稳态误差分析例题
自动控制原理--控制系统的稳态误差
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数 对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入 信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的； （2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信 号 n时t，求1t系 统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳 定的。
⑵在r t 信1t号 作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess
稳态误差分析例题
× r2(t)=t
G 2 (s)
s(s
7(s 3) 4)(/8 ess= 8/21
r3(t)=t2
8(0.5s 1)
G 3 (s) s2 (0.1s 1)
× Ⅱ型 k=8 ess=1/8
例题3 求图示系统的essn。
n(t)=1(t)
s2
An2 2 n s
n2
s0
s
得(s)
s2
0.95 3.3462 2 0.344 3.346s 3.3462
s2
10.636 2.3s 11.196
开环传递函数
G(s)
s2
10.636 2.3s 0.56
2.
Gc (s)
kc s
0 < kc < 0.12
kh
ts=3T=0.03/kh=0.3
E(s) R(s)
1
30
H(s) 1 G(s)H(s) s(s 10)
∴kh=0.1
ess= 3
例题5 1、试求出该系统的开环传递函数及参数；
2、确定串联校正装置的传递函数，使系统 对阶跃输入的稳态误差为零。
设无零点的单位反馈二阶系统h(t)曲线如图所示,
λ2k2=T1+T2
即: λ1 = 1/k2
分子只有s3项时，由终值定理可得: λ2=(T1+T2)/k2
例题2
已知单位反馈系统开
环传递函数为G(s)，输
入为r(t)，试求稳态误
差ess。
r1(t)=1(t)
10
G1(s) (0.1s 1)(0.5s 1)
解：
系统2不稳定，∴ ess→∞ 系统3的A=2， ∴ ess=1/4
3-5稳态误差的分析与计算
0型 系统
m
K (TjS 1) G(s) j1
n
(TiS 1)
i 1
抛物线输入 Ⅱ型系统
系统开环传递函数中 不含积分环节
KPlim G(s)K
s0
ess
1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
Klim SG (s)0 斜坡输入时，误差系数=0
e s 0 ss 稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
三种典型输入下对应于“0”“I”“Ⅱ”型三 种系统
有九种情况，误差的计算公式列表如下：
给定输入
给定稳态误差的终值 0型系统 I型系统 Ⅱ型系统
1(t)
1/(1+K)
0
0
t
∞1/K0源自t2/2∞∞1/K
注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下 系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加 速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不 是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输 出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。
i1 n1
(is1) (k2s2 2kks1)
k1 n2
(Tjs1) (Tl2s2 2lls1)
j1
l1
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
阶跃输入 斜坡输入
0型系统 I型系统
3. 稳态误差与系统传递系数有关
4. 稳态误差与扰动有关
本章结束
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
阶跃输入下:
e ssr
1
1 K
P
KPlimG(s) s0
第三章(4)系统的稳态误差
S ( S 2 n S n )
2 2 2
eSS lim SE(s) lim
S 0 S 0
S 2 n K d n S 2 2 n S n
2 2
2 Kd n
只要令
Kd
2
n
就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜 坡输入。
R0 ess 1 K
p
K K G ( s ) H ( s ) G0 ( s ) H 0 ( s ) S S
(3 63)
Kp
K , 0 , 1
R0 const, 0 ess 1 K , 1 0
结论:
若要求对于阶跃作用下不存在稳态误差， 则必须选用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统 .
Kd 2
n
时，稳态时系统的
输出能无误差地跟踪单位斜坡输入 )
C ( s)
—
图3-18 控制系统的方块图
证明： 闭环传递函数
(1 K d S ) n C (s) 2 R( s ) S 2 n S n 2
G 2 ( H ) G2H NE ( S ) 1 G1G 2 ( H ) 1 G1G 2 H
系统总的稳态误差:
ess lim e(t ) lim sE ( s)
t s 0
lim s RE ( s) R( s) lim s NE ( s) N ( s)
2
C ( s)
(1 K d S ) n
2 2
S 2 2 n S n
1 2 S
R(s)
2
E ( s ) R( s) C ( s) (1 K d S ) n
2
实验七 控制系统的稳态误差分析
实验七 控制系统的稳态误差分析一、 实验目的1、 研究系统在单位阶跃输入下的稳态误差变化。
2、 掌握系统型次及开环增益对稳态误差的影响。
3、 在Multisim 仿真平台上建立二阶电路，通过示波器观测控制系统稳态误差变化情况。
二、实验原理及内容构成下述环节的模拟线路，分析该实验系统的型次和不同增益时对稳态误差的影响。
图1 稳态误差分析电路图该电路图中选取信号为直流电压源，电阻和电容选用现实原件，运放和电位器选用虚拟原件。
系统的开环传递函数为：)103.0)(102.0(600)()(7++=s s R s H s G其中：R 7为电位器从系统的开环传递函数知，本系统属于0型系统，并且开环增益7600R K =，则系统的稳态误差K Ro e ss +=1。
三、实验步骤1、将开关J2断开，电位器R 7调到100K Ω进行实验，观察示波器中响应曲线稳态误差的情况（见图2）。
2、将开关J2闭合，调节电位器的数值（利用A 键），观测稳态误差的大小变化以及收敛的速度。
（1）当电位器R 7为200K Ω时，输出波形见图3（2）当电位器R 7为100K Ω时，输出波形见图4（3）当电位器R 7为50K Ω时，输出波形见图5图2 J2断开时的稳态误差分析曲线图3 R7＝200KΩ时误差分析曲线图4 R7＝100KΩ时误差分析曲线实验八 一阶系统频率特性测量一、实验目的1、加深了解系统及元件频率特性的物理概念。
2、掌握系统及元件频率特性的测量方法，根据所测得的频率特性做出波特图。
二、实验内容构成下述环节的模拟线路,使用仿真软件中的波特图一加深对惯性环节的频率特性的理解，通过测量值的变化规律得到系统的幅频特性和相频特性。
1、 测量原理若输入信号11()sin m u t U t ω=，则在稳态时，其输出信号为22()sin()m u t U t ωϕ=+，改变输入信号的角频率值ω，便可以测得两组随ω变化的值----12m mu u 和ϕ，进而可以通过测量值的变化规律得到系统的幅频特性和相频特性。
稳态误差的总结分析和例解
稳态误差的总结分析和例解控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
一、 误差与稳态误差1、输入端的定义：对图一，比较输出得到：E(s)=R(s)-H(s)*Y(s)称E(s)为误差信号，简称误差图一2、输出端的定义：将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系：E ’(s)=E(s)/H(s)输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。
图二再有误差的时域表达式：也有：e(t)= [E(S)]= [Φe (s)*R(S)]其中Φe (s)是误差传递函数，定义为：Φe (s)==根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1)e ss (∞)= =二、 系统类型一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为：[]1()()()()ts ss e t L E s e t e t -==+G(S)H(S)=K为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。
四、阶跃输入下的ess(∞)与静态位置误差系数Kpr(t)=R*1(t),则有：ess (∞)=νν用Kp表示静态位置误差系数：ess(∞)==其中： Kp=且有一般式子：Kp=ν∞ν五、斜坡输入下的ess(∞)与静态速度误差系数Kvr(t)=Rt,则有：ess (∞)=ν用Kv表示静态速度误差系数：ess(∞)==其中： Kv=六、加速度输入下的ess(∞)与静态加速度误差系数Kar(t)=Rt2/2,则有： ess (∞)=ν、用Kv表示静态速度误差系数： ess(∞)==其中： Kv=且有： Ka=、七、扰动状况下的稳态误差系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义：图三1、输入端定义法：扰动状况下的系统的稳态误差传递函数：由拉氏变换终值定理，求得扰动状况下的稳态误差为：2、输出端定义法：212()'()0()()1()()()G s E s Y s N s G s G s H s =-=-+记Φe (s) =为误差传递函数，其中G(s)为：G(s)=G 1(s)*G 2(s)*H(s)八、减小或者消除稳态误差的措施： （1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数（开环增益），以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数（扰动点之前的前向通道增益），有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。
求系统的稳态误差-太原科技大学
4
K
1 Kv
E ( s ) E ( s ) R( s )
1 R( s ) 1 Gk ( s)
1 R( s) 3 s
单位抛物线输入信号作用下系统的稳态误差 1 s 3 1 1 s ess lim R( s) 3 s 0 1 Gk ( s ) lim s 2 Gk ( s ) s
K1 T1 s 1
K2 s(T2 s 1)
C ( s) ·
1 1 K v K1K 2 n(t ) 1(t ) 时，扰动误差 G2 ( s) 1 1 essn lim s ( ) K1 s 0 1 Gk ( s ) s 线性系统符合叠加原理，给定和扰动同时作用下系统 1 1 1 K2 的误差 15 ess essr essn K1K 2 K1 K1K 2
sK 2 K 3 lim 2 0 s 0 s (T0 s 1) K1K 2 K 3 (TI s 1)
14
四、给定和扰动同时作用下系统的误差分析 例3-10 图3-15所示系统，求系统的稳态误差 N ( s)
r (t ) t
n(t ) 1(t )
R(s)
_
解： 系统开环传递函数为
12
K1
K2 s
N ( s)
· K3 C ( s) T0 s 1
N ( s)
K1
K2 s
K3 C· ( s) T0 s 1
图3-14 例3-9系统结构图 n(t ) 1(t ) K 2 K3 s K1K 2 K 3 s (T0 s 1) 1 lim Gk ( s ) ssb s (T0 s 1) s 0 1 K1K 2 K 3 s K3 s (T0 s 1) s T0 s 1 1 K 2 K3 1 ssa lim lim s 0 1 K1K 2 K 3 s K1 s 0 s (T0 s 1) K1K 2 K 3 s (T0 s 1) 有稳态误差，其值与扰动作 sK 3 lim 0 用点和误差 E ( s )之间的比例 s 0 s (T0 s 1) K1K 2 K 3 系数成反比
第六节稳态误差分析
Thursday, July 11, 2013
扰动误差与积分环节的关系
e 可见， ssn 不仅与 Gk (s), N (s)有关，还与G2 (s) 有关（扰动点到输 出点之间的那部分前向通道传递函数）。
[例子]：考虑下面两个系统。
N (s ) N (s )
R(s)
-
k1
k2 s
+
(a )
k3 C (s ) R(s) Ts 1
Thursday, July 11, 2013
2
给定输入时的稳态误差表达式
一、给定输入值作用下系统的误差分析 这时，不考虑扰动的影响。由图b，可以写出随动系统的误 差 E (s)为（见右图）：
R(s)
E (s )
E ( s) 1 1 , E ( s) R( s ) R(s) 1 G1G2 H 1 G1G2 H
s 0
当 0,1时，K a lim s (1, 2) kG 0 ( s) 0, essr s 0 1 当 2时，K a lim kG 0 ( s ) k , essr s 0 k k 当 3时，K a lim G0 ( s) , essr 0 s 0 s
Thursday, July 11, 2013
12
稳态误差的例子||例3-9
N (s ) k 1 T s 1 2、 再令 R( s ) 0, N (t ) 2 s 2 N ( s) C ( s) 1 Ts s k R(s) E (s ) + C (s) k1 2 s (Ts 1) ' N ( s) 1 k1k 2 Ts s k1k 2 s(Ts 1) Ts 2 s kn Ts 2 s ' C ( s) N ( s) 2 N ( s) Ts s k1k2 Ts s k1k2 Tn s 1
3.6 线性系统的稳态误差计算
稳态误差是系统的稳态性能指标，是系 统控制精度的度量。 计算系统的稳态误差以系统稳定为前提 条件。
一、误差与稳态误差 1、从输入端定义误差： 给定量与主反馈量之差
E ( s) R( s) H ( s)C ( s)
R(s)
E(s)
(-) B(s)
G(s) H(s)
Ⅰ型系统，在R(s)作用下稳态误 差为0
n0 G2 ( s) K2 N (s) 1 G1 ( s)G2 ( s) s(T2 s 1) K1K 2 s
K 2 n0 n0 lim sEn (s ) lim s 0 s 0 s (T s 1) K K K1 2 1 2
C(s)
可测量 误差的理论含义不明显
R(s) Cr (s) E’(s) 1/H(s) (-) E(s) C(s) G(s)
2、从输出端定义误差： 输出量希望值与实际值之差
R( s ) ( s) E C ( s) H ( s)
H(s)
不可测量 较接近e(t )的含义
E( s ) H ( s ) E( s )
例题 设单位负反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts , 输入信号分别 为 1）r(t)=t ，2) r(t)=t2/2，3) r(t)=sinωt，求系统稳态误差。 解：误差传递函数为 e ( s)
E ( s) 1 Ts , 系统稳定 R( s) 1 G( s) H ( s) 1 Ts
5 s(5s 1)
0.8s
C(s)
解：开环传递函数为 闭环传递函数为： ( s)
5 1 s (5 s 1) G (s) 5s s ( s 1) 1 0 .8 s (5 s 1)
稳态误差ess公式例题
稳态误差ess公式例题
稳态误差（Steady State Error，简称SSE）是指系统在稳定状态下输出与所期望输出之间的差异。
其计算公式如下：
SSE = lim(t→∞) [R(t) - Y(t)]
其中，R(t)为所期望输出，Y(t)为系统的实际输出。
以下是一个简单的例题：
考虑一个开环控制系统，传递函数为G(s) = K/(s(s+1))，输入信号为R(s)，输出信号为Y(s)。
若所期望输出为R(s) = 1/s，求系统的稳态误差。
首先将传递函数G(s)转化为闭环传递函数H(s)。
由于是开环控制系统，添加一个单位反馈增益来形成闭环系统，即H(s) = G(s)/[1 + G(s)]。
将输入信号R(s)带入闭环传递函数H(s)计算输出信号Y(s)：
Y(s) = R(s) × H(s)
= (1/s) × K/(s(s+1))/[1 + K/(s(s+1))]
= (1/s) × K/(s(s+1) + K)
= K/(s^2 + sK + K)
将所期望输出R(s) = 1/s带入计算稳态误差：
SSE = lim(s→0) [R(s) - Y(s)]
= lim(s→0) [1/s - K/(s^2 + sK + K)]
若s趋向于0，则有：
SSE = 1 - K/(K)
= 1 - 1
= 0
因此，该系统的稳态误差为0。
这意味着在稳定状态下，该系统的输出与所期望输出完全一致。
3.3 反馈控制系统的稳态误差
R ∞ k R Kp=? k lim s· ν K =? s s→0
e(t ) r (t ) b(t )
稳态误差定义为
ess e() lim e(t ) lim [r (t ) b(t )]
t t
对于单位反馈系统，稳态误差可写为
ess e() lim e(t ) lim [r (t ) c(t )]
t t
对于1型系统：N＝1
K (1 T1s)(1 T2 s) K v lim s K s(1 Ta s)(1 Tb s) s 0
开环放大系数
1 ess K
具有单位反馈的1型系统，其输出能跟踪等速度输入，但总有一 定误差；其稳态误差与K成反比。 对于2型系统或2型以上系统：N≥2
3.3.3主扰动输入引起的稳态误差
系统的负载变化往往是系统 的主要扰动，假如主扰动 n(t)的作用点如图所示，现 在分析它对输出或稳态误差 的影响。 1 例 G1 (s) K G2 ( s )
分别计算当r(t)和n(t)为阶跃输入时的系统稳态误差 解： K
Js
H ( s) 1
GK ( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
若扰动为阶跃函数n(t)=1(t)，则
G2 (0) H (0) essn 1 G1 (0)G2 (0) H (0)
当
G1 (0)G2 (0) H (0) 1 G2 (0) H (0) 1 essn 1 G1 (0)G2 (0) H (0) G1 (0)
扰动作用点以前的系统前向通道传递系数G1(0)越大，由一定 扰动引起的稳态误差就越小。 对于无差系统，即N≥1， G1(0) =∞．即应该是G1(s)中包含积 分环节，才保证扰动不影响稳态响应，由此产生的稳态误差为 零。
4.3稳态误差分析
ζπ -
1ζ
三、控制系统的稳定性分析 1.系统稳定的充分与必要条件 系统所有特征根的实部小于零。 2.劳斯稳定判据 根据闭环传递函数特征方程式的 各项系数判断稳定性． a0sn +a1sn-1 + …+an-1s+an=0 3.结构不稳定系统的改进 积分环节加反馈 加比例微分控制
四、控制系统的稳态误差分析
1.给定信号作用下的稳态误差
R(s) e =lim s· ssr 2.静态误差系数 s→0 1+G(s)H(s) Kp=lim G(s)H(s) K sG(s)H(s) υ =lim s →0 s→0 2G(s)H(s) Ka=lim s s→0 -G (s)H(s)D(s) 2 essd= lim s s→0 1+G1(s)G2(s)H(s)
ζ=1 ζ<1
ζ=0
二、系统的性能指标 1.一阶系统 2.二阶系统
ts=3T (±5%) ts=4T (±2%)
|s1|<|s2| -1 T1= s1 ts=4T1 (±2%)
100% σ %= e 4 ts =ζ ω n (±2%)
2
ζ≥１
ts=3T1 (±5%) π ζ<1 tp=ω d 3 (±5%) ts = ω ζ n
求系统的 性能指标
主要内容
一、系统的单位阶跃响应
1.一阶系统 c(t)=1-e-t/T c(t)=A1+A2es1t+A3es2t -ω nt ω c(t)=1- e (1+ n t) ω d t+ c(t)=1- e 2 sin( φ) 1ζ c(t)=1-cos ω nt
ζ ωn t
2.二阶系统 ζ>1
自动控制理论_12稳态误差分析及计算
解：① 判断稳定性。系统的闭环特征方程为
s2 (Tm s 1) K1Km ( s 1) 0 Tm s3 s2 K1Km s K1Km 0
稳定条件：（1）Tm，K1，Km， 均应大于零； （2） Tm
② 根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接 求 ess 从结构图看出，该系统为单位反馈且属Ⅱ型系统。因此
K 5
K 1
K 0
2
ess lim sE ( s )
s 0
1 K1
G1 ( s)
用一待定的G1 ( s)来代替图中的 K1 ,然后找出消除系 统在干扰n(t)作用下的误差时， G1 ( s ) 需具备的条件。
选择G1 (s)首先要保证sEN (s)的所有极点在s平面的左半平面。 这时essn K2 lim s[ N (s)],当n(t )为单位阶跃干扰时，有 s 0 s G1 (s) K 2
在零初始条件下，对上式进行拉氏反变换，得 到误差信号e(t)的稳态分量
1 ess (t ) e (0)r (t ) e (0) r (t ) e (0) r (t ) 2!
ess (t ) Ci r (t )
(i ) i 0
式中
C0 e (0)
当输入r(t)=1(t)时，ess1 0； 当输入r (t ) t时，ess 2 0； a0 1 2 1 当输入r(t)= t 时，ess 3 2 K K1 K m 所以系统的稳态误差ess ess1 ess 2 ess 3 1 K1 K m
4、任意输入信号
利用动态误差系数，可以求解输入信号为任意 时间函数时的系统稳态误差。
解.由题意写出系统的误差传递函数
稳态误差(2)
R( s ) E ( s )
扰动误差为
G1 ( s )
H (s)
+
G2 (s)
C (s)
(b )
essn lim s
s0
G2 H sN (s) G1G2 H sN (s) Gk N ( s) lim lim s 0 s 0 1 G1G2 H G1 1 G1G2 H G1 1 Gk
② 设 u 0 即 G1 ( s ) 有积分环节
前提是即使出现 G(s) G1 (s)G2 (s)H (s) 零、极点相消的情况， G1(s)中仍保留积分环节 当系统输入为阶跃信号时且 u 1 系统扰动误差为零 su 1 N (s) essn lim 0 s 0 K1 当系统输入为斜波信号时且 u 2 系统扰动误差为零
G2 ( s) s
说明： 所谓极点配置指的是让系统的特征根落在指定的点上。
系统时刻误差为零，要求相应传函为零
系统要求稳态误差为零，则相应的终值定理为零。
06年
例 系统结构图如图所示。
解. (1) K t 0 时
系统结构不稳定！
只有当Kt>0，系统稳定 (2 ) K t 0 时 （1）Kt=0 时系统的性能? （2）Kt 时，s, ts 变化趋势? x0.707时, s, ts =？ （3）Kt ，r(t)=t ，ess变化趋势? x0.707时,
A A s1 s2 A lim s 3 s0 s 2 s1 s2 K1 K 2 K 3Ts K1 K 2 K 3 K1 K 2 K 3
结论：增大回路中任何一个环节的增益和积分环节个数，都可消除或减小 r(t)作用下的稳态误差。
en ( s )
第三章 (3.4)控制系统的稳态误差分析
利用终值定理
R( s) essr lim sE r ( s ) lim s s 0 s 0 1 G (s) H (s)
给定信号作用下的稳态误差 与输入信号和系统结构有关
1 Er ( s ) R( s) 1 G (s) H (s)
essr sR ( s ) lim s Er ( s ) lim s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
系统的输出完全不受扰动的影响,但不容易实现。
例：试设计Gn(s)，使n(t)=1(t)时essn= 0 。
R(s) E(s)
Gn(s) k1 T1s+1
N(s)
k2 s(T2s+1)
C(s)
令R(s)=0,En(s) = -C(s) =
设系统稳定，N(s)=1/s ,则 essn=
k 2 [(T1s 1) k 1G n (s )] N(s) s(T1s 1)(T2s 1) k 1k 2
2 2 2 2 2 2
开环传递函数：
K ( 1s 1) ( s 2 2 s 1) G (s) H (s) s (T1s 1) (T s 2 T2 s 1)
K G0 ( s ) H 0 ( s ) s
essr lim s Er ( s ) lim
C(s)
1 E(s)=R(s) 1+G(s)H(s) 若系统稳定, 则可用终值定理求ess R(s) ess= lim s s→0 k 1+ ν G0H0 s
r(t)=R·1(t) R(s)=R/s R ess= k kp lim 1+ s→0 ν s r(t)=V·t R(s)=V/s2 V ess= k k v lim s ν s s→0 r(t)=At2/2 R(s)=A/s3 A ess= k k lim s2· ν a s s→0
第六章 系统稳态误差及稳定性分析(1)
第一节 系统稳态误差的分析和计算
2008.11.3
稳态误差：系统进入稳态后实际输出量与期望输出量 之差。它反映系统跟踪控制信号或者抑制干扰信号的 能力，是评价系统稳态性能的重要指标。 稳态误差不但与系统本身结构和参数有关，而且与输 入信号的类型有关。 1. 系统的误差 e (t) 与偏差ε(t) 误差 e (t)=xor(t)-xo(t) 偏差ε(t)=xi(t)-h(t)*xo(t)
Xi(s)
+ 2 ωn s 2 + 2ξωn s
Xo(s)
解
2 ωn 其开环传递函数为 GK(s)= G(s)H(s) = 2 s + 2ξωn s
KA1 ( s ) = = = g s s s B1 ( s ) 2ξωn s( + 1) s ( + 1)
2ξωn
2ξωn
2 ωn
ωn 2ξ
而该系统的阶次为 二阶系统 注意区分系统的型号和系统的阶次
=0
ess= εss= 0
根据表求解 GK(s)=G(s)H(s)=
s 40 + 1 2 s 2 (2 s 2 + 3s + 1)
Ⅱ型系统对单位恒速信号
ess=εss= 0
例4
20( s + 2) 已知系统为单位负反馈系统, GK(s)= s( s + 1)( 4 s + 2)
求系统的开环增益K、型号,当输入信号 xi(t)=t 时的稳态误 差ess和稳态偏差εss
拉氏变换
E(s)=Xor(s)-Xo(s)
拉氏变换
ε(s)=Xi(s)-H(s)·Xo(s)
当E(s)≠0时， ε(s)就试图把 o(s)拉回到 or(s) 时 就试图把X 拉回到 拉回到X 就试图把 当E(s)=0时，ε(s)=0 时
自动控制原理第三章4_稳态误差
但该系统对于扰动输入为单位阶跃函数时的稳态误差 essn 并不等于零。稳态误差与G 中的增益和积分环节的个数有关。 1 此时因G1无积分环节，所以
1 K2 1 essn lim s NE lim s 0 s s0 s K1K 2 K1
ess essr essn 1
系统型别 2 例题 1 误差定义
误差分析 1 k ∏(τ s+1) G H 0 0 i e =limsE (s)=
m
=
.
ss ssr ssn H(s) 3 ˊ ˊ R(s) ν=2 R(s) E(s) C(s) 0.5s(s+1)(0.2s+1) 1 1 称为Ⅱ型系统 En(s)=C -C实= –Cn(s) 希1 . G(s) 1 H(s) 5 = H(s) 2 ∴ess= 8 + 2 = s(s+1)(0.2s+1)+4 s
1 k2 当 d 时，速度误差为零，实现了完全补偿。 k2
求值。
1 当 d k 时，速度误差为负，过度补偿。表示输出量大于要 2
小结
系统误差、稳态误差的定义 给定输入值作用下系统的误差分析
—系统的型 —位置误差系数，速度误差系数，加速度误差系数
扰动输入作用下系统的误差分析
给定输入和扰动作用同时存在系统的误差分析
K1
扰动误差与积分环节的关系
若想使稳态误差为零，则要 N (s) 求G1中有积分环节，令 R( s ) E ( s ) K 2 C (s) K1 + G G1 2 s K1 s G1 s 1 K2s 此时 essn lim s NE lim 2 0 s 0 s s0 s K1K 2 但此时系统的稳定性遭到破坏，成为结构不稳定系统 。若要使 系统稳定，还必须在原G1中 N (s) 引入比例+微分环节 R( s) E ( s ) K1 (s 1) K2 C (s) + s K1 (s 1) s G1 s K1K 2 (s 1) 当K1>0，K2>0，τ>0 2 0 s K1K 2s K1K 2 时系统稳定
3-6 稳态误差分析
3.6.1 误差的基本概念
误差=误差的瞬态分量+误差的稳态分量
稳态误差=误差的稳态分量
终值定理：
前提条件为：sE(s)在虚 轴和右半平面是解析的。
ess e() lime(t) limsE(s)
t
s0
3.6.1 误差的基本概念
R(S) E(s) G1(S)
N(s)
C(s)
G2(S)
C(s)
(Kis
1) Ts2
K s
K
R(s)
E(s)
Ts2 s Ts2
Ki Ks sK
R(s)
由于该系统为二阶系统，由各项
系数为正可知，系统稳定。
3.6.7 提高系统控制精度的措施
ess
lim sE(s) s0
E(s)
Ts2 s Ts2
Ki Ks sK
Kp
lim G(s)H (s)
s0
lim
s0
s 1 s(s 3)
Kv
lim sG(s)H (s)
s0
1 3
Ka
lim s2G(s)
s0
0
3.6.2 给定作用下的稳态误差计算
G(s) s 1 ,.....r(t) (2 t 0.5t 2 ) 1(t) s(s 3)
s0
G(s)H (s)
K s
G0 (s)
1,...Ka 0,...essr ,
静态加速度误差系数
2,...Ka
K ,...essr
C K
稳态误差——精选推荐
1．（15分） 某最小相角系统的开环对数幅频特性如图3所示。
要求（1）写出系统开环传递函数；（2）利用相角裕度判断系统的稳定性；（3）将对数幅频特性向右平移十倍频程，截止频率和相角裕度会发生什么变化?解：(1)由系统开环对数频率特性曲线可知，系统存在两个交接频率0.1和20，故()()11(1)(1)0.120KG s H s s s s =++ 且20lgK=20,或20lg 010K=,得K=10。
所以，10()()11(1)(1)0.120G s H s s s s =++ （5分）(2)系统开环频特性为：w=0.1时，L （w ）=40(dB),(0.1)()40lg 0.1lg c cL L ωω-=--,可解得c ω＝1。
系统开环相频特性为：()90100.05177.15180() 2.850c c arctg arctg r ϕωϕω=---=-=+=>故系统稳定。
也可画出相应的相频特性图，说明r >0,系统稳定。
（6分） （3）对数幅频特性向右平移十倍频程，可得系统新的开环传递函数：11100()()1(1)(1)200G s H s s s s =++， 其截止频率1c ω＝10c ω＝10。
111111()90177.15200180() 2.850c G H c c G H c arctg arctgr ωϕωωϕω=---=-=+=>相角裕度不变。
2. 绘制对数频率特性和幅相特性曲线228(0.1)()(1)(425)s G s s s s s s +=++++。
3.某最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示 。
试确定该系统的开环传递函数以dB 30032.0lg 20,1-==ω解 ①⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=15545)1(11.0251.08)(22s s s s s s s G 1.01=ω12=ω53=ωdec/dB 20+dec /dB 40-dec/dB 40-基准线： 点 斜率 dec/dB 20v 20--=②③ ④检查：L(ω)最右端斜率 = 20(n-m)=-80dB/dec L(ω)转折点数 = 3 个 ϕ(ω) → -90o (n-m )=-360o⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=15545)1()11.0(032.022s s s s ss及频率特性。
第六章 系统稳态误差及稳定性分析(2)
复合校正
本节介绍时域范围内的串联校正
（一） 时域范围内的串联校正的两个基本原理
串联校正，就是指在原来的回路中接入校正环节以改变信 号在回路中的传递情况，从而达到改善品质的目的。
Xi(s) +
ε( s)
b 1b 6 b 0b 7 C 3 b 1
C b C 1 3 b 1 2 C 1
D 2
D 3
两个特殊情况： a. 劳斯数列表中任一行第一项为零，其余各项不为零或者部 分不为零
解决方法：用一任意小的正数ε代替零的那一项，然后继续计 算。若上下项的符号不变，且第一列所有项的符号为正，则方 程有共轭虚根，系统属临界稳定。 b. 劳斯数列表中任一行全为零 解决方法： 利用全为零的这一行的上一行的各项作系数组成一个多项式方 程（最高阶次为该行的相应阶次，相邻项的阶次相差为2）； 对辅助方程取导数得一新方程； 以新方程的系数代替全为零的那一行。
系统稳定的充要条件为：劳斯数列表中第一列各项的符号均为 正且不等于零。
若有负号存在，则发生符号的变化次数，就是不稳定根的个数。
mm 1 m 2 ( s ) b s b s b s b s b 如 B 0 1 2 m 1 m
则劳斯数列表为
其中
C 1
C 2
例1 已知系统的特征方程为 B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0
用劳斯判据判断系统的稳定性。
解 劳斯数列表为
s4 s3 s2 s1 s0
C 1
1 17 8 16 C1 = 15 C2 = 5 D1 = 13.3 0 E1 = 5 0
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λ2k2=T1+T2
即: λ1 = 1/k2
分子只有s3项时，由终值定理可得: λ2=(T1+T2)/k2
例题2
已知单位反馈系统开
环传递函数为G(s)，输
入为r(t)，试求稳态误
差ess。
r1(t)=1(t)
10
G1(s) (0.1s 1)(0.5s 1)
解：
系统2不稳定，∴ ess→∞ 系统3的A=2， ∴ ess=1/4
r=0
5
s
2
c(t)
(0.1s+1)(0.5s+1)
∴essn=
-limsC(s) s→0
=
0
几点说明
(2)
① 增益
③ 差异
② 型别
例题4
已知图示系统的调节时间ts= 0.3秒，
试求r(t)=3t时输出端定(义s) 的 误差1终/ k值h ess。
R(s)
1 C(s)
0.01s / kh 1
0.01s
解：
(1)
1
C(s)=
5 (0.1s+1)(0.5s+1) s s(0.1s+1)(0.5s+1)+10
∵系统稳定
r=0
2
(0.1s+1)(0.5s+1)
5 s
c(t)
∴essn=
-limsC(s) s→0
=
-1/2
(1)
(2) C(s)=
2s
1 s
s(0.1s+1)(0.5s+1)+10
n(t)=1(t)
1.25
0.95
0
1
解
1.25
ess 0.05
% 0.3 0.95
tp 1s
0.95
＝0.344，n 3.346
或 者 令G(s) 19
解 得G(s)
as 2 19bs 1 1.786s2 4.1s
1
0
1
1、由于 h() 0.95
由 h() lims(s)
设
1A
(s)
0.95
线性系统时域分析
稳态误差例题
例题
λ1s+ λ2s2
E(s) R(s)
k1
求图示系统中的λ1、λ2，使系统由 一阶无差系统变为三阶无差系统。
k2
C(s)
s(T1s+1)(T2s+1)
解或：者由(s1) Φer(s) =
1+
(G1s(s)2求s2出)kG2 (s)后 s1(T1Gs+(1s) (T2s+1)
kh
ts=3T=0.03/kh=0.3
E(s) R(s)
1
30
H(s) 1 G(s)H(s) s(s 10)
∴kh=0.1
ess= 3
例题5 1、试求出该系统的开环传递函数及参数；
2、确定串联校正装置的传递函数，使系统 对阶跃输入的稳态误差为零。
设无零点的单位反馈二阶系统h 2 n s
n2
s0
s
得(s)
s2
0.95 3.3462 2 0.344 3.346s 3.3462
s2
10.636 2.3s 11.196
开环传递函数
G(s)
s2
10.636 2.3s 0.56
2.
Gc (s)
kc s
0 < kc < 0.12
k1k2
s(T1s+1)(T2s+1)
s(T1s 1)(T2s 1) (1s 2s2 )k2
s(T1s+1)(T2s+1)+k1k2
因为一阶无差所以系统稳定，则当
，ess令= Glsi→m(0ss)Φ为er3(型s)R即(s)可。
=
lim
s→0
s
T1T2s3
k1k2
∴ λ1k2=1
A
s3
=0
√ 0型 k=10 ess=1/11
× r2(t)=t
G 2 (s)
s(s
7(s 3) 4)(s2 2s
2)
Ⅰ型
k=21/8 ess= 8/21
r3(t)=t2
8(0.5s 1)
G 3 (s) s2 (0.1s 1)
× Ⅱ型 k=8 ess=1/8
例题3 求图示系统的essn。
n(t)=1(t)