09 高二数学重难点知识汇总 抛物线
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结抛物线是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程学和其他领域。
在高中数学课程中，学生需要学习抛物线的基本性质、方程形式以及与实际问题的应用。
本文将对高中抛物线的知识点进行总结，包括抛物线的定义、性质、方程形式和常见问题解析等内容。
一、抛物线的定义抛物线是平面上一类特殊曲线，其定义可以从几何和代数两个角度来解释。
从几何角度看，抛物线是所有与一个定点（焦点）到平面上一条直线（准线）的距离之比等于到该直线距离平方的曲线。
从代数角度看，抛物线可以用二次函数的形式来表示，即f(x) = ax² + bx + c （a≠0）。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于准线对称，焦点也是准线的对称中心。
2. 定义域和值域：抛物线的定义域为全体实数，值域取决于抛物线开口的方向。
3. 零点和判别式：抛物线的零点为方程f(x) = ax² + bx + c = 0的实根，判别式Δ=b²-4ac 可用于判断抛物线的零点情况。
a）当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实根；b）当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有一个实根；c）当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点，方程没有实根。
4. 单调性：抛物线的开口方向决定了其单调性，开口向上时，抛物线是向上开口并且在焦点处取得最小值；开口向下时，抛物线是向下开口并且在焦点处取得最大值。
5. 导数和凸凹性：抛物线的导数为二次函数f'(x) = 2ax + b，凹凸性取决于a的正负：当a>0时，抛物线朝上凹；当a<0时，抛物线朝下凸。
三、抛物线的方程形式1. 标准形式：对于抛物线f(x) = ax² + bx + c，当a≠0时，可以通过平移坐标轴的方法使其化简为标准形式y = x²，此时焦点为原点(0,0)。
2. 顶点形式：通过平移坐标轴的方法，将抛物线的顶点移动至坐标原点，得到顶点形式y = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
高二数学知识点抛物线公式
高二数学知识点抛物线公式抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有独特的性质和应用。
在高二数学学习中，学生需要掌握抛物线的各种知识点和公式。
下面我将为大家详细介绍高二数学中与抛物线相关的知识点和公式。
一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上一点到定点的距离与这个点到某一条定直线的距离相等的轨迹，这个定直线称为准线，定点称为焦点。
抛物线的主轴是垂直于准线的直线，焦点到准线的垂直距离称为焦距，抛物线的对称轴是准线的垂直平分线。
根据抛物线的定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 抛物线是对称的，关于对称轴对称；2. 抛物线在焦点处有最小值，称为顶点；3. 镜面反射定律成立，入射角等于反射角。
二、标准形式的抛物线方程标准形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
对于标准形式的抛物线方程，我们可以根据已知条件求解抛物线的性质。
1. 抛物线开口方向的判断通过 a 的正负可以判断抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口向上；- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标可以通过方程的顶点公式求解：顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
3. 抛物线与 x 轴的交点抛物线与 x 轴的交点可以通过方程的因式分解求解：令 y = 0，解方程 ax^2 + bx + c = 0，求得 x 的值。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴可以通过方程的对称轴公式求解：对称轴方程为 x = -b/2a。
三、一般形式的抛物线方程一般形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
与标准形式相比，一般形式的抛物线方程可以通过平移和缩放变换得到。
1. 抛物线的平移如果抛物线方程中有(h, k) 的平移，则原来的抛物线方程变为：y = a(x - h)^2 + k。
高二数学抛物线知识点
高二数学抛物线知识点在高二数学学习中，抛物线是一个重要的几何图形，具有很多特殊的性质和应用。
本文将重点介绍高二数学中与抛物线相关的知识点，帮助学生更好地理解和运用抛物线的概念。
一、抛物线的定义与基本性质1. 定义：抛物线是平面上一条曲线，其上每一点到定点（焦点）的距离等于该点到定直线（准线）的距离。
2. 基本性质：- 抛物线关于准线对称。
- 抛物线开口方向由系数a的正负决定。
- 当抛物线开口向上时，焦点在抛物线的上方。
- 当抛物线开口向下时，焦点在抛物线的下方。
二、抛物线的标准方程及相关公式1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
2. 焦点坐标的计算公式：焦点坐标为（-b/2a, 1-（b^2-4ac）/4a）。
3. 准线方程的计算公式：准线方程为x = -b/2a。
三、抛物线与二次函数的关系1. 抛物线是二次函数的图像：抛物线可以看作是二次函数y = ax^2 + bx + c的图像。
2. 抛物线的最值点：最值点为抛物线的顶点，坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。
四、抛物线的平移和缩放1. 左右平移：将抛物线的方程中的x替换为(x - h)，即可实现左右平移h个单位。
2. 上下平移：将抛物线的方程中的y替换为(y - k)，即可实现上下平移k个单位。
3. 垂直缩放：将抛物线的方程中的a替换为ka，即可实现垂直方向上的缩放。
五、抛物线的应用1. 物理学中的抛体运动：抛物线是自由落体运动的轨迹，可以用来描述抛体在无空气阻力的情况下的运动轨迹。
2. 工程学中的抛物线天桥：抛物线形状的桥梁设计，可以减少材料用量，提高桥梁的稳定性和美观性。
3. 经济学中的成本与收益关系：某些经济模型中，成本与收益之间的关系符合抛物线的特征。
六、抛物线的相关定理1. 切线定理：抛物线上任一点处的切线与焦点的连线垂直。
2. 弦线定理：抛物线上任一点处的弦线与焦点的连线夹角等于弦线与准线的夹角。
抛物线知识点汇总及考点例题
抛物线姓名：___________ 班级：________________ 得分：________________知识点回顾：1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做 ，点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 。
2、椭圆的简单几何性质3、抛物线焦点弦性质直线过抛物线px y 22=的焦点与抛物线交于()()2211,,,y x B y x A 两点（1）221221,4p y y p x x -== （2）)(sin 2221的倾斜角为直线AB p p x x AB αα=++= （3）PFB FA 211=+ （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切 考点一: 定义和标准方程[例1]设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1) 求点P 到点A (－1,1) 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2) 若B (3,2)，求 |PB |＋|PF | 的最小值．练习1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．归纳:运用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”。
考点二: 抛物线性质[例2] (2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是_____________.练习1：抛物线214y x =-的焦点坐标是（ ）． A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 1016⎛⎫-⎪⎝⎭， C (01)-，D (10)-， 练习2：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）归纳（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 考点三: 抛物线与直线[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py ( p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2x y =042=--y x 41,21)49,23(练习1：已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时， ＝4 . (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m4、平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x6、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8B ．10C ．6D ．47、把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条9、过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于（ ） A ．2aB ．C ．4aD ．414166)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x y qp 11+a21a4二、解答题10、过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明： ·<2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．11、(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．12、已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．。
完整版)抛物线知识点归纳总结
完整版)抛物线知识点归纳总结抛物线是一种经典的二次函数图像，具有许多重要的特点和性质。
以下是对抛物线知识点的详细总结。
1.定义：抛物线是平面上一点P到定点F的距离等于点P到定直线上一点的距离的轨迹。
2.构成：抛物线由平面上的点集组成，由对称轴与焦点决定。
3. 表达式：一般形式的抛物线方程是y=ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
4.开口方向：抛物线开口方向由a的正负决定，如果a大于0，抛物线开口向上；如果a小于0，抛物线开口向下。
5.对称轴：抛物线的对称轴是一条与抛物线的开口方向垂直的直线，由方程x=-b/2a给出。
6. 焦点：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的定点F，其坐标为((-b/2a), (4ac-b^2)/4a)。
7.直径：抛物线的直径是通过焦点且与抛物线相交于两点的直线。
8.非退化抛物线：当a不等于0时，抛物线是非退化的，并且它的对称轴是直线x=-b/2a。
9.顶点：抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，它是通过对称轴的纵坐标最小（或最大）的点。
10.切线：抛物线上任意一点的切线是通过该点并且与抛物线仅有一个交点的直线。
11.弦：抛物线上的弦是通过抛物线上两个点并且与抛物线仅有两个交点的线段。
12. 与X轴交点：抛物线与X轴的交点可通过求解方程ax^2 + bx +c = 0得到。
13.与Y轴交点：抛物线与Y轴的交点是抛物线上当x=0时的点，即把x替换为0后求解方程得到。
14.对称性：抛物线具有关于对称轴对称的性质，即对称轴上的一点关于对称轴上的另一点的映射是自身。
15.焦点和直角三角形：抛物线上两点和焦点构成的三角形是直角三角形。
16.抛物线的图像：抛物线的图像是一个开口朝上或朝下的弧线，形状可以通过方程中的系数来确定。
17.抛物线的平移：抛物线可以通过平移来改变其位置，平移的方式是通过方程中的常数项来实现。
18.抛物线的拉伸/压缩：通过改变抛物线方程中的a的值，可以改变抛物线的宽度。
高二抛物线所有知识点
高二抛物线所有知识点抛物线是数学中的一个重要概念，高二学生在学习数学时会接触到抛物线的相关知识点。
下面将详细介绍高二抛物线的所有知识点。
一、概述抛物线是指平面上一个动点到定点的距离与该点到一条定直线的距离之差等于常数的点的集合。
抛物线的形状呈现出一条弧线，它由定点（焦点）和定直线（准线）唯一确定。
二、抛物线方程1. 标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
2. 顶点坐标和对称轴抛物线的顶点坐标可通过完成平方来求得，顶点的横坐标为：x = -b/2a，纵坐标为：y = f(-b/2a)。
对称轴为与抛物线关于顶点对称的直线。
3. 焦点坐标和准线方程焦点的横坐标为：( -b/2a, c - b^2/4a )，纵坐标为：(c - b^2/4a)。
准线方程为：x = -b/2a + p，其中p为焦距。
4. 直径和焦半径直径是抛物线上通过焦点且垂直于准线的一条直线，焦半径是从焦点到抛物线上一点的线段。
三、抛物线的性质1. 对称性抛物线是关于对称轴对称的，也即它的两侧是完全对称的。
2. 单调性当a>0时，抛物线开口向上，且在顶点处取得最小值；当a<0时，抛物线开口向下，且在顶点处取得最大值。
3. 判别式和图像类型判别式Δ = b^2 - 4ac 可以判断抛物线的图像类型：Δ > 0 时，抛物线与x轴交于两点，图像开口向上或向下；Δ = 0 时，抛物线与x轴交于一点，图像开口向上或向下，顶点处有一个最值；Δ < 0 时，抛物线与x轴无交点，图像开口向上或向下。
四、抛物线的平移抛物线f(x)的平移变换为f(x - h) + k，其中(h, k)为平移的距离。
五、抛物线与实际应用抛物线在生活中有广泛的应用，例如：桥梁设计、喷泉设计、抛物面反光镜、运动物体的轨迹等。
六、典型题目解答1. 求抛物线的顶点坐标和对称轴方程。
解：已知抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，通过平方完成可以得到标准方程。
高二抛物线必背知识点讲解
高二抛物线必背知识点讲解抛物线是高中数学中的一个重要概念，也是高二阶段的必备知识点之一。
掌握抛物线的性质和相关的公式是解决与之相关问题的基础。
本文将为你详细介绍高二抛物线的必背知识点，包括抛物线的定义、性质以及常用公式等。
1. 抛物线的定义抛物线是平面上一条特殊的曲线，其定义可由以下几个要素描述：- 定点（焦点）F，是抛物线上的一个确定点。
- 定直线（准线）L，是与抛物线相交于抛物线的两个分支的对称轴。
- 定义抛物线上的点P到焦点F的距离与点P到准线L的距离的比例保持不变。
2. 抛物线的性质抛物线具有以下几个重要性质：- 对称性：抛物线关于准线对称。
- 焦点性质：焦点是抛物线上所有点到准线距离与焦距的比例值保持不变的点。
- 直角性质：抛物线的准线与焦点连线之间的夹角是直角。
- 切线性质：过抛物线上一点的切线平行于准线，且焦点到切点的线段与准线垂直。
3. 抛物线的基本公式- 标准方程：y = ax^2 + bx + c（其中a、b、c为常数，并且a ≠ 0）。
标准方程可以用来描述抛物线的形状、位置和方向。
- 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)为抛物线的方程。
- 对称轴方程：x = -b/2a。
对称轴是与抛物线两支对称的直线。
- 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为（-b/2a，c - (b^2 - 1)/4a）。
- 焦距：抛物线的焦距为|4a|，用来确定焦点到准线的距离。
4. 抛物线的常见变形除了标准的抛物线方程之外，抛物线还有一些常见的变形形式：- 平移：将抛物线相对于坐标系的原点平移至任意位置。
- 平拉伸：通过调整a的值，控制抛物线在x轴和y轴方向上的缩放。
- 旋转：通过调整b的值，使抛物线绕着顶点旋转。
5. 抛物线的应用抛物线在现实生活中有许多应用，例如：- 炮弹的发射轨迹：抛物线方程可以用来描述炮弹在重力作用下的弹道轨迹。
- 卫星天线的调节：抛物线的反射性质可以用来调节卫星天线的接收角度。
高二数学抛物线知识点总结大全
高二数学抛物线知识点总结大全抛物线是数学中的一种曲线形状，具有许多重要的性质和应用。
在高中数学中，学生将学习关于抛物线的各种知识点，包括定义、性质、方程式、图像的绘制以及实际应用等方面。
本文将对高二数学中与抛物线相关的知识点进行总结和归纳。
1. 抛物线的定义：抛物线是平面上一个点到一个定点和一个定直线之间的距离相等的点的集合。
其中，定点称为焦点，定直线称为准线。
抛物线对称轴是过焦点和准线的垂直平分线。
抛物线的定义可以用数学的方式表示为：抛物线是平面上满足定点到焦点和准线的距离之比不变的点的集合。
2. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中，a、b、c为常数且a≠0。
这个方程中的a决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。
常数b和c决定了抛物线在坐标系中的位置。
3. 抛物线的顶点坐标：对于标准方程 y = ax^2 + bx + c，抛物线的顶点坐标可以通过顶点公式 V(-b/2a , f(-b/2a)) 来求得，其中，f(-b/2a)表示将x = -b/2a代入抛物线方程得到的y值。
4. 抛物线与坐标轴的交点：抛物线与x轴的交点，即抛物线的根可以通过解方程 ax^2 + bx + c = 0 来求得。
根的个数和大小取决于方程的判别式Δ = b^2 - 4ac 的值。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有一个重根；当Δ < 0时，方程没有实根。
5. 抛物线的图像与性质：抛物线的图像可以通过画出几个关键点来确定，例如焦点、准线上的点、顶点等。
抛物线的开口方向和焦点的位置决定了其图像的形状。
抛物线的图像是关于对称轴对称的。
在对称轴上的点与焦点的距离相等于对称轴和准线的距离。
6. 抛物线的平移和拉伸：对于标准方程 y = ax^2 + bx + c，如果在x方向上加上h，y方向上加上k，那么抛物线的方程将变为 y = a(x-h)^2 + k。
高二数学《认识抛物线》知识点梳理
高二数学《认识抛物线》知识点梳理抛物线是高中数学中重要的曲线之一，具有广泛的应用。
在高二数学学习中，学生将进一步认识抛物线的性质和特点，掌握相关的基本知识。
本文将对高二数学中关于抛物线的知识点进行梳理和总结。
一、抛物线的定义与性质抛物线是平面上一组点的集合，满足到一个定点距离与到一条定直线距离相等的性质。
具体来说，设平面上一点P的坐标为(x, y)，定点F的坐标为(a, b)，定直线l的方程为y=kx+d，则点P在抛物线上当且仅当满足以下条件：(1) 点P到定点F的距离等于点P到定直线l的距离，即√[(x-a)²+(y-b)²]=|kx-y+d|。
(2) 抛物线开口的方向由二次项的系数a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、一般式与顶点式在解决实际问题中，常常需要将抛物线的方程转化成标准形式，即一般式或顶点式。
(1) 一般式：抛物线的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
通过一般式，可以直观地了解抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(2) 顶点式：抛物线的顶点式为y=a(x-h)²+k，其中(a, k)为抛物线的顶点坐标。
通过顶点式，可以直接获得抛物线的对称轴和顶点坐标。
三、焦点和准线抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要特点。
(1) 焦点：设抛物线的焦点为F，焦点到定直线l的距离为PF，焦距为p，抛物线的焦点公式为PF²=4pa，其中a为抛物线的二次项系数。
(2) 准线：设抛物线的准线为l，定直线l的方程为y=-p，其中p为抛物线的焦距。
抛物线上任意一点的横坐标与它到准线的距离的平方成正比。
四、抛物线的平移与缩放抛物线可以通过平移和缩放进行变换，从而得到不同的抛物线。
(1) 平移：对于抛物线y=ax²+bx+c，若将其沿x轴平移h个单位，沿y轴平移k个单位，则新抛物线的方程为y=a(x-h)²+k，平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状。
高二数学抛物线知识点
高二数学抛物线知识点在高二数学的学习中，抛物线是一个重要的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理等其他学科中也经常出现。
下面就让我们一起来深入了解一下抛物线的相关知识。
一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
如果我们以焦点 F 到准线 l 的距离为 p（p>0），以焦点 F 所在直线为 x 轴，过点 F 且垂直于 x 轴的直线为 y 轴建立直角坐标系，那么抛物线的标准方程可以表示为：当抛物线的焦点在 x 轴正半轴上时，方程为 y²＝ 2px（p>0）；当抛物线的焦点在 x 轴负半轴上时，方程为 y²＝－2px（p>0）；当抛物线的焦点在 y 轴正半轴上时，方程为 x²＝ 2py（p>0）；当抛物线的焦点在 y 轴负半轴上时，方程为 x²＝－2py（p>0）。
二、抛物线的图像和性质以 y²＝ 2px（p>0）为例，来研究一下抛物线的图像和性质。
1、图像抛物线的图像是一个轴对称图形，对称轴为 x 轴。
它开口向右，顶点在原点。
2、定义域和值域定义域为x≥0，值域为 R。
3、焦点和准线焦点为 F（p/2，0），准线方程为 x ＝ p/2。
4、离心率抛物线的离心率 e ＝ 1。
5、焦半径抛物线上一点 P（x₀，y₀）到焦点的距离称为焦半径。
对于 y²＝2px（p>0），焦半径|PF| ＝ x₀＋ p/2。
三、抛物线的相关公式1、抛物线的通径通过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径。
对于 y²＝ 2px（p>0），通径长为 2p。
2、抛物线的弦长公式设抛物线y²＝2px（p>0）上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则弦长|AB| ＝√（1 ＋ k²)×（（x₁＋ x₂)² 4x₁x₂) ，其中 k 为直线AB 的斜率。
高二抛物线的知识点总结
高二抛物线的知识点总结在数学的学习中，抛物线是一个非常重要的曲线，尤其在高中的数学中，抛物线的知识点更是需要深入了解。
本文将从抛物线的定义及性质、方程、基本公式、应用等方面对高二抛物线的知识点进行总结和讲解。
希望读者在阅读过后可以掌握抛物线的基本概念、重要性质和应用。
一、抛物线的定义及性质抛物线是指平面内一点到定点的距离等于该点到直线的距离的曲线。
这个定点称为焦点，直线称为准线。
我们可以通过焦点和准线的位置关系来确定抛物线的形状。
若焦点在准线上方，则抛物线开口向上，反之则开口向下。
以下是抛物线的几个重要性质：1. 抛物线的对称轴：抛物线对称于它的对称轴。
对称轴是与准线垂直且通过焦点的直线。
2. 抛物线的最高点（最低点）：抛物线的最高点（最低点）称为顶点，是对称轴上的一个点。
3. 抛物线的直线渐近线：当x趋向正无穷或负无穷时，抛物线逐渐趋近于准线，于是准线成为抛物线的直线渐近线。
二、抛物线的方程抛物线的一般式方程为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
a的正负值决定了抛物线的开口方向，a>0表示开口向上，a<0表示开口向下。
而b和c则分别决定了抛物线在x轴和y轴上的截距。
另一种表示抛物线的方程形式是定点法。
设抛物线的焦点为F(x0,y0)，准线方程为y=k，则抛物线的方程为(y-y0)²=4a(x-x0)，其中a=1/4k。
三、抛物线的基本公式除了方程外，高二学生还需要掌握抛物线的基本公式：1. 抛物线的顶点坐标：抛物线的顶点（h,k）的坐标可以通过公式h=-b/2a和k=c-b²/4a来得到。
2. 抛物线的焦距：a和焦点的距离称为焦距，f=1/4a。
3. 抛物线上点的坐标：抛物线上的任意一点（x,y）的坐标可以通过公式y=a(x-h)²+k来得到。
四、抛物线的应用抛物线广泛应用于物理学和工程学，尤其在抛体运动、光学、电磁学等领域中。
1. 抛体运动：当物体从一定高度以上沿着一个倾斜的平面或发射器以某一速度发射时，物体的运动轨迹是一个抛物线。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结高中数学抛物线知识点总结抛物线是高中数学中比较基础的一个章节，也是比较重要的一个内容。
在这个章节中，我们需要掌握的主要是抛物线的基本定义、性质、方程式、求零点等方面的知识。
下面，我们就来一起来看一看有关抛物线的知识点吧！一、抛物线的定义抛物线是指平面上到定点 $F$（称为焦点）距离等于到定直线$L$（称为准线）距离的动点 $P$ 所形成的图形。
简单来说，抛物线就是一个动点到定点和定线距离相等的图形。
二、抛物线的性质1. 抛物线的对称轴与准线垂直抛物线的对称轴是通过焦点和抛物线上一点的垂线平分焦点与该点连线的直线，而准线是垂直于对称轴的直线。
因此对称轴与准线垂直。
2. 焦点到对称轴距离等于焦准距的一半对于抛物线上的任意一点 $P$，其到准线距离为 $d_1$，到焦点的距离为 $d_2$，则有 $d_2 = 2d_1$。
这一性质也可表示为$PF=PD$，其中 $D$ 是抛物线上一点，且 $FD$ 为准线垂直于对称轴的交点。
3. 抛物线的开口方向由二次项系数决定抛物线的方程式为 $y=ax^2+bx+c$（或 $x=ay^2+by+c$），其中 $a$ 为二次项系数。
当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当$a<0$ 时，抛物线开口向下。
4. 抛物线在对称轴的焦点处与准线相切抛物线上的任意一点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离为 $d_2$，到对称轴的距离为 $d_3$，则有 $d_2=d_3$。
因此，在对称轴上的焦点处抛物线与准线相切。
三、抛物线的方程式抛物线的标准方程式为 $y=ax^2$。
其中，$a$ 表示是抛物线的开口方向和宽度，$x$ 表示横坐标，$y$ 表示纵坐标。
这里的抛物线是以 $y$ 轴为对称轴的，开口朝上或朝下取决于 $a$ 的正负性。
如果是以 $x$ 轴为对称轴的抛物线，其方程式为 $x=ay^2$。
当抛物线的对称轴不与坐标轴重合时，我们可以通过平移坐标系的方式将对称轴移到坐标轴上，再进行求解。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结高中抛物线知识点总结平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
下面是关于高中抛物线知识点总结的内容，欢迎阅读！抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)就是y等于a乘以x的平方加上b乘以x再加上c置于平面直角坐标系中a>0时开口向上a<0时开口向下(a=0时为一元一次函数)c>0时函数图像与y轴正方向相交c<0时函数图像与y轴负方向相交c=0时抛物线经过原点b=0时抛物线对称轴为y轴(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)还有顶点公式y=a(x+h)*2+k,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值和对称轴抛物线标准方程：y^2=2px(p>0)它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
高二抛物线知识点总结
高二抛物线知识点总结抛物线是数学中重要的曲线之一，广泛应用于各个领域，包括物理、工程和经济等。
在高二数学学习中，学生也要掌握抛物线的相关知识点。
本文将对高二抛物线的知识点进行总结。
一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上满足特定几何关系的点的集合，其定义可以用顶点、焦点和准线来描述。
抛物线的一些重要性质包括：1. 对称性：抛物线关于其准线对称。
2. 焦点和准线的关系：焦点是准线上一点到抛物线上任意一点的距离的中点。
3. 切线和法线：抛物线上任意一点的切线和通过该点的法线垂直。
4. 直径和焦距：通过抛物线顶点的直径，其长度等于焦距的两倍。
二、抛物线的方程高二学生需要学习抛物线的方程形式，抛物线的标准方程为：y = ax² + bx + c其中，a ≠ 0，a、b、c为常数。
由此方程可以得到抛物线的顶点坐标、焦点坐标以及准线的方程。
三、焦点和准线的计算对于给定的抛物线，可以通过顶点和焦距的关系计算焦点的坐标。
焦距等于1/4a，其中a为二次项系数。
准线的方程为x = -b/2a。
四、抛物线的平移和缩放通过平移和缩放操作，可以对抛物线进行变换。
平移操作是将抛物线的顶点沿着平移向量进行平移，缩放操作是改变抛物线的大小。
高二学生需要掌握平移和缩放对抛物线方程的影响。
五、求解抛物线与直线的交点在实际问题中，求解抛物线与直线的交点是非常重要的。
高二学生需要掌握如何解这类问题，可以通过联立抛物线方程和直线方程，得到交点的坐标。
六、抛物线的应用抛物线在物理、工程和经济等领域有广泛应用。
一些常见的应用包括：1. 物体的抛体运动：当物体受到重力作用时，其运动轨迹为抛物线。
2. 抛物面太阳能集热器：通过将反射板塑造成抛物面，可以将太阳能集中到焦点上，实现集热和发电。
3. 投射物的轨迹计算：通过抛物线方程，可以计算投射物的高度、距离和到达时间等参数。
总结：通过本文的介绍，我们可以了解到高二抛物线的定义、性质和方程等知识点。
(完整版)抛物线知识点归纳总结
引言：抛物线是高中数学中重要的曲线之一，具有许多重要的性质和应用。
本文将对抛物线的知识点进行归纳总结，包括抛物线的定义、性质、方程、焦点、准线等。
通过深入理解抛物线的相关概念和性质，读者将能够更好地应用抛物线解决实际问题。
概述：抛物线是一种特殊的曲线，其形状呈现出两侧对称且开口向上或向下的特点。
具体而言，抛物线由一条称为准线的直线和一个称为焦点的特殊点确定。
正文内容：1.抛物线的定义：抛物线是所有到一个定点（焦点）与到一条直线（准线）的距离相等的点的集合。
抛物线也可以通过平面上点的坐标表示，而其坐标满足经典的二次方程形式。
抛物线具有一条对称轴，该对称轴是准线与焦点所在直线的垂直平分线。
2.抛物线的性质：对称性：抛物线是关于对称轴对称的，即对称轴上任意一点关于对称轴上的另一点的坐标对称。
单调性：抛物线开口朝上时，在对称轴上坐标递增；开口朝下时，在对称轴上坐标递减。
切线性质：抛物线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直，这是抛物线独有的性质。
定理一：抛物线上两个焦点到准线的距离之和等于焦距的两倍。
定理二：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
3.抛物线的方程：标准形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实常数，且a≠0。
顶点形式：y=a(xh)^2+k，其中a、h、k为实常数，且a≠0，(h,k)为抛物线的顶点坐标。
焦点形式：4a(yk)=(xh)^2，其中a、h、k为实常数，且a≠0，(h,k)为抛物线的顶点坐标。
4.抛物线的焦点和准线：焦点：抛物线的焦点是准线上一个固定的点，与抛物线的形状和方程相关。
焦距：焦距是焦点到准线的距离，等于焦点到对称轴的距离。
准线：准线是与抛物线的形状和焦点相关的一条直线，与对称轴平行且到焦点的距离等于焦距。
5.抛物线的应用：物理学中的自由落体：抛物线可以用来描述自由落体运动的轨迹，例如抛体的抛射问题。
工程学中的抛物面反射器：抛物面反射器可以将光线从一个点集中集中到另一个点上，常用于太阳能聚焦等应用。
抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点归纳总结抛物线是高中数学中的一个重要概念，也是一种具有特殊性质的曲线。
在本文中，我们将对抛物线的定义、性质、方程及应用进行归纳总结。
一、定义抛物线是指平面上的一条曲线，它的几何定义是到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹。
具体来说，抛物线是以定点为焦点、定直线为准线的所有点的轨迹。
二、性质1. 对称性：抛物线关于准线对称。
2. 焦点和准线：焦点是抛物线上的凹点（开口向上的抛物线）或凸点（开口向下的抛物线），准线与抛物线相切于焦点。
3. 焦半径：抛物线上任意一点到焦点的距离称为焦半径，焦半径相等的点构成的线段称为焦径。
4. 直径：垂直于准线且通过焦点的线段称为直径。
5. 焦弦：与抛物线相交于两点且经过焦点的弦称为焦弦，焦弦的中点恰好是抛物线上的高点。
6. 切线：抛物线上任意一点处的切线与焦半径垂直。
7. 弦长公式：焦弦的弦长等于焦点到抛物线顶点的距离的两倍。
三、方程在平面直角坐标系中，一般式的抛物线方程形式为y=ax²+bx+c。
其中，参数a决定了抛物线的开口方向，当a大于0时，抛物线开口向上，当a小于0时，抛物线开口向下。
根据抛物线的特殊性质，我们可以得出以下常用的抛物线方程：1. 焦点在y轴上的抛物线方程：y²=4ax。
2. 焦点在x轴上的抛物线方程：x²=4ay。
3. 顶点在原点的抛物线方程：y²=4ax。
4. 顶点在坐标轴上的抛物线方程：x²=4ay。
四、应用抛物线在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
以下列举了几个常见的应用场景：1. 抛物线轨迹：在自然界中，很多物体的运动轨迹都可以用抛物线来描述，例如自由落体运动、抛射运动等。
2. 抛物天线：抛物面具有聚焦的特点，因此在通信工程中常用抛物天线来进行信号的发射和接收。
3. 抛物线反射：当光线或声波垂直照射到抛物面上时，会被反射到焦点上，因此抛物面常被用于反射镜和声学聚焦器的设计。
(完整版)抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点总结y 22 px( p 0)y 22 px( p 0)x 22 py( p 0)x 2 2 py( p0)y y y图象ylllFOxO Fx F OxOxFl定义 范围 对称性焦点极点离心率 准线 方程极点到准 线的距离 焦点到准 线的距离焦半径A(x 1, y 1 )平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
{ M MF =点 M 到直线 l 的距离 }x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0关于 x 轴对称关于 y 轴对称( p,0)(p,0)(0, p)(0,p ) 2222焦点在对称轴上O(0,0)e=1p xp p pxy2y222准线与焦点位于极点两侧且到极点的距离相等。
p 2 pAF x 1p AFx 1p AF y 1p AFy 1p2222焦点弦长( x1 x2 ) p( x1 x2 ) p( y1 y2 ) p( y1 y2 ) p AByA x1, y1o FxB x2 , y2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线l相切A( x1 , y1 ) 2 p 2 p若 AB 的倾斜角为若 AB 的倾斜角为，则 AB，则 ABB (x2 , y2 )sin2cos2p22x1x2y1 y2p4切线方程11AF BF AB2AF BF AF ? BF AF ?BF py0 y p( x x0 )y0 y p( x x0 )x0 x p( y y0 )x0x p( y y0 )参数方程x 2 pt 2y 2 pt( t 为参数)1.直线与抛物线的地址关系直线，抛物线，，消y得：（1）当 k=0 时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k≠0 时，＞0，直线l与抛物线订交，两个不同样交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。
高二数学知识点总结抛物线
高二数学知识点总结抛物线抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有许多重要的性质和应用。
在高二数学学习中，我们需要掌握抛物线的定义、性质、标准方程和相关的解题方法。
下面将对这些知识点进行总结和概括。
1. 抛物线的定义抛物线是一个平面曲线，其定义是所有到一个定点（焦点F）和到一条直线（准线L）的距离相等的点的轨迹。
这个定点叫做焦点，准线叫做准线。
焦点到准线的距离叫做焦距，用字母p表示。
所有的抛物线都具有这个性质。
2. 抛物线的性质(1) 抛物线是对称的。
对于一个抛物线，以焦点为对称中心，准线为对称轴，抛物线上的每一个点关于对称轴对称。
(2) 抛物线的焦点和准线的位置关系。
焦点在平行于准线的直线上方时，抛物线开口向上；焦点在平行于准线的直线下方时，抛物线开口向下。
(3) 抛物线的顶点位置。
抛物线的顶点是其准线与对称轴的交点，也是其最高或最低点。
3. 抛物线的标准方程抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c均为实数常数。
(1) 若a>0，则抛物线开口向上。
(2) 若a<0，则抛物线开口向下。
(3) 当抛物线的标准方程为y=ax^2 (a≠0)时，抛物线焦点在原点，准线为y=0轴。
4. 抛物线的平移与图像变换(1) 横向平移：抛物线沿x轴平移h个单位。
平移后的抛物线方程为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。
(2) 纵向平移：抛物线沿y轴平移k个单位。
平移后的抛物线方程为y=a(x^2-2hx+h^2)+b(x-h)+c+k。
5. 抛物线的相关解题方法(1) 求抛物线的焦点坐标：根据焦点的定义，使用平移和对称的思想，通过已知的抛物线方程可以求得焦点坐标。
(2) 求抛物线的顶点坐标：根据抛物线的对称性和平移性质，将抛物线方程转化为顶点形式，即可得到顶点坐标。
(3) 求抛物线与直线的交点坐标：将抛物线方程与直线方程联立，解方程组得到交点坐标。
(4) 求抛物线与抛物线的交点坐标：将两个抛物线方程联立，解方程组得到交点坐标。
高二数学抛物线知识点
高二数学抛物线知识点一、抛物线的定义抛物线是一个二次函数的图像，其一般形式为 \(y = ax^2 + bx +c\)，其中 \(a\), \(b\), \(c\) 是常数，且 \(a \neq 0\)。
当\(a > 0\) 时，抛物线开口向上；当 \(a < 0\) 时，抛物线开口向下。
二、抛物线的图形特征1. 对称性：抛物线关于其对称轴对称，对称轴的方程为 \(x = -\frac{b}{2a}\)。
2. 顶点：抛物线的最高点或最低点称为顶点，其坐标为 \(\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)\)。
3. 焦点和准线：对于开口向上或向下的抛物线，可以定义焦点和准线。
焦点位于距离顶点 \(\frac{1}{4a}\) 处，准线则是与抛物线对称且平行于对称轴的直线，距离顶点 \(\frac{1}{4a}\)。
三、标准抛物线方程1. 顶点在原点的抛物线方程为 \(y = ax^2\)。
2. 经过原点的抛物线方程为 \(x^2 = 4py\)（开口向下）或 \(x^2 = -4py\)（开口向上），其中 \(p\) 是焦点到准线的距离。
四、抛物线的性质1. 焦点性质：从任意一点 \((x, y)\) 到焦点的距离等于该点到准线的距离。
2. 切线性质：抛物线上任意一点的切线与该点到顶点的连线垂直。
3. 弦性质：抛物线上任意两点连线的中点到顶点的距离等于该中点到对称轴的距离。
五、抛物线的应用1. 物理运动：抛物线常用于描述物体在重力作用下的自由落体运动和斜抛运动。
2. 工程学：在建筑设计中，拱桥和某些屋顶结构的形状可以近似为抛物线。
3. 优化问题：在寻找最大或最小值的问题中，抛物线的性质可以用于确定最优解。
六、抛物线的图像绘制1. 确定顶点和对称轴。
2. 选择几个 \(x\) 值，计算对应的 \(y\) 值。
3. 在坐标系中标出这些点，并平滑连接以形成抛物线。
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高二数学重难点知识汇总
第九讲 抛物线
一．重难点讲解
知识点一 抛物线定义
平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。
(1)定义可归结为”一动三定”：一个动点设为M ；一定点F (即焦点)；一定直线l (即
准线)；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比为1）。
(2)定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。
若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线。
(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
知识点二 抛物线的标准方程
抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
如下图所示，分别建立直角坐标系，设出()0>=p p KF ，则抛物线的标准方程如下：
（1） （2）
（3） （4）
（1）()022>=p px y ，焦点：⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2p ，准线2:p x l -=； （2）()022>=p py x ，焦集点：⎪⎭⎫ ⎝⎛
2,0p ，准线2
:p y l -=； （3）()022>-=p px y ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ，准线2
:p x l =； （4）()022>-=p py x ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2,0p ，准线2:p y l =。
相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直， 垂足与焦点在对称轴上关于原点对称。
它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的4
1，即2
42p p =。
不同点：（1）图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为px 2±，左端为2y ；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x ；（2）开口方向在x 轴（或y 轴）正向时，焦点在x 轴（或y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x 轴（或y 轴）负向时，焦点在x 轴（或y 轴）负半轴时，方程右端取负号。
总之，①参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，张口越大；2
p 等于焦点到抛物线顶点的距离。
②方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向。
二.典型例题分析
题型1 抛物线的定义及应用
【例1】 已知抛物线y x 42=，点P 是抛物线上的动点，点A 的坐标为（12，6）。
求点P 到点A 的距离与点P 到x 轴的距离之和的最小值。
解析由定义知，抛物线上的点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线的距离d ，求PA 与点P 到x 轴的距离之和的最小值，转化成求2
p d PA -+的最小值。
答案 如右图易判断知点A 在抛物线外侧，
设()y x P ,，焦点()1,0F ，则P 到x 轴的距离即y 值。
设P 到准线1-=y 的距离为d ，则1-=d y 。
故1-+=+d PA y PA ，由抛物线定义知d PF =。
于是11-+=-+PF PA d PA ，
由图可知，当A 、P 、F 三点共线时，PF PA +取最小值，为13。
故所求距离之和的最小值为()12161212
2=-+=-FA 。
规律总结 定义是解决问题的基础和灵魂，要善于思考定义和应用定义，本题如果设P 点坐标 为()y x ,，利用两点间距离公式求解，无法得到答案。
由抛物线定义可知，PF 等于P 点到准线的距离，当P 、A 、F 三点共线时，PF PA +的距离最小，这体现了数学中的转化思想 题型2 求抛物线的标准方程
【例2】 若动圆与圆（()1222
=+-y x 外切，又与直线01=+x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A.x y 82=
B.x y 82-=
C.x y 42=
D.x y 42
-=
解析 利用抛物线定义的条件。
答案 设动圆的半径为r ，圆心为()y x O ,'到点（2，0）的距离为1+r ，O '到直线1-=x 的距离为r ，所以O '到（2，0）的距离与到直线2-=x 的距离相等，由抛物线的定义知x y 82=。
故选A 。
规律总结 处理求轨迹方程的选择、填空类问题，可首先考虑画维由线的定义，或者经转化后联系圆锥曲线的定义来处理。
题型3 求抛物线的焦点坐标和标准方程
【例4】 已知抛物线的方程()02≠=a ax y ，求它的焦点坐标和准线方程。
解析 要根据a 的正负分类讨论。
答案 （1）当0>a 时，因为a p =2，所以2a p =，所以焦点⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,4a F ，准线方程4a x -=。
（2）当0<a 时，()x a y --=2。
因为a p -=2，所以2a p -=。
所以焦点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--0,4a F ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4a ，准线方程4a x -=。
综上所述，抛物线的焦点⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,4a F ，准线方程4a x -=。
规律总结 a 可能是正的，也可能是负的，因此一定要分0>a ，0<a 两种情况讨论，此类题易忽略0<a 。
题型4 实际应用问题
【例5】 一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值。
解析 要求拱宽a 的最小值，需建立适当的坐标系，写出抛物线方程，然后利用方程求解。
答案 以拱顶为原点，拱宽所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图，设抛物线方程为
()022>-=p py x ，则点B 的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-4,2a a ，由于点B 在抛物线上， 所以2,4222
a p a p a =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 所以，抛物线方程为ay x -=2。
将点()y E ,8.0代入抛物线方程，得a
y 64.0-
=。
所以，点E 到拱底AB 的距离为364.044>-=-a a y a 。
解得21.12>a ，a Θ取整数，a ∴的最小值为13。
规律总结 实际问题中可由实际情况确立坐标系，要求坐标系要简单，建好坐标系后要由实际情况写出各点坐标及曲线方程，然后依题意解之即可。
三．规律方法总结
（1）批物线ax y =2
的焦点坐标、准线方程，不论0>a 还是0<a ,总有：焦点 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,4a F ，准线方程4a x -=。
（2）正确理解抛物线的定义：
抛物线定义中的定点F 不在定直线l 上，这一点不可忽视。
当l F ∈时，则动点P 到定点F
与到定直线l 的距离相等的轨迹是过F 且与l 垂直的一条直线。
（3）已知方程求抛物线的焦点、准线方程时，应先将方程化为标准形式。
（4）根据给定条件，求抛物线的标准方程时，由于标准方程有四种形式，故应先根据焦点位置或准线确定方程的形式，再用待定系数法求之。
当对称轴已知，焦点不确定时，可分类讨论，也可统一设方程。
如对称轴为x 轴的抛物线，标准方程可设为()02
≠=a ax y 。
（5）在解决有关抛物线上的点P 到焦点F 的距离问题时，常利用抛物线的定义转化为P 到到准线的距离。