第一章_晶体结构(中南大学 固体物理 课件)

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所以，晶体的点对称操作只有8种对立的基本操作：
1,2,3,4,6, i, m,4
示 例：
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立方体的对称性
(1)3个互相 (2) 4个3度轴 (3) 6个2度轴 垂直的4度轴 （空间对角线） （面对角线） 基本的8种点对称操作的组合构成32种点群，每种点群对应于晶体 的一种宏观对称性.32种点群可以建立晶系的分类.
注：在有的文献中定义只含一个基元的原胞为初基原胞.固体物理 学原胞属于初基原胞，按此规定下面介绍的维格纳－塞茨原胞也属 于初基原胞.
维格纳－塞茨原胞:简称WS原胞，以晶
体某一格点为中心，作其与临近格点连线 的垂直平分线，这些垂直平分线所围成的 以格点为中心的最小体积是属于该点WS原 胞.它与相应的布喇菲格子有完全相同的 维格纳--塞茨单胞 对成性.
2.不均匀性:晶体的不同方向上具有不供的物理性质（旋转特性）
3.自限性：晶体具有自发形成规则的几何外形的特性
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4.对称性：晶体再某几个特定的方向上表现出来的物理化学性质
完全相同的特性
5.解理性：晶体常具有某些确定范围的沿晶面劈裂的性质，劈裂
面称为解理面
6.最小内能：同一种物质的几种不同形态（气、液、非晶态、晶
2
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固体物理学原胞的体积: Ω a1 (a2 a3 ) a3 2
3.面心立方（fcc）结构
a1
a 2
(
j
k
)
每个晶胞包含4个
格点.基矢为：
a2
a 2
(k
i)
ak
a1
a2
a3
a 2
(i
j)
aj a3
ai
固体物理学原胞的体积: Ω a1 (a2 a3 ) a3 4
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4.氯化钠（NaCl）结构
6.闪锌矿（ZnS)结构
空间点阵是面心立方，含两种等价 原子（Zn和S原子），各自组成一个 面心立方的简单晶格，整个闪锌矿可 以看成是这两个面心立方的简单晶格 沿晶胞的空间对角线平移1/4距离套 构而成。
闪锌矿结构的晶胞中有4个基元— —ZnS分子，其固体物理学原胞只含 一个ZnS分子。
Cl
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Cs
1.点对称操作
点对称操作：对称操作前后空间中至少保持一个不动的点的操作.
（1）n度旋转对称 n度旋转对称轴：晶体绕旋转 2 后仍能复原的轴. n 晶体只具有1、2、3、4、6度对称轴.
（2）中心反演 中心反演的对称元素是一个点，中心反演操作用i表示. i操作作用 于（x，y，z）使之变换为（-x，-y，-z）. 目录
1.1 固体、晶体和非晶体
构成物质的原子、
晶 体： 长程有序
分子按一定的规 律，周期性排列
固体 准晶体：介于晶体和非晶体之间
非晶体：不具有长程有序，而具有短程有序
晶体
单晶体 多晶体
晶体
有机晶体 无机晶体
晶体 完整晶体 非完整晶体（含杂质、缺陷）
晶体中原子的周期性排列使晶体具有一些共同的性质：
1.均匀性:晶体不同部位的宏观性质相同（平移特性）
简单四角(9)，体心四角(10)
abc
6.六角晶系： 900 1200
六角(11)
abc
7.立方晶系： 900
简立方(12)，体心立方(13)， 面心立方(14)
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1.简单三斜 2.简单单斜 3.底心单斜 4.简单正交 5.底心正交 6.体心正交 7.面心正交 8.六角 9.三角 10.简单四角 11.体心四角 12.简立方 13.体心立方 14.面心立方
晶体n度旋转反演对称中n只能取1，2，3，4，6中的数值，通常用 n
表示n度旋转反演轴.
注：a.1度旋转反演对称与中心反演i实质是同一操作.
b. 2度旋转反演对称与镜像m实质是同一操作.
c. 3 的对称性和3度旋转轴加上对称心的效果一样，6 的对
称性和3度旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果一 样. c.只有4度旋转反演是一种独立的操作.
O a1
A1
晶面在三个坐标轴上的截距
晶面方位
晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角)
(1)以固体物理学原胞基矢表示
某一晶面与三坐标轴交于A1，A2，A3.其中位矢分别为：ra1, sa2 , ta3 r, s,t 称为截距
1 r
:
1 s
:
1 t
h1
:
h2
:
h3
其中h1, h2 , h3互质
就称 h1h2h3 为该晶面族的晶面指数，记为：(h1h2h3 )
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2 的长度套构而成.
Cl Na
NaCl的空间点阵是面心立方. 具有NaCl结构的晶体还有：KCl，AgCl，PbS等.
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5.氯化铯（CsCl）结构
一种典型的离子晶体，由氯铯离子 分别形成简立方，沿立方体空间对角线 平移1/2的长度套构而成。其空间点阵 是简立方.另有CsBr,TiCl等属该结构。
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布喇菲格子：如果基元由一种原子构成，则这种原子构成的晶格
称为布喇菲格子（也称简单格子）.
a2
复式晶格：如果晶体
a2
由两种或两种以上原子
a1
组成，同种原子各构成
和格点相同的网格，称 为子晶格，它们相对位
a1
布喇菲格子
移而形成复式晶格.
基元
复式格子
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1.2.2典型的晶体结构
1.简立方（sc）结构
7.金刚石结构
金刚石结构是复式格子，其顶角和面心上的碳原子和在4个空 间对角线1/4处的4个碳原子分属不同等价原子。它们所形成的 共价键的空间取向不同。该结构为2个面心立方格子沿立方体 对角线平移1/4的长度套构而成.金刚石结构的空间点阵是面心 立方 ，每个基元含2个碳原子
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8.六角密积结构（hcp）
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(2)以结晶学原胞基矢表示
以布拉菲原胞基矢 a,b,c为坐标轴表示的晶面指数称为密勒指数，
用(hkl)表示.
其中1 : 1 : 1 h : k : l r st
(1)若晶面平行于某一坐标轴，即截距为无穷大，则相应指数为0；
(2)若截距为负数时，则在相应的指数头上加一个负号；
(3)晶列指数和密勒指数相同的晶向与晶面正交； (4)等效晶面用大括号表示：{hkl}.如:(100),(010),表示为 {100} (5)密勒指数小的那些晶面族，面间距较大，常为解理面；
abc
2.单斜晶系： 900
简单单斜(2) 底心单斜(3)
3.三角晶系：a b c
900 < 1200
三角(4)
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4.正交晶系：a b c 900
5.四角系： a b c (正方晶系) 900
简单正交(5)，底心正交(6) 体心正交(7)，面心正交(8)
a1
3
ai
a
j
2
2
是复式格子，初基 原胞的选取与晶胞 相同.基矢：
a2
3 2
ai
a 2
j
a3 ck
a3
a2 a1
a1
a2 夹角为
120 ，原胞体积：
a1 (a2 a3 )
3 a2c 2
理想六角密集结构，晶格常数比
值为：c 8 1.633 a3
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1.2.5 配位数和致密度
a1 ai
ka
每个布拉菲原胞包含
ja
1个格点. 基矢为: a2 a j
a3 ak
ia
固体物理学原胞的体积: Ω a 3
2.体心立方（bcc）结构
ak
每个晶胞包含2
a a1 i j k
个格点.
2
基矢为：
a
a2 i j k
2
a1 a2 a j
a3
ai
a
a3 i j k
（3）镜像(m，对称素为面) 镜像操作常用m表示，镜像的操作的对称元素是平面.
若选z＝0为对称面，该操作使点（x，y，z）变换为（x，y，-z）
（4）n度旋转反演对称
该操作由n度旋转对称和中心反演两个操作组成.晶体先绕一固定轴 旋转2 n后，再经过中心反演，晶体能与自身重.该轴称为n度旋转 反演轴.
空间点阵:格点在空间周期性排列就 构成空间点阵
点阵 ＋基元＝晶体结构
a3
格点位置:
a2
a1
晶格和原胞
Rl l1a1 l2a2 l3a3
l1, l2 , l3为任意整数；a1, a2, a3 代表不在同一平面内的3个矢量，称为
基矢.其大小分别为三个方向上的周期. 目录
以为 a1, a2 , a3 棱边构成的平行六面体称为固体物理学原胞，又称初
(6)密勒指数可计算不同晶面族之间的夹角
cos
(h12
h1h2 k1k2 l1l2
k12
l12
1
)2
(h22
k22
l22
)
1 2
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1.5 倒易点阵
1.5.1 倒格子基矢的定义
倒格基矢定义为：
2π
b1 a2 a3 Ω
其中：a1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
b2 2π a3 a1 Ω
一个粒子的周围最邻近的粒子数越多，晶体的排列程度就越紧密， 晶体的结合能就越低，这个数称为配位数.
晶体结构
配位数
晶体结构
配位数
面心立方
12
氯化钠
6
六角密积
体心立方
8
氯化铯
8
简立方
6
金刚石
4
致密度：小球的体积与其空间占有的体积之比为致密度.
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1.3 晶体的对称性
1.3.1 对称操作
变换后晶体状态等同于变换前的操作 宏观对称就是布喇菲原胞的对称性，它由宏观对称操作（点对称操 作）描述. 微观对称指的是无限大晶体的空间对称性，他由点对称操作和平移 对称操作的作合描述.
态）以晶体内能最小
7.晶化与非晶化
自发的晶化
晶体
非晶体
非自发的非晶化
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1.2 晶体结构的描述
1.2.1 描述晶体结构的物理量
晶格：晶体中原子排列的具体形式称晶体格子，简称晶格 基元:周期性排列构成晶体的最小原子集团叫做该晶体的基本结构单元
格点（结点）：用一个点来代替基元的位置，这个点就称为格点（结点）
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1.4 晶列、晶面及其表示
1.4.1 晶列及其表示
：
晶列：通过任意两格点的直线
：
晶向：晶列的取向
：
晶向指数(或晶列指数)：描写晶向的一组数
(1)平行晶列组成晶列族，晶列族包所有的格点； ：
(2)晶列上格点分布是周期性的；
(3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；
(4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等.
晶列的表示 (1) 用固体物理学原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R l1a1 l2 a2 l3 a3
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a1,a 2 ,a 3 为固体物理学原胞基矢
其中
l1, l2 , l3
为整数，将
l1
,
l
2
,
l
3
化为互质的整数
l1 , l2 , l3 ，
记为[ l1l2l3]， [l1l2l3 ]即为该晶列的晶列指数.
记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.
1.4.2 晶面及其表示
1.晶面
晶面:在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面
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A3 (1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；
n
(2)晶面上格点分布具有周期性； (3)同一晶面族中格点分布(情况)相同；
a3
N
d
a2
A2
(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。
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2.平移操作
平移操作分两类：
a、平移格矢的整数倍，这类平移操作和点对称操作结合成73种点 式空间群（或称简单空间群）；
b、平移格矢的非整数倍，这类平移与旋转、镜像组合产生两类新 的操作：n度螺旋和滑移反映面.此两类操作与点对称操作组合的 157种非点式空间群.
平移操作和点对称操作的组合共给出230种空间群.每种空间群唯一的
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示 l1 1, l2 2, l3 1
（2）用固体物理学原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R ma nb p c a ,b ,c 为布拉维原胞基矢
其中 m,n, p 为有理数,将 m,n, p化为互质的整数 m,n,p,
对应一种晶体结构。自然界的晶体结构只能有230种
1.3.2 晶系和布喇菲原胞
根据不同的点对称性，将晶体分为7大晶系，14种布拉菲晶格.
取 a, b, c为布拉菲原胞三个基矢， , , 分别为b与c, c与a, a与b
间的夹角。
c
7大晶系的特征及布拉菲 晶格如下所述：
a
b
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1.三斜晶系：a b c, 简单三斜(1)
基原胞.格点只在原胞的顶角上，每个初基原胞只含一个基元.
原胞的体积： a1 (a2 a3 )
为同时反映晶体的周期性和对称性，常选用体积不一定最小的平行 六面体为原胞，称为结晶学原胞（或布喇菲原胞），简称晶胞，格 点不仅可以在顶角上，也可以在体心和面心上，它的三边也叫基矢，
常用a,b,c表示，体积为 a (b是固c体) 物理学原胞的整数倍.
Ω a1 a2 a3
是固体物理学原胞体积
b3 2π a1 a2 Ω
倒格子（倒易点阵）：由基矢b1，b2，b3描述的点阵
倒易点阵中的位矢：
Kn h1b1 h2b2 h3b3
通常称为倒格矢
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一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。