5形式逻辑-第五章 复合命题及其推理(上)

⑵ 不相容选言推理有两种有效式: A.否定肯定式:
要么p要么q 非p（非q）
q(p) 亦可横写为: (p∨·q)∧﹁p→q 或(p∨·q)﹁q→p
B.肯定否定式∶ 要么p要么q
p(q ) 非q（非p）
亦可横写为: (p∨·q)∧p→﹁q 或(p∨·q)∧q→﹁p
由此得到不相容选言推理的两条规则:
p∨q， 非q(或非p)； 所以 p(或q)。
亦可横写为: (p∨q) ∧ ﹁ p→q或(p∨q) ∧﹁ q →p
另一常用的推理式为“肯定肯定 式”:
p
所以p或者q 相容选言推理的“肯定否定式”是 无效的。
由此得到相容选言推理的两条规 则∶
(1)否定一部分选言肢，就要肯定另 一部分选言肢；
(2)肯定一部分选言肢，不能否定另 一部分选言肢。
⑴分解式，公式为: p∧q， ∴p（或者q）。
⑵组合式，其公式为： p， q，
∴p∧q。
(3)否定式，公式为: 非p， ∴并非(p∧q)
联言推理在人们思维过程中发挥 着重要作用。
二、选言命题及其推理
1.选言命题
选言命题即断定思维对象若干种可能情 况的命题。
例如:这批商品滞销或者由于质量低劣， 或者由于价格太高，或者由于营销策略有 问题。
相容选言命题常用的连接词：或 者……或者……；也许……也许……； 或许……或许……；可能……可能……。
p
q
p∨q
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
当且仅当p与q同假，p ∨q才假。
⑵不相容的选言命题，即断定思维对象 的几种可能情况中至少有一种并且只有 一种情况是存在的命题。不相容选言命 题由选言肢和联结项两部分所组成。它 的联结项“要么…要么…” （符号 ∨·，读作“强析取”）。结构公式： 要么p，要么q; p ∨· q
一个联言命题只有在它的所有联言 肢都是真的时候，它才是真的；只要 其中一个肢命题是假的，整个命题便 是假的。联言命题的“真值表”如 下∶
p
q
p ∧q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
当且仅当p与q同真， p∧q才为真。
2.联言推理
联言推理即前提或结论中包含联 言命题、并且根据联言命题的逻辑特 性进行的推理。有三种形式：
④纯假言推理（假言连锁推理）：
p→q 如果没有雄厚的经济实力，就没有 强大的国防力量；
q→r 如果没有强大的国防力量，国家的安 全就没有保障；
r→s 如果国家的安全就没有保障，我国 现代化的宏伟目标就不能实现；
p→s 如果没有雄厚的经济实力，我国 现代化的宏伟目标就不能实现。
p←q 只有刻苦学习，才能掌握现 代科学技术；
(1)肯定一个选言肢，就要否定其余 的选言肢；
(2)否定一个选言肢以外的选言肢， 就要肯定未被否定的那个选言肢。
应用“否定肯定式” (不论相容， 还是不相容)进行推理应注意选言肢穷 尽的问题。
三、假言命题及其推理
1.假言命题
假言命题是断定思维对象 情况之间存在条件关系的命题， 即断定某种情况存在或不存在是 另一种情况存在或不存在的条件 的复合判断。又称“条件命题”。
充要条件假言命题的前后件逻辑关系的特点是：
“ 有之必然，无之必不然。”
“ 有p必有q，无p必无q。”
例如：人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。
充要条件假言命题的真假取决于其前后件之间是否存 在充要条件关系。对充要条件假言命题而言，只有在 其前后件同真同假的时候，它才是真的，否则它便是 假的。充要条件假言命题真假情况的真值表:
q←r 只有掌握现代科学技术，才 能有所发明创造；
┐p→┐r 所以，不刻苦学习，就 不能有所发明创造。
⑶充要条件假言命题
如果有两个思维对象A和B，每当A出现，B就随之出 现，每当A不出现，B也就不出现，那么A就构成B的充 要条件。即前件是既后件充分又必要的条件。反映思维 对象之间这种条件关系的命题就是充要条件假言命题。
充分条件假言命题的真假取决于 其前后件之间是否存在充分条件关 系。只有在其前件真而后件假的情 况下，它才是假的，否则它便是真 的。
p
q
p→q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
Fຫໍສະໝຸດ Baidu
T
当且仅当p真q假，p→q假；
当p为假时，p→q必真；当q为真时， p→q必真。
⑵必要条件假言命题
如果有两个思维对象A和B， 只要A 不出现，B就一定不存在或不出现，那 么A和B之间存在着必要条件关系。反 映思维对象之间这种条件关系的命题就 是必要条件假言命题。
必要条件假言命题的常用联结词有“只 有…才…；不…不…；没有…没有… ； 除非…否则不…”等等。用符号“←” （读作“逆蕴涵”）表示，其命题结构 可表示为如下公式：
只有p，才q; p←q （称作“反蕴涵 式”）
必要条件假言命题的逻辑含义是：当前 件p所断定的情况不出现，那么后件q所 断定的情况就一定不存在。但是，当前 件p所断定的情况出现，后件q所断定情 况是否存在，对此，必要条件假言命题 未作出任何断言。
充分条件假言命题前后件之间逻辑 关系的特点是：
“ 有之必然，无之未必不然。”
“ 有p必有q，无p未必无q。”
例如：如果天下雨，那么地就会 湿。
充分条件反映是事物之间的多条件联系， 即事物存在的众多条件中任何一个都分别 可单独导致某一相同后果的条件联系。
p
rq
s
充分条件指事物存在的众多条件中是可 以缺少的条件，即没有这个条件，这一事 物情况也会发生。
其有效推理的依据是命题联结词的逻辑性质。
一、联言命题及其推理
1.联言命题
联言命题即断定思维对象的若干种情况 同时存在的命题。 例如：她既是教师又是 演员又是导演又是作家。
联言命题由联言肢和联结项两部分组成。 组成联言命题的若干命题即为联言肢（用 字母p、q表示）；将联言肢结合为一联言 命题的逻辑联结词就是联结项“并且” （符号为∧，读作“合取”）
★必要条件和充分条件假言命题具 有密切的内在联系：
如果前件是后件的充分条件，那么 后件就构成前件的必要条件；
如果前件是后件的必要条件，那么 后件就构成前件的充分条件。
等值转换关系式：
①充分与必要条件等值转 换∶（p→q）（q←p）
例：“如天下雨，则地湿” 等于“只有地湿，才天下雨”
②假言易位： (p→q)(┐q→┐p)
第五章 复合命题及其推理（上）
复合命题即包含其他命题的命题。构成复合命题的 命题称为肢命题。将肢命题联接为复合命题的词 项称为命题联结词（ ﹁ ， ∧，∨,→, ）。
命题联结词是区别各种类型复合命题的唯一根据。 复合命题的真假取决于其肢命题的真假或条件关系，
即命题联结词的逻辑涵义。 以复合命题为前提或结论的推理称为复合命题推理，
选言命题的肢命题称为选言肢，至少有 两个，至多不限。选言肢要尽量穷尽所有 可能的情况。
选言命题的基本逻辑特征:在若 干种可能情况中至少有一种情况是 存在的。选言命题的真假取决于其 选言肢的真假。
根据选言命题所断定的若干种可 能情况是否能够同时并存，选言命 题可分为相容和不相容的两种。
⑴ 相容的选言命题，即断定思维对象的 几种可能情况中至少有一种存在也可能 同时并存的命题。相容选言命题由选言 肢和联结项两部分组成。其联结项“或 者…或者…” (符号∨，读作“析取”)。 结构公式：p或者q; p∨q
充要条件假言命题常用连接词：“只要而且只有……，
才……；若……必……；若不……则不……；当且仅当……，
则……. ”等等。用符号“”（读作“等值”）来表示， 充分必要假言命题的结构可表示为如下公式：
当且仅当p，才q； pq （等值式）
充要条件假言命题的逻辑含义是：有p就一定有q，没 有p 就一定没有q。即前件的存在是后件存在或出现的 唯一条件。
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
当且仅当p与q等值，p q真
2.假言推理
假言推理就是以假言命题为前提、 并且根据假言命题的逻辑特性进行 的推理。与假言命题有三种形式一 样，假言推理也有三种不同的形式。
⑴充分条件假言推理，就是以充分条 件假言命题为前提进的推理。
“肯定前件式”和“否定后件式”。
根据思维对象间的条件关系不同，假 言命题可分为充分条件、必要条件和充分 必要条件三种。
例如：
(1)如果他是作案人，那么他一定有作案 时间。
(2)只有掌握市场信息，产品才能适销对 路。
(3)一个三角形等角，当且仅当它等边。
假言命题由两个假言肢和联结 项三个部分构成。断定条件的假 言肢称为前件，断定依赖条件而 存在的假言肢称为后件（分别用 字母p、q表示）。
不相容选言命题常用的连接词： 要么……要么；不是……就是……；或 者……或者……不可兼而有之。
p
q
p ∨· q
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
当且仅当p与q同值，p ∨· q才假。
2.选言推理 选言推理即以选言命题为前提、并且根
据选言命题的逻辑特性进行的推理。选言 推理也有两种形式。
⑴ 相容选言推理的有效式为“否定肯定 式”：
假言命题的真假取决于它的前 后件之间是否确实存在某种条件 关系
(1)如果他一定有作案时间， 那么他是作案人。
(2)只有产品能适销对路， 才能断定他掌握了市场信息。
这些假言命题就是假命 题。
⑴充分条件假言命题
如果有两个思维对象A和B， 每当A出现 的时候，B就一定会存在或随之出现，那 么A和B之间就存在着充分条件关系。反映 思维对象之间这种条件关系的命题就是充 分条件假言命题。
充分条件假言命题的常用的联结词有:
“如果…那么… ；只要…就… ；假 使…那末… ；倘若…则… ；若…必…；” 等等。
用符号“→”（读作“蕴涵”）表 示，其命题结构为如下公式：如果p， 那么q; p→q(称为“蕴涵式”)
充分条件假言命题的逻辑含义是：当 前件p所断定的情况成立，那么后件q 所断定的情况就一定成立。但是，当 前件p所断定的情况不成立，后件q所 断定情况是否成立，充分条件假言命 题未作出任何断言。
例：“如天雨，则地湿”等值于 “如地不湿，则天不雨”
（p←q）（q→p）（┐p→┐q） “只有p，才q”“如果q，那么 p”“如果非p，那么非q”
③假言与选言的转换：
（p∨q）（┐p→q） 例：“他 或是诗人，或是小说家”等值于 “如果他不是诗人，则是小说家”
（p∨· q）（┐p←q） 例:“他要么去欧洲，要么去美国” 等值于“只有他不去欧洲，才能去 美国”
必要条件假言命题前后件之间逻辑关 系的特点是：
“ 无之必不然，有之未必然。”
“ 无p必无q，有p未必有q。” 例如：一个人只有年满18岁，他才
有选举权。
必要条件反映的是某一种情况的存在对 另一种情况的存在或出现所具有的必不 可少的作用。即如果没有前件，就必定 没有后件。但前件只是后件的不可缺少 的条件之一，还须由其他条件的配合才 能共同导致后件的情况存在或出现。
p→q， p； ∴q。
p→q， 非q； ∴非p。
⑵必要条件假言推理。 “否定前件 式”和“肯定后件式”。
公式：
p←q，
p←q，
非p；
q；
∴非q。
∴p。
⑶充要条件假言推理。
“肯定前件式”、“否定前件式”、 “肯定后件式”和“否定后件式”。
常见联言命题连接词：……而且 （并且）……；不但……而 且…… ；……也……；又…… 又…… ；既……又…… ；虽 然……但是……;
注意:日常语言中的“不但┅而且 ┅”和“虽然┅但是┅”在形式逻 辑中只表达“并且”的涵义。
可用如下公式表示联言命题的结构：
p并且q; p∧q。
联言命题的真假取决于其联言肢的 真假。
P
﹢r
q
﹢s
必要条件假言命题的真假取 决于其前后件之间是否存在 必要条件关系。只有在其前 件假而后件真的情况下，它 才是假的，否则它便是真的。
必要条件假言命题的真假可用真值表表
示：
p
q
p←q
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
当且仅当p假q真，p←q假 ；
当p为真时，p←q必真；当q为假时， p←q必真。