线性代数电子版教材
线性代数电子教案
线性代数电子教案一、引言1.1 课程介绍线性代数的定义和意义课程目标和学习内容1.2 电子教案的特点互动性和趣味性自主学习和协作学习1.3 软件使用说明软件安装和运行功能介绍和操作指南二、行列式2.1 行列式的定义和性质行列式的概念行列式的计算规则2.2 行列式的计算方法按行(列)展开拉普拉斯展开2.3 克莱姆法则克莱姆法则的原理克莱姆法则的应用三、矩阵3.1 矩阵的定义和运算矩阵的概念和表示矩阵的加法和数乘3.2 矩阵的逆矩阵的逆的定义和性质矩阵的逆的计算方法3.3 矩阵的特殊类型单位矩阵对角矩阵零矩阵四、向量空间4.1 向量空间的概念向量空间的基本性质向量空间的子空间4.2 向量的线性相关性线性相关的定义和判定线性无关的性质和应用4.3 基底和坐标基底的概念和选择向量的坐标表示和转换五、线性方程组5.1 线性方程组的解法高斯消元法克莱姆法则5.2 齐次线性方程组齐次线性方程组的解集自由变量和特解5.3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的解法常数变易法和待定系数法六、特征值和特征向量6.1 特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量的概念特征多项式的定义和求解6.2 特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的求解方法矩阵的对角化6.3 特征值和特征向量的应用矩阵的相似对角化实对称矩阵和正交矩阵七、二次型7.1 二次型的定义和标准形二次型的概念二次型的标准形7.2 配方法和正定性配方法的应用二次型的正定性判定7.3 惯性定理和二次型的几何意义惯性定理的表述和证明二次型在几何上的意义八、向量空间的同构8.1 向量空间的同构概念同构的定义和性质同构的判定条件8.2 线性变换和矩阵线性变换的概念和性质线性变换与矩阵的关系8.3 线性变换的图像和核线性变换的图像线性变换的核（值域）九、特征空间和最小二乘法9.1 特征空间的概念特征空间的定义和性质特征空间的维数9.2 最小二乘法原理最小二乘法的定义和目标最小二乘法的应用9.3 最小二乘法在线性回归中的应用线性回归问题的最小二乘解回归直线的性质和分析十、线性代数在实际应用中的案例分析10.1 线性代数在工程中的应用结构力学中的矩阵方法电路分析中的节点电压和回路电流10.2 线性代数在计算机科学中的应用计算机图形学中的矩阵变换机器学习中的线性模型10.3 线性代数在其他学科中的应用物理学中的旋转和变换经济学中的线性规划十一、矩阵分解11.1 矩阵分解的概念矩阵分解的意义和目的矩阵分解的类型11.2 LU分解LU分解的定义和算法LU分解的应用和优点11.3 QR分解QR分解的定义和算法QR分解的应用和优点十二、稀疏矩阵12.1 稀疏矩阵的定义和性质稀疏矩阵的概念稀疏矩阵的存储和运算12.2 稀疏矩阵的应用稀疏矩阵在科学计算中的应用稀疏矩阵在数据挖掘中的应用12.3 稀疏矩阵的优化算法稀疏矩阵的压缩技术稀疏矩阵的快速运算算法十三、线性代数在图像处理中的应用13.1 图像处理中的线性代数概念图像的矩阵表示图像变换和滤波13.2 图像增强和复原图像增强的线性方法图像复原的线性模型13.3 图像压缩和特征提取图像压缩的线性算法图像特征提取的线性方法十四、线性代数在信号处理中的应用14.1 信号处理中的线性代数概念信号的矩阵表示和运算信号处理的基本算法14.2 信号滤波和降噪信号滤波的线性方法信号降噪的线性模型14.3 信号的时频分析信号的傅里叶变换信号的小波变换十五、线性代数的现代观点15.1 向量空间和线性变换的公理化向量空间和线性变换的公理体系向量空间和线性变换的分类15.2 内积空间和谱理论内积空间的概念和性质谱理论的基本原理15.3 线性代数在数学物理中的作用线性代数在微分方程中的应用线性代数在量子力学中的应用重点和难点解析本文档详细地介绍了线性代数的主要知识点，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基础理论知识和应用能力。
线性代数(第六版)课件：矩阵
30
a b c d
于是得
B
0 0 0
a 0 0
b a 0
c b a
，其中a ,
b,
c,
d
为任意数。
31
从前例
2 3
46
2 1
42
0 0
00 ,
还可看出，矩阵乘法不满足消去律：
AB O A O 或 B O ;
A(B C) O
AB AC , A O B C . 左消去律不成立；
9 3
84 ,
显然， AB BA 。
23
矩阵乘法的运算规律：
(1) ( AB)C A(BC) ; 矩阵乘法满足结合律！ (2) A(B C) AB AC , (B C)A BA CA ; 分配律
(3) k( AB) (kA)B A(kB) (其中k为数);
(4) AO O, OA O ; (5) AE EA A . 注意：交换律不成立。
4
例如 1 0 3 5 是一个 2 4 矩阵, 9 6 4 3
2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵,
1 2
是一个 3 1 矩阵。
4
3 4
6 2
2 2
是一个 3 3 矩阵。
5
0
2
5
如果矩阵A=(aij)的行数与列数都等于n，则称A为 n 阶 矩阵 (或称 n 阶方阵 ) 。
.
kam1 kam2 kamn
14
数乘矩阵的运算规律： （设A、B 为 m n矩阵，k, l 为数）
(1) k( A B) kA kB ; (2) (k l)A kA lA ; (3) k(lA) (kl)A ; (4) 1A A，0A O . 加法和数乘合称为矩阵的线性运算。
《线性代数》电子教程之五
矩阵与线性方程组关系
矩阵表示线性方程组
01
线性方程组可以表示为矩阵形式，方便求解和分析。
矩阵的秩与方程组的解
02
矩阵的秩与线性方程组的解之间存在密切关系，通过矩阵的秩
可以判断方程组的解的情况。
矩阵变换与方程组求解
03
通过矩阵的初等变换，可以将线性方程组化为简化的形式，进
而求解。
矩阵求解方法
高斯消元法
金融学
线性代数在金融学中也有广泛应用，如投资组合优化、风 险管理等。
线性代数在其他领域应用
社会学
线性代数可用于分析社会网络、人口迁移等 社会学问题。
地理学
线性代数在地理学中可用于地理信息系统、 遥感监测等方面。
生物学
在生物学中，线性代数可用于基因表达分析、 生物信息学等领域。
通信工程
线性代数在通信工程中也有重要应用，如信 号处理、编码解码等。
线性代数可用于描述物理现象，如量子力学中的波函数、电磁学中 的场等。
解决物理问题
通过线性代数方法，可以解决许多物理问题，如求解线性方程组、 特征值和特征向量等。
计算机模拟
线性代数在计算机模拟物理现象中发挥着重要作用，如有限元方法、 分子动力学模拟等。
线性代数在计算机科学中应用
图像处理
线性代数在图像处理中广泛应用，如图像压缩、图像增强、图像 识别等。
线性变换定义及性质
1 2
线性变换定义
线性变换是一种保持向量加法和数量乘法不变的 映射。
线性变换性质
线性变换具有保持线性组合不变、保持线性相关 性不变、保持线性无关性不变等性质。
3
线性变换的运算
线性变换可以进行加法、数量乘法、复合和逆运 算。
线性代数课件(高教版)
03
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式 时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O(n·n!)。即使对于2×2系统，克 拉默的规则在数值上也是不稳定的。
03
向量与向量空间
向量的概念
80%
向量的定义
向量是具有大小和方向的量，常 用箭头表示，箭头的长度代表向 量的大小，箭头的指向代表向量 的方向。
二次型的规范形
当二次型的标准形中$lambda_i$取值为$pm 1$时，称为 规范形。
化为标准形的方法
通过配方法或正交变换法可以将二次型化为标准形。
正定矩阵的概念与性质
正定矩阵的定义
对于任意非零向量$x$，都有$x^TAx > 0$，则称对称矩阵$A$为正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于0；正定矩阵的特征值都大于0；正定矩阵一定可逆，且逆矩阵也是正定的；正定矩阵的合 同标准形中主对角线上的元素都大于0。
消元法、克拉默法则等。
矩阵的概念
零矩阵、对角矩阵、单位矩阵等。
矩阵的行数和列数。
由m×n个数排成的m行n列的数 表。
矩阵的阶 矩阵的定义
特殊矩阵
矩阵的运算
矩阵的加法
对应元素相加。
矩阵的数乘
每个元素乘以该数。
矩阵的乘法
满足结合律和分配律，但不满足交换律。
矩阵的转置
行列互换。
矩阵的初等变换
初等行变换
行列式的定义包括按行展开和按列展开两种方式，这 两种方式是等价的。
行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等 。
互换行列式的两行（列），行 列式变号。
如果行列式有两行（列）完全 相同，则此行列式为零。
线性代数及其应用第二版第一章PPT
2m 1次相邻对换 a 1
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
注：标准排列的逆序数为0（偶数）.
1.1.4 n阶行列式
一、概念的引入
a11 D a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a13
线 性 代 数
授课教师：邹蓓虹
第一章
行列式
• 行列式的定义与性质 • 行列式展开定理
• 克莱姆法则
1.1 行列式的定义与性质
1.1.1二阶、三阶行列式
一、二阶行列式 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , 1 a21 x1 a22 x2 b2 . 2 1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6 种放法.
123，213，312，132，213，321
一、全排列
问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不
同的排法？
定义1 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
1
例2. 计算三阶行列式 D 4
2 0
3 5
0 -1 2
解: 按对角线法则，有
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1)
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1)
线性代数新东方课程电子版教材
线性代数新东方课程电子版教材名目第一讲差不多概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵相伴矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情形的判别基础解系和通解第六讲特点向量与特点值相似与对角化特点向量与特点值—概念,运算与应用相似对角化—判定与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲差不多概念1．线性方程组的差不多概念线性方程组的一样形式为:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,…………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,…,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情形有三种:无解,唯独解,无穷多解.对线性方程组讨论的要紧问题两个:(1)判定解的情形.(2)求解,专门是在有无穷多接时求通解.b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情形只有两种:唯独解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)差不多概念矩阵和向量差不多上描写事物形状的数量形式的进展.由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m⨯n型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.关于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12…a1n a11 a…a1n b1A= a21 a22…a2n 和(A|β)= a21 a22…a2n b2…………………a m1 a m2…a mn a m1 a m2…a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵表达了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就表达其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),同时对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的重量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如重量依次是a1,a2,⋯ ,a n的向量可表示成a1(a1,a2,⋯ ,a n)或 a2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,然而作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n矩阵,右边是n⨯1矩阵).适应上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m⨯n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为α1, α2,⋯ ,αn时(它们差不多上表示为列的形式!)可记A=(α1, α2,⋯ ,αn).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等(记作α=β),是指它的维数相等,同时对应的重量都相等.(2) 线性运算和转置线性运确实是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m⨯n的矩阵A和B能够相加(减),得到的和(差)仍是m⨯n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m⨯n的矩阵A与一个数c能够相乘,乘积仍为m⨯n的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0⇔ c=0 或A=0.转置:把一个m⨯n的矩阵A行和列互换,得到的n⨯m的矩阵称为A 的转置,记作A T(或A').有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把那个向量看作矩阵了.当α是列向量时, αT表示行向量, 当α是行向量时,α T表示列向量.向量组的线性组合:设α1, α2,…,αs是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c1α1+c2α2+…+c sαs为α1, α2,…,αs的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个专门矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们差不多上考试大纲中要求把握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它确实是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也确实是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也确实是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定差不多上0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大伙儿能够仿照着写出它们,那个地点省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,假如满足:①假如它有零行,则都显现在下面.②假如它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是专门的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④同时其正上方的元素都为0.每个矩阵都能够用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运确实是在线性代数的各类运算题中频繁运用的差不多运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯独的,然而其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯独的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的差不多方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上确实是三种初等行变换.线性方程组求解的差不多方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情形:假如最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r可不能大于未知数个数n),r=n时唯独解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯独解.)(3)有唯独解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η确实是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情形:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直截了当的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 假如A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行依旧是阶梯形矩阵.(2) 假如A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列依旧是阶梯形矩阵.(3) 假如(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 假如(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 假如 A 是阶梯形矩阵,则A和B差不多上阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)……… .a n1 a n2 … a nn假如行列式的列向量组为α1, α2, … ,αn ,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为那个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就能够在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的运算,以及判定一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的运算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 .a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33.a 31 a 32 a 33一样地,一个n 阶行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … …a n1 a n2 … a nn的值是许多项的代数和,每一项差不多上取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一样形式为:n nj j j a a a 2121,那个地点把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定τ(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象显现的个数.逆序数可如下运算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和确实是逆序数.例如求436512的逆序数:023********, τ(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们能够写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n n nj j j j j j j j j a a a τ-∑… … … a n1 a n2 … a nn那个地点∑n j j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一样来说工作量专门大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的运算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.因此化为运算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际运算行列式的要紧方法,因此应该熟练把握.3.其它性质行列式还有以下性质:①把行列式转置值不变,即|A T|=|A| .②某一行(列)的公因子可提出.因此, |c A|=c n|A|.③对一行或一列可分解,即假如某个行(列)向量α=β+γ ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ 所得到的行列式.例如|α,β1+β2,γ |=|α,β1,γ |+|α,β2,γ |.④把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤假如一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦假如A与B差不多上方阵(不必同阶),则A * = A O =|A||B|.O B* B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a1a2 a3 …a na12a22a32…a n2…………a1n-i a2n-i a3n-i…a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于 ).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.关于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化运算,例如直截了当化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.现在,假如它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯独解,那个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),那个地点D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解运算量太大，没有有用价值.因此法则的要紧意义在理论上,用在对解的唯独性的判定,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯独解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |β)→(E |η),η确实是解.用在齐次方程组上 :假如齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.二. 典型例题1.利用性质运算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ②1+x 1 1 1③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 22a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 1 11 1+x2 1 1 .1 1 1+x3 11 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x4和x3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A=(α, γ1, γ2 ,γ3),B=(β, γ1, γ2 ,γ3),|A|=2, |B|=3 ,求|A+B| .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a nb 1c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)n i i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直截了当求出).例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n n i i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … …b n 0 0 … 0c n 提示: 只用对第1行展开(M 1i都可直截了当求出). 另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0… … … … = 110n n n n i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时). 0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x1+x2+x3=a+b+c,ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,bcx1+acx2+abx3=3abc.(1)证明此方程组有唯独解的充分必要条件为a,b,c两两不等.(2)在此情形求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x3(x+4). ③ a3(a+10).例2 1875.例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B能够相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应重量乘积之和.设a11a12...a1n b11b12...b1s c11 c12 (1)A= a21a22...a2n B= b21b22...b2s C=AB=c21 c22 (2)………………………a m1a m2…a mn ,b n1b n2…b ns ,c m1 c m2…c ms ,则c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a in b nj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一样地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A≠0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A≠0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质(c A)B=c(AB).③结合律(AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都能够相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.同时有行列式性质:|AB|=|A||B|.假如AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.明显A的任何两个方幂差不多上可交换的,同时方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.然而一样地(AB)k和A k B k不一定相等!n阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请专门注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式一样地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式关于n阶矩阵的不再成立.然而假如公式中所显现的n阶矩阵互相差不多上乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A和B可交换时,有:(A±B)2=A2±2AB+B2;A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立依旧A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式能够因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个能够相乘的矩阵A 和B ,能够先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则 A 11 A 12 B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22A 21 A 22B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22要求A ij 的列数B jk 和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A 1 0 0A = 0 A 2 0… … …0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 差不多上方阵. 两个准对角矩阵A 1 0 ... 0 B 1 0 0A = 0 A 2 ... 0 , B = 0 B 2 0… … … 0 0 … A k 0 0 … B k假如类型相同,即A i 和B i 阶数相等,则A1B10 0AB = 0 A2B2 …0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m⨯n矩阵B是n⨯s矩阵. A的列向量组为α1,α2,…,αn,B的列向量组为β1, β2,…,βs, AB的列向量组为γ1, γ2,…,γs,则依照矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的专门情形):①AB的每个列向量为:γi=Aβi,i=1,2,…,s.即A(β1, β2,…,βs)=(Aβ1,Aβ2,…,Aβs).②β=(b1,b2,…,b n)T,则Aβ= b1α1+b2α2+…+b nαn.应用这两个性质能够得到:假如βi=(b1i,b2i,…,b ni)T,则γi=AβI=b1iα1+b2iα2+…+b niαn.即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,…,αn的线性组合,组合系数确实是B的第i个列向量βi的各重量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数确实是A 的第i个行向量的各重量.以上规律在一样教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们不管在理论上和运算中差不多上专门有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字专门简单时,直截了当利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了运算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ⎤®↵ X !Ξδ矩阵的各行向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ⎤®↵ X !Ξδ矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量差不多上另一个A的列向量组的线性组合时,能够构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也确实是把E 的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也确实是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(相伴矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运确实是解下面两种差不多形式的(I) AX=B.(II) XA=B.那个地点假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解差不多上存在同时唯独的.(否则解的情形比较复杂.) 当B只有一列时,(I)确实是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯独解.假如B有s列,设 B=(β1, β2,…,βs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=βi,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯独解,从而AX=B有唯独解.这些方程组系数矩阵差不多上A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,现在B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,然而考试真题往往并不直截了当写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上差不多形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,假如存在n阶矩阵B,使得AB=E,BA=E,则称A 为可逆矩阵.现在B是唯独的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.假如A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右假如A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到差不多矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法方法自然，好经历,然而运算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (同时|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯独解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),因此从定义得到A可逆.推论假如A和B差不多上n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.因此只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆同时互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①假如A可逆,则A-1也可逆,同时(A-1)-1=A.A T也可逆,同时(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,同时(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,同时(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②假如A和B都可逆,则AB也可逆,同时(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵差不多上可逆矩阵,同时E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的运算和相伴矩阵①运算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,因此可用初等行变换求A-1: (A|E) (E|A-1)那个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的相伴矩阵法简单得多.②相伴矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的相伴矩阵为A11 A21…A n1A*= A12 A22…A n2 =(A ij)T.………A1n A2n…A mn请注意,规定n阶矩阵A的相伴矩阵并没有要求A可逆,然而在A 可逆时, A*和A-1有紧密关系.差不多公式: AA*=A*A=|A|E.因此关于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来运算A-1.这确实是求逆矩阵的相伴矩阵法.和初等变换法比较, 相伴矩阵法的运算量要大得多,除非n=2,一样不用它来求逆矩阵.关于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .相伴矩阵的其它性质:①假如A是可逆矩阵，则A*也可逆，同时(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.运算题例1 α=(1,-2,3) T,β=(1,-1/2,1/3)T, A=αβ T,求A6.讨论:(1)一样地,假如n阶矩阵A=αβ T,则A k=(βTα)k-1A=(tr(A ))k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如βTα的地点可把它当作数处理.① 1 -1 1ααT= -1 1 -1 ，求αTα.（2003一）1 -1 1②设α=(1,0,-1)T, A=ααT,求|a E-A n|.③ n维向量α=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-ααT, A-1=E+a-1αα T,求a. (03三,四)④n维向量α=(1/2,0,⋯,0,1/2)T, A=E-ααT, B=E+2ααT,求AB. (95四)⑤A=E-αβ T,其中α,β差不多上n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求αTβ.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)1 0 1例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.0 1 0例4 −A为3阶矩阵, α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足Aα1=α1+α2+α3, Aα2=2α2+ α3, Aα3=2α2+3α3.求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(α1,α2,α3),|A|=1,B=(α1+α2+α3,α1+2α2+3α3,α1+4α2+9α3),求|B|.(05)例6 3维向量α1, α2, α3, β1, β2, β3满足α1+α3+2β1-β2=0, 3α1-α2+β1-β3=0, -α2+α3-β2+β3=0,已知|α1, α2, α3|=a,求| β1, β2, β3|.例7设A是3阶矩阵, α是3维列向量,使得P=(α,Aα,A2α)可逆,同时A3α=3Aα-2A2α.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设α1=(5,1,-5)T, α2=(1,-3,2)T, α3=(1,-2,1)T,矩阵A满足Aα1=(4,3) T, Aα2=(7,-8) T, Aα3=(5,-5) T,求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)假如n>2,则 |A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)3⨯3满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A)3/3.(B) 3. (C)1/3. (D)3. (2005年数学三)例16 设A和B差不多上n阶矩阵,C= A0 ,则C*=0 B(A) |A|A*0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B*0 . (D ) |B|A*0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,同时求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆. 讨论: 假如f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设α是n维非零列向量,记A=E-ααT.证明(1) A2=A⇔αTα =1.(2) αTα =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B差不多上n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B差不多上n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B差不多上n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 假如AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 假如A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C差不多上n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A)E.(B) -E. (C)A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1①3.②a2(a-2n). ③-1. ④ E. ⑤4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔ A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例11 6 00 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明⇒,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:运算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设α1,α2,…,αs是一个n维向量组.假如n维向量β等于α1,α2,…,αs的一个线性组合，就说β能够用α1,α2,…,αs线性表示.假如n维向量组β1, β2,…,βt -∉ *⎬能够能够用。
线性代数 第三版 (卢刚 著) 完全版 高等教育出版社
⎛820 655 335 ⎞
⎜
解：（1） ⎜ 0.011
⎜ ⎝
0.12
⎟ ⎛ 2000
0.05⎟
0.5
⎟ ⎠
⎜⎜⎝1200
1000 1300
800 ⎞ 500 ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎝
82 840
76 770
⎟
33.8⎟
346
⎟ ⎠
其中第一、二、三列分别表示北美、欧洲、非洲；
第一、二、三行分别表示价值、重量、体积。
V5
（2）考虑矩阵
1
1
V6
1
V2 x
1
A
=
⎜⎜⎛ ⎝
cosθ sin θ
− sinθ cosθ
⎟⎟⎞ ⎠
π
π
分别在当θ = 和θ = − 时，用 A 左乘原正方形各顶点和各边中点的坐标，若设所得到
3
2
的点的坐标
U
1
,U
2
,⋯,U
8
和U
' 1
,U
' 2
,⋯,U
' 8
分别作出由这两组点构成的平面图形。
解：(1) 以V1,V2 ,⋯,V8 的坐标为列构造 2×8 矩阵 V，令
又 AB1B2 = B1 AB2 = B1B2 A ，
即矩阵 A 与 B1B2 也可交换。
所以 由 AB1 = B1 A 有： ( A + B1 )( A − B1 ) = ( A + B1 ) A － ( A + B1 )B1 = A2 − B12 。
10、计算（其中 n 为正整数）
⎛1
1
3
⎞
（1） ⎜⎜⎝ −1 −1⎟⎟⎠ ；
线性代数电子教案PPT课件
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 实对称矩阵的对角化 二次型与线性变换 二次型的标准形 用配方法化二次型为标准形 正定二次型
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第六章 线性空间与线性变换
第一节 第二节 第三节 第四节
线性空间的定义及性质 维数 基与坐标 基变换与坐标变换 线性变换及其矩阵表示
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Chapter 4 Linear Systems of Equations
Section 1 Existence of Solutions of the Systems of Linear Equations
Section 2 Homogenous Systems of Linear Equations Section 3 Non-homogeneous Systems
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Contents
Chapter1 Determinant Chapter2 Linear Dependence of Sets of Vectors Chapter3 Matrix Chapter4 Linear Systems of Equations Chapter5 Similar matrices and quadratic form Chapter6 Linear Space and Linear Transform
返回
软件说明 总目录 创作集体 使用方法 返回
or a column Section 4 Cramer’s Rule
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Chapter 2 Linear Dependence of Sets of Vectors
and Vector space
线性代数pdf
第三讲 向量及其线性相关性教学目的与要求：理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示、向量组线性相（无）关的概念；了解并会运用向量组线性相（无）关的有关性质及判定法；了解向量组的极大线性无关向量组和秩的概念，会求向量组的极大线性无关向量组及秩，了解向量组等价的概念，以及向量组的秩与矩阵的秩之关系，了解n 维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，了解基变换与坐标变换公式，会求过渡矩阵．重点：n 维向量、向量组的线性相关性、极大无关组与秩.§1 n 维向量空间设F 为数域（简单地说，一个包含0和1的数集F 若对四则运算（除数不为0）封闭，则F 为数域，如有理数集、实数集和复数集都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域，以下所涉及的数域是实数域R 或复数域C ）．1. n 维向量的定义：数域F 上的n 个数组成的有序数组(或) T n a a a α),,,(21L ='21),,,(n a a a L 或称为一个n 维（行或列）向量，其中称为向量),,,(21n a a a αL =i a α的第i 个分量或坐标；当F=R (或C ) 时，称为n 维实（或复）向量；数域F 上的n 维向量全体记为，称为数域F 上的n 维向量空间（或n 维数组空间）． nF 注：（1）当n ＝1、2、3时，n 维向量即几何向量的坐标表示，从而几何意义明显；(2) 0＝(称为零向量，称为T)0,,0,0L T n a a a ),,,(21−−−=−L α()T n a a a ...,,,21=α的负向量．(3) n 维行（或列）向量即1×n （或n ×1）矩阵．（4）矩阵的每一行n m ij a A *)(=)...(21in i i i a a a =α为一个n 维行向量，称为矩阵A 的行向量；而A 的每一列为一个m 维列向量，称为矩阵A 的列向量．(Tmj j j j a a a ...21=β) 2．非负实数22221...n a a a +++=α称为向量的模；T n a a a ),...,,(21),...,,(21n a a a 或模为1 的向量称为单位向量． 显然均为n 维单位向量，称为原始单位向量；T n T T e e e )1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1(21L L L L ===α＝0⇔|α|＝0．3．向量的线性运算（即矩阵的线性运算）设,),,,(21T n a a a αL =,),,,(21Tn b b b βL=则 Tn n βαβαβαβα）＝（±±±±,,,2211L ，()Tn ka ka ka αk ,,,21L =⋅． 4．运算律 设，nF ∈γβα,,,,F l k ∈ 则(1) αββα+=+；（2）(βα+)＋γ＝)(γβα++；（3）αα=+0；（4）0)(=−+αα；αkl αl k αα)()()6(;1)5(==⋅；（7）αααl k l k +=+)(；（8）βαβαk k k +=+)(．§2 向量组的线性相关性一、3R 中向量的共线与共面 设3,,R ∈γβα 1.两个向量βα,共线使R k ∈∃⇔βα⋅=k 或R l ∈∃使αβ⋅=l l k R l k ,(,∈∃⇔不同时为零)使0=⋅+⋅βαl k ．2.三个向量γβα,,共面R l k ∈∃⇔11,使βαγ11l k +=，或,,2222γl αk βR l k ＋＝使∈∃⇔+∈∃γl βk αR l k 3333,＝使或存在不全为零的实数h ，k ，l 使0=++γβαl k h ．我们称共线的两个向量或共面的三个向量为线性相关的．二、向量组及其线性组合1.向量组：同一个向量空间（如）中的若干个向量nF ,...,...,,21s ααα称为一个向量组．2.向量组的线性组合：表达式s s k k k ααα+++....2211称为向量组s ααα,...,,21的一个线性组合，其中；设),...,2,1(s i F k i =∈),,...,2,1(k ,i s i F F n =∈∃∈若β,...11s s k k ααβ++=使可由向量组则称向量βs ααα，，...,21线性表示．3.显然零向量可由任意的向量组线性表示：L L +⋅++⋅+⋅=s ααα000021； 向量组中任一向量均可由该向量组线性表示:s i i i i αααααα⋅++⋅+⋅+⋅++⋅=+−00100111L L ．....,,...A )(......,),,...,2,1(,.42121221121））（）＝（有解（其中即（向量式）线性方程组线性表示，，由则设T s s s s s n i x x x x b b Ax x x x s i F ====+++⇔=∈βαααβααααααββα 例1 ()()T TT T e e e )100(,010,)001(321321====可由β线性表示即有解线性方程组ββ=++⇔++=332211321321x e x e x e e e e ：x 1=１，x ２=２，x ３=３．5．设（A ）t s βββααα...,B ,...,,:2121，，）：和（为中的两个向量组，如果每一个nF ),...,2,1(t j j =β均可由向量组（A ）线性表示，则称向量组（B ）可由向量组（A ）线性表示；如果向量组（A ）也可由向量组（B ）线性表示，则称向量组（A ）与向量组（B ）可以相互线性表示或等价，记为（A ）～（B ）；向量组之间的等价是“等价关系”，即有（1）（A ）～（A ）；（2）若（A ）～（B ），则（B ）～（A ）；（3）（A ）～（B ）且（B ）～（C ），则（A ）～（C ）． 若向量组（A ）可由向量组（B ）线性表示，则s sj j j j ij k k k t j s i F k αααβ+++===∈∃...),...,2,1;,...2,1(2211使（j=1,2,…,t ）,即t s ij s t k K K *2121)(,)...()...(=⋅=其中αααβββ称为表示矩阵．若，则B 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，表示矩阵为K ． t s s n t n K A B ***⋅= 若,则D 的行向量组可由C 的行向量组线性表示,此时也称H 为表示矩阵． t s s n t n C H D ***⋅= 若A 经行（或列）初等变换成为B ，则A 与B 的行（或列）向量组等价．6. 线性方程组的线性组合、线性表示及等价可类似定义与讨论．三、 向量组的线性相关性 设n s F ∈ααα,,,21L 1．线性相关：若存在一组不全为零的数s s i k k k s i k ααα+++=...),,...,2,1(2211使=0，则称为向量组s ααα,...,,21线性相关；否则称为线性无关．线性相关齐次线性方程组n n F ∈ααα,...,,21⇔0...2211=+++s s x x x ααα有非零解⇔矩阵的秩s R s <),...,,(21ααα例2 （1）例1中的）线性相关（，0)1(321,,321321=−+++ββe e e e e e ， 而（；线性无关321,,e e e )00),,()321321332211===⇔==++k k k k k k e k e k e k T(2) 对一个向量α来说，α线性相关⇔α=0；α线性无关⇔α≠0；对两个向量,,βα来说，,,βα线性相关⇔成比例与即＝或βααββα),,(F l k l k ∈∃=（共线）⇔的坐标对应成比例；与βα三个向量γβα,,线性相关⇔存在不全为零的数)(0,,共面使=++βγβαk h l k h ； (3)含有零向量的向量组0,...,21s ααα，，必线性相()0010...02=⋅+++s αα；反之，线性无关的向量组必不含零向量． 2．定理2 向量组（A ）：)(,...,,21s s s ≥ααα线性相关⇔ (A)中至少有一个向量 （如：i α）能由其余s －1个向量（线性表示),...,,,...,,1121s i i ααααα+−．证 （=>）设（A ）线性相关，即存在不全为零的数，),...,2,1(s i k i =使++2211ααk k0...=+s s k α,不放设111111i ...,0+−−−−+−++−=≠i i i i i i i i k k k k k k k αααα则＋s is k k α−+...． （<=）设s s i i l i i l l l l ααααα+++++=++−−......111111，则.)(01,0...)1(...111111线性相关其中A l l l l l i s s i i i i i ⇒≠−==+++−+++++−−ααααα3．线性无关定理3 设， 则以下（1）―（8）等价n s F ∈ααα,...,,21（1）向量组（A ）：s ααα,....,,21线性无关；（2）不存在不全为零的数使),...,2,1(s i k i ==+++s s k k k ααα...22110； （3）对任一组不全为零的数),...,2,1(s i k i =，0...2211≠+++s s k k k ααα； （4）只有0...,0221121=+++====s s s k k k k k k ααα才使L ； （5）若=+++s s k k k ααα...22110，则021====s k k k L ；（6）(A)中任一向量均不能由其余s －1个线性表示； （7）齐次方程组=+++s s x x x ααα...22110只有零解； （8）矩阵的秩s R s =),.....,,(21ααα．（9）当s ＝n 时还有：线性无关nn F ∈ααα,...,,21⇔行列式D ＝|n ααα,,,21L |0． ≠ 例3 （1）在中任意两个向量1F )(),(b a ==βα必然线性相关（共线）；（2）在中任意三个向量2F γβα,,必然线性相关（共面）；（3）在中任意四个向量3F δγβα,,,必线性相关：（a ）若γβα,,线性相关，即存在不全为零的数使321,,k k k 0,04321＝取k k k k ++βγ=α，则不全为零的数k i （i=1,2,3,4），使线性相关；βγδαβγα,,,04321k k k k δ⇒=+++（此结论可一般化，即若向量组(A)的一部分组(A 1)线性相关，则(A)线性相关，见定理5(2)）；（b ）若γβα,,线性无关，则仿照空间直角坐标系，以γβα,,为三个坐标轴（不共面）建立空间坐标系（称为仿射坐标系），使得中任一向量3F δ均可表示成γβαδ321k k k ++=，从而δγβα,,,线性相关（其中（k 1,k 2,k 3）称为δ在此(仿射)坐标系下的(仿射)坐标）； （4）F n 中任意n ＋1个向量必线性相关（与（３）类似证明，另见例６（２） ）．例4 （1）F n 中()()()1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,121L L L L ===n e e e 线性无关；证 若02211=+++n n e k e k e k L 即()()00,,0,0,,,2121====⇒=n Tn k k k k k k L L Ln e e e ,,,21L ⇒线性无关．或每个e i 均不可由其余n －1个线性表示（如的任意线性组合），从而线性无关．121,,,−n e e e L ())1,,0,0(0,,,11111L L L =≠=++−−n Tn n n e k k e k e k n e e e ,,,21L （2）,n e e e ,,,21L ()n a a a ,,,21L =β线性相关：n n e a e a e a +++=L 2211β．例5 （1）设321,,ααα线性无关，试证133322211,,ααβααβααβ+=+=+=线性无关．证 设有0332211=++βββx x x ，即0)()()(133322211=+++++ααααααx x x 亦即0)()()(332221131=+++++αααx x x x x x ，由321,,ααα线性无关得，而⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131x x x x x x 02110011101≠==D ，故321321,,0βββ⇒===x x x 线性无关（1994年研招考题实际即本题）．（2）设s ααα,,,21L 线性无关，s 为奇数，则111211,,,ααβααβααβ+=+=+=−−s s s s s L 线性无关（证明与（1）类似）；（3）设s 为偶数，s ααα,,,21L 为任一向量组，则111211,,,ααβααβααβ+=+=+=−−s s s s s L 线性相关()0121=−++−−s s ββββL（（2）、（3）为1998年研招题）；（4）()()()1,0,1,1,1,0,0,1,1321===βββTTT 线性无关；而()(,0,1,1,0,0,0,1,121=)=γγ()(1,0,0,1,1,1,0,043==)γγ线性相关；（5）设s 为奇数，s ααα,...,,21为线性无关向量组，则向量组++=2211ααβj j j k k线性无关),...,2,1(...s j k s sj =+α⇔D=0*≠ss ijk (证明与（1）类似)；（6）设s 为偶数，s ααα,...,,21为任一向量组，D ＝0*=ss ijk ，则向量组s sj j j j k k k αααβ+++=...2211（j=1,2,…,s ）线性相关．四．线性相关性的性质1．定理4 若s ααα,...,,21线性无关，而s ααα,...,,21，α线性相关，则α可由s ααα,...,,21唯一地线性表示．证 （1）因s ααα,...,,21，α线性相关，即存在一组不全为零的数，k k k k s ,,...,,210...2211=+++ααααk k k k s s ＋使，则k ≠0（否则，若k =0，即有0...2211=++s s k k k ααα＋且不全为零，这与s ,...,,21k k k s ααα,...,,21线性无关矛盾）s s l l l αααα=+++⇒...2211,其中k k l i i −=（i=1,2,…,s ），即α可由s ααα,...,,21线性表示．（2）唯一性：设s s s s l l l k k k ααααααα+++=++=......22112211＋，则有由,0)(...)()(222111−++−+−l k l k l k s s s =αααs ααα,...,,21线性无关得k i =l i （i=1,2,…,s ）,从而唯一性得证．２．定理５ （1）设， 若 ns s F ∈+121,,,,ααααL s ααα,...,,21线性相关则121,,,,+s s ααααL 必线性相关（由定义立得）； （2）若向量组（A ）的某个部分组（A 1）线性相关，则向量组（A ）必线性相关（即若部分相关，则整体相关）； （3）若向量组（A ）线性无关，则向量组（A ）的任一部分组（A 1）必线性无关（即若整体无关，则部分无关）； （4）特别地，若向量组（A ）中含有：一个零向量，或有两个成比例（共线）的向量，或有三个“共面”的向量等；则向量组（A ）必线性相关． 3．定理 6 设（升维），j=1,2,…,s. T j n nj j j j T j n j jj a a a a a a a )...(,)...(12121+==βα （1）若向量组（A ）：s ααα,...,,21线性无关，则向量组（B ）：s βββ,...,,21必线性无关； （2）若向量组（B ）线性相关，则向量组（A ）线性相关．证 （1）向量组（A ）线性无关⇒齐次方程组=+++s s x x x ααα...22110只有零解齐次方程组⇒0...2211+++x x x s s =βββ只有零解⇒向量组（B ）线性无关．4． 定理7 设有nF 中的向量组（A ）：和（B ）：r ααα,...,,21s βββ,...,,21； （1）若向量组（A ）可由（B ）线性表示，且r>s ，则向量组（A ）线性相关； （2）若向量组（A ）可由（B ）线性表示，，且向量组（A ）线性无关，则r ； s ≤ （3）若向量组（A ）与（B ）等价，且均线性无关，则r=s ． 证 （1）设（r ααα,...,,21）＝（21ββr s ij s k K K *)(,)...=⋅β，且设＝即00...2211=+++r r l l l ααα（r ααα,...,,21）＝（⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛r l l l M 21s βββ,...,,21）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅r l l l K M 21因r>s,从而Ｋ的r 个列（s 维）向量线性相关，故存在不全为零的数,使＝0，从而r l l l ,...,,21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅r l l l K M 210...=+++l l l 2211r r ααα，因此向量组（A ）线性相关．例6 （1）nF 中（线性无关）的任一部分组（仍线性无关）若能由向量组n e e e ,,,21L r i i i e e e ,...,,21s βββ,...,,s 21线性表示，则r ≤；(2) 设s βββ,...,,21为nF 中线性无关的向量组，因s βββ,...,,21可由线性表示，则s ≤n ；反之若n<s ，则n e e e ,...,,21s βββ,...,,21线性相关；特别地，nF 中任意n ＋1个向量必线性相关； (３) nF 中若能由线性无关的向量组n e e e ,,,21L s βββ,...,,21线性表示，（因s βββ,...,,21可由e 线性表示），则二者等价，从而s ＝n ．n e e ,...,,21§3 向量组的秩一、向量组的秩1．定义 设有向量组（A ），若（A ）中存在部分向量组r A ααα,,,:)(210L 满足： （1）（A 0）线性无关，（2）（A ）中任意r ＋1个向量（如果有的话）都线性相关；则称（A 0）为（A ）的一个最（或极）大线性无关向量组，而正整数r 称为向量组（A ）的秩，记为rankA 或R （A ）．并规定仅含零向量的向量组的秩为0，即R （0）＝0．例 1 （1），则)(11,10,01221F e e ∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ααα,;,;,2121e e e e 均为α,,21e e 的极大无关组，从而2),,(21=αe e R ．（2）因（B ）：线性无关，而F T n T T e e e )1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1(21L L L L === n 的任意n ＋1个向量均线性相关，故（B ）为F n 的一个最大无关组，从而R （F n ）＝n ； （3）F n 中任意n 个线性无关的向量都构成F n 的一个最大无关组．２．向量组（A ）与其任一最大无关组（A 0）等价；从而向量组（A ）的任意两个最大线性无关组等价．证 因（A 0）线性无关，而对)(A ∈∀α，)A (0与α线性相关)A (0可由α⇒线性表示可由（A )(A ⇒0）线性表示；而（A 0）显然可由（A ）线性表示；故（A ）与（A 0）等价．二、向量组的秩与矩阵的秩的关系１．定理1 矩阵A 的秩与它的行向量组的秩R r （A ）、列向量组的秩R c （A ）都相等． 证 设),,,(21m A αααL =，r A R =)(，并设A 的r 阶子式0≠r D ，记B r 为A 中D r 所在的r 列所成的矩阵，则，即 B r B R r =)(r 的r 个列向量（也是A 中D r 所在的r 个列向量）线性无关；而A 中所有r ＋1阶子式全为0，由定理6（2）知A 中任意r ＋1个列向量线性相关，因此A 中D r 所在的r 个列向量（即B r 的r 个列向量）是A 的列向量组的一个最大线性无关向量组，故．同理可证．r A R c =)(r A R r =)(推论 若矩阵A 的某个s 阶子式0≠s D ，则A 中D s 所在的s 个行（或列）向量线性无关．例2 设，求A 的列向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=97963422644121121112A 51ααL 的最大无关组（A 0）和秩，并把其余向量用（A 0）表示．解 由，而三个非零行的非零首元分别在第1，2，4列，故3)()(00000310000111041211A 11==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎯⎯→⎯A R A R A 知＝行变421,,ααα为其最大无关组．再由． 421521321334,00000310003011040101A ααααααα−+=−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎯⎯→⎯得＝行变A 定理2 若矩阵A 经行初等变换成为B ，则（1）A 的行向量组（A ）与B 的行向量组（B ）等价；（2）A 的列向量组s ααL 1与B 的列向量组s ββL 1具有相同的线性关系，即有⇔=+011s s k k ααL 011=++s s k k ββL ，F k i ∈．证 （1）若A 经一次初等行变换成为B ，则显然B 的行向量组（B ）可由A 的行向量组（A ）线性表示；反之B 经一次初等行变换（上述逆变换）即成为A ，从而（A ）也可由（B ）线性表示；因此（A ）与（B ）等价成立．)1(⇒ （2）设有011=++s s k k ααL ，即为齐次线性方程组AX ＝0的解，也是的解，即有T s k k x )(1L =T s k k x )(1L =⇒0=BX 011=++ss k k ββL ．推论 若矩阵A 经初等列变换成为B ，则（1）A 的列向量（A ）与B 的列向量组（B ）等价；（2）A 的行向量组与B 的行向量组有相同的线性关系．三、向量组之间的秩关系定理3 若向量组（B ）可由向量组（A ）线性表示，则)()(A R B R ≤．证 设s A αα,,:)(10L 和r B ββ,,:)(10L 分别为（A ）和（B ）的最大无关组，则s A R =)(，，且可由线性表示，即r B R =)()(0B )(0A r s ij k K ×=∃)(使K s r ⋅=)()(11ααββL L ．假设r>s ，因，则方程组r s K R <≤)(0=⋅x K 有非零解，⇒方程组0)(1=Kx s ααL ，即0)(1=x s ββL 有非零解，这与s B ββ,,:)(10L 线性无关矛盾；故s r ≤．推论（1）等价的向量组有相同的秩（显然）；（2）设，则n s s m n m B A C ×××⋅=)}(),(min{)(B R A R C R ≤；（3）设向量组（A ）的部分组（A 0）线性无关，且（A ）可由（A 0）线性表示，即从（A ）中任意加一个向量到（A 0）后即线性相关，则（A 0）为（A ）的极（或最）大无关组．证 （2）C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，B 为此表示的系数阵：;又C 的行向量组可由B 的行向量组线性表示，．)()()()(11A R C R B s n ≤⇒⋅=ααγγL K )()(B R C R ≤⇒ （3）设（A 0）含有r 个向量，则R(A 0)=r ，而（A ）可由（A 0）线性表示，从而A 中任意r ＋1个向量都线性相关，⇒（A ⇒=≤r A R A R )()(00）为（A ）的极大无关组． 注：推论（3）可作为极（或最）大无关组的（等价）定义．例3 设向量组（B ）可由（A ）线性表示，且).(~)(),()(B A B R A R 则= 证法1 只要证（A ）可由（B ）线性表示，从而（A ）～（B ）．设R(A)=R(B)=r ，且设A ，B 的一组最大无关组分别为（A 0）：r r B ββαα,,:)(,,101L L 和．因（B 0）可由（B ）表示，（B ）可由（A ）表示，而（A ）可由（A 0）表示， 表示，即)()(00A B 可由⇒r r K ×∃使K A B 00⋅＝，r K R K R B R r =⇒≤=⇒)()()()(A ),(B 0r 10r 10ααββL L ＝＝，即K 可逆，即（A 111)()(−⋅=⇒K r r ββααL L 0）可由（B 0）线性表示（A ）可由（B ）线性表示（A ）～（B ）．⇒⇒证法2 设向量组（A ）和（B ）一起构成向量组（C ）．则因（B ）能由（A ）表示得（C ）可由（A ）表示．而（A ）能由（C ）表示r C R C A =⇒⇒)()(~)(．于是（B ）的任一最大无关组（B 0）也是（C ）的最大无关组⇒(C) ～( B 0) ～(B) （A ）～（B ）． ⇒例4．已知．证明向量组TT T T )5,3,4,4(,)9,5,6,5(,)1,1,2,3(,)3,1,3,2(1121−−=−−=−−=−=ββαα2121,,ββαα与等价．证法1 只要证明使22×∈∃F Y X ，Y X )()(,)()(21212121ββααααββ==，先求X ，类似于求解线性方程组的方法，对增广矩阵()2121ββαα施行初等行变换化为行最简形矩阵： ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=000000002310120159133511462045322121行变ββαα即得． ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2312X 因01≠=X ，故X 可逆，取,即为所求．因此向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−23121X Y 2121ββαα与等价（而且将此两个向量组相互线性表示出来：2122112122112,32;2,32ββαββαααβααβ+=+=+−=−=）．证法2 对()21,αα和()21,ββ分别施行初等列变换化为列最简形矩阵：()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎯⎯→⎯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=411234521100113112032,21列变αα，()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎯⎯→⎯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=411234521100159354645,21列变ββ可见二者由相同的列最简形，于是()21αα可经初等列变换成为()21ββ，由定理2的推论知向量组2121ββαα与等价．证法3 显然21,αα线性无关（二者不成比例），21,ββ线性无关，且由法1知()212121212ββααββαα与⇒=R 都是212,1,,ββαα的最大无关组，从而等价．例5 求向量组54321,,,,ααααα的极大无关组：．()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−=3110222121022201211121011,,,,54321ααααα 解()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−⎯⎯→⎯00000000002001011100201010*********200201110021011,,,,54321行变行变ααααα(3,,,,R 54321＝)ααααα⇒；其极大无关组有7组（为什么？）：421,,ααα;,,;,,;,,;,,;,,;,,;532542531521321541αααααααααααααααααα且有421541322,ααααααα−+=−=．例6（1992-Ⅰ,II ）设321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关．问：（1）1α能否由32,αα线性表出？（2）4α能否由321,,ααα线性表出？ 证明你的结论． 解 （1）1α能由32,αα线性表出．因为32,αα4,α线性无关⇒32,αα线性无关，而321,,ααα线性相关⇒1α能由32,αα线性表出．（2）4α不能由321,,ααα线性表出．否则，若4α能由321,,ααα线性表出，由（1）1α能由32,αα线性表出⇒4α能由32,αα线性表出，与432,,ααα线性无关矛盾．故4α不能由321,,ααα线性表出．例7（1995-Ⅳ）已知向量组(Ⅰ)321,,ααα (II) 4321,,,αααα (III) 5321,,,αααα的秩分别为．证明向量组（Ⅳ）4)(,3)()(===ⅢⅡⅠR R R 45321,,,ααααα−的秩为4． 证 因线性无关，(II)线性相关)(3)()(ⅠⅡⅠ⇒==R R 4α⇒可由321,,ααα唯一地线性表出3322114ααααk k k ++=．假设)()(0332211454332211454332211ααααααααααααk k k l l l l l l l l l ++−+++=−+++= 54334322421141)()()(ααααl k l l k l l k l l +−+−+−=， 由即4)(=ⅢR 5321,,,αααα线性无关得0434324241==−=−=−l k l l k l l k l l 04321====⇒l l l l即45321,,,ααααα−线性无关，故4)(=ⅣR ．§4 向量空间设F 是数域，V=F n 为F 上的向量空间，它是数域F 上的线性空间，即其中向量有加法和数乘这两个线性运算，且满足是八条运算律（详见教材第六章）．一、三维实向量空间的基与坐标 （复习与推广）1. 由空间解析几何知道，在R 3中建立直角坐标系（即取定成右手系的相互垂直的单位向量i , j , k ）后，向量组e 1=()001T , e 2=()010T , e 3=()100T 为R 3的一个极大无关组，即e 1，e 2，e 3线性无关，且＝(α∀a 1 a 2 a 3) T ∈R 3均可由e 1，e 2，e 3唯一地线性表示：α＝a 1e 1+a 2e 2+a 3e 3，或R 3可由e 1，e 2，e 3线性生成，故称e 1，e 2，e 3为R 3的一组基，且称R 3为3维实向量空间．2. 称a i (i=1,2,3)为向量α＝(a 1a 2a 3)T 在基e 1，e 2，e 3下的第i 个坐标（分量），且称(a 1 a 2 a 3)T 为α在基e 1，e 2，e 3下的坐标（表示）．3. R 3中任意3个线性无关的向量α1 、α2 、α3均构成R 3的一组极大无关向量组，都可作为R 3的一组基，∈∀α R 3均可由α1 、α2 、α3唯一地线性表示：α＝b 1α1＋b 2α2＋b 3α3 称b i 为 在基α1 、α2 、α3下的第i 个坐标，且称(b 1，b 2，b 3)T 为α在基α1 、α2 、α3下的坐标（表示）．例1 （1） α1＝( )001T ，α2＝( )011T ，α3＝( )111T ，为R 3的一组基，α∀＝（a 1a 2a 3）∈R 3在此基下的坐标为（a 1－a 2，a 2－a 3，a 3）：α＝（a 1－a 2）α1＋（a 2－a 3）α2＋a 3α3．（2）β1＝()111T ，β2＝( )110T ，β3＝( )100T ，为R 3的一组基，α∀＝（a 1a 2 a 3）∈R 3在此基下的坐标为（a 1，a 2－a 1，a 3－a 2）：α＝a 1β1＋(a 2－a 1)β2＋(a 3－a 2)β3．二、向量空间的基、维数和坐标1.基与维：向量空间V=F n 的任一极大线性无关组（必含有n 个向量）称为V 的一组基，于是称n 为V 的维数，记为dimV ，即dimV=n2.坐标：设α1，．．．，αn 为V 的一组基，∈∀αV 可由α1，．．．，αn 唯一地线性表示： α＝a 1α1＋．．．＋a n αn ，称a i 为α在基α1，．．．，αn 下的第i 个坐标（分量），称(a 1，．．．，a n )T 为α在基α1，．．．，αn 下的坐标（向量），记为α＝（α1 ．．．αn ）(a 1 ．．．a n )T 例2、设V=F n ，则（1）e 1=()001L T ，e 2=()010L T ，e n =()100L T , 为V 的基，∈∀αV ，α＝(a 1a 2a L n )T ，则α＝(e 1e 2e L n )(a 1a 2a L n )T ；（2）α1＝()001L T ，α2＝()011L T ，＝()n α,L 111L T ，为V 的基, α∀＝(a 1a 2a L n )T ∈V ，则α＝(α1α2αL n )( a 1－a 2 a 2－a 3 L a n-1－a n a n )T , β1＝()111L T ,β2＝( )110L T ,L βn ＝( )100L T 为V 的基，=∀α(a 1a 2a L n )T ∈V ，则α＝(β1β2L βn )( a 1 a 2－a 1 L a n-1－a n-2 a n-1－a n )T ．3.基变换 设V=F n 的两组基（E ）：e 1e 2L e n 和（D ）：d 1d 2L d n ，则d j ＝t 1j e 1+t 2j e 2+L +t nj e n(j=1,2, L n)；若记T ＝(t ij )n ×n 则有（d 1d 2L d n ）＝（e 1e 2L e n ）T L （1）并且T 可逆（记T ＝（t 1t 2 L t n ）,t j ∈F n 为T 的第j 个列向量，设(t 1t 2 L t n )(k 1k 2L k n )T ＝k 1t 1+k 2t 2+k L n t n =0，k ⇒1d 1+k 2d 2++k L n d n =(d 1d 2L d n )( k 1k 2L k n )T =(e 1e 2L e n )( t 1t 2L t n )( k 1k 2L k n )=0，而d T 1 d 2 L d n 线性无关⇒k 1=k 2= L =k n =0 t ⇒1，t 2, L ,t n 线性无关 T 可逆），于是有（⇒e 1e 2L n e ＝(d 1d 2L d n )T -1L （2）（1）式和（2）式分别称为从旧基（E ）：e 1e 2L e n 到新基（D ）：d 1d 2L d n 和从新基（D ）到旧基（E ）的基变换公式，其中T 称为从旧基（E ）到新基（D ）的过度矩阵．例3 （1）R 3中基e 1e 2e 3到基α1α2α3和基β1β2β3（同例1）的过度矩阵分别为 T １＝（T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1001101111-1=）和T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−1001100112= (T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1110110012-1=)； ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−110011001（2）V=F n 中，从基e 1e 2e L n 到基α1α2αL n 和基β1β2．．．βn （同例2）的过度矩阵 分别为T 1=，（T ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000110001111011111L L L L L L L L L L 1-1=） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−10000110000011000011L L L L L L L L L L 和T 2=（T ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111011110001100001L L L L L L L L L L 2-1=）． ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−11000010000001100001L L L L L L L L L L 4. 坐标变换：设∈αV 在旧基（E ）和新基（D ）下的坐标分别为x=(a 1a 2a L n )T 和 y=(b 1b 2b L n )T ，即α＝(e 1e 2e L n ).x=( d 1d 2d L n ).y ，而（e 1e 2e L n ）＝（d 1d 2d L n ）.T -1，从而( d 1d 2d L n ).y ＝( d 1d 2d L n ).T -1.x ，由坐标的唯一性知 y=T -1.x ，此式称为由(向量α的)旧坐标x 到新坐标y 的坐标变换公式，而T -1称为由旧坐标x 到新坐标y 的坐标变换矩阵．例4 （1）设α＝(a 1a 2a 3)T ∈R 3在基α1α2α3（同例1）下的坐标为x=(x 1 x 2 x 3)T ， 即α＝（α1α2α3）x ＝x 1α1＋x 2α2＋x 3α3，则x ＝T 1-1 (a 1a 2a 3)T =(a 1－a 2，a 2－a 3，a 3)T （与例1结果相同）设α＝(a 1a 2a 3)T ∈R 3在基β1β2β3（同例1）下的坐标为y=(y 1 y 2 y 3)T ，即α＝(β1β2β3).y ＝y 1β1+y 2β2+y 3β3，则y=T 2-1(a 1a 2a 3)T ＝（a 1，－a 1＋a 2，－a 2＋a 3），即y 1=a 1，y 2= －a 1＋a 2，y 3=－a 2＋a 3（与例１结果相同）； （2）同理可得α∀＝(a 1a 2a L n )T ∈R n 在例2中的新基α1α2αL n 和β1β2βL n 下的坐标分别为x=T 1-1α和y=T 2-1α，即x=(a 1－a 2，a 2－a 3 ，L a n-1－a n ，a n )T 和y=(a 1，－a 1＋a 2，L －a n-1＋a n )T（3）R 2中由基e 1=()01T ，e 2=()10T 到新基α1= (2121)T ，α2= (2121−)T 的坐标变换即为旋转（4π），其过渡矩阵为T=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21212121，坐标变换矩阵为T -1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21212121，坐标变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−=+=x x y x x y 21221121212121（4）平面（R 2）上旋转θ角的坐标变换相的过渡矩阵为T=，坐标变换矩阵为T ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−θθθθcos sin sin cos -1=，坐标变换公式为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−θθθθcos sin sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧+−=+=θθθθcos sin sin cos 212211x x y x x y 三、向量子空间1. 定义：设≠φV F ⊆n ，如果对F n 中向量的加法和数乘两线性运算封闭，即对∈∀βα,V 及∀k ∈F ，有α＋β，k α∈V ，则称V 为F n 的子（向量）空间．注: （1）子（向量）空间本身是一个向量空间，从而有基、维数、坐标等概念．若dimV=m ，（m n ）则称V 为F ≤n 的m 维子空间；当m=n 时，即有V=F n ．（2）显然O ＝{0}为F n 的子空间，称为零子空间，其维数为0；V=F n 是F n 的子空间；O 和F n 称为F n 的平凡子空间，而F n 的其它子空间称为非平凡子空间．2. 生成子空间：对∀α1α2αL s ∈F n ，记V=L[α1α2αL s ]={k 1α1+ k 2α2+L + k s αs | k i ∈F,i=1,2,3,s}，显然V 对向量的加法和数乘封闭，从而V 为F L n 的子空间，称为由向量α1α2αL s 线性生成（或张成）的子空间；设α1α2αL r 为α1α2αL s 的极大线性无关组，则V 中任一向量均有α1α2αL r 线性表示，从而α1α2αL r 为V 的一组基，于是dimV = r (0≤ rn)；若R(≤α1α2αL s )=n ，则V = L(α1α2αL s )=F n ．例5 （1）V 1={α=（0 a 2a L n |a i ∈F ，i=2, L n ）}为F n 的一个子空间，易证 e 2=()010L T , L ，e n = ()100L T 为V 1的一组基，从而dimV 1＝n-1； （2）V 2={α= (1 α2αL n )| a i ∈F,i=2,3, L n}对F n 的加法和数乘都不封闭（α1＋α2＝（2，）∉V L 2，3α＝（3,L ）∉V 2）,从而V 2不是F 的子空间； n （3）V 3＝{α= (,2a )|R }对加法封闭，但对数乘不封闭（(－1)a T a ∈+α＝（－,－2）a a ∉V 3）,故V 3不是R 的子空间；2V 4={()b a ,T |=或=2，b a b a ∈a R}对数乘封闭，但对加法不封闭（ ()a a ,T +()a a 2,T =()a a 3,2T ∉ V 4）,故V 4也不是R 2的子空间．3. 子空间的运算 设V 1,V 2为F n 的两个子空间．(1) 交子空间：V 1∩V 2＝{α|α∈V i ，i=1,2}；(2) 和子空间：V 1＋V 2＝{βα+|α∈V 1 ,β∈V 2}；易证：V 1∩V 2和V 1＋V 2都对加法和数乘封闭，从而都是F n 的子空间；但是V 1∪V 2 ＝{α|α∈V 1或α∈V 2}一般不是F n 的子空间．4. 维数公式（1）dim V1+dim V2=dim(V1＋V2)+dim(V1∩V2)；≥1+dim V2－dimV；（2）dim(V1＋V2)≤ dim V1+dim V2；dim(V1∩V2) dim V若dim V1+dim V2 > dimV，则V1∩V2≠0．例6V=R3,V1={α=(a1，a2，0)T| a i∈R,i=1,2 }, V2={β=(0,b1,b2)T|b i∈R,i=2,3 },则V1，V2均为V的2维子空间（即分别为空间坐标系中的xy面和yz面），V1∩V2＝{γ=(0,c,0)T|c∈R}为1维子空间（即y轴），V1＋V2＝V，满足dimV1+dimV2=4=3+1=dim(V1＋V2)+dim(V1∩V2)．。
(完整版)大学数学工程数学线性代数教材.doc
第一章n 阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组 . 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到 n 阶，即讨论 n 阶行列式的问题 . 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出 n 阶行列式的概念.§ 1全排列及其逆序数先看一个例子.引例用 1、2、3 三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、 2、 3 三个数字中任选一个，所以有 3 种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有 1 种放法 . 因此，共有3 2 1 6 种放法.这六个不同的三位数是：123， 132， 213， 231， 312， 321.在数学中，把考察的对象，如上例中的数字 1、2、3 叫做元素 . 上述问题就是：把 3 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问题：把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把 n 个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 P n表示 . 有引例的结果可知 P3 = 3 . 2 . 1 = 6 .为了得出计算 P n的公式，可以仿照引例进行讨论：从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有 n 种取法；又从剩下的 n－ 1 个元素中任取一个放在第二个位置上，有n－ 1 种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有 1 种取法 . 于是P n=n .（ n－1）.⋯. 3 . 2 . 1 = n! .对于 n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个逆序 . 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序 . 设p1 p2p n为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素p i (i 1,2,, n) ，如果比 p i 大的且排在p i前面的元素有t i个，就说p i这个元素的逆序数是t i. 全体元素的逆序数之总和nt t1t 2t n t i，i 1即是这个排列的逆序数.例1 求排列 32514 的逆序数 .解在排列 32514 中，3 排在首位逆序数为 0；2 的前面比 2 大的数只有一个“ 3”，故逆序数为1；5 是最大数，逆序数为 0；1 的前面比 1 大的数有三个“3、 2、5”，故逆序数为3；4 的前面比 4 大的数只有一个“ 5”，故逆序数为 1；于是排列的逆序数为t 0 1 0 3 1 5 .§ 2n 阶行列式的定义为了给出 n 阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构.三阶行列式定义为：a11 a12a13a21 a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a31 a32a33a11a23a32a12a21a33a13a22a31.(1)容易看出：①（ 1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列 . 因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成a1 p1 a2 p2 a3 p3.这里第一下标（称行标）排成标准排列123，而第二个下标（称列标）排成p1 p2 p3，它是1、2、3三个数的某个排列. 这样的排列共有 6 种，对应（ 1）式右端共含 6 项。
线性代数及其应用第五版电子版
线性代数及其应用第五版电子版
线性代数及其应用第五版电子版是针对中等教育阶段学科“线性代数”的一本电子版书籍，主要包括以下内容：
一、矩阵的性质
1、矩阵的行列式及其作用
2、组合的行，列必定在矩阵中有一种极端情形
3、矩阵的法向量及其特征
4、矩阵的行列式与特征值之间的关系
5、全秩矩阵及其几何解释
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法与减法
2、矩阵的乘法，以及乘法的解释
3、矩阵式的特殊解释
4、矩阵的逆
5、基底的变换
三、向量的运算
1、距离的计算
2、标量积及其应用
3、空间里的垂直性质
4、空间里的基底变换
5、空间里的坐标变换
四、线性方程组
1、线性方程组的特点
2、系数矩阵的特征
3、求解线性方程组的方法
4、线性方程组的概念
5、未定系数的求解
五、空间矩阵和向量
1、空间矩阵的特点
2、变换矩阵的应用
3、列变换和行变换
4、空间向量的计算
5、空间矩阵的运算
线性代数及其应用第五版电子版涵盖了线性代数的各个方面，包括矩阵的性质、矩阵的运算、向量的运算、线性方程组的求解、空间矩阵
和向量的应用等，为线性代数的大家提供了一本理论讲解及实际应用的完美融合的书籍，为深入理解线性代数奠定了坚实的基础。
2024年度(完整版)线性代数教案(正式打印版)
2023REPORTING (完整版)线性代数教案(正式打印版)•课程介绍与教学目标•行列式与矩阵•向量与向量空间•线性方程组与高斯消元法•特征值与特征向量•二次型与正定矩阵•线性变换与矩阵对角化•课程总结与复习指导目录CATALOGUE20232023REPORTINGPART01课程介绍与教学目标线性代数课程简介线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性变换及其性质。
它是现代数学、物理、工程等领域的基础课程，对于培养学生的抽象思维、逻辑推理和问题解决能力具有重要作用。
本课程将系统介绍线性代数的基本概念、理论和方法，包括向量空间、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、线性变换等内容。
掌握线性代数的基本概念、理论和方法，理解其本质和思想。
能够运用所学知识解决实际问题，具备分析和解决问题的能力。
培养学生的抽象思维、逻辑推理和创新能力，提高学生的数学素养。
教学目标与要求教材及参考书目教材《线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社。
参考书目《线性代数及其应用》，David C.Lay著，机械工业出版社；《线性代数讲义》，Gilbert Strang著，清华大学出版社。
2023REPORTINGPART02行列式与矩阵•行列式的定义：由n阶方阵的元素所构成的代数和，其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。
行列式的性质行列式与它的转置行列式相等。
互换行列式的两行（列），行列式变号。
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和：a1j=b1+c1，a2j=b2+c2，....，anj=bn+cn ，则此行列式等于两个行列式之和。
行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
矩阵概念及运算矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。
线性代数电子版教材
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线性代数
线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支，包括对线、面和子空间的研究，也涉及到所有向量空间的一般性质。
线性代数是纯数学和应用数学的核心，它的含义随着数学的发展而不断扩大，其理论和方法已经渗透到数学的许多分支，也成为理论物理和理论化学不可缺少的代数基础知识。
1定义与历史编辑
概念
线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。
线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。
例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。
含有n个未知量的一次方程称为线性方程。
关于变量是一次的函数称为线性函数。
线性关系问题简称线性问题。
解线性方程组的问题是最简单的线性问题。
所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：。
其中，f叫线性算子或线性映射。
所谓“代数”，指的就是用符号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。
合在一起，
线性代数研究的就是：满足线性关系的线性算子f都有哪几类，以及他们分别都有什么性质。
历史
线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。
“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。
最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。
由于费马和笛卡儿的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。
随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。
向量概念的引入，形成了向量空间的概念。
凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。
因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。
矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。
1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空间中。
线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模（module）的概念，这一概念很显著地推广了线性空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这个词在中文中出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。
重要定理
·每一个线性空间都有一个基。
·对一个n行n列的非零矩阵A，如果存在一个矩阵B使AB=BA=E （E是单位矩阵），则A为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。
·矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。
·矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
·矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
·矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
·解线性方程组的克拉默法则。
·判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。