09 高二数学重难点知识汇总 抛物线

高二数学重难点知识汇总

第九讲 抛物线

一．重难点讲解

知识点一 抛物线定义

平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点

F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。

(1)定义可归结为”一动三定”：一个动点设为M ；一定点F (即焦点)；一定直线l (即

准线)；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比为1）。

(2)定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线。

(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。

知识点二 抛物线的标准方程

抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。 如下图所示，分别建立直角坐标系，设出()0>=p p KF ，则抛物线的标准方程如下：

（1） （2）

（3） （4）

（1）()022>=p px y ，焦点：⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,2p ，准线2:p x l -=； （2）()022>=p py x ，焦集点：⎪⎭⎫ ⎝⎛

2,0p ，准线2

:p y l -=； （3）()022>-=p px y ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ，准线2

:p x l =； （4）()022>-=p py x ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-2,0p ，准线2:p y l =。 相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直， 垂足与焦点在对称轴上关于原点对称。它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的4

1，即2

42p p =。 不同点：（1）图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为px 2±，左端为2y ；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x ；（2）开口方向在x 轴（或y 轴）正向时，焦点在x 轴（或y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x 轴（或y 轴）负向时，焦点在x 轴（或y 轴）负半轴时，方程右端取负号。

总之，①参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，张口越大；2

p 等于焦点到抛物线顶点的距离。②方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向。

二.典型例题分析

题型1 抛物线的定义及应用

【例1】 已知抛物线y x 42=，点P 是抛物线上的动点，点A 的坐标为（12，6）。求点P 到点A 的距离与点P 到x 轴的距离之和的最小值。

解析由定义知，抛物线上的点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线的距离d ，求PA 与点P 到x 轴的距离之和的最小值，转化成求2

p d PA -+的最小值。

答案 如右图易判断知点A 在抛物线外侧，

设()y x P ,，焦点()1,0F ，则P 到x 轴的距离即y 值。

设P 到准线1-=y 的距离为d ，则1-=d y 。

故1-+=+d PA y PA ，由抛物线定义知d PF =。 于是11-+=-+PF PA d PA ，

由图可知，当A 、P 、F 三点共线时，PF PA +取最小值，为13。 故所求距离之和的最小值为()12161212

2=-+=-FA 。 规律总结 定义是解决问题的基础和灵魂，要善于思考定义和应用定义，本题如果设P 点坐标 为()y x ,，利用两点间距离公式求解，无法得到答案。由抛物线定义可知，PF 等于P 点到准线的距离，当P 、A 、F 三点共线时，PF PA +的距离最小，这体现了数学中的转化思想 题型2 求抛物线的标准方程

【例2】 若动圆与圆（()1222

=+-y x 外切，又与直线01=+x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ）

A.x y 82=

B.x y 82-=

C.x y 42=

D.x y 42

-=

解析 利用抛物线定义的条件。

答案 设动圆的半径为r ，圆心为()y x O ,'到点（2，0）的距离为1+r ，O '到直线1-=x 的距离为r ，所以O '到（2，0）的距离与到直线2-=x 的距离相等，由抛物线的定义知x y 82=。故选A 。

规律总结 处理求轨迹方程的选择、填空类问题，可首先考虑画维由线的定义，或者经转化后联系圆锥曲线的定义来处理。

题型3 求抛物线的焦点坐标和标准方程

【例4】 已知抛物线的方程()02≠=a ax y ，求它的焦点坐标和准线方程。 解析 要根据a 的正负分类讨论。

答案 （1）当0>a 时，因为a p =2，所以2a p =，所以焦点⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,4a F ，准线方程4a x -=。

（2）当0

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--0,4a F ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4a ，准线方程4a x -=。综上所述，抛物线的焦点⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,4a F ，准线方程4a x -=。 规律总结 a 可能是正的，也可能是负的，因此一定要分0>a ，0

题型4 实际应用问题

【例5】 一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值。

解析 要求拱宽a 的最小值，需建立适当的坐标系，写出抛物线方程，然后利用方程求解。 答案 以拱顶为原点，拱宽所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图，设抛物线方程为

()022>-=p py x ，则点B 的坐标为⎪⎭

⎫ ⎝⎛-4,2a a ，由于点B 在抛物线上， 所以2,4222

a p a p a =⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 所以，抛物线方程为ay x -=2。 将点()y E ,8.0代入抛物线方程，得a

y 64.0-

=。 所以，点E 到拱底AB 的距离为364.044>-=-a a y a 。 解得21.12>a ，a Θ取整数，a ∴的最小值为13。

规律总结 实际问题中可由实际情况确立坐标系，要求坐标系要简单，建好坐标系后要由实际情况写出各点坐标及曲线方程，然后依题意解之即可。

三．规律方法总结

（1）批物线ax y =2

的焦点坐标、准线方程，不论0>a 还是0

⎫ ⎝⎛0,4a F ，准线方程4a x -=。 （2）正确理解抛物线的定义：

抛物线定义中的定点F 不在定直线l 上，这一点不可忽视。当l F ∈时，则动点P 到定点F