正弦函数余弦函数的单调性
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正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(
) – sin( 18
10
)
解： 2 10 18 sin(
5
2
又 y=sinx 在[
)
10
) < sin(
18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k , +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
3 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 , k ] 单调减区间为 [k 8 8 k x k
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
正弦余弦函数的单调性
思考：如何找到余弦函数在整个定 义域R上的单调区间？
单调递增区间为：[ 2 k ,2 k ](k Z )
单调递减区间为：[2k,2k](k Z)
典例剖析
例1不通过求值，比较下列各组数大小
(1) sin( 18 ) ； sin( 10 )
23
(2) cos( 5
)；
17
cos( 4
)
例2、求下列函数的单调区间
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
新课讲授
一、正弦函数的单调性 y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
-1
x
2
…
0
…
2
…
…
3 2
sinx -1
0
1
0
-1
ysinx,x[,3]
22
增区间为
[[
22
, ，2]
]
减区间为
[[
2
2
, ，33
2
]]
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
思考：如何找到正弦函数在整个定 义域R上的单调区间？
单调递增区间：[2k,2k](kZ)
正、余弦函数的单调性与最值
比较三角函数值的大小 比较下列各组数的大小． (1)cos－253π与 cos－147π； (2)sin2 012°和 cos157°.
【思路探索】 利用诱导公式将异名三角函数转化为 同名三角函数，非同一单调区间的角，转化到同一单调区 间上，再利用函数的单调性比较．
【解】 (1)解法一： ∵cos－253π＝cos－6π＋75π＝cos75π， cos－147π＝cos－6π＋74π＝cos74π， ∵π<75π<74π<2π， 又 y＝cosx 在[π，2π]上单调递增， ∴cos75π<cos74π，
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
单调减区间为2kπ＋π6，2kπ＋76π. (2)函数 y＝2sinπ3－2x＝－2sin2x－3π，令 2kπ－2π≤2x －π3≤2kπ＋2π(k∈Z)，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，∴函数 y＝2sin3π－2x的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋152(k∈Z)．令π2 ＋2kπ≤2x－3π≤32π＋2kπ，k∈Z，解得152π＋kπ≤x≤1112π＋kπ， k∈Z，即原函数的单调递增区间为152π＋kπ，1112π＋kπ(k∈Z)．
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
正弦, 正弦,余弦函数的性质
(奇偶性,单调性) 奇偶性,单调性)
X
正弦, 正弦,余弦函数的图象和性质
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
y=sinx (x∈R) ∈
∈ 定义域 x∈R ∈ 值 域 y∈[ - 1, 1 ] π 周期性 T = 2π
1
y=cosx (x∈R) ∈
4
y 1
2π
3π 2
π
y=|sinu|
π
2
π
π
2
O
π
3π 2
2π
u
即: 增区间为 k π ≤ u ≤ k π , k ∈ Z 2 减区间为 k π ≤ u ≤ k π + π , k ∈ Z ∵
π
-1
y=sinu y=- |sinu|
2 3π π kπ ≤ x ≤ kπ , k ∈ Z y为增函数 为增函数 4 4 π π kπ ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z y为减函数 为减函数 4 4
正弦,余弦函数的奇偶性, 正弦,余弦函数的奇偶性,单调性
小 结:
函数 奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 [
π
2
单调性(单调区间) 单调性(单调区间)
π
+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 单调递增 π π ∈ +2kπ, π
3π 2
π
2
+2kπ],k∈Z 单调递减 π ∈ 单调递增 单调递减
余弦函数
偶函数
4π
x
sinx
π
2
…
0 0
…
(奇偶性,单调性) 奇偶性,单调性)
X
正弦, 正弦,余弦函数的图象和性质
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
y=sinx (x∈R) ∈
∈ 定义域 x∈R ∈ 值 域 y∈[ - 1, 1 ] π 周期性 T = 2π
1
y=cosx (x∈R) ∈
4
y 1
2π
3π 2
π
y=|sinu|
π
2
π
π
2
O
π
3π 2
2π
u
即: 增区间为 k π ≤ u ≤ k π , k ∈ Z 2 减区间为 k π ≤ u ≤ k π + π , k ∈ Z ∵
π
-1
y=sinu y=- |sinu|
2 3π π kπ ≤ x ≤ kπ , k ∈ Z y为增函数 为增函数 4 4 π π kπ ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z y为减函数 为减函数 4 4
正弦,余弦函数的奇偶性, 正弦,余弦函数的奇偶性,单调性
小 结:
函数 奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 [
π
2
单调性(单调区间) 单调性(单调区间)
π
+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 单调递增 π π ∈ +2kπ, π
3π 2
π
2
+2kπ],k∈Z 单调递减 π ∈ 单调递增 单调递减
余弦函数
偶函数
4π
x
sinx
π
2
…
0 0
…
正弦函数余弦函数的单调性
正弦函数和余弦函数是周期函数,它们的单调性极为重要,它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.
正弦函数是关于直角坐标系x轴的周期函数,其表达式为y=sin x,它的定义域为[-π,π], x轴上的值是周期性变化的,当x=0时,y=0,当x=π/2时,y=1,当x=π时,y=-1,其余的点也是类似的,它的单调性是递增的.
余弦函数也是关于x轴的周期函数,其表达式为y=cos x,它的定义域也是[-π,π],其形状和正弦函数类似,只是它的单调性是递减的,当x=0时,y=1,当x=π/2时,y=0,当x=π时,y=-1,它的单调性是递减的.
正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的单调性分别是递增和递减.它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.它们也提供了许多实用的应用,在物理、工程、数学等方面都有广泛的应用,从而为科学技术发展做出了重要的贡献.。
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性[优质ppt]
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x 内的任意一个 ，都有 f(x)f(x)则称 f (x) 为
这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 f ( x)的定义
域内的任意一个 x都 f(x)f(x),则称 f (x)
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原 点对称。
x 注意：1、 是任意的
2.奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
知识回顾 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
3 5 2
x( , )
x( , )
且f(x)(x)si nx)(
且f(x)1si nx)(
xsinx
1sin x
f (x)
f(x)f(x)且 f(x)f(x)
函数 yxsinx是偶函数 y 1sinx是非奇非偶函数
判断下列函数的 （ 1）yxsinx
再观察正弦函数图像
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
正弦函数 ysinx在
在每个闭区间 [2k,2k]k (Z)上是增函数，
22
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [2k,32k](kZ)是减函数，
其关于原点的对称点 P'(x,sinx) ， 由诱导公式 sinx()sixn, 即 P'(x,sinx()) 故P '也在正弦函数的图像上。
这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 f ( x)的定义
域内的任意一个 x都 f(x)f(x),则称 f (x)
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原 点对称。
x 注意：1、 是任意的
2.奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
知识回顾 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
3 5 2
x( , )
x( , )
且f(x)(x)si nx)(
且f(x)1si nx)(
xsinx
1sin x
f (x)
f(x)f(x)且 f(x)f(x)
函数 yxsinx是偶函数 y 1sinx是非奇非偶函数
判断下列函数的 （ 1）yxsinx
再观察正弦函数图像
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
正弦函数 ysinx在
在每个闭区间 [2k,2k]k (Z)上是增函数，
22
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [2k,32k](kZ)是减函数，
其关于原点的对称点 P'(x,sinx) ， 由诱导公式 sinx()sixn, 即 P'(x,sinx()) 故P '也在正弦函数的图像上。
6.1(5)正弦函数与余弦函数的性质---单调性剖析.
函数值从 1增加到 1；
(2) 在闭区间 [2k ，2k 3 ](k Z )上都是减函数，
2
2
函数值从 1 减少到 1.
y cos x , x R
y
1
3
2
2
3
2 3
O
2
-1
2
2
3
4 x
2、余弦函数 y cos x ,
6.1(5)正弦函数与余弦函数 的性质---单调性
单调性： y sin x , x R
y
1
3
2
2
3
2 3
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
-1
2
2
3
4 x
1、正弦函数 y sin x ,
(1) 在闭区间[2k ，2k ](k Z )上都是增函数，
2
2
(1) 在闭区间[2k ，2k ] (k Z )上都是增函数，
函数值从 1 增加到 1；
(2) 在闭区间[2k，2k ] (k Z)上都是减函数，
函数值从 1 减少到 1.
利用单位圆解释并记住单调区间：
y
1
o
1
x
例1、利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
sin(
3x)
4
(2) y 3cos(1 2x)
4
单调递减区间:[k ，k 3 ](k Z )
(2) y cos(2x ) 4
4
12
单调递增区间:[k 11 ，k ](k Z )
24
24
三角函数w为负数算单调区间
三角函数w为负数算单调区间
当三角函数中的参数w为负数时，我们可以分别讨论正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性。
首先，考虑正弦函数sin(w)。
当w为负数时，sin(w)也为负数。
正弦函数在区间(-π/2, 0)上是单调递增的，因为在这个区间上，w
逐渐从-π/2增加到0，而sin(w)也随之逐渐从-1增加到0。
因此，当w为负数时，sin(w)在区间(-π/2, 0)上是单调递增的。
其次，考虑余弦函数cos(w)。
当w为负数时，cos(w)也为正数。
余弦函数在区间(-π, -π/2)上是单调递减的，因为在这个区间上，w逐渐从-π增加到-π/2，而cos(w)随之逐渐从-1增加到0。
因此，当w为负数时，cos(w)在区间(-π, -π/2)上是单调递减的。
最后，考虑正切函数tan(w)。
当w为负数时，tan(w)也为负数。
正切函数在区间(-π/2, 0)上是单调递增的，因为在这个区间上，w
逐渐从-π/2增加到0，而tan(w)也随之逐渐从负无穷增加到0。
因此，当w为负数时，tan(w)在区间(-π/2, 0)上是单调递增的。
综上所述，当参数w为负数时，正弦函数在区间(-π/2, 0)上
是单调递增的，余弦函数在区间(-π, -π/2)上是单调递减的，而正切函数在区间(-π/2, 0)上是单调递增的。
这些都是三角函数在负数参数下的单调性。
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是我们在高中数学中常见的两个三角函数，它们具有很多有趣的性质。
在这里，我们来讨论正弦函数和余弦函数的单调性。
1. 正弦函数的单调性：
正弦函数表示为y = sin(x)，其中x是角度，y是对应的正弦值。
这个函数的定义域是所有实数，因此我们可以讨论它的单调性。
正弦函数的周期是2π，也就是说，当给定角度x时，sin(x)等于sin(x+2π)、
sin(x+4π)、sin(x+6π)等等。
这意味着对于任何给定的y值，我们可以找到无限个对应的角度x，使得sin(x)等于y。
所以，正弦函数是一种周期函数，它不具有单调性。
我们可以将正弦函数的定义域限制在一个周期内，例如[0, 2π]。
在这个区间上，正弦函数的单调性是可讨论的。
这个区间上，正弦函数是先增后减的，也就是说，当x在[0,π/2]时，sin(x)递增；当x在[π/2,π]时，sin(x)递减；当x在[π,3π/2]时，
sin(x)递增；当x在[3π/2,2π]时，sin(x)递减。
所以，在一个周期内，正弦函数是两个相邻极值点之间的区间里递增或递减的。
正弦函数和余弦函数分别在一个周期内具有先增后减和先减后增的单调性。
由于它们是周期函数，所以在整个定义域上它们并没有单调性。
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
]
9 3 1 当 2k x 2k 即 6k x 6k , k Z 为减区间 4 4 2 3 4 x 9 3 当 2k 2k 即 6k x 6k , k Z 为增区间 3 4 2 4 4
正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
uyd79vau
接。乔氏母女俩和耿老爹父子们去江边做完“尽七”祭奠返回时，船老大亲自将五佰两纹银送到白家来。并且说：“以后，白兄弟的 “百日”祭和“周年”祭，我还会派马车接送。”乔氏母女一再谢绝，说：“千万不要再费心了。路不远，我们自己走去就行！”船老 大说：“这没有什么费心的，反正我和我那帮兄弟们也要祭奠的。”临走时，这位实在够意思的船老大还一再叮嘱乔氏，娘儿俩以后的 生活如果有什么困难，一定告诉他。他中肯地说：“白兄弟的家眷，我会负责一辈子的！”进入腊月后，新鲜蔬菜相对少了不少，因此 贩卖蔬菜的生意就有些惨淡了。不过，水果零售的生意倒还不错。耿老爹决定，让耿正兄妹仨继续每天批发一些水果，多多少少倒卖一 些，自己抽这个时间，动手割制新屋的顶棚架和门窗。这样，等到明年开春后，就可以为新屋装顶棚和安门窗了。等到做完这些以后， 再进行一次屋内石灰泥上面，也就是俗话说的“亮家”，五间新屋基本上就大功告成了。至于石灰泥干透后的屋内全面刷白处理，已经 是相对简单的事情了。得知了耿老爹的想法后，乔氏又去一个曾经帮助盖房的木匠老师傅那里，借回来一套木匠工具。做这些木工活计 之前，耿老爹专门渡江去汉口镇上跑了一趟。他估摸着，张老乡一家倘若顺利过了黄河继续往南进发的话，这个时候应该已经来到了， 但结果却令耿老爹大失所望。那天上午，当他寻找到张老乡曾经与人合伙开店的地方时，眼前看到的依然还是一片狼藉，而且整个汉口 镇街面上的行人都很少。耿老爹向遇到的每一个人反反复复地打听着：“请问，您是否看到和听到过有姓张的一家四口从北边过来了？” 每一个人都摇头，说既没有看到，也没有听说。这样，从上午一直打听到过午了，耿老爹感觉又饥又渴，便向一户人家讨了一碗水，就 着水啃了一个从武昌镇烧饼铺买了带过来的烧饼，然后继续沿着不同的街道打听。直到日头西斜，汉口镇上几乎所有的大街小巷都问遍 了，仍然没有任何结果。看来，张老乡一家确实没有来到这里。事已至此，耿老爹只能寄希望于张老乡在动身南下之前就听说了这里的 水灾，压根儿就没有动身来这里。或者说，他在刚出发到达省城或者什么地方的时候听说了，就转身返回去了。至于那个可怕的梦，耿 老爹当时虽然感觉有些蹊跷，也曾经伤心得泪流满面胸口发紧，但他现在宁愿不相信了。他一遍又一遍地对自己说：“什么呀，张大哥 根本就没有南下，根本就没有走到黄河边儿！”抬头看看，日头还有半杆子高。耿老爹又来到原先自家开的粮油零售店前，看到店铺门 上的大铁锁已经锈迹斑斑的了。再看门上贴的那一纸留言，虽然字迹有些模糊了，但依然还在。而那个没有了院墙的小后院儿，到现在 还是那样敞着
第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值
易错提醒:求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,把 ωx+φ 看作一个整体,借助 y=sin x 的单调区间来解决.当 A<0 或 ω<0 时,要注意原函数的单调性与函数 y=sin x 的单调性的关系.
【跟踪训练】 1.变式练将本例(2)变为:求函数 y=2cos( -x)的单调递 增区间. 解:y=2cos( -x)=2cos(x- ), 由 2kπ+π≤x- ≤2kπ+2π,k∈Z, 得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 所以原函数的单调递增区间是[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z).
解析:当 sin x=-1,即 x=- +2kπ,k∈Z 时, 函数 y=2-sin x 取得最大值 3.
4.函数 y=3-2cos( x+ )的最大值为 5 , 此时自变量 x 的 取值是 3kπ+π,k∈Z .
解析:当 cos( x+ )=-1 时,ymax=3-2×(-1)=5.此时自变量 x=3kπ+π,k∈Z.
所以 ≤ω≤ ,故选 C. 答案:C
探索点二 比较三角函数值大小问题 【例 2】 比较下列各组数的大小:
(1)cos(- )与 cos(- );(2)sin 194°与 cos 160°.
【解题模型示范】
【跟踪训练】 4.cos 1,cos 2,cos 3 的大小关系是cos 1>cos 2>cos 3.(用 “>”连接)
课堂建构
解:(1)因为-1≤sin 2x≤1, 所以-2≤-2sin 2x≤2,所以 1≤3-2sin 2x≤5, 所以函数 y=3-2sin 2x 的值域是[1,5].
(2)由 y=cos(x+ ),x∈[0, ],得 x+ ∈[ , ].
【跟踪训练】 1.变式练将本例(2)变为:求函数 y=2cos( -x)的单调递 增区间. 解:y=2cos( -x)=2cos(x- ), 由 2kπ+π≤x- ≤2kπ+2π,k∈Z, 得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 所以原函数的单调递增区间是[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z).
解析:当 sin x=-1,即 x=- +2kπ,k∈Z 时, 函数 y=2-sin x 取得最大值 3.
4.函数 y=3-2cos( x+ )的最大值为 5 , 此时自变量 x 的 取值是 3kπ+π,k∈Z .
解析:当 cos( x+ )=-1 时,ymax=3-2×(-1)=5.此时自变量 x=3kπ+π,k∈Z.
所以 ≤ω≤ ,故选 C. 答案:C
探索点二 比较三角函数值大小问题 【例 2】 比较下列各组数的大小:
(1)cos(- )与 cos(- );(2)sin 194°与 cos 160°.
【解题模型示范】
【跟踪训练】 4.cos 1,cos 2,cos 3 的大小关系是cos 1>cos 2>cos 3.(用 “>”连接)
课堂建构
解:(1)因为-1≤sin 2x≤1, 所以-2≤-2sin 2x≤2,所以 1≤3-2sin 2x≤5, 所以函数 y=3-2sin 2x 的值域是[1,5].
(2)由 y=cos(x+ ),x∈[0, ],得 x+ ∈[ , ].
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即： 0 A B 2
复习：函数单调性的定义
一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , 当 x1
x2
,
x2时,都有 f ( x ) f ( x )
1 2
那么就说 f ( x) 在这个区间上是增函数。这个区间为单调增区间。 一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I
②
y 1 cos x
2
解：y sin 2 x
1 cos 2 x 1 1 cos 2 x 2 2 2
2k 2 x 2k
kZ kZ
2
k x k
2
函数的单调递减区间是[
k , k ] ，k Z
2．函数 f ( x) log2 (1 2 sin x) 的单调递增区间是：
5 3 函数f ( x)的增区间是(2k ,2k ] k Z 6 2
3．已知定义域是 (,3] 上的单调减函数 f ( x) ， 若
f (a sin x) f (a 1 cos x)
2 2
对一切实数
x均
成立，求 a的取值范围。
课堂小结：
1、 复合函数的单调性问题要通过换元，转化为基本
正弦函数、余弦函数的单调性
（复习课）
每 课 一 练
已知：ABC是锐角三角形，
函数f ( x)在[0,1]上是增函数，那么有 （
A f (sin B) f (cos A) ．
f (sin B) f (sin A) Ｃ．
）
Ｂ．f (sin B) f (cos A)
f (cosB) f (cos A) Ｄ．
y sin(
4
3x)
4 )
解： y sin( 3 x
2
2k 3 x
4
2
2k
kZ
2k 2k x 12 3 4 3
kZ
2k 2k , ] ，k Z 函数的单调递减区间是[ 12 3 4 3
函数的单调性问题来求解。
2、在求单调区间时，一定要先求定义域。
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对这种质地白净而又非常精道好吃的稀罕吃食很是喜欢，总是供不应求。为已故娘亲守孝年满三年后，李尚武决定举家北上去 了。尚武打心眼儿里认为，爹娘的临终嘱托很对，自己是应该把家安在“三六九镇”上的。这样一来，不但能让爱妻耿兰在免 去思念亲人之苦的同时，还可以继续去圆她的那个培养故乡小学童之梦，而且自己也能有机会在义父的身边好好儿地尽尽孝道。 再则，尚武很希望自己也能够为岳父家的“耿家小学堂”尽一份力量。尚武相信，义父传授给自己的文化知识，已经完全可以 胜任教授小学童了。更何况，在教授小学童的同时，自己还可以再不断地继续深造呢！那一年秋末，李尚武带着耿兰和一双儿 女去爹娘的坟上隆重祭扫之后，手足兄姐一大家子人聚在一起吃了一顿离别饭。然后，乘着江南雨水稀少的季节，兄姐两家人 共同乘坐一挂大骡车，一起将弟弟一家送至鄱阳湖边，双方挥泪告别不做细述。载着李尚武和耿兰一家四口的大骡车途径武昌 镇时，正好是一个晴朗初冬日的半下午时分。西斜的暖阳照在武昌镇的大街小巷上，一派闲静祥和的惬意景象。大骡车来到白 家宽敞的大门口了，李尚武带着耿兰和一双儿女怀着难以言表的心情进白家看望乔氏母女。耿兰当面谢过娘娘亲自为她精心刺 绣的“五色甜菊”绣品。五年多之前，“五色甜菊”作为耿兰弥足珍贵的嫁妆随她远赴江南小镇的李家；而如今，这件绣品又 要随同李尚武一家人北上回到“三六九镇”去了！乔氏依然还是像以前那样生活，不过身体尚好。小青已经是四个娃儿的母亲 了，两双儿女都很好，但耿兰和尚武那天只见到了三个娃儿。大儿子小东伢已经成了爹的得力助手，父子俩那天正好赶了大骡 车过江去汉阳镇上卖土豆去了。小青告诉尚武和耿兰，东伢子一共种了三十多亩菜地。由于土豆不但好种植好管理，而且产量 高、好储存，又能卖得好价钱，加之还可以一年两头种，不耽误夏秋季节种植其它一些当地的蔬菜，所以东伢子每年都将一半 的菜地轮换着用来种土豆！耿兰将嫂子酿的米酒和大姑子新打的月饼给乔氏母女留了一些，说“娘娘，姐姐，俺俩是准备在 ‘耿家小学堂’教书的。学堂里不会有太长的休假期。这往返一趟，实在是太遥远了。以后，只怕是不太可能再回来的了。这 次来，俺很遗憾没有见到姐夫和小东伢！”乔氏母女俩自然不免感慨落泪唏嘘一番。尚武则对爱妻说：“你不用遗憾的，这个 姐夫和咱家的那个姐夫几乎就好像是一个人一样呢，就连说话举止也很像。你也很像咱姐，让娘娘和姐姐转告就是了！”乔氏 也说：“这兰丫头和当年的英丫头实在是太像了，几乎就没有不像的地方！”小青真诚地挽留，说：“你们多住几天再走吧， 小东伢和他爹大概明儿个傍晚就回来了！”耿兰抱歉地说：“不麻烦娘
解：
1 2 sin x 0 1 sin x 2
令t 1 2 sin x 0
定义域 是前提
5 11 x (2k ,2k ) 6 6
kZ
y log 2 t是定义域内的增函数
3 x [2k ,2k ] 2 2
kZ
是y sin x的减区间
变形练习：
设A, B 都是锐角，且 cos A sin B ，则 A B 的取值范围
是 解：
A, B都是锐角，A (0, ), B (0, ) 2 2
( A) (0, ) 2 2
又 cos A sin(
பைடு நூலகம்
2
2
A) sin B
A B
如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 ,
当 x1
x2
,
x2时,都有 f ( x ) f ( x )
1 2
那么就说 f ( x) 在这个区间上是减函数。这个区间为单调减区间。
1．求下列函数的单调递减区间：
①
y sin(
4
3x)
2
②
y 1 cos x
①