2020年湖南省永州市中考数学试卷 (解析版)
2020年湖南省永州市中考数学试卷(含答案解析)
2020年湖南省永州市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.−2020的相反数为()A. −12020B. 2020 C. −2020 D. 120202.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是()A. 注意安全B. 水深危险C. 必须戴安全帽D. 注意通风3.永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是()A. 6.353×105人B. 63.53×105人C. 6.353×106人D. 0.6353×107人4.下列计算正确的是()A. a2b+2ab2=3a3b3B. a6÷a3=a2C. a6⋅a3=a9D. (a3)2=a55.已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是()A. 众数是8B. 平均数是6C. 中位数是8D. 方差是96.如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是()A. SASB. AASC. SSSD. ASA7.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，在△ABC中，EF//BC，AEEB =23，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是()A. 913B. 25C. 35D. 639.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A. 4B. 2C. √3D. 2√310. 已知点P(x 0,y 0)和直线y =kx +b ，求点P 到直线y =kx +b 的距离d 可用公式d =|kx 0−y 0+b|√1+k 2计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为y =−2x +6，P 是直线l 上的动点，Q 是⊙C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A. 3√55B. 3√55−1 C. 6√55−1 D. 2二、填空题（本大题共8小题，共32.0分） 11. 函数y =1x−3中自变量x 的取值范围是______． 12. 方程组{x +y =42x −y =2的解是______ ．13. 若关于x 的一元二次方程x 2−4x −m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．14. 永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩(百分制)，整理样本数据，得到下表： 成绩 90≤x ≤100 80≤x <90 70≤x <8060≤x <70x <60人数25155 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生有______人．15. 已知圆锥的底面周长是π2分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是______平方分米．16. 已知直线a//b ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1=25°，则∠2=______．17. 如图，正比例函数y =−x 与反比例函数y =−6x 的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则△ABD 的面积为______．18. ∠AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB =60°，在∠AOB 内有一点P(4,3)，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则△PMN 周长的最小值是______．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分） 19. 计算：20200+√83sin30°−(12)−1．20. 先化简，再求值：(1a+1−a+2a 2−1⋅a 2−2a+1a 2+4a+4)⋅(a +2)，其中a =2．21. 今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，A ：90<S ≤100，B ：请结合图中所给信息，解答下列问题：(1)请把条形统计图补充完整．(2)扇形统计图中m=______，n=______，B等级所占扇形的圆心角度数为______．(3)该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生(用A1，A2表示)，两名女生(用B1，B2表示)，请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22.一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．(参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24，√7≈2.65)(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．(2)渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．(1)求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？(2)该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．(1)求证：CE是⊙O的切线．(2)已知BD=3√5，CD=5，求O，E两点之间的距离．25.在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB=4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．(1)求抛物线所表示的二次函数表达式．(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．)是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关②已知Q(1,−32于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．(2)当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．(3)设平移的距离为xcm(0<x≤6+6√2)，两张纸条重叠部分的面积为scm2.求s 与x的函数关系式，并求s的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：−2020的相反数为：2020．故选：B．直接利用相反数的定义进而分析得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3.【答案】C【解析】解：635.3万=6353000=6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．本题考查了科学记数法−表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4.【答案】C【解析】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3=a3≠a2，故选项B错误；a6⋅a3=a9，故选项C正确；(a3)2=a6≠a5.故选项D错误．故选：C．本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，=5，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1+2+6+8+85×[(1−5)2+(2−5)2+(6−5)2+2×(8−5)2]=8.8，方差为15故选：A．将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6.【答案】A【解析】解：∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB(SAS)，故选：A．根据全等三角形的判定方法即可解决问题．本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA=PB，所以①正确；∵OA=OB，PA=PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO=30°时，OP=2OA，此时PM=OM，则可对④进行判断．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE=2125S△ABC是解题的关键.由EF//BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF=425S△ABC，结合S四边形BCFE=21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵EF//BC，∴△AEF∽△ABC，∴S△AEFS△ABC =(AEAB)2=(AEAE+EB)2=425，∴S△AEF=425S△ABC．∵S四边形BCFE =S△ABC−S△AEF=21，即2125S△ABC=21，∴S△ABC=25．故选：B．9.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC=2，∴AD=1，AB=AD=2，∴BD=√3，∵左视图矩形的宽为2，∴左视图的面积为2√3．故选：D．过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10.【答案】B【解析】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C(1,1)到直线l的距离d=√1+(−2)2=3√55，.∵⊙Q的半径为1，∴PQ=3√55−1，故选：B．求出点C(1,1)到直线y=−2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．11.【答案】x≠3【解析】解：根据题意得，x −3≠0，解得x ≠3．故答案为：x ≠3．根据分母不等于0列式进行计算即可求解．本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.【答案】{x =2y =2【解析】解：{x +y =4①2x −y =2②， ①+②得：3x =6，即x =2，把x =2代入①得：y =2，则方程组的解为{x =2y =2， 故答案为：{x =2y =2方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13.【答案】m >−4【解析】解：由已知得：△=b 2−4ac =(−4)2−4×1×(−m)=16+4m >0，解得：m >−4．故答案为：m >−4．由方程有两个不相等的实数根可知，b 2−4ac >0，代入数据可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键．14.【答案】480【解析】解：600×25+1550=480(人)，即该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生有480人，故答案为：480．根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生人数．本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15.【答案】π4【解析】解：圆锥的侧面积=12×π2×1=π4平方分米．故答案为π4．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16.【答案】35°【解析】解：过点B作EF//a．∵a//b，∴EF//a//b．∴∠1=∠ABF，∠2=∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC=60°．∵∠ABF+∠CBF=60°，∴∠2=60°−25=35°．故答案为：35°．过点B作EF//a.利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17.【答案】6【解析】解：正比例函数y=−x与反比例函数y=−6x的图象交点坐标A(−√6,√6)，C(√6,−√6)，∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB=AB=OD=CD=√6，∴S△ABD=12BD⋅AB=12×2√6×√6=6，故答案为：6．根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB=AB=OD= CD=√6，再根据三角形的面积公式求出答案．本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18.【答案】5√3【解析】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P(4,3)，∴OP′=OP=OP″=√42+32=5，且∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°，∴∠P′OP″=120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q=P″Q，∠OP′Q=∠OP″Q=30°，∴OQ=52，P′Q=P″Q=5√32，∴P′P″=2P′Q=2×5√32=5√3，则△PMN周长的最小值是5√3．故答案为：5√3．分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′=OP″=OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．此题考查了轴对称−最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．19.【答案】解：原式=1+2×12−2=1+1−2=0．【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：原式=[1a+1−a+2(a+1)(a−1)⋅(a−1)2(a+2)2]⋅(a+2)=[1a+1−a−1(a+1)(a+2)]⋅(a+2)=a+2a+1−a−1a+1=3a+1，当a=2时，原式=32+1=1．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21.【答案】15 5 252【解析】解：(1)∵被调查的总人数为4÷10%=40(人)，∴C等级人数为40−(4+28+2)=6(人)，补全图形如下：(2)m%=640×100%=15%，即m=15，n%=240×100%=5%，即n=5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%=252°，故答案为：15，5，252°；(3)画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．(1)先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；(2)根据(1)种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；(3)分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22.【答案】解：(1)这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB=∠ADC=90°，由题意得：AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，∴BD=12AB=30，AD=√3BD=30√3≈51.9>50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；(2)由(1)得：BD=30，AD=30√3，∵BC=3×30=90，∴DC=BC−BD=90−30=60，在Rt△ADC中，AC=√AD2+DC2=√(30√3)2+602=30√7≈79.50(海里)；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【解析】(1)作AD⊥BC于D，由题意得AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，则BD= 12AB=30，AD=√3BD=30√3≈51.9>50，即可得出结论；(2)由(1)得BD=30，AD=30√3，求出DC=BC−BD=90−30=60，由勾股定理求出AC即可．本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23.【答案】解：(1)设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，依题意有1600 x =9600x+10，解得x=2，经检验，x=2是原方程的解，x+10=2+10=12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；(2)设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12(2000−y)≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【解析】(1)可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；(2)可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24.【答案】证明：(1)如图，连接OC，OE，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵E为BD的中点，∴BE=CE=DE，∴∠ECB=∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD=90°，∴∠OBC+EBC=90°，∴∠OCB+∠ECB=90°，∴∠OCE=90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；(2)∵∠D=∠D，∠BCD=∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴BDAD =CDBD，∴BD2=AD⋅CD，∴(3√5)2=5AD，∴AD=9，∵E为BD的中点，AO=BO，∴OE=12AD=92，∴O，E两点之间的距离为92．【解析】(1)由等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，由直角三角形的性质可得BE=CE=DE，可得∠ECB=∠EBC，由切线的性质可得∠ABD=90°，可证OC⊥CE，可得结论；(2)通过证明△BCD∽△ABD，可得BDAD =CDBD，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB=4，∴OA =OB =OC =2， ∴A(−2,0)，B(2,0)，C(0,−2)， ∴{4a +2b +c =04a −2b +c =0c =−2，解得，{a =12b =0c =−2，∴抛物线的解析式为y =12x 2−2；(2)①设直线l 的解析式为y =kx ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =12x 2−2y =kx，可得12x 2−kx −2=0， ∴x 1+x 2=2k ，x 1⋅x 2=−4， ∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4k 2+16， ∴|x 1−x 2|=2√k 2+4， ∴S △CMN =12OC ⋅|x 1−x 2|=2√k 2+4， ∴当k =0时2√k 2+4取最小值为4． ∴△CMN 面积的最小值为4． ②假设抛物线上存在点P(m,12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， ∴OP =OQ ，即√12+(32)2=√m 2+(12m 2−2)2， 解得，m 1=√3，m 2=−√3，m 3=1，m 4=−1， ∵m 3=1，m 4=−1不合题意，舍去， 当m 1=√3时，点P(√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1+√32,−1)， ∴1+√32k =−1，∴k =1−√3，∴直线l 的表达式为：y =(1−√3)x ， 当m 2=−√3时，点P(−√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1−√32,−1)， ∴1−√32k =−1，∴k =1+√3，∴直线l的解析式为y=(1+√3)x．综上，直线l的解析式为y=(1−√3)x或y=(1+√3)x．【解析】(1)先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)①设直线l的解析式为y=kx，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立方程组求得|x1−x2|，再由三角形的面积公式求得结果；m2−2)，使得点P与点Q关于直线l对称，由OP=OQ列②假设抛物线上存在点P(m,12出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第(2)①题关键是求得M、N两点的横坐标之差，第(2)②小题关键是根据轴对称性质列出m的方程，以及求得PQ的中点坐标．26.【答案】解：(1)在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，(2)分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC=∠DFC=90°，∵两纸条等宽，∴BE=DF=6，∵∠BCE=∠DCF=45°，∴BC=CD=6√2，∵两纸条都是矩形，∴AB//CD，BC//AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC=DC，∴四边形ABCD是菱形；(3)①当0<x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，x2，∴s=12∵0<x≤6，∴当x=6时，s取最大值为s=18cm2；②当6<x≤6√2时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为(x−6)cm，∴s=12(x+x−6)×6=6x−18，当x=6√2时，s取最大值为(36√2−18)cm2；③当6√2<x<6+6√2时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形=s菱形−s三角形=6√2×6−12(6+6√2−x)2=−12[x−(6+6√2)]2+36√2，此时，36√2−18<S五边形<36√2；④当x=6+6√2时，重叠部分为菱形，如图所求，∴S菱形=36√2cm2，综上，s与x函数关系为：s=12x2(0<x≤6)，或s=6x−18(6<x≤6√2)，或s=−12[x−(6+6√2)]2+36√2(6√2<x<6+6√2)，或s=36√2(x=6+6√2).故s的最大值为36√2cm2．【解析】(1)通过操作画出图形便可得出结果；(2)由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD 于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB=CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；(3)分四种情况：0<x≤6；6<x≤6√2；6√2<x<6+6√2；x=6+6√2.分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，本题主要考查了菱形的性质与判定，平移的性质，操作探究题，求出函数的解析式，一次函数和二次函数的性质，第(3)题的解题关键是分情况讨论．。
2023年湖南省永州市中考数学真题(解析版)
永州市2023年初中学业水平考试数学（试题卷）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“30+”，则“30-”表示（ ）A. 运出30吨粮食B. 亏损30吨粮食C. 卖掉30吨粮食D. 吃掉30吨粮食【答案】A【解析】【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“30+”，则“30-”表示运出30吨粮食．故选：A【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．2. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C ．是中心对称图形，故此选项符合题意；D ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．3. 下列多边形中，内角和等于360°的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据n 边形内角和公式()2180n -×°分别求解后，即可得到答案【详解】解：A ．三角形内角和是180°，故选项不符合题意；B ．四边形内角和为()42180360-´°=°，故选项符合题意；C ．五边形内角和()52180540-´°=°，故选项不符合题意；D ．六边形内角和为()62180720-´°=°，故选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查了n 边形内角和，熟记n 边形内角和公式()2180n -×°是解题的关键．4. 关于x 的一元一次方程25x m +=的解为1x =，则m 的值为（ ）A. 3B. 3-C. 7D. 7-【答案】A【解析】【分析】把1x =代入25x m +=再进行求解即可．【详解】解：把1x =代入25x m +=得：25m +=，解得：3m =．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．5. 下列各式计算结果正确的是（ ）A. 2325x x x +=B. 3=±C. ()2222x x =D. 1122-=【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，以及负整数幂运算法则，逐个进行计算即可．【详解】解：A 、325x x x +=，故A 不正确，不符合题意；B3=，故B 不正确，不符合题意；为C 、()2224x x =，故C 不正确，不符合题意；D 、1122-=，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，以及负整数幂运算法则，解题的关键是熟练掌握相关运算法则并熟练运用．6. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图的意义判断即可．【详解】A. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；B. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；C. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；D. 主视图和左视图都为三角形，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的意义是解题的关键．7. 某县2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A. ()22.71 2.36x += B. ()22.361 2.7x +=C. ()22.71 2.36x -= D. ()22.361 2.7x -=【答案】B【解析】【分析】设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】解：设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，根据题意得，()22.361 2.7x +=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．8. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）A. 12 B. 13 C. 23 D. 1【答案】B【解析】【分析】根据概率公式，即可解答．【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，故选到前两首的概率是13，故选：B ．【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．9. 已知点()2,M a 在反比例函数k y x =的图象上，其中a ，k 为常数，且0k >﹐则点M 一定在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数中的0k >，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M 点的横坐标判断点M 所在的象限，即可解答【详解】解：0k >Q ，\反比例函数k y x=的图象经过第一、三象限，故点M 可能第一象限或者第三象限，()2,M a Q 的横坐标大于0，()2,M a \一定在第一象限，故选：A ．在【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k 值的关系是解题的关键．10. 如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，以B 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，BC 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的定长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，作DE AB ^，垂足为E ，则下列结论不正确的是（ ）A. BC BE= B. CD DE = C. BD AD = D. BD 一定经过ABC V 的内心【答案】C【解析】【分析】根据作图可得BP 是CBA Ð的角平分线，根据角平分线的性质得出DC DE =，即可判断B ，证明Rt Rt BCD BED △≌△，根据全等三角形的性质，即可判断A ，根据三角形内心的定义，即可判断D 选项，假设BD AD =成立，得出30A Ð=°，即可判断C 选项．【详解】解：根据作图可得BP 是CBA Ð的角平分线，点D 在BP 上，,DC BC DE AB ^^，∴DC DE =，故B 选项正确，在Rt ,Rt BCD BED V V 中，CD DE BD BD =ìí=î，∴Rt Rt BCD BED △≌△()HL ，∴BC BE =，故A 选项正确；∵BP 是CBA Ð的角平分线，三角形的内心是三条角平分线的交点，∴BD 一定经过ABC V 的内心，故D 选项正确；若BD AD =，则DB DA =，DBA A Ð=Ð，又DBC DBA Ð=Ð，则90A DBA DBC Ð+Ð+Ð=°，∴30A Ð=°，而题目没有给出这个条件，故C 选项不一定正确，故选：C ．【点睛】本题考查了作角平分线，三角形角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内心的定义，熟练掌握基本作图是解题的关键．二﹑填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11. 0.5-，3，2-三个数中最小的数为_______．【答案】2-【解析】【分析】根据有理数比较大小的法则即可求出答案．【详解】解：Q 0.5-，2-，3三个数中，只有3是正数，\3最大．0.50.5-=Q ，22-=，0.5<2\，0.5>-2\-．2\-最小．故答案为：2-．【点睛】本题考查了有理数比较大小，解题关键在于熟练掌握有理数比较大小的方法：正数始终大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．12. 22a 与4ab 的公因式为________．【答案】2a【解析】【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答．【详解】解：根据确定公因式的方法，可得22a 与4ab 的公因式为2a ，故答案为：2a ．【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键．13. 已知x在实数的范围内没有意义的x 值是_______．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当30x -<没有意义，解不等式，即可解答．的【详解】解：当30x -<没有意义，解得3x <，x Q 为正整数，x \可取1，2，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键．14. 甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为1.72m ，甲队队员身高的方差为1.2，乙队队员身高的方差为5.6，若要求仪仗队身高比较整齐，应选择_______队较好．【答案】甲【解析】【分析】根据方差的意义判断即可．【详解】∵221.2 5.6S S ==甲乙，，∴22S S <甲乙，∴估计这两支仪仗队身高比较整齐的是甲，故答案为：甲．【点睛】本题主要考查样本估计总体、方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．15. 如图，,,80AB CD BC ED B Ð=°∥∥，则D Ð=_______度．【答案】100【解析】【分析】根据,80AB CD B Ð=°∥，得出80C Ð=°，根据BC ED ∥，即可得出180D C Ð=°-Ð，即可求解．【详解】解：∵,80AB CD B Ð=°∥，∴80C B Ð=Ð=°，∵BC ED ∥，∴180********D C Ð=°-Ð=°-°=°，故答案为：100．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．16. 若关于x 的分式方程1144m x x -=--（m 为常数）有增根，则增根是_______．【答案】4x =【解析】【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．【详解】∵关于x 的分式方程1144m x x-=--（m 为常数）有增根，∴40x -=，解得4x =，故答案为：4x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．17. 已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为_________度．【答案】60【解析】【分析】根据扇形的面积公式即可求出答案．【详解】解：设扇形圆心角的度数为n ，2S 6360n R p p \==扇形，Q 扇形的半径为6，266360n p p ´\=60n \=°．故答案为：60．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键在于熟练掌握扇形的面积公式：2S 360n R p =扇形 ．18. 如图，O e 是一个盛有水的容器的横截面，O e 的半径为10cm ．水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，则水面AB 的宽度为_______cm ．【答案】16【解析】【分析】过点O 作OD AB ^于点D ，交O e 于点E ，则12AD DB AB ==，依题意，得出6OD =，进而在Rt AOD V 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点O 作OD AB ^于点D ，交O e 于点E ，则12AD DB AB ==，∵水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，O e 的半径为10cm ．∴1046OD =-=cm ，在Rt AOD V 中，8AD ===cm∴216AB AD ==cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共8分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19. 解关于x 的不等式组()2203172x x x->ìí--<-î【答案】12x <<【解析】【分析】分别解不等式组的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．【详解】解：()2203172x x x ->ìïí--<-ïî①②，解①得，1x >，解②得，2x <，\原不等式组的解集为12x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，取两个不等式的解集的公共部分的口诀为：“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小则无解”，熟知上述口诀是解题的关键．20. 先化简，再求值：211121x x x x æö-¸ç÷+++èø，其中2x =．【答案】1;3x +【解析】【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．【详解】211121x x x x æö-¸ç÷+++èø()211x x x x+=´+1x =+；当2x =时，原式213=+=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．21. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，其对角线相交于点O ，3,8,5OA BD AB ===．（1）AOB V 是直角三角形吗？请说明理由；（2）求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】（1）AOB V 是直角三角形，理由见解析．（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得142BO BD ==，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论；（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证．【小问1详解】解：AOB V 是直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴142BO BD ==，∵222222345OA OB AB +=+==，∴AOB V 是直角三角形．【小问2详解】证明：由（1）可得：AOB V 是直角三角形，∴90AOB Ð=°，即AC BD ^，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．22. 今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防漏水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n 名学生的成绩x （成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组()6070x £<、2组()7080x £<、3组()8090x £<、4组()90100x £<，并绘制如下图所示频数分布图（1）n =______；所抽取的n 名学生成绩的中位数在第_____组；（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n 名学生中成绩为优秀的频率为______；（3）试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．【答案】（1）600，3（2）25%（3）成绩大于或等于70分的人数约为15606人【解析】【分析】（1）将各组的频数相加，即可求出n 的值，再根据中位数的定义，即可得出中位数所在组数；（2）用第4组的频数除以抽取的学生总数，即可求解；（3）用总人数乘以成绩大于或等于70分的人数所占百分比，即可求解．【小问1详解】解：90160200150600n =+++=，∵6002300¸=，∴抽取的n 名学生成绩的中位数为第300名学生和第301名学生成绩的平均数，∵90160250300+=<，90160200450300++=>，∴抽取的n 名学生成绩的中位数在第3组；故答案为：600，3；【小问2详解】解：所抽取的n 名学生中成绩为优秀的频率150100%25%600=´=，故答案为：25%；小问3详解】解：1602001501836015606600++´=（人），答：成绩大于或等于70分的人数约为15606人．【点睛】本题主要考查了频数和频率的定义，用样本估计总体，解题的关键是正确识别统计图，根据统计图，获取需要数据进行求解．23. 永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示），寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB 代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN 上D 处为陈树湘雕拍照，相机支架CD 高0.9米，在相机C 处观测雕像顶端A 的仰角为45°，然后将相机架移到MN 处拍照，在相机M 处观测雕像顶端A 的仰角为30°，求D 、N 两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数1.732»）【【答案】1.5【解析】【分析】如图， 2.9AB =，0.9CD =，四边形EBNM ，四边形EBDC 是矩形，四边形CDNM 是矩形，Rt AEC △中，45ACE Ð=°，2AE AB EB =-=，2EC AE ==，Rt AEM △中，30AME Ð=°，tan 30AE EM °==EM ==，进一步求得 1.5CM EM EC =-»，所以1.5DN CM ==．【详解】如图， 2.9AB =米，0.9CD =米四边形EBNM ，四边形EBDC 是矩形，四边形CDNM 是矩形∴0.9EB CD MN ===米，DN CM=∵Rt AEC △中，45ACE Ð=°，∴ 2.90.92AE AB EB AB CD =-=-=-=米，∴2EC AE ==米∵Rt AEM △中，30AME Ð=°，∴tan 30AE EM °==∴EM ==米∴22 1.7322 1.5CM EM EC =-=»´-»米∴ 1.5DN CM ==米【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，观察图形，确定组合图形中，通过直角三角形、矩形之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．24. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：时间t （单位：分钟）12345…总水量y （单位：毫升）712172227…（1）探究：根据上表中的数据，请判断k y t=和y kt b =+（k ，b 为常数）哪一个能正确反映总水量y 与时间t 的函数关系?并求出y 关于t 的表达式；（2）应用：①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升?②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．【答案】（1）y kt b =+能正确反映总水量y 与时间t 的函数关系；52y t =+（2）①102毫升；②144天【解析】【分析】（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得y kt b =+能正确反映总水量y 与时间t 的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y 关于t 的表达式；（2）①将20t =代入函数，即可解答；②由解析式可知，每分钟滴水量为5毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答．【小问1详解】解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得y kt b =+能正确反映总水量y 与时间t 的函数关系，把17t y =ìí=î，212t y =ìí=î代入y kt b =+，可得7122k b k b =+ìí=+î，解得52k b =ìí=î，\y 关于t 的表达式52y t =+；【小问2详解】①当20t =时，5202102y =´+=，故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升，答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升．②由解析式可知，每分钟的滴水量为5毫升，30天()302460=´´分钟43200=分钟，可供一人饮水天数4320051441500´=天，答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．25. 如图，以AB 为直径的O e 是ABC V 的外接圆，延长BC 到点D ．使得BAC BDA Ð=Ð，点E 在DA 的延长线上，点AM 在线段AC 上，CE 交BM 于N ，CE 交AB 于G ．（1）求证：ED 是O e 的切线；（2）若5,AC BD AC CD ==>，求BC 的长；（3）若DE AM AC AD ×=×，求证：BM CE ^．【答案】（1）证明见解析（2）3（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由AB 是O e 的直径得到90ACB Ð=°，则90BAC ABC Ð+Ð=°，由BAC BDA Ð=Ð得到90BDA ABC Ð+Ð=°，则90BAD Ð=°，结论得证；（2）证明ACB DCA V V ∽，则BC AC AC AC DC BD BC ==-=，解得2BC =或3，由AC CD >即可得到BC 的长；（3）先证明ABC DAC △∽△，则AC AB DC AD=，得到AC AD CD AB ×=×，由DE AM AC AD ×=×得到DE AM CD AB ×=×，则AM AB DC DE=，由同角的余角相等得到BAM CDE Ð=Ð，则AMB DCE V V ∽，得E ABM Ð=Ð，进一步得到90EGA E ABM BGN Ð+Ð=Ð+Ð=°，则90BNG Ð=°，即可得到结论．【小问1详解】证明：∵AB 是O e 的直径，∴90ACB Ð=°，∴90BAC ABC Ð+Ð=°，∵BAC BDA Ð=Ð，∴90BDA ABC Ð+Ð=°，∴90BAD Ð=°，∴ED 是O e 的切线；【小问2详解】∵BAC BDA Ð=Ð，90ACB DCA Ð=Ð=°，∴ACB DCA V V ∽，∴BC AC AC AC DC BD BC==-，=，解得2BC =或3，当2BC =时，3CD BD BC =-=，当3BC =时，2CD BD BC =-=，∵AC CD >CD >，∴3BC =；【小问3详解】证明：∵AB 是O e 的直径，∴90ACB DCA Ð=Ð=°，∵BAC BDA Ð=Ð，∴ABC DAC △∽△，∴AC AB DC AD=，∴AC AD CD AB ×=×，∵DE AM AC AD ×=×，∴DE AM CD AB ×=×，∴AM AB DC DE=，∵BAM CDE Ð=Ð，∴AMB DCE V V ∽，∴E ABM Ð=Ð，∵EGA BGN Ð=Ð，∴90EGA E ABM BGN Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴90BNG Ð=°，∴BM CE ^．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26. 如图1，抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）经过点()0,5F ，顶点坐标为()2,9，点()11,P x y 为抛物线上的动点，PH x ^轴于H ，且152x ³．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，直线11:y OP y x x =交BF 于点G ，求BPG BOGS S △△的最大值；（3）如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且,BC BE PH FC ^=，求点P 的横坐标．【答案】（1）245y x x =-++（2）54（3【解析】【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出a ，b ，c 值，即可求出抛物线解析式．（2）利用抛物线的解析式可知道B 点坐标，从而求出直线BF 的解析式，从而设(),5G m m -+，根据直线OP 的解析式11y y x x =可推出1115x m x y =+，从而可以用11,x y 表达GT 长度，在观察图形可知1BPG BOG S PH S GT=-△△，将其GT 和PH 长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据P 横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出BPG BOGS S △△的最大值．（3）根据正方形的性质和FC PH =可求出PT MC =，再利用EOB CMB V V ≌相似和OB MB =可推出OE MC =，设()0,E d ，即可求出直线AP 的解析式，用a 表达P 点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，求出d 的值即可求出P 点横坐标．【小问1详解】解：Q 抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）经过点()0,5F ，顶点坐标为()2,9，5c \=，22b a -=，2494ac b a-=，242094b a a b a=-ìï\í-=ïî，14a b =-ì\í=î，\抛物线的解析式为：245y x x =-++．故答案为：245y x x =-++．【小问2详解】解：过点G 作GT x ^轴于点T ，如图所示，Q 抛物线的解析式为：245y x x =-++，且与x 轴交于A ，B 两点，()5,0B \，()0,5F Q ，设直线BF 的解析式为：y kx b =+¢，则505k b b +¢=ìí¢=î，15k b =-ì\í¢=î，\直线BF 的解析式为：5y x =-+．G Q 在直线BF 上，(),5G m m -+，Q G 在直线OP 上，OP 的解析式为：11y y x x =，115y m m x \-+=，1115x m x y \=+． 1111115555x y GT m x y x y \=-+=-+=++S S S BPG BPO BOG =-V V V Q，15S S S S 2=1111S S S 52BPG BPO BOG BPO BOG BOG BOG PH PH GT GT ´´-\=-=-=-´´V V V V V V V ．Q 11111155y x y PH y GT x y +==+11S 11S 5BPG BOG x y PH GT +\=-=-V V ()2111,45P x x x -++Q ，22111111S 4515511S 55524BPG BOG x y x x x x +-++æö\=-=-=--+ç÷èøV V ．152x ³Q ，105-<，\当52x =时， S S BPG BOG V V 有最大值，且最大值为：21555552244æö-´-+=ç÷èø ．故答案为：54．【小问3详解】解:∵＋BC BE ^，90MBC MBE \Ð+Ð=°，90OBE MBE \Ð+Ð=°，OBE MBC \Ð=Ð，90CMB EOB Ð=Ð=°Q ，MB BO =Q ，()EOB CMB ASA \V V ≌，设EO d =，()0,E d ，5PH FC FM MC d \==+=+，Q 抛物线的解析式为：245y x x =-++，且与x 轴交于A ，B 两点，()1,0A \-．设直线AP 的解析式为：y mx n =+，则0n d m n =ìí-+=î，m d n d =ì\í=î，\直线AP 的解析式为：y dx d =+．5PH d =+Q ，P 在直线AP 上，5d dx d \+=+，5x d\=，245x x dx d \-++=+，()()2450x d x d \+-+-=，()()1·50x x d éù\++-=ëû（十字相乘法），由5x d =，得：5d x=，()5150x x x æö++-=ç÷èø，()510,50x x x æö\+=+-=ç÷èø11x \=-，550x x+-=，即2550x x -+=，解得：2x =，3x =52x ³Q ，x \=P \点横坐标为：x=．【点睛】本题考查是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．的。
2020年湖南省永州市中考数学试题
2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9 6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC ≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 7．（4分）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．210．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A ．B ．﹣1C ．﹣1D．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是．12．（4分）方程组的解是．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x 轴于点D，则△ABD的面积为．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB ＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a ＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O 相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．。
2020年湖南省永州市中考数学试卷
2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）（2020•永州）2020-的相反数为( )A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．120202．（4分）（2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风3．（4分）（2020•永州）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( )A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人4．（4分）（2020•永州）下列计算正确的是( )A ．223323a b ab a b +=B ．632a a a ÷=C ．639a a a =D ．325()a a =5．（4分）（2020•永州）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( )A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是96．（4分）（2020•永州）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA7．（4分）（2020•永州）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP 交O于点M．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．48．（4分）（2020•永州）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A．913B．25C．35D．639．（4分）（2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A ．4B ．2C ．3D ．2310．（4分）（2020•永州）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k -+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351-C 651-D ．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）（2020•永州）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 12．（4分）（2020•永州）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ． 13．（4分）（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．14．（4分）（2020•永州）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90100x 8090x < 7080x < 6070x < 60x < 人数 25 15 5 4 1根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 人．15．（4分）（2020•永州）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．16．（4分）（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．17．（4分）（2020•永州）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x =-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 ．18．（4分）（2020•永州）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2020•永州）计算：013120208()2-︒-． 20．（8分）（2020•永州）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 21．（8分）（2020•永州）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ．（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）（2020•永州）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．23．（10分）（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）（2020•永州）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径，BD与O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是O的切线．（2）已知35BD=，5CD=，求O，E两点之间的距离．25．（12分）（2020•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC∆的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且4AB=，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求CMN∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q-是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为(0662)xcm x<+，两张纸条重叠部分的面积为2scm．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．2020年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）（2020•永州）2020-的相反数为()A．12020-B．2020C．2020-D．12020【考点】14：相反数【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答】解：2020-的相反数为：2020．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（4分）（2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是()A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【考点】3P：轴对称图形【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．（4分）（2020•永州）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( )A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为10n a ⨯，n 为整数位数减1．【解答】解：635.3万66353000 6.35310==⨯．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为66.35310⨯人．故选：C ．【点评】本题考查了科学记数法-表示较大的数，科学记数法中a 的要求和10的指数n 的表示规律为关键，4．（4分）（2020•永州）下列计算正确的是( )A ．223323a b ab a b +=B ．632a a a ÷=C ．639a a a =D ．325()a a =【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答】解：A 选项的两个加数不是同类项，不能加减；6332a a a a ÷=≠，故选项B 错误；639a a a =，故选项C 正确；3265()a a a =≠．故选项D 错误．故选：C ．【点评】本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．（4分）（2020•永州）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( )A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是9【考点】7W ：方差；5W ：众数；4W ：中位数；1W ：算术平均数【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1268855++++=， 方差为22221[(15)(25)(65)2(85)]8.85⨯-+-+-+⨯-=， 故选：A ．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．（4分）（2020•永州）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA【考点】KB ：全等三角形的判定【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：AB DC =，ABC DCB ∠=∠，BC CB =，()ABC DCB SAS ∴∆≅∆，故选：A ．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（4分）（2020•永州）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：①PA PB =；②OP AB ⊥；③四边形OAPB 有外接圆；④M 是AOP ∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】MC ：切线的性质；MA ：三角形的外接圆与外心【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当30APO ∠=︒时，2OP OA =，此时PM OM =，则可对④进行判断．【解答】解：PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，PA PB ∴=，所以①正确；OA OB =，PA PB =，OP ∴垂直平分AB ，所以②正确；PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥， 90OAP OBP ∴∠=∠=︒，∴点A 、B 在以OP 为直径的圆上， ∴四边形OAPB 有外接圆，所以③正确；只有当30APO ∠=︒时，2OP OA =，此时PM OM =，M ∴是不一定为AOP ∆外接圆的圆心，所以④错误．故选：C ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理． 8．（4分）（2020•永州）如图，在ABC ∆中，//EF BC ，23AE EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC ∆的面积是( )A ．913B ．25C ．35D ．63【考点】9S ：相似三角形的判定与性质【分析】由//EF BC 可得出AEF ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质可得出425AEF ABC S S ∆∆=，结合21BCFE S =四边形即可得出关于ABC S ∆的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：//EF BC ， AEF ABC ∴∆∆∽，∴224()()25AEF ABC S AE AE S AB AE EB ∆∆===+， 425AEF ABC S S ∆∆∴=． 21ABC AEF BCFE S S S ∆∆=-=四边形，即212125ABC S ∆=， 25ABC S ∆∴=．故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出2125ABC BCFE S S ∆=四边形是解题的关键． 9．（4分）（2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是( )A ．4B ．2C 3D ．23【考点】1U ：简单几何体的三视图；3U ：由三视图判断几何体【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，此正三棱柱底面ABC ∆的边AB 在右侧面的投影为BD ，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD 的长，结合左视图矩形的宽可得答案． 【解答】解：如图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，此正三棱柱底面ABC ∆的边AB 在右侧面的投影为BD ，2AC =，1AD ∴=，2AB AD ==，3BD ∴=，左视图矩形的宽为2，∴左视图的面积为23．故选：D ．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 10．（4分）（2020•永州）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k -+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2【考点】8F：一次函数图象上点的坐标特征；5F：一次函数的性质【分析】求出点(1,1)C到直线26y x=-+的距离d即可求得PQ的最小值．【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点(1,1)C到直线l的距离d==．Q的半径为1，1PQ∴=-，故选：B．【点评】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）（2020•永州）函数13yx=-中，自变量x的取值范围是3x≠．【考点】4E：函数自变量的取值范围【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，30x-≠，解得3x≠．故答案为：3x≠．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．（4分）（2020•永州）方程组422x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是22xy=⎧⎨=⎩．【考点】98：解二元一次方程组【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：422x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：36x=，即2x=，把2x=代入①得：2y=，则方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩，故答案为：22x y =⎧⎨=⎩【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．（4分）（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 4m >- ． 【考点】AA ：根的判别式【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，240b ac ->，代入数据可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【解答】解：由已知得：△224(4)41()1640b ac m m =-=--⨯⨯-=+>， 解得：4m >-． 故答案为：4m >-．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．（4分）（2020•永州）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 90100x 8090x < 7080x < 6070x <251554根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 480 人．【考点】5V ：用样本估计总体；7V ：频数（率)分布表【分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答】解：251560048050+⨯=（人)， 即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人， 故答案为：480．【点评】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．（4分）（2020•永州）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是4π平方分米． 【考点】MP ：圆锥的计算【分析】圆锥的侧面积=底面周长⨯母线长2÷． 【解答】解：圆锥的侧面积11224ππ=⨯⨯=平方分米．故答案为4π． 【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型． 16．（4分）（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．【考点】JA ：平行线的性质【分析】过点B 作//EF a ．利用平行线的性质，把1∠、2∠集中在ABC ∠上，利用角的和差求值即可．【解答】解：过点B 作//EF a ． //a b ， ////EF a b ∴．1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠．ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒． 60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒．故答案为：35︒．【点评】本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键． 17．（4分）（2020•永州）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 6 ．【考点】8G ：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出6OB AB OD CD ===，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答】解：正比例函数y x =-与反比例函数6y x =-的图象交点坐标(6A -，6)，(6C 6)，AB x ⊥轴，CD x ⊥轴， 6OB AB OD CD ∴===11266622ABD S BD AB ∆∴==⨯=， 故答案为：6．【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．（4分）（2020•永州）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 53 ．【考点】PA ：轴对称-最短路线问题；5D ：坐标与图形性质【分析】分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长，连接OP '，OP ''，OP ，利用垂直平分线定理得到OP OP OP '=''=，由P 坐标确定出OP 的长，在三角形OP P '''中求出P P '''的长，即为三角形PMN 周长的最小值．【解答】解：分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长， 连接OP '，OP ''，OP ，OA 、OB 分别为PP '，PP ''的垂直平分线，(4,3)P ，22435OP OP OP ∴'==''=+，且POA P OA ∠=∠'，POB P OB ∠=∠''， 60AOB AOP BOP ∠=∠+∠=︒， 120P OP ∴∠'''=︒，过O 作OQ P P ⊥'''，可得P Q P Q '=''，30OP Q OP Q ∠'=∠''=︒， 52OQ ∴=，53P Q P Q '=''532253P P P Q ∴'''='== 则PMN ∆周长的最小值是3 故答案为：53【点评】此题考查了轴对称-最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2020•永州）计算：013120208()2-︒-．【考点】5T ：特殊角的三角函数值；6F ：负整数指数幂；6E ：零指数幂；2C ：实数的运算【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式11222=+⨯-112=+-0=．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）（2020•永州）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =．【考点】6D ：分式的化简求值【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 【解答】解：原式2212(1)[](2)1(1)(1)(2)a a a a a a a +-=-+++-+11[](2)1(1)(2)a a a a a -=-++++ 2111a a a a +-=-++ 31a =+， 当2a =时，原式3121==+． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21．（8分）（2020•永州）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = 15 ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ． （3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【考点】VC ：条形统计图；VB ：扇形统计图；6X ：列表法与树状图法【分析】（1）先由A 等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C 等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C 、D 人数，利用百分比概念求解可得m 、n 的值，用360︒乘以B 等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）被调查的总人数为410%40÷=（人)， C ∴等级人数为40(4282)6-++=（人)，补全图形如下：（2）6%100%15%40m =⨯=，即15m =， 2%100%5%40n =⨯=，即5n =； B 等级所占扇形的圆心角度数为36070%252︒⨯=︒，故答案为：15，5，252︒；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为82123=． 【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．22．（10分）（2020•永州）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．3 1.73≈5 2.247 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．【考点】TB ：解直角三角形的应用-方向角问题【分析】（1）作AD BC ⊥于D ，由题意得60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒，则1302BD AB ==，330351.950AD BD ==≈>，即可得出结论； （2）由（1）得30BD =，303AD =903060DC BC BD =-=-=，由勾股定理求出AC 即可．【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD BC ⊥于D ，如图：则90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意得：60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒，1302BD AB ∴==，330351.950AD BD =>， ∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：30BD =，303AD =33090BC =⨯=，903060DC BC BD ∴=-=-=，在Rt ADC ∆中，2222(303)6030779.50AC AD DC ++（海里）；答：A ，C 之间的距离约为79.50海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【考点】9C ：一元一次不等式的应用；7B ：分式方程的应用【分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y 只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，依题意有1600960010x x =+， 解得2x =，经检验，2x =是原方程的解，1021012x +=+=．故一次性医用外科口罩的单价是2元，95N 口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有212(2000)10000y y +-，解得1400y ．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）（2020•永州）如图，ABC ∆内接于O ，AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线．（2）已知35BD =，5CD =，求O ，E 两点之间的距离．【考点】5M ：圆周角定理；ME ：切线的判定与性质；MA ：三角形的外接圆与外心；9S ：相似三角形的判定与性质【分析】（1）由等腰三角形的性质可得OBC OCB ∠=∠，由圆周角定理可得90ACB ∠=︒，由直角三角形的性质可得BE CE DE ==，可得ECB EBC ∠=∠，由切线的性质可得90ABD ∠=︒，可证OC CE ⊥，可得结论；（2）通过证明BCD ABD ∆∆∽，可得BD CD AD BD=，可求AD 的长，由三角形中位线定理可求解． 【解答】证明：（1）如图，连接OC ，OE ，OB OC=，OBC OCB∴∠=∠，AB是直径，90ACB∴∠=︒，E为BD的中点，BE CE DE∴==，ECB EBC∴∠=∠，BD与O相切于点B，90ABD∴∠=︒，90OBC EBC∴∠+=︒，90OCB ECB∴∠+∠=︒，90OCE∴∠=︒OC CE∴⊥，又OC为半径，CE∴是O的切线；（2）D D∠=∠，BCD ABD∠=∠，BCD ABD∴∆∆∽，∴BD CDAD BD=，2BD AD CD∴=，2(35)5AD∴=，9AD∴=，E为BD的中点，AO BO=，1922OE AD ∴==， O ∴，E 两点之间的距离为92． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD 的长是本题的关键．25．（12分）（2020•永州）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【考点】HF ：二次函数综合题【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-； （2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴==解得，1m =2m =31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -， 线段PQ的中点为1)-，。
2020年湖南省永州市中考数学试卷和答案解析
2020年湖南省永州市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．解析：直接利用相反数的定义进而分析得出答案．参考答案：解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．点拨：此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风解析：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．参考答案：解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．点拨：本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人解析：绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n 为整数位数减1．参考答案：解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．点拨：本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5解析：根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．参考答案：解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．点拨：本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9解析：将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．参考答案：解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．点拨：本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC ≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA解析：根据全等三角形的判定方法即可解决问题．参考答案：解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．点拨：本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（4分）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4解析：利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．参考答案：解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．点拨：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25C．35D．63解析：由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．参考答案：解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．点拨：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE＝S△ABC是解题的关键．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．2解析：过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB 在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD 的长，结合左视图矩形的宽可得答案．参考答案：解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．点拨：本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1C．﹣1D．2解析：求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ 的最小值．参考答案：解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ 的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．点拨：本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠3．解析：根据分母不等于0列式进行计算即可求解．参考答案：解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．点拨：本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．（4分）方程组的解是．解析：方程组利用加减消元法求出解即可．参考答案：解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：点拨：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣4．解析：由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．参考答案：解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．点拨：本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤80≤x＜70≤x＜60≤x＜x＜60100908070人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人．解析：根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．参考答案：解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．点拨：本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．解析：圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．参考答案：解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．点拨：本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝35°．解析：过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．参考答案：解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．点拨：本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x 轴于点D，则△ABD的面积为6．解析：根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．参考答案：解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．点拨：本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB ＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是5．解析：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．参考答案：解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．点拨：此题考查了轴对称﹣最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．解析：直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．参考答案：解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．点拨：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a ＝2．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．参考答案：解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．点拨：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．解析：（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．参考答案：解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．点拨：本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．解析：（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．参考答案：解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．点拨：本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？解析：（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．参考答案：解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．点拨：本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O 相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．解析：（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．参考答案：证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．点拨：本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．解析：（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．参考答案：解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．点拨：本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）①题关键是求得M、N两点的横坐标之差，第（2）②小题关键是根据轴对称性质列出m的方程，以及求得PQ的中点坐标．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．解析：（1）通过操作画出图形便可得出结果；（2）由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB＝CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；（3）分四种情况：0＜x≤6；6＜x≤6；6＜x＜6+6；x＝6+6．分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，参考答案：解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45°，∴BC＝CD＝6，∵两纸条都是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s＝，∵0＜x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，∴s＝（x+x﹣6）×6＝6x﹣18，当x＝6时，s取最大值为（36﹣18）cm2；③当6＜x＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形＝s菱形﹣s三角形＝＝，此时，36；④当x＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，∴，综上，s与x函数关系为：s＝（0＜x≤6），或s＝6x﹣18（6＜x ≤6），或s＝（6＜x＜6+6），或s＝36（x＝6+6）．故s的最大值为36．点拨：本题主要考查了菱形的性质与判定，平移的性质，操作探究题，求出函数的解析式，一次函数和二次函数的性质，第（3）题的解题关键是分情况讨论．。
2020年湖南永州中考数学试卷(解析版)
2020年湖南永州中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）A. B. C. D.1.的相反数为（ ）．A.注意安全B.水深危险C.必须戴安全帽D.注意通风2.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（ ）．A.人B.人C.人D.人3.永州市现有户籍人口约万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（ ）．4.下列计算正确的是（ ）．A.B.C.D.5.已知一组数据，，，，，对这组数据描述正确的是（ ）．A.众数是B.平均数是C.中位数是D.方差是6.如图，已知，．能直接判断≌ 的方法是（ ）．A.B.C.D.7.如图，已知，是⊙的两条切线，，为切点，线段交⊙于点．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④是外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（ ）．A.B.C.D.8.如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是（）．A.B.C.D.9.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）．正三棱柱主视图俯视图A.B.C.D.10.已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是⊙上的动点，则的最小值是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11.函数中自变量的取值范围是 ．12.方程组的解是 ．13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩人数根据抽样调查结果，估计该校七年级名学生中，分（含分）以上的学生有 人．15.已知圆锥的底面周长是分米，母线长为分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．16.已知直线，用一块含角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则．17.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为 ．xyO18.在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，、分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是 ．xyO三、解答题（本大题共8小题，共78分）19.计算：．20.先化简，再求值：，其中．（1）（2）（3）21.今年月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动、赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，：，：，：，：．并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：等级人数请把条形统计图补充完整．扇形统计图中 ， ，等级所占扇形的圆心角度数为 ．该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到名男生和名女生的概率．22.一艘渔船从位于海岛北偏东方向，距海岛海里的处出发，以每小时海里的速度沿正南方向航行，已知在海岛周围海里水域内有暗礁．（参考数据：，，）北（1）（2）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．渔船航行小时后到达处，求，之间的距离．（1）（2）23.某药店在今年月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费元，口罩花费元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少元．求该药店购进的一次性医用外科口罩和口罩的单价各是多少元？该药店计划再次购进两种口罩共只，预算购进的总费用不超过万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？（1）（2）24.如图，内接于⊙，是⊙的直径，与⊙相切于点．交的延长线于点，为的中点，连接．求证：是⊙的切线．已知，，求，两点之间的距离．25.在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点，在轴上，且，抛物线经过、，三点，如图所示．（1）12（2）图求抛物线所表示的二次函数表达式．过原点任作直线交抛物线于，两点，如图所示．图求面积的最小值．已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．（1）（2）26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成的角，将该纸条从右往左平移．写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．当重叠部分的形状为如图所示的四边形时，求证：四边形是菱形．【答案】解析:的相反数为：．故选．解析:现有户籍人口数万人，用科学记数法表示为．故选：．解析:将数据按大小顺序排列为：，，，，．选项：出现次数最多，故众数是，故正确；选项：，∴平均数是，故错误；选项：中位数是，故错误；（3）设平移的距离为（），两张纸条重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并求的最大值．B1.D2.C3.C4.A5.选项：．∴方差是，故错误．故选．解析:∵，，，∴≌．故选．解析:∵、是⊙的切线，∴，，且，在和中，，，，∴≌，∴．故①正确；∵≌，∴，且，∴．故②正确；∵，，A 6.C 7.∴，∴四边形有外接圆．故③正确；无法证明点是外接圆的圆心．故④错误．综上所述正确的为①②③．故选．解析:∵，∴，∵，∴，∴，∵，设，则，则，解得，∴．故选．解析:如图，过点作于点，∵，∴，，∴，B 8.四边形四边形D 9.∴左视图面积为．故选．解析:如图，过点作直线，直线与⊙交于点，与直线交于点，此时，的值最小．∵直线解析式为：，点坐标为，∴点到直线的距离即，又∵⊙的半径即，∴．故选．解析:根据题意得，，解得．解析:解方程组：，①②，得，∴，将代入①，得，B 10.11.12.①②∴，∴原方程组的解为．故答案为：．13.解析:由已知得：，解得：．14.解析:由题意得：（人）．故答案为：．15.解析:圆锥的侧面是扇形，圆锥的侧面积，故答案为：．16.解析:过点作直线的平行线，∵，∴，∴，，∵为直角三角形且，∴，∴．17.解析:联立解析式，得，解得或，∴点坐标为，点坐标为．又∵轴，轴，∴点坐标为，点坐标为，∴，，∴的面积．故答案为：．18.解析:分别作点关于，的对称点，，连接交于点，交于点，连接，，，yxO则，，，∴，，则的周长最小值为的长度，过点作于点，∵点坐标为，∵，，，∴，∴，又∵，∴，在中，，在等腰三角形中，为边上的高线，∴，∴，即周长最小值为．故答案为：．解析:．解析:，当时，原式．．19.，．20.（1）画图见解析．（2）; ;21.（1）（2）（3）（1）解析:由题可知：占，占有人，∴总人数：人，∴：人，故条形统计图如图所示：等级人数由（）可知：总人数为人，，∴，，∴，：．故答案为：，，．树状图：开始一共有种，一男一女有种，∴（男，女），故抽到男女的概率为．解析:过点作于点，（3），画图见解析．（1）没有触礁的危险．（2）海里．22.（2）（1）（2）北∴，由题意可得，∴在中，∴渔船在航行过程中没有触礁的危险．在中，，∵，∴，在中，，即，之间的距离为海里．解析:设一次性医用外科口罩单价为元，则口罩的单价为元，由题意可知，，解方程得：．经检验是原方程的解，当时，．答：一次性医用外科口罩和口罩的单价分别是元，元．设购进一次性医用外科口罩只根据题意得，解不等式得：．答：药店购进一次性医用外科口罩至少只．（1）一次性医用外科口罩和口罩的单价分别是元，元．（2）至少只．23.（1）（2）解析:连接，∵，∴．∵是⊙的直径，∴，则，∵是斜边上的中线，∴．∴．∵与⊙相切，∴，即．∴，即．∴，∴是⊙的切线．∵，，∴．∴，即．∴，∵是的中位线，∴．（1）证明见解析．（2）．24.（1）．1（2）．25.（1）12（2）解析:设抛物线的解析式为，在等腰中，垂直平分且，∴，∴，，，，解得：，∴抛物线的解析式为．设直线的解析式为，，，由，可得，∴，，∴，∴，∴，∴当时取最小值，∴的最小值是．2存在，当时，点，直线的表达式为：，当时，点，直线的表达式为：．（1）假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，∴，即，解得，，，，∵，不合题意，舍去，当时，点，线段的中点为，∴，，∴直线的表达式为：．当时，点，线段的中点为，∴，，∴直线的表达式为：．解析:①如图，图重叠部分是等腰直角三角形；②如图，（1）等腰直角三角形；梯形；菱形；五边形．（2）证明见解析．（3）；的最大值为．26.（2）图重叠部分是梯形；③如图，图重叠部分是菱形；④如图，图重叠部分是五边形．分别过点，作于点，于点，如图，图∴，∵两张纸条等宽，∴．（3）在和中，，∴，∵两张纸条都是矩形，∴，，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是菱形．①当时，重叠部分为三角形，如图所示，图∴，．最大值为．②当时，重叠部分为梯形，如图所示，图梯形的下底为，上底为，∴，当时，取最大值，③当时，重叠部分为五边形，如图，图，此时 ．④当时，重叠部分为菱形，如图，五边形菱形三角形五边形图∴．菱形∴，的最大值为．。
湖南省永州市中考数学试卷及答案
（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线 上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．
25．（本小题10分）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 点 在 轴上．已知某二次函数的图象经过 、 、 三点，且它的对称轴为直线 点 为直线 下方的二次函数图象上的一个动点（点 与 、 不重合），过点 作 轴的平行线交 于点
A． B． C． D．
13．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．平移不改变图形的形状和大小
C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
D．相等的弦所对的弧相等
14．为了了解某校初三学生体育测试成绩，从中随机抽取了50名学生的体育测试成绩如下表：
成绩
（分）
15
18
19
20
21
22
7．若实数 满足 则 的值为．
8．某校初三（一）班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的 处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部 处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为米．（已知 结果精确到0.1米）
二、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将正确选项的代号填涂在答题卡的答案栏内．）
9．C 10．D 11．C 12．A 13．B 14．A 15．D 16．B
三、解答题
17． 解：
= 3分
= 5分
= 6分
18．解：
= 1分
= 3分
= 4分
当 时，原式= 6分
2020年湖南省永州市中考数学试卷(含详细解析)
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
23．某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
18． 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 ，在 内有一点 ，M，N分别是 边上的动点，连接 ，则 周长的最小值是_________．
评卷人
得分
三、解答题
19．计算： ．
20．先化简，再求值： ，其中 ．
21．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A： ，B： ，C： ，D： ，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（3）设平移的距离为 ，两张纸条重叠部分的面积为 ．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义求解．
【详解】
的反数为－（-2020）=2020．
故选B．
【点睛】
考查了相反数，解题关键是正确理解相反数的定义．
2．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
12．方程组 的解是_________．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．
2020年湖南省永州市中考数学试卷及答案解析
C、 ，故该项正确；
D、 ，故该项错误；
故选：C.
【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式的加法计算法则，同底数幂乘法计算法则，同底数幂除法计算法则，幂的乘方计算法则是解题的关键.
5.已知一组数据1，2，8，6，8对这组数据描述正确的是（）
A.众数是8B.中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（）
A. B.25C.35D.63
【答案】B
【解析】
【分析】
在 中， ，即可判断 ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
6.如图，已知 ．能直接判断 的方法是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定定理解答.
【详解】在△ABC和△DCB中，
,
∴ (SAS),
故选：A.
【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11.在函数 中，自变量 的取值范围是________．
【答案】x≠3
【解析】
【分析】
根据分式有意义 条件，即可求解．
【详解】∵在函数 中，x-3≠0，
∴x≠3．
故答案是：x≠3．
【点睛】本题主要考查函数的自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键．
2020年湖南省永州市中考数学试题(解析版)
2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是96．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA7．（4分）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）A．B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．210．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d ＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A ．B ．﹣1C ．﹣1D．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是．12．（4分）方程组的解是．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：80≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60成绩90≤x≤100人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A 作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．2020年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答】解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．7．（4分）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP ＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴P A＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，P A＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）A．B．25C．35D．63【分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．△ABC【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．2【分析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1C．﹣1D．2【分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠3．【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．12．（4分）方程组的解是．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣4．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤80≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60100人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人．【分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答】解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝35°．【分析】过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．【解答】解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A 作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为6．【分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是5．【分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【分析】（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD ＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．【解答】证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m 3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．【分析】（1）通过操作画出图形便可得出结果；（2）由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB＝CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；（3）分四种情况：0＜x≤6；6＜x≤6；6＜x＜6+6；x＝6+6．分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，【解答】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45°，∴BC＝CD＝6，∵两纸条都是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s＝，∵0＜x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，∴s＝（x+x﹣6）×6＝6x﹣18，当x＝6时，s取最大值为（36﹣18）cm2；③当6＜x＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形＝s菱形﹣s三角形＝＝，此时，36；④当x＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，∴，综上，s与x函数关系为：s＝（0＜x≤6），或s＝6x﹣18（6＜x≤6），或s＝（6＜x＜6+6），或s＝36（x＝6+6）．故s的最大值为36．。
2020年湖南省永州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
永州市2020年初中学业水平考试数学（试题卷）（满分150分，考试时量120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是96．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．639．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．210．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2（第8题图）（第9题图）（第10题图）二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．方程组的解是．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．（第16题图）（第17题图）（第18题图）三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答过程】解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答过程】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．【总结归纳】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答过程】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．【总结归纳】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答过程】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是9【知识考点】算术平均数；中位数；众数；方差．【思路分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答过程】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．【总结归纳】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【知识考点】全等三角形的判定．【思路分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答过程】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．【思路分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答过程】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．63【知识考点】相似三角形的判定与性质．【思路分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE＝S△ABC是解题的关键．9．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．2【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答过程】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．【总结归纳】本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2【知识考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．【解答过程】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．【总结归纳】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答过程】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．【总结归纳】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．方程组的解是．【知识考点】解二元一次方程组．【思路分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答过程】解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：【总结归纳】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．【知识考点】根的判别式．【思路分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答过程】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．【总结归纳】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表．【思路分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答过程】解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．【总结归纳】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答过程】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．【总结归纳】本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．【知识考点】平行线的性质．【思路分析】过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．【解答过程】解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．【总结归纳】本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD ＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答过程】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．【总结归纳】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．【知识考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．【思路分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．【解答过程】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．【总结归纳】此题考查了轴对称﹣最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答过程】解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．【总结归纳】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【知识考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．【思路分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答过程】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．【解答过程】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【总结归纳】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【知识考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答过程】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【知识考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．【解答过程】证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，。
2020年湖南省永州市中考数学试题和答案
2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9 6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC ≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 7．（4分）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．210．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A ．B ．﹣1C ．﹣1D．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是．12．（4分）方程组的解是．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x 轴于点D，则△ABD的面积为．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB ＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a ＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O 相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．参考答案：解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．2．参考答案：解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．3．参考答案：解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．4．参考答案：解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．5．参考答案：解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．6．参考答案：解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．7．参考答案：解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．参考答案：解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．9．参考答案：解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．10．参考答案：解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．参考答案：解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．12．参考答案：解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：13．参考答案：解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．14．参考答案：解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．15．参考答案：解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．16．参考答案：解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．17．参考答案：解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．18．参考答案：解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．参考答案：解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．20．参考答案：解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．21．参考答案：解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．22．参考答案：解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．23．参考答案：解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．参考答案：证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．25．参考答案：解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．26．参考答案：解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45°，∴BC＝CD＝6，∵两纸条都是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s＝，∵0＜x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，∴s＝（x+x﹣6）×6＝6x﹣18，当x＝6时，s取最大值为（36﹣18）cm2；③当6＜x＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形＝s菱形﹣s三角形＝＝，此时，36；④当x＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，∴，综上，s与x函数关系为：s＝（0＜x≤6），或s＝6x﹣18（6＜x ≤6），或s＝（6＜x＜6+6），或s＝36（x＝6+6）．故s的最大值为36．。
湖南省永州市2020年中考数学试卷
湖南省永州市2020年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.-2020的相反数为（）A. B. 2020 C. -2020 D.2.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A. B. C. D.3.永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A. 人B. 人C. 人D.4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.5.已知一组数据1，2，8，6，8对这组数据描述正确的是（）A. 众数是8B. 平均数是6C. 中位数是8D. 方差是96.如图，已知．能直接判断的方法是（）A. B. C. D.7.如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：① ；② ；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（）A. B. 25 C. 35 D. 639.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A. 4B. 2C.D.10.已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（）A. B. C. D. 2二、填空题（共8题；共9分）11.在函数中，自变量x的取值范围是________．12.方程组的解是________．13.若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有________人．15.已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是________平方分米．16.已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则________．17.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为________．18.在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接，则周长的最小值是________．三、解答题（共8题；共76分）19.计算：．20.先化简，再求值：，其中．21.今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C：，D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中________，________，B等级所占扇形的圆心角度数为________．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22.一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24.如图，内接于是的直径，与相切于点B，交的延长线于点D，E为的中点，连接．（1）求证：是的切线．（2）已知，求O，E两点之间的距离．25.在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求面积的最小值．②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】-2020的相反数为－（-2020）=2020．故答案为：B．【分析】直接利用相反数的定义求解．2.【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故答案为：D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．3.【解析】【解答】635.3万= ，故答案为：C.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.4.【解析】【解答】A、与不是同类项，不能合并，故该项不符合题意；B、，故该项不符合题意；C 、，故该项符合题意；D、，故该项不符合题意；故答案为：C.【分析】根据整式的加法计算法则，同底数幂乘法计算法则，同底数幂除法计算法则，幂的乘方计算法则依次判断即可.5.【解析】【解答】将数据由小到大重新排列为：1，2，6，8，8，∴中位数为6，众数为8，平均数为，方差为：=8.8，正确的描述为：A，故答案为：A .【分析】求出该组数据的平均数、众数、中位数及方差，再依次判断即可.6.【解析】【解答】在△ABC和△DCB中，,∴(SAS),故答案为：A.【分析】根据三角形全等的判定定理解答.7.【解析】【解答】解：如图，是的两条切线，故①符合题意，故②符合题意，是的两条切线，取的中点Q，连接，则所以：以Q为圆心，为半径作圆，则共圆，故③符合题意，M 是外接圆的圆心，与题干提供的条件不符，故④不符合题意，综上：正确的说法是个，故答案为：C．【分析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．8.【解析】【解答】解：∵∴∴∵∴∴∴∵∴∴故答案为：B．【分析】在中，，即可判断，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．9.【解析】【解答】由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，该几何体的左视图为长方形，该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，∵底面等边三角形的高= ，∴它的左视图的面积是，故答案为：D.【分析】根据三视图确定底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可.10.【解析】【解答】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，∵点C到直线l的距离，半径为1，∴的最小值是，故答案为：B.【分析】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可.二、填空题11.【解析】【解答】∵在函数中，x-3≠0，∴x≠3．故答案是：x≠3．【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．12.【解析】【解答】由①+②得：3x=6，解得x=2，把x=2代入①中得，y=2，所以方程组的解为．故答案为：．【分析】直接利用加减消元法求解．13.【解析】【解答】解：由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14.【解析】【解答】（人）故答案为：480.【分析】用七年级的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案.15.【解析】【解答】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，扇形的弧长等于圆锥底面周长为分米，扇形的半径等于母线长为1分米，根据得，平方分米．故答案为．【分析】根据圆锥的侧面展开图就是扇形，求圆锥的侧面积就是求扇形的面积，圆锥的底面周长就是扇形弧长，母线长就是扇形的半径，根据扇形面积公式，即可求解．16.【解析】【解答】解：如图，标注字母，延长交a于C，由题意得：故答案为：【分析】如图，标注字母，延长交a于C，利用平行线的性质证明，三角形的外角的性质证明，从而可得答案．17.【解析】【解答】令,解得,∴A( ),C( )．∴B( ),D( )．则BD= ,AB= ,∴S△ABD= ．故答案为:6．【分析】根据函数解析式算出A、D的坐标,再根据三角形面积公式求出即可．18.【解析】【解答】解：分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．由可得直线OA的表达式为y=2x，设(x,y)，由与直线OA垂直及中点坐标在直线OA上可得方程组：解得：则(0，5)，由两点距离公式可得：即周长的最小值．故答案为．【分析】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．三、解答题19.【解析】【分析】依次计算零指数幂，化简立方根乘以特殊的三角函数值，最后一项利用负指数幂，最后相加减即可得出答案．20.【解析】【分析】先根据分式的混合运算步骤进行化简，然后代入求值即可．21.【解析】【解答】解：（2），，B等级所占扇形的圆心角度数为，故答案为：，，252°；【分析】(1)先求出总人数，减去A、B、D等级的人数即可补充统计图；(2)利用每个等级是人数除以总数再乘以100%求出m与n，根据百分比乘以360°求出B等级所占圆心角的度数；(3)列树状图解答.22.【解析】【分析】（1）过A点作于点D，在中求出AD与50海里比较即可得到答案；（2）在中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.23.【解析】【分析】（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元，列分式方程求解即可；（2）设购进一次性医用口罩y只，根据题意列不等式求解即可．24.【解析】【分析】（1）连接，先推出，然后根据是斜边上的中线，得出，从而可得，根据与相切，得到，可得，即，即可证明是的切线；（2）连接OE，先证明，可得，可求出AD，根据是的中位线，即可求出OE．25.【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据等腰直角三角形的性质得到三点的坐标，代入解析式即可得到答案；（2）①设直线l的解析式为，交点，，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得：列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可．26.【解析】【分析】（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；（2）分别过点B、D作于点E、于点F，再根据纸条的特点证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；（3）分、、和x= 四种情况分别求出s与x的函数关系式，然后再求最大值即可．。
2020年湖南省永州市中考数学试卷
2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1. −2020的相反数为（）A.−12020B.2020 C.−2020 D.12020【答案】B【考点】相反数【解析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答】−2020的相反数为：2020．2. 永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A.注意安全B.水深危险C.必须戴安全帽D.注意通风【答案】D轴对称图形【解析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答】根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．3. 永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A.6.353×105人B.63.53×105人C.6.353×106人D.0.6353×107人【答案】C【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答】635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．4. 下列计算正确的是（）A.a2b+2ab2＝3a3b3B.a6÷a3＝a2C.a6⋅a3＝a9D.(a3)2＝a5【答案】C【考点】合并同类项同底数幂的乘法同底数幂的除法幂的乘方与积的乘方【解析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答】a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误（1）a6⋅a3＝a9，故选项C正确(2)(a3)2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．5. 已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A.众数是8B.平均数是6C.中位数是8D.方差是9A【考点】算术平均数方差众数中位数【解析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答】将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，=5，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1+2+6+8+85×[(1−5)2+(2−5)2+(6−5)2+2×(8−5)2]＝8.8，方差为156. 如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≅△DCB的方法是（）A.SASB.AASC.SSSD.ASA【答案】A【考点】全等三角形的判定【解析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≅△DCB(SAS)，7. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】切线的性质三角形的外接圆与外心【解析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30∘时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答】∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90∘，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30∘时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．8. 如图，在△ABC中，EF // BC，AEEB =23，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A.913B.25C.35D.63【答案】B【考点】相似三角形的性质与判定【解析】由EF // BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF=425S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】∵EF // BC，∴△AEF∽△ABC，∴S△AEFS△ABC =(AEAB)2＝(AEAE+EB)2=425，∴S△AEF=425S△ABC．∵S四边形BCFE ＝S△ABC−S△AEF＝21，即2125S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．9. 如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A.4B.2C.√3D.2√3【答案】D【考点】简单几何体的三视图【解析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答】如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD=√3，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2√3．10. 已知点P(x0, y0)和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d=00√1+k2计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1, 1)，半径为1，直线l的表达式为y＝−2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ 的最小值是（）A.3√55B.3√55−1 C.6√55−1 D.2【答案】B【考点】一次函数的性质一次函数图象上点的坐标特点【解析】求出点C(1, 1)到直线y＝−2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．【解答】过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C(1, 1)到直线l的距离d=√1+(−2)2=3√55，∵⊙Q的半径为1，∴PQ=3√55−1，二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）函数y=1x−3中，自变量x的取值范围是________．【答案】x≠3【考点】函数自变量的取值范围无意义分式的条件分式有意义、无意义的条件【解析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答】根据题意得，x −3≠0，解得x ≠3．方程组{x +y =42x −y =2的解是________． 【答案】{x =2y =2【考点】加减消元法解二元一次方程组二元一次方程组的解代入消元法解二元一次方程组【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】{x +y =42x −y =2， ①+②得：3x ＝6，即x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝2，则方程组的解为{x =2y =2，若关于x 的一元二次方程x 2−4x −m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．【答案】m >−4【考点】根的判别式【解析】由方程有两个不相等的实数根可知，b 2−4ac >0，代入数据可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：△=b 2−4ac =(−4)2−4×1×(−m)=16+4m >0，解得：m >−4．故答案为：m >−4．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：人．【答案】480【考点】用样本估计总体频数（率）分布表【解析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答】600×25+1550=480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含8以上的学生有480人，已知圆锥的底面周长是π2分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是________平方分米．【答案】π4【考点】圆锥的计算【解析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】圆锥的侧面积=12×π2×1=π4平方分米．已知直线a // b，用一块含30∘角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25∘，则∠2＝________．【答案】35∘【考点】平行线的性质【解析】过点B作EF // a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．【解答】过点B作EF // a．∵a // b，∴EF // a // b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30∘角的直角三角形，∴∠ABC＝60∘．∵∠ABF+∠CBF＝60∘，∴∠2＝60∘−25＝35∘．如图，正比例函数y＝−x与反比例函数y=−6x的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x 轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为________．【答案】6【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD＝CD=√6，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答】正比例函数y＝−x与反比例函数y=−6x的图象交点坐标A(−√6, √6)，C(√6, −√6)，∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD=√6，∴S△ABD=12BD⋅AB=12×2√6×√6=6，∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60∘，在∠AOB内有一点P(4, 3)，M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是________．【答案】5√3【考点】轴对称——最短路线问题坐标与图形性质【解析】分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P′与点P ″，连接P′P ″，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时△PMN 周长最小，最小值为P′P ″的长，连接OP′，OP ″，OP ，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP ″＝OP ，由P 坐标确定出OP 的长，在三角形OP′P ″中求出P′P ″的长，即为三角形PMN 周长的最小值．【解答】分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P′与点P ″，连接P′P ″，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时△PMN 周长最小，最小值为P′P ″的长，连接OP′，OP ″，OP ，∵ OA 、OB 分别为PP′，PP ″的垂直平分线，P(4, 3)，∴ OP′＝OP ＝OP ″=√42+32=5，且∠POA ＝∠P′OA ，∠POB ＝∠P ″OB ，∵ ∠AOB ＝∠AOP +∠BOP ＝60∘，∴ ∠P′OP ″＝120∘，过O 作OQ ⊥P′P ″，可得P′Q ＝P ″Q ，∠OP′Q ＝∠OP ″Q ＝30∘，∴ OQ =52，P′Q ＝P ″Q =5√32， ∴ P′P ″＝2P′Q ＝2×5√32=5√3，则△PMN 周长的最小值是5√3．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）计算：20200+√83sin 30∘−(12)−1． 【答案】原式＝1+2×12−2 ＝1+1−2＝0．【考点】零指数幂负整数指数幂实数的运算特殊角的三角函数值【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】原式＝1+2×12−2＝1+1−2＝0．先化简，再求值：(1a+1−a+2a2−1⋅a2−2a+1a2+4a+4)⋅(a+2)，其中a＝2．【答案】原式＝[1a+1−a+2(a+1)(a−1)⋅(a−1)2(a+2)2]•(a+2)＝[1a+1−a−1(a+1)(a+2)]•(a+2)=a+2a+1−a−1a+1=3a+1，当a＝2时，原式=32+1=1．【考点】分式的化简求值【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】原式＝[1a+1−a+2(a+1)(a−1)⋅(a−1)2(a+2)2]•(a+2)＝[1a+1−a−1(a+1)(a+2)]•(a+2)=a+2a+1−a−1a+1=3a+1，当a＝2时，原式=32+1=1．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A:90<S≤100，B:80<S≤90，C:70<S≤80，D:S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝________，n＝________，B等级所占扇形的圆心角度数为________．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【答案】∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40−(4+28+2)＝6（人），补全图形如下：15,5,252∘画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．【考点】扇形统计图条形统计图列表法与树状图法【解析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360∘乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40−(4+28+2)＝6（人），补全图形如下：m%=640×100%＝15%，即m＝15，n%=240×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360∘×70%＝252∘，故答案为：15，5，252∘；画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．一艘渔船从位于A海岛北偏东60∘方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24，√7≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【答案】这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90∘，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90∘−60∘＝30∘，∴BD=1AB＝30，AD=√3BD＝30√3≈51.9>50，2∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；由（1）得：BD＝30，AD＝30√3，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC−BD＝90−30＝60，在Rt△ADC中，AC=√AD2+DC2=√(30√3)2+602=30√7≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】AB＝30，（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90∘−60∘＝30∘，则BD=12AD=√3BD＝30√3≈51.9>50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30√3，求出DC＝BC−BD＝90−30＝60，由勾股定理求出AC即可．【解答】这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90∘，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90∘−60∘＝30∘，∴BD=1AB＝30，AD=√3BD＝30√3≈51.9>50，2∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；由（1）得：BD＝30，AD＝30√3，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC−BD＝90−30＝60，在Rt△ADC中，AC=√AD2+DC2=√(30√3)2+602=30√7≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【答案】设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，依题意有1600 x =9600x+10，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12(2000−y)≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【考点】一元一次不等式的实际应用分式方程的应用【解析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答】设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，依题意有1600 x =9600x+10，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12(2000−y)≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3√5，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【答案】如图，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90∘，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90∘，∴∠OBC+∠EBC＝90∘，∴∠OCB+∠ECB＝90∘，∴∠OCE＝90∘∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；连接OE，∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴BDAD =CDBD，∴BD2＝AD⋅CD，∴(3√5)2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE=12AD=92，∴O，E两点之间的距离为92．【考点】圆周角定理相似三角形的性质与判定切线的判定与性质三角形的外接圆与外心【解析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90∘，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD＝90∘，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得BDAD =CDBD，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．【解答】如图，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90∘，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90∘，∴∠OBC+∠EBC＝90∘，∴∠OCB+∠ECB＝90∘，∴∠OCE＝90∘∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；连接OE，∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴BDAD =CDBD，∴BD2＝AD⋅CD，∴(3√5)2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE=12AD=92，∴O，E两点之间的距离为92．在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q(1, −32)是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【答案】设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c(a ≠0)，在等腰Rt △ABC 中，OC 垂直平分AB ，且AB ＝4，∴ OA ＝OB ＝OC ＝2，∴ A(−2, 0)，B(2, 0)，C(0, −2)，∴ {4a +2b +c =04a −2b +c =0c =−2，解得，{a =12b =0c =−2，∴ 抛物线的解析式为y =12x 2−2； ①设直线l 的解析式为y ＝kx ，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由{y =12x 2−2y =kx，可得12x 2−kx −2=0， ∴ x 1+x 2＝2k ，x 1⋅x 2＝−4，∴ (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4k 2+16，∴ |x 1−x 2|=2√k 2+4，∴ S △CMN =12OC ⋅|x 1−x 2|=2√k 2+4，∴ 当k ＝0时2√k 2+4取最小值为4．∴ △CMN 面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P(m, 12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， ∴ OP ＝OQ ，即√12+(32)2=√m 2+(12m 2−2)2， 解得，m 1=√3，m 2=−√3，m 3＝1，m 4＝−1，∵ m 3＝1，m 4＝−1不合题意，舍去，当m 1=√3时，点P(√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1+√32,−1)， ∴ 1+√32k =−1，∴ k =1−√3，∴ 直线l 的表达式为：y ＝(1−√3)x ，当m 2=−√3时，点P(−√3, −12)，线段PQ 的中点为(1−√32, −1)， ∴ 1−√32k =−1，∴ k =1+√3，∴ 直线l 的解析式为y ＝(1+√3)x ．综上，点P(√3, −12)，直线l 的解析式为y ＝(1−√3)x 或点P(−√3, −12)，直线l 的解析式为y ＝(1+√3)x ．【考点】二次函数综合题【解析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l 的解析式为y ＝kx ，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立方程组求得|x 1−x 2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P(m, 12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP ＝OQ 列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c(a ≠0)，在等腰Rt △ABC 中，OC 垂直平分AB ，且AB ＝4，∴ OA ＝OB ＝OC ＝2，∴ A(−2, 0)，B(2, 0)，C(0, −2)，∴ {4a +2b +c =04a −2b +c =0c =−2，解得，{a =12b =0c =−2，∴ 抛物线的解析式为y =12x 2−2； ①设直线l 的解析式为y ＝kx ，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由{y =12x 2−2y =kx，可得12x 2−kx −2=0， ∴ x 1+x 2＝2k ，x 1⋅x 2＝−4，∴ (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4k 2+16，∴ |x 1−x 2|=2√k 2+4，∴ S △CMN =12OC ⋅|x 1−x 2|=2√k 2+4， ∴ 当k ＝0时2√k 2+4取最小值为4．∴ △CMN 面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P(m, 12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， ∴ OP ＝OQ ，即√12+(32)2=√m 2+(12m 2−2)2，解得，m 1=√3，m 2=−√3，m 3＝1，m 4＝−1，∵ m 3＝1，m 4＝−1不合题意，舍去，当m 1=√3时，点P(√3,−12)，线段PQ 的中点为(1+√32,−1)， ∴ 1+√32k =−1，∴ k =1−√3，∴ 直线l 的表达式为：y ＝(1−√3)x ，当m 2=−√3时，点P(−√3, −12)，线段PQ 的中点为(1−√32, −1)， ∴ 1−√32k =−1，∴ k =1+√3，∴ 直线l 的解析式为y ＝(1+√3)x ．综上，点P(√3, −12)，直线l 的解析式为y ＝(1−√3)x 或点P(−√3, −12)，直线l 的解析式为y ＝(1+√3)x ．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45∘的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．（3）设平移的距离为xcm(0<x ≤6+6√2)，两张纸条重叠部分的面积为scm 2．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．【答案】在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90∘，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45∘，∴BC＝CD＝6√2，∵两纸条都是矩形，∴AB // CD，BC // AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；①当0<x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s=12x2，∵0<x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6<x≤6√2时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为(x−6)cm，∴s=12(x+x−6)×6＝6x−18，当x＝6√2时，s取最大值为(36√2−18)cm2；③当6√2<x<6+6√2时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形＝s菱形−s三角形=6√2×6−12(6+6√2−x)2=−12[x−(6+6√2)]2+36√2，此时，36√2−18<S<36√2；④当x＝6+6√2时，重叠部分为菱形，如图所求，∴ S =36√2cm 2， 综上，s 与x函数关系为：s={12x 2(0<x ≤6)6x −18(6<x ≤6√2)−12(x −6−6√2)2+36√2(6√2<x <6+6√2)． 故s 的最大值为36√2cm 2．【考点】四边形综合题【解析】（1）通过操作画出图形便可得出结果；（2）由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD 是平行四边形，分别过B ，D 作BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥CB 于点F ，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB ＝CD ，进而根据菱形的定义得四边形ABCD 是菱形；（3）分四种情况：0<x ≤6；6<x ≤6√2；6√2<x <6+6√2；x ＝6+6√2．分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，【解答】在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，分别过B ，D 作BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥CB 于点F ，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90∘，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45∘，∴BC＝CD＝6√2，∵两纸条都是矩形，∴AB // CD，BC // AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；①当0<x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s=1x2，2∵0<x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6<x≤6√2时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为(x−6)cm，∴s=1(x+x−6)×6＝6x−18，2当x＝6√2时，s取最大值为(36√2−18)cm2；③当6√2<x <6+6√2时，重叠部分为五边形，如图所求， ∴ s 五边形＝s 菱形−s 三角形=6√2×6−12(6+6√2−x)2=−12[x −(6+6√2)]2+36√2，此时，36√2−18<S <36√2；④当x ＝6+6√2时，重叠部分为菱形，如图所求， ∴ S =36√2cm 2，综上，s 与x 函数关系为：s ={12x 2(0<x ≤6)6x −18(6<x ≤6√2)−12(x −6−6√2)2+36√2(6√2<x <6+6√2)． 故s 的最大值为36√2cm 2．。
2020年湖南省永州市中考数学模拟试卷(一) (含解析)
2020年湖南省永州市中考数学模拟试卷(一)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.−9的倒数是()A. 19B. −19C. 9D. −92.以下标志是轴对称图形的是()A. B.C. D.3.截止到2018年年底，青岛市即墨区的人口大约为123万人，请将123万用科学记数法表示为()A. 12.3×105B. 1.23×105C. 1.23×106D. 0.123×1064.如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为()A.B.C.D.5.下列运算正确的是()A. 2a+a=2a2B. (−a)2=−a2C. (a2)3=a5D. a3÷a=a26.一组数据：10，15，10，17，18，20.对于这组数据，下列说法错误的是()A. 平均数是15B. 众数是10C. 中位数是17D. 方差是4437.下列命题中，正确的是()A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等的四边形是矩形D. 对角线垂直的四边形是正方形8.在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为()A. 12B. 13C. 14D. 169.已知二次函数y=(x−m)2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mnx的图象可能是()A.B.C.D.10. 若max{S 1,S 2,…,S n }表示实数S 1，S 2，…，S n 中的最大者．设A =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1b 2b 3)，记A ⊗B =max{a 1b 1,a 2b 2,a 3b 3}，设A =(x −1,2x −3,1)，B =(431|x−1|)，若A ⊗B =x −1，则x 的取值范围为( ) A. 1≤x ≤95 B. C. 1<x ≤95 D. 1<x <95 二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 分解因式：2m 2−m =______．12. 当m =__________时，分式的值为0.当x ______时，分式xx−3有意义． 13. 如图，把一块三角尺的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=2∠2，则∠1=________°14. 不等式组{x−12+2>x2(x −2)≤3x −5的解集是______． 15. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n 个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，把它放回袋中，搅匀后，再摸出一球，…通过多次试验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.5，则n 的值大约是________.16. 一个圆锥的高线长是8cm ，底面直径为12cm ，则这个圆锥的侧面积是______．17. 如下图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD =50°，则∠ACB =______°．18. 如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，且CD =2AD.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(结果用向量a ⃗ 、b ⃗ 的式子表示)三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）19. 先化简，再求值：(x +1−15x−1)÷x 2−8x+161−x ，其中x =2．20. 如图，在A 岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O 处时，发现A 岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B 处发现A 岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？(参考数据：√3≈1.732)四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）21. 计算：(−12)−2−tan60°+√−83+|√3−2|．22.某学校开展了以下四项课外活动课程：A.计算机编程；B.绘画摄影；C.民乐演奏；D.面点制作．为了解学生最喜欢哪一项课外活动课程，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生每人从中选取一项最喜欢的课程，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有多少人？(2)请你将条形统计图②补充完整；(3)在平时的计算机编程的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加安徽省计算机编程大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率．23.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE=OF，求证：BE=DF．24.如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为BE⏜的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AD=2，AC=√6，求AB的长．25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c()经过A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C距离之和最短时，求点P的坐标．26.如图，E、F分别为正方形ABCD边BC与CD延长线上的点，且BE=DF，EF分别交线段AC、线段AD于M、N两点(E不与B、C重合)(1)若AB=1，E是BC的中点，试求△AEF的面积；(2)求证：△AEM∽△FCM；(3)若S△CEF：S△AEF=1：2，试CE：CF的值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查倒数的知识.根据倒数的定义即可解答．．解：−9的倒数−19故选B．2.答案：A解析：本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念求解．解：A.是轴对称图形，故A正确；B.不是轴对称图形，故B错误；C.不是轴对称图形，故C错误；D.不是轴对称图形，故D错误．故选A．3.答案：C解析：解：123万=1.23×106，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.答案：A解析：解：根据主视图的定义可知，此组合体的主视图是A中的图形，故选：A．根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．本题考查的是简单组合体的三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．5.答案：D解析：解：A、应为2a+a=3a，故本选项错误；B、应为(−a)2=a2，故本选项错误；C、应为(a2)3=a2×3=a6，故本选项错误；D、a3÷a=a2，正确．故选：D．根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．本题考查合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的除法，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．6.答案：C解析：本题考查了方差、众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．根据方差、众数、平均数、中位数的概念分别对每一项进行分析，即可得出答案．=15，正确；解：A.这组数据的平均数是：10+15+10+17+18+206B.∵10出现了2次，出现的次数最多，∴众数是10，正确；=16，故本选项错误；C.把这些数从小到大排列为10，10，15，17，18，20，则中位数是15+172D.这组数据的方差是：16[2×(10−15)2+(15−15)2+(17−15)2+(18−15)2+(20−15)2]=443，正确；故选C．7.答案：B解析：本题主要考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定的有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可．解：A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故A错误；B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，所以B选项正确；C.一组对边平行，另一组对边相等且两条对角线相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故C错误；D.两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D错误．故选B．8.答案：C解析：此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟记三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE//BC，DE=12BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，即可得出结果．解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面积：△ABC的面积=(12)2=1：4，故选C．9.答案：D解析：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值范围是解题的关键，根据二次函数图象判断出m<0，n>0，然后求出mn<0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．解：由图可知，m<0，n>0，∴mn<0，∴一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，反比例函数y=mnx的图象位于第二、四象限；故选：D．10.答案：A解析：本题考查了新定义以及不等式组的解法，根据题意得出不等式是解题的关键.首先根据A⊗B=max{x−1,(2x−3)×43,|x−1|}，然后由max{S1,S2,……,S n}表示的含义及A⊗B=x−1可知{x−1≥(2x−3)×43x−1≥|x−1|，分别求出这两个不等式的解集，最后求出它们的公共部分即可．解：由A=(x−1,2x−3,1)，B=(1 4 3|x−1|)，得到A⊗B=max{x−1,(2x−3)×43,|x−1|}=x−1，则有{x−1≥(2x−3)×43 x−1≥|x−1|化简得：{54x−94≤0 ①x−1≥|x−1| ②,由①解得：x≤9，5由②解得：x≥1，，所以不等式组的解集为1≤x≤95．则x的取值范围为1≤x≤95故答案为A．11.答案：m(2m−1)解析：解：2m2−m=m(2m−1)．故答案为：m(2m−1)．直接把公因式m提出来即可．本题主要考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．12.答案：−1；≠3解析：本题考查了分式的值为零的条件、分式有意义的条件．注意：若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．直接根据分式值为0，是分子为0且分母不为0，分式有意义，则分母不为0解答即可．解：当分式的值为0时，|m|−1=0且m−1≠0，解得m=−1;当分式x有意义时，则x−3≠0，x−3解得x≠3．故答案为−1；≠3．13.答案：80解析：本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．解：∵AB//CD ，∴∠3=∠2，∵∠1=2∠2，∴∠1=2∠3，∴3∠3+60°=180°，∴∠3=40°，∴∠1=80°，故答案为80．14.答案：1≤x <3解析：解：{x−12+2>x①2(x −2)≤3x −5②， 由①得，x <3，由②得，x ≥1，所以不等式组的解集为1≤x <3，故答案为：1≤x <3．先求出两个不等式的解集，再求其公共解．本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)． 15.答案：10解析：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．=0.5，解：由题意可得，5n解得，n=10．故估计小球大约有10个．故答案为10．16.答案：60πcm2解析：解：如图，AB=12cm，OC=8cm，∴OB=6cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π⋅6=12πcm，在Rt△BCO中，BC=√OB2+OC2=√82+62=10(cm)．⋅12π⋅10=60πcm2．∴圆锥的侧面积=12故答案为：60πcm2．先计算出圆锥的底面圆的周长=2π⋅6=12πcm，再利用勾股定理计算出母线长BC，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长得到扇形的弧长为12π，半径为10，最后根据扇形的面积公式计算即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半⋅l⋅R(l为扇形的弧长，R为半径)．径为圆锥的母线长；也考查也扇形的面积公式：S=1217.答案：40解析：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．解：连接BD，如图，∵AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ABD =90°，∴∠D =90°−∠BAD =90°−50°=40°，∴∠ACB =∠D =40°．故答案为40．18.答案：13b ⃗ −a ⃗解析：解：∵CD =2AD ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ ， ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +13b ⃗ ， 故答案为：13b ⃗−a ⃗ ． 求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 求解即可． 本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19.答案：解：原式=[(x+1)(x−1)x−1−15x−1]⋅1−x(x−4)2=x 2−16x −1⋅1−x (x −4)2=(x −4)(x +4)x −1⋅1−x (x −4)2=−x+4x−4，当x =2时，原式=−2+42−4=3．解析：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式除法法则是解题的关键．将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可化简．20.答案：解：根据题意，有∠AOC=30°，∠ABC=45°，∠ACB=90°，所以BC=AC，于是在Rt△AOC中，由tan30°=ACOC，得√33=AC20+AC，解得AC=√3−1≈27.32(海里)，因为27.32>25，所以轮船不会触礁．解析：要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点A的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险．此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．21.答案：解：原式=4−√3−2+2−√3=4−2√3．解析：直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．22.答案：解：(1)∵A是36°，∴A占36°÷360=10%，∵A的人数为20人，∴这次被调查的学生共有：20÷10%=200(人)，答：这次被调查的学生共有200人．(2)如图，C有：200−20−80−40=60(人)，(3)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况，∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为：212=16，恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为16．解析：(1)由A 是36°，A 的人数为20人，即可求得这次被调查的学生总人数；(2)由(1)，可求得C 的人数，即可将条形统计图(2)补充完整；(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数所求情况数与总情况数23.答案：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB =OD ，在△OBE 和△ODF 中，{OB =OD∠BOE =∠DOF OE =OF, ∴△OBE ≌△ODF(SAS)，∴BE=DF．解析：由平行四边形的性质得出OB=OD，由SAS证明△OBE≌△ODF，即可得出BE=DF．本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和三角形全等的性质和判定是解决问题的关键．24.答案：解：(1)相切，连接OC，∵C为BE⏜的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD//OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；(2)过C点作CF⊥AB，∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠AFC=90°，在△ADC和△AFC中，{∠ADC =∠AFC ∠2=∠1AC =AC∴△ADC ≌△AFC ，∴AF =AD =2∴CF =√AC 2−AF 2=√2，∴OF 2+CF 2=OC 2，即OF 2+CF 2=(AF −OF)2，解得OF =12，∴OA =AF −OF =2−12=32，∴AB =2OA =3．解析：本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．(1)连接OC ，由C 为BE⏜的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO ，根据平行线的性质得到OC ⊥CD ，即可得到结论；(2)过C 点作CF ⊥AB ，先证明△ADC ≌△AFC ，即可得到AF =AD =2，在求得CF =√2，根据OF 2+CF 2=OC 2求得OF 即可得到答案．25.答案：解：(1)将A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3)代入抛物线y =ax 2+bx +c 中，得：{a −b +c =09a +3b +c =0c =−3，解得：{a =1b =−2c =−3故抛物线的解析式：y =x 2−2x −3；(2)∵抛物线的解析式为：y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，∴其对称轴为直线x =1，连接BC ，交直线x =1于P 点，如图，∵B(3,0)，C(0,−3)，∴设直线BC 的解析式为y =kx +b(k ≠0)，∴ {3k +b =0b =−3 ， 解得{k =1b =−3， ∴直线BC 的解析式为y =x −3；当x =1时，y =1−3=−2，∴点P 坐标为(1,−2)．解析：此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定．(1)直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；(2)由图知，A 、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与直线BC 的交点，即为符合条件的P 点．26.答案：(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠BAD =∠BCD =∠ADF =90°，AB =AD =BC =1，∵E 为BC 中点，∴BE =12BC =12，由勾股定理得：AE =√12+(12)2=√52， 在△ABE 和△ADF 中{BE =DF ∠B =∠ADF AB =AD∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AF =AE =√52，∠FAD =∠EAB ，∵∠BAD =90°，∴∠EAF =∠EAD +∠EAB =∠BAD =90°，∴△AEF 的面积是12×AE ×AF =12×√52×√52=58．(2)证明：∵∠BCD =∠EAF =90°，∴∠BCD +∠EAF =180°，∴C 、E 、A 、F 四点共圆，∴∠CFE =∠CAE ，∠FCA =∠FEA ，∴△AEM∽△FCM ．(3)解：∵S △CEF ：S △AEF =1：2，∴2×12×CE ×CF =12×AE 2，∵AE 2=AB 2+BE 2，CE =BC −BE =AB −BE ，CF =CD +DF =AB +BE ，∴AB 2+BE 2=2(AB −BE)(AB +BE)=2AB 2−2BE 2，AB 2=3BE 2，AB =√3BE ，∴CE CF =AB−BE AB+BE =√3BE−BE√3BE+BE =√3−1√3+1=2−√31，即CE：CF=(2−√3)：1．解析：(1)根据正方形性质得出∠B=∠BAD=∠BCD=∠ADF=90°，AB=AD=BC=1，求出，，∠FAD=∠EAB，求出∠EAF=90°，根据三角形面积公式求证△ABE≌△ADF，推出AF=AE=√52出即可；(2)根据∠BCD=∠EAF=90°推出C、E、A、F四点共圆，推出∠CFE=∠CAE，∠FCA=∠FEA，根据相似三角形的判定推出即可；(3)根据三角形面积比求出AB2=3BE2，求出AB=√3BE，把CE=AB−BE，CF=AB+BE代入求出即可．。
湖南省永州市2020版中考数学试卷(II)卷
湖南省永州市2020版中考数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018七上·鄞州期中) 在四个数中，最小的数是（）.A .B . 1C .D .2. （2分）(2017·鄞州模拟) 下列计算正确的是（）A . a3﹣a2=aB . a3•a2=a6C . a3÷a2=aD . （a3）2=a53. （2分）(2020·三门模拟) 下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）A .B .C .D .4. （2分）股市有风险，投资需谨慎。
截至今年五月底，我国股市开户总数约95000000，正向1亿挺进，95000000用科学记数法表示为（）A . 9.5×106B . 9.5×107C . 9.5×108D . 9.5×1095. （2分）(2018·肇源模拟) 如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）A . 4B . ﹣2C . 2D . 无法确定6. （2分）(2017·成都) 学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：得分（分）60708090100人数（人）7121083则得分的众数和中位数分别为（）A . 70分，70分B . 80分，80分C . 70分，80分D . 80分，70分7. （2分）如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，则下列关系式：①=，②=，③=，其中正确的是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③8. （2分） (2019七下·惠阳期末) 有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=4时，输出的y等于（）A . -B .C . 2D . 49. （2分）(2016·广东) 已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（）A . 5B . 10C . 12D . 1510. （2分） (2019九上·包河月考) 如图,在矩形中,点为边的中点,点G为线段 .上的一点,且 ,延长交于点 ,延长交于点F,当时,则的值为（）A . 2B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2018八下·柳州期末) 化简：（2 ）2=________.12. （1分） (2017八上·西湖期中) 请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：________13. （1分）如图所示，以直角三角形的一直角边和斜边为边长所作正方形A、C的面积分别为9和25，则以另一直角边为边长的正方形B的面积为________．14. （1分） (2019九上·湖州月考) 如图，抛物线（m为常数）交y轴于点A，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.①抛物线与直线有且只有一个交点；②若点、点、点在该函数图象上，则；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为；④点A关于直线的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当时，四边形BCDE周长的最小值为.其中正确判断的序号是________三、解答题 (共9题；共72分)15. （5分）(2016八上·无锡期末) 解方程：（1） 4x2-16=0；（2）（x-2）3=18．16. （10分）(2017·孝感) 如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE；②作∠DAE的平分线交CD于点F；③连接EF；（2）在（1）作出的图形中，若AB=8，AD=10，则tan∠FEC的值为________．17. （5分） (2019七下·长春月考) 一个车间加工轴杆和轴承，平均每人每天可以加工轴杆12根或轴承15个．车间共90人，应该怎样分配人，才能使每天生产的轴杆和轴承正好配套（一根轴杆和一个轴承恰好配成一套）？18. （2分） (2020八下·延平月考) 观察下列等式：回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：；（2）化简：；（3）计算：… ．19. （5分）身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A 在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．（1）求风筝距地面的高度GF；（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）20. （10分）(2020·皇姑模拟) 如图，在平面直角坐标系中，▱ABOC的顶点A（0，2），点B（﹣4，0），点O 为坐标原点，点C在第一象限，若将△AOB沿x轴向右运动得到△EFG（点A、O、B分别与点E、F、G对应），运动速度为每秒2个单位长度，边EF交OC于点P，边EG交OA于点Q，设运动时间为t（0＜t＜2）秒.（1）在运动过程中，线段AE的长度为________（直接用含t的代数式表示）；（2）若t＝1，求出四边形OPEQ的面积S；（3）在运动过程中，是否存在四边形OPEQ为菱形？若存在，直接写出此时四边形OPEQ的面积；若不存在，请说明理由.21. （10分） (2019九上·绍兴期中) 随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图.（1）本次调查的学生共有________人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是________人；（2）“非常了解”的4人有A1 ， A2两名男生，B1 ， B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.22. （10分）(2017·合肥模拟) 已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6．（1）用配方法将y=2x2﹣4x﹣6化成y=a （x﹣h）2+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标．（2）当0＜x＜4时，求y的取值范围；（3）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．23. （15分）如图1，在平面直角坐标系中，有矩形AOBC，点A、B的坐标分别为（0，4）、（10,0），点P的坐标为（2，0），点M在线段AO上，点N在线段AC上，总有∠MPN=90 º，点M从点O运动到点A，当点M运动到A 点时，点N与点C重合（如图2）。
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2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）2020-的相反数为( ) A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．120202．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( ) A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．223323a b ab a b += B ．632a a a ÷= C ．639a a a =D ．325()a a =5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( ) A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是96．（4分）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA7．（4分）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A．913B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A．4B．2C3D．2310．（4分）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k-+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 12．（4分）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ．13．（4分）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 成绩 90100x 8090x < 7080x < 6070x <60x <人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 人． 15．（4分）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．16．（4分）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．17．（4分）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 ．18．（4分）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：01312020830()2-+︒-．20．（8分）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ．（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径，BD与O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是O的切线．（2）已知35BD=，5CD=，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC∆的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且4AB=，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求CMN∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q-是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为(0662)scm．求s与x的函xcm x<+，两张纸条重叠部分的面积为2数关系式，并求s的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1．（4分）2020-的相反数为( ) A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．12020解：2020-的相反数为：2020． 故选：B ．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风解：根据轴对称图形的定义可知： 选项A 、B 、C 中的图形是轴对称图形， 选项D 不是轴对称图形． 故选：D ．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( ) A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人解：635.3万66353000 6.35310==⨯．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为66.35310⨯人． 故选：C ．4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．223323a b ab a b += B ．632a a a ÷= C ．639a a a =D ．325()a a =解：A 选项的两个加数不是同类项，不能加减； 6332a a a a ÷=≠，故选项B 错误； 639a a a =，故选项C 正确；3265()a a a =≠．故选项D 错误．故选：C ．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( ) A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是9解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8， 所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1268855++++=，方差为22221[(15)(25)(65)2(85)]8.85⨯-+-+-+⨯-=，故选：A ．6．（4分）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA解：AB DC =，ABC DCB ∠=∠，BC CB =，()ABC DCB SAS ∴∆≅∆，故选：A ．7．（4分）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法： ①PA PB =； ②OP AB ⊥；③四边形OAPB 有外接圆； ④M 是AOP ∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4解：PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，PA PB∴=，所以①正确；OA OB=，PA PB=，OP∴垂直平分AB，所以②正确；PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，OA PA∴⊥，OB PB⊥，90OAP OBP∴∠=∠=︒，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；只有当30APO∠=︒时，2OP OA=，此时PM OM=，M∴是不一定为AOP∆外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．（4分）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A ．913B．25C．35D．63解：//EF BC，AEF ABC∴∆∆∽，∴224()()25AEFABCS AE AES AB AE EB∆∆===+，425AEF ABCS S∆∆∴=．21ABC AEFBCFES S S∆∆=-=四边形，即212125ABCS∆=，25ABCS∆∴=．故选：B．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A．4B．2C．3D．23解：如图，过点B作BD AC⊥于点D，此正三棱柱底面ABC∆的边AB在右侧面的投影为BD，2AC =，1AD ∴=，2AB AD ==， 3BD ∴=，左视图矩形的宽为2， ∴左视图的面积为23．故选：D ．10．（4分）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k-+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2解：过点C 作CP ⊥直线l ，交圆C 于Q 点，此时PQ 的值最小， 根据点到直线的距离公式可知：点(1,1)C 到直线l 的距离2351(2)d ==+-． Q 的半径为1， 351PQ ∴=-， 故选：B ．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 3x ≠ ． 解：根据题意得，30x -≠， 解得3x ≠． 故答案为：3x ≠．12．（4分）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 22x y =⎧⎨=⎩ ．解：422x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：36x =，即2x =， 把2x =代入①得：2y =， 则方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩，故答案为：22x y =⎧⎨=⎩13．（4分）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 4m >- ． 解：由已知得：△224(4)41()1640b ac m m =-=--⨯⨯-=+>， 解得：4m >-． 故答案为：4m >-．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 480 人． 解：251560048050+⨯=（人)， 即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人， 故答案为：480．15．（4分）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是4平方分米．解：圆锥的侧面积11224ππ=⨯⨯=平方分米． 故答案为4π．16．（4分）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．解：过点B 作//EF a ． //a b ， ////EF a b ∴．1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠． ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒． 60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒．故答案为：35︒．17．（4分）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 6 ．解：正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交点坐标(6A -，6)，(6C ，6)-， AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，6OB AB OD CD ∴====，11266622ABD S BD AB ∆∴==⨯⨯=， 故答案为：6．18．（4分）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 53 ．解：分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长， 连接OP '，OP ''，OP ，OA 、OB 分别为PP '，PP ''的垂直平分线，(4,3)P ，22435OP OP OP ∴'==''=+=，且POA P OA ∠=∠'，POB P OB ∠=∠''，60AOB AOP BOP ∠=∠+∠=︒， 120P OP ∴∠'''=︒，过O 作OQ P P ⊥'''，可得P Q P Q '=''，30OP Q OP Q ∠'=∠''=︒， 52OQ ∴=，53P Q P Q '=''=532253P P P Q ∴'''='==， 则PMN ∆周长的最小值是3． 故答案为：53三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：01312020830()2-+︒-．解：原式11222=+⨯-112=+- 0=．20．（8分）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 解：原式2212(1)[](2)1(1)(1)(2)a a a a a a a +-=-+++-+11[](2)1(1)(2)a a a a a -=-++++ 2111a a a a +-=-++ 31a =+， 当2a =时， 原式3121==+． 21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = 15 ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ． （3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 解：（1）被调查的总人数为410%40÷=（人)， C ∴等级人数为40(4282)6-++=（人)，补全图形如下：（2）6%100%15%40m =⨯=，即15m =， 2%100%5%40n =⨯=，即5n =； B 等级所占扇形的圆心角度数为36070%252︒⨯=︒，故答案为：15，5，252︒； （3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为82123=． 22．（10分）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下： 作AD BC ⊥于D ，如图： 则90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意得：60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒， 1302BD AB ∴==，330351.950AD BD ==≈>， ∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：30BD =，303AD = 33090BC =⨯=，903060DC BC BD ∴=-=-=，在Rt ADC ∆中，2222(303)6030779.50AC AD DC =+=+=≈（海里）； 答：A ，C 之间的距离约为79.50海里．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，依题意有 1600960010x x =+， 解得2x =，经检验，2x =是原方程的解， 1021012x +=+=．故一次性医用外科口罩的单价是2元，95N 口罩的单价是12元； （2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有 212(2000)10000y y +-，解得1400y ．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．（10分）如图，ABC ∆内接于O ，AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线．（2）已知35BD =5CD =，求O ，E 两点之间的距离．【解答】证明：（1）如图，连接OC ，OE ，OB OC =， OBC OCB ∴∠=∠，AB 是直径， 90ACB ∴∠=︒，E 为BD 的中点， BE CE DE ∴==， ECB EBC ∴∠=∠，BD 与O 相切于点B ， 90ABD ∴∠=︒， 90OBC EBC ∴∠+=︒， 90OCB ECB ∴∠+∠=︒， 90OCE ∴∠=︒OC CE ∴⊥，又OC 为半径，CE ∴是O 的切线；（2）D D ∠=∠，BCD ABD ∠=∠，BCD ABD ∴∆∆∽， ∴BD CD AD BD =， 2BD AD CD ∴=，2(35)5AD ∴=，9AD ∴=，E 为BD 的中点，AO BO =，1922OE AD ∴==， O ∴，E 两点之间的距离为92． 25．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-； （2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴==解得，1m2m =，31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -， 线段PQ的中点为1)-，∴1=-，∴1k =-，∴直线l 的表达式为：(13)y x =-， 当23m =-时，点(3P -，1)2-， 线段PQ 的中点为13(2-，1)-， ∴1312k -=-， ∴13k =+，∴直线l 的解析式为(13)y x =+．综上，直线l 的解析式为(13)y x =-或(13)y x =+．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．（3）设平移的距离为(0662)xcm x <+，两张纸条重叠部分的面积为2scm ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE CD⊥于点F，如图，⊥于点E，DF CB∴∠=∠=︒，BEC DFC90两纸条等宽，BE DF∴==，6BCE DCF∠=∠=︒，45∴==，62BC CD两纸条都是矩形，//∴，//BC AD，AB CD∴四边形ABCD是平行四边形，又BC DC=，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当06x <时，重叠部分为三角形，如图所求，212s x ∴=， 06x <，∴当6x =时，s 取最大值为218s cm =；②当662x <时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm ，上底为(6)x cm -，1(6)66182s x x x ∴=+-⨯=-， 当62x =时，s 取最大值为2(36218)cm -；③当62662x <<+时，重叠部分为五边形，如图所求，(2211626(62)[62]222s s s x x ∴=-=-+-=--++五边形三角形菱形，此时，36218362S -<<五边形； ④当662x =+时，重叠部分为菱形，如图所求，∴2362S cm =菱形， 综上，s 与x 函数关系为：21(06)2s x x =<，或618(662)s x x =-<，或21[(662)]362(6262)2s x x =--++<<+，或362(62)s x ==+． 故s 的最大值为2362cm ．。