第四章1 更新版

(1)若0 R , 则当 | z z0 | R时，级数 n ( z z0 ) n绝对收敛，
(2)若R , 则级数n ( z z0 )n在复平面上每一点处绝对收敛；
(3)若R 0, 则级数n ( z z0 )n在复平面上除去z z0外，每一点都发散。
命题(魏尔斯特拉斯判别法) 设 fn ( z )(n 1, 2,) 在集合E上有定义，
M 是收敛的正项级数，如果对任意z E , 有
n1 n

优级数
则函数项级数
f
n 1

n
( z ) 在 E 上一致收敛 .
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推论：设级数 f n ( z )在点集E 上一致收敛于f ( z )，且在E 上
命题 复数序列 { zn } 收敛当且仅当对任意正数，存在N 0, 当 m, n N时，
定义
称作复数项级数，记作 zn .
n 1

部分和
如果数列{ n }收敛于 ，则称级
定义
n 1
设
数 zn收敛于 . 称作级数
z
n 1

n
的和.
2
复级数 zn收敛于的 N定义：
n 0

在其收敛圆 K:| z – a | < R (0<R≤+∞)内内闭一致收敛，其 和函数 f(z) 在其收敛圆内解析，并且幂级数可逐项求导 至任意阶，即
( n 1)! f ( z ) n ! cn cn1 ( z a ) , ( n 1, 2, 3,...) 1!
| g ( z ) | M ( M )，则级数
g( z ) f
n 1

n
(z)
在E 上一致收敛于g ( z ) f ( z ). 设级数 fn ( z )在有界闭区域D上一致收敛于f ( z )，g ( z ) 推论： 在D上连续，则级数
g( z) f ( z)
n 1 n
0, N 0, 使得任意的n N , 有 | zk | .
k 1
n
命题 设 zn an ibn , 则级数
z
n 1

n
收敛于 a bi 当且仅当实级数
a 和
n1 n

b 分别分别收敛于 a 和 b.
n1 n

命题 如果级数

(8i ) n 8 n 8n 解 因为 | | ，而级数 收敛， 故原级数绝对收敛。 n ! n! n! n 1
命题 设级数
z 和 z 绝对收敛，且和分别为 及 ，则级数
n 1 n n 1 n


绝对收敛于 .
柯西乘积
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2.复变函数项级数与复变函数序列
第四章 级数
§1 级数与序列的基本性质
1.复数项级数与复数序列
定义
称作复数序列, 记作 { zn }.
定义 设 { zn } 是一个复数序列, z0是一个复常数. 如果任取 0, 存在
N 0, 使得当 n N 时，
则称 n 趋于无穷大时数列 {zn }以 z0为极限 , 记作
1
命题 设 zn an ibn , 则复数序列 { zn } 收敛于 z0 a0 ib0 当且仅当实数序列 {an } 与 {bn } 分别收敛于 a0 和 b0 .
z
n 1

n
( a ib )
2)
a , b 至少一个发散 z 发散
n 1 n n 1




n
n 1
n
1 i (1 )是否收敛？ 由 1 发散知原级数发散. 例1 级数 2n n n 1 n 1 2n
1 i 2 n1 例2 级数 是否收敛？ 3n n 1
k 1 k 1 k 1
n
n
n
一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变 其绝对收敛性,亦不改变其和.
6
例
当 | | 1时, 级数 绝对收敛,且有
n n 0

n 2 1 ... n 0

1 . 1
例
(8i )n 级数 是否绝对收敛？ n! n 1
定义 设 fn ( z ) （n 1, 2,) 定义在集合E上, 则
称作E上的复变函数序列, 记作 { f n ( z)}.
如果对任意 z E , 数列 { fn ( z )} 收敛于某个复数, 设为 f ( z ), 则称 { fn ( z )}在 E 上收敛于函数 f ( z ), 记作
注 在 (1)中，当|z-z0|=R时，级数可能收敛，也可能发散。 17
于是, 对任意幂级数 Ck ( z z0 )k , 总存在一个
k 0

圆周 | z z0 | R (0 R )，使得幂级数在圆域
| z z0 | R 内处处收敛，在此圆外处处发散。
| z z0 | R称为该幂级数的收敛圆盘, R称为收敛半径。

在D上一致收敛于g ( z ) f ( z ).
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定理1
设 fn ( z )在集合E 上连续, 序列 { fn ( z )}或函数项级数 fn ( z )
n1

在 E 上一致收敛于 ( z )或 f ( z ), 则 ( z )或 f ( z )在 E上连续.
定理2
n1
设 fn ( z )在逐段光滑曲线c上连续，序列 { fn ( z )}或函数项级
且内闭一致收敛. 推论 若幂级数(1)在某点z2(≠a)发散, 则它在以a为圆心并且 通过点z2的圆周外部发散.
n ( z z ) 0 , 若实系数实幂级数 命题：对于幂级数 n0 n n x n0 n 的收敛半径为R, 则有
当| z z0 | R时，级数 n ( z z0 ) n发散；
幂级数在收敛圆盘内绝对收敛，在圆外发散。
但在圆周上，则有可能收敛，也有可能发散。
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幂级数收敛半径的求法 定理 如果幂级数(1)的系数cn满足下列之一的条件
cn1 lim l , (达朗贝尔D'Alembert） n c n
lim n | cn | l , (柯西Cauchy)
n
数 fn ( z )在 c 上一致收敛于 ( z ) 或 f ( z ), 则
或
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定义 设函数fn(z)(n=1,2,…)定义于区域D内,若级数 fn ( z )

在D内任一有界闭集上一致收敛, 则称此级数在D内内闭
一致收敛.
n 1
定理 设级数 fn ( z ) 在圆 K:|z-a|<R 内闭一致收敛的充要
条件为：对于任意正数 ρ<R, 级数 fn ( z ) 在闭圆 K: |z-a| ≤ ρ上一致收敛.
n 1

n 1

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问题: 设 fn ( z )( n 1, 2,)在区域 D上解析, 函数列{ f n ( z)}或函数项级
数 f n ( z )在 D 上一致收敛于 ( z )或 f ( z ), 那么 ( z )或 f ( z )在 D上解析吗？

由
1 发散知原级数发散. 3n n 1

4
例
下列复数序列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
1 e (1) n (1 ) ; ( 2) n n cos in . n
i
π n
解
1 (1) lim(1 ) n n
π i en
1 lim(1 ) n n
1 i n e n n
π
1;
en en (2) n n cos in n ( n ) . 2
5
定义 若级数 敛.
若级数
a
n 1

a
n 1

n
收敛, 则原级数 an 称为绝对收敛;
n 1 n 1

n
发散，而级数 an 收敛, 原级数称为条件收

命题 如果级数
z
n 1

n
绝对 收敛，则级数
z
n1
n
收敛.
命题 设 zn an ibn , 则级数 都绝对收敛.
n n
z
n 1

n
绝对收敛当且仅当实级数
a 和 b
n1 n n1


n
| a |, | b
k 1 k k 1
k
| | zk | | ak | | bk |
lim n cn l , (柯西 阿达马Cauchy-Hadamard )
n
则幂级数
n c ( z a ) 的收敛半径为: n n 0

R=
1/l 0 +∞
( l ≠ 0, l ≠ +∞) ( l = +∞); ( l = 0).
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幂级数的和函数的解析性 定理 幂级数
f ( z ) cn ( z a) n
z
n 1

n
收敛，则 lim zn 0.
n
命题(柯西收敛原理) 级数 当 n N，p为正整数时，
z
n 1

n
收敛当且仅当对任意正数，存在 N 0,
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复数项级数的收敛问题可转化为实数项级数的收敛问题
1)
a , b 分别收敛于a及b
n 1 n n 1 n



n 1
定理 设 f n ( z) (n 1,2,)在区域 D上解析. 如果函数列 { f n ( z)}或函数
项级数 fn ( z )在 D 上内闭一致收敛于 ( z )或 f ( z ), 则 ( z )或 f ( z )在D上