共轭复数的运算性质92页PPT
7.2复数的四则运算PPT课件(人教版)
解：(1)A，B，C 三点分别对应复数 1，2＋i，－1＋2i. 所以O→A，O→B，O→C对应的复数分别为 1，2＋i，－1＋2i(O 为坐 标原点)， 所以O→A＝(1，0)，O→B＝(2，1)，O→C＝(－1，2)． 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，1)， A→C＝O→C－O→A＝(－2，2)， B→C＝O→C－O→B ＝(－3，1)． 即A→B对应的复数为 1＋i，A→C对应的复数为－2＋2i，B→C对应的 复数为－3＋i.
A．－1－1＋i z(1 ＋ i) ＝ 2i ， 得
z
＝
2i 1＋i
＝
2i（1－i） （1＋i）（1－i）
＝
2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
z1z2＝__z_2_z1__
结合律
(z1z2)z3＝__z_1_(z_2_z_3_) ____
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝__z_1_z2_＋__z_1_z3___
■名师点拨 对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行 运算，但结果要将实部、虚部分开(i2 换成－1)． (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
复数的四则运算
第七章 复 数
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
考点 复数加法、 减法的运算
复数加法 的几何意义
学习目标 掌握复数代数形式的加法、 减法运算法则 理解复数代数形式的加法、 减法运算的几何意义
共轭复数知识点
共轭复数知识点1. 什么是共轭复数在数学领域中，共轭复数是指由实部相同、虚部相反的两个复数构成的一对数。
如果一个复数是a+bi，那么它的共轭复数是a-bi。
其中，a是实部，b是虚部。
两个共轭复数的和的实部相同，虚部相反，而它们的积的实部和虚部也分别相同，只是符号相反。
共轭复数可以通过改变虚部符号来得到，而不改变实部。
它们在复数运算、方程求解、向量表示等方面都具有重要的作用。
2. 共轭复数的性质共轭复数具有以下性质：•共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。
•两个共轭复数的和的实部相同，虚部相反。
•两个共轭复数的积的实部和虚部分别相同，只是符号相反。
•一个复数与它的共轭复数的积是一个实数，即复数的模的平方。
3. 共轭复数的表示方法共轭复数可以通过改变虚部符号来得到。
在数学中，通常使用上划线来表示一个数的共轭复数，即将a+bi表示为a-bi。
例如，对于复数3+4i，它的共轭复数可以表示为3-4i。
而对于复数5-2i，它的共轭复数可以表示为5+2i。
4. 共轭复数的运算在进行共轭复数的运算中，可以使用以下公式：•复数的和：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i•复数的差：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i•复数的乘积：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i•复数的商：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i其中，a、b、c、d为实数。
5. 共轭复数的应用共轭复数在数学和工程领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：5.1. 复数方程求解对于一些复数方程，可以通过共轭复数的性质解决。
当一个复数方程的根是实数时，它的共轭复数也是一个解。
5.2. 信号处理在信号处理中，共轭复数在频谱分析、滤波器设计等方面有重要的应用。
例如，通过共轭复数可以得到信号的频谱零点。
复数的共轭与乘除运算
复数的共轭与乘除运算复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
在进行复数的运算中，复数的共轭和乘除运算是两个常见而且关键的操作。
本文将详细介绍复数的共轭和乘除运算，并探讨其性质和应用。
一、复数的共轭共轭是指保持实数部分不变，虚数部分变号的操作。
对于一个复数z=a+bi，其共轭记作z*=a-bi。
其中，z表示原始复数，a表示实数部分，b表示虚数部分。
共轭的操作可以用几何图形上的镜像来理解，即将复平面上的点z关于实轴进行对称，得到点z*。
共轭操作具有以下性质：1. 共轭的共轭仍为原始复数，即(z*)*=z。
2. 两个复数的和的共轭等于其各自的共轭的和，即(z1+z2)*=z1*+z2*。
3. 两个复数的差的共轭等于其各自的共轭的差，即(z1-z2)*=z1*-z2*。
4. 两个复数的积的共轭等于其各自的共轭的积，即(z1*z2)*=z1**z2*，其中z1**表示z1的共轭。
二、复数的乘法运算复数的乘法运算遵循分配律和乘积性质。
对于两个复数z1=a+bi和z2=c+di，其乘积记作z3=z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
其中，z3表示乘积的结果，ac-bd表示结果的实数部分，ad+bc表示结果的虚数部分。
复数乘法的性质如下：1. 交换律：两个复数的乘积不受顺序的影响，即z1*z2=z2*z1。
2. 结合律：三个复数的乘积不受加括号位置的影响，即(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)。
3. 分配律：一个复数和另外两个复数的和的积等于这个复数分别与另外两个复数的乘积的和，即z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3。
三、复数的除法运算复数的除法运算可以通过乘以除数的倒数来实现。
对于两个非零复数z1=a+bi和z2=c+di，其除法运算为z3=z1/z2=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
其中，z3表示除法的结果，(ac+bd)/(c^2+d^2)表示结果的实数部分，(bc-ad)/(c^2+d^2)表示结果的虚数部分。
共轭复数的性质
共轭复数的性质上海市奉贤中学 余意教学目的：1、掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广；2、能运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培养学生类比推广思想、从特殊到一般的方法和探究方法。
3、力求激发学生学习的兴趣，让学生体验探索研究的乐趣，努力创设以学生为中心的课堂研究氛围。
教学重点：共轭复数性质的探究。
教学难点：共轭复数性质的应用。
教学过程：复习共扼复数概念：共扼复数：实部相等而虚部互为相反数的两个数。
复数z 的共扼复数用z 表示。
若z ＝a ＋bi ，则z ＝a －bi (a ，b ∈R)互为共扼的两复数所对应的点关于x 轴对称。
研究复数的模发现1：| z |＝22b a +，|z |＝22b a + 研究结论1：| z |＝|z | （学生说出） 发现2： z ＋z ＝2a ，z －z ＝2bi——共扼复数之和为实数，共扼复数之差为纯虚数？(后半句不正确！) ——若b ＝0 (z 是实数)，则z －z ＝0，即z ＝z (逆命题成立吗？) ——若a ＝0，则z ＋z ＝0，即z ＝－z (如何深入研究？) 研究结论2：z ＝z ⇔z ∈R (学生证明)研究结论3：z ＝－z ( z ≠0) ⇔ z 为纯虚数 (学生证明) 发现3：z z ＝a 2＋b 2 (联想到| z |＝22b a +)研究结论4：| z |2＝z z —— 非常重要的一个结论：复数与实数进行转换 注意： 22||z z ≠，特别地1||=z 时，1=z z让学生各自找两个复数，如z 1＝1＋2i ，z 2＝3－4i ，计算：(1)1z ＋2z (2) 21＋z z解：(1) 1z ＋2z ＝i 2＋1＋i 4－3＝(1－2i)＋(3＋4i)＝4＋2i(2) 21＋z z ＝)i 4－3(＋)i 2＋1(＝i 2－4＝4＋2i发现3：(1)21＋z z ＝1z ＋2z —— 是否巧合？能否证明？ 思考：能否推广到减法、乘法、除法运算？ 研究结论5：(1) 21＋zz ＝1z ＋2z (2) 21－zz ＝1z －2z(3) 21z •z ＝1z •2z (4) )z z (21＝21z z ( z 2≠0)思考：能否推广到n 个复数的运算？ (1) n21＋z＋＋z z ＝1z ＋2z ＋…＋n z (2) 221z ••z •z ＝1z •2z •…•n z特别地，若1z ＝2z ＝…＝n z ＝z ，则n z ＝(z )n（1）R z z ∈+是复数R z ∈的 条件。
共轭复数的四则运算
共轭复数的四则运算
共轭复数是数学中一个非常重要的概念，它是由一个复数的实部不变，虚部相反得到的。
共轭复数的四则运算包括加减乘除四种运算，下面我们来详细地介绍一下这些运算。
一、共轭复数的加法
共轭复数的加法是指将两个共轭复数相加，其实就是将实部相加，虚部相加，最后得到一个新的复数。
例如，对于两个共轭复数a+bi 和c+di，它们的加法可以表示为(a+c)+(b+d)i。
二、共轭复数的减法
共轭复数的减法是指将两个共轭复数相减，也就是将实部相减，虚部相减，最后得到一个新的复数。
例如，对于两个共轭复数a+bi 和c+di，它们的减法可以表示为(a-c)+(b-d)i。
三、共轭复数的乘法
共轭复数的乘法是指将两个共轭复数相乘，它们的实部相乘，虚部相乘，最后得到一个新的复数。
例如，对于两个共轭复数a+bi和c+di，它们的乘法可以表示为(ac-bd)+(ad+bc)i。
四、共轭复数的除法
共轭复数的除法是指将一个共轭复数除以另一个共轭复数，它们的
商是一个新的共轭复数。
具体的计算方法是，先将除数和被除数的乘积求出来，然后将这个乘积的实部和虚部分别除以除数的模长的平方，最后得到一个新的复数。
例如，对于两个共轭复数a+bi和c+di，它们的除法可以表示为[(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
共轭复数的四则运算包括加减乘除四种运算，它们的计算方法和实数的四则运算有些类似，但是需要注意的是，在计算中要特别注意虚部的处理，以避免出现错误的结果。
因此，我们在进行共轭复数的四则运算时，一定要仔细和认真地计算，以确保得到正确的结果。
共轭复数
2、减法： 设Z1=a+bi(a,b∈R)
Z2=c+di(c,d∈R)
则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di) 两个复数的差依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的差，它的虚部是原来的两个复数虚部的差
例1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-I)-(3+4i)
* n n
所有可能的取值.
练习:
(A) 1
1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A )
(B) -1 (C) 0 (D) i
四、复数的除法 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
a bi 记做 (a bi ) (c di )或 . c di
a bi (a bi)(c di) (a bi) (c di) c di (c di)(c di) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
(a bi ) (c di ) a bi ac bd bc ad 2 i 2 2 2 c di c d c d
例1、计算
1 i (1) 1 i 13 9i (2) (2 i ) 2
(1 2i ) 2 (2 i ) 2 2 3 i 2 1000 (3) ( ) 1 i 1 i 1 i 1 2 3i
【高中课件】苏教版选修22高中数学3.2复数的四则运算课件ppt.ppt
【课标要求3．】 2 复数的四则运算
1．理解复数加法、乘法法则的合理性及复数差的定义． 2．掌握复数加减法和乘法法则，能够熟练地进行复数的
加、减法和乘法运算． 3．理解共轭复数的概念． 【核心扫描】 1．复数代数形式的四则运算法则．(重点) 2．共轭复数的概念及i的幂的周期性．(难点)
法二 (1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i) ＝－1＋i，…，(2 007－2 008i)＋(－2 008＋2 009i)＝－ 1＋i. 相加(共有1 004个式子)，得 原式＝1 004(－1＋i)＋(2 009－2 010i) ＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i ＝1 005－1 006i.
即对于，任(意z－m复)in＝数z，，(zz11，z2)zn2＝和正整1 数.m，ni，有zmzn＝－1
(3)一般地，如果n∈N*，则i4n＝ ，i4n＋1＝ ，i4n＋
2＝
，i4n＋3＝
.
4．共轭复数
当两个复数的 实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个 复数叫做 互为共轭复数 ．复数z的共轭复数用 z 来表示， 即当z＝a＋bi时， z ＝ a－bi .
(1)类比实数运算，若有括号，先计算括 号内的，若没有括号，可从左到右依次进行．
(2)算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再 确定复数的实部和虚部，最后实部、虚部分别相加 减．
【变式1】 计算(1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． 解 (1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)] ＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i.
《复数的四则运算》复数PPT课件(复数的加、减运算及其几何意义)
A→C对应复数 z3－z1，A→B对应复数 z2－z1，A→D对应复数 z4－z1.
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由复数加、减运算的几何意义，得A→D＝A→B＋A→C， ∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)． ∴z4＝z2＋z3－z1 ＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i. 故 AD 的长为|A→D|＝|z4－z1| ＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2 10.
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知识点三 复数减法的几何意义 预习教材，思考问题 (1)平面向量O→Z1－O→Z2的几何意义是什么？ [提示] O→Z1－O→Z2的几何意义是从向量O→Z2的终点指向向量O→Z1的终点的向量Z→2Z1.
(2)我们知道复数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系，按照平面向 量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？ [提示] 能．复数 z1－z2 的几何意义就是向量O→Z1－O→Z2对应的复数．
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1．设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且 z1＋z2＝5－6i，求 z1－z2. 解析：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi， ∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i， ∴x2＋ －3y＝＝－5，6， 解得xy＝＝82，， ∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
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复数代数形式的加、减法运算技巧 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部． (2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把 实部与实部、虚部与虚部分别相加减． (3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左 到右依次进行计算．
共轭复数的运算性质
例3 证明 z1 z2 2 z1 2 z2 2 2Re(z1 z2 )
证明：z1 z2 2 z1 z2 z1 z2
z1 2 z2 2 z1 z2 z2 z1 z1 2 z2 2 z1 z2 z1 z1 z1 2 z2 2 2 Re(z1 z2 )
Argz arg z 2k k 0, 1, 2,
注意：z 0 时，辐角不确定。
下面给出arg z与arctan y 之间的关系
arc
tan
y x
,当x
x
0, y
0;
2
,
当x 0, y 0;
arc
tan
y
,当x
0,
y
0;
arg z
z0
共轭复数的运算性质
(1) z1 z2 z1 z2; (z1z2 ) z1z2;
( z1 ) z1 z2 z2
(2) z z 3zz x2 y2 Re z2 Im z2
(4)z z 2 Re(z) z z 2i Im(z)
例1.1设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 证明 z1 z2 z1 z2 2 Re(z1 z2 ).
三、复数的表示方法
1. 点的表示法 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示法
复数z x iy 一对有序实数 x, y,
2、1777年，瑞士数学家Euler建立了 系统的复数理论，发现了复指数函数和三 角函数之间的关系，创立了复变函数论的 一些基本定理，并开始把它们应用到水力 学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位， 也是Euler首创的。
共轭复数
一、复数的加、减法
1、加法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di)
两个复数的和依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的和，它的虚部是原来的两个复数虚部的和
交换律： 结合律：
Z1+Z2=Z2+Z1 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
练习: 1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A ) (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) i
四、复数的除法
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
记做(a bi) (c di)或 a bi . c di
(C)若Z1
Z2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0,
则Z1与Z
互
2
为
共
轭
复
数
。
(D)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互
2
为
共
轭
复
数
。
三、复数的乘法
已知两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则 z1·z2=(ac-bd)+(bc+ad)i
复数的乘法满足交换律,结合律以及 分配律,即有 :
z1z2 z2 z1 (z1z2 )z3 z1(z2z3 ) z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3
共轭复数求实部
共轭复数求实部
共轭复数(z) z=a+bi z=a-bi
共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。
当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。
（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。
根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 zˊ=a－bi（a,b∈R)。
共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。
两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反.。