圆幂定理及其证明
圆幂定理及其证明
圆幂的定义假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂；若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2；综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。
圆幂恒大于或等于零。
圆幂的由来过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。
则PA·PB=PC·PD。
若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幂。
（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。
圆幂定理定理内容过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有。
[1]圆幂定理的所有情况考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与M、N，R为圆的半径，则有圆幂定理的证明图Ⅰ：相交弦定理。
如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。
相交于点P，连接AB、BD，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。
所以有：，即：图Ⅱ：割线定理。
如图，连接AD、BC。
可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，同上证得图Ⅲ：切割线定理。
如图，连接AC、AD。
∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有易证图Ⅳ：PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此所以PA=PC，所以综上可知，是普遍成立的。
证明完毕。
圆幂定理浙教版八年级上册
圆幂定理浙教版八年级上册圆幂定理是几何学中一个重要的定理，出现在我国初中数学教材的八年级上册。
它涉及到圆、线段、角度等几何元素，为我们解决实际问题提供了有力的工具。
下面，我们将详细介绍圆幂定理的相关内容。
一、圆幂定理的定义及意义圆幂定理是指：在同一个圆中，相交弦（非直径）的长度乘以其所对的圆心角的正弦值，等于两弦端点与圆心构成的直角三角形的面积的两倍。
用数学公式表示为：AC × sinA = 2 × △ABC的面积。
这个定理在实际应用中具有很大的价值，可以帮助我们快速计算几何图形的面积、周长等参数。
二、圆幂定理的应用1.求解弦心距：已知弦长和弦所对的圆心角，可以利用圆幂定理求解弦心距。
2.求解三角形面积：已知三角形的一条边和对应的角度，可以利用圆幂定理求解三角形面积。
3.求解圆的半径：在已知弦长和弦所对的圆心角的情况下，可以利用圆幂定理求解圆的半径。
4.求解扇形面积：已知扇形的半径和圆心角，可以利用圆幂定理求解扇形面积。
三、圆幂定理的证明证明圆幂定理的方法有很多，这里我们以向量法为例进行证明。
设圆心为O，弦AB的两端点分别为A、B，圆心角为AOB，弦心距为OC。
根据向量加法、减法及数乘运算，我们可以得到以下关系：1.OA × OB = OC × OA + OC × OB2.OC × OA = △AOC的面积× 23.OC × OB = △BOC的面积× 2将上述三个式子相加，可以得到：OA × OB +OC × OA + OC × OB = 2 × (△AOC的面积+ △BOC的面积)根据向量数量积的性质，我们知道：OA × OB = △AOB的面积× R（R为圆的半径）将上式代入前面的等式，可以得到：△AOB的面积× R + OC × OA + OC × OB = 2 × (△AOC的面积+△BOC的面积)整理后，我们可以得到圆幂定理的公式：AC × sinA = 2 × △ABC的面积四、总结与拓展圆幂定理是几何学中的一个基本定理，掌握它有助于我们更好地解决实际问题。
圆幂定理三大结论证明
圆幂定理是解决圆与直线之间的关系的重要定理，其三大结论证明如下：两条相交的弦所对应的弧所构成的圆周幂相等。
证明：设两条相交的弦AB、CD所对应的弧为a、b，交点为E。
则AE·EB=CE·ED，即AE·(AE+EB)=CE·(CE+ED)，化简得AE²-CE²=ED·CE-EB·AE，即(AE+CE)(AE-CE)=ED·CE-EB·AE，因为AE+CE=AD，所以AD·BD=ED·CE-EB·AE，即AD·BD=AB·EC，故得证。
一条切线与圆相交所得的切线段的平方等于这条切线外部点到圆的距离的平方。
证明：设切线与圆相交于点A、B，圆心为O，连接OA、OB，垂直于切线的直线与切线相交于点C，连接OC，过点B作圆的直径DE，则OC垂直于DE，且OC=OD，OE是半径，故OE ²=OC·OD。
因为OC²=OB²+BC²，所以OE²=OB²+BC²-OD²，即OB²=OE²-BC²，故得证。
直线段在圆内部或圆上所作的两条割线所对应的线段的乘积等于这条直线段与其所在圆的距离的平方减去圆的半径的平方。
证明：设直线段为AB，圆心为O，半径为r，与直线段相交于点C、D，连接OC、OD、OE，过点E作圆的直径EF，则OC·OD=(OE-CE)·(OE+DE)=OE²-CE·DE，因为CE·DE=AE·BE，所以OC·OD=OE²-AE·BE，故AE·BE=OB²- r²，即得证。
五大圆幂定理证明
五大圆幂定理证明五大圆幂定理是指：1. 圆内接正多边形的边数是多边形周长与直径之比的平方。
2. 圆外切正多边形的边数是多边形周长与直径之比的平方。
3. 任意一个正n边形的内切圆半径等于半径与n之和的1/n。
4. 任意一个正n边形的外接圆半径等于半径的n倍。
5. 任意一个正n边形的周长等于n倍的外接圆周长。
下面给出五大圆幂定理的证明：1. 周长与直径之比的平方设正n边形的周长为P，直径为d，则n个边的长度之和为2P/n。
因为每个边上的弧长等于周长除以360度，所以每个边的长度为(2P/n)/360度。
因为正n边形的每个内角都相等，所以内角和为(180度/n) * n，即180度。
因此，每个边所对的圆心角为180度除以n，即36度。
又因为圆周角的大小与圆心角的大小成正比，所以每个圆周所对的圆心角为36度，即每个圆周的长度为2πr，其中r为圆的半径。
因此，每个边的长度等于2πr * (2/360) * n，即πr/3。
因此，直径d等于πr/3，周长P等于3πr，所以正n边形的边数n等于周长P除以直径d的平方，即n=3P/d²。
2. 外切正多边形的边数是周长与直径之比的平方证明同上，只是将周长P替换为周长与直径之比的平方P/d²。
3. 内切圆半径等于半径与n之和的1/n设正n边形的边长为a，内接圆的半径为r，则内接圆的周长为2πr，因为内接圆与正n边形相切，所以内接圆的周长等于正n边形的周长除以n，即2πr=P/n。
因此，πr=P/n，即r=P/nπ。
又因为内接圆的半径等于边长a与半径r之差的一半，即r=a-(a/2r)=a*(1-1/n)，所以a=2r/n。
因此，内切圆半径等于半径与n之和的1/n，即r=P/2nπ/(n-1)。
4. 外接圆半径等于半径的n倍设正n边形的边长为a，外接圆的半径为R，则外接圆的周长为2πR，因为外接圆与正n边形相切，所以外接圆的周长等于正n边形的周长除以n，即2πR=P/n。
圆幂的定理
圆幂的定理
圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。
具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过一个点P，与一个圆相交于点M和点N，那么这个点P到圆的两个切线段PM和PN的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的半径的平方，即可以表示为PM * PN = PO^2 - r^2。
圆幂定理可以推广到两个圆相交的情况下，即如果有两个圆分别为圆A和圆B，并且它们相交于点M和点N，那么点M和点N到这两个圆心的线段的乘积等于这两个圆心到点M和点N的距离的乘积，即可以表示为MA * MB = NA * NB。
这个式子即为圆A关于圆B的圆幂定理。
圆幂定理有许多应用，其中一个重要的应用是求解圆的切线长度。
通过圆幂定理，可以求解出切线与切点之间的关系，进而解决与圆切线相关的几何问题。
圆幂定理切割线定理
圆幂定理切割线定理圆幂定理圆幂定理是解决圆与直线之间关系的重要工具。
它描述了一个点到圆的两条切线段的乘积等于该点到圆心距离的平方减去圆半径的平方。
定义设有一个圆O，其半径为r，圆心为C。
假设有一条直线L穿过点P，并且与圆O相交于点A和B。
则点P到直线L的两条切线段PA和PB 满足以下公式：PA × PB = (PC² - r²)其中，PA和PB分别表示点P到A和B的距离，PC表示点P到C的距离。
证明首先，我们可以通过勾股定理得出三角形OPC中OC² = OP² + PC²。
然后，我们可以使用相似三角形OPA和OPB来证明这个公式。
因为OA和OB是切线，所以∠OPA = ∠OPB = 90°。
同时，因为OA=OB=r，所以三角形OAB是等腰三角形。
因此，在三角形OPA中，我们可以使用勾股定理得出：PA² = OP² - OA²= OP² - r²同样，在三角形OPB中，我们可以使用勾股定理得出：PB² = OP² - OB²= OP² - r²将这两个等式相乘，得到：PA × PB = (OP² - r²) × (OP² - r²)= (OP² - r²)²= PC² - r²因此，圆幂定理得证。
应用圆幂定理在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
以下是其中的一些例子：- 在几何学中，圆幂定理可以用来解决关于切线、割线和弦的问题。
- 在物理学中，圆幂定理可以用来计算光线通过透镜或曲面镜时的焦距。
- 在工程学中，圆幂定理可以用来设计机械零件和建筑结构。
切割线定理切割线定理是解决两个相交圆之间关系的重要工具。
它描述了两个相交圆之间的切割线段长度乘积等于该点到两个圆心距离之差的平方。
圆幂定理
圆幂定理定义圆幂=PO^2-R^2|所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
（推论）过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B （可重合，即切线），L2与圆交于C、D。
则PA·PB=PC·PD。
若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幂。
（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。
（这就是“圆幂”的由来）证明圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）问题1相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。
∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PA·PB=PC·PD问题2割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD 证明：（令A在P、B之间，C在P、D之间）因为ABCD为圆内接四边形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC与三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言：∵PT 切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT^2=PA·PB（切割线定理）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）问题3过点P任作直线交定圆于两点A、B，证明PA·PB为定值（圆幂定理）。
高中数学-圆幂定理(教师版)
补充内容：圆幂定理一、圆幂定理及其逆定理：（1）割线定理：设过圆O 外一点P 的两直线分别与圆O 交于点B A ,和D C ,，则PD PC PB P A ⋅=⋅，反之PD PC PB P A ⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆（2）相交弦定理：圆O 的两条弦CD AB ,相交于点P ，则PD PC PB P A ⋅=⋅，反之过点P 的两直线上四点D C B A ,,,满足PD PC PB P A ⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆（3）切割线定理：设直线P A 与圆切于点T ，过点P 的直线交圆于C B ,两点，则PBP A PT ⋅=2证明：（1）连接BC AD ,，由圆的性质D B ∠=∠，所以P AD ∆∽PCB ∆所以⇒=PBPDPC P A PD PC PB P A ⋅=⋅（2）连接BC AD ,，则C A ∠=∠，B D ∠=∠，所以P AD ∆∽PCB ∆所以⇒=PBPDPC P A PD PC PB P A ⋅=⋅（3）连接TB TA ,，则PBT PTA ∠=∠，所以PTA ∆∽PBT ∆所以⇒=PTP APB PT PB P A PT ⋅=2二、圆幂定理的应用例1.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且2=OP ，弦BD AC ,均过点P ，则下列说法正确的是A.0)(=⋅+DB OB ODB.PC P A ⋅为定值C.OC OA ⋅的取值范围为]0,2[-D.当BD AC ⊥时，CD AB ⋅为定值解析：连接OP OD OC OB OA ,,,,，直线OP 交圆O 于F E ,，设BD 的中点S ，则BD OS ⊥02)(=⋅=⋅+DB OS DB OB OD ，A 正确；由相交弦定理得PF PE PC P A PC P A ⋅-=⋅-=⋅242)()(22-=-=-=+⋅--=R OP OP R OP R ，B 正确；取AC 的中点M ，则OCOA ⋅42)4(4122222-=--=-=OM OM OM AC OM ，又OPOM ≤≤0即]2,0[∈OM ，所以OC OA ⋅]0,4[-∈，所以C 错误；当BD AC ⊥时，)()(PC PD P A PB CD AB -⋅-=⋅4)4(222-=--=⋅-=⋅-⋅-=⋅+⋅=OP PF PE PC P A PD PB PC P A PD PB ，D 正确例2.在平面直角坐标系xOy 中，设直线2+-=x y 与圆)0(222>=+r r y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OB OA OC 4345+=，则=r （）A.22 B.5C.3D.10r ===，设θ2=∠AOB ，则将OB OA OC 4345+=平方得θ2cos 3092516163016916252222222r r r r OB OA OB OA OC ++=⇒⋅++=432cos -=⇒θ55cos 531cos 22=⇒-=-⇒θθ，所以圆心到直线2+-=x y 的距离为θcos 22r =10552==⇒=⇒r r ，故选D例3.在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：322=+y x ，),2(m T ，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且MT AB 2=，则实数m 的取值范围是（）A.]0,2[- B.]2,0( C.]2,2[- D.)2,2(-解法1：设),(y x M ，连OM ，由垂径定理知AB OM ⊥⇒32222=+=+MT OM MB OM 42)2()1(3)()2(2222222m m y x m y x y x -=-++⇒=-+-++⇒，所以点M 在以)2,1(m D -为圆心，222m -为半径的圆上，又点M 为圆O 的弦AB 的中点，所以点M 在圆O 内，所以两圆内含，所以223)2()1(222m m --<+-0)1(22>+⇔m ，只需022>-m 解得22<<-m ，即实数m 的取值范围是]2,2[-，故选C解法2：因为M 为弦AB 的中点，且MT AB 2=，所以090=∠ATB ，过点T 作圆的切线TF TE ,，F E ,为切点，则只需090≥∠ETF 即可，所以045≥∠OTE ，所以OTE∠sin 6223≤⇒≥=OT OT ，所以642≤+m ，解得22≤≤-m ，故选C例4.在平面直角坐标系xOy 中，直线kx y =与圆C ：5)36()27(22=-+-y x 交于B A ,，则=⋅OB OA 解析：过点O 作圆C 的切线OT ，T 为切点，则由切割线定理得20205362722222=-+=-==⋅R OC OT OB OA 例5.在平面直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(P 在圆C ：01422222=+-+-++m m y mx y x 内，若存在过点P 的直线交圆C 于B A ,两点，且PBC ∆的面积是P AC ∆的面积的2倍，则实数m 的取值范围为解析：圆C ：m y m x 4)1()(22=-++，圆心)1,(m -，半径为m r 2=，所以0>m 点P 在圆C 内40014212<<⇒<+-+-⇒m m m设AB 的中点为D ，t AP 2=，则t PD =，圆心到直线AB 的距离为d ，由PBC ∆的面积是P AC ∆的面积的2倍可知P A PB 2=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇐⎪⎩⎪⎨⎧=+=+mt d mt d r P A CD CP PD CD 492222222222222849d m m =-⇒，因为220m d <≤，所以494849022<≤⇒<-≤m m m m 当94=m 时，C B A P ,,,四点共线，不能构成三角形，所以m 的取值范围为)4,94(例6.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：3)()2(22=-++m y x ，若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且GO AB 2=，则实数m 的取值范围是解析：类例3，]2,2[-例7.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为23，21,F F 分别为椭圆E 的左右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段21F F 为直径的圆经过点P ，线段P F 1与y 轴交于点B ，且611=⋅B F P F （1）求椭圆E 的方程（2）设动直线l 与椭圆E 交于N M ,两点，且0=⋅ON OM ，求证：动直线l 与圆5422=+y x 相切解析：（1）设椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x ，c F F 221=，因为211F PF O BF ∠=∠，2211π=∠=∠PF F BOF ，所以BO F 1∆∽P F F 21∆，所以P F O F F F B F 11211=21111F F O F B F P F ⋅=⋅⇒3622=⇒==c c ，所以1,2233==⇒==b a a e ，所以椭圆E ：1422=+y x （2）设OM 的倾斜角为θ，则)sin ,cos (θθOM OM M ，))90sin(),90cos((00±±θθON ON M ，又点N M ,在椭圆上，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=±+±=+22222202202222224cos 4sin 4sin 4cos 1)90(sin 4)90(cos 4sin 4cos ON OM ON ON OM OM θθθθθθθθ两式相加得4511541442222=+⇒=+=+ONOMONOM，设原点到直线MN 的距为d 由5421212222222=+=⇒=+=∆ONOM ON OM d ON OM d ON OM S OMN所以动直线l 与圆5422=+y x 相切。
圆幂定理
一知识再现1. 圆幂定理一般地，把相交弦定理、切割线定理、割线定理等统称为圆幂定理。
它的基本内容是，在平面上经过；点P的直线与⊙O相交于A、B两点，有向线段PA、PB的乘积PA·PB是一个定值。
如下列图形，经过一定点P作圆的弦或割线或切线，设⊙O半径为R在图(1)中，PA·PB＝PC·PD=PE·PF＝(R-OP)(R-OP)=R2-OP2在图(2)中，PA·PB＝PT2=OP2-OT2==OP2-R2在图(3)中，PA·PB＝PC·PD= PT2==OP2-R2可得PA·PB均等于，为一常数，所以叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.2.角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，则AD ：DC=AB ：BC 3.平行线分线段定理定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.二 例题讲解例1如图4AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB = 10cm ，P A : PB = 2 : 3，OP = 5cm ，则⊙O 的半径等于 ．解析：设⊙O 的半径为R ．∵AB = 10cm ，P A : PB = 2 : 3，∴PA = 4 cm ，PB = 6 cm ． 由相交弦定理，得P A ·PB = PC ·PD = R 2－OP 2，即4×6 = R 2－52． 所以，R = 7． 故⊙O 的半径等于7 cm ． 例2．如图5，已知P AC 为⊙O 的割线，连接PO 交⊙O 于B ，PB = 2，OP = 7，P A= AC ，则P A 的长为（ ）A ．7B ．23C ．14D ．32解析：延长PO 交⊙O 于D ．∵PB = 2，OP = 7，∴OB = 5，即PC = 12． 由切割线定理的推论，得 P A ·AC = PB ·PC ． ∵P A = AC ，∴2 P A 2 = 2×12． 所以，P A = 23．故应选B ．一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
4个圆幂定理及其证明
相交弦定理欧阳学文如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD 证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。
∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法.CB切割线定理如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC²=TA·TB证明：连接AC、BC∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A又∠ATC=∠BTC∴△ACT∽△CBT∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT²=AT·BT弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。
过点A作T P的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90∠OCD∵∠BOC=1802∠OCD∴,∠BOC=2∠TCB切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
如图中，切线长AC=AB。
∵∠ABO=∠ACO=90°BO=CO=半径AO=AO公共边∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）∴AB=AC∠AOB=∠AOC∠OAB=∠OAC割线定理如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD证明:连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD∴由圆周角定理，得∠A=∠C又∵∠APD=∠CPB∴△ADP∽△CBP∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。
圆与相似综合题的有关定理
圆和相似综合题有关定理1、圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。
）2、托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。
已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：AB·CD + BC·AD = AC·BD证明：在∠BAD 内作∠BAE=∠CAD ，交BD 于E 。
因∠ABE=∠ACD ，所以△ABE ∽△ACD ，从而AB BE ACCD =得 AB·CD = AC·BE ①； … 易证△ADE ∽△ACB ，从而BC AC DE AD = 得BC·AD = AC·DE ②； ①+② 得AB·CD + BC·AD = AC （BE+DE ）= AC·BD定理 图形已知 结论 证法 相交*弦定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于点P 。
PA·PB ＝PC·PD 连结AC 、BD ， 证：△APC ∽△DPB 切 、割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于点T ，割线PB 交⊙O 于点A 。
PT 2＝PA·PB连结TA 、TB ， 证：△PTB ∽△PAT }割线定理PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C 两点。
PA·PB ＝PC·PD ~ 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 C E3、弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角称为弦切角。
弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角。
}弦切角定理的证明：已知：AP切⊙O于P，PQ是弦，则∠APQ是弦切角，∠APQ夹的弧是弧PQ，弧PQ所对的圆周角记为∠PCQ证明：∠APQ=∠PCQ （弦切角的位置分以下三种情况）】1°圆心O在∠APQ外部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°#则有∠APB=∠BCP，即∠APQ+∠BPQ=∠BCQ+∠PCQ由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APQ=∠PCQ2°圆心O在∠APQ的一边，PQ上此时PQ是直径，则PQ⊥AP，∠APQ=90°而且∠PCQ是直径PQ所对的圆周角，∠PCQ=90°所以∠APQ=∠PCQ3°圆心O在∠APQ内部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°则有∠APB=∠BCP由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APB+∠BPQ=∠BCP+∠BCQ即∠APQ=∠PCQ。
圆幂定理及其证明
圆幂的定义假设平面上有一圆O，其半径为R,有一点P在圆O外，则ＯP＾2-Ｒ＾2即为P 点到圆O的幂;若Ｐ点在圆内，则圆幂为Ｒ^２-OP^２;综上所述,圆幂为|OＰ^2-R＾2｜。
圆幂恒大于或等于零。
圆幂的由来过任意在圆O外的一点P引一条直线L１与一条过圆心的直线Ｌ2,Ｌ1与圆交于Ａ、Ｂ（可重合,即切线）,L2与圆交于C、Ｄ。
则PA·PB＝PC·PＤ。
若圆半径为r,则PC·ＰD=(ＰO-r）·（PO+r)=PＯ^2－r^２＝|ＰＯ^2－r^２| (要加绝对值,原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幂。
(事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^２-PO^２=|PO＾2－r＾2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B,那么ＰA·ＰB等于圆幂的绝对值。
圆幂定理定理内容过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于Ａ、B(可重合,即切线）,L2与圆交于C、D(可重合），则有。
[１］圆幂定理的所有情况考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与Ｍ、N,R为圆的半径,则有圆幂定理的证明图Ⅰ：相交弦定理。
如图，AB、ＣD为圆O的两条任意弦。
相交于点P，连接AB、BＤ,由于∠Ｂ与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B＝∠D,同理∠A=∠C,所以。
所以有:,即:图Ⅱ:割线定理。
如图,连接AD、ＢC。
可知∠B=∠D，又因为∠Ｐ为公共角,所以有,同上证得图Ⅲ：切割线定理。
如图，连接AＣ、AD。
∠ＰAC为切线PA 与弦AC组成的弦切角,因此有∠ＰAC=∠D,又因为∠P为公共角，所以有易证图Ⅳ:PＡ、PC均为切线,则∠PAO=∠ＰCO=直角,在直角三角形中:ＯC=OA＝R，PO为公共边,因此所以PA=ＰＣ,所以综上可知,是普遍成立的。
证明完毕。
圆幂定理 圆幂的定义
圆幂定理圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下：OP^2-R^2所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
进一步升华（推论）：过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。
则PA·PB=PC·PD。
若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （一定要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幂。
（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
（这就是“圆幂”的由来）[编辑本段]证明圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）相交弦定理：相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。
∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD割线定理：割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线是得到切线定理PA^2=PC*PD 证明：（令A在P.B之间，C在P.D之间）因为ABCD为圆内接四边形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC与三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD切割线定理：切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA·PB（切割线定理）推论从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线∴pd·pc=PA·PB（切割线定理推论）问题3：过点任作直线交定圆于两点、，证明为定值（圆幂定理）．证：以为原点，设圆的方程为①过的直线为则、的横坐标是方程的两个根、．由韦达定理于是圆①也可以写成①′其中为圆的半径的平方．所说的定值也就是（原点）与圆心的距离的平方减去半径的平方．当在圆外时，这就是自向圆所引切线（长）的平方．这定值称为点到这圆的幂．在上面证明的过程中，我们以为原点，这样可以使问题简化．如果给定点，未必是原点，要求出关于圆①的幂（即），我们可以设直线的方程为②③是的倾斜角，表示直线上的点与的距离．将②③代入①得即，是它的两个根，所以由韦达定理④是定值④是关于①的幂（当是原点时，这个值就是）．它也可以写成④′即与圆心距离的平方减去半径的平方．当在圆内时，幂值是负值；在圆上时，幂为0；在圆外时，幂为正值，这时幂就是自向圆所引切线长的平方．以上是圆幂定理的证明，下面看一看它的应用．问题4：自圆外一点向圆引割线交圆于、两点，又作切线、，、为切点，与相交于，如图8．求证、、成调和数列，即证：设圆的方程为⑤点的坐标为，的参数方程为⑥⑦其中是的倾斜角，表示直线上的点与的距离．⑥⑦代入⑤得即、是它的两个根，由韦达定理⑧另一方面，直线是圆的切点弦，利用前边的结论，的方程为⑦⑧代入得因此，这个方程的根满足⑨综合⑧⑨，结论成立．可以证明，当在圆内时，上述推导及结论仍然成立．说明：问题4的解决借用了问题3的方法，同时我们也看到了问题4与问题1、问题2的内在联系．。
圆幂定理证明
圆幂定理证明
引言：
圆幂定理又称华罗庚公式，它表明在多项式中，二次项、四次项等次项的系数可以从非二次项的系数中求出来，它最早由科学家英国自然哲学家华罗庚在16世纪完成。
圆幂定理的性质：当z的n次幂展开时(z的n次幂为z的n个相同的因子)，各项系数满足公式：a（n）=（ -1）^( n-1 ) / ( n - 1 )! * 求和（k= 0到 n-1） [n^k 开始 * a （k）]，其中 n 称作次数，k 称作幂数。
证明：
首先，假设z的n次幂有如下公式：z^n = a0 +a1z+...+an-1zn-1 + anzn
我们分类讨论，首先当n为偶数时，如：
z^2 =a0+a1z+a2z^2
因为每一项的系数都是可以由未知系数a0,a1,a2求出来，即：
a0 = ( -1 )^ 1 / 1! * 求和（k= 0到 1） [2^k * a（k）]
当n为奇数时，如：
通过上述两种情况的分析，当n为任意正整数时，它们满足的条件都是一样的，即：a（n）=（ -1）^( n-1 ) / ( n - 1 )! * 求和（k= 0到 n-1） [n^k * a（k）]，其中n 称作次数，k 称作幂数。
圆幂定理 证明 知乎
圆幂定理证明知乎
圆幂定理是指在一个平面内，对于一个点P和两个相交的
圆C1和C2，如果从P到C1的两个切线分别与C2相交于A
和B，那么PA*PB等于P到两个切点的线段长度的乘积。
证明圆幂定理可以分为以下几个步骤：
步骤1：证明PA*PB的值与P到两个切点的线段长度的乘积
有关。
假设P到C1的两个切点分别为X和Y，那么根据相似三角
形的性质，可以得到△PAX∽△PYB。
因此，可以得到
PA/PY=PX/PB，即PA*PB=PX*PY。
步骤2：证明PX*PY等于P到C1和C2的切线之间的距离的
平方。
设P到C1和C2的切线之间的距离为d，那么可以得到
△PAX∽△PYB，因此可以得到PX/PY=AX/YB。
又因为AX=PY，YB=PX，所以可以得到PX*PY=AX*YB=d^2。
综上所述，可以得到PA*PB=d^2，即圆幂定理成立。
这是圆幂定理的证明过程的一个简单描述，具体的证明过
程可能会涉及到更多的几何推理和性质的运用。
【初中数学】圆幂定理
【初中数学】圆幂定理圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳，所以目前书上已经把这个定理删除了，也作为补充知识点介绍。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：（1）相交弦定理（2）切割线定理（3）割线定理从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。
经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。
圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。
具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过了一个P点，与一个圆相交于点A和点B，那么这个点P到点A、点B的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的平方的绝对值，即可以表示为：PA·PB=|PO²-r²|（r表示圆的半径）.如何证明这个定理呢？就需要分三种情况讨论，点P与圆的位置关系。
我们非常清楚，点与圆的位置关系只有三种：圆外、圆上、圆内。
1、点P在圆外如图，点P在⊙O外部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：如图，延长PO交⊙O与点D.由割线定理可得：PA·PB=PC·PD∵ PC=PO+OC，PD=PO+OD，OC=OD=r∴ PC=PO+r，PD=PO+r∴ PA·PB=（PO+r）（PO-r）∴ PA·PB=PO²-r²=|PO²-r²|2、点P在圆内如图，点P在⊙O内部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：延长PO交⊙O于C、D两点根据相交弦定理，得：PA·PB=PC·PD∵ PC=OC-PO，PD=PO+OD，OD=OC=r∴ PC=r-PO，PD=PO+r∴ PA·PC=（r-OP）（PO+r）∴ PA·PC=r²-PO²=|PO²-r²|3、当点P在圆上通过以上两种情况的证明可得，PA·PB=|PO²-r²|，那么当P点在圆上时，P、A 两点重合，故PA=0，OP=r，所以PA·PB=0，PO²-r²=0，所以也成立。
圆中的重要模型-圆幂定理模型(解析版)
圆中的重要模型--圆幂定理模型圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。
可能是在19世纪由德国数学家施泰纳(Steiner )或者法国数学家普朗克雷(Poncelet )提出的。
圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
模型1.相交弦模型条件：在圆O 中，弦AB 与弦CD 交于点E ，点E 在圆O 内。
结论：△CAE ∼△BDE ⇒EC EB =EA ED⇒EC ⋅ED =EB ⋅EA 。
1(2023·广东广州·九年级校考期中)如图，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD =13，PD =4，两圆组成的圆环的面积是．【答案】36π【分析】连接AC ，BD ，OP ，OA ，先根据切线的性质定理和垂径定理证出PA =PB ，再证明△APC ∽△DPB ，得到AP DP =CP BP，代入数据求得AP =BP =6，最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解．【详解】解：如图，连接AC ，BD ，OP ，OA ，∵大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，∴OP ⊥AB ，∴PA =PB ，OA 2-OP 2=AP 2，∵CD =13，PD =4，∴PC =13-4=9，∵∠BAC =∠BDC ，∠C =∠B ，∴△APC ∽△DPB ，∴AP DP =CP BP ，即AP 4=9BP，解得：AP =BP =6(负值舍去)，∴圆环的面积为：π⋅OA 2-π⋅OP 2=π⋅AP 2=36π，故答案为：36π．【点睛】此题综合运用了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、圆环的面积公式，分别求出大圆和小圆的半径是解题的关键．2(2023·江西景德镇·九年级校考期末)如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD=2，AD=3，BD=4，那PB=．【答案】20.【分析】连接AC，BT，AT，易证∆CAD~∆BTD，得到TD=6，易证：∆BTP~∆TAP，得：TP2=AP⋅BP，设PB=x，则AP=x+7，TP2=(x+7)⋅x，PD=x+4，根据勾股定理，即可求解.【详解】连接AC，BT，AT，∵∠CAD=∠BTD，∠ADC=∠TDB，∴∆CAD~∆BTD，∴CD BD =ADTD，即：24=3TD∴TD=6，∵PT是⊙O的切线，T为切点，∴∠BTP+∠BTD=90°，∵CT是直径，∴∠CAD+∠TAP=90°∵∠CAD=∠BTD，∴∠BTP=∠TAP，∵∠P=∠P，∴∆BTP~∆TAP，∴TPAP =BPTP，即：TP2=AP⋅BP，设PB=x，则AP=x+7，TP2=(x+7)⋅x，PD=x+4，∵在Rt∆DPT中，DT2+PT2=PD2，∴62+(x+7)x=(x+4)2，解得：x=20，故答案是：20.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理与圆的性质的综合，根据题意，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键.3(2023·江苏·九年级专题练习)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦AB，CD交于点P，求证：．(2)如图②，已知AB是⊙O的直径，AB与弦CD交于点P，且AB⊥CD于点P，过D作⊙O的切线，交BA的延长线于E，D为切点，若AP=2，⊙O的半径为5，求AE的长．【答案】(1)PA ⋅PB =PC ⋅PD ，证明见解析(2)103【分析】(1)先证明△ACP ∽△DBP ，再利用相似的性质即可；(2)利用(1)可知PA ⋅PB =PC ⋅PD ，求出PD ，再证明△OPD ∼△DPE ，利用相似的性质求出PE ，求差即可得到AE 的长．【详解】(1)求证：PA ⋅PB =PC ⋅PD ．证明：连接AC 、BD ．如图①．∵∠A =∠D ，∠C =∠B ．∴△ACP ∽△DBP ．∴AP PD =PC BP．∴PA ⋅PB =PC ⋅PD ．(2)解：∵AP =2，OA =5，PB =10-2=8．由(1)可知PA ⋅PB =PC ⋅PD ．∴PC ⋅PD =16．∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，PC =PD ，PD =4．连接OD ．如图②．∵DE 为切线．∴∠EDO =90°．∵∠1+∠2=90°．∠E +∠2=90°．∴∠1=∠E ．∴△OPD ∼△DPE ．∵OP PD =PD PE，∴OP ⋅PE =PD ⋅PD ．∴16=3PE ，PE =163．又∵AP =2．∴AE =163-2=103．【点睛】本题考查了圆的相关性质，三角形相似的判定与性质，严格的逻辑思维和严密的书写过程是解题的关键．模型2.双割线模型条件：如图，割线CH 与弦CF 交圆O 于点E 和点G 。
圆幂定理
圆幂定理圆幂定理就是对相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论统一归纳的结果。
ﻩﻩﻩﻩ圆幂=PO^2-Ｒ^2(该结论为欧拉公式)所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零。
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线与割线,切线长就是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于Ａ、B;C、D,则有PA·PB=PＣ·PＤ。
线),L2与圆交于C、D(可重合),则有ＰA·PB=PC·PD。
问题１相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
证明:连结AC,BD,由圆周角定理的推论,得∠A=∠Ｄ,∠C=∠B。
∴△ＰAＣ∽△PDＢ∴ＰＡ/PD=PC/ＰＢ∴PＡ·PB=PC·PＤ问题２割线定理:从圆外一点Ｐ引两条割线与圆分别交于Ａ、B.C、D 则有PA·PB=PC·PD,当ＰA=ＰB,即直线AＢ重合,即ＰA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD证明:(令A在P、B之间,Ｃ在P、D之间)∵ＡBCＤ为圆内接四边形∴∠CAB+∠CDB=１80°又∠ＣAB＋∠PAC=180°∴∠PＡC=∠CＤB∵∠APC公共∴△AＰC∽△DPＢ∴PＡ/PD=PC/PB∴PA·PB=ＰC·PＤ切割线定理:从圆外一点引圆的切线与割线,切线长就是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言:∵PＴ切⊙O于点T,PBA就是⊙O的割线∴PT＾2=PA·ＰB(切割线定理)推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PＢA、PDC就是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PＢ(切割线定理推论)问题3过点Ｐ任作直线交定圆于两点A、B,证明PA·PB为定值(圆幂定理)。
圆幂定理是平面几何中关于圆的重要定理
圆幂定理是平面几何中关于圆的重要定理
圆幂定理是平面几何中关于圆的重要定理。
它是解决圆与直线、圆与
圆之间的关系问题的基础。
圆幂定理的本质是描述了一个点到圆的距
离与这个点到圆上任意两点连线的距离之间的关系，因此它在许多实
际问题中都有广泛的应用。
圆幂定理的表述有两种形式，一种是关于点和圆的圆幂定理，另一种
是关于两个圆的圆幂定理。
关于点和圆的圆幂定理表述如下：设点P到圆O的距离为d，点P到圆上任意两点A、B的连线的距离分别为x、y，则有d² = x·y。
关于两个圆的圆幂定理表述如下：设圆O1和圆O2的半径分别为r1、r2，圆心之间的距离为d，则有r1² - d² = r2² - d²。
圆幂定理的证明可以通过相似三角形、勾股定理等几何方法来完成。
在实际应用中，圆幂定理可以用来解决许多问题，例如求解圆与直线
的交点、圆与圆的交点、判定一个点是否在圆内或圆外等问题。
在工程、地理、物理等领域中，圆幂定理也有广泛的应用。
例如在地
图制作中，可以利用圆幂定理来计算地球表面上两个点之间的距离；
在电磁学中，可以利用圆幂定理来计算电荷与电场之间的关系。
总之，圆幂定理是平面几何中非常重要的定理，它不仅具有理论意义，而且在实际应用中也有广泛的应用。
因此，我们应该认真学习和掌握
圆幂定理，以便在解决实际问题时能够灵活运用。
圆幂定理及其证明
1 / 1圆幂定理圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
图１ 图２图３ 图４一、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅）．1、证 明：如图１，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。
相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。
所以△APD ∽△BPC 。
所以AP PDAP BP PC PD PC BP=⇒⋅=⋅ 2、练习：如图２，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = cm ．二、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
（如图，PT 是O 的切线，PB 是O 的割线，则有PT ２＝ＰＡ ＰＢ）1、证明：如图３，PT 为圆切线，PAB 为割线。
连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以2PT PAPT PA PB PB PT=⇒=⋅ 2、练习 如图４，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径长= ，:CD DP =__________．三、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
（从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD ）1、证明：这个证明就比较简单了。
可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。
证相似。
存在：PA PB PC PD ⋅=⋅2、练习如下图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，已知32PA AB PC ===，，则PD 的长是( )A ．3B ．7.5C ．5D ．5.5。
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圆幂定理
圆幂的定义:一点P 对半径R 的圆O 的幂定义如下：22
OP R -
所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
（1） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。
相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。
所以△APD ∽△BPC 。
所以 AP PD AP BP PC PD PC BP
=⇒⋅=⋅ （2） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点
的两条线段长的比例中项。
如图，PT 为圆切线，PAB 为割线。
连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以
2PT PA PT PA PB PB PT
=⇒=⋅ （3） 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D 则有
PA·PB=PC·PD 。
这个证明就比较简单了。
可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。
证相似。
存在：PA PB PC PD ⋅=⋅
进一步升华（推论）：
过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于
A 、
B （可重合，即切线），L2与圆交于
C 、
D 。
则PA·PB=PC·PD 。
若圆半径为r ，则 2222()()||PC PD PO R PO R PO R PO R ⋅=-⋅+=-=-（一定要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P 到圆O 的幂。
（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值）
若点P 在圆内，类似可得定值为2222||R PO PO R -=-
故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。
（这就是“圆幂”的由来）。