{高中试卷}高一数学下册第一次段考试卷

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高一数学下学期第一次阶段测试试题含解析试题

一中2021年春季学期第一次考试创作人：历恰面日期：2020年1月1日高一年级数学试卷一、单项选择题：此题一共12小题，每一小题4分，一共48分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求的.1.与终边一样的角是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】终边一样的角相差了360°的整数倍，由α＝2021°+k•360°，k∈Z，令k＝﹣6，即可得解．【详解】终边一样的角相差了360°的整数倍，设与2021°角的终边一样的角是α，那么α＝2021°+k•360°，k∈Z，当k＝﹣6时，α＝﹣141°．应选：D．【点睛】此题考察终边一样的角的概念及终边一样的角的表示形式．属于根本知识的考察．2.一个扇形的面积是，它的半径是，那么该扇形圆心角的弧度数是〔〕A. B. 1 C. 2 D.【答案】C【解析】由题意首先求得弧长，然后求解圆心角的弧度数即可.【详解】设扇形的弧长为，由题意可得：,那么该扇形圆心角的弧度数是.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察扇形面积公式，弧度数的定义等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.3.假设角的终边经过点，那么的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，结合三角函数的定义求解三角函数值，然后求解两者之和即可.【详解】由三角函数的定义可得：，，那么.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察三角函数的定义与应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.4.，那么〔〕A. B. 6 C. D.【答案】B【解析】先由诱导公式化简，然后分子分母同除转化为.【详解】解：化简所以应选：B.【点睛】此题考察了诱导公式，同角三角函数的根本关系，齐次弦化切的应用.5.点位于第二象限，那么角所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】通过点所在象限，判断三角函数的符号，推出角所在的象限．【详解】点位于第二象限，可得，，可得，，角所在的象限是第三象限．应选：C．【点睛】此题考察三角函数的符号的判断，是根底题．第一象限所有三角函数值均为正，第二象限正弦为正，其它为负，第三象限正切为正，其它为负，第四象限余弦为正，其它为负.6.，假设角的终边经过点，那么的值是〔〕A. B. C. 4 D. -4【答案】A【解析】【分析】先通过终边上点的坐标求出，然后代入分段函数中求值即可.【详解】解：因为角的终边经过点所以所以所以应选：A.【点睛】此题考察了任意角三角函数的定义，分段函数的计算求值，属于根底题.7.函数的最小正周期为，假设将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，那么的解析式为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的周期求出ω＝2，结合三角函数的平移关系进展求解即可．【详解】∵函数〔ω＞0〕的图象中，最小正周期为π，∴即周期T，那么ω＝2，那么f〔x〕＝sin〔2x〕，将函数f〔x〕的图象向右平移个单位，得到函数g〔x〕，那么g〔x〕＝sin[2〔x〕]＝sin〔2x〕＝sin2x，应选：D．【点睛】此题主要考察三角函数解析式的求解，根据周期公式求出ω的值，以及利用三角函数的平移法那么是解决此题的关键．8.函数，〔，且〕的图象是以下图中的〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】代入和判断函数值得正负即可排除选项，选出答案.【详解】解：当时，，排除B、D；当时，，排除A应选：C.【点睛】此题考察了三角函数的图像的判断，代值排除法会比拟快速.9.函数是R上的偶函数，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】是偶函数说明函数关于对称，也就是当时，函数取最大或者最小值.【详解】解：因为函数是R上的偶函数所以时，所以所以又因为所以应选：C.【点睛】此题考察了的图像与性质，属于根底题.10.化简的结果为〔〕A. －3B. －1C. 1D. 3【答案】A【解析】【分析】先由同角的根本关系化简，结合角所在的象限判断正负处理运算即可.【详解】解：因为所以原式应选：A.【点睛】此题考察了同角的根本关系，三角函数的符号的判断，属于根底题.11.同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦、余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确即可.【详解】函数的最小正周期为，不满足①，排除A；函数的最小正周期为，满足①，时，获得最大值，是的一条对称轴，满足②；又时，单调递增，满足③，满足题意；函数在，即时单调递减，不满足③，排除C；时，不是最值，不是的一条对称轴，不满足②，排除D，应选B.【点睛】此题主要考察三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.12.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为〔〕A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别作出两个函数的图象，根据图象的对称性求得所有交点横坐标的和．【详解】在同一坐标系内作出函数y与函数y＝3sinπx〔﹣4≤x≤2〕的图象，如下图，那么函数y的图象关于点〔﹣1，0〕对称，同时点〔﹣1，0〕也是函数y＝2sinπx〔﹣4≤x≤2〕的对称中心；由图象可知，两个函数在[﹣4，2]上一共有4个交点，且两两关于点〔﹣1，0〕对称；设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，那么x1+x2＝2×〔﹣1〕＝﹣2，∴4个交点的横坐标之和为2×〔﹣2〕＝﹣4．应选：A．【点睛】此题主要考察了两个函数交点横坐标求和的计算问题，根据函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分13.__．【答案】-1；【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角三角函数值求解即可.【详解】因为=故答案为-1.【点睛】此题考察了诱导公式的应用，考察了特殊角的三角函数值，属于根底题.14.，那么__．【答案】【解析】分析：先对弦化切，再代入求结果.详解：因为，所以点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑〞.(2)变名：通过变换函数名称到达减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦〞、“升幂与降幂〞等.(3)变式：根据式子的构造特征进展变形，使其更贴近某个公式或者某个期待的目的，其手法通常有：“常值代换〞、“逆用变用公式〞、“通分约分〞、“分解与组合〞、“配方与平方〞等.15.，那么__．【答案】【解析】。

高一数学下学期第一次阶段考试试题新人教A版

泰宁一中高一下第一次阶段考试数学试题（时间：120分钟；满分150分）一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分） 1、在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（***）A 1B 1-C 32D 32- 2、以下命题正确的是（***）A ．0>>b a ，bd ac d c >⇒<<0B ．ba b a 11<⇒> C ．b a >，d b c a d c ->-⇒< D ．22bc ac b a >⇒> 3、在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（***） A 1:2:3 B 3:2:1 C 32 D 23 4、在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（***）A 06030或 B 06045或 C 060120或 D 015030或 5、边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（***） A 090 B 0120 C 0135 D 01506、数列{}n a 中，a 1=－6，且a n +1 =a n + 3，则这个数列的第30项为（***） A ．81 B ．1125 C ．87 D ．997、在等比数列｛a n ｝中，a 3 a 9＝3，则a 6 等于（***）A ． 3B ．±3C ．3±D ．38、已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为（***） A ．7B ．15C ．30D ．319.若实数a 、b 满足a ＋b ＝2，是3a+3b的最小值是（***） A ．18 B ．6C ．23D ．24310、化简1111122334910++++⨯⨯⨯⨯得（***） A ．89 B ．910 C ．1011D ．111、已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )．A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 12、若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（***）A 、4005B 、4006C 、4007D 、4008 二、填空题（每题4分共计16分）13、在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222***** 14、已知△ABC 的面积为21，且b ＝2，c ＝1 ，则A ＝***** 15、已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围为*****16.等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列{(12)a n }为等比数列；②若91272=++a a a ，则3913=S ； ③d n n na S n n 2)1(--=； ④若0>d ，则n S 一定有最小值．其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号)．三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17、（本题满分12分）在△ABC 中，3=b ， B=060，c =1，求a 和A 、C.18、（本题满分12分）在△ABC 中，a ＋b ＝23，ab ＝2,，且角C 的度数为120°(1) 求△ABC 的面积 (2) 求边c 的长20、（本题满分12分）已知}{n a 是等差数列，且11231,6a a a a =++= （1）求数列}{n a 的通项公式及前n 项的和n S（2）令2nn n b a =，求}{n b 的前n 项的和n T21、（本题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为(10)x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用建筑总面积）泰宁一中2012—2013下学期第一次阶段考试高一数学试题参考答案解得030=C 或1500，因为 A+B+C=1800，所以 C=1500不合题意，舍去。

高一数学下学期第一次段考试题 2

分宜中学2021-2021学年度下学期高一年级第一次段考数学试卷一、单项选择题(每一小题5分，一共60分〕 1．以下角终边位于第二象限的是〔〕A ．420B ．860C ．1060D ．12602．扇形的弧长为4 cm ，圆心角为2 弧度，那么该扇形的面积为〔〕A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 23．在平面直角坐标系中，角始边与x 轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且终边上有一点P 坐标为，那么A ．1313 B ．1313-C ．13134 D ．13134-4．θ为锐角，那么)2sin()sin(21θπθπ--+=〔〕A ．θθsin cos -B ．θθcos sin -C ．)cos (sin θθ-±D ．θθcos sin + 5．以下函数的最小正周期为π且图象关于直线3π=x 对称的是〔〕A ．)32sin(2π+=x y B ．)62sin(2π-=x y C ．)32sin(2π+=x y D ．)32sin(2π-=x y6．要得到函数)32sin(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象〔〕A ．先向左平移3π个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向左平移6π个单位长度，再横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标保持不变 C ．先横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再向左平移3π个单位长度D ．先横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标保持不变，再向左平移6π个单位长度 7．函数1cos 2+=x y 的定义域是〔〕A ．)(32,32Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B ．)(322,32Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ C ．)(62,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ D ．)(322,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ8．43)2sin(=+βα，31cos =β，βα,为锐角，那么)sin(βα+的值是〔〕 A ．121423+ B ．121423- C ．122273+ D ．122273-9．函数)3cos(2)(x x f -=π的单调递增区间是〔〕A ．)(342,32Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ B ．)(322,32Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C ．)(32,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ D ．)(342,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 10．在锐角ABC ∆中，C B A >>，那么B cos 的取值范围为〔〕A. )22,0( B.)22,21( C.)21,0( D.)23,21(11．假设33)6sin(=-απ，那么=+)26sin(απ〔〕A ．31B ．322 C ． 33 D ．3612．假设在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内有两个不同的实数x 满足m x x =+2sin 32cos ，那么实数m 的取值范围是〔〕A ．21≤<mB ．21<≤mC ．21<≤-mD ．21≤<-m二、填空题(每一小题5分，一共20分〕 13．假设31sin =α，那么=+)2cos(απ______．14．53)2sin(-=-απ，且πα<<0，那么________． 15．函数)(sin 2cos R y ∈+=θθθ的值域是_________.16．设函数)42sin()(π-=x x f ，那么以下结论正确的选项是______.(写出所有正确命题的序号)函数)(x f y =的递减区间为)(87,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；函数)(x f y =的图象可由x y 2sin =的图象向右平移4π得到；函数)(x f y =的图象的一条对称轴方程为8π=x ；假设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,247ππx ，那么)(x f 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,22．三、解答题〔一共70分〕 17．〔本小题10分〕扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？并求扇形面积的最大值。

高一数学下学期第一阶段考试试卷

高一数学第二学期第一阶段考试试卷（本卷满分160分，时间：120分钟）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 等差数列{}n a 中，44a =，则26a a +=__________2. 在△ABC 中，若a =2 ,b =,030A = , 则B 等于3. 已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为4. 若数列{}n a 的前n 项和2*101()n S n n n N =-+∈，则此数列的通项公式为 _____5. 等比数列{a n }的前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则它的前3n 项的和为_________6. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=7．已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比1≠q ，设293a a P +=，75a a Q •=，则P 与Q 的大小关系是_____________________8. 在∆ABC 中,60A ︒∠=,3AC =,那么BC 的长度为． 9. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是____________10.若不等式897x +<和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则a －b 的值为11. 等差数列}{n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_______________.12. 等差数列{a n } 中，S n 是它的前n 项和，且6778,S S S S <>，则①此数列的公差d<0 ②S 9<S 6 ③a 7是各项中最大的一项 ④S 7一定是S n 中的最大值。

其中正确的是________(填序号)13．已知a ＞0，b ＞0，且2212b a +=，则的最大值是14．如图，在面积为1的正111A B C ∆内作正222A B C ∆，使12212A A A B =，12212B B B C =，12212C C C A =，依此类推，在正222A B C ∆内再作正333C B A ∆，……。

高一数学下学期第一次阶段性测试试题含解析试题

第三中学2021-2021学年高一数学下学期第一次阶段性测试试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.中，假设，，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：在中，由正弦定理可知，∴.考点：正弦定理的应用.中，以下结论错误的选项是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项.【详解】画出图像如以下图所示.对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法那么可知，，结论正确.对于C选项，由于，故结论错误.对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.应选C.【点睛】本小题主要考察向量加法运算，考察平行四边形的几何性质，属于根底题.中，根据以下条件解三角形，其中有两个解的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判断方法，判断A,B两个选项有一个解.根据判断C选项有一个解.根据判断D选项有两个解.【详解】根据“有两个角两角相等，且有一边相等的两个三角形全等〞可知A选项有一个解.根据“两边对应相等，且这两边的夹角相等，那么这两个三角形全等〞可知B选项有一个解.由于为锐角，且，故C选项有一个解.对于D选项，由于，所以D选项有两个解.应选B.【点睛】本小题主要考察解三角形过程中，三角形解得个数的判断，属于中档题.是两个不一共线的向量，假设那么〔〕A. 三点一共线B. 三点一共线C. 三点一共线D. 三点一共线【答案】A【解析】因为+==2，故三点一共线.故答案为：A.与的夹角为120°，那么〔〕A. 5B. 4C. 3D. 1【答案】B【解析】即解得〔舍去〕应选B6.的三内角所对边的长分别为设向量,,假设,那么角的大小为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为两向量平行，所以等价于，整理为，所以，所以角考点：1．向量平行的坐标表示；2．余弦定理．7.．与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，得，，，根据向量数量积的计算公式，得，解得，又与不一共线，那么，所以正确答案为A,中，点在边上，且，，那么的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，利用向量减法的运算，表示出，由此求得的值，进而求得的值.【详解】依题意，故，故.应选C.【点睛】本小题主要考察向量减法运算，考察平面向量根本定理，属于根底题.中，，那么的形状是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和二倍角公式，求得的值，由此判断角的大小，进而判断出角的大小，从而判断出三角形的形状.【详解】由正弦定理得，由于，故,，由于，故，故，所以三角形为钝角三角形.应选C.【点睛】本小题主要考察正弦定理，考察二倍角公式，考察三角形形状的判断，属于中档题.10.是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足，那么的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，设出的坐标，代入，利用模的坐标表示出，进而求得的最大值.【详解】以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，如以下图所示，，设，那么有得，化简得，故向量对应的点在以为圆心，半径为的圆上.由于圆过原点，故圆上的点到原点的间隔的最大值为直径，也即的最大值为.应选A.【点睛】本小题主要考察平面向量的坐标运算，考察数形结合的数学思想方法，考察运算求解才能以及化归与转化的数学思想方法，属于中档题.中,,分别为所对边,那么为A. B. 1 C. 或者1 D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】将通分后，利用余弦定理化简，求得化简的结果.【详解】由余弦定理得.由通分得，应选B.【点睛】本小题主要考察余弦定理的运用，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，那么点为三角形的A. 外心B. 垂心C. 重心D. 内心【答案】D【解析】【分析】在上分别取单位向量，记，那么平分，用表示出，代入条件所给等式，用表示出，那么可证明三点一共线，即平分.同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.【详解】在，上分别取点使得，那么，作菱形，那么由所以为的平分线.因为，所以，所以，所以三点一共线，即在的平分线上. .同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.，应选D.【点睛】本小题主要考察平面向量的加法运算，考察三点一共线的证明，考察数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分.，，假设，那么_____________．【答案】【解析】【分析】先求得，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，.【点睛】本小题主要考察平面向量坐标的加法运算，考察两个向量垂直的坐标表示，属于根底题.所在的平面内有一点，假设，那么的面积与的面积之比是_____________．【答案】【解析】【分析】利用向量加法和减法运算，证得是线段上，靠近点的四等分点，由此求得两个三角形面积的比值.【详解】依题意，所以，即，所以是线段上，靠近点的四等分点，故两个三角形面积的比等于.【点睛】本小题主要考察平面向量加法和减法的运算，考察平面向量方向相反的表示，属于根底题.中,内角所对应的边分别为，假设，，那么的面积为_________.【答案】【解析】分析：由，，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式进展求解即可.详解：因为，，所以由余弦定理得：，即，因此的面积为，故答案为.点睛：此题主要考察余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：〔1〕；〔2〕，同时还要纯熟掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.中，内角，，的对边分别为，，，为边上的高，给出以下结论：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．其中正确的序号是__________．【答案】〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕【解析】【分析】利用向量加法、减法和数量积的运算，结合余弦定理，对四个结论逐一分析，由此得出正确的序号.【详解】由于，故〔1〕正确.由于，故〔2〕正确.由于，且，故〔3〕正确.由于，故〔4〕正确.综上所述，正确的序号是〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕.【点睛】本小题主要考察平面向量加法、减法运算，考察平面向量数量积运算，考察两个向量垂直的表示，考察余弦定理，属于中档题.三、解答题：本大题一一共4小题，一共40分.解容许写出文字说明,证明过程或者演算步骤.中，内角的对边分别为，，，．〔1〕求的值；〔2〕假设，,求的面积．【答案】〔1〕2；〔2〕【解析】【分析】〔1〕通过将条件转化为，然后利用三角变换可得结果；〔2〕由〔1〕得，由余弦定理得，可解得，，从而解得三角形的面积。

辽宁省沈阳市高一下学期第一次阶段测试数学试题(解析版)

高一下学期第一次阶段测试数学试题一、单选题1．的值是（）19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭A ． B ．CD ． 1212-【答案】A【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.【详解】解：．19191sin sin sin 3sin 66662πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A ．2．已知，则（） 11cos 22cos()παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+2sin cos sin cos αααα-=+A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】D【分析】利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。

【详解】由题意，则． sin tan 2cos ααα-==--2sin cos 2tan 15sin cos tan 1αααααα--==++故选：D ﹒ 3．设，，则“”是“”的（） π02α<<02βπ<<sin2sin2αβ=αβ=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合正弦函数在上图像的性质，先推出的等价关系，然后判断其和[0,π]sin2sin2αβ=的关系后进行分析.αβ=【详解】，，则，，由，结合正弦函数图像π02α<<02βπ<<02πα<<02βπ<<sin2sin2αβ=在上的性质可知，或，所以不一定推出，但可[0,π]22αβ=22παβ+=sin2sin2αβ=αβ=αβ=以推出，于是“”是“”的必要不充分条件. sin2sin2αβ=sin2sin2αβ=αβ=故选：B4．若函数是奇函数，且在区间是减函数，则的值可以是()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦φA ．B ．C ．D ．3π-23π53π3π【答案】B【详解】因为函数是奇函数，所以，，则，故排()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3πφ+πk =Z k ∈ππ3k φ=-除选项D ，又因为在区间是减函数，所以，解得，即0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦π5ππ3π[,[,]3622φφ++⊆π2π63φ≤≤；故选B.2π3φ=点睛：判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如：若为奇函数，则； sin()y x ωϕ=+π,Z k k ϕ=∈若为偶函数，则；sin()y x ωϕ=+ππ+,Z 2k k ϕ=∈若为偶函数，则； cos()y x ωϕ=+π,Z k k ϕ=∈若为奇函数，则.cos()y x ωϕ=+ππ+,Z 2k k ϕ=∈5．已知x ∈[0，π]，f (x )＝sin(cos x )的最大值为a ，最小值为b ，g (x )＝cos(sin x )的最大值为c ，最小值为d ，则( ) A ．b <d <a <c B ．d <b <c <a C ．b <d <c <a D ．d <b <a <c【答案】A【详解】 [][][][][]0,,cos 1,1,sin 0,1,sin(cos )sin1,sin1,cos(sin )cos1,1x x x x x π∈∈-∈∈-∈，又，则 sin1,sin1,1,cos1a b c d ==-==14π>cos1sin1<<则b<d<a<c6．将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12函数的图象，若，则的最小值为( )()y g x =()()()12121g x g x x x =-≠122x x+A ．B ．C ．D ．3π23π12π6π【答案】D【分析】求出g (x )解析式，作出g (x )图像，根据图像即可求解﹒【详解】由题得，，，()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()max 1g x =()min 1g x =-∵，∴＝1且＝－1或且＝1， ()()()12121g x g x x x =-≠()1g x ()2g x ()11g x =-()2g x 作的图象，()g x∴的最小值为＝， 122x x +512122ππ-＋6π故选：D ．7．如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将()()cos f x A x ωϕ=-0A >0ω>2πϕ<图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函()y f x =328π数的图象，则（）()y g x =A ．函数在上单调递减B ．点为图象的一个对称中心()g x 513,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ3,08π⎛⎫⎪⎝⎭()g x C ．直线为图象的一条对称轴D ．函数在上单调递增2x π=()g x ()g x 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先由函数的图象求出的解析式，再结合题意求出，结合正弦函数的图()f x ()2sin 2g x x =象性质即可求解【详解】由图象知，2A =又，所以的一个最低点为， 2563212πππ+=()f x 5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭而的最小正周期为， ()f x 22033T ππ=-=所以 23Tπω==又，则， 2cos 35512122f ππϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝= ⎪⎭⎛⎫⎝⎭2os 315c 1ϕπ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭所以,即， ()524k k Z ϕπππ-=+∈()24k k Z πϕπ=-∈又，所以，2πϕ<4πϕ=所以，()2cos 34⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象，()y f x =322cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再把所得曲线向右平移个单位长度得，8π2cos 22sin 22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y x x π即. ()2sin 2g x x =由得，()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以在上单调递增，()g x ,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈在上单调递减， 3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈当时，可知在递增，在递减，所以错误； 513,2424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x 5,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A因为 3332sin 22sin 884g p p pæöç÷=´=ç÷èø所以不是图象的一个对称中心，故B 错误；3,08π⎛⎫⎪⎝⎭()g x 因为， 2sin 22s 2i 02n g p p p æöç÷=´==ç÷èø所以直线不是图象的一条对称轴，故C 错误；2x π=()g x 因为在上单调递增，()g x 35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以函数在上单调递增，故正确；()g x 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 故选：.D 8．如图所示，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点A P A 所旋转过的的长为，弦的长为，则函数的图象大致是（） P APl AP d ()d f l =A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】取的中点为，设，在直角三角形求出的表达式，根据弧长公式求出的AP D DOA θ∠=d l 表达式，再用表示，再根据解析式得答案. l d 【详解】取的中点为，设，AP D DOA θ∠=则，， 2sin d θ=22l R θθ==所以，即，根据正弦函数的图象知，C 中的图象符合解析式. 12l θ=⋅2sin 2ld =故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的图象，考查弧长公式，其中表示出弦长和弧长的解析式是解题的d l 关键，属于基础题.二、多选题9．下列不等关系成立的是（）． A ． B ． tan1sin1cos1>>tan1cos1sin1>>C ． D ．tan 4sin 4cos 4>>tan 4cos 4sin 4>>【答案】AD【分析】.AB 选项，由，结合571602284240o o o o <<⇒<<1451o t an t an >=单调性可判断；CD 选项，由，结合单sin ,cos y x y x ==4044t an si n ,cos >>sin ,cos y x y x ==调性可判断.【详解】.571602284240o o o o <<⇒<<AB 选项，因为在上单调递增，所以.tan y x =π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭1451o t an t an >=因为在上单调递增，在上单调递减，sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦cos y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以. 145451o o si n si n cos cos >=>综上，，故A 正确，B 错误；tan1sin1cos1>>CD 选项，，则. 342ππ,⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭4044t an si n ,cos >>因为在上单调递减，在上单调递增， sin y x =32ππ,⎡⎫⎪⎢⎣⎭cos y x =32ππ,⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以. 42252254o o si n si n cos cos <=<综上，，故D 正确，C 错误. tan 4cos 4sin 4>>故选：AD.10．给出的下列命题中正确的是（）． A ．函数是奇函数3πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．若，是第一象限角，且，则αβαβ<tan tan αβ<C ．在区间上的最小值是 32sin 2y x =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2-D ．是函数的一条对称轴π8x =5sin 2π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】A 选项，由奇函数定义可判断选项正误；B 选项，由，即可判断选项正2361o o t an t an >误；C 选项，，则，后由单调性可判断选项正误；D 选项，将ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦3π3π,224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦cos y x =代入，验证其是否等于，即可判断选项正误.π8x =52π4x +2ππ,Z k k +∈【详解】A 选项，设，则，()3πcos 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()3sin 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，且可知，函数是奇函数，故A 正确；()()f x f x -=-x ∈R 3πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B 选项，均为第一象限角，但，故B 错误；2361o o ,2361o o t an t an >C 选项，，则，因为在上递增，在上单调递ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦3π3π,224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin y x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦减，所以，，故C 错误； max π2sin 22y ==322224m i n ππmi n si n ,si n y ⎧⎫⎛⎫=-=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭D 选项，由可知，是函数的一条对称轴，故D 正确.532842πππ⨯+=π8x =5sin 2π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：AD.11．已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s （cm ）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（）．π2sin 4s t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．小球开始时在平衡位置上方2cm 处 B ．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm 处 C ．经过小球重复振动一次 2π s D ．小球振动的频率为 12π【答案】BCD【分析】A 选项，即判断时，s 的值是否为2； 0=t B 选项，即判断s 的最小值是否为；2-CD 选项，由周期，频率计算公式可判断选项正误.【详解】A 选项，时，cm 处，故A 错0=t π2sin 4s ⎛⎫== ⎪⎝⎭误；B 选项，由题可知s 的最小值为，即小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm 处，故B 正确； 2-C 选项，由题可知，最小正周期为，即经过小球重复振动一次，故C 正确； 2π2π sD 选项，由C 选项分析可知周期为，则振动的频率为，故D 正确. 2π12π故选：BCD12．函数的部分图象如图所示，点P ，Q ，R 在函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()f x 的图象上，坐标分别为，，，是以PR 为底边的等腰三角形，将函数()1,A --()1,0()0,0x PQR 的图象向右平移5个单位后，得到函数的图象，则下列关于的说法中正确的是()f x ()g x ()g x （）．A ．是偶函数()g x B ．在区间上是减函数 ()g x []0,4C ．的图象关于直线对称 ()g x 2x =D ．在上的最小值为()g x []1,3-【答案】ABD【分析】由函数的部分图像求出函数解析式，写出的解析式，判断选项中的命题是否正()f x ()g x 确.【详解】由函数的部分图象知，()()sin f x A x =+ωϕ，所以，解得；24T =2π8ω=π4ω=,作轴于点，4PQ QR == PH x ⊥H则，时，，，2QH =A \=1x =0x ωϕ+=π4ϕ∴=-，，()ππ44⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭f x x ()()()πππ55444⎛⎫∴=-=--= ⎪⎝⎭g x f x x x 根据余弦函数的性质可知是偶函数，A 正确； ()g x 时，，是单调减函数，B 正确； []0,4x ∈[]ππ40,∈x ()g x ∴时，，的图象不关于直线对称，C 错误； 2x =()π022==g ()g x 2x =时，，，，D 正确； []13,x ∈-ππ3π444,⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x πc os 14⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ()⎡∈⎣∴g x故选：ABD.三、填空题13．已知，且为第四象限角，则______．()1cos 553α-=-α()sin 125α+=【分析】先求出，再求的值. ()sin 55α-= ()sin 125α+【详解】因为，且为第四象限角，()1cos 5503α-=-<α所以是第三象限角，55α- 所以()sin 55α-==所以．()()()sin 125sin 18055sin 55ααα⎡⎤+=+-=--=⎣⎦【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．函数______． y 【答案】()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】根据函数定义域的求法进行求解即可.【详解】根据题意，得，()tan 1πtan 06πππZ 62x x x k k ⎧⎪≥⎪⎪⎛⎫+≠⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≠+∈⎪⎩解得，()()()ππππZ 42ππZ 6ππZ 3k x k k x k k x k k ⎧+≤<+∈⎪⎪⎪≠-+∈⎨⎪⎪≠+∈⎪⎩所以函数的定义域为.()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭故答案为：.()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭15．已知，则______．()()ππsin 24n f n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ()()()()1232023f f f f ++++= 【答案】【分析】利用正弦函数的周期性，诱导公式，求得式子的值.【详解】，()()ππsin 24+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ n f n n N 的周期为，()f n ∴2π4π2=， ()()()()12340+++== f f f f 则()()()()1232023f f f f ++++()()()()()()()5051234202120222023=⨯++++++⎡⎤⎣⎦f f f f f f f()()()123=++==f f f 故答案为：.16．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半，(单位：)，则三个圆之间空隙部分的面积为______.1+31cm 2cm 【答案】【分析】由已知可得,,得到，，求出，AB =2BC =4AC cm ==2B π∠,63A C ππ∠=∠=ABC S A中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三BC 个扇形的面积即可得到答案. 【详解】如图，的半径为cm, 的半径为cm, 的半径为cm,A )1+B)1-C (3,,11AB ∴==132cm BC =+=, ,134AC cm =+=222=2AB BC AC B π∴+∠=，又,可得,2AC BC =,63A C ππ∠=∠=， )2112cm 22ABC S BC AB =⋅=⨯⨯= 中的小扇形的面积为，A ()2211)cm 26π⨯⨯+=中的小扇形的面积为，B ()2211)cm 22π⨯⨯-=中的小扇形的面积为，C(()221(32cm 23ππ⨯⨯=则三个圆之间空隙部分的面积为(()22cm π-=故答案为：【点睛】本题考查圆与圆相切的性质，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.四、解答题17．已知是第三象限角，且.α()()()()()sin cos 5tan 2cos tan 2f αππαπααπαπα----=⎛⎫--- ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)若，求的值. ()tan 2πα-=-()f α【答案】(1) ()αcos αf =-(2)()f α【分析】（1）直接利用诱导公式可化简；()f α（2）利用同角三角函数的基本关系可求得的值，即可得出的值. cos α()f α【详解】（1）解：为第三象限角，则αQ .()()()()()sin cos tan sin cos cos sin tan sin f παπααααααααα---==-=--（2）解：，所以，，()tan tan 2παα-=-=- tan 2α=由已知可得，解得22sin tan 2cos sin cos 1cos 0αααααα⎧==⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩cos α=()cos f αα=-=18．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，再从()2cos()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭2π条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知．条件①：函数的图象关于直线()f x 对称；条件②：函数的图象关于点对称；条件③：对任意实数x ，3x π=-()f x ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立．5()6f x f π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭(1)求出的解析式； ()f x (2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根()f x 12π()y g x =()g x a =2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求的值及的取值范围．αβαβ+a 【答案】(1)；()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)，76παβ+=2a -<≤【分析】（1）通过相邻对称中心的距离可得周期，进而可得，若选条件①可得ω，则可求出，则的解析式可得；选条件②，将代入解析式，可ππ2π122k ϕ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭ϕ()f x ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭得，解出，即得答案；选条件③，可知，解出，即得答案； π2π6k ϕ⨯+=ϕ526k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ϕ（2）先根据平移变换求出，再通过整体法，利用正弦函数的图象和性质可得的()y g x =()y g x =最小值，则实数的取值范围可求.m 【详解】（1）解：因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，()2cos()f x x ωϕ=+2π所以，即周期，所以．所以． 22T π=T π=22T πω==()2cos(2)f x x ϕ=+若选择①：因为函数的图象关于直线轴对称，()f x 3x π=-所以，，即，．23k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭若选择②，函数的图象关于点对称，所以，()f x ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭()2cos 2()01212f ππϕ⎡⎤-=⨯-+=⎢⎥⎣⎦所以，，即，．2+122k ππϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭若选③：对任意实数x ，恒成立，所以，，即5()6f x f π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭526k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈53k πϕπ=+，． Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）解：将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，所以， ()f x 12π()y g x =()2cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦672,66x πππ⎡⎤⎢⎣⎦-∈当时，有最小值且关于对称，所以，26x ππ-=()g x 2-712x π=772126ππαβ+=⨯=，．6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭2a ∴-<≤19．设函数()()2cos 2103f x a x a π⎛⎫=++≠ ⎪⎝⎭．（1）求函数的对称轴方程；()f x （2）若时，的最大值为3，求a 的值．02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 【答案】（1）；（2）或.,6x k k Z ππ=-+∈1a =-2a =【分析】（1）利用整体代入法，令，即解得对称轴的方程；22,3x k k Z ππ+=∈（2）先计算时，，再讨论和时的最大值，令其等于02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0a >a<0()f x 3，解方程即得结果. 【详解】解：（1）令，解得，22,3x k k Z ππ+=∈,6x k k Z ππ=-+∈故函数的对称轴方程为；()f x ,6x k k Z ππ=-+∈（2）时，，故，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故时，时，，解得，0a >1cos 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()max 12132f x a =⨯+=2a =时，时，，解得， a<0cos 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()max 213f x a =-+=1a =-综上可知，或.1a =-2a =20．已知定义在上单调减函数使得对一切实数x 都成立，(],3-∞()f x ()()21sin 2cos f x f a x +≤-求a 的范围．【答案】1a ≤-【分析】由题可得对一切实数成立，则222cos 32cos 31sin 2cos 1sin 2cos a x a x x a x a x x-≤≤+⎧⎧⇒⎨⎨+≥-≤++⎩⎩.{}22312m i n cos ,si n cos a x x x ≤+++【详解】因定义在上单调减函数使得对一切实数x 都成(],3-∞()f x ()()21sin 2cos f x f a x +≤-立，则对一切实数成立.对于，当222cos 32cos 31sin 2cos 1sin 2cos a x a x x a x a x x-≤≤+⎧⎧⇒⎨⎨+≥-≤++⎩⎩23cos x +时，其有最小值，2π+π,Z x k k =∈1故要使对一切实数成立，需；23cos a x ≤+1a ≤设， ()()222122213si n cos cos cos cos g x x x x x x =++=-++=--+则当，即时，有最小值，为， cos 1x =-2π+π,Z x k k =∈()g x 1-故要使对一切实数成立，需. 21sin 2cos a x x ≤++1a ≤-综上可知，.1a ≤-21．游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心距离地面，半径（示意图如O 40.5m 40m 下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，30(1)求出其与地面的距离与时间的函数关系的解析式；h t(2)若距离地面高度超过时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大205m .约有多少“最佳观景时间”？【答案】(1)；()()40sin 40.53002h t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭(2). 40min【分析】（1）设，根据已知条件求出、、的值，可得出()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>A ωϕ函数的解析式；()h t （2）解不等式，即可得解.()20.5h t >【详解】（1）解：设，则，， ()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>40A =40.5b =所以，()()()40sin 40.50h t t ωϕω=++>第一次到最高点旋转了半周期，所以 ()260min /min 30T rad T ππω=⇒==游客从最低点登上，所以，故2πϕ=-()()40sin 40.53002h t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭（或）.()40cos40.530h t t π=-+()0t ≥（2）解：令，则，()20.5h t >40sin 40.520.5302t ππ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭1sin 3022t ππ⎛⎫⇒->- ⎪⎝⎭（或），1cos 302t π<所以， 72263026k t k ππππππ-+<-<+()5223303k t k k πππππ⇒+<<+∈Z ，()10605060k t k k ⇒+<<+∈Z 所以，()()5060106040min k k +-+=因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有有最佳观景时间.40min 22．已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是.若将()()()sin 0,0πf x x b ωϕωϕ=+-><<π2的图像先向右平移为奇函()f x π6()g x 数.(1)求的解析式；()f x (2)求图像的对称轴及的单调区间；()f x ()f x(3)若对任意，恒成立，求实数m 的取值范围.0,3x π⎡⎤∈⎢⎣⎦()()()2220f x m f x m -+++≤【答案】(1)()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)对称轴为直线，，增区间为，减区间为ππ122k x =+Z k ∈()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3) ⎛-∞ ⎝【分析】（1）由正弦函数的周期公式求得，再根据函数是奇函数求得b ，得函数的解ω()g x ()f x 析式；（2）令，，，，ππ2π32x k +=+Z k ∈πππ2π22π232k x k -+≤+≤+Z k ∈ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，，分别求解可得答案；Z k ∈（3）根据正弦函数的性质求得再将问题转化为恒()11f x -≤-≤()()111m f x f x ≤+--成立.令，，由函数的单调性求得的范围，由此求得()1t f x =-1y t t =+1y t t=+()()111f x f x +--的范围.m 【详解】（1）解：因为，所以，所以. 2ππ22ω=⨯2ω=()()sin 2f x x b ϕ=+-又因为，()πsin 26g x x b ϕ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0πϕ<<所以且，又， ()π+32k k Z πϕπ-+=∈0b -=0πϕ<<所以，， π3ϕ=b所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）解：令，，得；ππ2π32x k +=+Z k ∈ππ,Z 122k x k =+∈令，，得； πππ2π22π232k x k -+≤+≤+Z k ∈5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈令，，得，. ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+Z k ∈π7πππ1212k x k +≤≤+Z k ∈所以函数图像的对称轴为直线，. ()f x ππ122k x =+Z k ∈函数的增区间为，减区间为. ()f x ()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）解：因为，所以，所以，所以π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π233x ππ≤+≤π0sin 213x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭()1f x ≤≤，所以()11f x -≤-≤要使恒成立，即恒成立.()()()2220f x m f x m -+++≤()()111m f x f x ≤+--令，，则在上单调递增， ()1t f x =-1y t t =+1y t t=+()1-∞-，又，即()11f x -≤-≤(()()1111f x f x -≤+-≤-()()111f x f x ≤+-≤-所以 m ≤即m 的取值范围是. ⎛-∞ ⎝。

2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题的。

1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.已知，则( )A.B. C.D.3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )A. B.C.D.4.函数的图象与直线为常数的交点最多有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数x 的值为A. 1B.C. 1或D.或6.下列命题：①若，则②若，，则③的充要条件是且④若，，则⑤若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.其中真命题的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 57.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，，，，则向量的模为( )A. B. 2 C. D. 48.设函数，则的最小正周期( )A. 与a有关，且与b有关B. 与a有关，但与b无关C. 与a无关，且与b无关D. 与a无关，但与b有关二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，，且，下列结论正确的是( )A. B.C. D. 的最小值为810.要得到函数的图象，可以将函数的图象得到( )A. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位C. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位D. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍11.已知，下列关系可能成立的有( )A. B. C. D.12.下列论断中，正确的有( )A. 中，若A为钝角，则B. 若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数C. 若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象也关于直线对称D. 向量，，满足，则或三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高一数学下学期第一次段考试卷(含解析)

2021年高一数学下学期第一次段考试卷（含解析）一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共计50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．sin2cos3的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在2．函数y=2sinx在区间[，）的值域是（）A．[﹣，）B．（﹣，2] C．[，] D．[﹣，2）3．终边与x轴重合的角α的集合是（）A．{α|α=2kπ，k∈Z}B．{α|α=kπ，k∈Z} C．{α|α=，k∈Z}D．{α|α=kπ+，k∈Z}4．函数在其定义域上是（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数5．若﹣＜α＜0，则点P（tanα，cosα）位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知f（α）=，则f（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣ C．D．7．已知α为第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限8．已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A．2B． 4 C． 6 D．89．已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx﹣β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f=﹣1，则f等于（）A．﹣1 B．0 C． 1 D．210．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的解析式为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）11．在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为．12．y=的定义域是．13．不等式1+tanx≥0的解集是．14．函数f（x）是周期为π的偶函数，且当时，，则的值是．三、解答题：（本大题共6小题，计80分）15．已知=﹣1，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin αcos α+2．16．化简（1）；（2）．17．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，求的值．18．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=．（1）求tanα的值；（2）把用tanα表示出来，并求其值．19．求函数y=﹣cos2x++的最大值及最小值，并写出x取何值时函数有最大值和最小值．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为，最小值为﹣2，图象过（，0），求该函数的解析式．广东省揭阳三中xx学年高一下学期第一次段考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共计50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．sin2cos3的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在考点：三角函数值的符号．专题：规律型．分析：确定2弧度，3弧度在第二象限，再根据三角函数在各象限的符号规律，即可求得结论．解答：解：因为2弧度，3弧度在第二象限，所以sin2＞0，cos3＜0∴sin2cos3＜0故选A．点评：本题考查三角函数的符号，掌握规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦，是解题的关键．2．函数y=2sinx在区间[，）的值域是（）A．[﹣，）B．（﹣，2] C．[，] D．[﹣，2）考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的图象和单调性的性质进行求解即可．解答：解：∵≤x＜，∴当x=时，函数y=2sinx取得最大值，此时最大值为2，当x=时，函数y=2sinx取得最小值，此时最小值为2×=﹣，∵≤x＜，∴﹣＜y≤2，即函数的值域为（﹣，2]，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的值域的求解，根据正弦函数的图象和性质是解决本题的关键．3．终边与x轴重合的角α的集合是（）A．{α|α=2kπ，k∈Z}B．{α|α=kπ，k∈Z} C．{α|α=，k∈Z}D．{α|α=kπ+，k∈Z}考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：终边在x轴的角只有和x轴正半轴或者负半轴重合解答：解：设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α=2kπ，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α=π+2kπ=（2k+1）π，其中k∈Z综上所述：α的集合是{α|α=kπ，k∈Z}，故选：B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，属于基础题．4．函数在其定义域上是（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数考点：余弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：由诱导公式先把函数化简，然后根据余弦函数的奇偶性与单调性（y=cosx是偶函数，且在R上单调性不唯一．）即可作出判断．解答：解：因为，所以该函数是偶函数，其在整个定义域R上不是单调函数．故选B．点评：三角函数问题，一般先要利用三角的有关公式把原函数化简为正弦型或余弦型函数，然后根据正、余弦函数的性质解决．5．若﹣＜α＜0，则点P（tanα，cosα）位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：计算题．分析：由于﹣＜α＜0，可得tanα＜0，c osα＞0，从而可得答案．解答：解：∵﹣＜α＜0，∴tanα＜0，cosα＞0，即点P（tanα，cosα）位于第二象限．故选B．点评：本题考查三角函数值的符号，关键在于熟练掌握诱导公式，属于基础题．6．已知f（α）=，则f（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣ C．D．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析： f（α）解析式利用诱导公式化简，整理得到结果，把α=﹣π代入计算即可求出f（﹣）的值．解答：解：f（α）=﹣=﹣=﹣cosα，则f（﹣π）=﹣cos（﹣π）=﹣cosπ=﹣cos（10π+）=﹣cos=﹣．故选：A．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．已知α为第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限考点：象限角、轴线角；角的变换、收缩变换．分析：α为第三象限角，即k∈Z，表示出，然后再判断即可．解答：解：因为α为第三象限角，即k∈Z，所以，k∈Z当k为奇数时它是第四象限，当k为偶数时它是第二象限的角．故选D．点评：本题考查象限角，角的变换，是基础题．可以推广到其它象限．8．已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A．2B． 4 C． 6 D．8考点：弧长公式．专题：常规题型．分析：根据扇形的面积公式建立等式关系，求出半径，以及弧长公式求出弧长，再根据扇形的周长等于2个半径加弧长即可求出周长．解答：解：设扇形的半径为R，则R2α=2，∴R2=1，∴R=1，∴扇形的周长为2R+α•R=2+4=6故选C点评：本题主要考查了扇形的面积公式，以及扇形的周长和弧长等有关基础知识，属于基础题．9．已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx﹣β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f=﹣1，则f等于（）A．﹣1 B．0 C． 1 D．2考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：把x=xx，f=﹣1代入已知等式求出asinα+bcosβ的值，再将x=2011及asinα+bcosβ的值代入计算即可求出值．解答：解：由题意得：f=asin+bcos=asinα+bcosβ=﹣1，则f=asin+bcos=﹣（asinα+bcosβ）=1，故选：C．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的解析式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，把点（，1）代入函数的解析式求得φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得A=1，=•=﹣，解得ω=2，再把点（，1）代入函数的解析式可得 sin（2×+φ）=1，结合，可得φ=，故有，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，把定点的坐标代入求得φ的值，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）11．在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为（﹣1，）．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：依题意知OA=OB=2，利用任意角的三角函数的定义，直接求出B的坐标即可．解答：解：依题意知OA=OB=2，∠AOx=30°，∠BOx=120°，所以x=2cos120°=﹣1，y=2sin120°=，即B（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，常考题型．12．y=的定义域是{x|2kx+≤x≤2kx+，k∈Z}．考点：余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：直接利用无理式的范围，得到三角函数不等式，解三角不等式即可．解答：解：由1﹣2cosx≥0得，∴{x|2kx+≤x≤2kx+，k∈Z}．故答案为：{x|2kx+≤x≤2kx+，k∈Z}．点评：本题考查函数的定义域，三角不等式（利用三角函数的性质）的解法，是基础题．13．不等式1+tanx≥0的解集是．考点：正切函数的单调性．专题：计算题．分析：不等式即tanx≥﹣，又kπ﹣＜x＜kπ+，k∈z，可得解答：解：不等式即tanx≥﹣，又kπ﹣＜x＜kπ+，k∈z，∴，故答案为：．点评：本题考查正切函数的定义域，正切函数的单调性，注意利用正切函数的定义域为kπ﹣＜x＜kπ+，k∈z，这是解题的易错点，属于中档题．14．函数f（x）是周期为π的偶函数，且当时，，则的值是2．考点：正切函数的奇偶性与对称性．专题：计算题．分析：先把等价转化为f（），再由函数f（x）是周期为π的偶函数，进一步简化为，然后利用当时，求解．解答：解：∵函数f（x）是周期为π的偶函数，∴=f（）=f（﹣）=，∵当时，，∴==2．故答案为：2．点评：本题考查正切函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意函数的周期性、奇偶性的灵活运用．三、解答题：（本大题共6小题，计80分）15．已知=﹣1，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin αcosα+2．考点：三角函数的化简求值．专题：常规题型；计算题．分析：由已知得tanα=（1）由于已知tanα，故考虑把所求的式子化为正切的形式，结合tanα=，可知把所求的式子分子、分母同时除以cosα即可（2）同（1）的思路，但所求式子没有分母，从而先变形为分式的形式，分母添1，而1=sin2α+cos2α，以下同（1）解答：解：由已知得tanα=（1）（2）sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα+2（cos2α+sin2α）===点评：本题主要考查了三角函数求值化简中的常用技巧：已知tanα，求形如①②asin2α+bsinαcosα+ccos2α，对于①常在分子、分母上同时除以cosα，对于②要先在分母上添上1，1=sin2α+cos2α，然后分子、分母同时除以cos2α，从而把所求的式子化简为含有“切”的形式．16．化简（1）；（2）．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）由同角三角函数的基本关系和根式的化简可得；（2）由诱导公式逐个化简可得．解答：解：（1）====1；（2）===﹣sinθ．点评：本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和诱导公式的应用，属基础题．17．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：求出已知方程的解确定出sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而确定出tanα的值，原式利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简，把tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，∴sinα=﹣或sinα=2（舍去），∴cosα=±=±，即tanα=±，原式==﹣tanα=±．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=．（1）求tanα的值；（2）把用tanα表示出来，并求其值．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由sinα+cosα=，得cosα=﹣sinα，由α是三角形的内角，得到，由此能求出tanα．（2）由三角函数恒等式得=．再由tanα=﹣，能求出结果．解答：解（1）∵sinα+cosα=，∴cosα=﹣sinα，∵sin2α+cos2α=1，∴25sin2α﹣5sin α﹣12=0．∵α是三角形的内角，∴，∴tanα=﹣．（2）===．∵tanα=﹣，∴==﹣．点评：本题考查三角函数的求值运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意同角三角函数间的相互关系和三角函数恒等式的合理运用．19．求函数y=﹣cos2x++的最大值及最小值，并写出x取何值时函数有最大值和最小值．考点：二次函数的性质；余弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最值及相应的x取值．解答：解：令t=cosx，则t∈[﹣1，1]所以函数解析式可化为：=因为t∈[﹣1，1]，所以由二次函数的图象可知：当时，函数有最大值为2，此时当t=﹣1时，函数有最小值为，此时x=2kπ+π，k∈Z点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为，最小值为﹣2，图象过（，0），求该函数的解析式．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的周期求得ω 的值，由函数的最值求得A，根据图象过定点出φ的值，从而求得函数的解析式．解答：解：∵函数的最小正周期为，∴T==，解得ω=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵函数的最小值为﹣2，∴A=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以函数解析式可写为y=2sin（3x+ϕ）．又因为函数图象过点（，0），所以有：，解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵|ϕ|≤π，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数解析式为：，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，根据图象过定点出φ的值，属于中档题．g 29779 7453 瑓f ~28524 6F6C 潬23444 5B94 宔37816 93B8 鎸33267 81F3 至32820 8034 耴]28886 70D6 烖25399 6337 挷。

福建省高一下学期第一次阶段考试数学试题(解析版)

一、单选题1．下列命题中正确的是（）A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B ．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D ．若与是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上 AB CD【答案】A【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A 正确；两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B 错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C 错误；与是共线向量，也可能是AB 平行于CD ，故D 错误. AB CD 故选：A2．对于向量、，“”是“”的（）a b a b a b =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用向量平行和相等可以进行判断.【详解】因为时一定有， a b =a b 所以“”是“”的必要条件， a b a b =但时，两个向量不一定相等，a b ,a b如零向量与任意非零向量都平行，但不相等，所以“”是“”的不充分条件. a b a b =所以“”是“”的必要不充分条件，a b a b =故选：B ．3．如图，在矩形中，是的中点，若，则（）ABCD M CD AC AM AB λμ=+λμ+=A ．B ．1C ．D ．21232【答案】C【分析】由向量的平行四边形法则以及三角形法则得出，进而得出.12AC AM AB =+ λμ+【详解】，∴，，∴，12AC AD AB AM MD AB AM AB =+=++=+ 1λ=12μ=32λμ+=故选：C ．4．已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（） O ABC OA ABA ．BC ．D ． AB AB 12AB -12AB 【答案】C【分析】数形结合，取中点，由分析投影向量即可.AB D OD AB ⊥【详解】取中点，连接，因为为正三角形的中心，故，则向量在向AB D OD O ABC OD AB ⊥OA量上的投影向量为AB 12DA AB =-故选：C5．如图，A ，B 两船相距10海里，B 船在A 船南偏西45°方向上，B 船向正南方向行驶，A 船以B倍追赶B 船，A 船若用最短的时间追上B 船，A 船行驶的角度为（）A ．南偏西30°B ．南偏西15°C ．南偏东30°D ．南偏东15°【答案】B【分析】首先设船的速度为，，经过时，船在点追上船，从而得到B v A t AC B，，，利用正弦定理得到，从而得到答案. BC tv =AC =135ABC ∠=o sin 0BAC ∠=3【详解】设船的速度为，，经过时，船在点追上船， B v A t A C B则，，，如图所示：BC tv =AC =135ABC ∠=o在中，由正弦定理得：，ABC sin135sin AC BCBAC=∠所以. sin1351sin 2BC BAC tv AC ⋅∠=== 因为，所以， 0sin 90BAC <∠< sin 0BAC ∠=3 则船行驶的角度为南偏西. A 45015-3= 故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.6．中，角的对边分别为，且，，那么满足条件的三角形的个ABC ,A B ,a b 3A π=a =4b =数有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个【答案】C【分析】利用余弦定理求出的值即可求解. c【详解】因为在中，，，由余弦定理可得：ABC 3A π=a =4b =，所以，也即， 2222cos a bc bc A =+-214164c c =+-2420c c -+=解得：2个， 2c =±故选：.C 7．如图，满足，则（） ABC 2π,2,13ABC BC DC BD ∠====cos A =A B C D ．78【答案】A【分析】先用余弦定理求出，进而求出，再使用进行求解.cos C sin C ()cos cos A C ABC =-∠+∠【详解】在三角形BCD 中，由余弦定理得：，2224417cos 22228BC CD BD C BD CD +-+-===⋅⨯⨯因为，所以角C 为锐角，所以2π3ABC ∠=sin C ==在三角形ABC 中， ()cos cos sin sin cos cos A C ABC C ABC C ABC =-∠+∠=∠-∠7182⨯=故选：A8．已知是边长为为该三角形内切圆的一条弦，且若点P 在ABC EF EF =的三边上运动，则的最大值为（）ABC PE PF ⋅A ．B ．C ．D ．52112132172【答案】B【解析】根据，再利用向量加法的几何意义，将的最大值转化为EF=23EOF π∠=PE PF ⋅ 求的最大值.2122PO PO OG +⋅-【详解】如图所示，在中，内切圆的半径， ABC 113r OE ===在中，，OEF 1OE F EF O ===，， ∴1131cos 22EOF +-∠==-∴23EOF π∠=取的中点，连结，EF G OG ∴2()()()PE PF PO OE PO OF PO PO OE OF OE OF =++=⋅+⋅+⋅+⋅2122PO PO OG =+⋅- 当，分别取最大值时，取得最大值，2PO PO OG ⋅PE PF ⋅当点运动到三角形的顶点，且顶点与的连线垂直于时，，分别取最大值∴P O EF 2POPO OG ⋅ 时，.∴max 111()4222PE PF =+-=⋅ 故选：B.【点睛】本题考查向量加法几何意义、向量数量积的运算、向量夹角运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、多选题9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（）a b cA ．a b a b ⋅≤ B ．若，则a b a b +=- a b ⊥ C ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．若，，则a c ab ⋅=⋅ 0a ≠b c = 【答案】AB【分析】根据平面向量的基本性质判断各选项即可.【详解】，故A 正确； cos ,a b a b a b a b ⋅=≤ 可得，a b a b +=- 222222a a a b b a b b -=+⋅+⋅+，则，故B 正确；0a b ∴⋅=a b ⊥ 表示与共线的向量，表示与共线的向量，原等式两边不一定相等，故C 错误；()a b c ⋅⋅c ()a b c ⋅⋅ a 当均与垂直时，此时，但与不一定相等，故D 错误. ,b c a 0a c a b ⋅=⋅= b c故选：AB.10．设向量，则下列叙述正确的是（）(,2),(1,1)a k b ==-A ．若，则与的夹角为钝角B ．的最小值为23k =-a b||aC ．与垂直的单位向量只能为D ．若，则b ||2||a b =k =±【答案】AB【分析】求出与的夹角的余弦值即可判断A ；向量的模判断B ；单位向量判断C ；向量模相等a b列出方程求解判断D ．【详解】解：当时，，所以，所以与3k =-cos ,a b a b a b ⋅===1cos ,0-<< a b a 的夹角为钝角，所以A 正确；b，所以的最小值为2，所以B 正确；2||a与共线的单位向量为，或所以C 不正确；b(若或，所以D 不正确；||2||a b ==2k =2-故选：AB ．11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题中正确的有（） A ．若，则△ABC 一定是等边三角形 cos cos cos a b cA B C==B ．若，则△ABC 一定是等腰三角形 cos cos a A b B =C ．是成立的充要条件A B >sin sin A B >D ．若，则△ABC 一定是锐角三角形 2220a b c +->【答案】AC【分析】根据正弦定理和三角变换公式可判断ABC 的正误，根据余弦定理可判断D 的正误. 【详解】对于A ，由正弦定理可得， sin sin sin cos cos cos A B CA B C==故，而为三角形内角，故， tan tan tan A B C ==,,A B C A B C ==故三角形为等边三角形，故A 正确.对于B ，由正弦定理可得，sin cos sin cos A A B B =故，故或， sin 2sin 2A B =222,A B k k =+∈πZ 222π,A B k k π=-+∈Z 而，(),,0,πA B A B +∈故或即或， 22A B =2π2A B =-A B =π2A B +=故三角形为等腰三角形或直角三角形，故B 错误.对于C ，等价于，而后者等价于，即， A B >a b >2sin 2sin R A R B >sin sin A B >其中为三角形外接圆半径，故的充要条件为，故C 正确.R A B >a b >对于D ，由可得，故为锐角，2220a b c +->222cos 02a b c C ab+-=>C 但不能保证三角形为锐角三角形，故D 错误. 故选：AC.12．已知点在所在平面内，则（）P ABC A ．满足时，是的外心PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅P ABC B ．满足时，是的重心0PA PB PC ++=P ABC C ．满足时，是的内心sin sin sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=P ABC D ．满足时，是的垂心sin 2sin 2sin 20A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=P ABC 【答案】BC【分析】A.根据向量数量积的运算律变形，利用数量积的性质，即可判断选项；B.利用向量加法的运算公式，结合三角形重心的性质，即可判断选项；C.结合正弦定理，以及转化向量，变形为，即可判断选项；D.构造特殊三角形，即可判断选项. bcAB AC PA a b c AB AC⎛⎫⎪=-⋅+⎪++⎝⎭【详解】A. ，得，即，PA PB PB PC ⋅=⋅ ()0PA PC PB -⋅= CA PB ⊥同理，，所以点是三条垂线的交点，所以是的垂心，故A 错AB PC ⊥ CB PA ⊥P ABC P ABC 误；B.若时，，设点是的中点，所以，0PA PB PC ++= ()PA PB PC =-+ O BC 2PA PO =- 同理设是和的中点，所以，，所以是的三条中线的12,O O AB AC 12PC PO =- 22PB PO =-P ABC 交点，即点是的重心，故B 正确；P ABC C. ，由正弦定理可知 sin sin sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=，()()0a PA b PB c PC a PA b PA AB c PA AC ⋅+⋅+⋅=⇒⋅=-⋅+-⋅+ 所以, ()ABACAB AC a b c PA bc bc bc AB ACAB AC⎛⎫⎪++⋅=-⋅-⋅=-⋅+ ⎪⎝⎭故，所以点在的角平分线上， bcAB AC PA a b c AB AC⎛⎫⎪=-⋅+⎪++⎝⎭P A ∠同理可证明点在和的角平分线上，故点为的内心，故C 正确；P B ∠C ∠P ABCD.当是直角三角形，且，，时，满足ABC 90C = ∠60A ∠= 30B ∠= 时，即，即点是斜边的中点，点是sin 2sin 2sin 20A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=0PA PB += P AB P ABC 的外心，不是垂心，故D 错误. 故选：BC三、填空题13．若向量，且与垂直，则实数_______．(3,1),(2,)a b k =-=-a b k =【答案】6-【分析】利用两向量垂直，数量积等于零的坐标运算计算即可.【详解】由题可知，得，解得0a b ⋅=()()3210k -⨯+⨯-=6k =-故答案为：6-14．若，设，则的值为___________. 1213PP PP =-u u u r u u ur 121PP PP λ= λ【答案】2【分析】利用平面向量加减法的三角形法则及数乘向量的意义把、与用表示出即可12PP 1PP 2PP 1PP得解.【详解】因，则， 1213PP PP =-u u u r u u ur 21133PP PP PP =-=u u u r u u u r u u u r ，122111132PP PP PP PP PP PP =-=-=而，于是有，，121PP PP λ= 112PP PP λ= 2λ=所以的值为2. λ故答案为：2.15．已知向量，满足：，，，则__________.a b1a = 4b = a b -=r r += a b【分析】将两边平方求出，再根据可求a b -=r r 52a b ⋅= ||a b +==出结果.【详解】由，得，得，a b -=r r ()212a b-= 22||2||12a a b b -⋅+=得，得，121612a b -⋅+= 52a b ⋅=||a b +== ==16．如图，某城市准备在由和以为直角顶点的等腰直角三角形区域内修建公园，其ABC C ACD中是一条观赏道路，已知，，则观赏道路长度的最大值为______．BD 1AB =BC =BD1【分析】设，在△中应用正余弦定理可得、ACB θ∠=ABC sin sin ABCACθ∠=，在△中有且224CD AC ABC ==-∠BCD 90ACB BCD ∠∠=+︒，结合诱导公式、辅助角公式及正弦型函数的性质即可求2222cos BD CD BC CD BC BCD =+-⋅⋅∠的最大值.BD 【详解】设， ACB θ∠=在△中，由正弦定理得，则， ABC 1sin sin ACABC θ=∠sin sin ABC ACθ∠=由余弦定理得，22221214CD AC ABC ABC ==+-⨯∠=-∠∴在△中，，BCD 90ACB BCD ∠∠=+︒∴2222cos 7sin BD CD BC CD BC BCD ABC CD θ=+-⋅⋅∠=-∠+⋅=，当时)277714ABC ABC ABC π⎛⎫-∠+∠=+∠-≤+=⎪⎝⎭34ABC π∠=等号成立．∴.BD 1【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理得到相关边角与、、与的关系，结ACB ∠2CD 2BD ABC ∠合诱导公式、三角恒等变换及正弦型函数的性质求最值.四、解答题17．如图，平面上A ，B ，C 三点的坐标分别为、、．()2,1()3,2-()1,3-(1)写出向量，的坐标；AC BC(2)如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标．【答案】(1)， (3,2)-(2,1)(2) (4,2)【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解.【详解】（1）， (12,31)(3,2)AC =---=- .(13,32)(2,1)BC =-+-=（2）设，所以 (,)D x y (2,1)AD x y =--四边形ABCD 是平行四边形，所以，所以解得，BC AD = 2211x y -=⎧⎨-=⎩42x y =⎧⎨=⎩所以.(4,2)D 18．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 、满足． ABC 222a c b ac +=-(1)求角B 的大小；(2)若的面积的最大值． b =ABC 【答案】(1) 120︒【分析】（1）利用余弦定理求即可；B （2）利用基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求面积的最大值即可. 4ac ≤【详解】（1）因为，222a c b ac +-=-由余弦定理得，又，所以. 2221cos 22a cb B ac +-∠==-()0,B π∈120B ∠=︒（2）因为b =由（1）得，当且仅当时取等号，22122a c ac ac +=-≥2a c ==所以，4ac ≤面积1sin 2S ac B ==≤19．如图所示，在矩形中，，E 为的中点，． ABCD ||2,||3AB AD == AB 13BF BC =(1)求的值；AF DE ⋅ (2)设相交于点G ，且，求的值．AF DE 、AG AF λ= λ【答案】(1)1-(2)37【分析】（1）由平面向量数量积的运算律化简求解（2）由平面向量基本定理的推论求解【详解】（1）， 11,32AF AB AD DE AB AD =+=- ∵，224,9,0AB AD AB AD ==⋅= ∴， 221511263AF DE AB AB AD AD ⋅=-⋅-=- （2）， 11233AG AF AB AD AE AD λλλλλ==+=+ ∵D 、G 、E 三点共线，∴，DG DE μ= 得，(1)AG AE AD μμ=+- 由平面向量基本定理得， 1213λλ+=∴ 37λ=20．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，ABC 25AD AB = E AC F BC C 设，． CA a = CB b =u u rr(1)用，表示，；a b EF CD (2)如果，，且，求．60ACB ∠=︒2AC =CD EF ⊥CD 【答案】(1)， 1132EF b a =- 2355CDb a =+【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解；（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，从而可求出CD EF ⊥0CD EF ⋅= 222301510b a -= 3b = . CD 【详解】（1）解：因为，点为中点，点为的三等分点，且靠近点， 25AD AB = E AC F BC C 所以， 11112332EF EC CF CA CB b a =+=-+=- . ()223223555555CD CA AD CA AB CA CB CA CB b a CA =+=+=+=+=-+ （2）解：由（1）可知，， 231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，由，可得， 222301510b a-= 2a =3b ====21．已知的内角，，的对边分别为，，，且．ABC A B C a b c cos 2cos cos a C b A c A =-(1)求；A(2)若的取值范围．a =bc -【答案】(1)π3(2)(【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式变形可得答案；（2）利用正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换的公式将表示成三角b c -2sin 2sin B C -b c -函数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围.【详解】（1）由正弦定理可变形为 cos 2cos cos a C b A c A =-sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =-，()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B ∴=+=+=sin 0B ≠ ，即，又 2cos 1A ∴=1cos 2A =()0,πA ∈； π3A ∴=（2）由正弦定理，2sin sin sin c b a C B A ====，2sin ,2sin c C b B ∴== π2sin 2sin 2sin 2sin sin 2sin 3b c B C C C C C C ⎛⎫∴-=-=+-=+- ⎪⎝⎭ πsin 2cos 6C C C ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭又，， 2π03C <<ππ5π666C∴<+<所以πcos 6C ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭即的取值范围是.b c -(22．某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人ABCD 员在A 、O 两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A 处按方向做匀速直线运动，乙粒子在OAM 处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P ，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消ON失.已知长度为6分米，O 为中点. AB AB(1)已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程AM ON π3AD 之和的最大值；(2)设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲AM AO α0πα<<ON OB β0πβ<<粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的AD ，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？()0,πβ∈α【答案】(1)；6(2)的长度至少分米.AD 2【分析】（1）根据题意在中运用余弦定理以及基本不等式求解即可； AOP （2）过作，垂足为，设，则，由余弦定理求出P PQ AB ⊥Q OP x =()22,1,3AP OP x x ==∈，进而求出3cos 22x x β=-sin β=PQ =由恒等式得出的最小值即可.AD PQ ≥AD 【详解】（1）设两颗粒子在点相撞，在中， P AOP 由余弦定理得， 222π2cos 3AO AP OP AP OP =+-⋅即，229AP OP AP OP +=+⋅， 22AP OP AP OP +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭， ()2293932AP OP AP OP AP OP +⎛⎫∴+=+⋅≤+⨯ ⎪⎝⎭即，，()236AP OP +≤6AP OP ∴+≤当且仅当时，等号成立，3AP OP ==所以两颗粒子运动路程和的最大值为； 6（2）过作，垂足为，P PQ AB ⊥Q 设，则，OP x =()22,1,3AP OP x x ==∈由余弦定理可得， ()2223cos 222AO OP AP x AO OP x πβ+--==-⋅，， 3cos 22x x β∴=-0πβ<< sin β∴==， ()sin 1,3PQ x x β∴===∈当即即取得最大值， 25x =x =PQ sin x β2易知恒成立，AD PQ ≥，()()max max sin 2AD PQ x β∴≥==的长度至少为分米，才能确保对任意的，总可以通过调整乙粒子的释放角度，AD ∴2()0,πβ∈α使两颗粒子成功碰撞.。

高一数学下学期第一次阶段考试题含解析试题

宁化一中2021-2021学年高一数学下学期第一次阶段考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕{}n a 满足：10a >，130n n a a +-=，那么数列{}n a 是〔〕A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 不确定【答案】B 【解析】【分析】根据130n n a a +-=，得到数列{}n a 是等比数列，求出其通项公式，再利用指数型函数的单调性判断.【详解】因为130n n a a +-=，所以113n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列所以1113-⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭n n a a又因为10a >所以数列{}n a 是递减数列应选:B【点睛】此题主要考察等比数列的定义，数列的增减性，还有指数型函数的单调性，属于根底题.2.等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，那么a 12的值是( ) A. 15 B. 30 C. 31 D. 64【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列性质解得8a ，再根据等差数列性质得结果.【详解】因为79881284162168216115a a a a a a a +=∴=∴=∴=-=-= 应选:A【点睛】此题考察等差数列性质，考察根本分析求解才能，属根底题.,a b 满足1a b +=，那么〔〕A. ab 有最大值14B.11a b+有最大值42 D. 22a b +有最小值2【答案】A 【解析】【分析】,a b满足1a b +=，由2124a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭判断.B..由211112+=≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ab ab==()22212≥++a b a b 判断. 【详解】因为正实数,a b 满足1a b +=所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故A 正确. 2111142+=≥=⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ab a b ，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故B错误.==≤=1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故C 错误.()2221122=+≥+a b a b ，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故D 错误.应选:A【点睛】此题主要考察根本不等式的变形以及应用，变形灵敏，特别注意使用条件，属于中档题.x y 、满足约束条件238044010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩那么z x y =-的最大值为〔〕A. 3-B. 2-C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据实数x y 、满足约束条件238044010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，画出可行域，将z x y =-变形为y x z =-，平移直线y x =，找到直线在y 轴上的截距最小点即可.【详解】因为实数x y 、满足约束条件238044010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，画出可行域，如下图阴影局部：将z x y =-变形为y x z =-，平移直线y x =，所以直线在y 轴上的截距最小点1,0A ，所以目的函数z x y =-在此获得最大值，最大值为1 应选：C【点睛】此题主要考察线性规划求最值这是截距类型，平移目的函数所在直线找到最优点是关键，还考察了数形结合的思想，属于根底题.5.ABC 的三内角,,A B C ，设向量(sin sin ,sin )p A C B =+向量(sin sin ,sin sin )q B A C A =--，假设p q ，那么角C 的大小为〔〕A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】【分析】根据//p q ，由一共线向量定理得到()()()sin sin sin sin sin sin sin -=+-B B A A C C A ，再由正弦定理，把角转化为边，222a b c ab +-= 然后利用余弦定理求解. 【详解】向量(sin sin ,sin )p A C B =+向量(sin sin ,sin sin )q B A C A =--，因为//p q所以()()()sin sin sin sin sin sin sin -=+-B B A A C C A 由正弦定理得222a b c ab +-=由余弦定理得222cos 122a b c C ab +-==因为()0,C π∈ 所以3C π=应选：B【点睛】此题主要考察一共线向量定理，正弦定理，余弦定理的应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.102m <<，假设220m m k -+≥恒成立，那么k 的最小值为〔〕 A. 1B. 12 C. 14D.18【答案】D 【解析】【分析】将102m <<，假设220m m k -+≥恒成立，转化为102m <<，22≥-+k m m 恒成立，令2()2=-+g m m m ，求其最大值即可.【详解】因为102m <<，假设220m m k -+≥恒成立，所以102m <<，22≥-+k m m 恒成立，令22111()22488⎛⎫=-=--++≤ ⎪⎝⎭g m m m m ，所以18k ≥，所以k 的最小值18. 应选：D【点睛】此题主要考察一元二次不等式恒成立问题，还考察了运算求解的才能，属于中档题.()4(sin 2cos2)2f ααα=-+，在锐角三角形ABC 中，()6f A =，且cos2cos2B C =，那么tan B 的值是〔〕A. 1 1-1D.2【答案】C 【解析】【分析】因为函数()4(sin 2cos 2)2224παααα⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭f ，根据()6f A =，有sin 242A π⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得4A π=或者2A π=〔舍去〕，再根据cos2cos2B C =，求得38B C π==，再利用半角公式求解.【详解】因为函数()4(sin 2cos 2)2224παααα⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭f ，又因为在锐角三角形ABC 中，()6f A =，所以()2264π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭f A A ，即sin 242A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以244A ππ-=或者 3244A ππ-=，解得4A π=或者2A π=〔舍去〕，又因为cos2cos2B C =，所以22B C = ，即38B C π==，所以2sin 2sin cos sin 2tan 1cos 2cos 1cos 2⋅=====+B B B BB B B B.应选；C【点睛】此题主要考察三角函数求角以及三角恒等变换，还考察了运算求解的才能，属于中档题.8.,a b 为正实常数，实数,x y 且满足2222220x y a y b x --=，那么22xy +的最小值是〔〕 A. +a b B. 22a b +)+a bD. 2()a b +【答案】D 【解析】【分析】根据,a b 为正实常数，实数,x y 且满足2222220x y a y b x --=，转化为22221a b x y+=，再由()22222222a b x y x y xy ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=展开，利用根本不等式求解.【详解】因为,a b 为正实常数，实数,x y 且满足2222220x y a y b x --=，所以22221a b x y+=，所以()22222222a b x y x y xy ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=，()22222222222=+++≥++=+y a x b a b a b a b x y，当且仅当222222=y a x b x y，即22ay bx = ，取等号.所以22xy +的最小值是2()a b +.应选：D【点睛】此题主要考察根本不等式求最值，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 二．多项选择题〔一共4小题每一小题5分一共20分，局部得分3分〕ABC 中，根据以下条件解三角形，其中恰有一解的是〔〕A. ABC ，3c =，6C π=B. 5b =，6c =，4CπC. 6a =，b =3B π=D. 20a =，15b =，6B π=【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦定理求解. 【详解】A. 由正弦定理得26sin cR C==，任何三角形都有外接圆，所以有无数解，故A错误.B. 由正弦定理得sin sin b c B C = 所以sin 12B = ，因为b c <，所以B 是锐角，所以只有一解，故B 正确.C. 由正弦定理得sin sin b a B A= 所以sin 1A = ，所以2A π=，所以只有一解，故C 正确.D. 由正弦定理得sin sin b aB A = 所以2sin 3A = ，因为a b >所以A 有两解，故D 错误. 应选：BC【点睛】此题主要考察正弦定理解三角形，还考察了运算求解的才能，属于中档题.{}n a 的前n 项和是n S ，120S >，130S <，正确的选项有〔〕A. 10a >，0d <B. 5S 与6S 均为n S 的最大值C.670a a +>D. 70a <【答案】ACD 【解析】【分析】利用等差数列的性质，()()11267121212=22++=a a a a S ，可得670a a +> ，()1137137131321322+===a a a S a 可得70a < ，60a >，再根据等差数列的单调性判断。

高一下第一次阶段考试试卷(数学)

高一第一次阶段考试试卷（数学）时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1. 下列说法正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点1.[答案]C[解析]不在同一直线上的三点确定一个平面，A不能确定三点的关系，A 错误；四边形还有空间四边形，因此B也错误；梯形有两个底边互相平行，所以C正确；D显然错误．2．两个不重合的平面有一个公共点，则这两个平面()A．相交B．平行C．相交或平行D．垂直2.[答案]A[解析]根据公理3知这两个平面相交，但是不一定垂直，故选A.3.下列四个命题：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3 D．43.[答案]A[解析]①②④中，a、c相交、平行，异面都有可能，只有③是正确．4．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．平面α内所有直线与l异面B．平面α内存在惟一的直线与l平行C．平面α内不存在与l平行的直线D．平面α内的直线都与l相交4[答案]C[解析]∵直线l不平行于平面α，且l⊄α，∴l与平面α相交，故平面α内不存在与l平行的直线．5.圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的表面积为( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π5.[答案] D[解析] S 表＝S 侧＋S 底＝π×1×3＋π×12＝4π.6.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为( )A ．2πB ．5π2C ．4πD ．5π6.[答案] B [解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为12，高为2的圆柱．S 表＝S 侧＋S 底＝2π×12×2＋2π×14＝2π＋π2＝5π2.7．已知球心到球的一个截面的距离为5，截面圆的半径为12，则球的半径为( ) A ．13 B ．12 C ．5D ．1497[答案] A [解析] 设球的半径为R ，则R ＝52＋122＝13.8．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为( )A ．2︰1B ．2︰3C ．2︰πD ．2︰58[答案] A [解析] 设半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得：V 圆锥＝13πr 2h ＝43πr 3×12.∴h ︰r ＝2︰1.9．下列叙述中，正确的有( )①若平面α内有一条直线平行于另一个平面β，则α∥β；②若平面α内有两条直线平行于另一个平面β，则α∥β； ③若平面α内有无数条直线平行于另一个平面β，则α∥β； ④若平面α内有两条相交直线都与平面β平行，则α∥β. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个9.[答案] A [解析] 在①②③中平面α与平面β可以平行，也可以相交，所以①②③错，④对，故正确的有1个．10.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B ．17C.16D ．1510[答案] D [解析] 由三视图得，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A －A 1B 1D 1，如图所示，设正方体棱长为a ，则VA －A 1B 1D 1＝13×12a 3＝16a 3，故剩余几何体体积为a 3－16a 3＝56a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15，故选D.11. 如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．2(1＋2)cmB ．6cmC ．2(1＋3)cmD ．8cm11.[答案] D [解析] 由图形的直观图可知，原来的图形是一个平行四边形，如图所示，则OB＝2O′B′＝22cm，所以AB＝OB2＋OA2＝3cm.所以原图形的周长是3＋3＋1＋1＝8(cm)．12．已知圆锥的母线长为5 cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程为()A．8 cm B．5 3 cmC．10 cm D．5π cm[答案] B[解析]连接AA，作OC⊥AA1于C，因为圆锥的母线长为5 cm，1∠AOA1＝120°，所以AA1＝2AC＝5 3 cm.二、填空题13．等边△ABC的连长为6，画出直观图后，其直观图的面积为________．[答案]2分之3根号214．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．3：1：2[答案][解析] 设球半径为a ，则圆柱、圆锥、球的体积分别为：πa 2·2a ，13πa 2·2a ，43πa 3.所以体积之比2πa 323πa 343πa 3＝2343＝15．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有________对．[答案] 3[解析] 将展开图恢复成正方体后，得到AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 三对异面直线．16．一块正方形薄铁片的边长为4 cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________ cm 3.[答案]153π [解析] 据已知可得圆锥的母线长为4，设底面半径为r ，则2πr ＝π2·4⇒r ＝1(cm)，故圆锥的高为h ＝42－1＝15(cm)，故其体积V ＝13π·1215＝15π3(cm 3)．三、解答题17．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求(1)求其体积（2）.侧面上的等腰三角形底边上的高为多少？解析](1)3分之8根号3，(2)如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，高OS＝3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7.解Rt△SOA得OA＝2，则AC＝4，所以AB＝BC＝CD＝DA＝2 2.作OE⊥AB于E，则E为AB的中点，故OE＝12AB＝ 2.连接SE，则SE即为斜高，在Rt△SOE中，因为OE＝2，SO＝3，所在SE＝5，即侧面上的等腰三角形底边上的高为 5.18.(本题满分12分)（1）.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？（2）10．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD平面APD，BC平面APD，∴BC∥平面APD.又∵平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF.∴AD∥EF.又∵E、F是△APD边上的点，∴EF≠AD.∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形.19．(本题满分10分)如图，已知AA′，BB′，CC′，不共面，且AA′//BB′,AA′=BB′, △ABC是等边三角形，BB′//CC′, BB′=CC′.（1）求证：△ABC≌△A′B′C′（2）求AB与B′C′所成的角.20．(本题满分12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．[解析]圆台轴截面如图，设上、下底半径分别为x和3x，截得圆台的体积圆锥顶点为S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x，又轴截面积为S＝12(2x＋6x)·2x＝392，∴x＝7，∴高OO1＝14，母线长l＝2OO1＝142，∴圆台高为14 cm，母线长为14 2 cm，两底半径分别为7 cm和21 cm.21. (本题满分12分)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，B1B＝4点D是AB的中点.(1)求证：三棱锥C-BD B1体积(2)求证：AC1∥平面CDB1.[解析](1)(2)如图，设BC1交B1C于点E，连接DE.∵D为AB的中点，E为BC1的中点，∴DE∥AC1.又∵AC1⊄平面CDB1，DE⊂平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.7．(本题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC＝2FB＝2，（1）求三棱柱ABC－A1B1C1表面积（2）当点M在什么位置时，MB∥平面AEF？试给出证明．（1）（2）[解析]当点M为AC的中点时，MB∥平面AEF.证明如下：因为M为AC的中点，取AE的中点D，连接MD，DF，则MD为△AEC的中位线，所以MD∥EC且MD＝12EC，而FB∥EC且FB＝12EC，所以MD∥FB且MD＝FB，所以四边形DMBF为平行四边形，所以MB∥DF.而MB 平面AEF，DF平面AEF，所以MB∥平面AEF.。

2021年高一下学期第一次段考数学试题

2021年高一下学期第一次段考数学试题一．选择题（本大题共有10个小题，每小题6分，满分60分．请把答案用2B 铅笔填涂在答题卡的对应位置上）1．（6分）下列命题正确的是（）A．第一象限角是锐角B．钝角是第二象限角C．终边相同的角一定相等D．不相等的角，它们终边必不相同考点：象限角、轴线角．专题：常规题型．分析：对象限角和锐角，钝角及终边相同角的定义的理解．解答：解：由任意角和象限角的定义易知锐角是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，故A不对，∵终边相同的角相差2kπ，k∈Z，故C，D不对∴只有B选项是正确的．故选B点评：本题考查象限角和轴线角的定义，是个基础题，理解好定义是解决问题的根本．2．（6分）（xx•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．3．（6分）化简=（）A．B．0C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义；零向量．专题：计算题．分析：根据向量加法的三角形法则，我们对几个向量进行运算后，即可得到答案．解答：解：∵．故选B点评：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，及零向量的定义，其中根据三角形法则对已知向量进行处理，是解答本题的关键．4．（6分）（xx•西城区一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=6，则S5等于（）A．10 B．12 C．15 D．30考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等差数列的性质可知a2+a4=a1+a5，代入等差数列的求和公式中求得答案．解答：解：a2+a4=a1+a5=6 ∴S5===15故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．5．（6分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=tan，则a2=（）A．B．﹣C．2D．﹣2考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：分别取n=1、n=2，算出a1=，S2=﹣=a1+a2，由此算出a2=﹣﹣a1=﹣2，得到本题答案．解答：解：∵S n=tan，∴a1=S1=tan=，S2=tan=﹣因此，a1+a2=﹣，可得a2=﹣﹣a1=﹣2 故选：D点本题给出数列{a n}的前n项和为S n=tan，求a2的值，着重考查了特殊角的正切值、数评：列的通项与求和等知识，属于基础题．6．（6分）（xx•山东）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）A．B．C．D．4考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．分析：求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．解答：解：∵均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=1，||=1，=cos60°∴||===故选C．点评：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．7．（6分）设A，B，C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2﹣5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上均有可能考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；同角三角函数基本关系的运用．分析：首先分析题目tanA，tanB是方程3x2﹣5x+1=0的两个实根，可以猜想到用一元二次方程的根与系数的关系求解，然后根据C=π﹣（A+B）求得tanc，判断角的大小，即可得到答案．解答：解：因为tanA，tanB是方程3x2﹣5x+1=0的两个实根由韦达定理可得到：tanA+tanB=与tanAtanB=＞0又因为C=π﹣（A+B），两边去=取正切得到tanC=＜0故C为钝角，即三角形为钝角三角形．故选A．点评：此题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，其中涉及到同角三角函数的正切关系式，属于综合性试题，计算量小为中档题目．8．（6分）在等差数列{a n}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值为（）A．9B．12 C．16 D．17考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的性质可得，S4，S8﹣S4，，S12﹣S8S16﹣S12，，S20﹣S16成等差数列，设公差为d，由S4=1，S8=4，S8﹣S4=3可求d=2，利用等差数列的通项公式可求解答：解：由等差数列的性质可得，S4，S8﹣S4，，S12﹣S8S16﹣S12，，S20﹣S16成等差数列，设公差为d∵S4=1，S8=4，S8﹣S4=3∴d=2∴S20﹣S16=1+4×2=9即a17+a18+a19+a20=9故选：A点评：本题主要考查了等差数列的性质（等差数列中，S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列）在解题中的应用9．（6分）已知角α的终边过P（﹣6a，﹣8a）（a≠0），则sina﹣cosa的值为（）A．B．﹣C．﹣或﹣D．﹣或考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：可先求r==10|a|，分①a＞0时，r=10a，由三角函数的定义可得，sin，②a＜0，r=﹣10a，由三角函数的定义可得，sin，，可分别求解解答：解：由题意可得点P到原点的距离r==10|a|当a＞0时，r=10a，由三角函数的定义可得，sin=，= 此时，当a＜0，r=﹣10a，由三角函数的定义可得，sin=，= 此时故选D．点评：本题主要考查的三角函数的定义：若角α的终边上有一点P（x，y），OP=r则sin的应用，解答本题时要注意r=10|a|，而不能直接写为r=10a．10．（6分）在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为（）A．B．C．或D．或考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：把已知的两等式两边平方后，左右相加，然后利用同角三角函数间的基本关系、两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后即可得到sinC的值，利用特殊角的三角函数值及角C的范围即可求出C的度数．解答：解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，①2+②2得：（3sinA+4cosB）2+（3cosA+4sinB）2=37，化简得：9+16+24（sinAcosB+cosAsinB）=37，即sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC=，又C∈（0，π），所以∠C的大小为或，若C=π，得到A+B=，则cosA＞，所以3cosA＞＞1，则3cosA+4sinB＞1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以C≠π，所以满足题意的C的值为．故选A点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．本题也是一道易错题，学生容易选择C，原因是没有判断角C为钝角是不可能的．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题6分，满分24分）11．（6分）（xx•天河区模拟）已知向量=（2，1），=（x，﹣2），且与平行，则x=﹣4．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：先求出和利用两个向量共线，它们的坐标满足x1y2=x2y1，解方程求得x的值解答：解：∵=（2+x，﹣1），=（4﹣x，4），又与平行，∴x1y2=x2y1，即（2+x）×4=﹣1×（4﹣x），解得x=﹣4．故答案为﹣4．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，利用两个向量共线，它们的坐标满足x1y2=x2y1，解方程求得x的值，属于基础题．12．（6分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示，则函数的解析式为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：根据函数振幅求得A；根据周期求得w；根据f（）=0求得φ．解答：解：由图象可知函数振幅为2，故A=2，周期为=π，故w==2，f（）=2sin（2×+φ）=0，且|φ|＜π，故φ= 故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）部分图象确定函数解析式．属基础题．13．（6分）（xx•江苏一模）若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把α+变为[（α+β）﹣（）]，然后利用两角差的正切函数的公式化简所求的式子，整体代入即可求出值．解答：解：因为α+=[（α+β）﹣（）]，且tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则根据两角差的正切函数的公式得：tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===故答案为点评：考查学生会灵活变换角度来解决数学问题，利用两角和与差的正切函数的公式进行化简求值，以及利用整体代入的数学思想解决数学问题．14．（6分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1+S n=n2+2n（n∈N*），其中S n为{a n}的前n项和，则此数列的通项公式为．考点：数列递推式；等比数列的通项公式；零向量．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a n+1+S n=n2+2n①，得a n+S n﹣1=（n﹣1）2+2（n﹣1）（n≥2）②，由①﹣②可求得a n+1，进而求得a n，注意n的取值范围验证a1，a2．解答：解：由a n+1+S n=n2+2n①，得a n+S n﹣1=（n﹣1）2+2（n﹣1）（n≥2）②，①﹣②得，a n+1=2n+1（n≥2），a n=2n﹣1（n≥3），又a1=0，a2=3，所以．故答案为：．点评：本题考查数列递推式及数列通项公式的求解，正确理解a n与S n间的关系是解决本题的关键．三、解答题（本大题共有5个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）设等差数列{a n}满足a2=5，a7=﹣5．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n及何时S n取得最大值，最大值是多少．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专等差数列与等比数列．题：分析：（1）由题意可得公差，进而可得数列的首项，由等差数列的通项公式可得；（2）可知数列{a n}的前4项均为正数，从第5项开始为负值，进而可得S4最大，代入求和公式可得答案．解答：解：（1）由题意可得数列{a n}的公差d==﹣2，故a1=a2﹣d=5﹣（﹣2）=7，故{a n}的通项公式为a n=7﹣2（n﹣1）=9﹣2n，（2）由（1）可知a n=9﹣2n，令a n=9﹣2n≤0，可解得n≥，故可知数列{a n}的前4项均为正数，从第5项开始为负值，故可知数列的前4项和最大，最大值为S4=4×7+=16点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及最值问题，属基础题．16．（12分）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：分别在Rt△DMF中和Rt△DNE中利用勾股定理，求得DF=10m，DE=130m．再算出EF=150m，在△DEF中利用余弦定理，可算出cos∠DEF的值．解答：解：过点D作DM∥AC，分别交CF、BE于M、N，则Rt△DMF中，DF===10mRt△DNE中，DE===130m△DEF中，EF===150m由余弦定理，得cos∠DEF===．答：∠DEF的余弦值等于．点评：本题给出实际应用问题，求∠DEF的余弦值．主要考查了运用解三角形知识解决实际应用问题，考查了三角形问题中勾股定理、余弦定理的灵活运用，属于中档题．17．（14分）（xx•南通模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccosB+bcosC=4acosA．（Ⅰ）求cosA的值（Ⅱ）若△ABC的面积是，求的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据正弦定理把已知的等式变形，然后利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后，根据sinA不为0，即可得到cosA的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的cosA的值，根据A的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinA的值，然后利用三角形的面积公式，由三角形的面积等于和求出的sinA的值求出bc的值，利用平面向量的数量积的运算法则，把bc的值和cosA的值代入即可求出值．解答：解：（Ⅰ）利用正弦定理，得sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，sin（B+C）=4sinAcosA，即sinA=4cosAsinA，所以cosA=．（Ⅱ）由（I），得sinA=，由题意，得bcsinA=，所以bc=8，因此=bccosA=2．点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及三角形的面积公式化简求值，灵活运用两角和的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，掌握平面向量的数量积的运算法则，是一道中档题．18．（14分）（xx•安徽）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．专题：综合题．分析：（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．（2）先根据x的范围求出2x﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．解答：解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区间上的值域为．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础知识的掌握情况．19．（14分）已知数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2（n∈N*），它的前n项和为S n，且a3=5，S6=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=6n+（﹣1）n﹣1λ•2a n（λ为正整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有b n+1＞b n成立．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的定义和通项公式、前n项和公式即可得出；（2）利用（1）的结论，通过作差b n+1﹣b n并对n分奇偶讨论即可得出．解答：解：（1）∵对于∀n∈N*，都有2a n+1=a n+a n+2，∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，∵a3=5，S6=36，∴，解得．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（n∈N*）．（2）由（1）可得：，（λ为正整数，n∈N*），∴b n+1﹣b n=6n+1+（﹣1）nλ•2（2n+1）﹣[6n+（﹣1）n﹣1λ•2（2n﹣1）]=5×6n+（﹣1）nλ×4，当n为偶数时，∵λ为正整数，∴b n+1﹣b n＞0成立；当n奇数时，要使5×6n﹣4λ＞0恒成立，则，∵关于n单调递增，∴当n=1时，取得最小值，又λ为正整数，取λ=7，6，5，4，3，2，1．∴当λ=7，6，5，4，3，2，1时，使得对任意n∈N*，都有b n+1＞b n成立．点评：熟练掌握等差数列的定义和通项公式、前n项和公式、作差法、分类讨论的思想方法是解题的关键．{40656 9ED0 黐232704 7FC0 翀31726 7BEE 篮21626 547A 呺21179 52BB 劻= {22519 57F7 執W。

河北高一下学期第一次阶段性检测数学试题(解析版)

数学试卷一、单选题（40分）1. 已知，则（） ()21i 32iz -=+z =A. B. C. D. 31i 2--31i 2-+3i 2-+3i 2--【答案】B 【解析】【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解. 32i2iz +=-【详解】，()21i 2i 32i z z -=-=+. ()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅故选：B.2. 已知（为虚数单位），则（） ,,3i (i)i a b a b ∈+=+R i A. B.C.D.1,3a b ==-1,3a b =-=1,3a b =-=-1,3a b ==【答案】B 【解析】【分析】利用复数相等的条件可求.,a b 【详解】，而为实数，故， 3i 1i a b +=-+,a b 1,3a b =-=故选：B.3. 已知空间非零向量，，满足，，，与方向相同，则的a b c ,4a b π= a = ()2a b c ⋅+= b c c r 取值范围为（） A. B.C.D.[0,2](0,1)(0,2)(1,2)【答案】C 【解析】【分析】根据向量共线定理及向量数量积的定义可得，进而即得. 21c λ=+【详解】由题可设，由可知，()0b c λλ=>,4a b π= ,4a b c π+=所以，()()2a b c a c c λ⋅+=⋅+== 所以， 21c λ=+∵， 0,11λλ>+>∴，即. 2021λ<<+()0,2c ∈ 故选：C.4. 已知复数满足，则的最大值为（） z 21z -=z A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】本题可根据得出点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，即可得出结果. 21z -=Z ()2,01【详解】因为，所以复数在复平面内所对应的点到点的距离为， 21z -=z Z ()2,01则点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆， Z ()2,01故的取值范围为，的最大值为， z []1,3z 3故选：C . 5. 已知，则（）2i z=-()i z z +=A. B.C.D.62i -42i -62i +42i +【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故2z i =-2z i =+()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.6. 已知平面四边形ABCD 满足，则四边形ABCD 是（） AB DC =A. 正方形B. 平行四边形C. 菱形D. 梯形【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.AB DC =//AB DC【详解】在四边形ABCD 中，，所以，且，AB DC =AB DC =//AB DC 所以四边形为平行四边形． ABCD 故选：B7. 在中，已知，，，则（） ABC A 120B =︒AC 2AB =BC =A. 1B.C.D. 3【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设，,,AB c AC b BC a ===结合余弦定理：可得：， 2222cos b a c ac B =+-21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯ 即：，解得：（舍去）， 22150a a +-=3a =5a =-故. 3BC =故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．8. 已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则的最小值为（）AP BP ⋅A. 2B. 1C.D.2-1-【答案】D 【解析】【分析】选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.【详解】记，BP x =[0,4]x ∈因为，AP BP BA =-所以.222222(1)11AP BP BP BA BP BP BP x x x ⋅=-⋅=-=-=--≥-故选：D二、多选题（20分）9. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知，ABC A 1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=2a =，，则下列说法中正确的有（） 1b =A. B. 1sin 2B =cos B =cos B =C. 三角形ABC 为直角三角形D. ABC S =A 【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项结合正弦定理边化角化简整理即可判断；B 选项结合边的大小求出角，进,a b 0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而结合即可求出角C 选项结合正弦定理求出角，从而可判断；D 选项1sin 2B =B =A 求出角，进而结合三角形面积公式即可求出结果.3C π=【详解】A 选项：因为，结合正弦定理可得1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，又因为，则，因此1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=()0,B π∈sin 0B >，所以，即，故A 正确；1sin cos sin cos 2A C C A +=()1sin 2A C +=1sin 2B =B 选项：因为，则，且，则，因此，故B 错误； a b >0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1sin 2B =6B π=cos B =C 选项：结合正弦定理可得，即，则，因为，所以sin sin a b A B =211sin 2A =sin 1A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2A π=，故三角形ABC 为直角三角形，故C 正确;D 选项：因为，，所以，所以，故D 正确， 2A π=6B π=3C π=11sin 2122ABC S ab C ==⨯⨯=A 故选：ACD.10. 在中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知，，且，ABC A cos cos 2B b C a c =-ABC S =△3b =则A. B. C. D. 1cos 2B =cos B =a c +=a c +=【答案】AD 【解析】【分析】利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解. 【详解】. cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--整理可得:sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-可得sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==为三角形内角,A sin 0A ≠ 故A 正确，B 错误. 1cos ,2B =(0,)B π∈3B π∴=3ABC S b ==A11sin 22ac B a c ==⨯⨯=解得 ,3ac =由余弦定理得 22229()3()9a c ac a c ac a c =+-=+-=+-解得故C 错误，D 正确. a c +=故选: AD.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.11. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西A B A C30°，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东60°，则下列说法正确的是A D B（）A. 处与处之间的距离是；B. 灯塔与处之间的距离是； A D 24n mile C D 16n mileC. 灯塔在处的西偏南60°；D. 在灯塔的北偏西30°．C D D B 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得ABD △AD ACD A ，然后求出相关角度，进而逐项分析即可.CD 【详解】由题意可知，所以，60,75,30ADB BAD CAD ∠=∠=∠= 180607545B ∠=--=,AB AC ==在中，由正弦定理得，所以，故A 正确；ABD △sin sin AD ABB ADB=∠∠()24AD nmile ==在中，由余弦定理得，ACD A CD =即，故B 错误；)CD nmile ==因为，所以，所以灯塔在处的西偏南，故C 正确； CD AC =30CDA CAD ∠=∠= C D 60 由，在灯塔的北偏西处，故D 错误. 60ADB ∠=o D B 60 故选：AC12. [多选]向量，则下列说法正确的是（） 2,6a e b e ==-A.B. 向量方向相反//a b ,a bC.D.||3||a b =3a b =-【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量的数乘运算，即可得到答案；【详解】因为，2,6a e b e ==-所以，故D 正确； 3a b =-由向量共线定理知，A 正确；－3<0，与方向相反，故B 正确；ab由上可知，故C 错误．||3||b a =故选：ABD三、填空题（20分）13. 已知的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且，则的最小角ABC A ::2:3:4a b c =ABC A 的余弦值为__________. 【答案】## 780.875【解析】【分析】由题设可得最小，利用余弦定理可求其余弦值.A 【详解】因为，::2:3:4a b c =2,3,4(0)a k b k c k k ===>因为，故最小，从而.a b c <<A 222547cos 2348k k A k k -==⨯⨯故答案为：. 7814. 已知AD 是的内角A 的平分线，，，，则AD 长为________．ABC A 3AB =5AC =120BAC ∠=︒【答案】158【解析】【分析】先利用等面积法得到，再利用面积公式代值化简即可. ABD CAD ABC S S S +A A A ＝【详解】∵AD 是的内角A 的平分线，且， ABC A 120BAC ∠=︒∴，60BAD CAD ∠∠︒＝＝∵ ， ABD CAD ABC S S S +A A A ＝∴111sin sin sin ,222AB AD BAD AC AD CAD AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠即1113535222AD AD ⨯⨯=⨯⨯解得：. 158AD =故答案为：15815. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若，则sin A +sin C 的最大值是____________．()2224bS a b c a =+-【答案】98【解析】【分析】根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，B 为钝角知sin cos sin()2B A A π==-，由三角形内角和的性质得，即可求最大值. 2B A π=+219sin sin 2(cos )48A CB +=-++【详解】由题设，，则， 1sin 2S ac B =2222sin ()b c ab a c B a +=-∴，又 B 为钝角即为锐角，222sin cos sin()22B A A bc b c a π-=+==-A ∴，即，又，2B A ππ+-=2B A π=+()C A B π=-+∴且， cos cos()sin 2B A A π=+=-sin sin()cos 2B A A π=+=而22sin sin sin sin()sin (1cos )cos sin sin cos cos A C A A B A B A B B B B+=++=++=--，22191cos 2cos 2(cos )48B B B =--=-++∴当时，的最大值为. 1cos 4B =-sin sin A C +98故答案为：98【点睛】关键点点睛：根据已知条件，利用三角形面积公式、余弦定理可得到，再应用三角形2B A π=+内角性质及三角恒等变换写出关于的二次函数式，求最值.sin sin A C +cos B16. 在平面四边形中，，，，，则ABCD AB AD ⊥120ADC ∠= CD =AC =9BC =________．AB =【答案】 3【解析】【分析】在中，由正弦定理得，进而得中，利ACD A sin DAC ∠=cos BAC ∠=ABC A 用余弦定理求解即可.【详解】解：因为，，， 120ADC ∠= CD =AC =所以在中，由正弦定理得ACD A sin sin CD ACDAC ADC=∠∠， sin sin CD ADC DAC AC ⋅∠∠===因为， AB AD ⊥所以， cos cos sin 2BAC DAC DAC π⎛⎫∠=-∠=∠=⎪⎝⎭所以，在中，设，由，即ABC A AB x =222cos 2AC AB BC BAC AC AB +-∠=⋅=，解得2690x x -+=3x =所以，. 3AB =故答案为：3四、解答题（70分）17. 如图所示，已知向量，求作向量．,,,a b c d ,a b c d --【答案】答案见解析【解析】【分析】平面内将的起点都移至O 点，令，即可作.,,,a b c d ,,,OA a OB b OC c OD d ====,a b c d -- 【详解】如图所示，在平面内任取一点O ，，,,,OA a OB b OC c OD d ====∴，即为所求．,BA a b DC c d =-=-18. 如图．在中，是的中点，点在上，且，与交于点．若ABC A D BC E AB 2BE EA =AD CE O ，求的值． 6AB AC AO EC⋅=⋅ ABAC【解析】【分析】设，，由向量线性运算得， AO AD λ= EO EC μ= 1223AO AB AC AB AC λλμμ-=+=+ 由此可构造方程组求得，由可求得,λμ11166443AB AC AO EC AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此可得结果.223AB AC = 【详解】设，又，则； AO AD λ= ()12AD AB AC =+ ()222AO AB AC AB AC λλλ=+=+ 设，EO EC μ= ， ()()1AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC μμμμ∴=+=+=+-=-+ 又，，， 2BE EA =13AE AB ∴= 13AO AB AC μμ-∴=+ ，解得：，，， 1232λμλμ-⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1144AO AB AC ∴=+ 13EC AC AE AC AB =-=- ， 22111136644322AB AC AO EC AB AC AC AB AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+⋅-=-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 223AB AC ∴= AB ∴= AB AC=19. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且． ABC A ()()22cos 2cos 2C a c A C b b +++=（1）求B ；（2）如图，若D 为外一点，且，，，，求AC ． ABC A 7π12BCD ∠=AB AD ⊥1AB =AD =【答案】（1） 2π3B =（2）AC =【解析】【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式和正弦定理可得，进而得2sin cos sin A B A -=，从而得到； 1cos 2B =-2π3B =（2）连接BD ，由已知得，，可得，利用正弦定理可得2BD =tan ABD ∠=π3ABD ∠=．4BC =-AC =【小问1详解】由， ()()22cos 2cos2C a c A C b b +++=得， ()()22cos π2cos12C a c B b ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭即，()2cos cos a c B b C -+=由正弦定理，得，()2sin sin cos sin cos A C B B C -+=整理，得，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=+∴，()2sin cos sin sin A B B C A -=+=又，∴，∴， ()0,πA ∈sin 0A >1cos 2B =-又，∴； ()0,πB ∈2π3B =【小问2详解】连接BD ，因为，，， AD AB ⊥1AB =AD =所以，， 2BD ==tan AD ABD AB ∠==所以，所以． π3ABD ∠=π3CBD ABC ABD ∠=∠-∠=又，所以， 7π12BCD ∠=ππ12BDC BCD CBD ∠=-∠-∠=在中，由正弦定理可得，即， BCD △sin sin BD BC BCD BDC =∠∠27ππsin sin 1212BC =所以 πππ2sin 2sin 341247πππsin sin 1234BC ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭在中，由余弦定理可得ABC A2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=((222π14214cos 333=+--⨯⨯-=-所以．AC =20. 在中，a ，b ，c 分别为角A ､B ､C 的对边，. ABC A ()22cos cos c aB b A a b bc +=-+（1）求A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，且BD =2DC ，a .AD =【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，再利用余弦()22cos cos c a B b A a b bc +=-+222c b a bc +-=定理求解；（2）根据BD =2DC ，由角平分线定理得到c =2b ,再由，得到，再利ABC ABD ACD S S S =+A A A ()2bc b c =+用余弦定理求解.【小问1详解】解：因为， ()22cos cos c a B b A a b bc +=-+所以,， ()22sin sin cos sin cos sin sin sin sin C A B B A A B B C +=-+即，222sin sin sin sin sin C A B B C =-+即，222c b a bc +-=所以， 2221cos 22c b a A bc +-==因为，()0,A π∈所以；3A π=【小问2详解】因为角A 的平分线AD 交BC 于D ，且BD =2DC ，由角平分线定理得：c =2b ,又，ABC ABD ACD S S S =+A A A 即， 111sin 60sin 30sin 30222bc c AD b AD =⋅⋅+⋅⋅所以，即， AD ==()2bc b c =+所以，3,6b c ==由余弦定理得：，2222cos 27a c b bc A =+-=所以.a =21. 在中，． ABC A sin 2C C =（1）求；C ∠（2）若，且的面积为的周长．6b =ABC A ABC A 【答案】（1）6π（2）6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； cos C C C （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.a c ABC A 【小问1详解】解：因为，则，()0,C π∈sin 0C >2sin cos C C C =可得，因此，. cos C =6C π=【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，解得.13sin 22ABC S ab C a ===A a =由余弦定理可得， 2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=c ∴=所以，的周长为. ABC A 6a b c ++=22. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知． ABC A 1a b c ===（1）求中的最大值；sin ,sin ,sin A B C （2）求边上的中线长．AC【答案】（1）最大值为sin B =（2）12【解析】【分析】（1）先判断为最大，再根据余弦定理可求其余弦值，从而可求其正弦值.sin B （2）由可得求中线长. 1()2BD BA BC =+ 【小问1详解】，故有，1>>sin sin sin b a c B A C >>⇒>>由余弦定理可得， cos B ==又，，故 (0,)B π∈34B π∴=sin B 【小问2详解】设边上的中线为，则， AC BD 1()2BD BA BC =+， 2222223(2)()2cos 121cos 14BD BA BC c a ca B π∴=+=++=++⨯= ，即边上的中线长为． 1||2BD ∴= AC 12。

高一数学下学期第一次阶段测试试题

一中2021年春季学期第一次考试高一年级数学试卷第一卷〔一共48分〕一、单项选择题：此题一共12小题，每一小题4分，一共48分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求的。

1．与2019︒终边一样的角是( ) A ．37︒B ．141︒C ．37-︒D ．141-︒2．一个扇形的面积是21cm ，它的半径是1cm ，那么该扇形圆心角的弧度数是〔〕 A ．12B ．1C ．2D ．2sin13．假设角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin tan αα+的值是〔〕A ．1115-B ．2915-C ．815-D ．32154．sin()22sin 3cos()5πααα-=+-，那么=αtan 〔〕A ．6-B ．6C ．23-D ．235．点(sin ,sin cos )P θθθ位于第二象限，那么角θ所在的象限是〔〕 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．⎩⎨⎧≤>=0,40,log )(3x x x x f x ，假设角α的终边经过点(1,P ，那么((cos ))f f α的值是〔〕 A ．14B ．14-C ．4D ．-47．函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，假设将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，那么()g x 的解析式为〔〕A ．()sin(4)6g x x π=+B ．()sin(4)3g x x π=-C ．()sin(2)6g x x π=+D ．()sin 2g x x =8．函数|tan |cos x x y =〔230π<≤x ，且2π≠x 〕的图象是以下图中的〔〕 A ． B ．C ．D ．9．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，那么ϕ的值是〔〕A .0 B.4π C. 2πD.π10．化简3cos 3sin 14cos 14sin 222-+-的结果为〔〕 A ．3-B ．1-C ．1D ．311．同时具有性质：①()f x 最小正周期是；②()f x 图象关于直线3x π=对称；③()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是〔〕 A.sin()23x y π=+B ．sin(2)6y x π=-C ．cos(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=+12．函数11+=x y 的图象与函数x y πsin 3=)24(≤≤-x 的图象所有交点的横坐标之和为〔〕 A ．4- B ． 2- C ．8- D ．6-第二卷〔非选择题一共72分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。

湖南省高一下学期第一次阶段性诊断考试数学试题(解析版)

数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至第二册第七章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（） {}41A x x =<{}368B x x =-<<A B ⋃=A. B. C. D. 14x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭1124x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭43x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭1324x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用并集的定义求解作答. 【详解】依题意，，，所以. 1{|}4A x x =<14{|}23B x x =-<<4{|}3A B x x =< 故选：C2. 已知向量，，若，则（）()1,4a =- ()3,2b λ=-()2a a b +∥ λ=A. －1 B. 6 C. －6 D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示，和向量共线的坐标表示，求解参数.【详解】向量，，则， ()1,4a =- ()3,2b λ=- ()21,82a b λ+=-由，得，解得.()//2a a b +482λ=-+6λ=故选：B3. 已知，则（） ()()1i i 24i z ++=-z =A.B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据复数的四则运算可得，进而可求模长.14i z =--【详解】∵，则， ()()1i i 24i z ++=-()()()()24i 1i 24i 26i i i i 14i 1i 1i 1i 2z -----=-=-=-=--++-∴.z ==故选：A.4. 若函数的最大值为4，则函数的最小正周期为（） ()sin 1f x a x =+()()cos 1g x ax =+A. B.C.D.2πππ22π3【答案】D 【解析】【分析】由正弦函数的值域和的最大值求得，再由余弦型函数的周期公式求的最小正周期. ()f x a ()g x 【详解】由，函数的最大值为4，则， 1sin 1x -≤≤()sin 1f x a x =+3a =±函数的最小正周期为. ()()cos 1g x ax =+2π2π3T a ==故选：D5. 从O 地到A 地的距离为1.5km ，从A 地到B 地的距离为2km ，且，则20.6km OA AB ⋅=- 2OB =（） A. B.C.D.25.25km 25.05km 26.45km 27.45km 【答案】B 【解析】【分析】根据，结合数量积的运算律运算求解.OA AB OB =+【详解】由题意可得：，22221.5km ,2km OA AB ==u u r u u u r ∵，OA AB OB =+故.()()222222222 1.520.62 5.05km OB OB OA ABOA OA AB AB ==+=+⋅+=-⨯+=u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u r u u u r u u u r 故选：B.6. 在中，角的对边分别是.已知，则（） ABC A ,,A B C ,,a b c 2sin sin 1,cos 24B A A a b ==-c b=A.B.C.D.32233412【答案】A 【解析】【分析】根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到，设，代入计算得到答案. 2a b =131224c b b c -=-ct b=【详解】，即，故， 2sin sin 2B Aa b=224a b =2a b =，222223131cos 22224b c a c b c b A bc bc b c +--===⋅-⋅=-设，则，解得或（舍去）.c t b =1311224t t -⋅=-32t =2t =-故选：A 7. 设钝角满足，则（） αcos 2sin 812sin 5ααα-=-3tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.B. C. 7D.1717-7-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简求出，再利用同角公式及和角的正切公式求解sin α作答.【详解】因为，则2cos 2sin 12sin sin (1sin )(12sin )1sin 12sin 12sin 12sin αααααααααα---+-===+---81sin 5α+=，解得，而为钝角，则，， 3sin 5α=α4cos 5α==-sin 3tan cos 4ααα==-所以. 3π3tan tan13π44tan()73π341tan tan 1()(1)44ααα+--+===----⨯-故选：D8. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB ，高约为50m ，在它们之间的地面上的点Q （B ，Q ，D 三点共线）处测得A 处、泰姬陵顶端C 处的仰角分别是45°和60°，在A 处测得泰姬陵顶端C 处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD 为（）A. 75mB. mC. mD. 80m【答案】A 【解析】【分析】中边角关系解出，中由正弦定理解得，中由边角关系解得Rt ABQ A AQ CAQ A CQ Rt CDQ △.CD 【详解】由已知得为等腰直角三角形，，，ABQ A 50AB=AQ =，，则有，45AQB ∠= 60CQD ∠= 75CQA ∠= A 处测C 处的仰角为15°，则，∴，60QAC ∠= 45QCA ∠= 中，由正弦定理，，解得， CAQA sin sin AQ CQ QCA QAC=∠∠=CQ =中，. Rt CDQ △sin CD CQD CQ ∠=sin 75CD CQ CQD =∠==故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数，满足，，则，（） 1z 2z 123i z z +=-1253i z z -=+A. B. 在复平面内对应的点位于第三象限 14i z =+2z C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为122z z +12z z 29i -+【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，求出复数，，再逐一计算判断各个选项作答. 1z 2z 【详解】因为，，则，123i z z +=-1253i z z -=+1i 2()()8i 2353i z -+=+=+，23i 53i i 2()()24z ==-+---解得，A 正确；21i,142i z z =-+-=复数在复平面内对应的点位于第三象限，B 正确；2z (1,2)--，则为实数，C 错误；1272i 12i 2(4)()z z --=+++=122z z +，所以的共轭复数为，D 正确.12i)(12i)(429i z z -+=-=--12z z 29i -+故选：ABD10. 如图，I ，J 分别为CD ，CE 的中点，四边形，，均为正方形，则（）ABCD BCEF GHIJA. B. 在上的投影向量为0CA CF ⋅= HB AB 12ABC.D. 在上的投影向量为0FA AC ⋅> HB CB2CB 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，根据可判断；对于B ，根据投影向量的定义可判断；对于C ，根据与π2ACF ∠=FA 的夹角为可判断；对于D ，根据投影向量的定义可判断. AC3π4【详解】对于A ，由图可知，则，所以，A 正确；π4ACB FCB ∠∠==π2ACF ∠=0CA CF ⋅= 对于B ，如图，设M ，N 分别为AB ，HG 的中点，连接IM ，CN ，在上的投影向量为，B 正确；HB AB12MB AB = 对于C ，因为与的夹角为，所以，C 错误；FA AC 3π40FA AC ⋅< 对于D ，在上的投影向量为，D 正确．HB CB2NB CB = 故选：ABD11. 若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是()f x ()g x ()h x R （）A. B. ()()()y f h x g x =()()()y f g x h x =+C. D.()()()y f g x h x =()()()y f x g x h x =【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义逐项判断即可.【详解】若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数， ()f x ()g x ()h x R 则，， ()()=f x f x -()(g x g x =--()()h x h x =-对于函数，则()()()()y F x f h x g x ==，()()()()()()()()()()()()F x f h x g x f h x g x f h x g x F x -=--=⋅-=-⋅=-则为奇函数；()()()y f h x g x =对于函数，则， ()()()()y G x f g x h x ==+()()()()()()()()G x f g x h x f g x h x G x -=-+-=+=则为偶函数； ()()()y f g x h x =+对于函数，则()()()()y H x f g x h x ==，()()()()()()()()()()()H x f g x h x f g x h x f g x h x H x -=--=-==则为偶函数；()()()y f g x h x =对于函数，则()()()()y M x f x g x h x ==，()()()()()()()()M x f x g x h x f x g x h x M x -=---==则为偶函数. ()()()y f x g x h x =故选：BCD.12. 在锐角中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，B 的角平分线交AC 于D ，ABC A b =） BD =A. B.π6B =ππ62C <<C. D.c <<1624ac <≤【答案】BCD 【解析】【分析】根据已知条件及角平分线的定义，利用三角形的面积公式、三角形的内角和定理及锐角三角形限制角的范围，结合正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，再利用二倍角的正弦余弦公式及三角函数的性质即可求解.【详解】因为是角的平分线， BD ABC ∠所以. 2BABD CBD ∠=∠=由题意可知， ,即, ABC ABD ACD S S S =+A A A 111sin sin sin 222ac B aBD ABD cBD CBD =∠+∠所以，即，(112sin cos 22222B B Bac a c ⋅⋅=+2sin cos 222B B B =因为为锐角三角形， ABC A 所以, π02B <<所以， π024B <<所以，sin 02B≠所以，即 2cos2B =cos 2B =所以，即,故A 错误；π26B =π3B =在中，,即， ABC A πA B C ++=2π3A C =-因为为锐角三角形，ABC A 所以，解得，故B 正确；2ππ032π02C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩ππ62C <<由正弦定理得,即, sin sin b c B C=sin sin b C c CB ===因为，ππ62C <<所以，即1sin 12C <<C <<所以C 正确；c <<由正弦定理，2sin b R B ===所以 2sin ,2sin ,a R A A c R C C ===所以2π2π2π32sin sin 32sin sin 32sin cos cos sin sin 333acA C C C C C C⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21132cos sin 162cos 2822C C C C C ⎫⎫=+=-+⎪⎪⎪⎪⎭⎭π16sin 286C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为， ππ62C <<所以，ππ5π2666C <-<所以， 1πsin 2126C ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭所以， π1616sin 28246C ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭所以，故D 正确. 1624ac <≤故选：BCD.【点睛】解决此题的关键是利用等面积法及锐角三角形限制角的范围，结合正弦定理的边角化及三角恒等变换，再利用三角函数的性质即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知正数a ､b ，，则的最小值为__________． 121a b+=ab 【答案】8 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式得到. 121+=≥a b【详解】因为121+=≥a b 所以（当且仅当，即，时取等号）， 8ab ≥12a b=2a =4b =故的最小值为， ab 8故答案为：814. 若复数z 的虚部小于0，且，则______________． 21z =-1zz =+【答案】11i 22-【解析】【分析】设且，根据，求出，再根据复数的出发运算即可得解. i(,R z a b a b =+∈0)b <21z =-,a b 【详解】设且， i(,R z a b a b =+∈0)b <则，()22222i 1i z a b a b ab =+=+=--所以，则或（舍去），22120a b ab ⎧-=-⎨=⎩2210a b a ⎧-=-⎨=⎩2210a b b ⎧-=-⎨=⎩所以（舍去）或，10b a =⎧⎨=⎩1b a =-⎧⎨=⎩所以，i z =-则. ()()()i 1i i 11i 11i 1i 1i 22z z -+-===-+--+故答案为：. 11i 22-15. 已知函数，若在区间内恰好存在两个不同的，使得()()π6cos 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭2π0,3⎛⎤⎥⎝⎦0x ，则ω的最小值为______________．()03f x =【答案】114【解析】【分析】时有，依题意有，可求ω的最小值. ()03f x =0π1cos 62x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭5π2ππ7π3363ω≤-<【详解】函数，由，则()()π6cos 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()00π6cos 36f x x ω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0π1cos 62x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，时，，02π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦0ππ2ππ,6636x ωω⎛⎤-∈-- ⎥⎝⎦依题意有，解得， 5π2ππ7π3363ω≤-<111544ω≤<所以ω的最小值为.114故答案为：11416. 已知向量，满足，为任意向量，则的最小值为a b 2a = 2a b ⋅=-c ()()a cbc -⋅- ______________．【答案】##-2.5 52-【解析】【分析】由已知可得向量，夹角为，可取取，，设，利用配方法a b 3π4()2,0a = ()1,1b =- (),c x y = 求的最小值.()()a cbc -⋅-【详解】由，设向量，夹角为，2a =2ab ⋅=-a b θ则，由，得，cos a b a b θ⋅===⋅[]0,πθ∈3π4θ=取，，满足， ()2,0a = ()1,1b =- 2a = 2a b ⋅=-设，则，，(),c x y = ()2,a c x y -=-- ()1,1b c x y -=---()()()()()()211a c b c x x y y -⋅-=---+-- ， 22221152222x x y y x y ⎛⎫⎛⎫=--+-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当时，有最小值. 12x y ==()()a cbc -⋅- 52-故答案为： 52-四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且．a b 1a = 2b = a b ⊥（1）在图中，以A 为起点作出向量，使得；c 2c a b =+ （2）在（1）的条件下，求．c d ⋅ 【答案】（1）作图见解析（2）2【解析】【分析】（1）由向量线性运算的几何表示作出向量；c （2）利用向量，为基底，求.a b c d ⋅【小问1详解】，以A 为起点作出向量，如图所示，2c a b =+ c 【小问2详解】由图中网格可得：， 122d a b =- 由，，且1a = 2b = 0a b ⋅= 则有 ()2211224222a b a b c d a b ⎛⎫+-=-= ⎪⋅⎝⎭⋅= 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知． 222222sin sin b c a a c b B A+-+-=（1）证明：．A B =（2）若D 为BC 的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另4=AD 1cos 4C =2CD =外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证；A B =（2）三种情况，在中，利用余弦定理证明即可. ACD A 【小问1详解】已知，由余弦定理可得， 222222sin sin b c a a c b B A +-+-=2cos 2cos sin sin bc A ac B B A =即，又由正弦定理，得， cos cos sin sin b A a B B A=sin sin b a B A =cos cos A B =角A ，B 为△ABC 中内角，所以.A B =【小问2详解】△ABC 中, ，D 为BC 的中点，如图所示，A B =①②③()1⇒已知，，求证. 4=AD 1cos 4C =2CD =证明：，中，， 2AC CD =ACD A 2222224161cos 244AC CD AD CD CD C AC CD CD +-+-===⋅解得.2CD =①③②()2⇒已知，，求证. 4=AD 2CD =1cos 4C =证明：，所以中，. 24AC CD ==ACD A 222164161cos 22424AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⨯⨯②③①()3⇒已知，，求证：. 1cos 4C =2CD =4=AD 证明：，在中，由余弦定理，24AC CD ==ACD A ，所以 22212cos 164242164AD AC CD AC CD C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=4=AD 19. 已知函数（，且）的定义域和值域都是． ()xf x a b =+0a >1a ≠[]0,2（1）求的值；,a b （2）求不等式的解集．()()933x x f f b ->+【答案】（1）1a b ==-（2）(]39log 2,log 5【解析】【分析】（1）对分类讨论，根据函数的单调性可得关于的等式，求解得答案；a ,ab （2）由（1）得解析式确定函数单调性，列不等式求解即可.【小问1详解】当时，函数在上单调递减，所以，无解； 01a <<()x f x a b =+[]0,2()()020220f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩当时，函数在上单调递增，所以，解得或1a >()xf x a b =+[]0,2()()020022f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩1a b ==-（舍）； 1a b ==-综上，;1a b ==-【小问2详解】由（1）得，，则函数在上单调递增， ()1x f x =-[]0,2x ∈()f x []0,2又，则，解得，()()9331x x f f ->-293310x x ≥->-≥39log 2log 5x <≤所以不等式得解集为.(]39log 2,log 520. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，AC ＝4，，BC ⊥CD ，E 为AD 的中点，CD =AC 与BE 相交于点F ．（1）求△ACD 的面积；（2）求的值．sin AFE ∠【答案】（1；（2. 【解析】【分析】（1）在中用余弦定理求出，再利用诱导公式及三角形面积公式求解作答.ABC A cos ACB ∠（2）利用余弦定理求出，由正弦定理求出，然后利用和差角及二倍角的三角函数公式求解作AD CAD ∠答..【小问1详解】在中，由余弦定理得：， ABC A 2222224327cos 22438AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯由得：， BC CD ⊥7sin cos 8ACD ACB ∠=∠=所以的面积. ACD A 117sin 4228ACD S AC CD ACD =⨯⨯∠=⨯=A【小问2详解】在中，由（1）知， ACDA cos ACD ∠===由余弦定理得，4AD ===由正弦定理，得sin sin CD AD CAD ACD =∠∠sinsin CD ACD CAD AD ∠∠===而，即是锐角，则， AD CD >CAD ∠17cos 32CAD ∠===在中，， ABC A 22222224311cos 222416AB ACBC BAC AB AC +-+-∠===⋅⨯⨯， sin BAC ∠===因此cos cos()cos cos sin sin BADBAC CAD BAC CAD BACCAD ∠=∠+∠=∠∠-∠∠， 1117116324=⨯=-在中，，即， ABE A 122AE AD ==AEB ABE ∠=∠，而是锐角，解得21cos cos(π2)cos 212cos4BAD AEB AEB AEB ∠=-∠=-∠=-∠=-AEB ∠，cos AEB ∠=，在中，， sin AEB ∠==AEF △π()AFE CAD AEB ∠=-∠+∠所以sin sin()sin coscos sin AFE CAD AEB CADAEB CAD AEB ∠=∠+∠=∠∠+∠∠1732==21. 已知函数的部分图象如图所示. ()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（1）求的解析式；()f x （2）若方程在上恰有三个不相等的实数根，求的取值范()0f x m -=40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()123123,,x x x x x x <<m 围和的值.()123tan 2x x x ++【答案】（1） ()2sin(2)3f x x π=+（2）见解析【解析】【分析】（1）由函数图象可得，，求得，将点代入的解析式，求得2A =T π=2ω=,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ，即可求得函数的解析式；.3πϕ=()f x （2）将问题转化为函数与的图象在上有三个不同的交点，结合图象以及对称性求解()f x y m =40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦即可.【小问1详解】解：由函数的图象可得，且，解得， ()f x 2A =43124T πππ=-=T π=所以，即， 22Tπω==()2sin(2)f x x ϕ=+将点代入的解析式，可得， ,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈解得， 2,3k k Z πϕπ=+∈因为，可得，所以. ||2ϕπ<3πϕ=()2sin(23f x x π=+【小问2详解】方程在上恰有三个不相等的实数根， ()0f x m -=40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则函数与的图象在上有三个不同的交点， ()f x y m =40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦设交点的横坐标分别为.()123123,,x x x x x x <<函数在上的图象如下图所示： ()f x 40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦由图可知，.0m ≤<由对称性可知，. 1231223713102()()2212132x x x x x x x πππ++=+++=⨯+⨯=故 12210tan(2)tan tan 33x x x ππ++===22. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且． π8,3a A ==（1）若，求的值；π2B ≠2cos c b B-（2）求的最小值．AB AC AB AC +-⋅【答案】（1）16（2）16-【解析】【分析】（1）先利用正弦定理分别求出，再根据三角形内角和定理将用表示，再将所求化简即可,b c C B 得解；（2）利用余弦定理结合可得，结合基本不等式求出的范围，计算可得2264b c bc +=+bc，令. 12AB AC AB AC bc +-⋅=- t =【小问1详解】因为， π8,3a A ==所以sin sin sin b c a B C A===所以，(),8cos b B c C A B B B ===+=则；216cos c b B -==【小问2详解】由，222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-得，2264b c bc +=+因为，所以，222b c bc +≥22642b c bc bc +=+≥所以，当且仅当时，取等号， 64bc ≤8b c ==，AB AC +==== ， 12AB AC bc ⋅=令， t t =<≤21322bc t =-则， ()221121744AB AC AB AC t t t +-⋅=-+=--+因为，8t <≤()211621784t -≤--+<所以的最小值为．AB AC AB AC +-⋅16-。

高一数学下册第一次段考试卷

高一数学下册第一次段考试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在下列四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1.已知135sin =α,且α是第二象限角，那么αtan 的值为（）125).-A 125).B 512).C 512).-D2.化简1sin 2cos 22-+的结果是（）1cos ).-A 1cos ).B 1cos 3).C 1cos 3).-D 3.函数2249sin -⎪⎭⎫⎝⎛-=x y π的单调增区间为（）()z k k k A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-83,8).ππππ ()z k k k B ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++872,832).ππππ ()z k k k C ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87,83).ππππ ()z k k k D ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-832,82).ππππ 4.已知函数())cos(sin )(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数,则ϕ的一个取值为( )0).A 4).π-B 2).πC π).D5.在正四面体ABC P -中,F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点,下列四个结论不正确的是( )BC A ).∥平面PDF DF B ).⊥平面PAEABC C 平面).⊥平面PDF PAE D 平面).⊥平面ABC6.为了得到函数)321sin(3π-=x y 图象,可以将函数)621sin(3π+=x y 的图象( )).A 向右平移2π个单位长度 ).B 向右平移π个单位长度).C 向左平移2π个单位长度 ).D 向左平移π个单位长度7.函数)4(sin )4(cos 22ππ+-+=x x y 是( )).A 周期为π,且在[]π,0上是递增).B 周期为π,且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上是递减).C 周期为π2的偶函数).D 周期为π2的非奇非偶函数8.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（）83,21).πϕω==A πϕω==,21).B 2,1).πϕω==C 83,1).πϕω==D 9.如果直线m x y +-=33与圆122=+y x 在第一象限有两个不同的交点，那么实数m 的取值范围是（）()2,3).-A ()3,3).-B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,33).C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛332,1).D10.设,cos sin )cos (sin αααα⋅=+f 则)6(sin πf 的值为（）83)-A 81)B 81)-C 83)D 11.已知函数,),cos (sin sin 2)(R x x x x x f ∈-=ωωω又(),1,21)(21=-=x f x f 且21x x -的最小值等于π,则正数ω的值为( )1).A 21).B 41).C 81).D12.对于任意的R x ∈,不等式03sin cos 122≤-++-mm x m x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）23).-≤m A 10).≤<m B 30).≤<m C 3023).≤<-≤m m D 或二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13．=-)1860sin(14.已知,43,2,1024cos ⎪⎭⎫⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππx x 则=x sin15.对于任意实数k ，直线()0223=--+ky x k 与圆022222=---+y x y x 的位置关系是16.设函数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-∈>+=2,2,0sin ππϕωϕωx y 的最小正周期为π,且其图像关于直线12π=x 对称,则在下面四个结论中:①图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π对称，②图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π对称，③在⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π上是增函数，④在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π上是增函数，那么所有正确结论的编号是三、解答题(本大题共6小题,共74分,要求写出具体的解题过程)17.已知24tan =⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）求αtan 的值（2）求ααα2cos cos sin 21+的值18.已知函数()xx x f cos 42sin 21⎪⎭⎫ ⎝⎛--=π（1）求函数)(x f y =的定义域；（2）设α是第四象限的角，且34tan -=α，求()αf 的值。