2019年上海市杨浦区高三数学一模(理科)数学试卷(含答案)
上海市2019年七校联考高考数学一模试卷(理科)含答案解析
上海市2019年七校联考高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是．（用数字作答）4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．318．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．2019年上海市七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是x=0．【分析】由已知得（2x）2﹣2×2x+1=0，由此能求出原方程的解．【解答】解：∵4x=2x+1﹣1，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，解得2x=1，∴x=0．故答案为：x=0．【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为5．【分析】根据余子式的定义可知，M21=﹣，计算即可得解．【解答】解：由题意得：M21=﹣=5，故答案为：5．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数【解答】解：（1+）6展开式的通项为T r+1=C6r（）r=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．故答案为：15【点评】本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．【分析】由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换可得：y=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为8．【分析】利用双曲线和抛物线的简单性质直接求解．【解答】解：∵双曲线，∴c==2，∴双曲线的两个焦点坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），∵抛物线x2=py的焦点F（，0）与双曲线的上焦点重合，∴==2，∴p=8．故答案为：8．【点评】本题考查抛物线中参数的求法，是基础题，解题时要注意双曲线和抛物线的简单性质的合理运用．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=5000．【分析】由已知条件可得数列的奇数项是以0为首项，以2为公差的等差数列、偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，分别代入等差数列的前n项和公式计算．【解答】解：a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=（0+2+4+...+98）+（2+4+ (100)=49×50+51×50=5000故答案为5000．【点评】本题主要考查等差数列的求和公式，分组求和的方法，考查学生的运算能力．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x ≤1，或x=2} ．【分析】结合函数的图象可得，若f[f（x）]=2，则f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象求得x得范围；若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求．【解答】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示：故函数的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．由f[f（x）]=2 可得f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象可得0≤x≤1，或x=2．若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x∈∅．综上可得，使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2}，故答案为{x|0≤x≤1，或x=2}．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据曲线的方程可求得函数的周期，进而根据被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，推断出k==1，A＞=3．答案可得．【解答】解：曲线y=Asin（2ωx+ϕ）+k（A＞0，k＞0）的周期为T==，被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，结合图形可得k==1，A＞=3．则A+k＞4，故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查了三角函数图象和性质，对y=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0），周期为T=，平衡位置为y=B，y max=A+B，y min=﹣A+B，属于中档题．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为18+12．【分析】求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成θ的三角函数，求出最．大值【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴=﹣18cosθ+6sinθ+18=12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．【分析】从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，共有种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，由此能求出数学期望Eξ．【解答】解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）==，若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）==，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=，∴随机变量ξ的数学期望E（ξ）=1×+×=．故答案为：．【点评】本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…（5分）又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n）=0+π+…+（n﹣1）π=﹣1∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．【分析】由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．【解答】解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=R，E为BO的中点，AE==R，AP==R，AP2=OP2+OA2﹣2OPOAcos∠AOP，∴（R）2=R2+R2﹣2RRcos∠AOP，∴cos∠AOP=，∠AOP=arccos，∴A、P两点间的球面距离为．故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当b=﹣1，a=1时，满足，但不成立．若，则，∴，∴成立．∴“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．【解答】解：函数f（x）=acosax，因为函数f（﹣x）=acos（﹣ax）=acosax=f（x），所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：π，所以a=2，所以B不正确，C正确．故选C【点评】本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）从而得到，通过累加得：m=+…+=﹣=2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，可得：a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分．【解答】解：由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1），，∴m=+…+=﹣═2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，∴a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分1．故答案选：B．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．18．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用定义，只要求出g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数h（x）=sin，x＞0，观察h（x）与g（x）=log2（x+1），x＞0的交点个数，即为中心对称点的组数．【解答】解：由题意可知g（x）=sin，x≤0，则函数g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数为h（x）=sin，x＞0，则坐标系中分别作出函数h（x）=sin，x＞0，g（x）=log2（x+1），x＞0的图象如图，由图象可知，两个图象的交点个数有1个，所以函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为1组．故选：B【点评】本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决本题的关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．【分析】（1）连接C1B，因为C1B∥EF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等．（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离．【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）（2分）（1），，∴（6分）（2）设平面AEF的一个法向量为，∵，由得令a=1可得（10分）∵，∴（13分）∴点B1到平面AEF的距离为．（14分）【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，可得椭圆的标准方程为：；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0 ①，由（*）式，②，得y1+y2=k（x1+x2）+4k③，由①②③，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．．即，整理得20k2﹣4k﹣3＜0，解得．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围；（3）韦达定理可得x1，x2，x3，x4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a表示t．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=（x+）﹣|x﹣|=．故y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f（x）=a（x+）﹣|x﹣|=，f′（x）=，当a≤1时，y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a＞1时，f（x）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2x3=1，x1x4=1，∴x1x2x3x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．【分析】（1）由已知可得，即．分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a1，a2，a3，进而猜想a n（2）由a n=2n可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求（3）因为，，若成立设，则只需即可利用g（n）的单调性可求其最大值，从而可求a的范围【解答】解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．令n=1，得，所以a1=2；令n=2，得，所以a2=4；令n=3，得，所以a3=6．由此猜想：a n=2n．（2）因为a n=2n（n∈N*），所以数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010（3）因为，故，所以．又，故对一切n∈N*都成立，就是对一切n∈N*都成立．设，则只需即可．由于=，所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a的取值范围是．【点评】本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大（小）项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查。
2019-2020学年上海市杨浦区高三年级一模考试数学试卷
2019-2020学年上海市杨浦区高三一模考试数学试卷2019.12 一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.函数12()f x x -=的定义域为 【答案】(0,)x ∈+∞ 【解析】12()f x x-==(0,)x ∈+∞ 2. 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭3.已知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -=【答案】12【解析】因为21log 12=-，所以1(1)2f -= 4.设a R ∈，2(1)a a a a i --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a = 【答案】02a =或【解析】因为2(1)a a a a i --++为纯虚数，所以2010a a a a ⎧--=⎨+≠⎩，所以02a =或5.已知圆锥曲线的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为【答案】3π【解析】2clS =(c 为底面圆周长，l 为母线长)，因为2c π=所以2l =，所以母线与底面所成角的大小为3π6.已知7(1)ax +二项展开式中的3x 系数为280，则实数a = 【答案】2【解析】3334735280T C a a =⋅==，所以2a = 7.椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c =，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅ 8.已知数列{}n a 的通项公式为*1(2)()1()(3)2n n n n a n N n -≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞=【答案】72【解析】因为1112+48n S =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以174lim 3+=121-2n n S →∞=9.在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=，22222cos 2sin PAPB θθθθ⋅=++， 22)PA PBθθθϕ⋅=+-=+，(22PA PB ⋅∈-+10.已知六个函数（1）21y x=；（2）cos y x =；（3）12y x =；（4）arcsin y x =；（5）1lg()1xy x+=-；（6）1y x =+，从中任选三个函数，则其中弃既有奇函数又有偶函数的选法有 种。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
杨浦数学一模(定稿)2019.12评分参考
杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2019.12.一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1． (0,)+∞； 2． 211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭； 3． 12； 4. 2； 5.3π； 6. 2； 7. 35； 8. 72；9.[2-+ ； 10. 12； 11. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦； 12. ①②④二、 选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分） 13. D ； 14. A ； 15. C ； 16. D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）连接EF ，因为E F 、分别为PD PA 、的中点. 所以EF ∥AD （2分）又因为BC ∥AD ，可得：EF ∥BC （4分） 所以B C E F 、、、四点共面 （6分） （2）设AC 与BD 交于点Q ，连接EQ 由,E Q 分别为,DP DB 的中点，可得EQ ∥PB所以AEQ ∠或其补角为异面直线PB 与AE 所成的角 （8分） 由PA ⊥平面ABCD 可得：,PA AB PA AD ⊥⊥ 因为1AB AP ==，AD =PB =2PD = （10分）122EQ PB == 112AE PD == 112==AQ AC （12分）（给在12的关系上）222111cos2+-+-∠===⋅AE EQ AQAEQAE EQ．arccos(0,)42AEQπ∠=∈异面直线PB与AE所成角的大小为（14分）说明：第⑵题也可以用空间向量求解⑵【解】：建立如图空间直角坐标系，(1,0,0)B，D，(0,0,1)P，1(0,)22E(1,0,1)PB=-，1(0,)22AE=（12分）PB与AE所成的角θ满足||2cos||||PB AEPB AEθ⋅==⋅∴异面直线PB与AE所成角的大小为．（14分）18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由(0)17f a=+=，所以6a=，（2分）方程6252xx+=即2(2)5260x x-⋅+=，可得：22x=或23x=（4分）解得1x=或2log3x=（6分）（2）函数的定义域为R（8分）当1a=时，1()22xxf x=+，对任意R x ∈，均有11()22()22x x x x f x f x ---=+=+= 所以1()22x xf x =+为偶函数； （10分） 当1a =-时，1()22x x f x =-，对任意R x ∈，均有11()22()22x x x x f x f x ---=-=-=-所以1()22x x f x =+为奇函数； （12分）当1a ≠ 且1a ≠-时，()22x x af x =+，由(1)22a f =+，1(1)22f a -=+55(1)(1)022f f a +-=+≠，33(1)(1)022f f a --=-≠所以()22x x af x =+为非奇非偶函数。
上海市杨浦区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)
浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷2018.12.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）12，则扇形的面积为▲ ．3▲________．4.▲________．5.满足▲________．6.▲7.▲________．8.▲________．9.3行第2▲________10.i为虚数单位）．在▲________．11.▲________．12. 设为等差数列的公差，数列的前项和，满足，且. 若实数▲________.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. ………( )14. .………( )15.小关系是………( )16.已知函数，记集合，集合………( )三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.（1（218.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）（1（219.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）/（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）.（1（2（3.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）(1)(2) 求证：“”是“”的充要条件；(3)成立？请说明理由．浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准2018.12. 考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上、考号,并核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．；2；3．；4. 3 ；；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；11. 2 ；12.3或4二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. ；14. ；15. ；16.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.分，第2小题满分8分）…… 6分……10分……12分……14分22.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1．……3分∴……7分（2∴……14分23.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1……2分……4分……6分（2……8分……12分……14分24.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）解：（1）焦点到准线的距离2；……4分（2……6分……8分……9分（30，……10分……12分……14分……15分……16分25.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）解：(1)……2分……4分(2)当当当综上，总有所以……6分（充分性）0，根据上式，一个为0，则另一个亦为0，综上，结论得证. ……9分(3)存在……10分假设不存在，……12分且……14分……16分…………18分。
2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝．2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为．3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为．4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝．5．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是．6．（4分）若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于．7．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1+a2+……+a n）＝，则a1的取值范围是．8．（5分）若函数f（x）＝ln的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A，则实数a的取值范围为．9．（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y＝1+f（x）的零点是．10．（5分）已知复数z1＝cos x+2f（x）i，z2＝（sin x+cos x）+i（x∈R，i为虚数单位）．在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期．11．（5分）当0＜x＜a时，不等式+≥2恒成立，则实数a的最大值为．12．（5分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足T n+＝（﹣1）n b n （n∈N*），且d＝a5＝b2，若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．若H n是数列{T n}的前n项和，对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，则所有满足条件的k的值为．二、选择题（本题共有4题，满分20分）13．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）＝arcsin x B．y＝lg|x|C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x14．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）已知f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤b B．b≤c≤a C．c≤b≤a D．a≤b≤c16．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，P A＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣P AD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝．（1）若sin A＝，求cos C；（2）已知b＝4，证明≥﹣5．19．（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1﹣）元，其中1≤x≤10．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．20．（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，满足P A，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（x P，y P），M（x M，y M），证明：y P＝y M；（3）若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的最小值．21．（18分）记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，其中n∈N*．（1）若a n＝2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|a n|＜2018，且|b n|＝1，请问：是否存在K∈N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有b n+1＝b n成立？请说明理由．2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝{1，2}．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用补集定义直接求解．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{3，4，5}，∴∁U A＝{1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为6π．【考点】G8：扇形面积公式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；56：三角函数的求值．【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l＝αr＝×6＝2π，根据扇形的面积公式可得S＝lr＝•2π•6＝6π．故答案为：6π．【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为900．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝11的两条渐近线的方程为：y＝±x，所对应的直线的倾斜角分别为90°，∴双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线的夹角为90°，故答案为：90°．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝3．【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n的值．【解答】解：（a+b）n展开式的二项式系数之和为2n＝8，则n＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是[﹣，]．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．【分析】三角换元后，利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得．【解答】因为x2+y2＝1，所以可设x＝cosθ，y＝sinθ，则xy＝cosθsinθ＝sin2θ∈[﹣，]故答案为[﹣，]【点评】本题考查了三角换元以及正弦函数的值域．属基础题．6．（4分）若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于12πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径，那么圆锥的体积＝×π×底面半径2×高，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长是5cm，∴圆锥的底面半径为3cm，∴圆锥的体积＝×π×32×4＝12πcm3．故答案为：12πcm3．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．7．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1+a2+……+a n）＝，则a1的取值范围是．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】无穷等比数列{a n}中，，推出0＜|q|＜1，然后求出首项a1的取值范围．【解答】解：因为无穷等比数列{a n}中，，所以|q|＜1，＝，所以，∵﹣1＜q＜1且q≠0∴0＜a1＜1且a1≠故答案为：．【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用，解题时要注意极限逆运算的合理运用．8．（5分）若函数f（x）＝ln的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A，则实数a的取值范围为[﹣1，0]．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先化简集合A，由B⊆A，得，得﹣1≤a≤0．【解答】解：∵＞0，∴（x+1）（x﹣1）＜0，∴﹣1＜x＜1，∴A＝（﹣1，1）；∵B⊆A，∴，∴﹣1≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣1，0]．故答案为[﹣1，0]．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．9．（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y＝1+f（x）的零点是﹣1．【考点】OY：三阶矩阵．【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】将行列式按第3行第2列展开，由f（x）＝A32＝﹣＝﹣（4×2x﹣4×4x）＝﹣2x+2（1﹣2x），令y＝1+f（x）＝1﹣2x+2（1﹣2x）＝0，解得：x＝﹣1，即可求得y ＝1+f（x）的零点．【解答】解：第3行第2列的元素的代数余子式A32＝﹣＝﹣4×2x+4×4x＝﹣2x+2（1﹣2x），∴f（x）＝﹣2x+2（1﹣2x），y＝1+f（x）＝1﹣2x+2（1﹣2x），令y＝0，即2x+2（1﹣2x）＝1，解得：2x＝，x＝﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义，考查函数的零点的定义，属于中档题．10．（5分）已知复数z1＝cos x+2f（x）i，z2＝（sin x+cos x）+i（x∈R，i为虚数单位）．在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期π．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知求得Z1，Z2的坐标，结合∠Z1OZ2＝90°可得f（x）的解析式，降幂后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期．【解答】解：由题意，Z1（cos x，2f（x）），，∴∠Z1OZ2＝90°，∴，即2f（x）＝﹣，∴f（x）＝．则函数f（x）的最小正周期为π．故答案为：π．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数周期的求法，是基础的计算题．11．（5分）当0＜x＜a时，不等式+≥2恒成立，则实数a的最大值为2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】想法求出左边式子的最小值，首先把分式形式乘以a2，变形为2+[+]+[+]，利用均值不等式得出式子的最小值．【解答】解：∵（+）a2＝（+）[x+（a﹣x）]2＝（+）[x2+2x（a﹣x）+（a﹣x）2]＝2+[+]+[+]≥2+4+2＝8∴+≥∴≥2'∴0＜a≤2．【点评】考查了对式子的配凑变形，均值定理的应用，思路不太好想，有一定难度．12．（5分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足T n+＝（﹣1）n b n （n∈N*），且d＝a5＝b2，若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．若H n是数列{T n}的前n项和，对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，则所有满足条件的k的值为3，4．【考点】8E：数列的求和．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】求得n＝1，2，3，4，5时，数列{b n}的前5项，即可求出通项公式，再求得d 和首项a1，得到等差数列{a n}的通项公式，求得n＝1，2，3，4，H2n﹣1的特点，结合k ＝3，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值．【解答】解：T n+＝（﹣1）n b n（n∈N*），可得n＝1时，T1+＝﹣b1＝﹣T1，解得b1＝﹣，T2+＝b2＝﹣+b2+＝b2，T3+＝﹣b3＝﹣+b2+b3+，即b2+2b3＝，T4+＝b4＝﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3＝，解得b2＝，b3＝﹣，同理可得b4＝，b5＝﹣，…，b2n﹣1＝﹣，d＝a5＝b2，可得d＝a1+4d＝，解得a1＝﹣，d＝，a n＝，设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1＝T1＝b1＝﹣，H3＝T1+T2+T3＝﹣，H5＝T1+T2+T3+T4+T5＝﹣，H7＝﹣+0﹣＝﹣，…，H2n﹣1＝H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k＝3时，P3＝{x|a1＜x＜a6}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝4时，P4＝{x|a2＜x＜a7}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝5时，P5＝{x|a3＜x＜a8}＝{x|﹣＜x＜1}，当k＝6时，P3＝{x|a4＜x＜a9}＝{x|0＜x＜}，显然k＝5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．答案为：3，4【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式的求法，集合的性质和数列的单调性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．二、选择题（本题共有4题，满分20分）13．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）＝arcsin x B．y＝lg|x|C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可看出f（x）＝arcsin x在[﹣1，1]上单调递增，y＝lg|x|和f（x）＝cos x都是偶函数，从而判断A，B，D都错误，只能选C．【解答】A．f（x）＝arcsin x在区间[﹣1，1]上单调递增；∴该选项错误；B．y＝lg|x|为偶函数，∴该选项错误；C．f（x）＝﹣x是奇函数，且在[﹣1，1]上单调递减；∴该选项正确；D．f（x）＝cos x是偶函数，∴该选项错误．故选：C．【点评】考查反正弦函数和一次函数的单调性，以及奇函数和偶函数的定义．14．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【解答】解：随机选派2人参加象棋比赛，有＝10种，选出的2人中恰有1人是女队员，有＝6种，∴所求概率为＝，故选：B．【点评】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键．15．（5分）已知f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤b B．b≤c≤a C．c≤b≤a D．a≤b≤c【考点】3G：复合函数的单调性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】先判断f（x）在（0，+∞）上是减函数，再比较，，的大小关系，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：∵f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），∴sinθ∈（0，1），故f（x）在（0，+∞）上为减函数．∵a＝f（），b＝f（），c＝f（），∵≥＞0，∴a＝f（）≤b＝f （），a≤b．又≤＝，即）≥，∴b＝f（）≤c＝f（），即b≤c．综上，a≤b≤c，故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，基本不等式的应用，比较两个数大小的方法，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）【考点】19：集合的相等．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；5J：集合．【分析】由{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}可得f（0）＝0，从而求得m＝0；从而化简f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，从而讨论求得【解答】解：设x1∈{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}，∴f（x1）＝f（f（x1））＝0，∴f（0）＝0，即f（0）＝m＝0，故m＝0；故f（x）＝x2+nx，f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，当n＝0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n＝0的根，故△＝n2﹣4n＜0，解得：0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选：A．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，P A＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣P AD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）转换底面，代入体积公式计算；（2）利用线线垂直证明AF⊥平面PBC，即可得出结论．【解答】（1）解：∵P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…（3分）∴…（6分）（2）证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AB，又∵P A＝AB＝1，且点F是PB的中点，∴AF⊥PB…（8分）又P A⊥BC，BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，又AF⊂平面P AB，∴BC⊥AF…（10分）由AF⊥平面PBC，又∵PE⊂平面PBC∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…（12分）【点评】本题给出特殊的四棱锥，考查了线面垂直的证明与性质的运用，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，关键是要熟练掌握定理的条件．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝．（1）若sin A＝，求cos C；（2）已知b＝4，证明≥﹣5．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HR：余弦定理．【专题】15：综合题；35：转化思想；58：解三角形；5A：平面向量及应用．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sin B，由sin B＞sin A，可得A为锐角，可求cos A，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式即可计算得解cos C 的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求得ac≤13，根据平面向量数量积的运算，诱导公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵cos B＝，可得：sin B＝＝，∵sin B＝＞sin A＝，∴B＞A，可得A为锐角，∴cos A＝＝，∴cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝．（2）证明：∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：a2+c2﹣ac＝16，∵a2+c2≥2ac，∴解得：ac≤13，当且仅当a＝c时等号成立，∴＝ac cos（π﹣B）＝﹣ac cos B＝﹣ac≥﹣5．得证．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理，基本不等式，平面向量数量积的运算，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1﹣）元，其中1≤x≤10．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．【考点】5A：函数最值的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得：2（5x+1﹣）≥30，1≤x≤10．解出即可得出．（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，≤10，可得t∈[90，900]．可得获得利润f（t）＝5×+1﹣＝﹣+1，t＞0．利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：2（5x+1﹣）≥30，1≤x≤10．解得：3≤x≤10，因此要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，x的取值范围为[3，10]．（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，≤10，可得t∈[90，900]．则获得利润f（t）＝5×+1﹣＝﹣+1，t＞0．由反比例函数的单调性可得：f（t）在t∈[90，900]单调递减．∴t＝90时，即该厂应选取10千克小时的速度匀速生产，可使生产900千克该产品获得的利润最大，其最大利润为900f（10）＝45630元．故该厂应选取10千克小时的速度匀速生产，可使生产900千克该产品获得的利润最大，其最大利润为900f（10）＝45630元．【点评】本题考查了不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，满足P A，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（x P，y P），M（x M，y M），证明：y P＝y M；（3）若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】34：方程思想；4I：配方法；4J：换元法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由抛物线方程求得p，则答案可求；（2）P（x P，y P），设A（，y1），B（，y2），运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2y P y+8x P﹣＝0的两根，由根与系数的关系即可得到结论；（3）由题意可得，﹣1≤x P＜0，﹣2＜y P＜2，可得△P AB面积为S＝|PM|•|y1﹣y2|，再由配方和换元法结合函数单调性求最值．【解答】（1）解：由抛物线C：y2＝4x，得2p＝4，则p＝2，∴抛物线C的焦点到准线的距离为2；（2）证明：P（x P，y P），设A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为M（x M，y M），则M（，），抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上，可得，，化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2y P y+8x P﹣＝0的两根，可得y1+y2＝2y P，y1y2＝8，可得；（3）解：若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，可得，﹣1≤x P＜0，﹣2＜y P＜2，由（2）可得y1+y2＝2y P，y1y2＝8，由PM垂直于y轴，可得△P AB面积为S＝|PM|•|y1﹣y2|＝（）•＝[﹣]•＝（），令t＝＝＝，得时，t取得最大值．x P＝﹣1时，t取得最小值2，即2≤t≤，则S＝在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，∴△P AB面积的最小值为6．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，属于难题．21．（18分）记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，其中n∈N*．（1）若a n＝2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|a n|＜2018，且|b n|＝1，请问：是否存在K∈N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有b n+1＝b n成立？请说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）a n＝2n+cos，可得a1＝2，a2＝3，a3＝8，M3，m3．即可得出b3．（2）充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，可得b n＝，b n+1＝．b n+1﹣b n＝常数，即可证明“数列{b n}是等差数列”．必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′，b n+1﹣b n＝﹣＝+＝d′，根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1＝M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n＝a n，m n ＝a1，进而得出．同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′＝0时，M n+1＝M n，且m n+1＝m n，故{a n}为常数列，是等差数列．（3）假设结论不成立，即对任意K∈N*，存在n＞K，使b n+1≠b n．由|b n|＝1，b n＝1或﹣1，对∀K∈N*，一定存在i＞K，使得b i，b i+1符号相反．在数列{b n}中存在，，…，，，…，其中k1＜k2＜k3＜…＜k i＜…．﹣1＝＝＝…＝＝，1＝＝＝…＝＝＝…，＝﹣1，＝1.＝﹣1，＝1，由于≥与≤中只有一个等号成立，必有＞，＝．可得＝+4.＝＝+4．k i＞k i﹣1，k i≥k i﹣1+1，≥+1，≥+4，﹣≥4．利用累加求和方法即可得出．【解答】解：（1）∵a n＝2n+cos，∴a1＝2，a2＝3，a3＝8，∴M3＝8，m3＝2．∴b3＝＝5．（2）证明：充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，则b n＝，b n+1＝．∴b n+1﹣b n＝，故“数列{b n}是等差数列”必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′则b n+1﹣b n＝﹣＝+＝d′根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1＝M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n＝a n，m n＝a1，则b n+1﹣b n＝﹣＝＝d′，即a n+1﹣a n＝2d′，即“数列{a n}是等差数列”，同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′＝0时，M n+1＝M n，且m n+1＝m n，故{a n}为常数列，是等差数列．综上可得：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）假设结论不成立，即对任意K∈N*，存在n＞K，使b n+1≠b n．∵|b n|＝1，∴b n＝1或﹣1，∴对∀K∈N*，一定存在i＞K，使得b i，b i+1符号相反∴在数列{b n}中存在，，…，，，…，其中k1＜k2＜k3＜…＜k i＜…且﹣1＝＝＝…＝＝，1＝＝＝…＝＝＝…∵＝﹣1，＝1即＝﹣1，＝1，由于≥与≤中只有一个等号成立，∴必有＞，＝．可得＝+4．∴＝＝+4．∵k i＞k i﹣1∴k i≥k i﹣1+1∴≥+1∴≥+4∴﹣≥4．利用累加求和方法可得：≥+4（m﹣1），∴≥+4×（1010﹣1）＞﹣2018+4036＝2018．这与|a n|＜2018矛盾，故假设错误，∴存在K∈N*，使∀n≥K，有b n+1＝b n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与单调性、累加求和方法、不等式的解法、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市杨浦区2019-2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学试卷(含答案)
杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2019.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1．函数12()f x x-= 的定义域为 .2．关于,x y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 .3．已知函数()f x 的反函数12()log -=fx x ，则(1)-=f .4．设R ∈a ，22(1)i --++a a a 为纯虚数（i 为虚数单位），则a = . 5．已知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为 .6．已知7(1)ax +的二项展开式中3x 的系数为280，则实数a = .7．椭圆22194x y +=的焦点为12 ,F F ，P 为椭圆上一点，若1||5PF =，则 12cos F PF ∠= .8．已知数列{}n a 的通项公式为1(2)1(3)2-≤⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩n n nn a n （*N ∈n ），n S 是数列{}n a 的前n 项和.则lim n n S →+∞= .9. 在直角坐标平面xOy 中，(2,0),(0,1)-A B ，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅ 的取值范围为 .10．已知六个函数：①21y x=；②c o s y x =；③12y x =；④a r c s i n y x =；⑤1l g ()1xy x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种.11．已知函数1()1f x x=-（0x >），若关于x 的方程2[()]()230+++=f x m f x m 有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 .12 ．向量集合(){},,R ==∈ 、S a a x y xy ．对于任意,S αβ∈，以及任意()1,0∈λ，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”．现有四个命题：① 若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ② 若,S T 都是“C 类集”，则集合{},=+∈∈M a b a S b T 也是“C 类集”；③ 若12A ,A 都是“C 类集”，则1A 2A 也是“C 类集”；④ 若12A ,A 都是“C 类集”，且交集非空，则1A 2A 也是“C 类集”．其中正确的命题有_________.（填所有正确命题的序号）二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知实数,a b 满足>a b ，则下列不等式中恒成立的是 （ ）()A 22>a b ()B11<a b()C >a b ()D 22>a b 14．要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x =的图象 （ ）()A 向左平移6π个单位 ()B 向右平移6π个单位 ()C 向左平移3π个单位 ()D 向右平移3π个单位15．设12、z z 为复数,则下列命题中一定成立的是 ( )()A 如果120->z z ,那么12>z z ()B 如果12||||=z z ,那么12=±z z ()C 如果121>z z ,那么12>z z ()D 如果22120+=z z ,那么120==z z 16．对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()∈⎧=⎨∈⎩A Rx A f x x A ð为A 的特征函数.设,A B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是 （ ）()A 若A B ⊆，则()()A B f x f x ≤ ()B ()1()=-R A A f x f x ð()C ()()()A B A B f x f x f x =⋅ ()D ()()()A B A B f x f x f x =+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD .1AB PA ==，AD =,E F 分别为棱,PD PA 的中点.⑴ 求证：B C E F 、、、四点共面； ⑵ 求异面直线PB 与AE 所成的角．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数()22xxaf x =+，其中a 为实常数. ⑴ 若(0)7f =，解关于x 的方程()5f x =； ⑵ 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）东西向的铁路上有两个道口A B 、，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15︒，且位于B 的南偏东15︒方向，D 位于A 的正北方向，2AC AD km ==，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45︒方向的E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60/km h . ⑴ 判断救护车通过道口A 是否会受火车影响，并说明理由；⑵ 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A B 、中的哪个道口？通过计算说明．DECA B20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为(,0)t (0>t ).⑴ 若||OA =A 的坐标；⑵ 若AFD ∆为等腰直角三角形，且90∠=︒FAD ，求点D 的坐标；⑶ 弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有2120,0n n S S -≥≤，则称数列{}n a 具有性质P .⑴ 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由； ⑵ 已知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；⑶ 已知21n b n =-（*N n ∈），数列{}n c 是等差数列，122()()n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围．杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2019.12.一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1． (0,)+∞； 2． 211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭； 3． 12； 4. 2； 5.3π； 6. 2； 7. 35； 8. 72；9.[2-+ ； 10. 12； 11. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦； 12. ①②④二、 选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分） 13. D ； 14. A ； 15. C ； 16. D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）连接EF ，因为E F 、分别为PD PA 、的中点. 所以EF ∥AD （2分）又因为BC ∥AD ，可得：EF ∥BC （4分） 所以B C E F 、、、四点共面 （6分） （2）设AC 与BD 交于点Q ，连接EQ 由,E Q 分别为,DP DB 的中点，可得EQ ∥PB所以AEQ ∠或其补角为异面直线PB 与AE 所成的角 （8分） 由PA ⊥平面ABCD 可得：,PA AB PA AD ⊥⊥ 因为1AB AP ==，AD =PB =2PD = （10分）12EQ PB == 112AE PD == 112==AQ AC （12分）（给在12的关系上）222111cos24+-+-∠===⋅AE EQ AQAEQAE EQ．arccos(0,)42AEQπ∠=∈异面直线PB与AE所成角的大小为arccos4（14分）说明：第⑵题也可以用空间向量求解⑵【解】：建立如图空间直角坐标系，(1,0,0)B，D，(0,0,1)P，1(0,)22E(1,0,1)PB=-，1(0,,)22AE=（12分）PB与AE所成的角θ满足||2cos4||||PB AEPB AEθ⋅==⋅∴异面直线PB与AE所成角的大小为．（14分）18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由(0)17f a=+=，所以6a=，（2分）方程6252xx+=即2(2)5260x x-⋅+=，可得：22x=或23x=（4分）解得1x=或2log3x=（6分）（2）函数的定义域为R（8分）当1a=时，1()22xxf x=+，对任意R x ∈，均有11()22()22xx x x f x f x ---=+=+= 所以1()22xxf x =+为偶函数； （10分） 当1a =-时，1()22xx f x =-，对任意R x ∈，均有11()22()22x xx x f x f x ---=-=-=-所以1()22xx f x =+为奇函数； （12分）当1a ≠ 且1a ≠-时，()22xx a f x =+，由(1)22a f =+，1(1)22f a -=+55(1)(1)022f f a +-=+≠，33(1)(1)022f f a --=-≠所以()22xx a f x =+为非奇非偶函数。
上海市杨浦区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word解析版)
杨浦区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷 2018.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则U A =ð 2. 已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 3. 已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 4. 若()n a b +展开式的二项式系数之和为8，则n = 5. 若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是6. 若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于 3()cm7. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是 8. 若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的 取值范围为9. 在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则 1()y f x =+的零点是10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+，2(3sin cos )i z x x =++（x ∈R ，i 为虚数单位），在复平面上，设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，若1290Z OZ ︒∠=，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期为 11. 当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 12. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2n n n n T b +=-（n ∈*N ），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（k ∈*N ，3k ≥），则称m 具有性质k P ，若n H 是数列{}n T 的前n 项和，对任意的n ∈*N ，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ）A. ()arcsin f x x =B. ()lg ||f x x =C. ()f x x =-D. ()cos f x x = 14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ） A.310 B. 35 C. 25 D. 2315. 已知sin ()log f x x θ=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，(sin cos )b f θθ=⋅， sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤ 16. 已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） A. [0,4) B. [1,4)- C. [3,5]- D. [0,7)三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中心，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且5cos 13B =. （1）若4sin 5A =，求cos C ； （2）已知4b =，证明：5AB BC ⋅≥-.19. 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(51)x x+-元，其中110x ≤≤.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20. 如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B ，满足PA 、PB 的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且(,)P P P x y ，(,)M M M x y ，证明：P M y y =；（3）若P 是曲线2214y x +=（0x <）上的动点，求△PAB 面积的最小值.21. 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，n ∈*N . （1）若2cos2nn n a π=+，请写出3b 的值； （2）求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n ，有||2018n a <，且||1n b =，请问：是否存在K ∈*N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b +=成立？请说明理由.杨浦区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案一. 填空题1. {1,2}2. 6π3.2π4. 35. 11[,]22- 6. 12π 7. 11(0,)(,1)228. [1,0]- 9. 1x =- 10. π 11. 2 12. 3或4 二. 选择题13. C 14. B 15. D 16. A 三. 解答题19.答案：（1）[3,10]；（2）6x =，最大值为4575. 解析：（1）2（5x+1－3x )≥30，即5x+1－3x≥15 整理可得：251430x x --≥，解得：x≥3或x≤－15(舍去） 所以： 3≤x≤10（2） 要使生产900千克该产品获得的利润最大时为y ， 生产900千克该产品需要时间：t=900x， y ＝900x ×3(51)x x +-＝4500＋900x －22700x ＝－2700（2113x x-）＋4500＝－2700211()6x-＋45751≤x≤10，所以当x=6，y 取最大值为4575元20.（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x ＝－1，所以，焦点到准线的距离为2（2）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则PA 中点为20011(,)282x y y y ++，由AP 中点在抛物线上，可得220101()4()228y y x y +=+，化简得2210100280y y y x y -+-=，显然21y y ≠， 且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=，所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，所以1202y y y +=，1202M P y y y y y +===。
杨浦数学一模(定稿)2019.12
1杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2019.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1．函数12()f x x-= 的定义域为 .2．关于,x y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 .3．已知函数()f x 的反函数12()log -=fx x ，则(1)-=f .4．设R ∈a ，22(1)i --++a a a 为纯虚数（i 为虚数单位），则a = . 5．已知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为 .6．已知7(1)ax +的二项展开式中3x 的系数为280，则实数a = .7．椭圆22194x y +=的焦点为12 ,F F ，P 为椭圆上一点，若1||5PF =，则 12cos F PF ∠= .8．已知数列{}n a 的通项公式为1(2)1(3)2-≤⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩n n nn a n （*N ∈n ），n S 是数列{}n a 的前n 项和.则lim n n S →+∞= .9. 在直角坐标平面xOy 中，(2,0),(0,1)-A B ，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅ 的取值范围为 .210．已知六个函数：①21y x=；②c o s y x =；③12y x =；④a r c s i n y x =；⑤1l g ()1xy x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种.11．已知函数1()1f x x=-（0x >），若关于x 的方程2[()]()230+++=f x m f x m 有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 .12 ．向量集合(){},,R ==∈ 、S a a x y xy ．对于任意,S αβ∈，以及任意()1,0∈λ，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”．现有四个命题：① 若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ② 若,S T 都是“C 类集”，则集合{},=+∈∈M a b a S b T 也是“C 类集”； ③ 若12A ,A都是“C 类集”，则1A 2A 也是“C 类集”；④ 若12A ,A 都是“C 类集”，且交集非空，则1A 2A 也是“C 类集”．其中正确的命题有_________.（填所有正确命题的序号）二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知实数,a b 满足>a b ，则下列不等式中恒成立的是 （ ）()A 22>a b ()B11<a b()C >a b ()D 22>a b 14．要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x =的图象 （ ）()A 向左平移6π个单位 ()B 向右平移6π个单位 ()C 向左平移3π个单位 ()D 向右平移3π个单位15．设12、z z 为复数,则下列命题中一定成立的是 ( )3()A 如果120->z z ,那么12>z z ()B 如果12||||=z z ,那么12=±z z ()C 如果121>z z ,那么12>z z ()D 如果22120+=z z ,那么120==z z 16．对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()∈⎧=⎨∈⎩A Rx A f x x A ð为A 的特征函数.设,A B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是 （ ）()A 若A B ⊆，则()()A B f x f x ≤ ()B ()1()=-R A A f x f x ð()C ()()()A B A B f x f x f x =⋅ ()D ()()()A B A B f x f x f x =+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD .1AB PA ==，AD =,E F 分别为棱,PD PA 的中点.⑴ 求证：B C E F 、、、四点共面； ⑵ 求异面直线PB 与AE 所成的角．418．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数()22x x af x =+，其中a 为实常数. ⑴ 若(0)7f =，解关于x 的方程()5f x =； ⑵ 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）东西向的铁路上有两个道口A B 、，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15︒，且位于B 的南偏东15︒方向，D 位于A 的正北方向，2AC AD km ==，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45︒方向的E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60/km h . ⑴ 判断救护车通过道口A 是否会受火车影响，并说明理由；⑵ 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A B 、中的哪个道口？通过计算说明．DECA B520．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为(,0)t (0>t ). ⑴若||OA =A 的坐标；⑵ 若AFD ∆为等腰直角三角形，且90∠=︒FAD ，求点D 的坐标；⑶ 弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”．621．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有2120,0n n S S -≥≤，则称数列{}n a 具有性质P .⑴ 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由； ⑵ 已知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；⑶ 已知21n b n =-（*N n ∈），数列{}n c 是等差数列，122()()n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围．。
2019届上海市杨浦区高三上学期模拟质量调研(一模)数学试卷及答案
2019届杨浦区高三上学期模拟质量调研（一模）数学试卷2018.12.18一、填空题（本大题有12题，满分54分，第1——6题每题4分，第7—12题每题5分）1、设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}3,4,5A =，则____u =ð2、已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为_____ 3、已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为_____ 4、若()na b +展开式的二项式系数之和为8，则____n = 5、若实数,x y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是_____6、若圆锥的母线长()5l cm =，高()4h cm =，则这个圆锥的体积等于_______7、在无穷等比数列{}n a 中，()121lim ,2n n a a a →+∞+++=则1a 的取值范围是____ 8、若函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆,则实数a 的取值范围__9、在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则()1y f x =+的零点是____10、已知复数())12cos 2,cos z x f x i z x x i =+=++，（,x R i ∈虚数单位）在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若1290Z OZ ∠=，其中是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期______ 11、当0x a <<时，不等式()22112xa x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为______12、设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前项和n T ，满足()()112nn n n T b n N *+=-∈， 且52d a b ==，若实数{}()23,3k k k m P x a x a k N k *-+∈=<<∈≥，则称m 具有性质k P ，若是n H 数列{}n T 的前n 项和，对任意的n N *∈，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为_____二、选题题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13、下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） （A ）()arcsin f x x= （B ）lg y x= （C ）()f x x =-（D ）()cos f x x =14、某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 （ ） （A ）310 （B ） 35 （C ） 25 （D ）2315、已知()sin log ,0,2f x x θπθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，设sin cos sin,,2sin cos a f b fc f θθθθθ+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（A ）a b c ≤≤ （B ）b c a ≤≤ （C ）c b a ≤≤（D ）a b c ≤≤16、已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x R ==∈，集合(){}0,B x f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） （ A ）[]0,4（B ）[]1,4-（C ）[]3,5-（D ）[]0,7三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17、（本题满分14分，第1题满分6分，第2小题满分8分）如图，,PA ABCD ⊥平面四边形ABCD 为矩形，1PA PB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动。
2019-2020学年上海市杨浦区高考数学一模试卷
高 【解答】解：基本事件共 6×6 个，
点数和为 4 的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共 3 个，
您 故 P= = ．
故答案为： ．
祝8．（5 分）数列{an}的前 n 项和为 Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数 y=log2（x+1）
的反函数的图象上，则 an= 2n﹣1 ．
【解答】解：由题意得 n=log2（Sn+1）⇒sn=2n﹣1．
为奇函数，
则： 解得：
（k∈Z）， ，
！
故答案为：
功
12．（5 分）已知点 C、D 是椭圆 则实数 λ 的取值范围为
成 上的两个动点，且点 M（0，2），若
．
，
到 【解答】解：假设 CD 的斜率存在时，设过点 M（0，2）得直线方程为 y=kx+2，
马 联立方程
，整理可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，
到 ②y=x2；是偶函数，图象关于 y 轴对称，满足条件．
③y=2|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，满足条件．
马 ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于 y 轴不对称，不满足条件，
故选：B．
考 15．（5 分）“t≥0”是“函数 f（x）=x2+tx﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（
）
高 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
（1）求圆锥的体积； （2）求异面直线 SO 与 PA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
19．（14 分）已知函数
！ 的定义域为集合 A，集合 B=（a，a+1），且 B
⊆A． （1）求实数 a 的取值范围；
功
成 （2）求证：函数 f（x）是奇函数但不是偶函数．
上海市杨浦区高考数学一模试卷解析版
高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A. a2＞b2B.C. |a|＞|b|D. 2a＞2b2.要得到函数y=2sin（2x+）的图象，只要将y=2sin2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位3.设z1，z2为复数，则下列命题中一定成立的是（）A. 如果z1-z2＞0，那么z1＞z2B. 如果|z1|=|z2|，那么z1=±z2C. 如果，那么|z1|＞|z2|D. 如果z12+z22=0，那么z1=z2=04.对于全集R的子集A，定义函数为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（）A. 若A⊆B，f A（x）≤f B（x）B. f（x）=1-f A（x）C. f A∩B（x）=f A（x）•f B（x）D. f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=x，的定义域为______ ．6.关于x，y的方程组的增广矩阵为______．7.己知函数f（x）的反函数f-1（x）=log2x，则f（-1）=______．8.设a∈R，a2-a-2+（a+1）i为纯虚数（i为虚数单位），则a=______．9.己知圆锥的底面半径为lcm，侧面积为2πcm2，则母线与底面所成角的大小为______．10.己知（ax+1）7的二项展开式中x3的系数为280，则实数a=______．11.椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|=5，则cos∠F1PF2=______．12.己知数列{a n}的通项公式为，S n是数列{a n}的前n项和，则S n=______．13.在直角坐标平面xOy中，A（-2，0），B（0，1），动点P在圆C：x2+y2=2上，则的取值范围为______．14.己知六个函数：①；②y=cos x；③；④y=arcsin x；⑤；⑥y=x+1，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有______种15.己知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+2m+3=0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为______．16.向量集合，对于任意，∈S，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈S，则称S为“C类集”，现有四个命题：①若S为“C类集”，则集合也是“C类集”；②若S，T都是“C类集”，则集合也是“C类集”；③若A1，A2都是“C类集”，则A1∪A2也是“C类集”；④若A1，A2都是“C类集”，且交集非空，则A1∩A2也是“C类集”．其中正确的命题有______（填所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB=PA=1，，E，F分别为棱PD，PA的中点．（1）求证：B、C、E、F四点共面；（2）求异面直线PB与AE所成的角．18.己知函数f（x）=2x+，其中a为实常数．（1）若f（0）=7，解关于x的方程f（x）=5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19.东西向的铁路上有两个道口A、B，铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15°，且位于B的南偏东15°方向，D位于A的正北方向，AC=AD=2km，C处一辆救护车欲通过道口前往D处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60km/h．（1）判断救护车通过道口A是否会受火车影响，并说明理由；（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A、B中的哪个道口？通过计算说明．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A是第一象限内抛物线C上的一点，点D的坐标为（t，0）（t＞0）．（1）若，求点A的坐标；（2）若△AFD为等腰直角三角形，且∠FAD=90°，求点D的坐标；（3）弦AB经过点D，过弦AB上一点P作直线x=-t的垂线，垂足为点Q，求证：“直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“P为弦AB的中点”．21.己知无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，均有S2n-1≥0，S2n≤0，则称数列{a n}具有性质P．（1）判断首项为1，公比为-2的无穷等比数列{a n}是否具有性质P，并说明理由；（2）己知无穷数列{a n}具有性质P，且任意相邻四项之和都相等，求证：S4=0；（3）己知b n=2n-1（n∈N*），数列{c n}是等差数列，a n=，若无穷数列{a n}具有性质P，求c2019的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A选项不正确，当a=1，b=-2时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=-2时，不等式就不成立；C选项不正确，因为a=1，b=-2时，不等式就不成立；D选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选D．由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．2.【答案】A【解析】解：将y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得函数y=2sin（2x+）的图象，故选：A．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A，反例z1=3+i，z2=1+i，满足，z1-z2＞0，当时z1＞z2不正确，所以A不正确；对于B，反例z1=1+i，z2=1-i，满足|z1|=|z2|，但是z1=±z2不正确；对于C，，那么|z1|＞|z2|，正确；对于D，反例z1=1+i，z2=1-i，满足z12+z22=0，不满足z1=z2=0，所以D不正确；故选：C．通过反例判断A的正误；复数的模与复数的关系判断B、C的正误；反例判断D的正误即可．本题考查命题的真假的判断，复数的模以及复数的性质的判断，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】D【解析】解：A：∵A⊆B，可得x∈A则x∈B，∵，，而C R A中可能有B的元素，但C R B中不可能有A的元素，∴f A（x）≤f B（x），故A正确；B：因为f（x）=，综合f A（x）的表达式，可得f=1-f A（x），故B正确；C：f A∩B（x）====f A（x）•f B （x），故C正确；D：f A∪B（x）=≠f A（x）+f B（x），故D错误；故选：D．根据题中特征函数的定义，利用几何的交集、并集、补集运算法则，对A、B、C、D各项中的运算加以验证，进而求解；考查接受新知识，理解运用新知识的能力，交集、并集、补集运算法则，属于中档题；5.【答案】（0，+∞）【解析】解：∵y=x=，使函数有意义只要满足x＞0即可，故函数y=x的定义域为：（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）先将函数解析式化为根式，进而可得要使函数有意义只要满足x＞0即可．本题考查的知识点是幂函数的定义域，熟练掌握幂函数的图象和性质是解答的关键．6.【答案】【解析】解：由增广矩阵的定义可知，关于x，y的方程组的增广矩阵为，故答案为：由增广矩阵的定义可求解；考查增广矩阵的概念，属于基础题；7.【答案】【解析】解：把y=-1代入反函数f-1（x）=log2x=-1，故x=，故答案为：．根据函数与反函数点关于y=x对称，代入求出．题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】2【解析】解：∵a2-a-2+（a+1）i为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．直接由实部为0且虚部不为0列式求解a值．本题考查复数的基本概念，是基础题．9.【答案】【解析】解：由圆锥侧面积公式S=πrl=π•1•l=2π，解得l=2，设母线与底面所成角为θ，则cosθ==，∴θ=，故答案为：．由圆锥侧面积公式S=πrl=π•1•l=2π，解得l=2，进而可求出母线与底面所成角的余弦值，进而求解；考查圆锥侧面积公式，三角函数的应用，属于基础题；10.【答案】2【解析】解：二项式展开的通项公式得，令r=4，得x3的系数，，a=2，故答案为：2．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．11.【答案】【解析】解：椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|=5，可得|PF2|=6-5=1，|F2F1|=2c=2，由余弦定理可得：cosθ===．故答案为：．利用椭圆的定义，结合余弦定理转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，中档题．12.【答案】【解析】解：由，知数列{a n}自第三项起是以为首项，以为公比的等比数列，则S n=（a1+a2+a3+…+a n）=a1+a2+（a3+a4+…+a n）=1+2+=．故答案为：．由题意可得数列{a n}自第三项起是以为首项，以为公比的等比数列，再由无穷递缩等比数列的极限求解．本题考查数列极限的求法，熟记无穷递缩等比数列的极限为是关键，是基础题．13.【答案】【解析】解：令（θ∈[0，2π]），且A（-2，0），B（0，1），∴====，其中tanφ=-2，∴的取值范围为．故答案为：．根据题意，可令，从而可求出，，然后进行数量积的坐标运算，并根据两角和的正弦公式得出，从而可得出的取值范围．本题考查了圆的参数方程，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：根据题意，六个函数：①，②y=cos x，③，④y=arcsin x，⑤，⑥y=x+1中，奇函数有④y=arcsin x和⑤，共2个，偶函数有：①和②y=cos x，共2个，非奇非偶函数有：④y=arcsin x和⑥y=x+1，共2个，从6个函数中任选3个，若有1个奇函数和2个偶函数，有1×2=2种选法，若有2个奇函数和1个偶函数，有1×2=2种选法，若有1个奇函数、1个偶函数和1个非奇非偶函数，有2×2×2=8种选法，则既有奇函数又有偶函数的选法共有2+2+8=12种；故答案为：12．根据题意，分析6个函数的奇偶性，进而分3种情况讨论选出函数中既有奇函数又有偶函数的选法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及函数奇偶性的判定，属于基础题．15.【答案】（-，-]【解析】解：画出函数的图象，如图所示，令y=f（x），则y2+my+2m+3=0有2个不相等的实数解，其范围分别为（0，1）和[1，+∞），则解得＜m≤-故答案为：（-，-]．分析f（x）的图象，可知关于f（x）的二次方程有2根，范围分别为（0，1）和（1，+∞），在按二次方程根的分布处理．考查含有绝对值函数的图象，复合函数根的个数问题的处理，属于拔高题；16.【答案】①②④【解析】解：①若S为“C类集”，则对于任意，∈S，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈S，集合，可得对于任意μ，μ∈M，以及任意λ∈（0，1），都有λμ+（1-λ）μ∈M，故①正确；②若S是“C类集”，则对于任意，∈S，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈S，T是“C类集”，则对于任意，∈T，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈T，可得对于任意+∈M，+∈M，以及任意λ∈（0，1），都有λ（+）+（1-λ）（+）∈M，故②正确；③若A1“C类集”，可得对于任意，∈A1，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A1，A2是“C类集”，对于任意，∈A2，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A2，设M=A1∪A2，M为A1，A2中的元素的合并而得，且不重复，不符合“C类集”的定义，故③错误；④若A1“C类集”，可得对于任意，∈A1，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A1，A2是“C类集”，对于任意，∈A2，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A2，设M=A1∩A2，M为A1，A2中的元素的公共部分而得，且不为空集，符合“C类集”的定义，故④正确．故答案为：①②④．由新定义“C类集”，结合不等式的性质和集合的运算性质，即可判断结论．本题考查集合的新定义的理解和运用，考查定义法解题，以及推理能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）在△PAD中，由E、F为PD，PA中点得，EF为中位线，即EF∥AD，又∵底面为矩形，AD∥BC，∴EF∥BC，∴由平行线确定唯一平面得E、F、B、C在同一平面上．（2）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，依题意得：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1），E（0，，），=（1，0，-1），=（0，，），cosθ===，∴异面直线PB与AE夹角为：arccos．【解析】（1）要证B、C、E、F四点共面，只需证明EF∥BC，进而求解；（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，进而求解；考查空间内的点共面的证明，异面直线夹角的求法，空间直角坐标系的应用，属于中档题；18.【答案】解：（1）由题意f（0）=1+a=7，∴a=6，f（x）=，由=5可得2x=2或2x=3，∴x=1或x=log23，（2）函数定义域R，①当f（x）为奇函数时，f（-x）=-f（x），∴=-（2x+），∴（1+a）（）=0，∴a=-1；②当f（x）为偶函数时，f（-x）=f（x），∴=（2x+），∴（1-a）（）=0，∴a=1；③当a≠±1时，函数f（x）为非奇非偶函数．【解析】（1）由题意f（0）=7，代入即可求解，（2）要判断函数的奇偶性，只有检验f（-x）与f（x）的关系即可．本题主要考查了指数方程的求解及函数的奇偶性的判断，体现了分类讨论思想的应用》19.【答案】解：（1）依据题意：在△ACE中，正弦定理：=，即，解得：AE=，∴救护车到达A处需要时间：==2min，火车到达A处需要时间：=1.41min，火车影响A道口时间为[，]，2∈[，]，∴救护车经过A会受影响．（2）若选择A道口：一共需要花费时间为：t A=+1+×60=（3+）=4.41min若选择B道口：∵BE＞BC，通过B道口不受火车影响；一共花费时间为：t B=，由余弦定理求AB长：AB2=BC2+AC2-2BC•AC cos∠ACB，即AB=-，∴BD==，t B==×60min=4.25min＜t A，∴选择B过道．【解析】（1）利用正弦定理求出AE，进而求出火车到达A处的时间，进而求解；（2）分别求出选择A道口，B道口的时间，进而求解．考查利用三角函数解决实际问题的能力，分类讨论的思想，属于中档题．20.【答案】解：（1）抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A是第一象限内抛物线C上的一点，可设A（m，n），即n2=4m，m＞0，n＞0，又，可得m2+n2=5，解得m=1，n=2，即A（1，2）；（2）设A（x，y），由F（1，0），D（t，0），∠FAD=90°⇒•=（1-x，-y）•（t-x，-y）=（1-x）（t-x）+y2=0，①由△AFD为等腰三角形，可得A在x轴上的投影为FD的中点，即有x=，且y2=4x，代入①解得t=5±4，由t＞0，可得D（5+4，0）；（3）先证由“P为弦AB的中点”可得“直线QA与抛物线相切”．设直线AB的方程为x=ay+t，联立抛物线方程y2=4x，可得y2-4ay-4t=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=4a，AB的中点P（t+2a2，2a），Q（-t，2a），直线QA的斜率为k=，又x1=ay1+t，可得k=，又y2=4x两边对x求导，可得2yy′=4，即y′=，则在A处的切线的斜率为，由-==0，可得QA为抛物线的切线；再证由“直线QA与抛物线相切”可得“P为弦AB的中点”．设Q（-t，s），即P的纵坐标为s，可得切线QA的方程为y-s=（x+t），联立抛物线方程y2=4x可得-y++s=0，由△=1-4••（+s）=0，整理可得y12-2sy1-4t=0，②由y1为y2-4ay-4t=0的根，可得y12-4ay1-4t=0，③由②③为同一方程，可得2s=4a，即s=2a=，可得P为AB的中点，综上可得“直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“P为弦AB的中点”．【解析】（1）设A（m，n），即n2=4m，m＞0，n＞0，再由两点的距离公式，计算可得所求坐标；（2）设A（x，y），由F（1，0），D（t，0），由等腰直角三角形的定义，结合向量垂直的条件和中点坐标公式，解方程可得D的坐标；（3）先证由“P为弦AB的中点”可得“直线QA与抛物线相切”，设出AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及导数求得A处的切线的斜率，作差可得证明；再证由“直线QA与抛物线相切”可得“P为弦AB的中点”．设Q（-t，s），即P的纵坐标为s，可得切线QA的方程为y-s=（x+t），联立抛物线方程，运用直线和抛物线相切的条件可得判别式为0，整理，结合方程重合，即可得证．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线和抛物线相切的条件，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：（1）a n=a1q n-1=（-2）n-1，S2n-1==（1+22n-1）＞0，S2n==（1-22n）＜0，则数列{a n}具有性质P；（2）证明：由题意可得{a n}具有周期性，a n=a n+4，则S4n=nS4，由{a n}具有性质P，可得S4n≤0，S4n+1≥0，运用反证法，若S4＜0，则S4n+1=nS4+a4n+1=nS4+a1，令n=[-]+1，则S4n+1＜0，（当n=-+1时，S4n+1=0，则当n=[-]+1，则S4n+1＜0），与S4n+1≥0矛盾，可得S4≥0，又S4n≤0，具有S4=0成立；（3）由题意b n=2n-1，可设{c n}的前n项和为T n=An2+Bn，{b n}的前n项和为R n=n2，无穷数列{a n}具有性质P，可得S2n-1≥0，S2n≤0，其中S2n-1含有n项奇数项，n-1项偶数项，有S2n-1=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n-2）=（b1+b2+…+b n）+（c1+c2+…+c n-1）=n2+A （n-1）2+B（n-1），其中S2n含有n项奇数项，n项偶数项，有S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=（b1+b2+…+b n）+（c1+c2+…+c n）=n2+An2+Bn，由性质P可得对任意n∈N*成立，则A，B满足，即，可得c2019=T2019-T2018=B-4037∈[-4039，-4037]．【解析】（1）由等比数列的求和公式和不等式的性质，结合性质P，即可判断；（2）由题意可得a n=a n+4，则S4n=nS4，由性质P和反证法，即可得证；（3）可设{c n}的前n项和为T n=An2+Bn，{b n}的前n项和为R n=n2，运用性质P和数列的分组求和，解不等式可得A，B的范围，进而得到所求范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查反证法和分类讨论思想的运用，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
上海杨浦区2019高三重点测试数学试卷(理科)及参考解析
上海杨浦区2019高三重点测试数学试卷（理科）及参考解析2018.3.考生注意：1、答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号、 2、本试卷共有23道题，总分值150分，考试时间120分钟、一、填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分、1、假设线性方程组的增广矩阵为135246⎛⎫⎪⎝⎭，那么其对应的线性方程组是、2、51)的展开式中2x 的系数是〔结果用数字作答〕.3、假设双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为023=-y x ，那么a =_________、4、计算：2111lim(1)333n n →∞++++=. 5、假设直线l 过点(2,0)-，且与圆221x y +=相切，那么直线l 的斜率是. 6、函数2)cos (sin )(x x x f -=的最小正周期为.7、一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，假设用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，那么抽取男运动员的人数为___________.8、假设行列式093114212=-x x，那么=x 、 9、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面 内的两个测点C 与D .测得 75=∠BCD ， 60=∠BDC ，30=CD 米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为 60，那么塔高=AB ________米.10.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v 〔米/秒〕和燃料的质量M 〔千克〕、火箭〔除燃料外〕的质量m 〔千克〕的关系式是)1ln(2000mMv +=.当燃料质量与火箭〔除燃料外〕的质量之比为时，火箭的最大速度可达12〔千米/秒〕、 11.圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，假设放入三个相同的球〔球的半径与圆柱的底面半径相同〕后，水恰好淹没最上面的球〔如下图)，那么球的半径是 cm 、12.设幂函数3)(x x f =，假设数列{}n a 满足：20121=a ，且)(1n n a f a=+，)(*∈Nn 那么数列的通项=n a 、13.对任意一个非零复数z ，定义集合{}*∈==N n zA nz ,ωω，设α是方程012=+x 的一个根，假设在αA 中任取两个不同的数，那么其和为零的概率为P =(结果用分数表示)、 14、函数11y x=-的图像与函数2sin y x π=)42(≤≤-x 的图像所有交点的横坐标之和等于__________.二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否那么一律得零分. 15、以下函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为()、()A y x =()B sin y x = ()C x x y e e -=+()D 3y x =-16、执行如下图的程序框图，输出的S 值为〔〕()A 1.()B 1-.()C 2-.()D 0.17、“tan x =5π6x =”()、()A 充分非必要条件.()B 必要非充分条件.()C 充要条件.()D 既非充分也非必要条件.18、点(1,1)A --、假设曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，那么称G 为Γ型曲线、给定以下三条曲线：①3(03)y x x =-+≤≤；②(0)y x =≤≤；③1(0)y x x=->、 其中，Γ型曲线的个数是()、()A .0()B .1()C .2()D .3三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、〔此题总分值12分〕此题共有2个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分、 关于x 的不等式022<-+mx x 解集为()2,1-. 〔1〕求实数m 的值；〔2〕假设复数ααsin cos ,221i z i m z +=+=，且21z z ⋅为纯虚数，求α2tan 的值. 20、〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分、1A ABECD1B 1C 1D 如下图,直四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱1AA 长为a ,底面A B C D 是边长2AB a =,BC a =的矩形,E 为11C D 的中点,(1)求证:DE ⊥平面EBC ； (2)求点C 到平面EBD 的距离. 21、〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分、 设R a ∈,122)(2+-⋅=-x x a a x f 为奇函数.〔1〕求函数11242)()(-+-+=xxx f x F 的零点； 〔2〕设)1(log 2)(2kx x g +=,假设不等式1()()f x g x -≤在区间12[,]23上恒成立,求实数k 的取值范围.22、〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分. 数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =，那么称n B 为n A 的“生成数列”.〔1〕假设数列41234:,,,A a a a a 的“生成数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；〔2〕假设n 为偶数，且n A 的“生成数列”是n B ，证明：n B 的“生成数列”是n A ； 〔3〕假设n 为奇数，且n A 的“生成数列”是n B ，n B 的“生成数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω.探究：数列i Ω是否为等差数列,并说明理由.23、〔此题总分值18分〕此题共有2个小题，第1小题总分值4分，第2小题的①总分值6分;②总分值8分.如图，椭圆14:221=+y x C ，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.〔1〕求实数b 的值；〔2〕设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点B A 、，直线MB MA 、分别与1C 相交与、D E .①证明：0=⋅ME MD②记△B MA ，△MDE 的面积分别是12,S S . 假设21S S =λ，求λ的取值范围. .上海市杨浦区2018届高三第二学期模拟测试〔一〕 一、填空题〔本大题总分值56分〕2018.3.16 1.⎩⎨⎧=+=+64253y x y x ；2.5；3.理，2；4.理23； 5.理33±； 6.理π；7.12；8.理2或3-；9.245；10.16-e ；11.4； 12.理132012-n ；13.,理31；14理8； 【二】选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题 15.B ；16.D ；17.B ；18.C ；【三】解答题〔本大题总分值74分〕本大题共5题 19.解：(1)4＋2m －2＝0，解得m=－1(2)21z z ⋅=(－cos α－2sin α)＋(－sin α＋2cos α)i 为纯虚数 所以，－cos α－2sin α＝0，tan α=－12, 所以，α2tan =－4320.(1)证明:由EC ED ==,2CD a EC ED =⇒⊥,……2分BC ⊥平面11CC D D BC DE ⇒⊥,……4分即DE 垂直于平面EBC 中两条相交直线, 因此DE ⊥平面EBC,……7分(2)[理]解1:结合第(1)问得，由a DE a DB 2,5==，……8分a BE 3=，BE DE ⊥，所以，2263221a a a S BED ==∆……10分1A A BEC()D O 1B 1C 1D xyz又由BCD E BED C V V --=得32312631a a h=……12分 故C 到平面BDE 的距离为a h 36=……14分 解2:如图建立直角坐标系,那么(0,,)E a a ,(0,,)OE a a =,(,2,0)B a a ,(,2,0)OB a a =,……9分 因此平面EBD 的一个法向量可取为(2,1,1)n =-, 由(0,2,0)C ,得(1,0,0)BC =-,……11分因此C 到平面BDE 的距离为||6||n BC d n ⋅==.〔其他解法,可根据【解1】的评分标准给分〕 21.解：由f(x)是奇函数，可得a=1，所以，f 〔x 〕＝2121xx-+ 〔1〕F 〔x 〕＝2121x x -+＋42121xx --+＝2(2)2621x x x +-+ 由2(2)26x x+-＝0，可得2x ＝2，所以，x=1，即F 〔x 〕的零点为x ＝1。
上海市杨浦区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)
杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2018.12.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则UA = ▲ ．2．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 ▲ ． 3．已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 ▲________．4. 若nb a )(+展开式的二项式系数之和为8，则n = ▲________． 5. 若实数,x y 满足 221x y +=，则xy 的取值范围是▲________．6. 若圆锥的母线长=l )(5cm ，高)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于▲________()3cm . 7. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是▲________． 8. 若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+. 且B A ⊆， 则实数a 的取值范围为▲________．9. 在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作，则的零点是▲________10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++ (,R x λ∈，i 为虚数单位）．在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若︒=∠9021OZ Z ，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期 ▲________． 11. 当a x <<0时，不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立，则实数a 的最大值为 ▲________． 12. 设d 为等差数列}{n a 的公差，数列}{n b 的前n 项和n T ，满足)N ()1(21*∈-=+n b T n n n n ，且25b a d ==. 若实数)3,N }(|{*32≥∈<<=∈+-k k a x a x P m k k k ，则称m 具有性质k P . 若n H 是数列}{n T 的前n 项和，对任意的*N ∈n ，12-n H 都具有性质k P ，则所有满足条件274434651xx--()f x 1()y f x =+的k 的值为▲________.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 下列函数中既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是 ………( ). x x f arcsin )(=. lg y x =.()f x x =-.()cos f x x =14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人. 现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 ………( )()A .310()B .35()C .25()D .2315. 已知x x f θsin log )(=，，设sin cos ,2a f θθ+⎛⎫=⎪⎝⎭b f =，sin 2sin cosc f θθθ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则c b a ,,的大小关系是 ………( )()A .b c a ≤≤.()B .a c b ≤≤. ()C .a b c ≤≤.()D .c b a ≤≤.16. 已知函数nx x m x f x ++⋅=22)(，记集合},0)(|{R x x f x A ∈==，集合},0)]([|{R x x f f x B ∈==，若B A =，且都不是空集，则n m +的取值范围是………( )()A . [0,4) ()B . [1,4)-()C . [3,5]- ()D . [0,7)三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）()A ()B ()C ()D )2,0(πθ∈如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动. （1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF PE ⊥.18. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且5cos 13B =． （1）若4sin 5A =，求cos C ； （2）若4b =，求证：5-≥⋅BC AB ．19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产一种产品，每一小时可获得的利润是)315(xx -+元，其中101≤≤x .（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A ,，满足PB PA ,的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且),(),,(M M P P y x M y x P ，证明：M P y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的最小值.21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分） 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，其中*N ∈n . (1) 若2cos2n n n a π=+，请写出3b 的值； (2) 求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；(3) 若对任意n ，有||2018n a <, 且||1n b =，请问：是否存在*K ∈N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b += 成立？请说明理由．杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2018.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1． ；2． ；3．2π； 4. 3 ；5. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；6. π12 ；{}1,26π7. )1,21()21,0( ；8. [1,0]- ；9. 1- ； 10. π ；11. 2 ；12. 3或4二、 选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.；14. ；15. ；16.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）…… 6分（2）只需证明因为，故，又， 故，所以；……10分 中，，点是的中点，故 ……12分 所以，，故无论点在边的何处，都有. ……14分（用向量证明类似评分）22. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 解：（1）在中，由得，． ．故为锐角． ……3分 ．∴．……7分 （2）由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立．．∴． ……14分23. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）根据题意，30)315(2≥-+x x ，得03145≥--xx ……2分 解得3≥x 或51-≤x ……4分又101≤≤x ，可得103≤≤x ……6分（2）设利润为y 元，则)315(900xx x y -+=， ……8分 ()C ()B ()D ()A 1133P ADE ADE V PA S -∆=⋅⋅=AF PBC ⊥面PA ABCD ⊥面PA BC ⊥BC AB ⊥BC AB ⊥面P BC AF ⊥PAB ∆PA AB =F PB AF PB ⊥AF PBC ⊥面E BC AF PE ⊥ABC ∆5cos 13B =12sin 13B =12sin sin ,13B A =>B A ∴>A 3cos 5A ∴=33cos cos()cos cos sin sin 65C A B A B A B =-+=-+=2222cos b a c ac B =+-22101016162131313a c ac ac ac ac =+-≥-=a c =13ac ∴≤5cos()cos 513AB BC ac B ac B ac ⋅=π-=-=-≥-]1261)611(3[9002+--=x ， ……12分故6=x 时，4575max =y ……14分 24. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）解：（1）焦点到准线的距离2； ……4分 （2）设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,24)2(,4121121P Px x y y x y ……6分 整理得，0822121=-+-P P P y x y y y ，同理，0822222=-+-P P P y x y y y ， ……8分 所以，21,y y 是关于y 的方程08222=-+-P P P y x y y y 的两根，故M 的纵坐标为P y y y =+221，即M P y y =； ……9分（3）若直线x AB ⊥轴，则M 的纵坐标为0， 因此，)0,1(-P ，则B A ,两点的纵坐标满足082=-y ，22±=y 故)22,2(),22,2(-B A ，2624321=⨯⨯=∆PAB S ； ……10分若直线AB 的斜率存在，方程为)(121211x x x x y y y y ---=-，即121222121)41()(41y y x y y y y y +---=，整理得，2121214y y y y x y y y +++=，将⎩⎨⎧-==+,8,222121P P P y x y y y y y 代入得，直线PPP P y y x x y y AB 282:2-+=， ……12分故)4)(4(2)4(841||41||2222212P P P P P P P x y y x y y y y y AB -+=-⨯+=-+=， 而点P 到直线AB 的距离为4|4|2341|282|2222+-=+--+=P P P PP PP P P P y y x y y y y x x y h ， ……14分 故232)4(423||21P P PABx y h AB S -=⨯=∆， 而)0(1422<=+P PPx y x ，故232232])12(5[423)444(423+-=+--=∆P P P PABx x x S ， ……15分由(1,0)P x ∈-得，2444(4,5]P P x x --+∈，PAB S ∆∈ 综上，PAB ∆的面积的最小值为26. ……16分 25. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分） 解：(1)因为8,3,2321===a a a ……2分 所以52823=+=b ……4分 (2) （必要性）当数列是等差数列时，设其公差为 当 时， ，所以，所以，， 当 时， ，所以，所以，， 当 时， ，所以，所以，综上，总有 所以 ，所以数列是等差数列 ……6分（充分性） 当数列是等差数列时，设其公差为 因为， {}n a d d >010n n a a d --=>1n n a a ->nn M a =1n m a =d <010n n a a d --=<1n n a a -<1nM a =n n m a =d =010n n a a d --==1n n a a -=1nM a =n n m a =12n n a a b +=1111222n n n n a a a a db b --++-=-={}n b {}n b d **11111+2222n n n n n n n n n n M m M m M M m m b b d -----+----=-==根据的定义，有以下结论：，且两个不等式中至少有一个取等号当时，则必有，所以，所以是一个单调递增数列，所以，，所以 所以，即为等差数列当时，则必有，所以所以是一个单调递减数列，所以，，所以 所以，即为等差数列当时，0222211111=-+-=+-+=------n n n n n n n n n n m m M M m M m M b b 因为中必有一个为0， 根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 所以 所以为常数数列，所以为等差数列综上，结论得证. ……9分(3)存在 ……10分假设不存在， 因为，即 或者，所以对任意，一定存在，使得符号相反 ……12分 所以在数列中存在，其中 且 ，……14分因为，即n n M m ，11n n n n M M m m --≥≤，d >*01n n M M ->11n n n n a M M a --=>≥{}n a n n M a =1n m a =*11111222n n n n n n a a a a a a b b d ---++--=-==*12n n a a d --={}n a d <*01n n m m -<11n n n n a m m a --=<≤{}n a 1n M a =n n m a =*11111222n n n n n n a a a a a a b b d ---++--=-==*12n n a a d --={}n a d =*011n n n n M M m m ----，11,,nn n n M M m m --=={}n a {}n a ||1nb =1n b =1n b =-*K ∈N i K ≥1,i i b b +{}n b 1231,,,...,,....i i k k k k k b b b b b +123......i k k k k <<<<12311.......i i k k k k k b b b b b +-======1231111111......i i k k k k k b b b b b ++++++======11,1i i k k b b +=-=111,122i ii i k k k k M m M m ++++=-=注意到，且有且仅有一个等号成立， 所以必有……16分所以，所以 因为，所以 ，所以 所以 所以 所以 所以…… 所以 所以所以，这与矛盾，所以假设错误， ……18分所以存在，使得任意，，有.11,i i i i k k k k M M m m ++≥≤11,i i i ik k k k M M m m ++>=14i i k k M M +=+114i i i k k k a M M ++==+1i i k k ->11i i k k -≥+-1+1i i k k M M ≥-11+144i i i k k k a M M +=+≥+-11+14i i k k a a +≥+-11+14i i k k a a +-≥21114k k a a ++-≥32114k k a a ++-≥43114k k a a ++-≥1114m m k k a a -++-≥11+14(1)m k k a a m +-≥-11+14(1)m k k a a m +≥+-101011+14(10101)201840362018k k a a +≥+->-+=||2018n a <*K ∈N n n K ≥1n n b b +=。
上海杨浦区2019高三上学期学业质量调研-数学(理)
上海杨浦区2019高三上学期学业质量调研-数学（理）数学试卷(理)2018.1.考生注意：1、答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上、2、本试卷共有23道题，总分值150分，考试时间120分钟、 1.假设函数()xx f 3=的反函数为()x f1-，那么()=-11f 、2、假设复数iiz -=1(i 为虚数单位)，那么=z . 3、抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为.4.假设线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211321，那么该线性方程组的解是、5、假设直线l :012=--x y ，那么该直线l 的倾斜角是.6.假设7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，那么实数=a 、7.假设圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,那么该圆椎的侧面积为2cm .8.设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.假设2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，那么数列}{n a 的前2013项的和=2013S ______________、9.以下函数：①x x f 3)(=,②3)(x x f =,③x x f 1ln )(=，④2cos )(xx f π=⑤1)(2+-=x x f 中,既是偶函数，又是在区间()∞+,0上单调递减函数为〔写出符合要求的所有函数的序号〕.10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b 和c ， 那么函数c bx x x f ++=2)(2图像与x 轴无公共点的概率是_______.11.假设函数1)23(log )(+-=xa x f (1,0≠>a a )的图像过定点P ,点Q 在曲线022=--y x 上运动,那么线段PQ 中点M 轨迹方程是、12、如图，边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，A MEPDCBNF其中4AE =米，6CD =米.为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 那么矩形BNPM 面积的最大值为____平方米. 13在ABC ∆中，假设4π=∠A ，7)tan(=+B A ，23=AC ，那么ABC ∆的面积为___________、 14、在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y 23+=与圆222n y x =+相切，其中、m n ∈*N ，10≤-<n m 、假设函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，Z k ∈,那么=k ________、【二】选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否那么一律得零分. 15、“3=a ”是“函数22)(2+-=ax x x f 在区间[)+∞,3内单调递增”的………〔〕)(A 充分非必要条件、)(B 必要非充分条件、 )(C 充要条件、)(D 既非充分又非必要条件、16、假设无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ， (n ∈*N )，那么复数ia z +=1在复平面上对应的点位于………〔〕)(A 第一象限、)(B 第二象限、)(C 第三象限、)(D 第四象限、17、假设1F 、2F 为双曲线C :1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，那么P 到x 轴的距离为………〔〕)(A 、)(B )(C )(D 、 18.数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列〔n ∈*N 〕.对于函数()y f x =，假设数列{}ln ()n f a 为等差数列，那么称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=，②2()f x x =，③()e x f x =，④()f x =为“保比差数列函数”的所有序号为………〔〕)(A ①②、)(B ③④、)(C ①②④、)(D ②③④、【三】解答题〔本大题总分值74分〕本大题共5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、〔此题总分值12分〕此题共有2个小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值7分、 如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，︒=∠30ABC ,E D 、分别是AP BC 、的中点， 〔1〕求三棱锥ABC P -的体积；〔2〕假设异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求θtan 的值.20、〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分、x x x f 2sin 22sin 3)(-=，〔1〕求)(x f 的最小正周期和单调递减区间； 〔2〕假设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ，求)(x f 的最大值及取得最大值时对应的x 的取值、 21、〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分、 椭圆T 的中心为坐标原点O ，右焦点为(2,0)F ，且椭圆T 过点E .假设ABC ∆的三个顶点都在椭圆T 上，设三条边的中点分别为P N M 、、. 〔1〕求椭圆T 的方程；〔2〕设ABC ∆的三条边所在直线的斜率分别为321k k k 、、，且0,1,2,3i k i ≠=. 假设直线OP ON OM 、、的斜率之和为0，求证：123111k k k ++为定值. 22、〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分. 函数)0(121)(>-=x x x x f 的值域为集合A ，〔1〕假设全集R U =，求A C U ； 〔2〕对任意⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x ，不等式()0≥+a x f 恒成立，求实数a 的范围； 〔3〕设P 是函数()x f 的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求⋅的值、23、〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分.PABCDE对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示，对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：⎪⎩⎪⎨⎧=≠==+.0,0,0,1,11n n n n a a a a a a 其中⋅⋅⋅=,3,2,1n . 〔1〕假设2=a ，求数列{}n a ；〔2〕当41>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A 、 〔3〕假设a 是有理数，设qpa =〔p 是整数，q 是正整数，p 、q 互质〕，问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，并证明你的结论、 杨浦区2018学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理) 参考答案一、填空题:1.0；2、2；3、2；4.⎩⎨⎧==11y x 〔向量表示也可〕；5、2arctan ；6.33±；7.π50 8.2018；9.③⑤；10.367；11.x x y 222-= 12、48；13、221；14、0；【二】选择题:15、)(A ；16、)(D ；17、)(B ；18.)(C 、【三】解答题 19、〔此题总分值12分〕此题共有2个小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值7分、 (1)由得，,32,2==AB AC ………2分所以，体积33831==∆--PA S V ABC ABC P ………5分 (2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，那么DF AB //， 所以EDF ∠就是异面直线AB 与ED 所成的角θ.………7分由，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，EF DF EF AB ⊥∴⊥, .………10分在EFD Rt ∆中，5,3==EF DF ，所以，315tan =θ.………12分 (其他解法，可参照给分) 20、〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分、 解：〔1〕因为x x x f 2sin 22sin 3)(-=12cos 2sin 3-+=x x ………2分1)62sin(2-+=πx ………4分所以,22T ππ==，即函数()f x 的最小正周期为π………5分 πππππk x k 2236222+≤+≤+，)(,326Z k k x k ∈+≤≤+ππππ所以)(x f 的单调递减区间为)(],32,6[Z k k k ∈++ππππ………7分 〔2〕因为36ππ≤≤-x ，得65626πππ≤+≤-x ，所以有1)62sin(21≤+≤-πx ………8分由2)62sin(21≤+≤-πx ，即11)62sin(22≤-+≤-πx ………10分所以，函数()f x 的最大值为1.………12分此时，因为65626πππ≤+≤-x ，所以，262ππ=+x ，即6π=x .………14分 21、〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分、解：〔1〕设椭圆T 的方程为22221x y a b+=，由题意知：左焦点为'(2,0)F -所以'2||||a EF EF =+=+4分解得a =2b =、故椭圆T 的方程为22184x y +=、………6分〔方法2、待定系数法〕〔2〕设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，112233(,),(,),(,)M s t N s t P s t ， 由：221128x y +=，222228x y +=，………8分 两式相减，得到12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=所以121211121211122y y x x s k x x y y t -+==-=--+，即11112t k s =-，………11分同理22212t k s =-，33312t k s =- 所以3121231231112()t t t k k k s s s ++=-++，又因为直线,,OM ON OP 的斜率之和为0， 所以1231110k k k ++=………14分 方法2、(可参照方法1给分)设直线AB ：111()y t k x s -=-，代入椭圆2228x y +=，得到22211111111(12)4()2()80k x t k s k x t k s ++-+--= 111112214()12t k s k x x k --+=+12s =，化简得11112s k t =-(以下略)22、〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分.(1)由得，0>x ，那么222)(≥+=xx x f ………1分 当且仅当xx 2=时，即2=x 等号成立， [)∞+=∴,22M ………3分所以，()22,∞-=M C U ………4分 (2)由题得⎪⎭⎫⎝⎛+-≥x x a 2………5分 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x y 2在⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x 的最大值为29-………9分 29-≥∴a ………10分(3)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+002,x x x P ，那么直线PA 的方程为()0002x x x x y --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，即0022x x x y ++-=，………11分 由⎪⎩⎪⎨⎧++-==0022xx x y xy 得)1,1(0000x x x x A ++………13分 又⎪⎪⎭⎫⎝⎛+002,0x x B ，………14分 所以)1,1(00x x -=，)0,(0x -=，故1)(100-=-=⋅x x ………16分 23、〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分. 解：〔1〕11a ==，21111a a ====，………2分12-=k a ，那么121211-=+==+kk a a所以1n a =.………4分 〔2〕1a a a ==，所以114a <<，所以14a1<<，①当112a <<，即12a1<<时，211111a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解得a =1(1)2a =，，舍去〕.………6分 ②当1132a <≤，即123a<≤时，211112a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解得1a ==〔111(]32a =∉，，舍去〕.………7分③当1143a <≤，即134a<≤时，211113a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得a11(]43a =，，舍去〕.………9分 综上，{a =1=a =}.………10分〔3〕成立.………11分 〔证明1〕由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设nnn q p a =〔n p 是非负整数，n q 是正整数，且nnq p 既约〕.………12分 ①由111q p q pa ==，可得q p <≤10；………13分 ②假设0≠n p ，设βα+=n n p q 〔n p <≤β0，βα,是非负整数〕那么nn n p p q βα+=，而由n n n q p a =得n n n p q a =1 nn n n n p p q a a β===+11，故β=+1n p ，n n p q =+1，可得n n p p <≤+10………14分 假设0=n p 那么01=+n p ，………15分假设q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅均不为0，那么这q 正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1-q 个，矛盾.………17分故q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在)1(q m m ≤≤，使得0=m a .从而数列{}na中ma以及它之后的项均为0，所以对不大q于的自然数n，都有0=na.〔证法2，数学归纳法〕………18分〔其它解法可参考给分〕。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学精品复习资料2019.5上海市杨浦区20xx —第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷（理科） 20xx.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ，则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.6．若函数()23-=x x f 的反函数为()x f 1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12． 若21()nx x +的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为 ． 13．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是 ．14．已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 给出下列命题： ①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）. )(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直 16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的………（ ）.)(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x xx =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为………（ ）.)(A(]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ． 已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()x x g x f =.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． 求抛物线Γ方程；如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠±.①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分. 设nS 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立， (其中k 、b 、p 是常数) ．（1）当0k =，3b =，4p =-时，求n S；（2）当1k =，0b =，0p =时， ①若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；②设数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”.如果212a a -=，试问：是否存在数列{}n a 为“Ω数列”，使得对任意*N n ∈，都有n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++<．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值构成的集合；若不存在，说明理由．杨浦区20xx —第一学期高三模拟测试 20xx.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5.3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 理1±； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12. 理15 ；13.理95， 14.理②、③，二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18.理B ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分20. 【解】（1）由题得()a x a ax ax n m x g -+-=-+=⋅=1)1(2122 ……4分 又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43max ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==x x x x g x f ……8分令x t 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-x x k f 可化为kt t f ≥)(, 即t t f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时t t f )(最小值为0, ……13分0≤∴k ……14分21. 【解】理科 （1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分 解得αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分 同理：αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分“蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8 ……14分 22. 【解】理科解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12)，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为k1=m 21-,直线BM 斜率为k2=m 23,∴直线AM 的方程为y=121+-x m ,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1mx x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……4分 据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m ---+-++===---++23,4m m +-∴直线EF 的方程为2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭, 令x=0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……5分②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠,5AMFBME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k =--⇒++=, ……12分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l被圆224x y +=所截的弦222143242k k d TR ++=-=；由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……14分 所以13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ当252k k=⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x=-……16分23【解】（理科）解：（1）当0k=，3b=，4p=-时，由()()paabknSnn+++=12得nnSaa24)(31=-+①用1n+去代n得，11124)(3++=-+nnSaa，②②—①得，113()2n n na a a++-=，13n na a+=，……2分在①中令1n=得，11a=，则na≠0，∴13nnaa+=，∴数列{}na是以首项为1，公比为3的等比数列，∴nS=312n-…….5分（2）当1k=，0b=，0p=时，112()2()n nn a a a a a+=++，③用1n+去代n得，11121(1)()2()n n nn a a a a a a++++=+++，④④—③得，11(1)0n nn a na a+--+=，⑤…….7分用1n+去代n得，211(1)0n nna n a a++-++=，⑥⑥—⑤得，2120n n nna na na++-+=，即211n n n na a a a+++-=-，…….8分∴数列{}na是等差数列.∵33a=，915a=，∴公差93293a ad-==-，∴23na n=-……10分易知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-.又{}n a 是“Ω数列”，得：对任意*,Nm n ∈，必存在*N p ∈使1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数， …….12分又由已知，111111218S <<，故1181211a <<一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈，都有123111111112n S S S S S ++++≥>.…….13分另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+，则1231111111n S S S S n ++++=-+，取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. …….14分当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++1118<， …….15分当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+，123111111111111()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++， …….16分又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a = …….17分所以，首项1a 的所有取值构成的集合为{}10,8,6,4 …… 18分（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）。