3.1 不等关系与不等式导学案
高中数学 3.1不等式与不等关系 精品导学案 新人教A版必修5
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.1不等式与不等关系导学案 新人教A 版必修5【学习目标】（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法； （3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯． 【自主学习】阅读教材P72—73，独立完成下列问题：1、表示 关系的式子叫做不等式,常用符号 表示不等关系.2、比较两实数大小的方法——作差比较法：a-b>0 ⇔ a b a-b<0 ⇔ a b a-b=0 ⇔ a b3、比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小；【合作探究】1、某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．(1)若设每本杂志价格提高x 元，怎样用不等式表示销售收入大于22.4万元呢？(2)若设提价后杂志的定价为x 元，又怎样用不等式表示销售收入大于22.4万元呢？2、某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．【目标检测】（A 级、全体学生做） 1、用不等式表示下面的不等关系： （1）a 与b 的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4m ”；（3）在一个面积为350m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周各留5m 的绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍；2、比较2)6()7)(5(+++x x x 与 的大小；（B 级选做题）某企业生产A 、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A 产品 3 9 4B 产品1045现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，设A,B 这两种产品各x 吨，y 吨，那么x ,y 应满足怎样的关系？学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些没学懂？§3.1不等式与不等关系（第2课时）【学习目标】（1）使学生掌握常用不等式的基本基本性质； （2）会将一些基本性质结合起来应用.（3）学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 【自主学习】任务一：请同学们回忆初中不等式的的基本性质（1）不等式的两边同时加上或减去______ _____，不等号的方向____________； （2）不等式的两边同时乘以或除以____________，不等号的方向____________； （3）不等式的两边同时乘以或除以____________，不等号的方向____________。
人教新课标版数学高二必修5导学案 3.1不等关系与不等式教师版
3.1不等关系与不等式【教学目标】1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《3.1不等关系与不等式》课件“问题情景”部分，从生活中鲜活的事例入手，了解不等关系存在的普通性与实际意义，再通过举例说明和互相交流，进一步理解不等式的定义.二、自主学习教材整理1不等关系与不等式阅读教材P72～P73上面第5行，完成下列问题．1．不等符号与不等关系的表示：(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换阅读教材P73上面第二自然段～P74，完成下列问题．1．比较两实数a，b大小的依据2．不等式的性质问题1 限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，用不等式如何表示？提示 v ≤40.问题2 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x 2＋1与2x 的大小，而且具有说服力吗？提示 作差：x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，所以x 2＋1≥2x . 问题3 试用作差法证明a >b ，b >c ⇒a >c .提示 a >b ，b >c ⇒a －b >0，b －c >0⇒a －b ＋b －c >0⇒a －c >0⇒a >c . 探究点1 用不等式(组)表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？提示 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.名师点评：数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．探究点2 比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 提示 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.名师点评：比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．命题角度2 作商法比较大小例3 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系． 提示 |log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝||log (1＋x )(1－x )，∵0＜x ＜1，∴||log (1＋x )(1－x )＝－log (1＋x )(1－x ) ＝log (1＋x )11－x， ∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )＜1，且1－x ＞0， ∴1＋x ＜11－x，∴log (1＋x )11－x ＞1，即|log a (1－x )||log a (1＋x )|＞1，∴|log a (1＋x )|＜|log a (1－x )|.名师点评： 作商法的依据：若b ＞0，则ab ＞1⇔a ＞b .探究点3 不等式的基本性质 例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >cb.提示 因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.名师点评：有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质．四、当堂检测1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45提示 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45.2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b提示 C解析 由a ＋b >0，知a >－b ， ∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0， ∴a >－b >b >－a .3．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小． 提示 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0， ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．4．某市政府准备投资1800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？提示 设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1800.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容? 提示：1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．。
探究式导学案2：3.1不等关系与不等式
3.1 不等关系与不等式【学习目标】1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3.情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
【重、难点】1. 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
2. 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
【学习过程】一．研讨互动，问题生成在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a>b⟹a±c>b±c（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若a>b,c>0⟹ac>bc（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若a>b,c<0⟹ac<bc二．合作探究，问题解决1、不等式的基本性质证明：（1）a>b,b>c⟹a>c（2）a>b⟹a+c>b+c（3）a>b,c>0⟹ac>bc（4）a>b,c<0⟹ac<bc2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）a >b,c >d ⟹a +c >b +d（2）a >b >0,c >d >0⟹ac >bd（3）a >b >0,nϵN,n >1⟹a n >b n ,√a n >√b n。
高中数学《不等关系与不等式》导学案
第三章不等式§3.1 不等关系与不等式一、学习目标1.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.2.掌握常用不等式的基本性质.3会用不等式的性质证明简单的不等式.【重点、难点】教学重点：不等式的意义及不等式的基本性质。
教学难点：不等式的意义及不等式基本性质的应用。
二、学习过程【情景创设】咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y 杯,你能写出满足上述条件的所有不等式吗?【导入新课】1 .上述情景中的x,y满足的不等式分别为. . .x≥0,y≥02．作差法比较大小的依据是什么?(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.3．作商法比较大小的依据是什么?设a,b∈R,且a>0,b>0(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.4．不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔b a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a c;(3)可加性:a>b⇒a+c b+c;(4)a>b,c>d⇒a+c b+d;(5)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;(6)a>b>0,c>d>0⇒ac bd;(7)a>b,c<0⇒ac bc;(8)乘方性:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥2);(9)开方性:a>b>0⇒错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
(n∈N,n≥2);(10)a>b,ab>0⇒错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
3.1 不等关系与不等式导学案
3.1.1 不等关系与不等式（一）.生活中的不等关系(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度,且小于第二宇宙速度;(2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带物品------杆状物不超过200cm,重量不得超过20kg;(3)我们班的讲台高度大于同学坐的桌子的高度。
问题1:上面的不等关系是用什么不等式表示的?（二）.用不等式(组)表示不等关系(1)限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h .2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度( V )不小于第一宇宙速度( 记作V1 ),且小于第二宇宙速度(记V2 ). (3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.问题2:什么是不等式?问题3. 设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d与AB 的关系怎么表示？问题4、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？思考：(1 )销售量减少了多少?(2)现在销售量是多少?(3)销售总收入为多少?问题5.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。
按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。
请思考:(1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系.(2)用不等式（组）表示上述不等关系.课堂练习：书本：P74，练习1、2思考：不等式a ≥b 或b ≤a 的含义。
问题6：有什么特点？观察不等式"","",""f e d c b a <<<知识探究(二)：比较实数大小的基本原理思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a ，b ，其大小关系有哪几种可能？思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？思考4：如果两个实数的差是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？思考5：如果两个实数的差等于零，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？问题7：判断两个实数大小的依据是什么？例1．比较x 2－x 与x －2的大小.例1-2：比较下面两式的大小：））与（（与与与与6756)5(64)9)(7)(4(224)3(33)2(42232)1(42222222--+++++++++++x x x yx y x xx x x x x（备选）例2 已知a b m 、、都是正数,且a b >,求证: b m b a m a +>+问题8：若b>a,结论又会怎样呢?小结：1.判断两个实数大小的依据是：00a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<2.作差法的步骤：（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论. 其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。
高中数学 第三章 3.1不等关系与不等式导学案新人教A版必修5
§3.1 不等关系与不等式 课时目标1．初步学会作差法比较两实数的大小．2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小(1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a >b ； 如果a －b 等于0，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b ，反之也成立．(2)符号表示a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．常用的不等式的基本性质(1)a >b ⇔b <a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)；(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n >b n ；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a >n b .一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C.ac 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>ab >aC.a b >a >ab 2 D.ab >ab 2>a答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a .3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b答案 C解析 对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b ＝－1.4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 C解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0答案 D解析 由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对．可取特值，如a ＝2，b ＝－1，a 3＋b 3＝7>0，故B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错．6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A.二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6.8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________． 答案 f (x )>g (x )解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 答案 x 1＋x 2≤12 解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 221＋x 2＝－x －1221＋x 2≤0， ∴x 1＋x 2≤12. 10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 答案 A >B解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n. ∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b的大小． 解 方法一 作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝a ＋b a 2－b 2－a －b a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b＝a －b [a ＋b 2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b ＝2ab a －b a ＋b a 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab a －b a ＋b a 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1， 即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0，∴f (x )＜g (x )； ②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0，即f (x )＝g (x )； ③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21，a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．。
高中数学3.1不等关系与不等式(一)导学案(无答案)新人教版必修5
3.1不等关系与不等式(一)【学习目标】1、通过了解一些不等式(组)产生的实际背景，认识不等关系的普遍性；2、掌握实数的性质与大小顺序之间的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小。
重点：用作差比较法比较两个实数的大小•难点：从实际问题中抽象出不等关系；作差比较法比较两个实数的大小时如何适当“变形”【课前导学】阅读课本P72〜73上半页后，填空：1、 (1)某公路立交桥对通过的车辆的高度h限高4 m，其不等关系是_________________(2)两实数a与b的和为非负数，则列出的不等关系是2、两实数之差a —b的符号与此两实数a、b的大小关系:a b0a ba b0ab 由此可知，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的a b0a b【课内探究】例1、配制A B两种药剂，需要甲、乙两种原料•已知配一剂A种药需甲料3g,乙料5g；配一剂B种药需甲料5g，乙料4g.今有甲料20g，乙料25g，若A、B两种药至少各配一剂，设A B 两种药分别配x、y剂(x、y N )，请写出x、y就满足的不等关系式•例2、比较下列各组中两个代数式的大小：(1) (a 3)(a 5)与(a 2)(a 4)；Q 0 0(2) x 7x 与x27(其中x 1) ；(3) x y 1 与2(x y 1).小结：作差比较法的步骤：作差，变形，判断符号变式：比较的大小：(1) x2 x与1 ；( 2) x3与x2x+1 .【总结提升】【反馈检测】1、比较下列各组数的大小：(1) (x2 1)2与X4 X2 1(x 0) ；(2) a2 b2与2ab 1.2、求证：2 2 2 2 4a (1)a 3b 2b(a b) ； ( 2)a b 2 2a 2b ； ( 3)已知a 2，求证21.4 a3、P75习题3.1 A 组第5题解：*4、P75 习题3.1 A 组第4题解:。
探究式导学案3：3.1 不等关系与不等式
3.1不等关系与不等式1. 学会不等式基本性质的内容；2. 能够利用不等式基本性质比较两代数式的大小；3. 利用不等式的同向可加性求多项式的取值范围.重点：不等式基本性质的应用；难点：求多项式的取值范围.（1） 预习教材73-74页，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律.（2） 用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容。
预学案一、相关知识(1)数轴上的任意两点中， 边点对应的实数比 边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a 和b ，a =b ，a >b ，a <b 三种关系中， 一种关系成立.(3)实数比较大小的方法：( 法或 法)b a b a >⇔>-0；b a b a <⇔<-0；b a b a =⇔=-0若a ,b +∈R 则1ab ，⇔=1b a ，1a b .二、新知预习已知()=-++=+m b a n b a m b a 则),(32 ，=n 我的疑惑 .导学案（一）不等式的基本性质探究1.性质1（对称性）如果a b > ，那么 ；如果b a <，那么 .即a b b a >⇔<.2.性质2（传递性）如果,a b b c >>，那么 .即,a b b c a c >>⇒>.3.性质3（加法法则）如果a b > ，那么a c + b c +.（是不等式移向法则的基础）4.性质4（乘法法则）如果a b > ，0c >，那么 . 如果a b > ，0c <，那么 .（a 、b 可以是数字，也可以是代数式，运用过程中一定要注意c 的符号）5.性质5（同向可加性）如果,a b c d >>，那么a c + b d +.（两个或多个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向）6.性质6（同向可乘性）如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd .7.性质7（乘方法则）如果 ，那么,n n a b >（n ∈N ，2n ≥）.8.性质8（开方法则）如果 ，那么>（n ∈N ，2n ≥）.（二）不等式的基本性质应用探究1、比较两个代数式的大小例1 已知0,0a b c >><,求证:c c a b>.总结：比较两个实数(代数式)大小的方法巩固练习1 比较(a +3)(a -5) 与(a +2)(a -4)的大小.巩固练习22、已知R x ∈比较()221+x 与124++x x 的大小.2、探究：“糖水加糖甜更甜”问题例2 已知0,0>>>m b a ,求证：a b m a m b >++3、求多项式的取值范围例3 已知13a b ，且24a b ，求b a 32+的取值范围.巩固练习3设bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f 求)2(-f 的取值范围。
3.1.1不等关系与不等式导学案
3.1《不等关系与不等式》（1）主备人：张有明校对人：李德明周萍萍审核人：胡道成【学习目标】1、会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；2、理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【重点】用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；【难点】用不等式（组）正确表示不等关系。
【知识链接】大于用表示，小于用表示，不大于用表示，不小于用表示，正数用表示，负数用表示，非负数用表示，非正数用表示知识点1：现实世界和日常生活中常见的不等关系问题1：用不等式表示下列不等关系：（1）a与b的和是非正数；（3）右图是限速为40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，表示为 40知识点2:现实世界和日常生活中常见的不等式组关系问题2：用不等式组表示下列不等关系：（1）中国“神州七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s. 表示为（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪f的含量应不少于2.5﹪，蛋白质p的含量应不少于2.3﹪. 表示为（3）铁路旅行常识规定：旅客每人免费携带物品——杆状物长度w不超过200cm，重量m不超过20kg. 表示为问题3：配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂B种药需甲料5毫克，乙料4毫克。
今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A、B两种药至少各配一剂，设配制A种药剂x剂,配制B种药剂y剂，求x,y应满足的条件。
（1）配制A种药剂x剂，需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（2）配制B种药剂y剂，需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（3）配制两种药剂，共需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（4）所需甲种原料不能超过毫克，得到不等式，乙种原料不能超过毫克，得到不等式；（5）因为A、B两种药至少各配一剂，所以应该满足（6）将上述不等式列成不等式组如下：基础达标：用不等式（组）表示下面的不等关系：（1）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2。
人教A版必修5数学 精品导学案：3.1不等关系与不等式(1)
§3.1 不等关系与不等式（1）班级姓名学号学习目标1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.学习过程一、课前准备_________复习2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400元______________________二、新课导学※学习探究文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于至少大于等于不少于小于等于不多于探究2：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是_______________某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于2.5%，蛋白质的含量q应不少于2.3%，写成不等式组就是_________________※典型例题例 1 设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则其中不等关系有______________例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？例3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？※动手试试练1．用不等式表示下面的不等关系：（1）a与b的和是非负数_________________（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”_____________________(3)如图(见课本74页)，在一个面积为350的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍练2． 有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)．三、总结提升※ 学习小结1．会用不等式（组）表示实际问题的不等关系；2．会用不等式（组）研究含有不等关系的问题．学习评价1. 下列不等式中不成立的是（ ）.A ．12-≤B ．12-<C ．11-≤-D ．12-≥2. 用不等式表示，某厂最低月生活费a 不低于300元 （ ）.A ．300a ≤B ．300a ≥C ．300a >D ．300a <3. 已知0a b +>，0b <，那么,,,a b a b --的大小关系是（ ）.A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-4. 用不等式表示：a 与b 的积是非正数___________5. 用不等式表示：某学校规定学生离校时间t 在16点到18点之间_______________________1. 某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种．A型号的帐篷比B型号的少5顶．若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余．设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2. 某正版光碟，若售价20元/本，可以发行10张，售价每体高2元，发行量就减少5000张，如何定价可使销售总收入不低于224万元?教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.1 不等关系与不等式导学案(3)
3.1 不等关系与不等式1．不等符号与不等关系的表示(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换[提示]①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a 不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．3．比较两实数a，b大小的依据思考：x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？[提示]作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.4．不等式的性质(1)a >b 且c >d ，则a －c >b －d . (2)a >b ，则ac >bc . (3)a >b >0，且c >d >0则a c >b d. (4)a >b >0，则a n >b n. (5)a >b ，则a c 2>b c2.[提示] 对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质， (1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的，故(1)错． (2)中当c ≤0时，不成立．(3)中例如5>3且4>1，则54>31是错的，故(3)错．(4)中对n ≤0均不成立，例如a ＝3，b ＝2，n ＝－1，则3－1>2－1显然错，故(4)错． (5)因为1c 2>0，所以a ·1c 2>b ·1c2，故(5)正确．因此正确的结论有(5)．1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T 不超过40吨，用不等式表示为( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40D ．T ≥40C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T ≤40.] 2．已知a >b ，c >d ，且cd ≠0，则( ) A ．ad >bc B ．ac >bc C ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋dD [a ，b ，c ，d 的符号未确定，排除A 、B 两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C 项，故选D 项．]3．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m ，n 的大小关系是________．m ≥n [m －n ＝2a 2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a 2≥0.]4．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有________个．1 [由1a <1b <0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确；由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，那么a >b ，故③错误．]的面积不小于110 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2(m)．因此菜园面积S ＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥110，即x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110，故该题中的不等关系可用不等式表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110.1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系．2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可．3．用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、不少于等． (2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．1．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .【例2】 已知a ，b 为正实数，试比较b ＋a与a ＋b 的大小． 思路探究：注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小． [解] 法一：(作差法)⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －(a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa＝（a －b ）（a －b ）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.∵a ，b 为正实数，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0， ∴（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立． ∴a b ＋ba≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)． 法二：(作商法)b a ＋ab a ＋b ＝（b ）3＋（a ）3ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）（a ＋b －ab ）ab （a ＋b ）＝a ＋b －abab＝（a －b ）2＋abab＝1＋（a －b ）2ab≥1，当且仅当a ＝b 时取等号．∵b a ＋ab>0，a ＋b >0， ∴b a ＋ab≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)． 法三：(平方后作差)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a b＋b a 2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b＋b a 2－(a ＋b )2＝（a ＋b ）（a －b ）2ab .∵a >0，b >0， ∴（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，又a b ＋b a >0，a ＋b >0，故a b ＋ba≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)．1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.2．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． [解] (x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1) ＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. 因为x <1，所以x －1<0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 所以(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0. 所以x 3－1<2x 2－2x .1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b <3， ∴13<1b <12， 又∵－6<a <8，∴－2<a b<4.你认为正确吗？为什么？[提示] 不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a <8.不明确a 值的正负．故不能将13<1b <12与－6<a <8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a <8，－4<b <2，两边分别相减得－2<a －b <6，你认为正确吗？[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵2<a －b <4， ∴－4<b －a <－2. 又∵－2<a ＋b <2， ∴0<a <3，－3<b <0， ∴－3<a ＋b <3.这怎么与－2<a ＋b <2矛盾了呢？[提示] 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a －b <4与－2<a ＋b <2两边相加得0<a <3，又将－4<b －a <－2与－2<a ＋b <2两边相加得出－3<b <0，又将该式与0<a <3两边相加得出－3<a ＋b <3，多次使用了这种转化，导致了a ＋b 范围的扩大．【例3】 已知c >a >b >0，求证：ac －a >bc －b.思路探究：①如何证明c a <c b ？②由c a <c b 怎样得到c －a a <c －bb？ [证明] ∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.由⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0⇒1a <1b c >0⇒c a <c b ，⎭⎪⎬⎪⎫⇒c －a a <c －b bc －a >0c －b >0a >0b >0⇒a c －a >b c －b .1．(变条件，变结论)将例题中的条件“c >a >b >0”变为“a >b >0，c <0”证明：c a >c b. [证明] 因为a >b >0，所以ab >0，1ab>0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c >a >b >0”变为“已知－6<a <8，2<b <3”如何求出2a ＋b ，a －b 及a b的取值范围．[解] 因为－6<a <8，2<b <3，所以－12<2a <16，所以－10<2a ＋b <19.又因为－3<－b <－2，所以－9<a －b <6.又13<1b <12，(1)当0≤a <8时，0≤a b<4； (2)当－6<a <0时，－3<a b<0. 由(1)(2)得－3<a b<4.1．利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．2．利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a >b 及c >d ，推不出ac >bd ；由a >b ，推不出a 2>b 2等．(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .2．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．1．判断正误(1)不等式x ≥2的含义是指x 不小于2.( )(2)若a <b 或a ＝b 之中有一个正确，则a ≤b 正确． ( ) (3)若a >b ，则ac >bc 一定成立． ( ) (4)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×[提示] (1)正确．不等式x ≥2表示x >2或x ＝2，即x 不小于2.(2)正确．不等式a ≤b 表示a <b 或a ＝b .故若a <b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a >b ，则ac >bc 不一定成立．(4)错误．取a ＝4，c ＝5，b ＝6，d ＝2.满足a ＋c >b ＋d ，但不满足a >b .2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示为________．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45 [“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45.] 3．若8<x <10，2<y <4，则x y的取值范围是________． (2，5) [∵2<y <4，∴14<1y <12.∵8<x <10，∴2<x y<5.] 4．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. [证明] 因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ，a b ≤cd，所以ab＋1≤cd＋1，所以a＋bb≤c＋dd.因为bd>0，所以。
不等关系与不等式导学案(第一课时)
3.1不等关系与不等式（一）学习目标：1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.学习重点：不等关系与不等式性质学习难点：用不等式（组）正确表示出不等关系一、 自主学习【预习提纲】根据以下提纲，预习教材第72页～第73页性质1前的内容1、现实生活中，“数量”与“数量”之间即存在 关系，又存在 关系，2、现实生活中，人们是用 表示“不等关系”，3、不等式的定义：用不等号 表示不等式的式子叫做不等式，4、不等式a b ≥的含义是什么？22≥对吗？5、实数比较大小的依据是：如果a b -是正数，那么 ；如果a b -等于零，那么 ；如果a b -是负数，那么 ；即0__,0__,0__a b a b a b a b a b a b ->⇔-=⇔-<⇔.6、符号⇔表示为 ，符号⇒表示为 ，符号⇐表示为 ，二、合作探究的路标用不等式表示为 ；（2）a 与b 的和是非负数用不等式表示为 ；（3）有一个两位数大于50而小于60，其二位数比十位数大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字).探究3：：如何比较两个实数的大小.两个实数比较大小的方法（1）作差法 (2)作商法R);,(000∈⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a b a b a b a ).0R (111>∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>，b a b a b a b a b a ba b a三.典例学习例1、比较下列各组中两个代数式的大小：（1）(x-3)2与(x-2)(x-4)； （2）当x>1时，x 3与x 2-x+1.变式训练：比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.方法总结：做差比较法法的一般步骤：（教师引导，学生回答）（1） 作差；（2） 变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；（3） 定号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)（4） 得出结论。
高中数学 3.1 不等关系与不等式导学案 新人教A版必修5
§3.1 不等关系与不等式（1）1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组._________复习2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400元______________________二、新课导学※学习探究探究2：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是_______________某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p 应不少于2.5%，蛋白质的含量q应不少于2.3%，写成不等式组就是_________________※典型例题例1 设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则其中不等关系有______________ 例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？例3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm 和600mm两种．按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？※动手试试练1．用不等式表示下面的不等关系：（1）a与b的和是非负数_________________（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”_____________________(3)如图(见课本74页)，在一个面积为350的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽W的4倍练2．有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)．三、总结提升※学习小结1．会用不等式（组）表示实际问题的不等关系；2．会用不等式（组）研究含有不等关系的问题．※知识拓展“等量关系”和“不等量关系”是“数学王国”的两根最为重要的“支柱”，相比较其它一些科学王国来说，“证明精神”可以说是“数学王国”的“血液和灵魂”．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列不等式中不成立的是（）.A．12-≤ B．12-<C．11-≤- D．12-≥2. 用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元（）.A．300a≤ B．300a≥C．300a> D．300a<3. 已知0a b+>，0b<，那么,,,a b a b--的大小关系是（）.A．a b b a>>->- B．a b a b>->->C．a b b a>->>- D．a b a b>>->-4. 用不等式表示：a与b的积是非正数___________5. 用不等式表示：某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间_______________________课后作业1. 某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种．A型号的帐篷比B型号的少5顶．若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余．设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2. 某正版光碟，若售价20元/本，可以发行10张，售价每体高2元，发行量就减少5000张，如何定价可使销售总收入不低于224万元?§3.1 不等关系与不等式（2）1. 掌握不等式的基本性质；2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；3. 会将一些基本性质结合起来应用.d，B为平面α上任意一点，则点A与平面α的距离小于或等于A、B 两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.2．在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质.（1）,___a b b c a c>>⇒（2）____a b a c b c>⇒++（3）,0____a b c ac bc>>⇒（4）,0____a b c ac bc><⇒二、新课导学※学习探究问题1：如何比较两个实数的大小.问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：(1),;(2)0,0;(3)0,,1n na b c d a c b da b c d ac bda b n N n a b>>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>>※典型例题例1 比较大小：（1）26+（2）221)；（3；（4）当0a b>>时，12log a_______12log b.变式：比较(3)(5)a a+-与(2)(4)a a+-的大小. 例2 已知0,0,a b c>><求证c ca b>.变式： 已知0a b >>，0c d >>，>例3已知1260,1536,aa b a b b <<<<-求及的取值范围.变式：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.※ 动手试试练1. 用不等号“>”或“<”填空： （1）,____a b c d a c b d ><⇒--； （2）0,0____a b c d ac bd >><<⇒； （3）0a b >>⇒；（4）22110___a b a b>>⇒.练2. 已知x >012x +.三、总结提升 ※ 学习小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论. ※ 知识拓展 “作差法”、“作商法”比较两个实数的大小 （1）作差法的一般步骤： 作差——变形——判号——定论 （2）作商法的一般步骤：1比较大小——定论 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）.A ．()()f x g x >B ．()()f x g x =C ．()()f x g x <D ．随x 值变化而变化 2. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）. A ．220x a << B ．22x ax a >> C ．20x ax << D ．22x a ax >>3. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）.A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π-4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab三者的大小关系为 .1. 比较51125+与1237+的大小.2. 某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B 为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”．§3.2 一元二次不等式及其解法（1）学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.学习过程一、课前准备（预习教材P76~ P78，找出疑惑之处）复习1：解下列不等式：①112x>-；②112x->；③1102x-+>.复习2：写出一个以前所学的一元二次不等式_____________，一元二次函数________________，一元二次方程___________________二、新课导学※学习探究探究一：某同学要上网，有两家公司可供选择，公司A每小时收费1.5元(不足1小时按1小时收费);公司B的收费原则为:在第1小时内(含恰好1小时，下同)收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若一次上网时间超过17小时按17小时计算). 如何选择?归纳：这是一个关于x的一元二次不等式，最终归结为如何解一元二次不等式.新知：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为_______________.探究二：如何解一元二次不等式？能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢？∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c=++（0a>）的图象一元二次方程()20ax bx ca++=>的根20(0)ax bx ca++>>的解集20(0)ax bx ca++<>的解集归纳：解不等式时应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集.※典型例题例1 求不等式2230x x-+->的解集.变式：求下列不等式的解集.（1）2230x x+->；（2）2230x x-+-≤.例2 求不等式24410x x-+>的解集.小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.※动手试试练1. 求不等式24415x x->的解集. 练2. 求不等式21340x->的解集.三、总结提升※学习小结解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式（0a>）.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.※知识拓展（1）20ax bx c++>对一切x R∈都成立的条件为0a>⎧⎨∆<⎩（2）20ax bx c++<对一切x R∈都成立的条件为0a<⎧⎨∆<※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知方程20ax bx c++=的两根为12,x x，且12x x<，若0a<，则不等式20ax bx c++<的解为（）.A．R B．12x x x<<C．1x x<或2x x> D．无解2. 关于x的不等式20x x c++>的解集是全体实数的条件是（）.A．14c< B．14c≤ C．14c> D．14c≥3. 在下列不等式中，解集是∅的是（）.A．22320x x-+> B．2440x x++≤C．2440x x--< D．22320x x-+->4. 不等式230x x-<的解集是 .5. y=的定义域为 .1.求下列不等式的解集（1）23100x x-->；（2）2450x x-+<.2. 若关于x的一元二次方程2(1)0x m x m-+-=有两个不相等的实数根，求m的取值范围.§3.2 一元二次不等式及其解法（2）1. 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；2. 进一步熟练解一元二次不等式的解法.1.____________________2.________________3.____________________4._______________复习2：解不等式.（1）23710x x-≤；（2）2250x x-+-<.二、新课导学※典型例题例1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度x km/h有如下的关系：21120180s x x=+.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）例 2 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：22220y x x=-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？例3 产品的总成本y（万元）与产量x之间的函数关系式是23000200.1y x x=+-，(0,240).x∈若每台产品的售价为25万元，求生产者不亏本时的最低产量.※动手试试练1．在一次体育课上，某同学以初速度2 m以上的位置最多停留多长时间？（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间x满足关系212h v t gt=-，其中29.8/g m s=）练2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？三、总结提升※学习小结进一步熟练掌握一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．※知识拓展（1）连结三个“二次”的纽带是：坐标思想：函数值y是否大于零等价于为P(,)x y是否在x轴的上方.（2）三个“二次”关系的实质是数形结合思想：20ax bx c++=的解2y ax bx c⇔=++图象上的点(,0)x；20ax bx c++>的解2y ax bx c⇔=++图象上的点(,)x y在x轴的上方的x的取值范围.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.函数y =的定义域是（ ）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤2. 不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（ ）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞C ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞ 3. 集合A ={2|540}x x x -+≤，B =2{|560}x x x -+≥，则A B =（ ）.A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤C ．{1，2，3，4}D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤4. 不等式(5)(2)0x x --<的解集为 .5. 已知两个圆的半径分别为1和5，圆心距满足210240d d -+<，则两圆的位置关系为 .1. 求下列不等式的解集：（1）23100x x --+>； （2）(9)0x x ->.2. 据气象部门预报，在距离某码头O 南偏东45︒方向600km 处的热带风暴中心A 在以20km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受影响. 从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴影响，影响时间为多长？ §3.2一元二次不等式及其解法（3）1. 掌握一元二次不等式的解法；2. 能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题._____________复习2：不等式20ax bx c ++>(0)a ≠的解集.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：含参数的一元二次不等式的解法 问题：解关于x 的不等式： 22(21)0x m x m m -+++<分析：在上述不等式中含有参数，因此需要先判断参数对的解的影响.先将不等式化为方程22(21)0x m x m m -+++= 此方程是否有解，若有，分别为__________，其大小关系为________________试试：能否根据图象写出其解集为_____________※ 典型例题例1设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求a b .小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a 的符号），又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过代入法求解不等式.变式：已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.例2 2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.小结：（1）解一元二次不等式含有字母系数时，要讨论根的大小从而确定解集.（2）集合间的关系可以借助数轴来分析，从而确定端点处值的大小关系.例3 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.变式1：解集为非空.变式2：解集为一切实数.小结：m 的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，m 的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x 轴的位置关系. 因此求解中，必须对实数m 的取值分类讨论.※ 动手试试练 1. 设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.练 2. 若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.三、总结提升 ※ 学习小结对含有字母系数的一元二次不等式，在求解过程中应对字母的取值范围进行讨论，其讨论的原则性一般分为四类：（2） 若二次项系数不为零，再按其符号分类； （3） 按判别式∆的符号分类； （4） 按两根的大小分类. ※ 知识拓展解高次不等式时，用根轴法：就是先把不等式化为一端为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x 轴的右端上方起，依次穿过这些零点，则大于零的不等式的解对应着曲线在x 轴上方的实数x 的取值集合；小于零的不等式的解对应着曲线在.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若方程20ax bx c ++=（0a <）的两根为2，3，那么20ax bx c ++>的解集为（ ）.A ．{|3x x >或2}x <-B ．{|2x x >或3}x <-C ．{|23}x x -<<D ．{|32}x x -<< 2. 不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +等于（ ）.A ．-14B ．14C ．-10D ．103. 关于x 的不等式2(1)10x a x ---<的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．3(,1]5- B ．(1,1)- C ．(1,1]- D ．3(,1)5- 4. 不等式2524x x -<的解集是 .5. 若不等式220ax bx +->的解集为1{|1}4x x -<<-，则,a b 的值分别是 . 1. m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程 2(1)0mx m x m --+=没有实数根.2. 解关于x 的不等式2(2)20x a x a +--<（a ∈R ）.§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1） 1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力. _______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________复习2：解下列不等式： （1）210x -+>； （2）2232041590x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩ .二、新课导学 ※ 学习探究探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040x x +>⎧⎨-<⎩的解集为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？探究2：你能研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.如图：在平面直角坐标系内，x -y =6表示一条直线.平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x -y =6上的点；第二类：在直线x -y =6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点.设点1(,)P x y 是直线x-y=6上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式6x y -<，请同学们完成以下的表格，横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3点P 的纵坐标1y 点A 的纵坐标2y并思考：当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6x y -<有什么关系？______________ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<.因此，在平面直角坐标系中，不等式6x y -<表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图:类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图:直线叫做这两个区域的边界结论：1. 二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2. 不等式中仅>或<不包括 ；但含“≤”“≥”包括 ； 同侧同号，异侧异号.※ 典型例题例1画出不等式44x y +<表示的平面区域. 分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出．归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点.变式：画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域. 例2用平面区域表示不等式组3122y x x y <-+⎧⎨<⎩的解集归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.变式1：画出不等式(21)(4)0x y x y ++-+<表示的平面区域.变式2：由直线20x y ++=，210x y ++=和210x y ++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 .※ 动手试试练1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 __练 2. 画出不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域.三、总结提升※ 学习小结由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,x y )，把它的坐标（,x y )代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） ※ 知识拓展含绝对值不等式表示的平面区域的作法：（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式．（2）一般采用分象限讨论去绝对值符号． （3）采用对称性可避免绝对值的讨论．（4）在方程()0f x y =或不等式()0f x y >中，若将x y 换成()()x y --，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于()y x 轴对称．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的（ ）.A ．右上方B ．右下方C ．左上方D ．左下方 2. 不等式3260x y +-≤表示的区域是（ ）.3.不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（ ）.4. 已知点(3,1)--和(4,6)-在直线320x y a -++=的两侧，则a 的取值范围是 .5. 画出11x y ≥⎧⎨<⎩表示的平面区域为：课后作业 1. 用平面区域表示不等式组32326x y x x y <⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩的解集.2. 求不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示平面区域的面积.§3.3.1二元一次不等式（组）与 平面区域（2）学习目标 1． 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域； 2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件. 学习过程一、课前准备x +y-6＜0表示的平面区域.复习2：画出不等式组23122360x y x y x +≤⎧⎪+>-⎨⎪≥⎩所示平面区域.二、新课导学 ※ 典型例题例1 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数用数学关系式和图形表示上述要求.例2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t ，硝酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t ，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t ，硝酸盐66t ，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.※ 动手试试练 1. 不等式组(5)()003x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是什么图形？练2. 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格三、总结提升 ※ 学习小结根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.※ 知识拓展求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫. 常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是先确定区域内点的横坐标的范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有整数值，即先固定x ，再用x 制约.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ）.A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（0，2） Ｄ．（2，0）2. 不等式组5003x y x -+≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是一个（ ）.A ．三角形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．梯形 Ｄ．矩形 3. 不等式组13y xx y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域为Ｄ，点1(0,2)P -，点2(0,0)P ，则（ ）. A ．12,P D P D ∉∉ B ．12,P D P D ∉∈ C ．12,P D P D ∈∉ D ．12,P D P D ∈∈4. 由直线20,210x y x y ++=++=和210x y ++=的平围成的三角形区域（不包括边界）用不等式可表示为 .5. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .A 和B . 每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A 需要10min 打磨，6min 着色，6min 上漆；桌子B 需要5min 打磨，12min 着色，9min 上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min ，着色每天至多480min ，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.2. 某服装制造商现有10m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料，6 m 2的丝绸料. 做一条裤子需要棉布料1 m 2， 2 m 2的羊毛料，1 m 2的丝绸料，一条裙子需要棉布料1 m 2， 1m 2的羊毛料，1 m 2的丝绸料.一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元. 为了使收益达到最大，需要同时生产这两种服装，请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式，并画出图形.§3.3.2 简单的线性规划问题(1) 1． 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；找出约束条件. ８７８８找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．二、新课导学 ※ 学习探究 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：注意：在平面区域内的必须是整数点．（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：（5）获得结果：新知：线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(,)x y叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．※典型例题例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？※动手试试练1. 求2z x y=+的最大值，其中x、y满足约束条件11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩三、总结提升※学习小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解※知识拓展寻找整点最优解的方法：1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 目标函数32z x y=-，将其看成直线方程时，z 的意义是（）.A．该直线的横截距B．该直线的纵截距C．该直线的纵截距的一半的相反数D．该直线的纵截距的两倍的相反数2. 已知x、y满足约束条件503x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y=+的最小值为（）.A． 6 B．-6 C．10 D．-103. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay=+取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是（）.A. -3B.3C. -1D.14. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 .5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a-+=的两侧，则a的取值范围是 .1. 在ABC∆中，A（3，-1），B（-1，1），C（1，3），写出ABC∆区域所表示的二元一次不等式组.2. 求35z x y=+的最大值和最小值，其中x、y满足约束条件5315153x yy xx y+≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩.§3.3.2简单的线性规划问题(2)1. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.1）。
高中数学 3.1不等关系与不等式(1)导学案 新人教版必修5-新人教版高二必修5数学学案
不等关系与不等式学习目标：①了解不等关系、不等式（组）的实际背景 ②理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义 ③理解用不等式（组）表示、研究实际问题的不等关系 ④理解不式等的基本性质 学习重点：掌握不等式的性质及应用。
学习难点：掌握不等式的性质及应用 复习回顾：1.数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.2.对于任意两个实数a 和b ，a=b ，a>b ，a<b 三种关系中，有且仅有一种关系成立.3.实数比较大小的方法：(作差法或作商法)b a b a >⇔>-0；b a b a <⇔<-0；b a b a =⇔=-0若a,b +∈R 则 ⇔〉1b a ，⇔=1b a ，⇔〈1ba。
4．不等式的性质：(1),(2)(3),0(4),0(5),(6)0,0(7)0,(,1)(8)(,2)n na b b c a b a c b c a b c ac bc a b c ac bca b c d a c b d a b c d a cb d a b a b n N n a b n N n >>⇒>⇒++>>⇒><⇒>>⇒++>>>>⇒++>>∈≥>>∈≥基础过关：1.对于实数a,b,c ，下列四个命题中假命题为（ ） A.若ba b a 11,>>，则0,0<>b a B.若b a >则bc ac < C.若22bc ac >则b a > D.若0>>>b a c 则bc ba c a ->- 2.若01,0<<-<b a 则（ ）A. 2ab ab a >>B. a ab ab >>2C. 2ab b ab >> D. a ab ab >>23.已知a,b,c,d R ∈，且bda c ab -<->,0，则下列各式恒成立的是（ ） A. ad bc < B. ad bc > C.d b c a > D. dbc a < 4.若011<<ba 则下列结论不正确的是（ ）A.22b a <B. 2b ab < C.2>+baa b D.b a b a +〉+ 5.已知a,b,c R ∈，若22bc ac >是b a >的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、例题探究：例1、比较的大小，其中x R ∈.2232(1)56259(2)1x x x x x x ++++-++与当x>1时，x 与例2、已知31<+<-b a ，且422<+<b a ，求b a 3+的取值范围课后作业：1.若a>b,c>d ，则下列不等式成立的是（ ）A.a+d>b+cB.ac>bdC.dac a 〉 D.d-a<c-b 2.若a<b<0，则下列不等关系中不能成立的是（ ） A. b a 11〉B.bb a 11〉- C.b a -〉- D.b a -〉 3.若a,b 是任意实数，且a>b ，则( )A.22b a 〉 B.1〉a b C.lg(a-b)>0 D. ba )21()21(〈4.已知a>b>c ，则ac c b b a -+-+-111的值（ ） A.为正数 B. 为非正数 C. 为非负数 D.不确定 5.已知x>y>z ，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（ ）A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x y >z y 6.若a>b>0,则下列不等式不成立的是( )(A) 11a b ＜ (B)a 2＞b 2 (C)a+b ≥ (D) ()()a b1122＞7.已知22πβαπ〈〈〈-，则βα-的取值范围是 。
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【例 2】已知 a b ， c d ，求证 a c b d
自主检测
1．用不等式表示下面的不等关系： （1） a 与 b 的和是非负数； （2）某公路立交桥对通过车辆的高度 h “限高
4 m” ；
总结提升
通过本节课的学习，你收获了什么？
（3）如图，在一个面积为 350 m 2 的矩形地基上 建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长 L 大于 宽 W 的四倍．
自主检测
1．求证 2 7 3 6 ． Nhomakorabea 复习回顾
1．不等式的基本性质有哪些？
2．比较下列各组中两个代数式的大小： （1） x 2 5 x 6 与 2 x 2 5 x 9 ； 自主探究（阅读课本 57～62 页） ※ 探究任务一：阅读并感受分析法 如何解决不 ．．． 等式的问题 求证： 3 6 2 2 7 ． 证明：要想证明 3 6 2 2 7 ， 因为 3 6 0 ， 2 2 7 0 ， 只需证明 15 6 6 15 4 14 ， 即只需证明 3 6 2 14 ， 即只需要证明 54 56 ， 显然这是成立的，即可证得 3 6 2 2 7 ． 分析法 （也叫执果索因法）是从结论入手，倒 ．．． 着求使它成立需要的条件，直到得到已知条件 或者得到一种事实为止， 从而找出解题途径． 概 括地说，就是“从未知，看需知，逐步靠拢已 知” ． ※ 探究任务二: 作差比较法的理论依据 （1） a b 0 a b （2） a b 0 a b （3） a b 0 a b 从这三个式子我们得到这样的启示，比较两个 数的大小，我们只需考察这两个数的差．这种 方法叫作差比较法． （4） x 2 y 2 1 与 2 x y 1 ． （3）当 x 1 时， x 3 与 x 2 x 1 ； （2） x 3 与 x 2 x 4 ．
2
典型例题
【例】火车站有某公司待运的甲种货物 1530 t， 乙种货物 1150 t．现计划用 A、B 两种型号的车 厢共 50 节运送这批货物． 已知 35 t 甲种货物和 15 t 乙种货物可装满一节 A 型货厢；25 t 甲种 货物和 35 t 乙种货物可装满一节 B 型货厢，据 此安排 A、 B 两种货厢的节数， 共有几种方案？ 若每节 A 型货厢的运费是 0.5 万元，每节 B 型
5m 5m
当堂训练
已知 a b 0 ， c d 0 ，求证 a b ． d c
仓
5m
库
5m
绿地
38
班级
姓名
必修五导学案
使用日期：2014 年 3 月 31 日
3.1 不等关系与不等式(2)
学习目标
1．熟练掌握不等式的基本性质． 2．掌握运用分析法和作差（商）比较法比较并 证明两个数的大小．
a b 0 a a b 0 a b b b
500mm 和 600mm 两种．按照生产的要求， 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式 呢？
求证：函数 y 2 x 1 在 R 上是增函数．
自主探究（阅读课本 72～74 页．先独立 思考，有困难时与同学探讨） ※ 探究任务一： 3．生活中的不等关系： “限速 40 km / h ”用不等式表示为： 4．几个具体的不等关系： （ 1） “设点 A 与直线 l 的距离为 d ， B 为直线 l 上 的任意一点”用不等式表示为： ※ 探究任务二： 不等式的基本性质： （1）对称性：如果 a b ，那么 b
39
班级
姓名
必修五导学案
使用日期：2014 年 3 月 30 日
3.1 不等关系与不等式(1)
学习目标
1．了解生活中的不等关系． 2．会用不等式表示生活中简单的不等关系． 3．掌握不等式的基本性质．
复习回顾
1．解不等式 1 x 2 1 x 3 ． 3 2
（ 3） 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 2． a b 0 a
bc ； bc ； bd ，你能
2．有一个两位数大于 50 而小于 60 ，其个位数 字比十位数字大 2 ． 用不等式表示上述关系， 并 求出这个两位数．
（5）乘方性： 如果 a b 0 ，那么 a n （6）开方性： 若 a b 0 ，则 a
n
n
3．用不等号“ > ”或“ < ”填空： b n (n N, n2) （1） a b ， c d a c （2） a b 0 ， c d 0 ac
b (n N, n2)
bd ； bd ；
（ 3） a b 0 3 a （4） a b 0 12 a
3
b；
（7）倒数性： 如果 a b ，判断
1 1 与 的大小关系． a b
1 ． b2
典型例题
【例 1】已知 a b 0 ， c 0 ．求证 c c ． a b
bd ．
思考：如果 a b ， c d ,那么 a c b d 成立 吗？
37
第三章 不等式
使用班级：322、324
（4）乘法性： 如果 a b ， c 0 ，那么 ac 如果 a b ， c 0 ，那么 ac 如果 a b 0 ， c d 0 那么 ac 证明吗？
b a ，那么 a b．
a ；如果
（2）传递性：若 a b , b c ，则 a （3）加法性： 如果 a b ，那么 a c
bc ；
c．
如果 a b ， c d ,那么 a c （2）某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可 以售出 8 万本． 据市场调查， 若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本．若把提价 后杂志的定价设为 x 元， 怎样用不等式表示 “销 售的总收入不低于 20 万元”呢？ 你能证明吗？