB ∴︒==，即21a a =同理32a a =，43a a ， 由归纳推理可得{}n a是公比q =12a =，则67124a =⋅=⎝⎭．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列{}n a是公比q =的等比数列是解决本题的关键．（13）【2014年安徽，文13，5分】不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为 ．【答案】4【解析】由不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩作平面区域如图，由图可知()2,0A ，()0,2C ，联立240320x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：()8,2B -．∴BC =．点A 到直线240x y +-=的距离为d =．11422BC S BC d ∆∴=⋅⋅=⨯=． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． （14）【2014年安徽，文14，5分】若函数()()f x x ∈R 是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()101sin 12x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】516【解析】函数()()f x x ∈R 是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()101sin 12x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则29413737373375881sin 4646464644616f f f f f f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-+-=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力． （15）【2014年安徽，文15，5分】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（ⅰ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）①直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =；②直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线C ：2(1)y x =+； ③直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =； ④直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：tan y x =；⑤直线:1l y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x =． 【答案】①③④ 【解析】对于①，由3y x =，得23y x '=，则00x y ='=，直线0y =是过点()0,0P 的曲线C 的切线，又当0x >时0y >，当0x <时0y <，满足曲线C 在()0,0P 附近位于直线0y =两侧，∴命题①正确；对于②，由()21y x =+，得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线l ：1x =-的斜率不存在，在点()1,0P -处不与曲线C 相切，∴命题②错误；对于③，由s in y x =，得c os y x '=，则01x y ='=，直线y x =是过点()0,0P 的曲线的切线，又,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x x <，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin x x >，满足曲线C 在()0,0P 附近位于直线y x =两侧，∴命题③正确；对于④，由t a n y x =，得21c o s y x '=，则01x y ='=，直线y x =是过点()0,0P 的曲线的切线，又,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时tan x x <，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时tan x x >，满足曲线C 在()0,0P 附近位于直线y x =两侧，∴命题④正确；对于⑤，由ln y x =，得1y x'=，则11x y ='=，曲线在()1,0P 处的切线为1y x =-，设()1ln g x x x =--，得()11g x x'=-，当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>．∴()g x 在()0,+∞上有极小值也是最小值，为()10g =．∴1y x =-恒在ln y x =的上方，不满足曲线在点P 附近位于直线l 的两侧，命题⑤错误．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan sin x x x >>，该题是中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2014年安徽，文16，12分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，ABC ∆cos A 与a 的值．解：由题可得131sin 2A ⋅⋅⋅=sin A =22sin cos 1A A +=，所以1cos 3A ==±。
2014年高考安徽卷文科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1．D [解析] i 3＋2i1＋i＝－i ＋2i （1－i ）2＝1.2．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 3．A [解析] 因为抛物线y ＝14x 2的标准方程为x 2＝4y ，所以其准线方程为y ＝－1.4．B [解析] 由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下： 第一次循环，x ＝1，y ＝1，z ＝2； 第二次循环，x ＝1，y ＝2，z ＝3； 第三次循环，x ＝2，y ＝3，z ＝5； 第四次循环，x ＝3，y ＝5，z ＝8； 第五次循环，x ＝5，y ＝8，z ＝13； 第六次循环，x ＝8，y ＝13，z ＝21； 第七次循环，x ＝13，y ＝21，z ＝34；第八次循环，x ＝21，y ＝34，z ＝55，不满足条件，跳出循环．5．B [解析] 因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b .6．D [解析] 易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，即k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.7．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.8．A [解析] 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝233.9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.10．B [解析] 令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a ·b ，S 3＝4a ·b .又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4a·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 11.278 [解析] 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34 ＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278.12.14 [解析] 在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，由题易知A 1A 2＝a 3＝12AB ＝1，…，A 6A 7＝a 7＝⎝⎛⎭⎫123·AB ＝2×⎝⎛⎭⎫123＝14.13．4 [解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S △ABD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×2×(2＋2)＝4.14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 15．①③④ [解析] 对于①，因为y ′＝3x 2，y ′x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)处的切线，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为y ′＝2(x ＋1)，y ′x ＝－1＝0，所以l ：x ＝－1不是曲线C ：y ＝(x ＋1)2在点P (－1，0)处的切线，②错误；对于③，y ′＝cos x ，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，y ′＝1cos 2x ，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y ′＝1x ，y ′x ＝1＝1，所以曲线C 在点P (1，0)处切线为l ：y ＝x －1，又由h (x )＝x－1－ln x (x >0)可得h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以h min (x )＝h (1)＝0，故x －1≥ln x ，所以曲线C在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误．16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.17．解： (1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18．解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋1.② ①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32，所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ， 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．21．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )· (2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ， 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A . 故△AF 1F 2为等腰直角三角形， 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。
2014年高考文科数学安徽卷及答案解析
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案．．．．．．．．．．．无效．．,在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.1.设i 是虚数单位,复数32ii 1i+=+( ) A .i - B .i C .1- D .1 2.命题“x ∀∈R ,2||+0x x ≥”的否定．．是( )A .x ∀∈R ,2||+0x x ＜B .x ∀∈R ,2||+0x x ≤C .0x ∃∈R ,200||+0x x ＜D .0x ∃∈R ,200||+0x x ≥3.抛物线214y x =的准线方程是 ( ) A .1y =- B .2y =- C .1x =- D .2x =-4.如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果是( ) A .34 B .55 C .78 D .895.设3log 7a =, 1.12b =, 3.10.8c =,则( ) A .b a c ＜＜ B .c a b ＜＜ C .c b a ＜＜D .a c b ＜＜6.过点(1)P -的直线l 与圆22+1x y =有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A .π(0,]6B .π(0,]3C .π[0,]6D .π[0,]37.若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 ( ) A .π8B .π4C .3π8D .3π48.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为( )姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）A .233B .476C .6D .79.若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3,则实数a 的 值为 ( ) A .5或8 B .1-或5 C .1-或4-D .4-或810.设a ,b 为非零向量,||2||=b a ,两组向量1x ,2x ,3x ,4x 和1y ,2y ,3y ,4y 均由2个a 和2个b 排列而成.若11223344+++x y x y x y x y 所有可能取值中的最小值为24||a ,则a 与b 的夹角为 ( )A .2π3B .π3C .π6D .0第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答,在试题卷上答题．．．．．．．无效．．. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡的相应位置.11.34331654()log log 8145-++=.12.如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC =过点A 作BC 的垂线,垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线,垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线,垂足为3A ；……,依此类推,设1BA a =,12AA a =,123A A a =,…,567A A a =,则7a = .13.不等式组20,240,320,x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥表示的平面区域的面积为 .14.若函数()()f x x ∈R 是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为()f x =(1),01,sin π,12,x x x x x -⎧⎨⎩≤≤＜≤则2941()()46f f += .15.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(ⅰ)直线l 在点00(,)P x y 处与曲线C 相切；(ⅱ)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）. ①直线l ：0y =在点(0,0)P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线l ：1x =-在点(1,0)P -处“切过”曲线C ：2(1)y x =+ ③直线l ：y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线C ：sin y x = ④直线l ：y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线C ：tan y x = ⑤直线l ：1y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线C ：ln y x = 三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16.（本小题满分12分）设ABC △的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且3b =,1c =,ABC △,求cos A 与a 的值.17.（本小题满分12分）某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）分布直方图（如图所示）,其中样本数据的分组区间为[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++18.（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =,1(1)(1)nn na n a n n +=+++,*n ∈N .（Ⅰ）证明：数列{}n an是等差数列；（Ⅱ）设3n n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n S .19.（本小题满分13分）如图,四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为点G ,E ,F ,H 分别是棱PB ,AB ,CD ,PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面ABCD ,BC ∥平面GEFH . （Ⅰ）证明：GH EF ∥；（Ⅱ）若2EB =,求四边形GEFH 的面积. 20.（本小题满分13分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--,其中0a ＞. （Ⅰ）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当[0,1]x ∈时,求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. 21.（本小题满分13分） 设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b ab+=＞＞的左、右焦点,过点1F 的直线交椭圆E 于A ,B 两点,11||3||AF F B =. （Ⅰ）若||4AB =,2ABF △的周长为16,求2||AF ； （Ⅱ）若23cos 5AF B ∠=,求椭圆E 的离心率.2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D 【解析】32ii i i(1i)11i+=-+-=+ 【提示】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得结果. 【考点】复数代数形式的乘除运算 2.【答案】C【解析】命题的否定是否定结论，同时把量词做对应改变，所以选C.【提示】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【考点】命题的否定 3.【答案】A 【解析】214y x =的标准方程为24x y =，所以选择A.【提示】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及24p =，再直接代入即可求出其准线方程. 【考点】抛物线的简单性质 4.【答案】B【解析】执行程序框图易得1x =，1y =，2z =；1x =，2y =，3z =；2x =，3y =，5z =；，当21x =，34y =，55z =跳出循环.【提示】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z 的值.数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）【考点】程序框图，程序框图的三种基本逻辑结构的应用 5.【答案】B【解析】因为32log 71a >=>， 1.122b =>， 3.10.81c =<，所以c a b <<. 【提示】分别讨论a b c ，，的取值范围，即可比较大小. 【考点】对数值大小的比较 6.【答案】D【解析】设直线l 的倾斜角为θ，数形结合可知min max ππ0263θθ==⨯=，. 【提示】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到1≤，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围. 【考点】直线与圆的位置关系 7.【答案】C【解析】π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移ϕ个单位后，所得图像为π224y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又因为偶函数，所以π3π28k ϕ=+，所以选C .【提示】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y 轴对称，根据对称轴方程求出ϕ的最小值. 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 8.【答案】A【解析】该几何体是由棱长为2的正方体从右后和左下分别截取一个小三棱锥所得到的，所以其体积为112382323V =-⨯⨯=. 【提示】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积.【考点】由三视图求面积、体积 9.【答案】D【解析】依几何性质得，当2a x =-时，()f x 取得最小值，13222a a a x f ⎛⎫=--=-+= ⎪⎝⎭，解得4a =-或8.故选D.【提示】分类讨论，利用()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，建立方程，即可求出实数a 的值.【考点】带绝对值的函数，函数最值的应用10.【答案】B 【解析】设11223344+++x y x y x y x y ，若S 的表达式中有0个a b ，则2222S =+a b ，记为1S ；若S 的表达式中有2个a b ，则2S =22a +b +ab ，记为2S ；若S 的表达式中有4个a b ，则4S =a b ，记为3S ，所以22132240S S -=+->a b ab .同理，12230,0S S S S ->->，所以22min 48||cos 4||S ===θab a a ，即1cos 2θ=，所以选B.【提示】两组向量1x ，2x ，3x ，4x 和1y ，2y ，3y ，4y ，均由2个a 和2个b 排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论. 【考点】数量积表示两个向量的夹角第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】278【解析】原式=344325427log 3458-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】直接利用分数指数幂的运算法则，对数的运算法则求解即可.【考点】对数的运算性质 12.【答案】14【解析】直接递推归纳，等腰直角三角形ABC中，斜边BC =，所以，12AB BC a ===，12AA a ==，1231A A a ==，⋅⋅⋅，数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）65671124A A a a ⎛==⨯= ⎝⎭【提示】根据条件确定数列{}n a 是等比数列，即可得到结论. 【考点】归纳推理 13.【答案】4【解析】作出不等式组所表示的平面区域，易得()122242ABC S =⨯⨯+=△ 【提示】由不等式组作出平面区域为三角形ABC 及其内部，联立方程组求出B 的坐标，由两点间的距离公式求出BC 的长度，由点到直线的距离公式求出A 到BC 边所在直线的距离，代入三角形面积公式得到答案.【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 14.【答案】516【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数，所以2941373π52424sin 464616616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+⨯-=-+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可. 【考点】函数的值 15.【答案】①③④.【解析】对于①，203|=0x y x y =''=，，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，所以正确.对于②，因为1|=0x y =-'，所以不是曲线2:(1)C y x =+在点(1,0)P -处的切线，所以②错误.对于③④与①同理，易得正确.对于⑤，1y x'=，11x y ='=，所以曲线C 在点(1,0)P 处切线为:l y x=，又由()1l n (0h x x x x =-->可得11()1x h x x x-'=-=，所以m i n ()(1)0h x h ==，故1l n x x -≥，所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误.【提示】分别求出每一个命题中曲线C 的导数，得到曲线在点P 出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P 两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足曲线方程，则正确的选项可求.【考点】命题的真假判断与应用，曲线与方程 三、解答题16.【答案】由三角形面积公式，得131sin 22A ⨯⨯=sin A =. ∵22sin cos 1A A +=，∴1cos 3A ===±.当1cos 3A =时，由余弦定理得2222212cos 3121383a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，∴a =当1cos 3A =-时，根据解三角形中的余弦定理容易写出以下式子，2222212cos 31213123a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴a =【提示】利用三角形的面积公式，求出sin A ，利用平方关系，求出cos A ，利用余弦定理求出a 的值. 【考点】余弦定理的应用 17.【答案】（Ⅰ）45003009015000⨯=， ∴应收集90位女生的样本数据.（Ⅱ）由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又∵样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的， ∴每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）结合联表可算得2 4.762 3.841752252109021K ==≈>⨯⨯⨯.∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【提示】（Ⅰ）根据15000人，其中男生10500人，女生4500人，可得应收集多少位女生的样本数据；（Ⅱ）由频率分布直方图可得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，即可求出该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）写出44⨯列联表，求出2K ，与临界值比较，即可得出结论. 【考点】独立性检验，频率分布直方图 18.【答案】（Ⅰ）由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a an n+-=+. ∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首相，1为公差的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）得1(1)1n an n n =+-=，∴2n a n =.从而3n n b n =.1231323333n n S n =++++，① 23131323(1)33nn n S n n +=+++-+.②①－②得：112113(13)(12)33233333132n n nn n n n S n n +++----=+++-=-=-. ∴1(21)334n n n S +-+=.【提示】（Ⅰ）将1(1)(1)n n na n a n n +=+++的两边同除以(1)n n +得111n na a n n+=++，由等差数列的定义得证. （Ⅱ）由（Ⅰ）求出3n n b n =，利用错位相减求出数列{}n b 的前n 项和n S .【考点】数列的求和，等比关系的确定19.【答案】（Ⅰ）∵BC GEFH BC PBC⊂∥平面，平面，且平面P B C G E F H=平面，∴GH BC ∥.同理可证EF BC ∥.因此GH EF ∥.（Ⅱ）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . ∵PA PC =，O 是AC 的中点， ∴PO AC ⊥，同理可得PO BD ⊥. 又BDAC O =，且AC BD ，都在底面内，∴PO ⊥底面ABCD .又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ， ∴PO ∥平面GEFH .∵平面PBD 平面GEFH GK =，∴PO GK ∥，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK EF ⊥.∴GK 是梯形GEFH 的高.由82AB EB ==，得::1:4AB EB KB DB ==，∴1142KB DB OB ==，即K 为OB 的中点.再由PO GK ∥得12GK PO =， 即G 是PB 的中点，且142GH BC ==，由已知可得6OB PO ===，∴3GK =.故四边形GEFH 的面积4831822GH EF S GK ++==⨯=. 【提示】（Ⅰ）证明GH EF ∥，只需证明EF PBC ∥平面，只需证明EF BC ∥，利用BC GEFH ∥平面即可；数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）（Ⅱ）求出四边形GEFH 的上底、下底及高，即可求出面积. 【考点】直线与平面垂直的性质，棱柱、棱锥、棱台的体积 20.【答案】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()123f x a x x '=+--. 令()0f x '=，得1212x x x x ==<. ∴12()3()()f x x x x x '=---.当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>. ∴()f x在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递减，在1x ⎛= ⎝⎭内单调递增. （Ⅱ）∵0a >，∴1200x x <>，.当4a ≥时，21x ≥.由（Ⅰ）知，()f x 在[0,1]上单调递增.∴()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.当04a <<时，21x <. 由（Ⅰ）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减.∴()f x在213x x -==.又(0)1f =，(1)f a =，∴当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =处和1x =处同时取得最小值；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值. 【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0,1]时的单调性，得出取最值时的x 的取值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调21.【答案】（Ⅰ）由11||3||AF F B =，||4AB =得：1||3AF =，1||1F B =， ∵三角形的周长为16，∴由椭圆定义可得：21||2||835AF a AF =-=-=（Ⅱ）设1||F B k =，则0k >且1||3AF k =，||4AB k =，2||23AF a k =-，2||2BF a k =-.2ABF △中，由余弦定理可得22222222||||||2||||cos AB AF BF AF BF AF B =+-∠，即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+----，()(3)0a k a k +-=，0a k +>，故3a k =.于是有21||3||AF k AF ==，2||5BF k =，22222||||||BF AF AB =+，12F A F A ⊥，故12AF F △为等腰直角三角形.从而c =，∴椭圆E 的离心率c e a ==【提示】（Ⅰ）利用||4AB =，2ABF △周长为16，11||3||AF F B =，结合椭圆的定义，即可求2||AF ；（Ⅱ）设1||F B k =，0k >，则1||3AF k =，||4AB k =，由23cos 5AF B ∠=，利用余弦定理，可得3a k =，从而12AF F △是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率.【考点】椭圆的简单性质，三角形的面积公式。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第卷（选择题共50分）.选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 是虚数单位，复数 .3 i2i ()1 iA .i B. iC.1D. 1 2. '命题“ x R,|x| 2x 0 ” 的否定是（）A .2x R, | x | x 0B.x2R,|x| x 0C 2■ x R,|x °| xD x 2 R,| x 0 | x1 23•抛物线y x 的准线方程是()4A. y 1B. y 2C. x 1D. x 2B.(0, —]C.[0, — ]D.[0, —]3634.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（D.893.35 设a log 3 7,b2 ,c °8则A. b a cB.c aC.cD.a 6.过点P （ 3, 1）的直线|与圆x 2 1有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是7.若将函数f(x) sin 2x 最小正值是( )3 A. — B.— C.—8 48cos2x 的图像向右平移3D.—个单位，所得图像关于y 轴对称，则的A.34B.55C.78 脇iK8.一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（9•若函数f （x ） x 1 2x < a 的最小值3,则实数a 的值为（）A.5 或 8B. 1 或 5C.1或4 D. 4或8r rr r ur ur uu uu ur uu uu uu r r10.设a,b 为非零向量， b )2 a 1 ,两组向量X 1,X 2,X 3,X 4和均由2个a 和2个b 排X y 2 013.不等式组 X 2y 40表示的平面区域的面积为X 3y 247 B.- 6C.6D.7 列而成, ur rn 若人y iu u X uu 科uu uu X 3 y a uu uux 4 y 4所有可能取值中的最小值为4，则a 与b 的夹角为（ 2 A.-3B.—3C. 一6D.O（非选择题共100分） •选择题：本大题共 5小题，每小题 5分，共25分.16 11. 81 345+ lOg 3 44 log3512.如图,在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 2」2，过点A 作BC 的垂线，垂足为 A i ；过 点A 作AC 的垂线，垂足为A 2 ；过点A 2作AC 的垂线，垂足为 A ；…，以此类推，设BA @ ,AA 1a 2, A A 2a 3，…，A 5A 6a 7，则 a 7___________d. A > W（13）若函数 f X X R是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f X X(1 x)，° X 1，则f 29 f 41 ______sin x, 1 x 2 4 6(14)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(i)直线I在点P X o,y o处与曲线C相切；(ii)曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线I在点P处“切过”曲线C .下列命题正确的是___________ (写出所有正确命题的编号)①直线I : y 0在点P 0,0处“切过”曲线 C : y x2②直线I : x 1在点P 1,0处“切过”曲线C : y (x 1)2③直线I : y x在点P 0,0处“切过”曲线 C : y sin x④直线I : y x在点P 0,0处“切过”曲线 C : y tanx⑤直线I : y x 1在点P 1,0处“切过”曲线C : y In x三•解答题：本大题共6小题，共75分•解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内16. (本小题满分12分)设ABC的内角代B,C所对边的长分别是a,b,c，且b 3,c 1，ABC的面积为三，求cosA与a的值.17、(本小题满分12分)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)(I)应收集多少位女生样本数据？(n)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：「「.一._ ' . ■:.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（川）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有加為的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”附：-18. （本小题满分12分）数列｛a n｝满足a i 1,na. 1 （n 1总n（n 1）, n N（1）证明：数列｛岂｝是等差数列；n（2）设b n 3n、. a n，求数列｛b n｝的前n项和S n19 （本题满分13分）如图，四棱锥P ABCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.17 .点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD, PC上共面的四点，平面GEFH 平面ABCD，BC//平面GEFH .(1)证明：GH // EF;⑵若EB 2，求四边形GEFH的面积.20 （本小题满分13分）2 3设函数f（x） 1 （1 a）x x x ,其中a 0（1）讨论f （x）在其定义域上的单调性;(2) 当x [0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.21 (本小题满分13分)2 2X y设F I,F2分别是椭圆E :二21(a b 0)的左、右焦点，过点F l的直线交椭圆E于a bA, B 两点，lAFj 3| BF1 |(1)若I AB | 4, ABF?的周长为16，求| AF21 ；3⑵若cos AF2B —,求椭圆E的离心率•5I* 3« *数学（文科）试题参考答案- 送樺趣！本理考查基本蚪溟和易本诟用 毎小廳药分，満分印分[ID(2) cEk14) BCS) B'6 I*(71 cvfl1 V) I)・37 *CIO Et--填空題:丰融苇宣基本短溟和基本运算一每小起5分，凋好251 riZ 命=.解答駆:本大JH 栽&小■‘共右分一啣善盧葺出丈字璇明■证IH 过建豪演H 歩骤一 | 16 | I 本小雜满分12解：1韦-：鶴烬面积公式■得—1 » sm,!-^2 , |V ＜ Hin.l-因为 BUI 3 A — t ,u'二F ■工irLEfUlu 3J +1I -2X I K 3X —=8除心“屉②母》u-prt.审余號追理得＜二心：丄怯「佃,1二y*】^xix^xc -4-1= 15,^Vlu=2j^.'nr 满分*分）解汀I 13OH 需器三初.所以坨收集90也址生的样木敎锯一I N n F（n ）由爆率分航也月矚13 ]亠力【心ioo*QD2S}=o-7b 圻iu 樓歿学空却凰单期*佯扭动时側 小对詞醋爭胡仙计債为G 血 巧么（on Th （ U ）知*3ffl 松抑口卩有300x0.75 = 225人的称周平冏体育甲动月押i 栖过4小时*巧人 的fij I.'.'] T 斷悴仃込功时间不蛆过4不时.只闻为禅眾JR1E 「I"门山份显Jt 丁躺生的*如输 爪关F 女生的一轉以毎周平均弹舌适动时阿打性刖列甌襄爪心每周平鮒律育运动时闾与性朋列杲耒列工女电 总讣每周平胡怖胃运功IM 相过」小吋45 3075M 周平剧诔商运动时间 眉扯4小时IfiS 筒22?熬i+210Wk 盼列碗可昨—豐爲陽舞•班航乩有韩譬陶把拆认苛谏桂丫七的每周平均條有运话时的＜m JPI 有養"， 1»）I 本小遞満井门分）（i ）证：由已知可得 ^4=—即土±_巴和.n fi ?! nt I nI'I-LT '^-J 酬+二1为首屢1为昼睾的辱差教那它匕i 韻：山{ i )—= i +(n-])* 1 iji,所口S. = l •・ J : + 3 * 3b + --tn ” 3*3込二 I»?'+ — ♦■( n- i } * 3"(12十\ifl ■斗"由余张定理得二 ±—… iyf rz I *ORJ 1=± M \ -hjn'?i 二土| 【卒归趣满分J3分丨（I 〕证：固为腕F 宇向f ；A77/,甌匚甲曲 m ：, il 平闻riff ；门平血GEFZGH 、所以&肋此 同理叫话秤加匚 1.4 jit di 冊：（AC r RD 交 T •点.0 F irb 交 AF p 点 A . i 生按 OP. fX因为xi =pc. i ） '2 AC 的冲点.所克Pr ） i If ■■同词!町碍艸1X tfD n LC= O . fl \C t RD i5布堆西内.lift U rti £ 俺 Ifti ABCJ ）.宝 PJ 加 T ［fu t ；EFN 丄 T ifu Aiicb rK ma 平ifti （他曲"NHZ 闭打 半圍户 用为平（H 尸册口平罰 m rt =綁’/Yx 听如怦#风,且以丄厳囲I RCD./' ：\ XM 闻（,K _ E& fh \il - K. EB=1 得KH \li KJi mi- 1 ： 4r从而Kil-—iHi^—Ofi.^k 为 佃的中虎.ffl III 円打GA 得懾■刊，］jpc <PK 『y|t 点・ H f ；/J=4-^r ~丄il c 知可得仙二斗归* Pfl=廣=俪顶 所琨a = hF恠14辿形GEFH 的面枳S=竺空*低-£1^X3 = 1H.' 1輝■ KH ｛刻h 規満井B 分I解：f I 小卫的追乂域切）y1 \4JT T TPJr 17 /"（ J ） = -3（ i-.iH A -I \ L'1 1O,或.谆岛时*广〔曲袍$当野心5附・厂心）沁* 皿出"件—工—｝卅5.2）内醸禺噬備.柱* 舸网專耳畏增一（JI 咽为QO .所以心e .』>a【门％2」时」』】：杰I 囱l./hMLO I i I:邮財瓏澈昕以门打打i" 貼 J 他 分别取即黒山侑和噩女值一< U ）马0叶却时.T ：<1由（［）旬・门* > # % .1；上唯删逋堆，总『r. J ］ I 劇谒递甘.闵 此/fx ｝^x=x x 二土半迈处取捋缩大値. /J 1J阳EfWPi JUR 叫 MW 十（Rxl 时「HfUT 址取 ■L 1n = iiF ］r A JU fr i . n ffr i .j f （［同时駅i Hu 小伯: 时川门在工諒笛JR 褂诫小JLU#）u 基八由l=m|F 芒I” l 川1".得|肿.山巧|齐丹卜】.例为A 娜的周用为lfi t 祈mh 剧轉矍冋禅4o-K. I >47, |+ I 」迟I =20=& 故 | IP ： | -2u ■- | »F| |二* 3-5.（D ti^ |齐舟|"・l'|i>O 且I*歼1=3*,［，阳| = 41.由補I 耶乏！<叫擁\ -2 iy •琨-V +r-n…心，，”MM 題何令厂"2〉阳九三土羊仝Kr/L Xr/f 1f? |- 2n-5A, | a/ | 二九-上一音人血:中+由余血龙理町悔11A:I1+ |疤(:-3 I」人卜扇知厶4兀皈PP (4A > '(2a^3* ) J+(2»-t) :—|-(2d-3i)・(2卄幻.化衙可M (ft+fr ) (- J - 3jr) 30.而</+4>06故a = 3A -T 址有I 丿耳1*31= I “：h因此出尸："|F3.1 |;* I LjJ |\ nffUF.J -齐儿故川迟匚知的汕饰角般fl-屮可弘闻心寻叫听wfltj 'H r阳禺心卡亍...... .... .. ......... m<SSv・39・。
2014年高考真题——文科数学(安徽卷)解析版 Word版含解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第 卷（选择题 共50分）一. 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． [2014·安徽卷] 设i 是虚数单位，复数i 3＋2i1＋i ＝( )A ．－iB ．iC ．－1D ．11．D [解析] i 3＋2i1＋i＝－i ＋2i （1－i ）2＝1.2． [2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥02．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 3． [2014·安徽卷] 抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．A [解析] 因为抛物线y ＝14x 2的标准方程为x 2＝4y ，所以其准线方程为y ＝－1.4． [2014·安徽卷] 如图1-1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图1-1A ．34B ．55C ．78D ．894．B [解析] 由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下：第一次循环，x ＝1，y ＝1，z ＝2； 第二次循环，x ＝1，y ＝2，z ＝3； 第三次循环，x ＝2，y ＝3，z ＝5； 第四次循环，x ＝3，y ＝5，z ＝8； 第五次循环，x ＝5，y ＝8，z ＝13； 第六次循环，x ＝8，y ＝13，z ＝21； 第七次循环，x ＝13，y ＝21，z ＝34；第八次循环，x ＝21，y ＝34，z ＝55，不满足条件，跳出循环． 5． [2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b5．B [解析] 因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b .6． [2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6D.⎣⎡⎦⎤0，π36．D [解析] 易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，即k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.7． [2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.8． [2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476C ．6D ．7 8．A [解析] 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝233.9． [2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.10． [2014·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6D ．0 10．B [解析] 令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a ·b ，S 3＝4a ·b .又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4a·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.11． [2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________. 11.278 [解析] 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34 ＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 12． [2014·安徽卷] 如图1-3，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；….依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．图1-312.14 [解析] 在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，由题易知A 1A 2＝a 3＝12AB ＝1，…，A 6A 7＝a 7＝⎝⎛⎭⎫123·AB ＝2×⎝⎛⎭⎫123＝14.13． [2014·安徽卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．13．4 [解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S △ABD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×(2＋2)＝4.14． [2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 15． [2014·安徽卷] 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(i)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧．则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2； ③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .15．①③④ [解析] 对于①，因为y ′＝3x 2，y ′x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)处的切线，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为y ′＝2(x ＋1)，y ′x ＝－1＝0，所以l ：x ＝－1不是曲线C ：y ＝(x ＋1)2在点P (－1，0)处的切线，②错误；对于③，y ′＝cos x ，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，y ′＝1cos 2x，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y ′＝1x ，y ′x ＝1＝1，所以曲线C 在点P (1，0)处切线为l ：y ＝x －1，又由h (x )＝x －1－ln x (x >0)可得h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以h min (x )＝h (1)＝0，故x －1≥ln x ，所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误．16． [2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.17． [2014·安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1-4(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）17．解： (1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）275×225×210×90＝10021≈4.762>3.841. 所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18． [2014·安徽卷] 数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32，所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.19． [2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .图1-5(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ， 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.20． [2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．21． [2014·安徽卷] 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．21．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )· (2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ， 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A . 故△AF 1F 2为等腰直角三角形， 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。
2014高考文数安徽卷 附答案解析
8-
7 6
=f
-3
4
+f
-7
6
=-f
3 4
-f
7 6
=-34
1-
3 4
-sin76π=-136
+
1 2
156.
15.【答案】①③④
【解析】由题意结合函数的图象知,①③④满足条件,而②⑤中曲线在点 P 附近都在切线
的同一边,故不满足条件.
三、解答题
16.分析:分析给出的条件,因已知 b 和 c,故先利用三角形面积公式 S△ABC=12bcsin A 求出
(2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所
示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平
均体育运动时间超过 4 小时的概率;
(3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完成每周平均体
3.【答案】A
【解析】抛物线 x2=4y 的准线方程为 y=-1.
4.【答案】B
【解析】由程序框图,知依次为:x=1,y=1,z=2;x=1,y=2,z=3;x=2,y=3,z=5;x=3,y=5,z=8;
x=5,y=8,z=13;x=8,y=13,z=21;x=13,y=21,z=34;x=21,y=34,z=55>50,故输出 55.
综上所述,a=-4 或 8.
10.【答案】B
【解析】设 a 与 b 的夹角为θ.x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4 有以下三种可能:
①2a·a+2b·b=2|a|2+2|b|2=10|a|2;
2014合肥二模高三文科数学带详细解析
2014年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2014•合肥二模）若Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数为（）A．+iB．﹣+i C．+i D．﹣i2．（5分）（2014•合肥二模）若全集U={0，1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N*|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A．3个B．4个C．7个D．8个3．（5分）（2014•合肥二模）抛物线x2=y的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）4．（5分）（2014•合肥二模）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．18+8C．28 D．20+85．（5分）（2014•合肥二模）已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，则ab 的最大值为（）A．B．C．D．26．（5分）（2014•合肥二模）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•河西区二模）函数y=sin（2x+）的图象经过下列平移，可以得到偶函数图象的是（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位8．（5分）（2014•合肥二模）已知函数f（x）=，则f（2014）=（）A．2014 B．C．2015 D．均有实数根，则2x+y有（）A．最小值2 B．最小值3 C．最大值2+2D．最大值4+10．（5分）（2014•合肥二模）设||=2，||=3，∠BAC=60°，=2，=x+（1+x），x∈[0，1]，则在上的投影的取值范围是（）A．[0，1]B．[0，7]C．[1，9]D．[9，21]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014•合肥二模）命题P：对∀x≥0，都有x3﹣1≥0，则￢p是_________．12．（5分）（2014•合肥二模）函数f（x）=（2x﹣x2）的定义域是_________．13．（5分）（2014•合肥二模）设直线2x+y﹣1=0的倾斜角为α，则sin（2α+）=_________．14．（5分）（2014•濮阳二模）执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和为_________．15．（5分）（2014•合肥二模）对于两个图形F1，F2，我们将图形F1上的任意一点与图形F2上的任意一点间的距离中的最小值，叫作图形F1与图形F2的距离．若两个函数图象的距离小于1，称这两个函数互为“可及函数”．给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是_________．（写出所有正确命题的编号）①f（x）=cosx，g（x）=2；②f（x）=e x，g（x）=x；③f（x）=log2（x2﹣2x+5），g（x）=sin x；④f（x）=x+，g（x）=lnx+2；⑤f（x）=，g（x）=x+．三、解答题（75分）16．（12分）（2014•合肥二模）如图，f（x）=Asin（2ωx+φ）（ω＞0，A＞0，﹣π＜φ＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；17．（12分）（2014•合肥二模）合肥市环保总站对2013年11月合肥市空气质量指数发布如图趋势图．AQI指数天数（60，120]（120，180]（Ⅰ）请根据如图所示趋势图，完成表并根据表画出频率分布直方图，（Ⅱ）试根据频率分布直方图估计合肥市11月份AQI指数的平均值．18．（12分）（2014•合肥二模）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足：S n2﹣（n2+2n﹣3）S n﹣3（n2+2n）=0（n∈N*）（Ⅰ）求证：S n=n2+2n；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．19．（13分）（2014•合肥二模）如图，三棱台ABC﹣DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC．（Ⅰ）设平面AEC∩平面DEF=a，求证DF∥a；（Ⅱ）若EF=CF=2BC，试同在线段BE上是杏存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE，若存在，请确定G点的位置；若不存在，说明理由．20．（13分）（2014•合肥二模）已知f（x）=mlnx﹣x（m∈R），g（x）=2cos2x+sinx+a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；〔Ⅱ）当m=时，对于任意x1∈[，e]，总存在x2∈[0，]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围．21．（13分）（2014•合肥二模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），设左顶点为A，上顶点为B，且•=•，如图所示．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知M，N为椭圆C上两动点，且MN的中点H在圆x2+y2=1上，求原点O到直线MN距离的最小值．2014年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2014•合肥二模）若Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数为（）A ．+iB．﹣+iC．+iD．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．解答：解：∵，∴z的共轭复数为：．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2．（5分）（2014•合肥二模）若全集U={0，1，2，3，4，5}，且∁U A={x∈N*|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（）A ．3个B．4个C．7个D．8个考点：子集与真子集．专题：集合．分析：利用集合中含n个元素，其真子集的个数为2n﹣1个，求出集合的真子集的个数．解答：解：∵U={0，1，2，3，4，5}且∁U A={x∈N*|1≤x≤3}={1，2，3}，∴A={0，4，5}∴集合A的真子集共有23﹣1=7故选：C点评：求一个集合的子集、真子集的个数可以利用公式：若一个集合含n个元素，其子集的个数为2n，真子集的个数为2n﹣1．3．（5分）（2014•合肥二模）抛物线x2=y的焦点坐标为（）A ．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据标准方程求出p值，判断抛物线的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．解答：解：∵抛物线x2 =y中，p=，=，焦点在y轴上，开口向上，故选：D．点评：本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，确定抛物线中p的值是关键，属基础题．4．（5分）（2014•合肥二模）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．12+4B．18+8C．28 D．20+8考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是直三棱柱，由三视图判断三棱柱的高，判断底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入表面积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，斜边长为=2，∴几何体的表面积S=2××2×2+（2+2+2）×4=4+16+8=20+8．故选：D．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．5．（5分）（2014•合肥二模）已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，则ab的最大值为（）A ．B．C．D．2考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab的最大值．解答：解：由已知，圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4的圆心为C1（a，﹣2），半径r1=2．圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1的圆心为C2（﹣b，﹣2），半径r2=1．∵圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．ab≤=．故选：C．点评：本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．6．（5分）（2014•合肥二模）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A ．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：试验包含的所有事件是从4个人安排两人，共12种，其中事件“星期六安排一名男生、星期日安排一名女生”包含4种，再由概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22=12种．其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21=4种，∴其中至少有1名女生的概率P=．故选：A点评：古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．7．（5分）（2014•河西区二模）函数y=sin（2x+）的图象经过下列平移，可以得到偶函数图象的是（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C ．向右平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据左加右减法则和诱导公式，对解析式进行变形得到余弦函数即可．解答：解：对于A，函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到y=sin=sin2x．函数是奇函数，不满足题意，A不正确；对于B，函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位得到y=sin=sin（2x+）．函数不是奇函数也不是偶函数，不满足题意，B不正确；（2x﹣）=﹣cos2x．此时函数是偶函数，C正确；对于D，函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位得到y=sin=sin（2x+）．此时函数不是偶函数，D不正确；故选：C、点评：本题主要考查三角函数图象的变换，三角函数的奇偶性，属于中档题．8．（5分）（2014•合肥二模）已知函数f（x）=，则f（2014）=（）A ．2014 B．C．2015 D．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数，直接代入进行求解即可．解答：解：当x≥0时，f（x）=f（x﹣1）+1，即此时函数的周期是1，则f（2014）=f（2013）+1=…=f（0）+2014=f（﹣1）+2015==，故选：D．点评：本题主要考查函数值的计算，根据函数的表达式是解决本题的关键，比较基础．9．（5分）（2014•合肥二模）若实数x，y满足0＜x≤2，0＜y≤2，且使关于t的方程t2+2xt+y=0与t2+2yt+x=0均有实数根，则2x+y有（）A ．最小值2 B．最小值3 C．最大值2+2D．最大值4+考点：二次函数的性质；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=2x+y的几何意义，即可求出z=2x+y的最值．解答：解：由于实数x，y满足0＜x≤2，0＜y≤2，且使关于t的方程t2+2xt+y=0与t2+2yt+x=0均有实数根，则，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x，由图象可知，当直线y=﹣2x+z经过点A时，y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．当直线y=﹣2x+z经过点B（2，2）时，y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由于，则A（1，1），故z=2x+y有最小值3，最大值6．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用2x+y的几何意义结合数形结合，即可求出2x+y的最值．10．（5分）（2014•合肥二模）设||=2，||=3，∠BAC=60°，=2，=x+（1+x），x∈[0，1]，则在上的投影的取值范围是（）A ．[0，1]B．[0，7]C．[1，9]D．[9，21]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量加法的三角形法则把向量用向量表示，代入=x+（1+x），然后求出，再由，两边同时乘以得到在上的投影关于x的函数，最后由x的范围求得答案．解答：解：∵=2，∴=，==，∴=x+（1+x）==．又||=2，||=3，∠BAC=60°，则===24x+3．由，∴=．∵x∈[0，1]，∴8x+1∈[1，9]．∴在上的投影的取值范围是[1，9]．故选：C．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，解答的关键是明确向量在向量上的投影概念，是中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014•合肥二模）命题P：对∀x≥0，都有x3﹣1≥0，则￢p是∂x≥0，使得x3﹣1＜0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题即可得到：￢p：∂x＜0，使得x3﹣1＜0，故答案为：∂x≥0，使得x3﹣1＜0点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．12．（5分）（2014•合肥二模）函数f（x）=（2x﹣x2）的定义域是（0，2）．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=（2x﹣x2）的定义域满足2x﹣x2＞0，由此能求出结果．解答：解：函数f（x）=（2x﹣x2）的定义域满足：2x﹣x2＞0，即x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2，故答案为：（0，2）．点评：本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．13．（5分）（2014•合肥二模）设直线2x+y﹣1=0的倾斜角为α，则sin（2α+）=﹣．考点：直线的倾斜角．专题：三角函数的求值；直线与圆．分析：首先根据直线斜率求出α的正切值，然后将sin（2α+）转化为，根据齐次式弦化切即可求出sin（2α+）的值．解答：解：由直线2x+y﹣1=0方程，得直线2x+y﹣1=0的斜率k=﹣2，∴tanα=﹣2．则sin（2α+）======﹣．故答案为：．点评：本题考查直线斜率的意义，同角三角函数关系，倍角公式等三角恒等变换知识的应用，属于中档题．14．（5分）（2014•濮阳二模）执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和为48．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞25，计算即可求出输出所有值之和．解答：解：当x=1时，不满足条件x是3的倍数，x=3，不满足条件x＞25，当x=3时，满足条件x是3的倍数，x=5，不满足条件x＞25，当x=5时，不满足条件x是3的倍数，x=7，不满足条件x＞25，当x=7时，不满足条件x是3的倍数，x=9，不满足条件x＞25，当x=9时，满足条件x是3的倍数，x=11，不满足条件x＞25，当x=11时，不满足条件x是3的倍数，x=13，不满足条件x＞25，当x=13时，不满足条件x是3的倍数，x=15，不满足条件x＞25，当x=15时，满足条件x是3的倍数，x=17，不满足条件x＞25，当x=17时，不满足条件x是3的倍数，x=19，不满足条件x＞25，当x=19时，不满足条件x是3的倍数，x=21，不满足条件x＞25，当x=21时，满足条件x是3的倍数，x=23，不满足条件x＞25，当x=23时，不满足条件x是3的倍数，x=25，不满足条件x＞25，当x=25时，不满足条件x是3的倍数，x=27，满足条件x＞25，故输出的数x和为3+9+15+21=48，故答案为：48点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．15．（5分）（2014•合肥二模）对于两个图形F1，F2，我们将图形F1上的任意一点与图形F2上的任意一点间的距离中的最小值，叫作图形F1与图形F2的距离．若两个函数图象的距离小于1，称这两个函数互为“可及函数”．给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是②④．（写出所有正确命题的编号）①f（x）=cosx，g（x）=2；②f（x）=e x，g（x）=x；③f（x）=log2（x2﹣2x+5），g（x）=sin x；④f（x）=x+，g（x）=lnx+2；⑤f（x）=，g（x）=x+．考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；推理和证明．分析：利用“可及函数”的定义，求出两个函数图象的距离最小值，即可得出结论．解答：解：①f（x）=cosx的最低点与g（x）=2的距离等于1，故不满足题意；②f（x）=e x，则f′（x）=e x，设切点为（a，e a），则e a=1，∴a=0，∴切点为（（0，1），切线方程为y=x+1，则与g（x）=x的距离为＜1，满足题意；③f（x）=log2（x2﹣2x+5）≥2，g（x）=sin x≤1，∴两个函数图象的距离大于等于1，不满足题意；④x=时，f（x）=x+=2，g（x）=lnx+2=ln+2，两个函数图象的距离小于1，满足题意；⑤f（x）=表示以原点为圆心，2为半径的上半圆，圆心到g（x）=x+的距离为=3，∴两个函数图象的距离最小值为1，不满足题意．故答案为：②④．点评：本题考查合情推理，考查新定义，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关键．三、解答题（75分）16．（12分）（2014•合肥二模）如图，f（x）=Asin（2ωx+φ）（ω＞0，A＞0，﹣π＜φ＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣π，﹣]上的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）通过函数的图象得到A，T，求出ω，利用函数图象经过（0，﹣1）结合﹣π＜φ＜0求出φ，得到函数的解析式．（Ⅱ）通过x∈[﹣π，﹣]，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求出函数的值域．解答：解：（Ⅰ）如图：A=2，=π，∴T=π．由周期公式得2ω==2∴f（x）=2sin（2x+φ）又∵f（x）的图象过（0，﹣1）∴2sinφ=﹣1又∵﹣π＜φ＜0∴φ=﹣∴f（x）=2sin（2x﹣）．（Ⅱ）∵x∈[﹣π，﹣]，∴2x﹣，∴2sin（2x﹣）∈[﹣2，1]．∴函数f（x）在[﹣π，﹣]上的值域为：[﹣2，1]．点评：本题主要考查三角函数图象与解析式中各参数的内在联系，培养学生知图求式，以式知图的能力，计算能力．17．（12分）（2014•合肥二模）合肥市环保总站对2013年11月合肥市空气质量指数发布如图趋势图．AQI指数天数（60，120]（120，180]（180，240]（240，300]（Ⅰ）请根据如图所示趋势图，完成表并根据表画出频率分布直方图，（Ⅱ）试根据频率分布直方图估计合肥市11月份AQI指数的平均值．考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）根据趋势图数出数值在各组的频数，作出分布表，再根据小矩形的高=得各个小矩形的高，由此可作出频率分布直方图；（II）根据平均数为各个小矩形底边中点的横坐标乘以对应小矩形的面积之和计算可得数据的平均数．解答：解：（I）根据趋势图可得：AQI指数天数（60，120]11（120，180]11（180，240] 5（240，300] 3根据小矩形的高=得频率分布直方图如图：（II）合肥市11月份AQI指数的平均值=×90+×150+×210+×270=150．点评：本题考查了频率分布直方图的作法，根据频率分布直方图中频率==小矩形的高×组距来获得数据，是解答此类问题的基本方法．18．（12分）（2014•合肥二模）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足：S n2﹣（n2+2n﹣3）S n﹣3（n2+2n）=0（n∈N*）（Ⅰ）求证：S n=n2+2n；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）根据条件进行因式分解即可证明S n=n2+2n；（Ⅱ）求出求数列{}的通项公式，利用裂项法即可求数列的前n项和Tn．解答：解：（Ⅰ）∵S n2﹣（n2+2n﹣3）S n﹣3（n2+2n）=0（n∈N*），∴[S n﹣（n2+2n）][（S n+3）]=0，∴S n=n2+2n或S n=﹣3，∵{a n}是正项数列，∴S n=n2+2n成立．（Ⅱ）∵S n=n2+2n∴==（）则数列{}的前n项和Tn=（1+…++）=（1）=．点评：本题主要考查数列的通项公式的求解以及利用裂项法求数列的前n项和，考查学生的计算能力．19．（13分）（2014•合肥二模）如图，三棱台ABC﹣DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC．（Ⅰ）设平面AEC∩平面DEF=a，求证DF∥a；（Ⅱ）若EF=CF=2BC，试同在线段BE上是杏存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE，若存在，请确定G点的位置；若不存在，说明理由．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知条件得AC∥DF，所以DF∥平面ACE，由此能证明DF∥a．（Ⅱ）线段BE上存在点G，且BG=BE，使得平面DFG⊥平面CDE．利用三角形全等和三角形相似进行证明．解答：（Ⅰ）证明：在三棱台ABC﹣DEF中，AC∥DF，∵AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE，∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF=a，∴DF∥a．（Ⅱ）解：线段BE上存在点G，且BG=BE，使得平面DFG⊥平面CDE，证明如下：取CE中点O，连结FO并延长交BE于点G，连结GD、GF，∵CF=EF，∴GF⊥CE，在三棱锥ABC﹣DEF中，AB⊥BC，∴DE⊥EF，由CF⊥平面DEF，得CF⊥DE，又CF∩EF=F，∴DE⊥平面DEF，∴DE⊥GF，∵GF⊥CE，GF⊥DE，CE∩DE=E，∴GF⊥平面CDE，又GF⊂平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE，此时，如平面图所示，∵O为CE中点，CF=EF=2BC，由平面几何知识，得△HOC≌△FOE，∴HB=BC=EF，由△HGB∽△FOE，得，∴BG=．点评：本题考查直线与直线垂直的证明，考查使得面面垂直的点是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（13分）（2014•合肥二模）已知f（x）=mlnx﹣x（m∈R），g（x）=2cos2x+sinx+a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；〔Ⅱ）当m=时，对于任意x1∈[，e]，总存在x2∈[0，]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）利用导数的运算法则可得：f′（x）=（x＞0）．对m分类讨论：当m≤0时，当m＞0时，即可得出其单调区间．（II）对于任意x1∈[，e]，总存在x2∈[0，]，使得f（x1）≤g（x2）成立f（x）max⇔≤g（x）max．利用（I）的结论可得f（x）的最大值，利用二次函数的单调性可得g（x）的最大值．解答：解：（I）f′（x）=（x＞0）．当m≤0时，f′（x）≤0，此时函数在（0，+∞）单调递减．当m＞0时，由f′（x）=0，解得x=2m．令f′（x）＞0，解得0＜x＜2m，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得2m＜x，此时函数f（x）单调递减．∴函数f（x）的单调递增区间为（0，2m），单调递减区间为（2m，+∞）．（II）对于任意x1∈[，e]，总存在x2∈[0，]，使得f（x1）≤g（x2）成立f（x）max⇔≤g（x）max．当m=时，f（x）=，由（I）可知：当x∈时，函数f（x）单调递增；当x∈[1，e]时，函数f（x）单调递减．∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（x）max=f（1）=﹣．当x∈时，sinx∈[0，1]．g（x）=2cos2x+sinx+a=2（1﹣sin2x）+sinx+a=﹣2sin2x+sinx+2+a=．∴当sinx=时，g（x）max==．∴，解得．∴实数a的取值范围是．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．（13分）（2014•合肥二模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），设左顶点为A，上顶点为B，且•=•，如图所示．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知M，N为椭圆C上两动点，且MN的中点H在圆x2+y2=1上，求原点O到直线MN距离的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件得A（﹣a，0），B（0，b），F（1，0），由•=•，推导出b2﹣a﹣1=0，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）分类讨论，设点作差，求出MN的方程，可得原点O到直线MN距离，利用基本不等式，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意，A（﹣a，0），B（0，b），F（1，0），∵•=•，∴b2﹣a﹣1=0，∵b2=a2﹣1，∴a2﹣a﹣2=0，解得a=2，∴a2=4，b2=3，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），则，，作差得①x1=x2时，y1+y2=0，∴H（x0，0），∵H在圆x2+y2=1上，∴x0=±1，则原点O到直线MN距离为1；②x1≠x2时，设直线MN的斜率为k，则，∴3x0+4ky0=0，且x02+y02=1，∴x02=，y02=，∴x0y0=﹣ky02=设原点O到直线MN距离为d，则∵MN的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），即kx﹣y﹣kx0+y0=0，∴d2==1﹣，k=0时，d2=1；k≠0时，d2=1﹣≥1﹣=∵＜1，∴d2的最小值为，即d的最小值为，此时k=±，由①②可知，原点O到直线MN距离的最小值．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；szjzl；刘长柏；清风慕竹；zhtiwu；qiss；maths；zlzhan；翔宇老师；孙佑中（排名不分先后）菁优网2015年3月2日。
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2014年安徽省合肥市高考文科数学二模试题及答案解析
数学文试题
（考试时间：120分钟，满分150分）
第I 卷（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若21i
Z
i
-=
+（i 为虚数单位），则Z 的共轭复数为（ ） A.
1322i + B.1322i -+ C.3322i + D.3322
i - 2.若全集{0,1,2,3,4,5}U
=，且{*|13}U C A x N x =∈≤≤，则集合A 的真子集共有（ ）
A.3个
B.4个
C.7个
D.8个 3.抛物线2
1
2
x
y =
的焦点坐标为（ ） A.1(
,0)2 B.1(0,)2 C.1(,0)8 D.1(0,)8
4.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.12+
B.18+
C.28
D.20+
5.已知圆2
21:()(2)4C x a y -++=与圆222:()(2)1C x b y +++=相外切，则ab 的最大值为
（ ）
A.
2
B.32
C. 94
D.
6.从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（ ） A.
13 B.512 C.12 D.712
5.函数sin(2)3
y
x π
=+的图像经过下列平移，可以得到偶函数图像的是（ ）
A.向右平移
6π个单位 B.向左平移6
π
个单位 C.向右平移
512π个单位 D.向左平移512
π个单位 8.已知函数2,0
()(1)1,0
x x f x f x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则(2014)f =（ ）
A.2014
B.
40292 C.2015 D.4031
2
9.若实数,x y 满足02,02x y <≤<≤，且使关于t 的方程220t xt y ++=与2
20t yt x ++=均
有实数根，则2x y +
有（ ）
A.最小值2
B.最小值3
C.
最大值2+ D.
最大值4+
10.设|
|2,||3,60AB AC BAC ==∠=，2,(1),[0,1]CD BC AE xAD x AB x ==+-∈，则AE 在
AC 上的投影的取值范围是（ ）
A.[0,1]
B.[0,7]
C.[7,9]
D.[9,21]
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.命题:p 对0x ∀≥，都有3
10x -≥，则p ⌝是____________________.
12.函数
212
()log (2)f x x x =-的定义域是_____________.
13.设直线210x y +
-=的倾斜角为α，则sin(2)4
π
α+=___________.
14.执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和为_____________.
15.对于两个图形12,F F ，我们将图形1F 上的任意一点与图形2F 上的任意一点间的距离中的最小值，叫做图形1F 与图形2F 的距离.若两个函数图像的距离小于1，陈这两个函数互为“可及函数”.给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是_________.（写出所有正确命题的编号） ①
()cos ,()2f x x g x ==； ②()x f x e =，()g x x =；
③
2
2()log (25)f x x
x =-+，()sin
2g x x π
=； ④2
()f x x x
=+，()ln 2g x x =+；
⑤
()f x =，315
()44
g x x =
+.
三、解答题（75分）
16、（本小题满分12分）
如图，
（I ）求函数f （x ）的解析式；
（II）求函数f（x）在上的值域。
17.（本小题满分12分）
合肥市环保总站对2013年11月合肥市空气质量指数发布如下趋势图：
（I）请根据以上趋势图，完成表1并根据表1画出频率分布直方图，
（II）试根据频率分布直方图估计合肥市11月份AQI指数的平均值．
18.（本小题满分12分）
已知正项数列的前n项和Sn满足：
（I）求证：Sn＝n2＋2n；
（II）求数列的前n项和Tn.
19.（本小题满分13分）如图，三棱台ABC-DEF中，CF⊥平面DEF,AB⊥BC.
（I）设平面AEC∩平面DEF=a，求证DF//a ;
（II）若EF=CF=2BC,试同在线段BE上是杏存在点G,
使得平面DFG⊥平面CDE，若存在，请确定G点的位置；若不存在，说明理由．
20.（本小题满分13分）
已知
（I）求函数f(x)的单调区间；
〔II）当m=1
2
时，对于任意,总存在，使得成立
求实数a的取值范围．
21.（本小题满分13分）已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右焦点为F （1，0)，设左顶点
为A，上顶点为B，且，如图所示．
（I）求椭圆C的方程；
(II）已知M，N为椭圆C上两动点，且MN的中点H在圆x2＋y2=1上，求原点O到直线MN 距离的最小值。