第一讲 线性规划与非线性规划解析
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下料 方案
根数
一二三四五六七 八
长度米
2.9
111200 00
2.1
201012 30
1.5
031132 04
合计
7.1 7.4 6.5 7.3 6.6 7.2 6.3 6
料头（米） 0.3 0 0.9 0.1 0.8 0.2 1.1 1.4
（1） 确定决策变量：设xj表示按第j种方案所用的园钢的 数量
a11 a12 a1n
A
a
21
a 22
a
2n
称为来自百度文库术系数矩阵(也称 消耗系数矩阵)
a m1
am2
a m n
b1
b
b2
称为资源限制向量,
bm
X=(x1,x2,…,xn)T称为决策变量向量
下面我们来看几个实际例子。
案例1课本P60 例25（投资计划问题）某公司经调研分析知， 在今后三年内有四种投资机会。第Ⅰ种方案是在三年内每年
解：问题分析。该问题的实际投资背景如下表所示：
（1）确定决策变量：设xij表示第i年对第j个方案的投资额 ,i=1,2,3; j=1,2,3,4
年份 一 x11 x12
二 1.15x11
x21 x23
三
1.45x12 1.15x21
x31 x34
四
1.65x23 1.15x31 1.35x34
（2）确定目标函数：第三年年未的本利和为
y2
x 22
x 23
x 24
0
x12 x22 1400
用线性规划方法解决问题一般按下列步骤进行 第一步：建立线性规划模型； 第二步：用单纯形算法进行求解； 第三步：对求解结果进行检验； 第四步：将求解结果形成优化方案，付诸实施； 线性规划模型一般包括三个要素：
（1）决策变量 （2）目标函数 （3）约束条件
线性规划的一般形式为：
max(或min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn
季度 买进价（万元/万米3） 卖出价（万元/万米3） 预计销售量（万米3）
冬 410
425
1000
春 430
440
1400
夏 460
465
2000
秋 450
455
1600
由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为 使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。
设yi分别表示冬、春、夏、秋四个季度采购的木材数，xij代 表第i季度采购的用于第j季度销售的木材数。
a11x2 a12x2 a1nxn (, )b1
a 21x 2
a22x2
a2nxn
(, )b2
s.t
am1x2 am2x2 amn xn (, )bm
x1, x2 ,, xn 0
或紧缩形式
n
max(或min)z= c j x j
j 1
s.t
n j1
ajxj
(, )bi
maxz=1.65x23+1.15x31+1.35x34 （3）确定约束条件：
每一年的投资额应等于当年公司拥有的资金数：
x11+x12=3 x21+x23=1.15x11
x31+x34=1.45x12+1.15x21 每个方案投资额的限制：
x12≤2 x23≤1.5 x34≤1
非负约束：xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3,4
年初投资，年底可获利15%，并可将本金收回；第Ⅱ种是在 第一年的年初投资，第二年的年底可获利45%，并将本金收 回，但该项投资不得超过2万元；第Ⅲ种是在第二年的年初 投资，第三年的年底可获利65%，并将本金收回，但该项投 资不得超过1.5万元；第Ⅳ种是在第三年的年初投资，年底 收回本金，且可获利35%，但该项投资不得超过1万元。现 在本公司准备拿出3万元来投资，问如何计划可使到第三年 年未本利和最大？
（2） 为：
（3）
确定目标函数：问题要求所用原料最省，所用原料 minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8
确定约束条件：
2.9米园钢的数量限制
x1+x2+x3+2x4≥100
2.1米园钢的数量限制
2x1+x3+x5+2x6+3x7≥100
1.5米园钢的数量限制
3x2+x3+x4+3x5+2x6+4x3≥100
非负限制
xj≥0，且为整数， j=1,2,…,8
建立线性规划模型的一般步骤：
（1）确定决策变量；
（2）确定目标函数；
（3）确定约束条件。
案例6．一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木 材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木 材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后出售。 已知该公司仓库的最大储存量为2000万米3，储存费用为 （70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。已知 每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示。
第一部分：优化模型
1、线性规划模型（算法：单纯形法）
2、整数规划模型（算法：分枝定界法）
3、非线性规划模型（化为线性规划求解）
4、动态规划模型（算法：递归算法）
5、多目标规划模型（化为线性规划求解）
一、线性规划模型
线性规划主要解决两个方面的问题： （1）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以 最少的资源消耗去完成？ （2）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理 安排，使完成的任务最多？
案例5 （合理下料问题）要用一批长度为7.4米的园钢做100 套钢架，每套钢架由2.9米、2.1米、1.5米的园钢各一根组 成，问：应如何下料才能使所用的原料最省？
解：问题分析：一根长度为7.4米的园钢，要裁出2.9米、 2.1米、1.5米的料有多种裁法，如可裁出一根2.9米、二根 2.1米，也可裁出三根2.1米的。这样我们把所有裁法列举出 来，如下表所示：
max (425 x11 423x12 438 x13 410 y1) (440 x22 448 x23 428 x24 430 y2) (465x33 438 x34 460 y3) (455 x44 450 y4)
y1 2000
y1
x11
x12
x13
x14
0
x11 1000 x12 x13 x14 y2 2000
(i
1,2,...,m)
xj 0
（1.1) （1.2)
（1.3)
或矩阵形式
max(或 min)z cx
或向量形式：
AX (, )b s.tX 0
max(或min)z=cx
s.t
n
pjxj (, )b
j1
Xj 0 (j 1,2,...,n)
其中c=(c1,c2,…,cn)，称为价值系数向量；
根数
一二三四五六七 八
长度米
2.9
111200 00
2.1
201012 30
1.5
031132 04
合计
7.1 7.4 6.5 7.3 6.6 7.2 6.3 6
料头（米） 0.3 0 0.9 0.1 0.8 0.2 1.1 1.4
（1） 确定决策变量：设xj表示按第j种方案所用的园钢的 数量
a11 a12 a1n
A
a
21
a 22
a
2n
称为来自百度文库术系数矩阵(也称 消耗系数矩阵)
a m1
am2
a m n
b1
b
b2
称为资源限制向量,
bm
X=(x1,x2,…,xn)T称为决策变量向量
下面我们来看几个实际例子。
案例1课本P60 例25（投资计划问题）某公司经调研分析知， 在今后三年内有四种投资机会。第Ⅰ种方案是在三年内每年
解：问题分析。该问题的实际投资背景如下表所示：
（1）确定决策变量：设xij表示第i年对第j个方案的投资额 ,i=1,2,3; j=1,2,3,4
年份 一 x11 x12
二 1.15x11
x21 x23
三
1.45x12 1.15x21
x31 x34
四
1.65x23 1.15x31 1.35x34
（2）确定目标函数：第三年年未的本利和为
y2
x 22
x 23
x 24
0
x12 x22 1400
用线性规划方法解决问题一般按下列步骤进行 第一步：建立线性规划模型； 第二步：用单纯形算法进行求解； 第三步：对求解结果进行检验； 第四步：将求解结果形成优化方案，付诸实施； 线性规划模型一般包括三个要素：
（1）决策变量 （2）目标函数 （3）约束条件
线性规划的一般形式为：
max(或min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn
季度 买进价（万元/万米3） 卖出价（万元/万米3） 预计销售量（万米3）
冬 410
425
1000
春 430
440
1400
夏 460
465
2000
秋 450
455
1600
由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为 使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。
设yi分别表示冬、春、夏、秋四个季度采购的木材数，xij代 表第i季度采购的用于第j季度销售的木材数。
a11x2 a12x2 a1nxn (, )b1
a 21x 2
a22x2
a2nxn
(, )b2
s.t
am1x2 am2x2 amn xn (, )bm
x1, x2 ,, xn 0
或紧缩形式
n
max(或min)z= c j x j
j 1
s.t
n j1
ajxj
(, )bi
maxz=1.65x23+1.15x31+1.35x34 （3）确定约束条件：
每一年的投资额应等于当年公司拥有的资金数：
x11+x12=3 x21+x23=1.15x11
x31+x34=1.45x12+1.15x21 每个方案投资额的限制：
x12≤2 x23≤1.5 x34≤1
非负约束：xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3,4
年初投资，年底可获利15%，并可将本金收回；第Ⅱ种是在 第一年的年初投资，第二年的年底可获利45%，并将本金收 回，但该项投资不得超过2万元；第Ⅲ种是在第二年的年初 投资，第三年的年底可获利65%，并将本金收回，但该项投 资不得超过1.5万元；第Ⅳ种是在第三年的年初投资，年底 收回本金，且可获利35%，但该项投资不得超过1万元。现 在本公司准备拿出3万元来投资，问如何计划可使到第三年 年未本利和最大？
（2） 为：
（3）
确定目标函数：问题要求所用原料最省，所用原料 minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8
确定约束条件：
2.9米园钢的数量限制
x1+x2+x3+2x4≥100
2.1米园钢的数量限制
2x1+x3+x5+2x6+3x7≥100
1.5米园钢的数量限制
3x2+x3+x4+3x5+2x6+4x3≥100
非负限制
xj≥0，且为整数， j=1,2,…,8
建立线性规划模型的一般步骤：
（1）确定决策变量；
（2）确定目标函数；
（3）确定约束条件。
案例6．一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木 材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木 材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后出售。 已知该公司仓库的最大储存量为2000万米3，储存费用为 （70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。已知 每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示。
第一部分：优化模型
1、线性规划模型（算法：单纯形法）
2、整数规划模型（算法：分枝定界法）
3、非线性规划模型（化为线性规划求解）
4、动态规划模型（算法：递归算法）
5、多目标规划模型（化为线性规划求解）
一、线性规划模型
线性规划主要解决两个方面的问题： （1）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以 最少的资源消耗去完成？ （2）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理 安排，使完成的任务最多？
案例5 （合理下料问题）要用一批长度为7.4米的园钢做100 套钢架，每套钢架由2.9米、2.1米、1.5米的园钢各一根组 成，问：应如何下料才能使所用的原料最省？
解：问题分析：一根长度为7.4米的园钢，要裁出2.9米、 2.1米、1.5米的料有多种裁法，如可裁出一根2.9米、二根 2.1米，也可裁出三根2.1米的。这样我们把所有裁法列举出 来，如下表所示：
max (425 x11 423x12 438 x13 410 y1) (440 x22 448 x23 428 x24 430 y2) (465x33 438 x34 460 y3) (455 x44 450 y4)
y1 2000
y1
x11
x12
x13
x14
0
x11 1000 x12 x13 x14 y2 2000
(i
1,2,...,m)
xj 0
（1.1) （1.2)
（1.3)
或矩阵形式
max(或 min)z cx
或向量形式：
AX (, )b s.tX 0
max(或min)z=cx
s.t
n
pjxj (, )b
j1
Xj 0 (j 1,2,...,n)
其中c=(c1,c2,…,cn)，称为价值系数向量；