(频域图像增强)(精)

其中， F (u) R (u) I (u)
2 2
1/ 2
称为幅度或频率谱
I (u ) (u ) arctan( ) R (u )
称为相位或相位谱
2
定义 P(u) F (u)
称为功率谱
6
二维：
正变换：
1 F (u, v) MN
M 1 N 1 x 0 y 0 j 2 ( ux / M vy / N ) f ( x , y ) e
u 0,1, 2, M 1; v 0,1,, N 1
反变换：
1 f ( x, y) MN
M 1 N 1 x 0 y 0 j 2 ( ux / M vy / N ) F ( u , v ) e
x 0,1, 2, M 1; y 0,1,, N 1
19
20
4.2 平滑的频域滤波器
通过衰减指定图像傅里叶变换中高频 成分的范围来实现对图像平滑的目的。 理想滤波器 巴特沃思滤波器 高斯滤波器
21
理想低通滤波器
1 H (u, v) 0 D(u, v) D0 D(u, v) D0

F (u, v)e
j 2 ( ux vy )
dudv
F (u, v) f ( x, y )
4
离散形式：
正变换：
1 F (u) M
M 1

x 0
f ( x)e j 2 ux / M
u 0,1, 2,M 1
反变换：
f ( x) F (u)e j 2 ux / M
第四章 频域图像增强
傅里叶变换和频域介绍 平滑的频域滤波器 频域锐化滤波器 同态滤波器 傅里叶变换的实现
1
傅里叶在1807年指出任意周期函数都 可以表示为不同频率的正弦/余弦和的形式。
2
4.1傅里叶变换和频域介绍
一维傅里叶变换：
F (u )


f ( x )e
j 2 ux
称为功率谱
8
1 F (0, 0) MN
M 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y )
F (0, 0) 等于图像的平均灰度值， 容易看出， 所以有时也称为频率谱的直流分量。
如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶 变换必然为对称的，即有:
F (u, v) F * (u, v)
dx
一维傅里叶反变换：
f ( x) F (u )e


j 2 ux
du
F (u ) f ( x)
3
二维傅里叶变换：
F (u , v)




f ( x, y )e
j 2 ( ux vy )
dxdy
二维傅里叶反变换：
f ( x, y )



15
空域滤波和频域滤波之间的关系
f ( x, y) h( x, y) f (m, n)h( x m, y n)
m0 n 0 M 1 N 1
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v)
16
频域中的滤波处理
1. 2. 3. 4. 5. 6. 用(-1)x+y乘以输入图像来进行中心位移； 计算图像的DFT，即F(u,v); 用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v); 计算F(u,v)H(u,v)的反DFT; 取(4)步结果中的实部； 用(-1)x+y乘以(5)中的结果。
x y
F (u M / 2,v N / 2)
x y f ( x , y )( 1) 上式说明 的傅里叶变换的原点
被设置在了u=M/2,v=N/2上。
11
12
13
14
卷积定理： 时域（或空域）中的卷积等价于频域的乘积。
f t g t


f x g t x dxe dtdx
j 2 ut
dt
f x g t x e
j 2 ut
F u G u

f x e j 2 ux G u dx
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v)
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f ( x, y)e j 2 (u0 x / M v0 y / N ) F (u u0 , v v0 )
当u0=M/2且v0=N/2时，
e j 2 (u0 x / M v0 y / N ) e j ( x y ) (1) x y
因此有
f ( x, y )(1)
17
H(u,v)称为“滤波器” 。
18
Leabharlann Baidu
频域滤波的思想
在傅里叶变换中，低频主要决定图像 中平滑区域中总体灰度级的显示，而高 频决定图像细节部分，如边缘和噪声。 因此通过对频域信息的处理，可以达到 对图像的某些特征信息的增强或减弱的 目的。 使低频通过而使高频衰减的滤波器称 为“低通滤波器”；使低频衰减而使高 频通过的滤波器称为“高通滤波器”。
u 0
M 1
x 0,1, 2,M 1
注意：正变换前的1/M，有时候放在反变换 前面，还有的时候分解为 1/ M ,放在正反 变换前面。这并不影响问题的本质。
5
1 F (u) M
M 1

x 0
f ( x)e j 2 ux / M
u 0,1, 2,M 1
F (u) F (u) e j (u )
F (u, v) F (u, v)
9
傅里叶变换的平移
二维傅里叶变换的性质： 平移：
f ( x, y)e
j 2 ( u0 x / M v0 y / N )
F (u u0 , v v0 )
f ( x x0 , y y0 ) F (u, v)e j 2 (ux0 / M vy0 / N )
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类似可定义：
F (u, v) F (u, v) e
2 2
j (u , v )
1/ 2
其中 F (u, v) R (u, v) I (u, v) 称为幅度或频率谱
I (u , v) (u, v) arctan( ) R (u , v)
称为相位或相位谱
2
定义P(u, v) F (u, v)