6.2 提取公因式法(2)

第⒍2节提取公因式法

【教学背景】

“提取公因式法”是“新浙江版七年级数学（下）”第六章第二节内容。本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链结开拓作用。提取公因式法是因式分解的基础，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下结实的基础，从而也为学生的运算能力拓展了道路。（老教材本小节是分两个课时上的）

【教学内容分析】

“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法。它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练。例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化。利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形。（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式。）【教学目标】

认知目标：

⑴在具体情境中认识公因式

⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式

能力目标：

⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。

⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。

情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。

【教学重点、难点】

1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。

⒉．教学难点∶正确地找出公因式

【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）

【教学工具】应用投影仪（计算机）

【教学过程】

㈠创设情境，提出问题

如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？

3.8

列式：3.7×3.8+3.7×6.2 (学生思考后列式)

3.7 有简便算法吗?

=3.7×(3.8+6.2)

3.7 =3.7×10=37(m2)错误！不能识别的开关参

数。

6.2 图8-1

在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:

ma＋mb =m(a＋b)

利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb

可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.

（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）

【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律。本课时用“复习引入”亦是一种好办法，即先复习分配律，同时可让学生说出整式乘法与因式分解的联系与区别，以便复习上一节的内容，然后让学生观察引出新内容。】

㈡观察分析，探究新知

让学生观察多项式：ma+mb

（让学生说出其特点：都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。）

各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。

【把主动权交给学生，尽量让他们自己说，也可尝试让他们取名，使他们体验到成功的喜悦。】

注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。

又如：b是多项式ab-b2各项的公因式

2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式

让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是 x 、 y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式

2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。

㈢独立练习，巩固新知

指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）

⑴ax+ay-a （a）

⑵5x2y3-10x2y （5x2y）

⑶24abc-9a2b2 （3ab）

⑷m2n+mn2 （mn）

⑸x(x-y)2-y(x-y) (x-y)

【初一学生自控能力不强，上课时注意力易分散，注意力集中时间较短，对数学概念的理解肤浅，对规律的应用生搬硬套，针对学生的这种特点，教师在教学中创设抢答，引起学生兴趣，积极参与教学进程，争做课堂的主人。】

说明:本活动也可以改为寻找公因式游戏如:(根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的公因式.)

⑴ax+ay-a ⑵5x2y3-10x2y ⑶24abc-9a2b2 ⑷m2n+mn2 ⑸x(x-y)2-y(x-y)

a, x, y 5xy,5x2y3,5x2y 3abc,9ab,3ab mn,m2n,mn2 x(x-y),y(x-y),(x-y)

游戏规则:准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中3个同学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由。

显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）

⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）

⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂

（让学生在游戏中团结协作，自主探索出方法，有利于发展思维能力及培养学生归纳总结表达交流的能力，打破了传统的由教师讲授找公因式的方法，学生被动接受；补充⑸是想让学生了解公因式也可以是多项式。）

根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b）

这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。

㈣例题教学，运用新知

例1．把3pq3+15p3q分解因式

通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式

解：3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq(q2+5p2)

让学生口答：把2x3+6x2分解因式

【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能，但真正达到掌握知识与技能，还需要教师示范，学生模仿性学习，经过规范化的示范，就能逐步培养学生严谨的思维，正确的计算能力。】说明：⑴应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取.

⑵刚开始讲,最好把公因式单独写出。①以显提醒②强调提公因式③强调因式分解

课堂练习：P156T1

例2．把4x2-8ax+2x分解因式（让学生做，教师下去观察并选择有代表性的解答。）

学生可能出现的解答：①4x2-8ax+2x=x（4x-8a+2）②4x2-8ax+2x=2（2x2-4ax+x）

③4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）④4x2-8ax+2x=2x（2x-2a+1）

⑤4x2-8ax+2x=2x（2x-8ax+2x）

教师出示学生的解答，可先让学生自行点评，找出分解因式的错误，而且这些错误都是以后学生练习中的常犯错误，接着由教师总结。这样做比教师直接给出可能会更有效。

【先让学生自己动手做，暴露他们的错误，然后再进行点评，加深他们的记忆。】

分析：找出公因式2x，强调多项式中2x=2x×1

解：4x2-8ax+2x=2x×2x-2x×4a+2x×1=2x（2x-4a+1）

说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。这类题常有学生犯下面的错误：4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）

注意：提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。

例3．把-3ab+6abx-9aby分解因式

【让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点】

学生可能会指出字母的个数不同…（只要学生说得合理，教师应及时给予肯定与鼓励）

他们很快就会发现第一项的系数是“-”的，那么如何转化呢？

【由学生各述己见，教师不加评定，然后集体总结学生思维中的闪光点。】

应先把它转化成前面的情形，便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，教师可适当地引出添括号法则，可谓解决“燃尾之急”。

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。

课堂练习：P156T 2【巩固添括号法则】

解：-3ab+6abx-9aby=-（3ab-6abx+9aby）=-3ab（1-2x+3y）

说明：通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则要提出负因数，此时一定要把各项变号。由此总结出提取公因式法的一般步骤。见P155

课堂练习：P156T3