正弦函数余弦函数的单调性
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正弦函数、余弦函数的单调性
（复习课）
每 课 一 练
已知：ABC是锐角三角形，
函数f ( x)在[0,1]上是增函数，那么有 （
A f (sin B) f (cos A) ．
f (sin B) f (sin A) Ｃ．
）
Ｂ．f (sin B) f (cos A)
f (cosB) f (cos A) Ｄ．
解：
1 2 sin x 0 1 sin x 2
令t 1 2 sin x 0
定义域 是前提
5 11 x (2k ,2k ) 6 6
kZ
y log 2 t是定义域内的增函数
3 x [2k ,2k ] 2 2
kZ
是Βιβλιοθήκη Baidu sin x的减区间
变形练习：
设A, B 都是锐角，且 cos A sin B ，则 A B 的取值范围
是 解：
A, B都是锐角，A (0, ), B (0, ) 2 2
( A) (0, ) 2 2
又 cos A sin(
2
2
A) sin B
A B
②
y 1 cos x
2
解：y sin 2 x
1 cos 2 x 1 1 cos 2 x 2 2 2
2k 2 x 2k
kZ kZ
2
k x k
2
函数的单调递减区间是[
k , k ] ，k Z
2．函数 f ( x) log2 (1 2 sin x) 的单调递增区间是：
y sin(
4
3x)
4 )
解： y sin( 3 x
2
2k 3 x
4
2
2k
kZ
2k 2k x 12 3 4 3
kZ
2k 2k , ] ，k Z 函数的单调递减区间是[ 12 3 4 3
函数的单调性问题来求解。
2、在求单调区间时，一定要先求定义域。
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对这种质地白净而又非常精道好吃的稀罕吃食很是喜欢，总是供不应求。为已故娘亲守孝年满三年后，李尚武决定举家北上去 了。尚武打心眼儿里认为，爹娘的临终嘱托很对，自己是应该把家安在“三六九镇”上的。这样一来，不但能让爱妻耿兰在免 去思念亲人之苦的同时，还可以继续去圆她的那个培养故乡小学童之梦，而且自己也能有机会在义父的身边好好儿地尽尽孝道。 再则，尚武很希望自己也能够为岳父家的“耿家小学堂”尽一份力量。尚武相信，义父传授给自己的文化知识，已经完全可以 胜任教授小学童了。更何况，在教授小学童的同时，自己还可以再不断地继续深造呢！那一年秋末，李尚武带着耿兰和一双儿 女去爹娘的坟上隆重祭扫之后，手足兄姐一大家子人聚在一起吃了一顿离别饭。然后，乘着江南雨水稀少的季节，兄姐两家人 共同乘坐一挂大骡车，一起将弟弟一家送至鄱阳湖边，双方挥泪告别不做细述。载着李尚武和耿兰一家四口的大骡车途径武昌 镇时，正好是一个晴朗初冬日的半下午时分。西斜的暖阳照在武昌镇的大街小巷上，一派闲静祥和的惬意景象。大骡车来到白 家宽敞的大门口了，李尚武带着耿兰和一双儿女怀着难以言表的心情进白家看望乔氏母女。耿兰当面谢过娘娘亲自为她精心刺 绣的“五色甜菊”绣品。五年多之前，“五色甜菊”作为耿兰弥足珍贵的嫁妆随她远赴江南小镇的李家；而如今，这件绣品又 要随同李尚武一家人北上回到“三六九镇”去了！乔氏依然还是像以前那样生活，不过身体尚好。小青已经是四个娃儿的母亲 了，两双儿女都很好，但耿兰和尚武那天只见到了三个娃儿。大儿子小东伢已经成了爹的得力助手，父子俩那天正好赶了大骡 车过江去汉阳镇上卖土豆去了。小青告诉尚武和耿兰，东伢子一共种了三十多亩菜地。由于土豆不但好种植好管理，而且产量 高、好储存，又能卖得好价钱，加之还可以一年两头种，不耽误夏秋季节种植其它一些当地的蔬菜，所以东伢子每年都将一半 的菜地轮换着用来种土豆！耿兰将嫂子酿的米酒和大姑子新打的月饼给乔氏母女留了一些，说“娘娘，姐姐，俺俩是准备在 ‘耿家小学堂’教书的。学堂里不会有太长的休假期。这往返一趟，实在是太遥远了。以后，只怕是不太可能再回来的了。这 次来，俺很遗憾没有见到姐夫和小东伢！”乔氏母女俩自然不免感慨落泪唏嘘一番。尚武则对爱妻说：“你不用遗憾的，这个 姐夫和咱家的那个姐夫几乎就好像是一个人一样呢，就连说话举止也很像。你也很像咱姐，让娘娘和姐姐转告就是了！”乔氏 也说：“这兰丫头和当年的英丫头实在是太像了，几乎就没有不像的地方！”小青真诚地挽留，说：“你们多住几天再走吧， 小东伢和他爹大概明儿个傍晚就回来了！”耿兰抱歉地说：“不麻烦娘
即： 0 A B 2
复习：函数单调性的定义
一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , 当 x1
x2
,
x2时,都有 f ( x ) f ( x )
1 2
那么就说 f ( x) 在这个区间上是增函数。这个区间为单调增区间。 一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I
5 3 函数f ( x)的增区间是(2k ,2k ] k Z 6 2
3．已知定义域是 (,3] 上的单调减函数 f ( x) ， 若
f (a sin x) f (a 1 cos x)
2 2
对一切实数
x均
成立，求 a的取值范围。
课堂小结：
1、 复合函数的单调性问题要通过换元，转化为基本
如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 ,
当 x1
x2
,
x2时,都有 f ( x ) f ( x )
1 2
那么就说 f ( x) 在这个区间上是减函数。这个区间为单调减区间。
1．求下列函数的单调递减区间：
①
y sin(
4
3x)
2
②
y 1 cos x
①
（复习课）
每 课 一 练
已知：ABC是锐角三角形，
函数f ( x)在[0,1]上是增函数，那么有 （
A f (sin B) f (cos A) ．
f (sin B) f (sin A) Ｃ．
）
Ｂ．f (sin B) f (cos A)
f (cosB) f (cos A) Ｄ．
解：
1 2 sin x 0 1 sin x 2
令t 1 2 sin x 0
定义域 是前提
5 11 x (2k ,2k ) 6 6
kZ
y log 2 t是定义域内的增函数
3 x [2k ,2k ] 2 2
kZ
是Βιβλιοθήκη Baidu sin x的减区间
变形练习：
设A, B 都是锐角，且 cos A sin B ，则 A B 的取值范围
是 解：
A, B都是锐角，A (0, ), B (0, ) 2 2
( A) (0, ) 2 2
又 cos A sin(
2
2
A) sin B
A B
②
y 1 cos x
2
解：y sin 2 x
1 cos 2 x 1 1 cos 2 x 2 2 2
2k 2 x 2k
kZ kZ
2
k x k
2
函数的单调递减区间是[
k , k ] ，k Z
2．函数 f ( x) log2 (1 2 sin x) 的单调递增区间是：
y sin(
4
3x)
4 )
解： y sin( 3 x
2
2k 3 x
4
2
2k
kZ
2k 2k x 12 3 4 3
kZ
2k 2k , ] ，k Z 函数的单调递减区间是[ 12 3 4 3
函数的单调性问题来求解。
2、在求单调区间时，一定要先求定义域。
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即： 0 A B 2
复习：函数单调性的定义
一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , 当 x1
x2
,
x2时,都有 f ( x ) f ( x )
1 2
那么就说 f ( x) 在这个区间上是增函数。这个区间为单调增区间。 一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I
5 3 函数f ( x)的增区间是(2k ,2k ] k Z 6 2
3．已知定义域是 (,3] 上的单调减函数 f ( x) ， 若
f (a sin x) f (a 1 cos x)
2 2
对一切实数
x均
成立，求 a的取值范围。
课堂小结：
1、 复合函数的单调性问题要通过换元，转化为基本
如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 ,
当 x1
x2
,
x2时,都有 f ( x ) f ( x )
1 2
那么就说 f ( x) 在这个区间上是减函数。这个区间为单调减区间。
1．求下列函数的单调递减区间：
①
y sin(
4
3x)
2
②
y 1 cos x
①