三角函数的性质及其应用 专题3
高考数学复习第二编专题整合突破专题三三角函数与解三角形第一讲三角函数的图象与性质文市赛课公开课一等奖
针对训练 [2015·天津高考]已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有 f(x)＝1－c2os2x－1－cos22x－π3 ＝1212cos2x＋ 23sin2x－12cos2x
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3．忽视 A，ω 的符号 在求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意 A 和 ω 的符号，若 ω<0，需先通过诱导公式将 x 的系数化为正的． 4．易忽略对隐含条件的挖掘，扩大角的范围导致错误．
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热点考向探究
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考点 三角函数的定义域、值域(最值) 典例示法 典例 1 (1)[2016·合肥一模]函数 y＝lg (2sinx－1)＋ 1－2cosx的定义域是_____2_k_π_＋__3π_，__2_k_π_＋__56_π_(_k_∈__Z_)___．
(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知， f(x)的周期为 π，所以2ωπ＝π，即 ω＝2. 所以 f(x)＝2sin2x－π6－1， 再由 2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)， 解得 kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)． 所以函数 f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3 (k∈Z)．
(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝ kπ＋π2 (k∈Z)解
得；
(3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由 ωx＋φ＝k2π(k ∈Z)解得．
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[失分警示] 1．忽视定义域 求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问 题时，要注意函数的定义域． 2．重要图象变换顺序 在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周 期变换．变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的 系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度 和方向．
高中数学的归纳三角函数的性质与应用总结
高中数学的归纳三角函数的性质与应用总结三角函数是高中数学中一个重要且广泛应用的概念。
在学习三角函数时，我们常常需要通过归纳推理来得到三角函数的性质，并将其应用于解决实际问题。
本文将对高中数学中涉及归纳三角函数性质与应用的知识进行总结。
一、三角函数的性质1. 正弦函数的性质：正弦函数（sinx）是一种周期函数，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数的取值范围为[-1, 1]。
当x为整数倍的π时，sinx的取值最大（1或-1）；当x为半整数倍的π时，sinx的取值最小（0）。
2. 余弦函数的性质：余弦函数（cosx）也是一种周期函数，其周期同样为2π。
同样地，在一个周期内，余弦函数的取值范围也为[-1, 1]。
当x为整数倍的π时，cosx的取值最小（-1或1）；当x为半整数倍的π时，cosx的取值最大（0）。
3. 正切函数的性质：正切函数（tanx）是一个平移的奇函数。
它的定义域是所有不是π的整数倍的实数，其值域是整个实数集。
在其中一个周期内，tanx的取值范围为(-∞, +∞)。
当x为半整数倍的π时，tanx的取值为零。
4. 扇形坐标系的性质：在扇形坐标系中，以一定半径R沿正方向绕圆心转动的射线，与极坐标轴的夹角θ称为极角。
该射线与一个固定半径r的圆交于一点P，P的坐标可表示为(r,θ)。
其中，r为点P到极坐标原点的距离。
在极坐标系中，点的坐标表示方式更加灵活，易于描述各种曲线。
二、归纳三角函数的应用1. 解决三角方程：在求解三角方程时，我们常常需要运用三角函数的性质来简化等式，进而求得方程的解。
通过将方程变形，利用三角函数的周期性、奇偶性等性质，我们可以推导出方程的根，并验证解的正确性。
2. 研究周期现象：三角函数的周期性特征使其在研究周期现象时非常有用。
周期性现象的变化规律可以通过三角函数来描述，例如天体运动、电信号波动等。
通过归纳总结三角函数的周期性性质，我们可以准确地分析周期现象的规律。
3. 分析物理问题：在物理问题中，三角函数常常被用来描述运动、波动、旋转等现象。
三角函数的性质与应用
三角函数的性质与应用三角函数是数学中重要的一部分，它的性质和应用广泛存在于各个领域。
在本文中，我们将探讨三角函数的基本性质，并介绍一些其在实际问题中的应用。
一、正弦函数的性质和应用正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它的定义域为所有实数，值域在[-1,1]之间。
正弦函数的图像呈现周期性、振荡性的特点，对于周期为2π的正弦函数，其性质如下：1. 正弦函数在区间[0,π/2]上是单调增加的，在区间[π/2, π]上是单调减少的。
这一性质在许多几何和物理问题中都有重要应用，例如计算角度大小、测量物体的高度等。
2. 正弦函数的图像关于原点对称，即sin(-x)=-sin(x)。
这个性质可以用于简化计算，并在一些对称性的问题中发挥作用。
3. 正弦函数具有偶函数性质，即sin(x)=sin(-x)。
这一性质在许多方程求解和函数性质证明中被广泛使用。
在实际应用中，正弦函数的应用非常广泛。
例如，在物理学中，正弦函数用于描述振动的变化规律；在音乐学中，正弦函数被用来分析乐音的频率和振幅；在工程学中，正弦函数被用于处理交流电信号。
二、余弦函数的性质和应用余弦函数是三角函数中另一个重要的函数，它的定义域也是所有实数，值域在[-1,1]之间。
余弦函数的图像呈现周期性、振荡性的特点，对于周期为2π的余弦函数，其性质如下：1. 余弦函数在区间[0,π]上是单调减少的。
这个性质在许多几何和物理问题中具有重要意义，例如计算角度大小、测量物体的距离等。
2. 余弦函数的图像关于y轴对称，即cos(-x)=cos(x)。
这个性质与正弦函数的偶函数性质类似，可以用于简化计算和问题的求解。
3. 余弦函数具有偶函数性质，即cos(x)=cos(-x)。
这一性质在解方程和证明函数性质中经常被使用。
在实际应用中，余弦函数也有广泛的应用。
例如，在几何学中，余弦函数被用来计算三角形的边长和角度；在电路分析中，余弦函数被用来描述交流电压和电流的变化规律；在天文学中，余弦函数被用来计算地球上某个点的星体高度。
4.4三角函数的图像性质及应用
－φ－φ1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R振幅A周期2πT＝ω频率1ωf＝T＝2π相位ωx＋φ初相φ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2ωπ－φω3π2ω2π－φωωx＋φy＝A sin(ωx＋φ)π2Aπ3π2－A2π0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤如下：【思考辨析】(2)y ＝sin ⎝x －4⎭的图象是由 y ＝sin ⎝x ＋4⎭的图象向右平移个单位得到的．(√ )1．y ＝2sin ⎝2x －4⎭的振幅、频率和初相分别为2．已知函数 f (x )＝sin ⎝2x ＋6⎭.若 y ＝f (x －φ) (0<φ< )是偶函数，则 φ＝解析 因为 y ＝f (x －φ)＝sin ⎣2(x －φ)＋6⎦＝sin ⎝2x －2φ＋6⎭是偶函数，所以－2φ＋ ＝ ＋k π， k ∈Z ，得 φ＝－ － ，k ∈Z .又 0<φ< ，所以 φ＝ .3．(2015· 湖南改编)将函数 f (x )＝sin 2x 的图象向右平移 φ⎝0＜φ＜2⎭个单位后得到函数 g (x )的]判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1) 利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )⎛ π⎫ ⎛ π⎫ π 2(3)由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )(4)函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( × )(5)函数 y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )⎛ π⎫1 π答案 2，π，－4．⎛ π⎫ π 2.答案π3⎡ π⎤ ⎛ π⎫ π π 6 2π k π π π6 2 2 3⎛ π⎫π图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2 的 x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝3，则 φ＝.答案π6解析 因为 g (x )＝sin [2 x －φ ＝sin(2x －2φ)，所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以 sin 2x 1 和 sin(2x 2－2φ)的值中，一个为 1，另一个为－1，不妨取 sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)π π＝－1，则 2x 1＝2k 1π＋2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1⎪⎪因为0<φ<，所以0<－φ<，则φ＝.答案y＝10sin⎝8x＋4⎭＋20，x∈[6,14]所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，所以ω＝.又×10＋φ＝2π，4所以y＝10sin⎝8x＋4⎭＋20，x∈[6,14]．5．(2014·安徽)若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，答案3π－k2)∈Z，π得|x1－x2|＝⎪(k1－k2)π＋2－φ⎪.πππ222ππ故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝2－φ＝3，π64．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为．⎛π3π⎫解析从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，121212π又2×ω＝14－6，π8π83π解得φ＝，⎛π3π⎫π4则φ的最小正值是．8解析∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝－－(k∈Z)．当k＝－1时，φ取得最小正值.例1已知函数y＝2sin⎝2x＋3⎭.(3)说明y＝2sin⎝2x＋3⎭的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．解(1)y＝2sin⎝2x＋3⎭的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.(2)令X＝2x＋，则y＝2sin⎝2x＋3⎭＝2sin X.6y＝2sin⎝2x＋3⎭πππ444－2φ)，ππ42kππ283π8题型一函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换⎛π⎫(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；⎛π⎫⎛π⎫2ππ23π⎛π⎫3列表如下：xXy＝sinX⎛π⎫π－π12π212π3π7π123π2－1－25π62π描点画出图象，如图所示：(3)方法一 把 y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到 y ＝sin ⎝x ＋3⎭的图象； 再把 y ＝ sin ⎝x ＋3⎭ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的sin ⎝2x ＋3⎭的图象；最后把 y ＝sin ⎝2x ＋3⎭上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变 )，即可得到 y ＝2sin ⎝2x ＋3⎭的图象．方法二 将 y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)，得到 y ＝sin 2x再将 y ＝sin 2x 的图象向左平移 个单位长度，得到 y ＝sin ⎣2⎝x ＋6⎭⎦＝sin ⎝2x ＋3⎭的图象；再将 y ＝sin ⎝2x ＋3⎭的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变)，即得到 y ＝2sin ⎝2x ＋3⎭的图象．设 z ＝ωx ＋φ，由 z 取 0， ，π， π，2π 来求出相应的 x ，通过列表，计算得出五点坐标，描(1)把函数 y ＝sin(x ＋ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将图象向右平移 个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(填正确的序号)．①x ＝－ ；②x ＝－ ；③x ＝ ；④x ＝ .(2)设函数 f (x )＝cos ωx ( ω>0)，将 y ＝f (x )的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与原图π ⎛ π⎫ 3⎛ π⎫ 1 2倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到 y ＝⎛ π⎫⎛ π⎫⎛ π⎫12的图象；π ⎡ ⎛ π⎫⎤ ⎛ π⎫ 6⎛ π⎫⎛ π⎫思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作 y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，π 3 2 2点后得出图象．(2)图象变换：由函数 y ＝sin x 的图象通过变换得到 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．π 162π3π π π π2 4 8 4π3象重合，则 ω 的最小值等于．答案 (1)① (2)6解析(1)将y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，故x 2(2)由题意可知，nT＝(n∈N*)，例2(1)已知函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象上一个最高点的坐标为(2，2)，答案(1)y＝2sin⎝8x＋4⎭(2)f(x)＝2sin(2x＋)⎫解析(1)由题意得A＝2，＝6－2，所以T＝16，ω＝＝.又sin⎝8×2＋φ⎭＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为|φ|<，所以φ＝.41234π162πππππ63362π＝－是其图象的一条对称轴方程．π32ππ∴n·ω＝3(n∈N*)，∴ω＝6n(n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式π2由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为．(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为．⎛ππ⎫π3T2ππ⎛ππ4T84πππ224(2)由题图可知A＝2，T7πππ＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，又⎝12π，－ 2⎭为最小值点， ∴2× π＋φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，∴φ＝ .故 f (x )＝ 2sin(2x ＋ )．则 A ＝ ，b ＝ .(2)求 ω，确定函数的最小正周期 T ，则可得 ω＝ . “最大值点”(即图象的“峰点”)时 ωx ＋φ＝ ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时 ωx ＋φ＝ .函数 f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ω＞0，－2＜φ＜2⎭的部分图象如图所示，则 φ＝3解析 ∵ ＝ π－ π，⎛ 7 ⎫7 3π12 2π3又|φ|＜π，π3π3思维升华 确定 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求 A ，b ，确定函数的最大值 M 和最小值 m ，M －m M ＋m2 22πT(3)求 φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A ，ω，b 已知)或代入图象与直线 y ＝b 的交点求 解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定 φ 值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：π23π 2π答案 －T 1152 12 12∴T ＝π.2π又 T ＝ ω (ω＞0)，2π∴ ω ＝π，⎛ ππ⎫.由五点作图法可知当x＝π时，2即2×π＋φ＝，∴φ＝－.y)．若初始位置为P0⎝2，⎭，当秒针从P(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐答案y＝sin⎝－30t＋6⎭位是.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝⎪ω⎪＝60，所以|ω|＝π⎪2π⎪ππ63030所以y＝sin⎝－30t＋6⎭.例4已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在⎝2，π⎭上有两个不同的实数根，则m ∴ω＝2.512πωx＋φ＝，5π122π3题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型的应用例3如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，⎛31⎫2标y与时间t的函数关系式为．⎛ππ⎫解析设点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝sin(ωt＋φ)．由题意可得，函数的初相，即ω＝－，⎛ππ⎫命题点2方程根(函数零点问题)⎛π⎫的取值范围是．答案(－2，－1)解析方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＝2sin⎝2x＋6⎭，x∈⎝2，π⎭.设2x＋＝t，则t∈⎝6π，6π⎭，6＝sin t，t∈⎝6π，6π⎭，有两个不同的实数根．∴y＝和y＝sin t，t∈⎝6π，6π⎭的图象有两个不同交点，如图：2由图象观察知，的范围为(－1，－)，解析由例4知，的范围是⎣－1，2⎭，∴－2≤m<1，图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f⎝8⎭的值；(2)求函数y＝f(x)＋f⎝x＋4⎭的最大值及对应的x的值．＝2⎣2＝2sin⎝ωx＋φ－6⎭.⎛π⎫⎛π⎫π⎛713⎫∴题目条件可转化为m⎛713⎫2m⎛713⎫m122故m的取值范围是(－2，－1)．引申探究例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是．答案[－2,1)m⎡1⎫2∴m的取值范围是[－2,1)．命题点3图象性质综合应用例5已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)π2⎛π⎫⎛π⎫解(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)⎡31⎤sin(ωx＋φ)－2cos(ωx＋φ)⎦⎛π⎫因为f(x)是偶函数，则 φ－ ＝ ＋k π(k ∈Z )，所以 φ＝ ＋k π(k ∈Z )，又因为 0＜φ＜π，所以 φ＝ ，ωx ＋＝2cos ωx .所以 f (x )＝2sin 2⎭⎝因此 f ＝2cos ＝ 2.⎝8⎭x ＋(2)y ＝2cos 2x ＋2cos 2⎣ ⎝ 4⎭⎦2x ＋＝2cos 2x ＋2cos 2⎭⎝－2x ＝2 2sin ⎝4 ⎭2x －＝－2 2sin4⎭⎝令 2x － ＝2k π－ (k ∈Z )，y 有最大值 2 2，所以当 x ＝k π－ (k ∈Z )时，y 有最大值 2 2.设函数 f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－ <φ< )的图象关于直线 x ＝ 对称，它的周期①f (x )的图象过点(0， )；π π6 22π32π3⎛ π⎫ 2π π由题意得 ω ＝2· 2，所以 ω＝2.故 f (x )＝2cos 2x .⎛π⎫ π4⎡ ⎛ π⎫⎤⎛ π⎫＝2cos 2x －2sin 2x⎛π ⎫⎛ π⎫ π π4 2π8思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程 根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究 y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将 ωx ＋φ 视 为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．π π 2π2 2 3是 π，则下列说法正确的是．(填序号)32②f (x )在[ ， ]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是( ，0)；∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f ( )＝3sin( ＋φ)，则 sin( ＋φ)＝1 或－1.又 φ∈(－ ， )， ＋φ∈( ， π)，∴ ＋φ＝ ⇒φ＝ ，∴f (x )＝3sin(2x ＋ )．①：令 x ＝0⇒f (x )＝ ，正确．②：令 2k π＋ <2x ＋ <2k π＋ ，k ∈Z⇒k π＋ <x <k π＋ ，k ∈Z .令 k ＝0⇒ <x < ，即 f (x )在( ， )上单调递减，而在( ， )上单调递增，错误．③：令 x ＝ ⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移 个单位长度，错误．典例 (14 分)已知函数 f (x )＝2 3sin( ＋ )·cos( ＋ )－sin(x ＋π)．π 2π12 35π12④将 f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数 y ＝3sin ωx 的图象．答案 ①③2π解析 ∵周期为 π，∴ ω ＝π⇒ω＝2，2π 4π3 34π3π π 4π 5π 112 23 6 64π 3π π3 2 6π 632π π 3π2 6 2π 2π6 3π 2π63π 2π π π6 3 12 65π12π124．三角函数图象与性质的综合问题x π x π2 4 2 4(1)求 f (x )的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得g(x)，然后利用整体思想求最值．解(1)f(x)＝23sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝3cos x＋sin x[4分]＝2sin(x＋)，[6分]于是T＝＝2π.[7分](2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)，[9分]∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，∴sin(x＋)∈[－，1]，[12分]∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1,2]．[13分]a sinα＋b cosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝)，或a sinα＋b cosα＝a2＋b2cos(α－φ)(其中tanφ＝)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(sin x·aπ6的最大值和最小值．思维点拨(1)先将f(x)化成y＝A sin(ωx＋φ)的形式再求周期；π6规范解答xπxπ2424π32π1ππ66ππ7π666π162π6故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：(化简)将f(x)化为a sin x＋b cos x的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝a2＋b2·b＋cos x·)；a2＋b2a2＋b2第三步：(求性质)利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式baab(2)求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．±1．函数y＝cos⎝2x－3⎭的部分图象可能是⎫[方法与技巧]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．2．由图象确定函数解析式由图象确定y＝A sin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．3．对称问题函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[失误与防范]1．由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．3．函数y＝A sin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t的值域．A组专项基础训练(时间：40分钟)⎛π．2x －，∴当2x － ＝0，解析∵y ＝cos 3⎭⎝即 x ＝ 时，函数取得最大值 1，结合图象看，可使函数在 x ＝ 时取得最大值的只有④. 解析 取 K ，L 中点 N ，则 MN ＝ ，因此 A ＝ .由 T ＝2 得 ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝ ，∴f (x )＝ cos πx ，3.已知函数 f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|< )的部分图象如图所示，则函数 解析 由函数的图象可得 T ＝ π－ π，又图象过点( π，2)，∴2sin(2× π＋φ)＝2， ∴φ＝－ ＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|< ，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则 f ( )的值为．答案3 ∴f ( )＝ cos ＝ .答案 [k π－ ，k π＋ ]，k ∈Z答案 ④⎛ π⎫ π 3π π6 62．设偶函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，1641212π 2121 1 π 3 62 6 4π2f (x )的单调递增区间是．π 5π12 121 2 54 3 12∴T ＝π，则 ω＝2.5 512 12π3π2∴取 k ＝0，则 φ＝－ ，即得 f (x )＝2sin(2x － )，∴f (x )的单调增区间为 2k π－ ≤2x － ≤2k π＋ ，k ∈Z ，即单调递增区间为[k π－ ，k π＋ ]，k ∈Z .4．已知曲线 f (x )＝sin ωx ＋ 3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为 ，且曲线关于点 (x 0,0)中心对称，若 x 0∈⎣0，2⎦，则 x 0＝＝2⎝ sin ωx ＋ ＝2sin ⎝ωx ＋3⎭.∵曲线 f (x )＝2sin ⎝ωx＋3⎭相邻的两条对称轴之间的距离为 ，∴f (x )＝2sin ⎝2x ＋3⎭. 又 x 0∈⎣0，2⎦，∴x 0＝ . 5．函数 f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝|φ|＜2⎭的图象向左平移 个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数 f (x )在⎣0，2⎦上的最小值为 答案 － 3解析 由函数 f (x )的图象向左平移 个单位得 g (x )＝sin ⎝2x ＋φ＋3⎭的图象，π π3 3π π π2 3 2π 5π12 12π2⎡ π⎤.答案π3解析 f (x )＝sin ωx ＋ 3cos ωx⎛1 2 3 ⎫ 2 cosωx ⎭⎛ π⎫⎛ π⎫ π 22π∴最小正周期 T ＝π＝ ω ，∴ω＝2，⎛ π⎫∵曲线关于点(x 0,0)中心对称；π∴2x 0＋3＝k π(k ∈Z )，k π π∴x 0＝ 2 －6(k ∈Z )，⎡ π⎤ π 3⎛ π⎫ π 6⎡ π⎤．2π ⎛ π⎫ 6因为是奇函数，所以 φ＋ ＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜ ，所以 φ＝－ ，2x －.所以 f (x )＝sin 3⎭⎝0，，所以 2x － ∈ － ，，又 x ∈⎣ 2⎦ ⎣ 33 ⎦ ∴ω＝ ＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．，10 ，∵图象过点⎝300⎭∴sin( ＋φ)＝1， ＋φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，又∵0<φ< ，∴φ＝ .100πt ＋，∴I ＝10sin6⎭⎝所以当 x ＝0 时，f (x )取得最小值为－ 3.ω>0,0<φ< ) 的图象如右图所示，则当 t ＝秒时，电流强度是解析由图象知 A ＝10， ＝ － ＝ ， ∴10sin(100π× ＋φ)＝10，当 t ＝ 秒时，I ＝－5 安．7．若函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0 且|φ|< )在区间⎣6， 3 ⎦上是单调递减函数，且函数从 1 减小2到－1，则 f ⎝4⎭＝ .答案3π3π π2 3⎛ π⎫⎡ π⎤ π ⎡ π 2π⎤ 326. 电流强度 I ( 安 ) 随时间 t ( 秒 ) 变化的函数I ＝ A sin(ωt ＋ φ)(A >0 ，π 12 100安．答案 －5T4 1 12 300 300 1002πT⎛ 1 ⎫ 1300π π π3 3 2π6π π2 6⎛ π⎫1100π ⎡π 2π⎤⎛π⎫2解析由题意可得，函数的周期为2×⎝3－6⎭＝π，⎛⎫∴f(x)＝sin⎝2x＋6⎭，∴f⎝4⎭＝sin⎝2＋6⎭＝cos＝.8．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图所示．若方程可得φ＝答案或π解析由图象可知y＝m和y＝f(x)图象的两个交点关于直线x＝或x＝π对称，9．(2015·天津)已知函数f(x)＝sin2x－sin2⎝x－6⎭，x∈R.(2)求f(x)在区间⎣－3，4⎦上的最大值和最小值．1－cos⎝2x－3⎭解(1)由已知，有f(x)＝－⎛sin2x－所以f(x)的最小正周期T＝＝π.⎛2ππ⎫2π即ω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．πππ由sin⎝2×6＋φ⎭＝1，|φ|<26，⎛π⎫⎛π⎫⎛ππ⎫π362π2f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数x1，x2，则x1＋x2的值为．π433π263π4∴x1＋x2＝3或3π.⎛π⎫(1)求f(x)的最小正周期；⎡ππ⎤⎛π⎫1－cos2x221⎛13＝2⎝2cos2x＋2⎫1sin2x⎭－2cos2x＝311π⎫44cos2x＝2sin⎝2x－6⎭.2π2⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎛π⎫1 (2)因为f(x)在区间⎣－3，－6⎦上是减函数，在区间⎣－6，4⎦上是增函数，且f⎝－3⎭＝－4，4 所以 f (x )在区间⎣－3，4⎦上的最大值为 最小值为－ .10．设函数 f (x )＝ 3－ 3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且 y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近 的对称轴的距离为 .(2)求 f (x )在区间⎣π， 2 ⎦上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝ 3－ 3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝ － 3× － sin 2ωx ＝ 3 cos 2ωx － sin 2ωx＝－sin ⎝2ωx －3⎭.依题意知 ＝4× ，ω>0，所以 ω＝1.(2)由(1)知 f (x )＝－sin ⎝2x －3⎭.当 π≤x ≤ 时， ≤2x － ≤ .⎛2 故 f (x )在区间⎣π， 2 ⎦上的最大值和最小值分别为 ，－1.11．已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|< ，ω>0)的图象的一部分如图所⎛ π⎫1⎛π⎫3f ⎝－6⎭＝－2，f ⎝4⎭＝，⎡ π π⎤34 ，1 22π 4(1)求 ω 的值； ⎡ 3π⎤231－cos 2ωx 1 2 2 2 12 2⎛π⎫2π π 2ω 4⎛ π⎫3π 5π π 8π 2 3 3 3 所以－ 3 π⎫2 ≤sin ⎝2x －3⎭≤1.所以－1≤f (x )≤ 3.⎡ 3π⎤3 2B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)π 2示，则该函数的解析式为 ．答案 f (x )＝2sin ⎝2x ＋6⎭∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即 sin φ＝ .∵|φ|< ，∴φ＝ .又∵ π 是函数的一个零点，且是图象递增穿过 x 轴形成的零点，∴ ω＋ ＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝2x ＋6⎭. 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 f (x )的最小正周期为．解析 f (x )＝ 3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋ )(ω>0)．由 2sin(ωx ＋ )＝1 得 sin(ωx ＋ )＝ ，∴ωx ＋ ＝2k π＋ 或 ωx ＋ ＝2k π＋ π(k ∈Z )．故 f (x )的最小正周期 T ＝ ＝π.13．已知函数 f (x )＝cos ⎝3x ＋3⎭，其中 x ∈⎣6，m ⎦，若 f (x )的值域是⎣－1，－ 答案 ⎣ 9 ，18⎦⎛ π⎫解析 观察图象可知：A ＝2 且点(0,1)在图象上，1 π π2 2 611 11π π12 12 6⎛ π⎫12．(2014· 天津改编)已知函数 f (x )＝ 3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线 y ＝f (x )与直线 y ＝1π3答案 ππ6π π 16 6 2π π π 56 6 6 6π π π 5令 k ＝0，得 ωx 1＋6＝6，ωx 2＋6＝6π，2π∴x 1＝0，x 2＝3ω.π 2π π由|x 1－x 2|＝3，得3ω＝3，∴ω＝2.2π2值范围是．⎡2π 5π⎤解析 画出函数的图象．⎛ π⎫ ⎡π ⎤ ⎡ 3⎤ 2 ⎦ ，则 m 的取由 x ∈⎣6，m ⎦，可知 ≤3x ＋ ≤3m ＋ ，且 f ⎝ 9 ⎭＝cos π＝－1，＝－ 要使 f (x )的值域是⎣－1，－2 ⎦ 所以 π≤3m ＋ ≤ π，则 ≤m ≤ ，即 m ∈⎣ 9 ，18⎦.14．已知 f (x )＝sin ⎝ωx ＋3⎭ (ω>0)，f ⎝6⎭＝f ⎝3⎭，且 f (x )在区间⎝6，3⎭上有最小值，无最大值， 答案 146 3 π解析 依题意，x ＝ ＝ 时，y 有最小值，∴sin ⎝4ω＋3⎭＝－1，∴ ω＋ ＝2k π＋ (k ∈Z )，∴ω＝8k ＋ (k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝6，3⎭上有最小值，无最大值， 15．已知函数 f (x )＝ 3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx － (ω>0)，其最小正周期为 . (2)将函数 f (x )的图象向右平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 y ＝g (x )的图象，若关于 x 的方程 g (x )＋k ＝0 在区间[0， ]上有且只有一解 (1)f (x )＝ 3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －⎡π ⎤ 5π π π 6 3 3⎛π⎫ 5π 3 因为 f ⎝6⎭＝cos 6 2⎛2π⎫，⎡ 3⎤ ，π 7 2π 5π3 6 9 18⎡2π 5π⎤⎛ π⎫ ⎛π⎫ ⎛π⎫ ⎛π π⎫则 ω＝.3π π ＋ 2 4⎛π π⎫π π 3π4 3 2143⎛π π⎫π π π 14 ∴3－4<ω，即 ω<12，令 k ＝0，得 ω＝ 3 .1 π2 2(1)求 f (x )的表达式；π8π2个实数解，求实数 k 的取值范围．12＝sin2ωx＋－＝sin(2ωx＋)，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(4x＋)．(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin(4x－)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x－)的图象，所以g(x)＝sin(2x－)，因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，cos2ωx＋11所以g(x)∈[－3又g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间[0，]上≤－k<或－k＝1，解得－3<k≤或k＝－1，，]∪{－1}.3π2226π2πππ由题意知f(x)的最小正周期T＝2，T＝2ω＝ω＝2，π6ππ83ππ33πππ2π23332，1]．ππ22有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32233 22所以实数k的取值范围是(－33 22。
三角函数的性质与应用
三角函数的性质与应用三角函数是数学中一类重要的函数，它们在数学、物理、工程等领域应用广泛。
本文将介绍三角函数的性质以及其在实际问题中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期为2π的函数，定义如下：sinθ = y/r其中，θ表示角度，y表示直角三角形中的对边长度，r表示直角三角形的斜边长度。
正弦函数的性质有：（1）周期性：sin(θ+2π) = sinθ（2）奇偶性：sin(-θ) = -sinθ（3）微分关系：d(sinθ)/dθ = cosθ2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期为2π的函数，定义如下：cosθ = x/r其中，θ表示角度，x表示直角三角形中的邻边长度，r表示直角三角形的斜边长度。
余弦函数的性质有：（1）周期性：cos(θ+2π) = cosθ（2）奇偶性：cos(-θ) = cosθ（3）微分关系：d(cosθ)/dθ = -sinθ3. 正切函数（tan）正切函数是一个周期为π的函数，定义如下：tanθ = y/x其中，θ表示角度，y表示直角三角形中的对边长度，x表示直角三角形中的邻边长度。
正切函数的性质有：（1）周期性：tan(θ+π) = tanθ（2）奇偶性：tan(-θ) = -tanθ（3）微分关系：d(tanθ)/dθ = 1/cos²θ二、三角函数的应用1. 几何应用在几何学中，三角函数广泛应用于解决各种角度和长度相关的问题。
例如，我们可以利用正弦函数和余弦函数来求解三角形的边长和角度，或者计算一个平面图形的面积。
2. 物理应用三角函数在物理学中也有重要的应用，特别是在描述波动、振动和周期性现象时。
例如，我们可以利用正弦函数来描述声波、光波的传播规律，或者利用余弦函数来描述振动物体的运动规律。
3. 工程应用三角函数在工程领域中的应用非常广泛。
例如，在建筑工程中，我们可以利用三角函数来计算房屋的高度、角度等信息；在电子工程中，三角函数可以用于描述电流、电压的波动过程。
高考第一轮复习数学三角函数的图象与性质三
9.已知P1,cosx,Qcosx,1,x∈－ , .
1求向量 和 的夹角θ的余弦用x表示的函数fx；
2求θ的最值.
解：1∵ · =2cosx,
| |·| |=1+cos2x,
∴fx=cosθ= .
2cosθ= = ,
x∈－ , ,cosx∈ ,1.
∴2≤cosx+ ≤ , ≤fx≤1,即 ≤cosθ≤1.
解：定义域为R,又fx+f－x=lg1=0,
即f－x=－fx,∴fx为奇函数.
评述：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.
例2求下列函数的单调区间：
1y= sin － ；2y=－｜sinx+ ｜.
剖析：1要将原函数化为y=－ sin x－ 再求之.2可画出y=－|sinx+ |的图象.
3.判断y=－Asinωx+ ω＞0的单调区间,只需求y=Asinωx+ 的相反区间即可,一般常用数形结合.而求y=Asin－ωx+ －ω＜0单调区间时,则需要先将x的系数变为正的,再设法求之.读者考虑为什么
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教学点睛
本节是图象和性质的综合应用的内容,例题讲解要突出数形结合思想、化归转化思想、分类讨论等数学思想方法,并注意三角知识的载体作用,注意和其他知识间的关联.
解析：显然fx为偶函数,结论①错.
对于结论②,当x=1000π时,x＞2003,sin21000π=0,∴f1000π= － 1000π＜ ,因此结论②错.
又fx= － |x|+ =1－ cos2x－ |x|,－1≤cos2x≤1,
∴－ ≤1－ cos2x≤ .
故1－ cos2x－ |x|＜ ,即结论③错.
三角函数及其应用
三角函数及其应用三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在数学和物理学等学科中，三角函数被广泛应用于各种问题的求解和描述中。
本文将介绍三角函数的基本概念、性质以及其在实际应用中的重要性。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，它的值定义为对边与斜边的比值。
在一个直角三角形中，假设其斜边长度为h，其中一个锐角的对边长度为a，则正弦函数被定义为sinθ = a/h。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一种常用的三角函数，它的值定义为邻边与斜边的比值。
同样在一个直角三角形中，假设其斜边长度为h，其中一个锐角的邻边长度为b，则余弦函数被定义为cosθ = b/h。
3. 正切函数（tan）正切函数是另一个常见的三角函数，它的值定义为对边与邻边的比值。
在直角三角形中，正切函数被定义为tanθ = a/b。
这些基本的三角函数在数学中有许多重要的性质与关系，如同一锐角的正弦与余弦的平方和为1，正弦函数与余弦函数之间存在一个倒数关系等。
这些性质和关系为三角函数的应用提供了坚实的理论基础。
二、三角函数的应用1. 解决三角形问题三角函数在解决三角形相关问题中发挥着重要作用。
例如，已知一个三角形的两边长度和夹角，可以利用三角函数求解该三角形的其他边长和角度。
这在测量学、建筑学和导航等领域中是非常常见的应用。
2. 信号处理与波动模型三角函数在信号处理和波动模型中有广泛的应用。
例如，在音频处理中，正弦函数可以用来描述声音的波动。
在电子通信中，可以利用三角函数描述和分析调制信号的频谱特性。
这些应用使得三角函数成为了数字信号处理和通信工程的重要基础。
3. 物理学中的运动描述在物理学中，三角函数也被广泛用于描述物体的运动。
例如，一个振动的物体可以用正弦函数来描述其位置随时间的变化。
同样地，一段直线运动可以用余弦函数来描述物体的位置随时间的变化。
这些应用使得三角函数在物理学建模和运动分析中具有重要地位。
三角函数的8种性质及应用专题讲解
三角函数的8种性质及应用专题讲解本文将讲解三角函数的8种性质及应用。
三角函数是数学中的重要概念，具有广泛的应用领域。
1. 正弦函数的性质及应用正弦函数是三角函数中的一种，记作sin(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
正弦函数的应用包括：- 在物理学中，用于描述振动和波动现象；- 在工程学中，用于计算交流电流的变化。
2. 余弦函数的性质及应用余弦函数是三角函数中的一种，记作cos(x)。
它的性质包括：周期性、偶函数和界限。
余弦函数的应用包括：- 在几何学中，用于计算角度和距离；- 在工程学中，用于计算交流电压的变化。
3. 正切函数的性质及应用正切函数是三角函数中的一种，记作tan(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
正切函数的应用包括：- 在静力学中，用于计算物体的平衡条件；- 在通信工程中，用于计算信号的传输角度。
4. 余切函数的性质及应用余切函数是三角函数中的一种，记作cot(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
余切函数的应用包括：- 在物理学中，用于计算电流和电阻之间的关系；- 在金融学中，用于计算利率和本金的关系。
5. 正割函数的性质及应用正割函数是三角函数中的一种，记作sec(x)。
它的性质包括：周期性、偶函数和界限。
正割函数的应用包括：- 在工程学中，用于计算电路的电流和电压之间的关系；- 在测量学中，用于计算角度和边长的关系。
6. 余割函数的性质及应用余割函数是三角函数中的一种，记作csc(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
余割函数的应用包括：- 在物理学中，用于计算声波和光波的频率；- 在经济学中，用于计算供应和需求之间的关系。
7. 三角函数的诱导公式及应用三角函数的诱导公式是将一个三角函数表达为其他三角函数的组合形式。
利用诱导公式，可以简化三角函数的运算。
三角函数的诱导公式的应用包括：- 在数学证明中，用于简化复杂的三角函数表达式；- 在物理学和工程学中，用于计算复杂波动的特性。
三角函数的基本性质及应用
三角函数的基本性质及应用三角函数是数学中的重要概念，它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的基本性质以及其在实际应用中的具体用途。
一、三角函数的基本性质1. 正弦函数（sine function）：正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
它是一个周期函数，周期为360度或2π弧度。
正弦函数的图像在0度、90度、180度、270度和360度处的函数值分别为0、1、0、-1和0。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数的定义域和值域同样为实数集。
它也是一个周期函数，与正弦函数的周期相同。
余弦函数的图像在0度、90度、180度、270度和360度处的函数值分别为1、0、-1、0和1。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数的定义域为实数集，但是在某些位置会出现无穷大值。
正切函数的值域为整个实数集。
它同样是一个周期函数，周期为180度或π弧度。
正切函数的图像在0度、45度、90度、135度和180度处的函数值分别为0、1、无穷大、-1和0。
二、三角函数的应用1. 几何学应用：三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，利用正弦定理和余弦定理可以计算三角形的边长和角度。
在测量领域，三角函数也被用于解决各种测量问题，如测量高楼大厦的高度、距离和角度。
2. 物理学应用：三角函数在物理学中的应用也非常重要。
例如，在力学中，利用三角函数可以描述物体的运动、速度和加速度。
在波动学中，三角函数被用来表示振幅、频率和相位差等概念。
3. 工程学应用：三角函数在工程学中有广泛的应用。
在建筑工程中，利用三角函数可以计算出房屋的角度和尺寸。
在电子工程中，三角函数被用于分析交流电信号的频率和相位。
总结：三角函数是数学中的重要概念，具有基本性质和广泛的应用。
正弦函数、余弦函数和正切函数作为三角函数的代表，它们在几何学、物理学和工程学中扮演着重要角色。
通过研究和应用三角函数，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
三角函数的定义与性质及应用
三角函数的定义与性质及应用三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义与性质以及它们在实际问题中的应用。
一、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）等，在平面直角坐标系中定义如下：正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示斜边与对应的直角边的比值，记作sinθ，其中θ为对应的角度。
正弦函数的取值范围为[-1,1]。
余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示斜边与斜边所在直角边的比值，记作cosθ，其中θ为对应的角度。
余弦函数的取值范围为[-1,1]。
正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值，记作tanθ，其中θ为对应的角度。
正切函数的取值范围是整个实数集。
三角函数具有一些基本性质：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，即sin(θ+2π)=sinθ，cos(θ+2π)=cosθ。
正切函数的周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ)=cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。
3. 相关性质：正弦函数与余弦函数有如下关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。
这被称为三角恒等式，它是三角函数最基本的性质之一。
二、三角函数的应用三角函数在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
下面分别介绍它们的应用。
1. 几何学应用：三角函数在几何学中经常用于解决直角三角形的问题。
通过利用正弦函数、余弦函数和正切函数，可以求解三角形的边长、角度等信息。
例如，通过已知一个角度和一个边长，可以利用正弦函数求解另一个角度或边长。
2. 物理学应用：三角函数在物理学中的应用广泛，尤其是在描述周期性运动中。
例如，物体做简谐振动时，其位移随时间的变化可以用正弦函数或余弦函数表示。
三角函数的性质与应用
三角函数的性质与应用三角函数是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将探讨三角函数的性质以及它们在实际问题中的应用。
一、三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦值等于对边长度与斜边长度的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦值等于邻边长度与斜边长度的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切值等于对边长度与邻边长度的比值。
三角函数具有一些基本性质，包括：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，即在一个周期内，函数的值会重复出现。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
3. 定义域和值域：正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
二、三角函数的应用1. 几何学中的应用：三角函数广泛应用于几何学中的角的计算和图形的描述。
通过三角函数的值，我们可以计算出角的大小以及各边的长度。
例如，在三角形中，已知一个角和两条边的长度，可以使用三角函数计算出其他边的长度。
2. 物理学中的应用：三角函数在物理学中有着重要的地位。
例如，在力学中，物体的运动轨迹可以通过正弦函数或余弦函数进行描述。
在波动学中，声波和光波的传播特性可以通过三角函数进行分析。
当我们研究振动、波动和周期性现象时，三角函数的应用尤为重要。
3. 工程学中的应用：工程学涉及到许多实际问题的计算和设计。
三角函数在工程学中有着广泛的应用，例如在建筑设计中，通过三角函数可以计算出建筑物的高度和角度。
在电子工程中，使用三角函数可以计算出信号的频率和相位。
4. 统计学中的应用：统计学是研究数据收集、分析和解释的学科。
三角函数的应用可以帮助我们分析一些周期性数据，例如天气变化、经济指标的波动等。
通过对数据进行三角函数的拟合，我们可以找到数据中的周期性规律，进而进行预测和分析。
高中数学三角函数专题03 三角函数的性质
专题03 三角函数的性质题型一:值域问题一．选择题（共6小题）1．（2020秋•荆州区校级期末）已知函数()|sin ||cos |f x x x =+，则下列说法正确的是()A ．()f x 的最小值为0B ．()f x 的最大值为2C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在[0,]2π上有解2．（2020秋•吉安期末）函数()sin |||sin |f x x x =-的值域是( )A ．[2-，0]B ．(2,0)-C ．(0,2)D ．[0，2]3．（2020秋•南昌期末）[0x ∈，2]π，y =+( ) A ．[0,)2x π∈B ．(,]2ππC ．3[,)2ππ D ．3(,2]2ππ 4．（2020秋•镜湖区校级期末）已知函数2()sin 2sin xf x x =+，则()f x 的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．15．（2021春•朝阳区校级月考）函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最大值2，最小值1-，则2a b +等于( ) A ．5B ．6C ．8D ．96．（2021春•石景山区期末）已知函数()2sin cos2f x x x =+，则()f x 的最大值是( )AB ．3C ．32D ．1二．多选题（共1小题）7．（2021春•常州月考）已知函数1()sin sin()34f x x x π=⋅+-的定义域为[m ，]()n m n <，值域为11[,]24-，则n m -的值可能是( )A ．6π B ．4π C ．2π D ．23π 三．填空题（共8小题）8．（2021春•日照期末）已知函数1()sin sin()34f x x x π=⋅+-的定义域为[m ，]()n m n <，值域为11[,]24-，则n m -的取值范围为 ．9．（2021春•宝塔区校级期中）函数()cos2sin f x x x =+的值域是 ．10．（2020秋•镇江期末）函数2sin(2)3y x π=-在2[0,]3π上的值域为 ．11．（2021春•广安期末）设函数3cos ()2sin xf x x=+．①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的最大值为32； ③()f x 在区间2(0,)3π上单调递减； ④0x ∀>，都有()f x x >-成立； ⑤()f x 的一个对称中心为(2,0)π．其中真命题有 （请填写真命题的编号）．12．（2018春•浦东新区期中）函数21()cos ([0,])42f x x x x π=-+∈的最大值是13．（2019•新课标Ⅰ）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ． 14．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ．15．（2019•博望区校级开学）函数()cos 2sin f x x x =-在x a =时取得最小值，则cos α= ． 四．解答题（共1小题） 16．求函数sin 1cos 2x y x -=-的最大值及最小值．题型二:周期问题一．选择题（共15小题）1．（2021春•许昌期末）函数24cos y x =是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数2．（2021春•西城区期末）函数22()cos 2sin 2f x x x =-的最小正周期是( )A ．2π B ．π C ．2π D ．4π3．（2021春•湖南期末）已知函数()cos()(0)3f x x πωω=+>在4(0,)3π单调递减，在4(,2)3ππ单调递增，则()f x 的最小正周期为( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π4．（2021春•昌江区校级期中）下列函数中①sin ||y x =②|sin |y x =③|tan |y x =④|12cos |y x =+其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．（2021春•丰台区期中）函数()cos2f x x =的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是()A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 6．（2021春•徐汇区校级月考）已知A 是函数()2sin(2021)cos(2021)44f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数1x 、2x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x 成立，则12||A x x ⋅-的最小值是( ) A ．22021B ．2021πC ．22021πD ．32021π7．（2013秋•芜湖期末）已知函数()2sin(2)4xf x =+，如果存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，都有12()()()f x f x f x ，则12||x x -的最小值是( ) A ．8πB ．4πC ．2πD ．π8．（2021•安徽模拟）已知函数()sin cos (0f x x a x a ωω=+>，0)ω>，若函数()f x 的最小正周期2T π<且在6x π=处取得最大值2，则ω的最小值为( ) A ．5B ．7C ．11D ．139．（2021•河南模拟）已知函数()cos()(*)3f x x N πωω=+∈，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．110．（2021•安徽模拟）关于函数()|sin 2||cos2|f x x x =+，下列结论正确的是( ) A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在[0,]4π上单调递减D ．8x π=是()f x 的一条对称轴11．（2020秋•荆州区校级期末）已知函数()|sin ||cos |f x x x =+，则下列说法正确的是()A ．()f x 的最小值为0B ．()f x 的最大值为2C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在[0,]2π上有解12．（2020秋•吉安期末）函数()sin |||sin |f x x x =-的值域是( ) A ．[2-，0]B ．(2,0)-C ．(0,2)D ．[0，2]13．（2021春•开封期末）设0ω>，将函数sin()6y x πω=+的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．1214．（2021•浙江二模）函数sin()(0)y x ωϕω=+>的图象向左平移23π个单位，所得到图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω的最小值是( ) A ．34B ．32C ．2D ．315．（2021•广西模拟）将函数1()sin(?)2(0)26f x x πωω=++>的图象向右平移?3π个单位长度后与原函数图象重合，则实数ω的最小值是( ) A ．2B ．3C ．6D ．9二．多选题（共1小题）16．（2021•丹东一模）设函数()sin ||cos |f x x x -，则( )A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的值域为[1-C ．()f x 在(,)22ππ-上单调递增D ．()f x 在[π-，]π上有4个零点三．填空题（共3小题）17．（2021•常州一模）函数()|sin cos ||sin cos |f x x x x x =++-的最小正周期为 ． 18．设函数()tan (0)f x x ωω=>，将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为 ．19．（2020春•如皋市月考）已知函数()|sin()|(0)f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ． 题型三:单调性问题一．选择题（共10小题）1．（2021春•南山区校级期末）下列区间中，函数()7sin()6f x x π=+单调递增的区间是()A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 2．（2021•信阳模拟）已知直线2y =-与函数()2sin()3f x x πω=-，（其中0)w >的相邻两交点间的距离为π，则函数()f x 的单调递增区间为( ) A ．5[,],66k k k Z ππππ-+∈ B ．5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ C ．511[,],66k k k Z ππππ-+∈ D ．511[,],612k k k Z ππππ-+∈3．（2021•湖南模拟）函数())(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为( )A ．5[12k ππ-，]12k ππ+，k Z ∈ B ．[12k ππ+，7]12k ππ+，k Z ∈ C ．[2k ππ-，]2k ππ+，k Z ∈ D ．[12k ππ+，5]12k ππ+，k Z ∈ 4．（2021•道里区校级三模）已知m 为常数，在某个相同的闭区间上，若()f x 为单调递增函数，()f x m +为单调递减函数，则称此区间为函数()f x 的“m LD -”区间．若函数()3sin(2)6f x x π=-，则此函数的“4LD π-”区间为( )A ．[6k ππ-，]()12k k Z ππ+∈ B ．[3k ππ+，7]()12k k Z ππ+∈C ．[12k ππ+，]()3k k Z ππ+∈ D ．7[12k ππ+，5]()6k k Z ππ+∈5．（2020秋•梁园区校级期末）已知函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<，1()2f x =，2()0f x =，若12||x x -的最小值为12，且1()12f =，则()f x 的单调递减区间为( ) A ．17[2,2],66k k k Z ++∈B ．51[2,2],66k k k Z ππ-++∈C ．51[2,2],66k k k Z -++∈D ．15[2,2],66k k k Z -++∈6．（2021春•扬中市校级月考）下列函数中同时具有性质：①最小正周期是π，②图象关于的5(,0)12π-对称，③在[,]63ππ-上为减函数的是( )A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=-C ．cos(2)3y x π=+D ．cos(2)6y x π=-7．（2020秋•凉山州期末）设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>在(,]123ππ-上为增函数，在[,)32ππ上是减函数，则ω的可能取值为( ) A ．362k +，k Z ∈ B ．32C ．364k +，k Z ∈ D ．348．（2021•沙坪坝区校级模拟）若函数()sin 2cos 6f x x a x x =++在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围为( )A ．[4-，4]B ．[3-，4]C ．[4-，3]-D ．[3-，3]9．（2021•全国Ⅱ卷模拟）已知函数()2(2|cos |cos )sin f x x x x =+⋅，则( ) A ．当[0x ∈，3]2π时，()[0f x ∈，3] B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 在5[,]4ππ上单调递减D ．函数()f x 的对称中心为(2k π，0)()k Z ∈10．（2020秋•太原期末）函数()2cos ||cos2f x x x =-在[x π∈-，]π上的单调增区间为()A ．[,]3ππ--和[0,]3πB ．[,0]3π-和[,]3ππC ．[,0]6π-和[,]6ππD ．[,]6ππ--和[0,]6π二．多选题（共2小题）11．（2021•江苏二模）已知函数()f x =( ) A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的图象必有对称轴C ．()f x 的增区间为[,],2k k k Z πππ+∈D ．()f x 的值域为12．（2021•烟台一模）已知函数()2|sin ||cos |1f x x x =+-，则( ) A ．()f x 在[0，]2π上单调递增B ．直线2x π=是()f x 图象的一条对称轴C ．方程()1f x =在[0，]π上有三个实根D ．()f x 的最小值为1- 三．填空题（共2小题）13．（2021春•浦东新区校级期末）函数sin()6y x π=+，[0x ∈，]2π的单调增区间为 ．14．（2020秋•丽水期末）函数()sin sin()1((0,))3f x x x x ππ=⋅+-∈最大值是 ，单调递增区间是 ．题型四:对称性一．选择题（共17小题）1．（2021春•河南期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象的一条对称轴是4x π=，则(ba= )A ．1B ．1-C D ．2．（2021秋•广州月考）函数()sin()cos()36f x x x ππ=++-具有性质( )A ．最大值为2，图象关于(,0)6π-对称B (,0)6π-对称C ．最大值为2，图象关于直线6x π=对称D 6x π=对称3．（2021春•保山期末）若函数sin(2)(0)y x ϕϕ=+>关于直线3x π=对称，则ϕ的最小值为()A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 4．（2021春•河南期末）若函数()sin()((0f x x ϕϕ=+∈，))π图象的一条对称轴为6x π=，则(ϕ= )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π5．（2021春•宝鸡期末）函数()sin 22f x x x =+图象的一条对称轴是( ) A ．12x π=B ．4x π=C ．3x π=D ．2x π=6．（2021春•西城区校级期末）函数2sin()6y x π=-的图象( )A ．关于直线6x π=对称 B ．关于直线6x π=-对称C ．关于点(,0)6π对称D ．关于点(,0)6π-对称7．（2020秋•高安市校级期末）函数2()cos()2sin sin()555f x x x πππ=+++的一条对称轴为( ) A ．5πB ．25π C ．π D ．2π 8．（2021春•庐阳区校级月考）已知函数()sin (0)f x x ωω=>在[6π-，]4π上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为32x π=，则ω的值不可能是( ) A ．13B ．73C ．1D ．539．（2018春•福清市期末）已知函数1()sin(3)2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴是3x π=，则下列是函数()f x 的零点的是( ) A ．3π-B ．6π-C ．4πD ．3π 10．（2021春•郑州期中）已知函数()sin 2cos2f x x a x =+的图象的一条对称轴是直线6x π=，则函数()sin 2cos2g x a x x =--的图象( )对称 A ．关于直线12x π=对称B ．关于点(,0)12π对称C ．关于直线2x π=对称D ．关于点(,0)2π对称11．（2021•马鞍山三模）已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>，若函数()f x 图象上相邻两对称轴之间的距离为3π，则下列关于函数()f x 的叙述，正确的是( ) A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于3x π=对称C ．在(,)32ππ上单调递减D ．在(6π-，)18π上单调递增12．（2021•泸州模拟）已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象关于点(4π，0)对称，则ω的取值不可能是( ) A ．4B ．6C ．8D ．1213．（2021•湖南模拟）若曲线sin(3)(2)y x ϕϕπ=+<关于直线12x π=对称，则ϕ的最大值为( ) A ．4πB ．54π C ．23π D ．53π 14．（2021•呼和浩特一模）已知函数()f x 的周期为4π且()1f ϕ=，若()2sin(2)6f x x πωϕ-=+，(0,0)ωϕπ><<，则关于函数()f x ，下面判断正确的是( )A ．函数()f x 是偶函数B ．43x π=是函数()f x 的一条对称轴 C ．函数()f x 是奇函数 D ．(12π-，0)是函数()f x 的一个对称中心15．（2020秋•阜阳期末）已知函数()sin(4)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一个对称中心为(,0)10π-，则(ϕ= )A ．25π-B ．310π-C ．35π-D ．710π-16．（2020秋•广州期末）已知函数1()2sin()(62f x x πωω=->，)x R ∈，若()f x 的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3,4)ππ，则ω的取值范围是( ) A ．1287(,][,]2396B ．1171729(,][,]2241824C ．52811[,][,]93912D ．11171723[,][,]1824182417．（2021春•城关区校级期末）若函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则函数()f x 图象的一条对称轴是( )A ．56x π=-B ．1124x π=-C ．1112x π=D ．116x π=题型五:奇偶性一．选择题（共2小题）1．（2021春•西湖区期中）若函数()sin()4f x x πϕ=++为奇函数，则ϕ的一个取值可能为() A ．0B ．4π-C ．2πD ．π2．（2021•呼和浩特一模）已知函数()f x 的周期为4π且()1f ϕ=，若()2sin(2)6f x x πωϕ-=+，(0,0)ωϕπ><<，则关于函数()f x ，下面判断正确的是( )A ．函数()f x 是偶函数B ．43x π=是函数()f x 的一条对称轴 C ．函数()f x 是奇函数D ．(12π-，0)是函数()f x 的一个对称中心二．多选题（共5小题）3．（2021春•恩施市校级月考）已知()sin |||sin |f x x x =+，下列说法正确的有( ) A ．()f x 为偶函数 B ．()f x 关于2x π=对称C ．()f x 的值域为[0，2]D ．()f x 为周期函数4．（2021•水富市校级开学）函数()sin(2)f x x ϕ=+是R 上的偶函数，则ϕ的值可以是() A ．2πB ．πC ．32π D ．2π-5．（2021秋•广东月考）已知函数()cos()cos()44f x x x ππ=+-，则( )A ．()f x 是周期为π的周期函数B ．()f x 的值域是[1-，1]C ．()f x 在[0，]2π上单调递增D ．将()f x 的图像向左平移4π个单位长度后，可得一个奇函数的图像 6．（2019秋•即墨区校级月考）已知函数()2sin()6f x x ππ=+，①()f x 的图象关于点1(6-，0)对称；②()f x 的图象关于直线43x =对称；③()f x 在1[2-，1]3上为增函数；④把()f x 的图象向右平移23个单位长度，得到一个偶函数的图象．则关于函数()f x 的性质的结论正确的有( ) A ．①B ．②C ．③D ．④7．（2021•山东模拟）设函数4()cos(2)sin(2)32f x x x ππ=+++，则下列结论正确的有( ) A ．函数()f x 的对称轴方程为62k x ππ=+，()k Z ∈ B ．函数()f x 的图象关于2(3π-，0)对称 C ．函数()f x 的单调递减区间为[6k ππ+，2]3k ππ+，()k Z ∈D ．将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是6π三．填空题（共9小题）8．（2021春•杨浦区校级期中）若函数sin(2)y x ϕ=+（其中常数[0ϕ∈，])π是R 上的偶函数，则ϕ的值为 ．9．（2020春•潞州区校级期末）函数()3sin(2)3f x x πϕ=-+，(0,)ϕπ∈为偶函数，则ϕ的值为 ．10．已知函数()sin()(1f x x ϕ=Ω+Ω>，0)ϕπ是R 上的偶函数，则ϕ= ，若函数()f x 的图象关于点3(4M π，0)对称，且在[0，]2π上单调，则Ω= ． 11．（2020秋•玉林期中）若将函数()|sin()|(0)6f x x πωω=+>的图象向左平移9π个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是 ．12．（2021•宁波二模）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<部分图象如图所示，则ω= ，为了得到偶函数()y g x =的图象，至少要将函数()y f x =的图象向右平移 个单位长度．13．（2020•黑卷模拟）已知函数()2cos()(0)6f x x πωω=+>，则下列命题正确的是 ．①将()f x 的图象向左平移23π个单位长度对应的函数是偶函数，则ω的最小值为54； ②若对任意实数x 都有()()33f x f x ππ+=-恒成立，设()3sin()16g x x πω=++，则()23g π=；③当2ω=时，若函数()2f x -向左平移6π个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数()g x ，则()g x 为奇函数； ④当12ω=时，将()f x 向右平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图象，若12()()9g x g x =，且1x ，2[4x π∈-，4]π，则122x x -的最大值为233π．14．函数2()cos 2cos f x x x x =+的值域是 ，将()f x 的函数图象平移a 个单位，得到一个偶函数的图象，则||a 的最小值为 ．15．（2020•南通模拟）将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位长度，所得函数为偶函数，则ϕ的最小正值是 ．16．（2020•涪城区校级模拟）函数2cos 2y x x =-的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的值为 ．题型六:伸缩变换一．选择题（共9小题）1．（2019春•舒兰市期中）要得到函数cos(22)y x =-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象()A ．向左平移个单位B ．向右平移14π-个单位 C ．向左平移14π-个单位D ．向右平移14π+个单位2．（2020春•五华区校级月考）要得到函数2cos 2y x x =+的图象，只需要将函数sin 22y x x =-的图象( )A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位3．（2021•河南模拟）为了得到函数()sin 2g x x =的图象，需将函数()sin(2)6f x x π=-的图象( )A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度D ．向右平移512π个单位长度4．（2021•菏泽二模）已知函数()sin()cos 3f x x x π=+-3π个单位，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若12121()()()4g x g x x x ⋅=≠，则12||x x -的最小值为( )A ．4π B ．2π C ．π D ．2π5．（2021•柳南区校级模拟）函数()cos()(0)3f x x πωω=+>的图像与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()sin g x x ω=的图像，只需将函数()f x 的图像( )A ．向右平移512π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向左平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 6．（2021•九江三模）已知曲线1:sin C y x =，曲线2:sin()(0,||)2C y x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是( )A ．将曲线1C 先向左平移6π个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线2C B ．将曲线1C 先向左平移6π个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到曲线2CC ．将曲线1C 先向左平移3π个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线2CD ．将曲线1C 先向左平移3π个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到曲线2C7．（2021•祁县校级模拟）将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)2πϕϕ<个单位长度后，得到函数cos(2)6y x π=+的图象，则ϕ等于( )A ．12πB ．6π C ．3π D ．53π 8．（2021•庐阳区校级模拟）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象向右平移4π个单位后所得函数图象与函数()f x 的图象关于x 轴对称，则ω最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．69．（2021春•昌江区校级）将函数3sin(2)y x ϕ=+的图象C ，先向右平移4π个单位，再向上平移一个单位，得到图象C '，若C '的一条对称轴是直线3x π=，则ϕ的一个可能值是() A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 题型七:求y ＝Asin(wx+d)+k 的解析式一．选择题（共15小题）1．（2021•山东模拟）已知函数()cos()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为( )A ．7[212k ππ+，192]()12k k Z ππ+∈B ．7[12k ππ+，13]()12k k Z ππ+∈ C ．[212k ππ+，72]()12k k Z ππ+∈D ．[12k ππ+，7]()12k k Z ππ+∈2．（2021春•达州期末）函数()sin()(0)6f x A x πωω=+>的部分图象如图，()f x 的最小正零点是512π，则()(f x = )A ．72sin()12x π+B ．2sin(2)6x π+C ．2sin(2)6x π-+D ．sin(2)6x π+3．（2021春•安徽期末）若函数()()16g x f x π=-+为奇函数，函数()f x 的导函数()cos()(0f x x ωϕω'=+>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，当5[,]183x ππ∈-时，则()f x 的最小值为( )A ．1-B ．43-C ．23-D ．13-4．（2021春•日照期末）函数()sin()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，那么()(2f π= )A B ．12C D 5．（2021•迎江区校级三模）函数()2sin()f x x ωϕ=+，(0,||)2πωϕ><的部分图象如图所示．若对任意x R ∈，()(2)0f x f t x +-=恒成立，则t 的最小正值为( )A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 6．（2021•全国模拟）已知函数()sin()(0,0)42f x A x A ππϕϕ=+><<的部分图象如图所示，其中Q ，R 是与函数的极大值P 相邻的两个极小值点，且PQR ∆为正三角形，则函数()y f x =在区间15[,]33-上的值域为( )A ．，B ．1[,1]2C ．1[2D ．[-7．（2021春•庐阳区校级月考）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点(4P π，2)，其对应的方程为12||(2[])|sin |(02xy x x ωπ=-，其中[]x 为不超过x 的最大整数，05)ω<<．若该葫芦曲线上一点M 到y 轴的距离为53π，则点M 到x 轴的距离为( )A ．14B C ．12D 8．（2021•广西模拟）如图是函数sin()(0y A x A ωϕ=+>，0ω>，02)ϕπ<<的部分图象，则该函数图象与直线2021xy =的交点个数为( )A ．8083B ．8084C ．8085D ．80869．（2021•西安模拟）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则365()24x f π+在闭区间[6π-，]4π上的最小值和最大值依次为( )A ．2B ．2-，C ．0D ．0，210．（2021春•浦东新区校级期中）函数()sin(2)(0f x x ϕω=+>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示，//BC x 轴，当[0,]4x π∈时，若不等式()sin 2f x m x -恒成立，则m 的取值范围是()A ．(-∞B ．1(,]2-∞C ．(-∞D ．(-∞，1]11．（2021•江西二模）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕπ<<的一个周期的图象如图所示，其中(0)1f =，f （1）0=．121()()2f x f x ==-，则21(2)(f x x --= )A ．74-B ．C ．74D12．（2021•临汾模拟）已知函数1()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，10ω>，)22ππϕ-<<，22()sin()(0)6g x A x πωω=+>且函数()f x 的图象如图所示，则下列判断不正确的是( )A ．2A =，11ω=，3πϕ=- B ．若12ωω=，则()()f x g x =C ．若()g x 在(2π，)π上单调递减，则2ω的取值范围为2[3，4]3D ．如果22ω=，且()g x a -为偶函数，则()6k k Z παπ=-+∈13．（2021•襄城区校级模拟）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0)ϕπ<<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是( )A ．函数()f x 在3(,)2ππ--上单调递增 B ．函数()f x 的图象关于点(,0)3π-成中心对称C ．函数()f x 的图象向右平移512π个单位后关于直线56x π=成轴对称D ．若圆半径为512π，则函数()f x 的解析式为())3f x x π=+14．（2021•石嘴山模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min ．已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度()H m 关于时间()t min 的函数关系式为6555cos(030)15H t t π=-，若甲、乙两人的座舱之间有7个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为( )A ．25mB ．27.5mC ．D ．55m15．（2021春•杨陵区期末）如图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()(x ωϕ+= )A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．cos(2)3x π-D ．5cos(2)6x π- 三．填空题（共6小题）16．（2021春•达州期末）汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面．如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记P ，标记P 到该轮轴中心的距离为0.3m ．若该小汽车起动时，标记P 离地面的距离为0.45m ，汽车以64.8/km h 的速度在水平地面匀速行驶，标记P 离地面的高度()f x （单位：)m 与小汽车行驶时间x （单位：)s 的函数关系式是()sin()f x A x b ωϕ=++，其中0A >，0ω>，||2πϕ<，则()f x = ．17．（2021•全国Ⅱ卷模拟）已知函数()2sin()(||)2f x x πωϕϕ=+<的部分图象如图所示，若0067()()5918f x x ππ=-<<，则0cos3x = ．18．（2014•淮南二模）如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)2πϕ与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足(2,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，PM =，则A的值为 ．19．（2021秋•浙江月考）如图为函数cos()(0y x ωϕω=+>，0)ϕπ<<的部分图像，则ω= ，ϕ= ．20．（2020春•海淀区校级期末）已知函数2sin()(0y x ωϕω=+>，||)2πϕ<的图象如图所示，则ω的值为 ．21．（2021•嘉兴模拟）若函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<的部分图象如图所示，则A = ，(0)f = ．题型八:五点作图法一．解答题（共6小题）1．（2021春•南阳期末）函数()sin()16f x A x πω=-+，(0,0)A ω>>的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求函数()f x 的解析式和函数()f x 的单调递增区间； （2）()f x 的图像向右平行移动12π个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到()g x 的图像，写出函数()g x 的解析式并作出()g x 在[0，]π内的图像．2．（2021春•顺德区期末）已知函数()3sin()f x x ωϕ=+，0ω>，||2πϕ<．从下面的两个条件中任选其中一个：①23()3cos cos 2f x x x x =+-；②若1()3f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值为4π，3(0)2f =；求解下列问题： （Ⅰ）化简()f x 的表达式并求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）请填写表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象． （注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则以条件①计分）3．已知函数()3sin()4f x x π=-． （1）某同学利用五点法画函数()f x 在区间[4π，9]4π上的图象．他列出表格并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；（2）已知函数()()(0)4g x f x ωω=+>．①若函数()g x 的最小正周期为2π，求函数()g x 的单调递增区间； ②若函数()g x 在(0,)6π上没有零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．4．（2021春•顺义区校级期中）已知函数()sin(2)6f x x π=-．（1）请用“五点法”画出函数()f x 在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）求()f x 在区间[12π，]2π上的最大值和最小值及相应的x 值．5．（2021•金安区校级开学）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，并求出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心．6．（2021春•海淀区期中）已知函数()2sin()3f x x π=-．（Ⅰ）某同学利用五点法画函数()f x 在区间7[,]33ππ上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；（Ⅱ）已知函数()()(0)g x f x ωω=>． （ⅰ）若函数()g x 的最小正周期为23π，求()g x 的单调递增区间； （ⅱ）若函数()g x 在[0,]3π上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．。
三角函数的基本性质与应用
三角函数的基本性质与应用三角函数是数学中一类非常重要且广泛应用的函数。
它们在几何和物理等领域中具有重要作用。
本文将介绍三角函数的基本性质以及它们在实际应用中的具体应用。
一、正弦函数的基本性质与应用正弦函数（sine function）是最基本的三角函数之一。
它定义为一个角的对边与斜边的比值。
正弦函数的基本性质如下：1. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期为2π（或360°）。
这意味着对于一个给定的角度，正弦函数的值会在每个周期内重复。
2. 奇函数性质：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
这意味着正弦函数关于原点对称，左右两侧呈现镜像关系。
正弦函数在实际应用中广泛应用，其中一些典型的应用包括：1. 音波分析：正弦函数被广泛用于声音和音乐的分析。
通过正弦函数的频率和振幅，我们可以分析和描述不同音调和音量的声音信号。
2. 振动现象：正弦函数模拟周期性振动现象。
例如，通过正弦函数的图像，我们可以了解弹簧振子、摆振等周期性振动的特点和行为。
二、余弦函数的基本性质与应用余弦函数（cosine function）是另一个基本的三角函数。
它定义为一个角的邻边与斜边的比值。
余弦函数的基本性质如下：1. 周期性：余弦函数同样是周期性函数，其周期也是2π（或360°）。
余弦函数的周期与正弦函数完全相同。
2. 偶函数性质：余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
这意味着余弦函数关于y轴对称，左右两侧呈现对称关系。
余弦函数在实际应用中也具有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用：1. 电路分析：在电路分析中，余弦函数用来描述交流电的电压和电流变化。
通过余弦函数的振幅和频率，我们可以分析电路中的电压和电流随时间的变化情况。
2. 光学的干涉和衍射现象：在光学中，余弦函数被用来描述光的干涉和衍射现象。
通过余弦函数，我们可以计算不同波长的光线的叠加和干涉效应。
三、正切函数的基本性质与应用正切函数（tangent function）是三角函数中的第三个基本函数。
专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案
第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数 性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)； 单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性 奇 偶 奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3； 当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和． 变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分． 阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。
三角函数的性质与应用
三角函数的性质与应用引言：三角函数是数学中一个重要的分支，它研究角度和三角形之间的关系，具有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的性质以及其在实际问题中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的一种，它定义为一个角的对边与斜边之比。
正弦函数的性质包括周期性、奇偶性和界值等。
周期性是指正弦函数的值在一定范围内重复出现，奇偶性则决定了正弦函数的对称性，界值则是指正弦函数的取值范围。
2. 余弦函数余弦函数是正弦函数的补函数，它定义为一个角的邻边与斜边之比。
余弦函数与正弦函数具有相似的性质，包括周期性、奇偶性和界值等。
不同的是，余弦函数的取值范围与正弦函数相反。
3. 正切函数正切函数是角的正弦值与余弦值之比，它定义了一个角的斜边与邻边之比。
正切函数的性质包括周期性、奇偶性和界值等。
正切函数在数学和物理中有广泛的应用，如在三角恒等式的证明中常常使用到。
4. 反三角函数反三角函数是三角函数的逆运算，它可以将一个三角函数值转化为对应的角度值。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
反三角函数的性质包括定义域、值域和导数等。
二、三角函数的应用1. 几何应用三角函数在几何中有广泛的应用，如计算三角形的边长和角度、解决三角形的面积和高度等。
三角函数的性质可以帮助我们推导出一些几何定理，如正弦定理、余弦定理和正切定理等。
2. 物理应用三角函数在物理学中也有重要的应用，如在力学中的运动学和动力学中。
三角函数可以描述物体的运动轨迹、速度和加速度等。
在波动学中，三角函数可以描述波的传播和干涉现象。
3. 工程应用三角函数在工程学中也有广泛的应用，如在建筑设计中的测量和布局、电路中的交流电压和电流计算等。
三角函数可以帮助工程师解决一些实际问题，如测量高楼的高度、计算电路中的功率和电阻等。
4. 统计应用三角函数在统计学中也有一定的应用，如在数据处理和分析中的周期性和波动性等。
三角函数可以帮助统计学家分析和预测一些周期性现象，如股市的涨跌和季节性的销售变化等。
高中数学三角函数性质的证明与应用实例
高中数学三角函数性质的证明与应用实例三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们具有丰富的性质和广泛的应用。
在学习三角函数时，我们不仅需要了解它们的定义和基本性质，还需要学会运用这些性质解决实际问题。
本文将通过举例，分析和说明三角函数的性质及其应用，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都具有一些基本性质。
以正弦函数为例，它满足以下性质：1. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，其中π是圆周率。
这意味着正弦函数在每个周期内的取值是相同的，可以通过这一性质简化计算。
2. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数是奇函数，关于原点对称。
这一性质可以用来简化一些复杂的计算。
3. 反函数：正弦函数的反函数是反正弦函数，记作arcsin(x)或sin^(-1)(x)。
反正弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
反正弦函数可以用来求解三角方程和解三角形。
二、三角函数的应用实例三角函数在实际问题中有着广泛的应用，下面通过几个例子来说明。
例1：已知一个直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的对边长为6，求另一个锐角的对边长。
解析：根据勾股定理可得，斜边的平方等于两个锐角的对边长的平方和，即10^2=6^2+x^2。
通过解这个方程可以求得x≈8.49。
例2：一辆汽车从A点出发，以60km/h的速度向东行驶2小时后到达B点，然后改变方向以40km/h的速度向北行驶3小时，到达C点。
求AC的距离和方向角。
解析：根据速度的合成原理，汽车的位移可以表示为AB+BC，其中AB=60km/h×2h=120km，BC=40km/h×3h=120km。
根据余弦定理，AC的平方等于AB的平方加上BC的平方减去2倍AB与BC的乘积的余弦，即AC^2=120^2+120^2-2×120×120×cos(90°)。
高考数学解答题(新高考)三角函数的图象与性质(零点或根的问题)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍()()sin f x A x k ωϕ=+=实根问题，换元法令t x ωϕ=+将函数()f x 化简为sin y A t =，在利用正弦函数sin t 的图象来解决交点（根，零点）的问题.二、典型例题例题1．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图像如图所示. (1)求函数()f x 的解析式； (2)设02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.第（2）问思路点拨：本小题要求时，方程有两个根，求的取值范围,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，作出函数的图象，根据图象讨论的的个数.图象可知：与的图象在内有两个不同的交点时，，故实数的取值范围为.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()1,2(1)显然2A =，又1121212T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 06πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以()Z 6k k πϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以所求的函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，即()y f x =与y m =的图像在02x π<<内有两个不同的交点，令26t x π=+，则7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作出函数2sin y t =的图像如下：由图像可知：2sin y t =与y m =的图像在7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点时，12m <<，故实数m 的取值范围为()1,2.例题2．（2022·山东德州·高一期中）已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()1cos ,cos sin 2b x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()01ω<≤，函数()1f x a b =⋅+，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[]0,x π∈时，讨论方程()0f x m -=的根的情况．【答案】(1)()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)答案见解析(1)已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()()1cos ,cos sin 012b x x x ωωωω⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，第（2）问思路点拨：本小题要求时，讨论方程的根的情况,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，则讨论方程的根的情况，转化为的根的情况.作出的图象.1．当或，即或时，有0个根； 2．当或，即或时，有1个根；3．当或，即或时，有2个根；4．当，即时，有3个根由图象可知则()12cos 21sin 2126f x x x x πωωω⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭， 由于直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．所以26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭或0，所以2662k πππωπ⋅⋅+=+，()k ∈Z ，所以31k ω=+． 由于01ω<≤，所以，当0k =时，1ω=，所以()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)由题意得sin 216x m π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 令26u x π=+，13,66u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则sin 1u m =-，如图．1．当11m ->或11m -<-，即0m <或2m >时，()f x 有0个根； 2．当11m -=或11m -=-，即0m =或2m =时，()f x 有1个根； 3．当1112m <-<或1112m -<-<，即322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；4．当112m -=，即32m =时，()f x 有3个根 综上，当0m <或2m >时，()f x 有0个根； 当0m =或2m =时，()f x 有1个根； 当322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；32m =时，()f x 有3个根．例题3．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数()2sin f x x =，将()f x的图象向右平移3π个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. (1)求函数()g x 的解析式及单调递增区间； (2)方程()25g x =在17,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的根从小到大依次为123,,x x x ，求1232x x x ++的值.第（2）问思路点拨：方程在上的根从小到大依次为，求的值.可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则其中，；即，， ，，.根据图象作答转化为：方程在有个解，作出图象和问题转化作图象，找交点【答案】(1)()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)123823x x x π++= (1)2sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2sin 23g x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭；令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z(2)令()22sin 235g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1sin 235x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；17,612x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，520,32x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，设23x πθ=-，其中50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 5θ=， 结合正弦函数5sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象可知：方程1sin 5θ=在50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有3个解123,,θθθ，其中12θθπ+=，233θθπ+=； 即122233x x πππ-+-=，2322333x x πππ-+-=，1256x x π∴+=，23116x x π+=，123823x x x π∴++=. 三、题型归类练1．（2022·河南驻马店·高一期中（理））已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π． (1)求函数()f x 的解析式；(2)()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；2m <.(1)角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ=∵02πϕ-<<，∴3πϕ=-，由()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 得23T π=，即223ππω=，∴3ω=，∴()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)∵()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，即()y f x =与y m =的图象在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点，令33t x π=-，由0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 即2sin y t =与y m =在2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上有两个交点，2m <.2．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)m ⎡∈⎣，12(1)解：)()2cos cos 1f x xx x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x 的周期为T ，则,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则228888T AB BC π⋅=-=-，所以T π=．故22T ππω==，故1ω=， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(2)由题意，函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的零点，1x ，2x ，3x ，即曲线()y f x =与y m =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的交点．设26t x π=+，当130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2sin y t =，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m ⎡∈⎣，12t t π+=，233t t π+=，所以12324t t t π++=，即12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123523x x x π++=， 所以12351cos(2)cos32π++==x x x ．3．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知函数()()2sin cos 23f x x x x π=+． (1)求函数f (x )的最小正周期T 及()1003f π的值；(2)若关于x 的方程()12f x a π+=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)最小正周期π，(2)1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.(1)解：()2sin cos 3f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin cos 2x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos x x x x =1sin22x x =1sin22x =T π=，100133sin 233323f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)解：sin 22126f x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23023662x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，设32,[,]662t x t πππ=+∈，所以sin 2t a =有两个解， 结合图像可知1212a ≤< 故1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．4．（2022·山东潍坊·高一期中）已知函数()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()y f x k =-在区间130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点12,x x ，求k 的取值范围，并求12x x +的值．【答案】(1)最小正周期π，单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)k 的范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，12x x +为53π或23π.(1)因为()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()3cos 223sin cos sin cos 2x x x x x x =++-()22cos 223sin c 3s 2o x x x x =+-cos 223cos 223x x x =- 63sin 2x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==， 令222262k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，则()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)由题意，()0f x k -=在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个解12,x x ，即()y f x =与y k =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点，由130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,266x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图象如下，由图知：k 的取值范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭， 设3sin y t =与y k =在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的两个交点的横坐标分别为12,t t ， 当33,2k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时12,t t 关于32t π=对称，即12,x x 关于56x π=对称，则1253x x π+=； 当()0,3k ∈时12,t t 关于2t π=对称，即12,x x 关于3x π=对称，则1223x x π+=； 综上，12x x +的值是53π或23π. 5．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，且()g x 为偶函数．(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；(2)若对a ∀，[]0,b m ∈．当a b <时，都有()()()()f b f a g a g b ->-成立，求m 的取值范围；(3)若关于x 的方程()()f x g x k +=在130,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，求k 的取值范围和123422x x x x +++的值．【答案】(1)()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()cos2g x x =(2)012m π<≤.(3)32<k ，132π (1)由题意()sin 263g x f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，即sin 2sin 233x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈， 而2πϕ<，故0k =，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()sin 2cos 22π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g x x x ． (2)对a ∀，[]0,b m ∈，a b <，都有()()()()f b f a g a g b ->-，()()()()f b g b f a g a +>+，设()()()h x f x g x =+，则()h x 在[]0,m 单调递增．又()()()3sin 2cos 22cos 22623h x f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令23u x π=+，则,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，y u =在,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦递增， 故232m ππ+≤，012m π<≤．(3)()()()23h x f x g x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令23t x π=+，则14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则sint =恰有4个不等实根1t ，2t ，3t ，4t ，则32<k ，不妨设1234t t t t <<<， 函数()sin t t ϕ=，14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与函数y =4个交点，如图所示（略），()sin t t ϕ=在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，57,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，914,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1433ππϕϕ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭591222πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，37122ππϕϕ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12322t t π+=，23522t t π+=，34722t t π+=，12342215t t t t π+++=， ()1234222215x x x x ππ++++=，123413222x x x x π+++=． 6．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ≤）的部分图象大致如图．(1)求()f x 的单调递增区间．(2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数()g x 的图象．若关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)[)1,2 (1)根据图象，可得1A =，由124312πππω⋅=-，得2ω=． 所以()()cos 2f x x φ=+，由2012πϕ⨯+=，得6πϕ=-， 所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令2226k x k ππππ-≤-≤，Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈， 所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． (2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ：cos 2sin 2466y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则需直线y m =与2sin y t =的图象在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦两个不同的公共点．画出2sin y t =在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的简图如下：1,2．所以实数m的取值范围为[)。
三角函数性质与应用例题和知识点总结
三角函数性质与应用例题和知识点总结三角函数是数学中非常重要的一个部分，它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将详细探讨三角函数的性质，并通过一些例题来加深对其应用的理解。
一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
以直角三角形为例，正弦函数等于对边与斜边的比值，余弦函数等于邻边与斜边的比值，正切函数等于对边与邻边的比值。
在单位圆中，对于一个角度θ，其正弦值为纵坐标，余弦值为横坐标。
二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(θ ＋2π) ＝sinθ，cos(θ＋2π) ＝cosθ。
正切函数的周期为π，即tan(θ ＋π) ＝tanθ。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(θ) ＝sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(θ) ＝cosθ。
3、值域正弦函数和余弦函数的值域都在-1, 1之间，而正切函数的值域为全体实数。
4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2＋2kπ上单调递减；余弦函数在2kπ, π ＋2kπ上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ上单调递增。
三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。
解：因为一个锐角为 30°，所以另一个锐角为 60°。
根据三角函数的定义，sin30°＝对边／斜边，所以对边＝斜边 ×sin30°＝ 2 × 1/2 ＝ 1。
cos30°＝邻边／斜边，所以邻边＝斜边 × cos30°＝2 × √3/2 ＝√3。
答：两条直角边的长度分别为 1 和√3。
例 2：求函数 y ＝ sin(2x ＋π/3)的周期。
解：对于正弦函数 y ＝sin(ωx ＋φ)，其周期 T ＝2π ／ω。
三角函数基本性质及基本运用
三角函数基本性质及基本运用三角函数是数学中的一门重要分支，是研究角度和三角形的几何特性的数学工具。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数，它们在工程、物理、天文学等领域中都有广泛的应用。
本文将主要讨论三角函数的基本性质及其在实际问题中的基本运用。
一、正弦函数和余弦函数是最常见的两个三角函数，其定义如下：正弦函数：f(x) = sin(x) = 用于表示角的正弦值，其中x为弧度，取值范围为[-1, 1]。
余弦函数：f(x) = cos(x) = 用于表示角的余弦值，其中x为弧度，取值范围为[-1, 1]。
这两个函数的图像在坐标平面上呈现出周期性的波动特征，周期为2π。
正弦函数在x轴上的零点为0，余弦函数在x轴上的零点为π/2二、正弦函数和余弦函数具有以下基本性质：1. 互余性：sin(x) = cos(x - π/2)，cos(x) = sin(x + π/2)。
即两者相差π/22.奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
奇函数的特点是具有中心对称性，即f(-x)=-f(x)；偶函数的特点是具有轴对称性，即f(-x)=f(x)。
3.周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即f(x+2π)=f(x)。
4.函数值范围：正弦函数和余弦函数的值域都在[-1,1]之间。
三、正切函数和余切函数是另外两个常见的三角函数，其定义如下：正切函数：f(x) = tan(x) = 用于表示角的正切值，其中x为弧度，取值范围为(-∞, +∞)。
余切函数：f(x) = cot(x) = 用于表示角的余切值，其中x为弧度，取值范围为(-∞, +∞)。
这两个函数的图像也呈现出周期性的波动特征，其周期为π。
正切函数在x轴上的零点为0，余切函数的在x轴上的零点为π。
四、正切函数和余切函数具有以下基本性质：1. 互倒性：tan(x) = 1/cot(x)，cot(x) = 1/tan(x)，即它们互为倒数。
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高考数学复习优质专题学案（附经典解析）
三角函数的性质及其应用
基础知识：
一、典型例题
1. 函数1()sin()cos()536f x x x ππ
=++-的最大值为（ ）. A. 65 B. 1 C. 35 D. 1
5
2. 若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）. A. π4
B. π2
C.
3π4 D. π
3. 已知函数()2
ππsin 2sin 22cos 166f x x x x ⎛⎫⎛
⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
.
（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；
（2）讨论函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢
⎥⎣⎦
上的单调性. 二、课堂练习
1. 设函数()sin(2)3f x x π
=+，以下四个结论：①它的周期为π；②它的图象关于直线12
x π=
对称；③它的图象关于点(,0)3π对称；④在区间(,0)6π
-上是增函数. 其中正确的结论有（ ）.
A. ①②③④
B. ①②
C. ②③④
D.①③
2. 已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭
，ππ63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫
⎪⎝⎭
上有最小
值，无最大值，则ω的值为（ ）. A. 23
B.
11
3
C. 73
D.
143
3. 函数()πcos 36f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
在[]0,π的零点个数为________.
三、课后作业
1. 函数ππsin 2cos 263y x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
的最小正周期和振幅分别是（ ）.
A. π
B. π,2
C. 2π,1
D. 2π
2. 已知3,2P ⎛ ⎝
⎭
是函数()sin (0)y A x ωϕω=+>图象上的一个最低点，M ，N 是
与P 相邻的两个最高点，若60MPN ∠=︒，则该函数最小正周期是（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 设函数()cos()3
f x x π=+，则下列结论错误的是（ ）.
A. ()f x 的一个周期为2-π
B.
()y f x =的图象关于直线83
x π
=
对称
C.
()f x +π的一个零点为6
x π
= D.
()f x 在(,)2
π
π上单调递减
4. 已知函数()2sin 1(0)f x x ωω=+>在区间2[,]23
ππ
-上是增函数，则ω的取值范围
是（ ）. A.
3(0,]4
B. (0,1]
C.
3[,1]4
D.
3[,1]2
5. 已知函数()()
2
cos
2cos 1022
2
x x
x
f x ωωωω=+->的周期为π
，当π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，方
程()f x m =恰有两个不同的实数解1
x ，2x ，则()1
2f x
x +=（ ）.
A. 2
B. 1
C. 1-
D. 2-
6. 已知函数()
2ππ1cos sin 262f x x x x ⎛⎫⎛
⎫=
-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）若0
π0,4x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，()0f x =
0cos2x 的值.。