2020届高中数学：分段函数模型

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高中教育数学必修第一册人教B版《3.1.1.3 分段函数》教学课件

A．a<b<c B．b<a＝c C．a＝b<c D．a<b＝c
答案：A
解析：a＝[－1.01]＝－2，b＝[－1]＝－1，c＝[1.5]＝1，所以a<b<c.
4．已知f(x)＝ቊf
3x x−
+ 1
2，x ≤ + 1，x
0>，0，则f(43)的值为(
)
A．2
B．4 C．6
D．8
答案：A
解析：由已知，得f(43)＝f(43－1)＋1＝f(13)＋1＝f(13－1)＋2＝f(－23)＋2＝3×(－23)＋2＋2＝2.
(2)已知函数f(x)＝ቊ2x，，xx
∈ ∉
−1，1 −1，1
，，若f(f(x))＝2，则x的取值范围是
__{2_}_∪_−_1_，_1_____．
解析：设f(x)＝t，∴f(t)＝2，当t∈[－1，1]时，满足f(t)＝2，此时－1≤f(x)≤1，无解，当t＝2时，满足f(t) ＝2，此时f(x)＝2即－1≤x≤1或x＝2.
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
方法归纳
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
题型2 分段函数的图象及应用
例2 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．
1
(1)y＝൝x
，0＜x＜1，分段函数图象的画法．
x，x ≥ 1；

2020年全国高考数学第07讲分段函数的性质与应用

2020年全国高考数学第07讲分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

冲刺2020年高考满分数学05分段函数(教师版)理科

专题05分段函数（解析版）分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集。

由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用。

分段函数情形复杂、综合性强,即能有效考查复杂函数的图象和性质,又能体现分类讨论,数形结合的数学思想方法。

因此,分段函数倍受高考命题人的青睐,是历年高考中的热点题型之一. 分段函数易错点易错点1：定义域与相应的解析式分不清,用错解析式来解决问题；易错点2：忽略分段点的特殊性,要明确分段点的性质；易错点3：混淆分段函数单调性与其他函数单调性判断的不同点；易错点4：不能正确做出分段函数的图像；在分段函数性质的考查中,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显. 题组一1．（2015新课标Ⅱ）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥,则2(2)(log 12)f f -+=A ．3B ．6C ．9D ．12 【解析】由于2(2)1log 43f -=+=,22log 121log 62(log 12)226f -===,所以2(2)(log 12)f f -+=9．2.设2,0.()log ,0.x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________. 【解析】1211()log 1,(1),22g g e -==--=所以11(())2g g e= 题组二3.若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________.【解析】∵1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩,∴1|()|3f x ≥等价于001111333x x x x ≥⎧<⎧⎪⎪⎨⎨⎛⎫≥≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩或解得3001x x -≤<≤≤或,综上[]-31x 的取值范围为，4．(2014新课标)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是______．【解析】当1x <时,由12x e-≤得1ln 2x +≤,∴1x <；当1x ≥时,由132x ≤得8x ≤,∴18x ≤≤,综上8x ≤．5.（2017新课标Ⅲ）设函数1,0,()2,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩　则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【解析】当12x >时,不等式为12221x x-+>恒成立；当102x <≤,不等式12112xx +-+>恒成立；当0x ≤时,不等式为11112x x ++-+>,解得14x >-,即104x -<≤；综上,x 的取值范围为1(,)4-+∞．题组三★6.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是（） A. (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B. (1,2)- C. (2,1)- D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞【解析】由题意知()f x 在R 上为增函数,2(2)(),f a f a ->所以22,a a ->21a -<<解得,故选C7．(2013新课标Ⅰ)已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[－2,1]D ．[－2,0]【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩,∴由|()f x |≥ax 得,22x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩且0ln(1)x x ax >⎧⎨+≥⎩,由202x x x ax≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-,则a ≥-2,排除A,B,当a =1时,易证ln(1)x x +<对0x >恒成立,故a =1不适合,排除C,故选D ．题组四8．（2010新课标）已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若a ,b ,c 均不相等,且()f a =()f b =()f c ,则abc 的取值范围是A ．（1,10）B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【解析】画出函数的图象,如图所示,不妨设a b c <<,因为()()()f a f b f c ==,所以1ab =,c 的取值范围是(10,12),所以abc 的取值范围是(10,12)．()()()2,,-3+2=0f x f x f x π⎧-≤≤⎪⎨⎪=-⎩2xcos 1x 12x 1x 19.已知函数的实根的个数是___.，则关于x 的方程＞，【解析】()()()()2-3+2=0=1=2fx f x f x f x 方等价于程或()()[]()1,1,>110,,f x f x x f π⎧-≤≤⎪-≤≤⎨-⎪-⎩=∈>2xcos 1x 121x 1x 1x 1函，当，时＞数,，()2=1cos111,022f x x x x x 时，或所以或π=-===±xyO11012()2=212,f x x x 时，所以-==()()2-3+2=0f x f x 的实根个数为5个综上知方程以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

2020届高考数学命题猜想及专题练习--函数与方程﹑函数模型及其应用1(含解析)

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用1【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即. 又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x2－3x(x ≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－1x，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x ≤a ，x2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x3（x ≤a ），h （x ）＝x2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a3>a2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x ≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200. （2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x ≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

2020版高考江苏：分段函数探究

x2－x，x>0， (2)函数 f(x)＝21－12＋x，x≤0.
若关于 x 的方程 f(x)＝kx－k 至少有两个不
相等的实数根，则实数 k 的取值范围是__－__13_，__1_∪__(_1_，__＋__∞__) _.
解析如图，作出函数图象，y＝kx－k过定点(1,0)，
(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围； 2x2－a＋1x＋a，x≥a，
解 f(x)＝ a＋1x－a，x<a.
若f(x)在R上单调递增，
a＋1 则有a＋4 1>≤0a，，

a＋1a－a≤2a2－aa＋1＋a，
解得 a≥13.
(3)若a<1，且不等式f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举一反三，事半功倍。
2019/11/27
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谢谢欣赏！
2019/11/27
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2－x，x≤1，例 5 (1)已知 f(x)＝
log81x，x>1，解析令 g(x)＝0，得 f(x)＝12.
则 g(x)＝f(x)－12的零点个数为____2____．
当 x≤1 时，2－x＝12，即 x＝1；
当 x>1 时，log81x＝12，即 x＝ 81＝9.
故所求零点为1和9，g(x)的零点个数为2.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。

2020版教辅人教A数学必修1：第二课时分段函数与映射

知 f(-5)=-5+1=-4,
f(- 3 )=(- 3 )2+2×(- 3 )=3-2 3 .
f(- 5 )=- 5 +1=- 3 ,而-2<- 3 <2,
22
2
2
所以 f(f(- 5 ))=f(- 3 )=(- 3 )2+2×(- 3 )= 9 -3=- 3 .
2
2
2
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4
(2)若f(a)=3,求实数a的值.
一题多变:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)]=3,求a.
解:令 t=f(a),则 f(t)=3, 由例 1(2)的解法知 t=1 或 t=2. 当 t=1 时,f(a)=1.由于 x≤-2 时,x+1≤-1,x≥2 时,2x-1≥3. 因此只有-2<a<2 时,能满足 f(a)=1, 即 a2+2a-1=0. 解得 a= 2 -1 或 a=- 2 -1(舍去). 同理当 t=2 时,f(a)=2,则 a2+2a-2=0. 解得 a= 3 -1 或 a=- 3 -1(舍去). 综上可知,当 f[f(a)]=3 时,a= 2 -1 或 a= 3 -1.
1.分段函数如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数. 思考1:怎样求分段函数的定义域、值域? 答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值域的并集.
2.映射设A,B是非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射.
方法技巧

分段函数模型及应用课件

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分段函数模型及应用
布置作业
训练与提高
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分段函数模型及应用
第2章函数模型及应用
第4节分段函数模型及应用
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分段函数模型及应用
建模五步法
1、模型准备：把问题中所学要的知识点罗列出来. 2、模型假设：把问题理想化，排除外观因素影响. 3、模型构成：把实际问题主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题. 4、模型解析：把数学问题化为常规问题，选择合适的数学方法求解. 5、模型检验与应用：对求解的结果进行验证或评估，对错误加以调节，或将结果应用于现实，作出解释或预测.
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分段函数模型及应用
模型构成
小张的打车费由三部分组成：（1）起步价11元（2）超起步里程4.2-3=1.2公里，计价 1.2x2.5=3 （3）等候00:03.16，每4分钟收2.5元
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模型解析
共需付费11+3+2.5=16.5（元），尾数等于0.50 元进1元
所以这打的费共17元是对的
第三级水量（每户每月25立方米及以 4.40元上部分）
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（1）若小王家9月份用水量为20立方米，请算一算，该户9 月份的水费是多少元？
（2）若小杨家某月份用水量为x立方米，请写出小杨家该月的水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系
（3）小李家7月份用水33吨，该户居民7月份的水费是多少元？
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分段函数模型及应用
问题1:小张家住杭州市区，一天从商场打出租车回家，付了17元的打的费，他向司机拿了发票，上面是这样记载的：时间2017年6月10日20:30；里程：4.2km；单价：2.50元；等候00:03.16。请你帮他算一算：这打车费共17元对不对？

SX2020A104高考数学必修_点击“分段函数”

点击“分段函数”一般地，在自变量的不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数常常称为分段函数. 分段函数是函数的一种表达形式，不要误认为分段函数是几个函数. 分段函数在现实生活中大量存在，也是高考重点考查的内容. 下面介绍五种类型, 供复习参考.类型1：判断奇偶性例1已知函数()22230230x x x f x x x x ⎧++<⎪=⎨-+->⎪⎩ ，试判断()f x 的奇偶性．解析：()f x 为奇函数．事实上．当0x <时，0x ->，()()()223f x x x -=--+--()223x x f x =---=-；当0x >时，0x -<， ()()()222323f x x x x x -=-+-+=-+()()223x x f x =--+-=-. 无论0x >还是0x <,都有),()(x f x f -=-因此()f x 为奇函数．点评：本题考查分段函数奇偶性的判定方法.从函数奇偶性的定义出发, 考察在定义域上是否有或)()(x f x f -=-)()(x f x f =-成立，要注意分段函数的对应法则.类型2：求分段解析式例2已知函数f(x)=2x-1，g(x)=⎩⎨⎧<-≥)0(1)0(2x x x ,求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式.解析：当x ≥0时，g(x)=x 2，f[g(x)]=2x 2-1;当x ＜0时，g(x)=-1，f[g(x)]=-2-1=-3.∴f[g(x)]= ⎩⎨⎧〈-≥-)0(3)0(122x x x . 当2x-1≥0时，即x ≥12 时，g[f(x)]=（2x-1）2;当2x-1＜0时，即x ＜12时，g[f(x)]=-1. ∴g[f(x)]=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥-)21(1)21()12(2x x x .点评：本题考查分段复合型函数解析式的求法.在求f[g(x)]与g[f(x)]时要注意分段函数中的自变量的取值，以及复合函数中“内函数”的值域可以充当“外函数”的定义域.类型3：单调性问题y例3已知⎩⎨⎧≥+-<=1,1)23(1,)(x x a x a x f x 是(,)-∞+∞上的减函数，求实数a 的取值范围.解析：因为)(x f 在(,)-∞+∞上是减函数，所以)(x f 在()[)+∞∞-,11,和上是减函数，于是.32010023<<⇒<<<-a a a 且另一方面，还应该保证指数函数在(]1,∞-上的最小值不小于一次函数在[)+∞,1上的最大值，即取a a ≤+-123与320<<a 的交集，所以210≤<a . 即为实数a 的取值范围. 点评: 本题考查分段函数的单调性.对此，不仅要注意函数在每段上的单调性，还要注意函数在每段分界处的两侧函数值的大小情况，以保证分段函数在整个定义域上单增或单减.类型4：求值域或最值例4 求函数21++-=x x y 的值域和最值.解析：因⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=++-=)1(,12)12(,3)2(,1221x x x x x x x y ,当2-≤x 时,3≥y ;当1≥x 时,3≥y , 所以函数的值域为[)+∞,3,函数的最小值为3,无最大值.点评: 本题考查绝对值函数的值域和最值的求法.在求分段函数的值域时，应先求出每段上函数值的范围，然后取并集，即为分段函数的值域. 各段函数值中的最大（小）者，就是整个函数的最大（小）值. 对于含有绝对值的问题我们常常转化为分段函数求解.类型5：抽象函数问题例5已知函数()f x 在R 上有定义，对任何实数0a >和任何实数x ，都有()()f ax af x =. 证明:(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩,其中k 和h 均为常数.解析：赋x a ,为具体的值或另外的字母, 引进常数.,h k .因为对任意a >0,R x ∈，均有()()x af ax f = ①.当x >0时，在①中,令1,==x x a ,则()()11xf x f =⋅,即()()1xf x f =.()1f 为常数，令()1f =k ，则有()kx x f =. 当x =0时，在①中令a =2, x =0，即得()()020f f =, ()00=∴f , 适合()kx x f =. 因此当x ≥0时, ()kx x f =成立 ②.当0<x 时，在①中,令1,-=-=x x a ,()()[]()()11--=--f x x f ,即()[]1)(--=f x x f . ()1--f 为常数，令()1--f =h ，则有()hx x f = ③综合②③得，(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩ ,其中k 和h 均为常数.点评：本题主要考查分类讨论的思想方法和赋值法.按问题的条件把握如何分类则形成分段函数是解题的关键. 分类讨论的一般步骤是：确定分类对象（这里是x ）；选择分类标准（这里是以x 的取值为标准); 明确分类层次(这里是根据要证明的结论分00<≥x x 和两个层次).由上可见, 求解分段函数问题，要处理好整体与局部的关系, 最关键的还是分类讨论思想方法的应用.。

函数与函数的分段与模型

函数与函数的分段与模型函数是数学中的重要概念，它描述了一组由输入到输出的对应关系。

在数学建模和实际问题中，函数的分段与模型扮演着重要角色。

本文将探讨函数的分段以及它们在构建模型中的应用。

函数的分段可以理解为不同定义域上的函数规则。

例如，对于定义在区间[−1,1]上的函数f(x) = x²，它在[−1,1]上是连续的。

但当我们考虑定义在[1,2]上的函数时，它的定义域改变了。

我们可以将这两个定义域相互融合，构建一个分段函数。

一个简单的例子是温度转换函数。

在摄氏度与华氏度之间的转换中，函数的定义域也需要进行分段。

当输入值小于某个临界点时，使用一个函数规则；大于该临界点时，使用另一个函数规则。

这样，我们就可以通过这个分段函数来准确地对温度进行转换。

这种函数的分段定义使得模型更加精确。

除了温度转换，分段函数在金融领域也有广泛的应用。

例如，银行贷款利率的计算通常是根据不同的贷款额度和期限来确定的。

这就涉及到了定义在不同范围内的分段函数。

银行会设定不同的利率规则来合理计算贷款利息，以满足不同用户的需求。

这种分段函数的应用在金融建模中提供了更加准确和可行的解决方案。

除了分段函数的应用，函数的模型构建同样重要。

数学模型是对实际问题的抽象和描述。

函数的模型构建需要考虑问题的特性和要求。

例如，在人口增长模型中，我们可以使用指数函数来描述人口的增长趋势。

这个模型可以根据过去的数据，预测未来的人口变化。

然而，在考虑资源限制时，我们可以引入分段函数来限制人口增长率。

这样的模型更贴近实际，并提供了更有说服力的结果。

在物理学中，分段函数也有着广泛的应用。

例如，处理粒子碰撞时，我们可以使用分段函数来描述不同阶段的力的变化。

这样的模型可以更加准确地描述粒子碰撞的过程，并为实验结果提供解释。

总结起来，函数的分段与模型在数学建模和实际问题中具有重要性。

通过分段函数的定义，我们能够更准确地描述问题，并提供相应的解决方案。

同时，函数的模型构建需要考虑问题的特性和要求，通过合理的函数模型，我们可以预测未来的趋势和解释实验结果。

2019-2020学年高中数学人教A版必修一课件：1.2.2.2 分段函数与映射

答案：C
类型一求分段函数的函数值 ,, 例 1 (1) 设 f(x) ＝
|x－1|－2|x|≤1， 1＋1 x2|x|>1，
则 ff21＝(
)
1 A.2
4 B.13
C．－95
25 D.41
(2)已知 f(n)＝nf－fn3＋，5n≥，1n0<，10，则 f(8)＝________.
0 1))，f(f(f(－1)))．
解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0， ∴f(f(－1))＝f(0)＝π， ∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
x>0， x＝0， x<0，
求 f(－1)，f(f(－
根据不同的取值代入不同的解析式．
类型二分段函数的图象及应用例 2 (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ________，值域为________； (2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示该函数； ②画出该函数的图象； ③写出该函数的值域．
B 可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．( √ ) (2)分段函数由几个函数构成．( × ) (3)函数 f(x)＝x－＋x1＋，3x，≤x1>，1 是分段函数．( √ ) (4)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A 到 B 的映射．( × )
2．已知函数 f(x)＝x＋1 1，x<－1，则 f(2)等于(
)
x－1，x>1，
A．0
1 B.3
C．1
D．2

新教材高中数学第三章函数3.1.1.4分段函数课件新人教B版必修16

4 x 1(x 1),
()
A.10
B.0，10
C.-2，0，10
D.-1，1，11
3.如图，定义在[-1，+∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为 ________. 世纪金榜导学号
【思维·引】 1.先求f(5+6)，再求f(f(5+6)). 2.分段令f(m)=1，解方程求m. 3.第一段为一次函数，第二段为二次函数，待定系数法求解析式.
22
(2)试作出函数y=[x]+<x>的图像，其中-1≤x≤1.
【思维·引】 1.根据两个取整函数的定义由内向外求值. 2.先将函数的解析式分段表示，再作图.
【解析】(1)函数f(x)=<x·[x]>，x∈[-2，2]，
因为 [ 3] 2，所以 3 [ 3] 3 (2) 3，
2
22 2
x 1, x 1, x 1, x 1.
(2)作图：
类型二分段函数的解析式及应用
【典例】1.设f(x)=
x 2(x 10), f (f (x 6))(x 10),
则f(5)的值为
()
A.10
B.11
C.12
D.13
2.设f(x)=
(x 1)2 (x 1),
则使得f(m)=1成立的m值是
D(x)=
1, x Q, 0, x Q,
定义域为R，值域为{0，1}.
(3)常数函数 y=c，c为常数，定义域为R，值域为{c}，图像为垂直于y轴的直线.
【思考】能否用图像表示狄利克雷函数？提示：不能，无法作出狄利克雷函数的图像.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

2020学年新教材人教A版数学必修第1册讲义：3-1-2-2第2课时分段函数

第2课时分段函数1．会用解+析法及图象法表示分段函数． 2．给出分段函数，能研究有关性质． 3．对生活中的一些实例，会用分段函数表示．1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎨⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．1．某市空调公共汽车的标价按下列规则判定： ①5千米以内，票价2元；②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．(1)从起点站出发，公共汽车的行程x (千米)与票价y (元)有函数关系吗？(2)函数的表达式是什么？ (3)x 与y 之间有何特点？ [答案] (1)有函数关系(2)y ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10(3)x 在不同区间内取值时，与y 所对应的关系不同 2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >2，是分段函数．( )(3)分段函数的图象不一定是连续的．( )(4)y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，是同一函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√题型一分段函数求值【典例1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋1x ，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (f (－2)))的值； (2)若f (a )＝32，求a .[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解+析式求值． [解] (1)∵－2<－1，∴f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f [f (－2)]＝f (－1)＝2， ∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋12＝32.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，∴a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，∴a ＝±22∈[－1,1]；当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32， ∴a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解+析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．[针对训练]1．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f [f (3)]＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139 [详细分析] ∵f (3)＝23<1，∴f [f (3)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.[答案] D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，1－x 2，x >1，若f (x )＝－3，则x ＝________. [详细分析] 若x ≤1，由x ＋1＝－3得x ＝－4. 若x >1，由1－x 2＝－3得x 2＝4，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．综上可得，所求x 的值为－4或2. [答案] －4或2 题型二分段函数的图象【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象：①y ＝⎩⎨⎧1x，0<x <1，x ，x ≥1；②y ＝|x ＋1|.(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动路程为x ，△ABP 的面积为y ，求：①y 与x 之间的函数关系式； ②画出y ＝f (x )的图象．[思路导引] (1)利用描点法分段作图；(2)先依据x 的变化范围求出关系式．[解] (1)①函数图象如图1所示．②y ＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧－x －1，x <－1，x ＋1，x ≥－1，其图象如图2所示．(2)①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．[针对训练]3.已知函数f (x )的图象如图所示，求f (x )的解+析式并写出f (x )的值域．[解] 由于f (x )的图象由两条线段组成，因此可设f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋b ，－1≤x <0，cx ，0≤x ≤1.将点(－1,0)，(0,1)代入f (x )＝ax ＋b ，点(1，－1)代入f (x )＝cx 可得f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.由图象可得f (x )的值域为(－1,1). 题型三分段函数的综合问题【典例3】已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|. (1)求f (x )的值域； (2)解不等式：f (x )>0；(3)若直线y ＝a 与f (x )的图象无交点，求实数a 的取值范围．[思路导引] 去掉绝对值符号，化简f (x )，再分段求解． [解] 若x ≤－1，则x －3<0，x ＋1≤0， f (x )＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4；若－1<x ≤3，则x －3≤0，x ＋1>0， f (x )＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2；若x >3，则x －3>0，x ＋1>0， f (x )＝(x －3)－(x ＋1)＝－4. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x >3.(1)－1<x ≤3时，－4≤－2x ＋2<4.∴f (x )的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．(2)f (x )>0，即⎩⎨⎧x ≤－1，4>0，①或⎩⎨⎧－1<x ≤3，－2x ＋2>0，②或⎩⎨⎧x >3，－4>0，③解①得x ≤－1，解②得－1<x <1，解③得x ∈∅.所以f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)． (3)f (x )的图象如图：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点．[变式] 若a ∈R ，试探究方程f (x )＝a 解的个数．[解] 由例3(3)知y ＝f (x )的图象，作出直线y ＝a ，可以看出：当a ＝±4时，y ＝a 与y ＝f (x )有无数个交点；当－4<a <4时，y ＝a 与y ＝f (x )有且仅有一个交点；当a <－4或a >4时，y ＝a 与y ＝f (x )没有交点．综上可知：当a ＝±4时，方程f (x )＝a 有无数个解．当－4<a <4时，方程f (x )＝a 有一个解．当a <－4或a >4时，方程f (x )＝a 无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．[针对训练]4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围； (3)求f (x )的值域．[解] (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1. 所以f (x )的值域为[0,1].题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝kx 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？ (3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？[思路导引] 利用待定系数法求出x 在每一段上的解+析式，再分段研究．[解] (1)设线段AD 的解+析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，将点A (2,20)，D (0,10)代入，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝20n ＝10，解得⎩⎨⎧m ＝5n ＝10，∴线段AD 的解+析式为y ＝5x ＋10(0≤x ≤2)． ∵双曲线y ＝kx 经过B (12,20)， ∴20＝k12，解得k ＝240，∴BC 段的解+析式为y ＝240x (12≤x ≤24)．综上所述，y 与x 的函数解+析式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10(0≤x ≤2)20(2<x <12)240x (12≤x ≤24).(2)当x ＝18时，y ＝24018＝403，由于403<15，∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长． (3)令y ＝15，当0≤x ≤2时，解5x ＋10＝15，得x ＝1，当12≤x ≤24时，解240x ＝15，得x ＝16.由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解+析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．[针对训练]5．A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．[解](1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s＝50t，到达B地所需时间为15050＝3(小时)．(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，从B地到A地用时15060＝2.5(小时)．综上可得，该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系式为 s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t ，0≤t ≤3，150，3<t ≤5，－60t ＋450，5<t ≤7.5，函数图象如图所示．课堂归纳小结1．分段函数(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样．(2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．2．与分段函数有关的实际问题要理解题意，合理引进变量，确定自变量分段的“段点”，注意在自变量分段的端点处要不重不漏.1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[详细分析] ∵f (－7)＝10，∴f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100. [答案] A2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )[详细分析]∵f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．[答案] D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( ) A ．R B ．[0,2]∪{3} C ．[0，＋∞)D ．[0,3][详细分析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤2，当1<x <2时， f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3.故0≤f (x )≤2或f (x )＝3，故选B. [答案] B4．下图中的图象所表示的函数的解+析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2) C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2) D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[详细分析] 可将原点代入，排除选项A ，C ；再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，排除D 项．[答案] B5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f [f (a )]＝2，则a ＝________.[详细分析] 当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2>0，f [f (a )]<0，显然不成立；当a >0时，f (a )＝－a 2，f [f (a )]＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±2或a ＝0，故a ＝ 2.[答案]2课后作业(十八)复习巩固一、选择题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.则f (－2)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．2或4 [详细分析] f (－2)＝－(－2)＝2，选A. [答案] A2．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )[详细分析] f (x )＝|x －1|＝⎩⎨⎧－x ＋1，x <1，x －1，x ≥1.选B.[答案] B3．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52 C ．2或－2D ．2或－2或－52[详细分析] 当x ≤0时，令x 2＋1＝5，解得x ＝－2；当x >0时，令－2x ＝5，得x ＝－52，不合题意，舍去．[答案] A4.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13 B.13 C ．－23 D.23[详细分析] 由图可知，函数f (x )的解+析式为f (x )＝⎩⎨⎧x －1，0<x <1，x ＋1，－1<x <0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13. [答案] B5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米[详细分析] 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10，令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.[答案] A 二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <01，x ≥0，则不等式xf (x －1)≤1的解集为________．[详细分析] 原不等式转化为⎩⎨⎧x －1<0，x ×(－1)≤1，或⎩⎨⎧x －1≥0，x ×1≤1，解得－1≤x ≤1.[答案] [－1,1]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]的值域是________．[详细分析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤1；当1<x ≤2时，0≤f (x )<1.所以0≤f (0)≤1，即f (x )的值域为[0,1]． [答案] [0,1]8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋2)，x ≤0，则f (－5)的值等于________．[详细分析] f (－5)＝f (－5＋2)＝f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝2×1＝2.[答案] 2 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |>1.(1)求f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值；(2)若f (x )＝13，求x 的值．[解] (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝413. (2)f (x )＝13，若|x |≤1，则|x －1|－2＝13，得x ＝103或x ＝－43.因为|x |≤1，所以x 的值不存在；若|x |>1，则11＋x 2＝13，得x ＝±2，符合|x |>1. 所以若f (x )＝13，x 的值为± 2.10．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f (x )； (2)画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．[解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f(x )＝1＋－x －x2＝1－x . 所以f (x )＝⎩⎨⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0. (2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．综合运用11．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[详细分析] 由已知得，x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，所以|x |＝x sgn x ，故选D. [答案] D12.如图，抛物线y 1＝ax 2与直线y 2＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2,4)，B (1,1)．记f (x )为max{y 1，y 2}，则f (x )的解+析式为( )[详细分析] 由y 1＝ax 2过点B (1,1)得a ＝1，∴y ＝x 2.由y 2＝bx ＋c 过点A (－2,4)，B (1,1)，有⎩⎨⎧b ＋c ＝1－2b ＋c ＝4解得⎩⎨⎧b ＝－1c ＝2∴y 2＝－x ＋2，结合图象可得．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <－2－x ＋2，－2≤x <1x 2，x ≥1，选A.[答案] A13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2 D ．－4[详细分析] ∵f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23×2＝43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43＋83＝4. [答案] B14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>1，则实数a 的取值范围是________．[详细分析] 当a ≥0时，f (a )＝12a －1>1，解得a >4，符合a ≥0；当a <0时，f (a )＝1a >1，无解．[答案] (4，＋∞)15．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．[详细分析] 由题意得f (x )＝⎩⎨⎧ 2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．[答案] (－∞，1]16．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km 以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10 km 后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f (x )(单位：元)表示为行程x (0<x ≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16 km ，他准备先乘一辆出租车行驶8 km 后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)[解] (1)由题意得，车费f (x )关于路程x 的函数为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8，0<x ≤2，8＋1.9(x －2)，2<x ≤10，8＋1.9×8＋2.85(x －10)，10<x ≤60＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8，0<x ≤2，4.2＋1.9x ，2<x ≤10，2.85x －5.3，10<x ≤60.(2)只乘一辆车的车费为： f (16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；换乘2辆车的车费为：2f (8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)． ∵40.3>38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．。

2020版数学人教A版必修一同步进阶攻略课件：1-2-2-2分段函数

A．－2
B．4
C．2
D．－4
解析：f(43)＝2×43＝83， f(－43)＝f(－43＋1)＝f(－13)＝f(－13＋ 1)＝f(23)＝23×2＝43，所以 f(43)＋f(－43)＝83＋43＝4.
第三十四页，编辑于星期日：一点十七分。
3．已知函数 f(x)＝3x2x＋＋a2x，，xx<≥1，1，若 f(f(0))＝4a，则实数 a＝ 2 .
第三十八页，编辑于星期日：一点十七分。
∴bk＝＝－4，2. ∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．同理，线段 BC 所对应的函数解析式为 y＝x－2(2<x≤6)． ∴f(x)＝－x－22x＋，42<，x0≤≤6x. ≤2，
第三十九页，编辑于星期日：一点十七分。
——本课须掌握的问题 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏． (2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
第十七页，编辑于星期日：一点十七分。
[分析] 分段考虑求值即可． (1)先求 f(－12)，再求 f(f(－12))，最后求 f(f(f(－12)))； (2)分别令 x＋2＝2，x2＝2，12x＝2，分段验证求 x.
第十八页，编辑于星期日：一点十七分。
[解] (1)f(－12)＝(－12)＋2＝32. ∴f(f(－12))＝f(32)＝(32)2＝94， ∴f(f(f(－12)))＝f(94)＝12×94＝98. (2)当 f(x)＝x＋2＝2 时，x＝0，不符合 x<0. 当 f(x)＝x2＝2 时，x＝± 2，其中 x＝ 2符合 0≤x<2. 当 f(x)＝12x＝2 时，x＝4，符合 x≥2. 综上，x 的值是 2或 4.