2020届高中数学：分段函数模型

2020届高中数学：分段函数模型

1. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图①中的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图②中的抛物线段表示．

(1)写出图①表示的市场售价与上市时间的函数关系P ＝f (t )，写出图②表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/公斤，时间单位：天)

解：(1)由题图①可得市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩

⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200＜t ≤300. 由题图②可得种植成本与上市时间的函数关系为g (t )＝1200

(t －150)2＋100，0≤t ≤300. (2)设上市时间为t 的西红柿纯收益为h (t )，

则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )，

即h (t )＝⎩

⎨⎧－t 2200＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－t 2200＋72t －1 0252

，200＜t ≤300， 当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以，当t ＝50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100；

当200

(t －350)2＋100， 所以，当t ＝300时，h (t )取得区间(200，300]上的最大值87.5.

由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿纯收益最大．

【点拨】(1)实际问题的情况是复杂的，许多实际问题要使用分段函数模型求解．(2)解分段函数模型要注意定义域区间的分界点．(3)含有参数的实际应用题要注意分类讨论．

2. (2017·河南省实验中学期中)国庆节期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；

(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

解：(1)设旅游团人数为x 人，由题得0＜x ≤75，飞机票价格为y 元，

则y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10（x －30），30＜x ≤75， 即y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75. (2)设旅行社获利S 元，

则S ＝⎩

⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x （1 200－10x ）－15 000，30＜x ≤75， 即S ＝⎩

⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10（x －60）2＋21 000，30＜x ≤75. 因为S ＝900x －15 000在区间(0，30]上为单调增函数，

故当x ＝30时，S 取最大值12 000元，

又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30，75]上，当x ＝60时，取得最大值21 000. 故每团人数为60人时，旅行社可获得最大利润．