第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度(解析版)

第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度
1．（2021·全国）卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。

应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。

已知引力常量G ＝6.67×10
﹣11
N •m 2/kg 2，地面上的重力加速度g ＝9.8m/s 2，地球
半径R ＝6.4×106m ，则地球质量约为（ ） A ．6×1018kg B ．6×1020 kg
C ．6×1022 kg
D ．6×1024 kg
【解答】解：根据公式GMm R 2
=mg 可得M =gR 2G =9.8×(6.4×106)
2
6.67×10
−11kg ＝6×1024kg ，故ABC 错误，D 正确。

故选：D 。

2．（2021·乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。

科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU ）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。

这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。

若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M ，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A ．4×104M
B ．4×106M
C ．4×108M
D ．4×1010M
【解答】解：设地球的质量为m ，地球到太阳的距离为r ＝1AU ，地球的公转周期为T ＝1年；
由万有引力提供向心力可得：GMm r 2
=mr
4π2T 2
，
解得：M =
4π2r 3
GT 2
； 对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R ＝1000AU ， 根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期
T′2
=（2002﹣1994）年＝8年，则周期
为T ′＝16年，
根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出：M 黑=4π2R 3GT′
2
，其中R 为S 2的轨迹半
长轴， 因此有：M 黑=R 3T 2r 3T′
2M ，代入数据解得：M
黑
≈4×106M ，故B 正确，ACD 错误。

故选：B 。

一.知识回顾
1．万有引力定律
F ＝
G m 1m 2
r 2，式中G 为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时的
相互吸引力。

引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。

测定G 值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。

（1）．万有引力的特点 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
在以下三种情况下可以直接使用公式F ＝G m 1m 2
r
2计算：
①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r 表示两质点间的距离。

②求两个质量分布均匀的球体间的万有引力：公式中的r 为两个球心间的距离。

③一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力：r 指质点到球心的距离。

(3)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F ＝G m 1m 2
r
2得出r →0时F →∞的结论，违背公式的物理含义。

(4)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.
2．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：
一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向． 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。

在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。

在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。

(1)在赤道上：G Mm
R 2＝mg 1＋mω2R .
(2)在两极上：G Mm
R
2＝mg 0.
(3)在一般位置：万有引力G Mm
R 2等于重力mg 与向心力F 向
的矢量和．
越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMm R
2＝mg .
（3）重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响
很小，一般情况下认为在地面附近：mg ＝G m 地m R 2。

若距离地面的高度为h ，则mg ′＝G
m 地m
R ＋h 2
(R 为地球半径，g ′为离地面h 高度处的重力加速度)，可得g ′＝
Gm 地
R ＋h 2＝
R 2
R ＋h
2g ，所
以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。

.所以g
g ′＝
R ＋h 2
R 2
.
3.天体质量、密度的计算
使用方法
已知量 利用公式 表达式 备注
质量的计算
利用运行天体
r 、T G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝4π2r 3GT 2
只能得到中心天体的质量 r 、v
G Mm r 2＝m v 2r M ＝rv 2G
v 、T
G Mm r 2＝m v 2r G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝v 3T 2πG
利用天体表面重力加速度 g 、R
mg ＝GMm R 2
M ＝gR 2G
密度的计算
利用运行天体 r 、T 、R
G Mm
r 2＝mr 4π2
T 2 M ＝ρ·43πR 3
ρ＝3πr 3GT 2R 3 当r ＝R 时ρ＝
3πGT 2 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g 、R
mg ＝GMm R
2
ρ＝3g 4πGR
M ＝ρ·43
πR 3
4. 估算天体质量、密度时的注意事项与易错点：
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。

(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近运动的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝4
3
πR 3中的R 只能是中心天体的半径。

(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有GMm
R 2＝mg 。

二.例题精析
例（多选）1．2020年7月23日，中国火星探测器“天问一号”在文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，目前它已经进入环绕火星的轨道。

假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星自转的影响，万有引力常量为G ，仅利用以上数据，可以计算出（ ） A ．火星的质量
B ．火星的密度
C ．火星对“天问一号”探测器的引力
D ．火星绕太阳运动的公转周期
【解答】解：ABC ．设火星的质量为M ，半径为R ，“天问一号”质量为m ，则根据万有引力提供向心力可得： G
Mm (R+ℎ1)2=m
4π2
T 1
2(R +ℎ1) G Mm
(R+ℎ2)
2=m 4π2
T 22(R +ℎ2) 通过联立两个方程可以求得两个未知量M 和R ，根据密度的计算公式可以求得火星的密度；
因为天问一号的质量未知，无法求火星对“天问一号”探测器的引力，故AB 正确，C 错误；
D ．火星到太阳的距离未知，太阳的质量未知，故无法求火星绕太阳运动的公转周期，故D 错误。

故选：AB 。

例2．我国首个探月探测器“嫦娥四号”，于2019年1月3日成功降落在月球背面的艾特肯
盆地内的冯一卡门撞击坑内，震惊了世界。

着陆前，探测器先在很接近月面、距月面高度仅为h 处悬停，之后关闭推进器，经过时间t 自由下落到月球表面。

已知万有引力常量为G 和月球半径为R 。

则下列说法正确的是（ ） A ．探测器落地时的速度大小为ℎ
t
B ．月球表面重力加速度大小为ℎ
2t 2
C ．月球的质量为
ℎR 2
2Gt 2
D ．月球的平均密度为
3ℎ2πGRt 2
【解答】解：B ．根据ℎ=12
g 月t 2可得月球表面的重力加速度为：g 月=
2ℎ
t 2
，故B 错误； A ．根据v ＝g 月t 解得探测器落地时的速度大小为：v =g 月t =2ℎ
t ，故A 错误；
C ．根据月球表面的重力等于万有引力可得：G Mm R
2=mg 月，解得月球质量为：M =2ℎR 2
Gt 2，
故C 错误； D 、根据ρ=M V ，其中V =43πR 3，可得月球的平均密度：ρ=M 43
πR 3=3ℎ
2πGRt 2，故D 正确。

故选：D 。

例3．2021年6月17日上午9点22分我国“神舟”十二号载人飞船发射圆满成功，不久前我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量G ，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ） A ．核心舱的质量和绕地半径
B ．核心舱的质量和绕地周期
C ．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D ．核心舱的绕地线速度和绕地半径
【解答】解：根据万有引力提供向心力，则有：
GMm r 2
=mr
4π2T 2
，解得M =
4π2r 3
GT 2。

A 、不知道核心舱的绕地周期，根据M =4π2r 3
GT 2
可知，无法计算地球质量，故A 错误；
B 、不知道核心舱的绕地半径，根据M =
4π2r 3
GT
2可知，无法计算地球质量，故B 错误； C 、已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，无法计算核心舱的轨道半径，根据M =4π2r 3
GT 2
可知，无法计算地球质量，故C 错误；
D 、已知核心舱的绕地线速度和绕地半径，由万有引力提供向心力有：
GMm r 2
=m
v 2r
，解
得：M =rv 2
G
，故D 正确。

故选：D 。

例4．北京时间2021年5月15日，在经历“黑色九分钟”后，中国首辆火星车“祝融号”与着陆器成功登陆火星，这也意味着“天问一号”火星探测器已经实现了“绕”和“落”两项目标。

火星可以看成半径为R ，质量分布均匀，不断自转的球体。

“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周时间为T 。

“祝融号”与着陆器总质量为m ，假如登陆后运动到火星赤道，静止时对水平地面压力大小为F ，引力常量为G ，下列说法正确的是（ ）
A ．火星自转角速度大小为
2πT
B ．火星自转角速度大小为√
4π2T 2
−F
mR C ．火星的质量为FR 2Gm
D ．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度小于火星赤道上物体随火星自转的加速度
【解答】解：AB 、“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周时间为T ，“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的角速度大小为2πT
；
则“祝融号”与着陆器在火星表面的万有引力为：F 万＝mR 4π2T 2
，在火星赤道上静止时对
水平地面压力大小为F ，则向心力为：F 向＝F 万﹣F ； 根据牛顿第二定律可得：F 向＝mR ω2 联立解得火星自转角速度大小为：ω=√
4π2T
2−F
mR ，故A 错误、B 正确； C 、根据万有引力和重力的关系可得：GMm R 2
=F+F 向，解得：M =
(F 向
+F)R 2
Gm
，故C 错误；
D 、根据牛顿第二定律可得F 万=GMm
R 2
=ma ，解得“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度a =
GM
R 2
； 火星赤道上物体随火星自转的加速度为：a 向=F
向
m =GM R
2−F
m ；
所以“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度大于火星赤道上物体随火星自转的加速度，故D 错误。

故选：B 。

三.举一反三，巩固练习
1. 中华民族几千年来为实现飞离地球、遨游太空的千年梦想而进行的不断尝试和努力。

新
中国成立以来，中国航天事业的蓬勃发展，载人航天的千年梦想终于实现了。

宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做了如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m 的小球，上端固定于O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F 大小随时间t 的变化规律如图乙所示。

F 1＝4F 2，设R 、m 、引力常量G 和F 1为已知量，忽略各种阻力。

下列说法正确的是（ ）
A ．该星球表面的重力加速度为
F 14m
B ．卫星绕该星球的第一宇宙速度为√Gm
R C ．星球的密度为
3F 132πGmR
D ．小球过最高点的最小速度为0
【解答】解：A 、设小球在最低点时细线的拉力为F 1，速度为v 1，根据牛顿第二定律可得：F 1﹣mg ＝m
v 1
2r
，
设砝码在最高点细线的拉力为F 2，速度为v 2，则F 2﹣mg ＝m
v 2
2r
，
取绳子最低点所在平面为零势能面，由机械能守恒定律得mg •2r +1
2
mv 22=12
mv 12
联立解得：g =
F 1−F 2
6m
，而F 1＝4F 2， 所以该星球表面的重力加速度为g =F
1
8m ，故A 错误；
B 、第一宇宙速度等于卫星贴近地面做匀速圆周运动的环绕速度，设星球质量为M ，根据万有引力提供向心力的GMm R 2
=m
v 2
R
，卫星绕该星球的第一宇宙速度为v =√GM
R ，故B 错误；
C 、在星球表面，万有引力近似等于重力
GMm R 2
=mg ，联立得：M =F 1R 2
8Gm ，星球的体积V =
43πR 3
，则星球的密度ρ=M V ，解得：ρ=3F 132πGmR
，故C 正确；
D 、小球在最高点受重力和绳子拉力，根据牛顿运动定律F 2﹣mg ＝m
v 2
2r
，当绳子拉力为
0时，小球过最高点速度最小，所以小球在最高点的最小速度v =√gr ，故D 错误。

故选：C 。

2. 随着“天问一号”火星探测器的发射，人类终将揭开火星的神秘面纱，“天问一号”接
近火星附近时首先进入轨道1、然后再经过两次变轨，最终“天问一号”在火星表面附近的轨道3上环绕火星做匀速圆周运动，其简易图如图所示，已知万有引力常量为G 。

则下列说法正确的是（ ）
A ．“天问一号”在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期
B ．“天问一号”若从轨道1变轨到轨道2，需在A 点朝运动的反方向喷气
C ．如果已知火星的半径和“天问一号”在轨道3上运行的周期，可求火星表面的重力加速度
D ．如果已知“天问一号”在轨道3上运行的角速度，可求火星的平均密度 【解答】解：A 、根据开普勒第三定律可得
r 3T 2
=k ，“天问一号”在轨道1上运行的轨道半
长轴大于在轨道3上运行的轨道半径，则“天问一号”在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期，故A 正确；
B 、“天问一号”若从轨道1变轨到轨道2，需在A 点朝运动的方向喷气使其减速做向心运动，故B 错误；
C 、根据万有引力和重力的关系可得GM r 2
=mg ，解得g =GM
r 2
， 根据万有引力提供向心力，则有：
GMm r 2
=mr
4π2T 2
，解得GM =
4π2r 3
T 2。

联立解得：g =4π2r 3
T 2R
2，由于不知道“天问一号”在轨道3上运行的轨道半径，所以即使知
道火星的半径R 和“天问一号”在轨道3上运行的周期T ，也无法求出火星表面的重力加速度，故C 错误；
D 、由万有引力提供向心力有：
GMm r 2
=mr ω2
，解得：M =r 3ω2
G
根据密度的计算公式可得：ρ=M 43
πR 3=3r 3ω2
4πR 3 如果已知“天问一号”在轨道3上运行的角速度，不知道火星半径和卫星的轨道半径，
无法求解火星的平均密度，故D 错误。

故选：A 。

3. 2021年5月15日，中国火星探测任务“天问一号”的火星车祝融号着陆在火星表面，
这是中国火星探测史上的一个历史性时刻，若已知万有引力常量G ，那么结合以下假设条件，可以求出火星质量的是（ ）
A ．在火星表面让一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H 和时间t
B ．让“天问一号”贴近火星表面绕星球做匀速圆周运动，测出运行周期T
C ．让“天问一号”在高空绕火星做匀速圆周运动，测出其运行线速度v 和运行周期T
D ．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的圆周运动直径D 和运行周期T 【解答】解：A 、在火星表面让一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H 和时间t ，根据H =1
2gt 2求得重力加速度：g =2H
t 2
； 根据万有引力和重力的关系可得：GMm R 2
=mg ，由于火星的半径不知道，无法求解火星的
质量，故A 错误；
B 、让“天问一号”贴近火星表面绕星球做匀速圆周运动，测出运行周期T ，根据万有引力提供向心力可得：
GMm R 2
=mR 4π2
T 2，解得：M =4π2R 3
GT
2，由于火星的半径不知道，无法求解火星的质量，故B 错误；
C 、让“天问一号”在高空绕火星做匀速圆周运动，测出其运行线速度v 和运行周期T ，根据T =2πr
v 可得轨道半径为：r =vT
2π； 根据万有引力提供向心力可得：
GMm r 2
=mr
4π2T 2
，解得：M =
4π2r 3GT 2
=v 3T
4πG ，故C 正确； D 、观察火星绕太阳的匀速圆周运动，火星的质量在计算中约去，所以无法测出火星的质量，故D 错误。

故选：C 。

4. 环绕探测是进行火星探测的主要方式之一。

已知环绕器在距离火星表面高为h 的圆形
轨道上运行周期为T ，火星半径为R ，万有引力常量为G ，则火星的质量及其表面重力加速度分别是（ ）
A ．M =4π2R 3GT 2；g =4π2R
T 2
B ．M =4π2(R+ℎ)3
GT 2；g =4π2R
T 2
C ．M =4π2(R+ℎ)3GT 2；g =4π2(R+ℎ)
T
2
D ．M =4π2(R+ℎ)3GT 2；g =4π2(R+ℎ)
3
T 2R
2
【解答】解：环绕器的轨道半径r ＝R+h ，设火星的质量为M ，环绕器的质量为m ，根据万有引力提供向心力可得：
GMm r 2
=mr 4π2
T 2，解得：M =4π2(R+ℎ)3
GT 2
；
根据万有引力和重力的关系可得：
GMm R 2
=mg
解得：g =4π2(R+ℎ)
3
T 2R 2
，故D 正确、ABC 错误。

故选：D 。

5. 地球半径R ，地球表面的重力加速度g ，现有质量为m 的卫星，在距地球表面2R 的轨
道上做匀速圆周运动，则正确的是（ ） A ．卫星的动能为
mgR 4
B ．卫星的角速度为√
g 27R
C ．卫星与地球间的万有引力为mg
D ．地球的密度为
3m 4πR 3
【解答】解：ABC 、根据万有引力提供向心力有：F =
GMm (3R)
3
=m
v 2
3R =m •3R ω2，在地球表
面附近有：
GMm′R 2
=m'g ，解得：v =√gR
3，ω=√g
27R ，动能E k =1
2mv 2=
mgR
6
，故AC 错误，B 正确；
D 、根据密度的计算公式有：ρ=M 43
πR 3，解得：ρ=3g
4GπR ，故D 错误； 故选：B 。

6. 同步卫星距离地面高度为h ，地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，地球自转周期
为T 1，近地卫星周期为T 2，万有引力常量为G ，则下列关于地球质量及密度表达式正确的是（ ） A ．地球的质量为4π2ℎ3
GT 1
2 B ．地球的质量为
gR 2G
C ．地球的平均密度为
3πℎ3GT 1
2R 3
D ．地球的平均密度为
3π
GT 1
【解答】解：A 、设同步卫星的轨道半径为r ，则：r ＝R+h 。

根据万有引力提供向心力可得：GMm
r 2=mr 4π2
T 12，解得M =4π2r 3GT 12，故A 错误； B 、根据万有引力和重力的关系可得：GMm
R 2=mg ，解得：M =R 2g G ，故B 正确；
C 、根据密度的计算公式可得ρ=M V ，其中V =43πR 3，代入M =4π2r 3GT 12，可得：ρ=3πr 3GT 1
2R 3，故C 错误；
D 、近地卫星周期为T 2，根据万有引力提供向心力可得：
GMm R 2=mR 4π2T 22，解得M =4π2R 3GT 22， 根据密度的计算公式可得ρ=
M V =3πGT 22，故D 错误。

故选：B 。

7. （1）开普勒行星运动第三定律指出，行星绕太阳运动的椭圆轨道的正半长轴a 的三次
方与它的公转周期T 的二次方成正比，即a 3
T 2=k ，k 是一个所有行星都相同的常量，将
行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k 的表达式．已知引力常量为G ，太阳的质量为Ms ．
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．经测定月地距离为3.84×108m ，月球绕地球运动的周期为2.36×106s ．试计算地球的质量M B （G ＝6.67×10﹣11N ⋅m 2/kg 2，结果保留一位有效数字）。

（3）开普勒第二定律指出，行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等．设火星公转半径为r 1，地球公转半径为r 2，定义“面积速度”为单位时间内扫过的面积．火星、地球公转的“面积速度”之比为多大？
【解答】解：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，设轨道的半径为r 。

根据万有引力定律和牛顿第二定律有：G
M S m r 2=m(2πT )2r 根据开普勒第三定律有：
r 3T 2=k 解得：k =G 4π2M S
（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R ，周期为T 1，根据万有引力提供向心力有：G M B m 1
R 2=m 1(2π
T 1)2R 解得：M B =6×1024kg
（3）在时间t 内，行星与太阳连线扫过的面积为：s =12rvt
根据万有引力提供向心力有：G M S m r 2=m v 2r
解得：s =12
√GMrt 对于不同的公转半径r 1、r 2有：s 1
s 2=√r 1r 2。