江苏省南京市第二十九中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题 Word版含答案
江苏省南京市鼓楼区第二十九中学、鼓实四校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(含答案)
2022—2023学年第一学期期中学情调研测试八年级数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（ ）A ．1，1，2B ．2，3，4C ．3，4，5D ．4，5，62．下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．关于全等图形的描述，下列说法正确的是（ ） A ．形状相同的图形 B ．面积相等的图形C ．能够完全重合的图形D ．周长相等的图形4．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．185．如图，有两个三棱锥，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC ，△ACD ，△EFG ，△EGH ．若∠ACB =∠CAD =∠EFG =∠EGH =70°，∠BAC =∠ACD =∠EGF =∠EHG =50°，则下列叙述正确的是（ ）A ．甲、乙全等，丙、丁全等B ．甲、乙全等，丙、丁不全等C ．甲、乙不全等，丙、丁全等D ．甲、乙不全等，丙、丁不全等 6．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 是BC 上的一点，且BD =2，DC =3，则22AB AD的值为（ ）A ．4B ．9C ．16D ．25二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．已知等腰△ABC ，AC =AB ，∠A =70°，则∠B =______°．8．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，如果CD =2.4cm ，那么AB =______cm ．9．等腰三角形的____________互相重合．10．如图，用符号语言表示“角平分线上的点到角的两边距离相等”：因为______，所以PC=PD．11．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D．请添加一个条件______，使△ABF≌△DCE．12．如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为______．13．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD：②CB=CD；③△ABC≌△ADC：④DA=DC．其中正确结论的序号是______．14．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P 是BC边上一动点，则DP长的最小值为______．。
南京市第二十九中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(解析版)
【解析】
【分析】对于选项 A：利用分步计数原理求解判断；对于选项 B：按 1，1，2 分组求解判断；
对于选项 C：根据每家企业至少分派 1 名医生，且医生甲必须到 A 企业，分 A 企业分 2 人和
1 人两类求解判断；对于选项 D：分 C 企业没有派医生去和派 1 名医生两类求解判断.
【详解】对于选项 A：所有不同分派方案共有 34 种，故错误；
【详解】2 至 8 这 7 个数中质数有 4 个，从 7 个数中取 2 个，共有 C72 21个结果，
取出
2
个数都为质数，有 C24
6
个结果，所以所求概率
P
6 21
2 7
．
故选：B
4. 已知 m 0 ，且152022 m 恰能被 14 整除，则 m 的取值可以是（ ）
A. 1
B. 12
C. 7
2023x1
C 1 1 2022 2023
2022x1
2022
2023x
2023
2022x
0
，
所以，1 x4 1 2x5 1 2023x 2022 1 2022x 2023 的展开式中含 x 的项为 6x，其系
数q 6．
依题意得 m n p C62 C36 C64 15 20 15 50 ，
3
2
2 3
6
2
2 3
3.
故选：C
2.
设
P(A|B)＝P(B|A)＝
1 2
，P(A)＝ 1 3
，则 P(B)等于（
）
A. 1
2
【答案】B 【解析】
1
B.
3
1
C.
4
1
D.
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．函数的导数是（ ）()cos 2f x x =A ．B ．C ．D ．2cos 2x 2cos 2x-2sin 2x2sin 2x-D【分析】根据复合函数求导法则即可求解.【详解】令，则.2u x =cos y u =(cos )()(sin )sin .x u x y y u u x u x '''=⋅=⋅=-=-''2222故选：D2．函数f (x )＝ex －ex ，x ∈的单调递增区间是（ ）R A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)D【分析】求得，令，即可求得单调增区间.()f x '()0f x '>【详解】由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故的单调增区间为.()f x ()1,+∞故选：D.本题考查利用导数研究函数的单调区间，属简单题.3．2021年重庆市实行“”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，312++物理、历史两科中选择1科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（ ）A ．8种B ．12种C ．15种D ．20种B【分析】先求得物理､历史两科中选择1科的选法，再求得政治､地理､化学､生物四科中选择2科的选法，根据乘法计数原理，即可求得答案.【详解】解：由题意得：物理､历史两科中选择1科，有种选法，122C =政治､地理､化学､生物四科中选择2科，有种选法，246C =所以学生不同的选科方案共有种.2612⨯=故选：B4．已知函数f (x )可导，且满足，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导0(3)l (m2i 3)x f f x x ∆→-+∆=∆数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2B【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以()()()()()3333limlim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆.()32f '=-故选：B.5．已知函数的图象在处的切线与函数的图象相切，则实数()2f x x =1x =()e xg x a ==a A BCD．B【分析】先求函数的图象在处的切线，再根据该切线也是函数()2f x x =1x =图象的切线，设出切点即可求解.()e xg x a =【详解】由，得，则，()2f x x =()2f x x'=()12f '=又，所以函数的图象在处的切线为，即.(1)1f =()2f x x =1x =12(1)y x -=-21y x =-设与函数的图象相切于点,21y x =-()e x g x a =00(,)x y 由，可得e ()x g x a '=0000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==故选B.本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，25C 看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方254!240C ⨯=案，故选：C.本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7．设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最x t =2(),()ln f x x g x x ==,M N MN 小时的值为tA ．1B ．CD 12D【详解】由题，不妨令，则，令2ln MN x x=-(0)x >2()ln h x x x =-1'()2h x x x =-解得时，，当时，，所'()0h x =x x ∈'()0h x <)x ∈+∞'()0h x >以当时，达到最小．即．x =MN t =8．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则()f x ()0+∞，()*()k f x y k x =∈N ()0+∞，称为“阶比增函数”．若函数为“阶比增函数"，则实数的()f x k 2()ln f x m x x x =+-1m 取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A【分析】由题知在上为增函数，故令()ln f x mx x x x =+-()0+∞，，进而在上恒成立，()ln ,0mg x x x x x =+->()2221'10m x x m g x x x x --=-+-=≥()0+∞，即在上恒成立，再求函数最值即可．2m x x ≤-()0+∞，()2,0y x x x =-∈+∞，【详解】解：因为函数为“阶比增函数”，2()ln f x m x x x =+-1所以函数在上为增函数，()ln f x mx x x x =+-()0+∞，所以令，()ln ,0mg x x x x x =+->故在上恒成立，()2221'10m x x mg x x x x --=-+-=≥()0+∞，所以在上恒成立，2m x x ≤-()0+∞，由于，()22111,0244y x x x x ⎛⎫=-=--≥-∈+∞ ⎪⎝⎭，所以.()2min14m x x ≤-=-故实数的取值范围是m 1,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦故选：A 二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）()y f x =()y f x '=A ．函数在处取得最小值B ．是函数的极值点()y f x =4x =-0x =()y f x =C ．在区间上单调递增D ．在处切线的斜率大于零()y f x =(4,1)-()y f x =1x =ACD【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，(,4)x ∈-∞-()0f x '<(4,)x ∈-+∞，()0f x '≥函数在上单调递减，在上单调递增，且故C 正确；∴()y f x =(,4)-∞-(4,)-+∞易知函数在处取得最小值，故正确；()y f x =4x =-A 在上单调递增，故不是函数的极值点，故B 不正确； (4,)-+∞0x =()y f x =函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D 正确.()y f x =1x =∴故选：ACD ．10．函数的一个零点在区间内，则实数a 的可能取值是（ ）2()2x f x ax =--(1,2)A ．0B ．1C ．2D ．3BC【分析】根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定()22x f x a x =--理可得，从而可得结果.()()120f f <【详解】因为函数在定义域上单调递增，22x y y x ==-、{}0x x ≠所以函数在上单调递增，()22x f x a x =--{}0x x ≠由函数的一个零点在区间内，()22x f x a x =--()1,2得，()()()()12(22)(41)30f f a a a a ⨯=----=-⨯-<解得,0<<3a 故选：BC11．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（ ）A ．组成的三位数的个数为60B ．在组成的三位数中，偶数的个数为30C ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20D ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24BC【分析】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，然后利用分步乘法原理即可判断；对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为，②个位数为或，然后根024据分步乘法原理及分类加法原理即可判断；对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为，②十位为，③十位为，然后根012据分步乘法原理及分类加法原理即可得判断.【详解】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为，故A 不正确；124444348A A =⨯⨯=对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为，则有种，0244312A =⨯=②个位数为或，则有种，24A A A =⨯⨯=11123323318所以在组成的三位数中，偶数的个数为，故B 正确；121830+=对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为，则有种，0244312A =⨯=②十位为，则有种，123326A =⨯=③十位为，则有种,222212A =⨯=所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为， 故C 正确，D 不正确.126220++=故选：BC.12．已知函数有两个互异的极值点，下列32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠()1212,x x x x <说话正确的是（ ）A ．230b ac ->B ．有三个零点的充要条件是12()()0f x f x <C ．时，在区间上单调递减0a >()f x 12(,)x x D ．时，为极大值，为极小值0a <1()f x 2()f x ABC求导，根据有两个互异的极值点逐项验证.2()32f x ax bx c '=++()f x ()1212,x x x x <【详解】因为函数，32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠所以，2()32f x ax bx c '=++因为有两个互异的极值点，()f x ()1212,x x x x <所以，故A 正确；()()22212430b ac b ac ∆=-=->所以若有三个零点则，故B 正确；()f x 12()()0f x f x <当时，开口向上，则时，，所以区0a >2()32f x ax bx c '=++12(,)x x x ∈()0f x '<()f x 间上单调递减，故C 正确；12(,)x x 当时，当或时，，当时，，所以为极0a <1x x <2x x >()0f x '<12x x x <<()0f x '>1()f x小值，为极大值，故D 错误；2()f x 故选：ABC本题主要考查导数与函数的极值，导数与函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题13．已知，则________．34m m C C =21889m m m C C C --++=120【分析】根据已知条件及组合数公式求得，再利用组合数的性质m 递推关系及组合数公式即可求解11m m m n n nC C C -+=+【详解】由，得，解得.34mmC C=!!!()!!()!m m m m =--33447m =所以.562188988997677910120m m m C C C C C C C C C --++=++==+=故答案为.12014．若函数的极值点为，则__________．()e xf x x =0x x =()0f x =1e -1e--【分析】根据求导公式和运算法则可得，结合极值点的定义求出()e e x xf x x ='+，进而求出即可.01x =-(1)f -【详解】由题意得，，所以，()e x f x x =()e e x x f x x ='+因为是函数的极值点，0x x =()f x 所以，即，0000()e e 0x x f x x '=+=00e (1)0x x +=解得，易得－1是极小值点，所以.01x =-01()(1)e f x f =-=-故答案为.1e-15．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，且每人左右两边都有空位的坐法种数为____________．120【分析】根据题意，先排好7个空座位，由于空座位是相同的，形成6个空位是符合条件的，再将甲、乙、丙3人安排到这6个空位上即可.【详解】解：10个座位中，除了甲、乙、丙3人的座位，还有7个座位，形成6个空位，所以只需将甲、乙、丙3人安排到这6个空位上即可，故有（种）.36654120A =´´=所以每人左右两边都有空位的坐法种数为.120故120四、双空题16．己知函数，若，且，则实数k 的取值范231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩n m >()()f n f m k ==围为_______，设，则t 的取值范围为______________．t n m =- 04k <≤171,12⎤⎥⎦【分析】画出函数图象，由图象得出k 的取值范围，用表示出，结合二次函数的n m 性质求得的取值范围.t n m =-【详解】画出图象如下图所示，()fx 当时，，令，解得1x =(1)3114f =⨯+=()2140x x -=>x =因为，()()f n f m k ==由图象可知，；04k <≤由得，，且()(),n m f n f m >=2311m n+=-223n m -=1n <所以，(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值为131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭t，当取得最小值为.2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭n =t212133-⨯+=所以的取值范围是.t 171,12⎤-⎥⎦故；.04k <≤171,12⎤⎥⎦五、解答题17．已知函数．2ln y x x =(1)求这个函数的图象在处的切线方程；1x =(2)若过点的直线l 与这个函数图象相切，求l 的方程．(0,0)(1)；1y x =-(2).1e y x=-【分析】(1)令，根据导数的几何意义求出，结合和直线的点斜()y f x =(1)f '(1)0f =式方程即可求出切线方程；(2)设切点为，根据导数的几何意义和两点坐标求直线斜率公式分别求出切2000(,ln )x x x 线的斜率，列出方程，解方程可得，进而求出斜率，利用直线的点斜式方程即10e -=x 可得出结果.【详解】(1)令，则，()y f x =2()ln f x x x =函数的定义域为，，()f x (0,)+∞()2ln f x x x x '=+所以，又，(1)2ln111f '=+=(1)0f =所以函数在处的切线方程为；1x =1y x =-(2)设切点为，2000(,ln )x x x 由(1)知，，0000()2ln f x x x x '=+又直线l 的斜率为，200000ln ln l x x k x x x ==有，解得，0002ln x x x +00ln x x =10e -=x 所以，100ln e l k x x -==-所以直线l 的方程为.1e y x=-18．(1)若，求正整数；33210n n A A =n (2)已知，求.56711710n n nC C C -=8n C (1)8(2)28【分析】（1）利用排列数公式可得，即求；()()()()221221012n n n n n n --=--（2）利用组合数公式可得，即求.223420n n -+=【详解】(1)由得，33210n n A A =，又，()()()()221221012n n n n n n --=--*3,N n n ≥∈∴，即，()()22152n n -=-8n =∴正整数为8.n (2)由得，56711710n n nC C C -=，()()()!5!!6!7!7!5!6!107!n n n n n n --⨯--=⨯∴即，()()6761660n n n ----=223420n n -+=解得或，又，2n =21n =05n ≤≤∴，2n =∴.88228n C C ==19．新冠疫情爆发后，某企业利用部分人工转产口罩.每生产万件(每件5个口罩)，x 需投入固定成本5万元，流动成本万元，当月产量小于7万件时，()C x (万元)；当月产量不小于7万件时，(万元).口()2123C x x x=+()36ln 17e C x x x x =++-罩销售价为6元/件，且生产的口罩能全部售出.（1）写出月利润(万元)关于月产量(万件)的函数解析式；(注：月利润月销售()p x x =收入固定成本流动成本)--（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？（1）；（2）当月产量约为万件时，所获月利润最大，()23145,07312ln ,7x x x p x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩3e 最大利润为8万元.（1）根据月利润等于销售额减去投入总成本减去固定成本，分时和两种07x <<7x ≥情况，得到关于的分段函数关系式；()p x x （2）当时，根据二次函数求最大值的方法求的最大值，当时，根07x <<()p x 7x ≥据函数的单调性求最大值，最后比较取最大的即可.【详解】（1）口罩销售价为6元/件，则万件口罩销售收入为万元.x 6x 依题意得，当时，，07x <<()22116254533p x x x x x x =---=-+-当时，，7x ≥()33661712l ln 5n x e e p x x x x x x ⎛⎫=-++--=--⎪⎝⎭∴，()23145,07312ln ,7x x x p x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，07x <<()()21673p x x =--+∴当时，的最大值为(万元)，6x =()p x ()67p =当时，，∴，7x ≥()3ln 12x e p x x =--()33221e e xp x x x x -'=-+=∴当时，单调递增，当，单调递减，37x e ≤<()p x 3x e ≥()p x ∴当时，取最大值(万元)，3x e =()p x ()3312ln 18p e e=--=∵，∴当时，取得最大值8万元，87>3x e =()p x 当月产量约为万件时，所获月利润最大，最大利润为8万元.3e 本题主要考查了根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及利用函数的单调性求最值的能力，属于中档题.20．设函数．()()1ln 0f x ax x a x=+>（1）当时，求的极值；1a =()f x（2）如果≥在上恒成立，求实数的取值范围．()f x ax ()0,∞+a （1）有极小值，没有极大值；（2）．()11f =20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【详解】试题分析：（1）当时，求导令导函数等于零，列表，通过表格找到函数1a =极值即可；（2）求恒成立问题一般要分离参数，构造函数求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范围.a 试题解析：（1）由已知，当时，，∴，1a =()1ln f x x x x =+()21ln 1f x x x +-'=()312f x x x +'=>'∴在上单调递增，且，()f x '()0,+∞()10f '=，随变化如下表：()f x '()f x x x()0,11()1,+∞()f x '-+()f x ↘极小值↗∴有极小值，没有极大值． ()f x ()11f =（2）（方法一）由题可得恒成立，()211ln a x x -≤当时，上式恒成立；x e ≥当时，，又，故0x e <<()211ln a x x ≤-0a >()211ln x x a≥-令，则， 令，()()21ln h x x x =-()()12ln h x x x =-'()0h x '=x =∴当 时， ，0x <<()0h x '>x e <<()0h x '<∴，()(max 12eh x he ==-=∴，解得：，∴的取值范围是． 12ea ≥20a e <≤a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（方法二）由题可得， 设，则，()()1ln ,0g x ax x ax x x =+->()21ln g x a x x ='-∵，∴在上单调递增，，，0a >()g x '()0,+∞()110g '=-<12110a ag e e ⎛⎫=-> ⎪'⎝⎭∴使得，则， 101,a x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x '=2001ln a x x =由知，且时， ，时， ，0a >01x >00x x <<()0g x '<0x x >()0g x '>∴，∴，∴∴，()()00min 002ln 10ln x g x g x x x -==≥01ln 2x ≥0x ≥2a e ≤∴的取值范围是．a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（方法三）由题可得恒成立，()21ln 0f x a ax a xx -=+-≥令，则， ()21ln h x a x a x =+-()h x'=∴时， ，0x<<()0h x '<x >，∴，()0h x '>()min 20h x a a ==≥∴，解得：，∴的取值范围是． 2ln 1a ≥2a e ≤a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦21．如图，从左到右共有5个空格.（1）向5个空格中放入0，1，2，3，4这5个数，一共可组成多少个不同的5位奇数；（2）用红，黄，蓝三种颜色给5个空格上色，要求相邻空格不同色，问一共有多少种涂色方案；（3）向这5个空格中放入7个不同的小球，要求每个空格都有球，则有多少种不同的方法？（1）36个；（2）48种；（3）16800种.【分析】（1）先排个位，再排首位，最后排其他位置，并用分步计数原理求解即可；（2）按要求分析每个格子的颜色数量，顺序填涂，用分步计数原理求解即可；（3）由题意可先分成5堆，在把分好的5堆排到5个位置即可求解【详解】（1）个位有放法，首位有放法，其余三位任意放，12C 13C 共有个五位奇数.11323336C C A =（2）第⼀个格⼦有3种涂色方案，剩下每个格⼦均有2种涂色方案，共有种涂色方案.43248⨯=（3）7个不同的球可分为1，1，1，1，3这样的5堆，有种分发，37C 在5个位置全排列有种方法；35754200C A =7个不同的球可分为1，1，1，2，2这样的5堆，有种分发，227522C C A 在5个位置全排列有种方法；2257552212600C C A A =所以共有种方法.42001260016800+=22．已知函数．323()22f x x ax b=-+(1)讨论的单调性；()f x (2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出,a b ()f x [0,1]1-1a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．(1)当时，)在上单调递增，在上单调递减；0a >()f x (),0,,2a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，在单调递增.0a =()f x (),-∞+∞当时，)在上单调递增，在上单调递减.0a <()f x (),,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)或0,1a b ==-8,13a b ==【分析】（1）由，得出，求出的两根，比较根的大小并分类讨论，()f x ()'f x ()0f x '=进而求出函数的单调性；()f x （2）利用（1）中的单调区间讨论在上的最值，最终确定参数的值.()f x ()f x []0,1,a b 【详解】(1)由，得.323()22f x x ax b =-+()2()6332f x x ax x x a '=-=-令，即，解得或.()0f x '=()320x x a -=0x =2a x =若，则当时，；0a >(),0,2a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>当时，.0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<所以)在上单调递增，在上单调递减.()f x (),0,,2a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，则在上恒成立，0a =2()60f x x '=≥R 所以在单调递增.()f x (),-∞+∞若，则当时，；0a <(),0,2a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>当时，.,02a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<所以)在上单调递增，在上单调递减.()f x (),,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)满足题设条件的存在.,a b 当时，由（1）知，在单调递增，0a ≤()f x []0,1所以在区间的最小值为，最大值为.()f x []0,1()0f b =()3122f a b =-+此时满足题设条件当且仅当，，即.,a b 1b =-3212a b -+=0,1a b ==-当即时，由（1）知，在单调递减，12a≥2a ≥()f x []0,1所以在区间的最大值为，最小值为.()f x []0,1()0f b =()3122f a b =-+此时满足题设条件当且仅当，，即.,a b 3212a b -+=-1b =8,13a b ==(ii)当即时，由（1）知，012a<<02a <<)在上单调递减，在上单调递增.()f x 0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，取得极小值即为的最小值，2ax =()f x ()f x 3233()222228a a a a f a b b ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为或.()f x ()0f b =()3122f a b =-+若，，则矛盾.318a b -+=-1b =a =02a <<若，则或，与矛盾318a b -+=-3212a b -+=a =a =-0a =02a <<综上，当或时，在区间的最小值为且最大值为.0,1a b ==-8,13a b ==()f x [0,1]1-1。
江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考语文试卷(解析)
2021-2022学年江苏省南京二十九中八年级(下)第一次月考语文试卷参考答案与试题解析一、积累与应用(35分)1．(11分)阅读并完成问题。
2022年北京冬奥会为全世界奉献了一场精彩震hàn( )、美轮美奂的体育盛宴，(A)为国际社会摆脱新冠肺炎疫情jī( )绊、促进人类团结发挥了重要作用。
北京冬奥会已经结束，(B)人类追求“更快、更高、更强、更团结”的脚步却不会戛( )然而止。
(C)我们以冬奥会为舞台展现了新时代中国的繁荣进取、(D)为尚在局部冲突中折冲斡( )旋、仍受困扰、挑战不断的人类文明进程扬起了一面风帆。
(1)阅读以上文段，根据拼音写汉字或根据汉字写拼音。
①震 hàn 撼 ②jī 羁 绊③戛 jiá 然而止④斡 wò 旋(2)墩墩在摘抄上述文段时，漏抄了“更是以冬奥会为契机”。
请你帮他找一找，这个小分句应该补充到上述文段中的A、B、C、D哪个位置最合适？【分析】(1)本题考查字音、字形。
根据积累作答。
“hàn”写作“撼”；“jī”写作“羁”；“戛”读作“jiá”；“斡”读作“wò”。
(2)本题考查句子补充衔接。
联系上下文，结合语境综合分析。
由“更是以冬奥会为契机”中的“更”字可知，这句话应该与前一句话构成语意上的递进关系，由此可知，这句话放在D处最合适。
【解答】答案：(1)①撼②羁③jiá④wò(2)D2．(18分)根据课文内容填空。
(1) 窈窕淑女 ，君子好逑。
《诗经•关雎》)(2)四面竹树环合，寂寥无人，凄神寒骨， 悄怆幽邃 。
(柳宗元《小石潭记》)(3) 树梢树枝树根根 ，亲山亲水有亲人。
《回延安》)(4)陶渊明《桃花源记》中描绘出桃花林绝美景色的句子是“ 芳草鲜美 ， 落英缤纷 ”。
(5)古诗常常会成为现代歌词作者的灵感之源。
比如歌曲《在水一方》中的“我愿逆流而上，依偎在她身旁。
无奈前有险滩，道路又远又长”就化用了《诗经•蒹葭》中的“ 溯洄从之 ， 道阻且长 ”这两句诗。
2020-2021 学年度第二学期四月月考 高二数学(理)测试题
即Sk + ak+1 = 1 − (k + 1)ak+1．
又Sk
=
1
−
kak
=
k，
k+1
所以 k
k+1
+
ak+1
=
1
−
(k
+
1)ak+1，
从而ak+1
=
1 (k+1)(k+2)
=
1
，
(k+1)[(k+1)+1]
即 n = k + 1 时，猜想也成立．
故由①和②可知猜想成立． 【解析】本题考查数列的递推公式的应用，数列的和与数列的通项公式之间的关系，归纳推理及运
于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 = + .在不超过 30 的素数中，随机选取两个不
同的数，其和等于 30 的概率是__________________． 16、( − − ) 的展开式中， 的系数为_________________. (用数字填写答案)
三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，其余题 12 分，共 70 分） 17、（10 分）已知 5 名同学站一排，要求甲站中间，乙不站两端，记满足条件的所有不同的排法种
k(k+1)
n
=
k
+
1
时，由题意Sk
+
ak+1
=
1
−
(k
+
1)ak+1，结合Sk
=
1
−
kak
=
k ，则 k
k+1
k+1
江苏省南京市宁海中学2023届高三下学期4月月考数学试题
值时， DNA 的数量 X n 与扩增次数 n 满足 lg Xn n lg1 p lg X0 ，其中 p 为扩增效率，
X 0 为 DNA 的初始数量.已知某被测标本 DNA 扩增10 次后，数量变为原来的100 倍，那么
该样本的扩增效率 p 约为（ ）
(参考数据：100.2 1.585 ，100.2 0.631)
cos nx Pn (cos x) ，这些多项式 Pn (t) 称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．则 （）
A． P3(t) 4t3 3t C． a1 a2 a2 an 2
B．当 n 3 时， a0 0 D． sin18 5 1
4
三、填空题
13．已知点
试卷第 2 页，共 7 页
给出下列说法，其中正确的是（ ） A．从 2016 年至 2020 年国内生产总值逐年递增； B．从 2016 年至 2020 年国内生产总值增长速度逐年递减； C．从 2016 年至 2020 年第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增； D．从 2016 年至 2020 年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减．
BN 分别交 e C ：x2 y 12 1于异于点 B 的点 P ，Q ，设直线 PQ 的斜率为 k2 ，直线 BM ，
BN 的斜率分别为 k3, k4 ． ①求证： k3 k4 为定值； ②求证：直线 PQ 过定点. 22．已知函数 f (x) ln(2x 1) m(2x 1) 1 . （1）若 y f (x) 在 x 2 处的切线与直线 3x y 2017 0垂直，求 y f (x) 的极值； （2）若函数 y f (x) 的图象恒在直线 y 1的下方. ①求实数 m 的取值范围； ②求证:对任意正整数 n 1，都有 ln[(2n)!] 4n(n 1) .
江苏省南京市第二十九中学2018-2019学年第一学期高二年级期中考试数学(文)试卷
2018-2019学年江苏省南京市二十九中高二第一学期期中试卷（文）一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共计70分.）1. 命题"∃x ∈R ,x 2>9"的否定是.2. 命题"1"x >是2"1"x >的条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）.3. 函数2()f x x =在区间[1 , 1.1]上的平均变化率是.4. 已知函数()2xf x e x =-的到导数为'()f x ,则'()f x 的值是.5. 已知直线1:l 440,ax y ++=2:l 20,x ay ++=若12//l l ，则a 的值是.6. 已知点A (1,2)，B (3, 4),若直线50x ky ++=与线段AB 有公共点，则实数k 取值范围是.7. 若x ,y 满足条件 x ≥0,x +2y ≥3 2x +y ≤3,,则z =x −y 的最小值是. 8. 已知双曲线22x y k -=的一个焦点是抛物线216y k =，则k 的值是.9. 若圆224x y +=与圆22160x y x m +-+=相外切，则实数m 的值是.10. 若经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为2a,则该椭圆的离心率为. 11. 已知椭圆222214x y a a +=-的左右焦点分别为1F ，2F ,若在椭圆上存在点P 使得12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积是2，则2a 的值是.12. 已知圆223)(4)4x y -+-=（的圆心为C, 点P ，Q 在圆上，若C Q P ∆则C到直线PQ 的距离为.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1, 0），B （4, 0），若直线y+m=0x -上存在唯一的点P 使得PB=2PA ，则m 的值是.14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(t [2,3])ln txt y -=∈的右焦点为F ，过F 作双曲线的渐进线的垂线，垂足为H ，则O FH ∆的面积的取值范围为.二、解答题（本大题共6题，共计90分）15. （本小题满分：14分）已知命题p ：221m+14x y m +=-表示双曲线，已知命题q ：221m+26x y m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆.(1)已知命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)已知命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围.16. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线21=-+与圆O: 222(r0)y x+=>交于M，N两个x y r点，且MN.(1)求M,N的坐标；(2)求过O，M，N三点的圆的方程.17. （本小题满分14分）已知点1A(,1),(2,1),2B -函数2()log f x x =.(1)过原点O 作曲线y f x =（），求切线的方程； (2)曲线122y f x x =≤≤（）()上是否存在P ，使得过P 的切线与直线AB 平行？若存在，则求出点P 的横坐标，若不存在，则请说明理由.18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （0，a ）(a 是正整数)，抛物线2y px =的焦点是（0, 1），P 是抛物线上的动点.(1)求抛物线的方程；(2)若PA的最小值是求a的值.19. （本小题满分16分）设2()(1)ln 2m f x m x x nx =-++(m,n 是常数) (1)若m=0，且()f x 在(1, 2)上单调递减，求n 的取值范围;(2)若m>0，且n=-1，求()f x 的单调区间.20. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率12，焦点到相应准线的距离是3.(1)求椭圆的方程；(2)如图，设A是椭圆的左顶点，动圆过定点E(1, 0)和F(7, 0），且直线4x=交于点P，Q.①求证：AP, AQ斜率的积是定值；②设AP，AQ分别与椭圆交于点M，N，求证：直线MN 过点.参考答案一、填空题1. "∀x∈R,x2≤9"2. 充分不必要3. 2.14. 15. -26. [-3,-2]7. -38. 89. 28 10. 11. 6 12. 113.±14.ln21 42c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，二、解答题15.16.17.18.19.20.。
2022-2023学年江苏省南京市第二十九中学七年级上学期11月月考数学试卷带讲解
2022-2023学年第一学期11月份学情调研测试七年级数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置．．．．．．．上）1.13-的倒数是（）A.13 B.3 C.3- D.13-C【分析】根据互为倒数的两个数的乘积为1，即可求得．【详解】13-的倒数是3-．故选C．【点睛】本题考查倒数的定义．掌握互为倒数的两个数的乘积为1是解题关键．2.对于代数式1m-+的值，下列说法正确的是（）A.比-1大B.比-1小C.比m大D.比m小D【分析】根据题意比较−1＋m与−1的大小和−1＋m与m的大小，应用差值法，当a−b＞0，则a＞b，当a−b＜0，则a＜b，逐项进行判定即可得出答案．【详解】解：根据题意可知，−1＋m−（−1）＝m，当m＞0时，−1＋m的值比−1大，当m＜0时，−1＋m的值比−1小，因为m的不确定，所以A选项不符合题意；B选项也不符合题意；−1＋m−m＝−1，因为−1＜0，所以−1＋m＜m，所以C选项不符合题意，D选项比m小，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了代数式的值与不等式的性质，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．3.关于单项式223xy-，下列说法中正确的是（）A.次数是3B.次数是2C.系数是23D.系数是－2A【分析】根据单项式的系数和次数的定义选出正确选项．【详解】A 选项正确，223xy -的次数是123+=；B 选项错误，223xy -的次数是123+=；C 选项错误，223xy -的系数是23-；D 选项错误，223xy -的系数是23-．故选：A ．【点睛】本题考查单项式的系数和次数，解题的关键是掌握单项式的系数和次数的定义．4.解关于x 的方程13123x --=，下列去分母中，正确的是（）A.11123x--= B.3236x --= C.()3231x --= D.()3236x --=D【分析】运用等式的性质，方程两边同时乘以6，计算即可．【详解】解：方程两边同时乘以6，得()3236x --=，故选：D ．【点睛】本题考查解一元一次方程——去分母，注意方程两边同时乘以最简公分母，不要漏乘项，分子是多项式时，要看做一个整体加括号．5.有理数a 在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是（）①1a --；②1a +；③2a -；④12a A.②③④ B.①③④C.①②③D.①②③④D【分析】根据数轴得到a 得取值范围，再代入各项进行分析判断即可；【详解】根据数轴可知，21a --＜＜，∴12a -＜＜，∴011a --＜＜，故①符合题意；∵21a --＜＜，∴11a -+＜＜0，∴01a +＜＜1，故②符合题意；∵21a --＜＜，∴12a ＜＜，∴21a --＜-＜，∴01a ＜2-＜，故③符合题意；∵12a ＜＜，∴11122a ＜＜，故④符合题意；符合题意的有①②③④；故选D ．【点睛】本题主要考查了有理数比大小、数轴、绝对值的性质，准确分析计算是解题的关键．6.已知()20221232022012320221x a a x a x a x a x +=+++++ ，则20222021202020191a a a a a -+-+-+ 的值为（）A.2022-B.1011- C.1- D.1D【分析】利用特殊值法，转化求解表达式的值即令1x =，求出代数式132021a a a ++⋅⋅⋅+，令=1x -，则01220220a a a a -+-⋅⋅⋅+=，两式相加减从而求出132021a a a ++⋅⋅⋅+、022022a a a ++⋅⋅⋅+的值，从而得出202220212020201910a a a a a a -+-+-⋅⋅⋅+=，令0x =，则()20220011a =+=，即可求解．【详解】解：令1x =，则()20222022012022112a a a ++⋅⋅⋅==++①，令=1x -，则01220220a a a a -+-⋅⋅⋅+=②，则①-②可得：202211320212022022a a a -=++⋅⋅⋅+=③，则+①②可得：202220210220222022a a a +++⋅⋅⋅+==④，则③-④可得：20212021202220212020201910220a a a a a a -+-+-⋅⋅⋅+-=-=，202220212020201910a a a a a a -+-+-⋅⋅⋅+=令0x =，则()20220011a =+=，∴202220212020201911a a a a a -+-+-⋅⋅⋅+=，故选：D ．【点睛】本题考查代数式求值，利用特殊值法求出代数式132021a a a ++⋅⋅⋅+、022022a a a ++⋅⋅⋅+、0a 的值是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置．．．．．．．上）7.月球的半径约为1738000米，1738000这个数用科学记数法表示为___________．1.738×106【详解】解：将1738000用科学记数法表示为1.738×106．故答案为1.738×106．【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，掌握科学记数法的计数形式，难度不大．8.比较大小：﹣34_____﹣56．（填“＜”、“＞”或“＝”）．＞【分析】先把两个分数通分，再根据两个负数比较大小的法则进行比较即可．【详解】∵39412-=-，510612-=-；99101012121212-=<-=，∴9101212->-，即3546->-．故答案为：>．【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．9.数轴上与原点距离小于227的整数点有___________个．7【分析】根据数轴的定义即可得．【详解】221377=，则数轴上与原点距离小于227的整数点有3,2,1,0,1,2,3---，共7个，故答案为：7．【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的定义是解题关键．10.已知单项式33m x y 与14nx y -和是单项式，则m n -=______．-2【分析】根据同类项的定义即可求得n ，m 的值，然后代入求得代数式的值即可．【详解】解：∵单项式33m x y 与14nx y -和是单项式，∴33m x y 与14nx y -是同类项，∴n =3，m =1，∴132m n -=-=-，故答案为：-2．【点睛】本题考查了代数式求值和同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点．11.若()1230m m x---=是关于x 的一元一次方程，则m =___________．2-【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程，即可解答．【详解】解：由一元一次方程的定义得2011m m -≠⎧⎨-=⎩，解得：2m =-．故答案为：2-．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的概念，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0．12.当k =_________________时，多项式()221325x k xy y xy +----中不含xy 项．3【分析】先合并同类项，然后使xy 的项的系数为0，即可得出答案．【详解】解：()221325x k xy y xy +----=()22335x k xy y +---，∵多项式不含xy 项，∴k-3=0，解得：k=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．13.如图，数轴上的点A 、B 对应的数分别为a 、b ，且3AB =，则代数式331a b -+的值是____．-8【分析】先根据数轴得出b ＞a ，利用两点距离公式得出b -a =3，整体代入计算即可．【详解】解：∵数轴上的点A 、B 对应的数分别为a 、b ，且3AB =，b ＞a ，∴b -a =3，∴()331313318a b b a -+=--+=-⨯+=-．故答案为：-8．【点睛】本题考查利用数轴比较大小，数轴上两点距离，式子的值，求代数式的值，关键是利用两点距离求出b -a =3．14.已知20212022x =，则2112x x x x x ---+++-+的值是___．20212022【分析】先根据20212022x =,确定0＜20212022x =＜1，得出201001020x x x x x --++＜，＜，＞，＞，＞，然后化简绝对值()()()-2+112x x x x x --+++-+=x 代入求值即可．【详解】解：0＜20212022x =＜1，∴201001020x x x x x --++＜，＜，＞，＞，＞，∴2112x x x x x ---+++-+，=()()()-2+112x x x x x --+++-+，=2+112x x x x x -+-+++--，=x ，=20212022．故答案为20212022．【点睛】本题考查比较大小，式子的符号，绝对值化简求值，掌握比较大小，式子的符号，绝对值化简求值方法是解题关键．15.观察下列两行数：3，5，7，9，11，13，15，17，19，…4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是7，第2个相同的数是13，…，若第n 个相同的数是1801，则n 等于___________．300【分析】根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，数列中7,13,19，…，的第n 项是数列4，7，10，13，16，19，22，25，…，第2n 项,然后列方程3（2n ）+1=1801，从而可以求得n 的值即可．【详解】解：由题目中的数据可知，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…第一行是一些连续的奇数，规律为2m -1，4，7，10，13，16，19，22，25，…第二行数列，从第2项起，每一项都比前一项大3，规律为3k +1，两个数列中相同的数组成新数列为：7,13，19，…，新数列是第二行数列的偶数项第2项,，第4项，第6项，…，组成，∴数列中7,13,19，…，的第n 项是数列4，7，10，13，16，19，22，25，…，第2n 项∴3（2n ）+1=1801∴n =300,故答案为：300．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，列出方程是解题关键．16.如图所示，边长a 与6（a 小于6）的两个正方形并排放在一起，则阴影部分的面积是_____．18【分析】连接AF DB ，，根据图形将阴影部分面积转化为AFD 的面积，再由等底同高面积相等求解即可．【详解】解：如下图，连接AF DB ，，∵AEG 与AGF 等底同高，∴AEG AGF S S = ，∴阴影部分面积等于AFD 的面积，∵AFD 与ABD 等底同高，∴AFD ABD S S = ，∵221161822ABD S AD ==⨯= ，∴18AFD ABD S S == ，∴阴影部分面积为18．故答案为：18．【点睛】题目主要考查阴影部分的面积计算及三角形等底同高面积相等的性质，根据图形将阴影部分面积转化是解题关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）()()3202216213⎛⎫÷-⨯--- ⎪⎝⎭；（2）184121333⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）34-（2）6-【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可；（2）先运用除法法则转化成乘法，再运用乘法分配律计算即可．【小问1详解】解：解：原式()16813⎛⎫=÷-⨯-- ⎪⎝⎭114=-34=-；【小问2详解】解：原式48312334⎛⎫⎛⎫=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1231234⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭384⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭6=-．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有运算法则是解题的关键．18.解下列一元一次方程：（1）()()314217x x --+=（2）215123x x +--=（1）145x =-（2）74x =-【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；【小问1详解】解：去括号，得33847x x ---=，移项，得38734x x -=++，合并同类项，得514x -=，系数化为1，得145x =-．【小问2详解】解：去分母，得()()321625x x +-=-，去括号，得636210x x +-=-，移项、合并同类项，得47x =-，系数化为1，得74x =-．【点睛】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．19.（1）化简：22227433a b ba a b +-的结果是___________．（2）先化简，再求值：()()()22227232342333x x x x x x -++-+--+，其中12x =-．（1）2a b -；（2）223x x -+-，4-【分析】（1）直接合并同类项即可；（2）把223x x -+看成一项合并同类项，再去括号进行化简，然后代入数值计算．【详解】（1）解：原式2227=(4)33a b a b +-=-（2）解：原式()()22227423232333x x x x x x ⎛⎫=+--+=--+=-+- ⎪⎝⎭当12x =-时，原式2111123342222⎛⎫⎛⎫=-⨯-+--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查整式的加减，掌握合并同类项和去括号的法则是解题的关键．20.如图，长方形的长为a ，宽为b ．（1）用含a 、b 的代数式表示图中阴影部分的面积；（2）当3a =，2b =时，计算阴影部分的面积（π取3.14）．（1）238ab b π-（2）1.29【分析】（1）用矩形面积减去一个大圆面积再减去2个小圆面积即可（2）把a 、b 值代入（1）所列代数式计算即可．【小问1详解】解：2221322248b S S S S ab b ab b πππ⎛⎫⎛⎫=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭阴影长方形大圆小圆；【小问2详解】解：当3a =，2b =时，223332 3.142 1.2988S ab b π=-≈⨯-⨯⨯=阴影．【点睛】本题考查列代数式和求代数式值的应用，收题意得出2S S S S =--阴影长方形大圆小圆是解题的关键．21.阅读下列内容，并完成相关问题．小邱说：“我定义了一种新的运算，叫※运算．”然后她写出了一些按照※运算的运算法则进行运算的算式：()()3232++=※；()()()2424--=-※；()()()4545-+=-※；()()3737+-=※()020+=※；()030-=※；()401+=※()501-=※……凯凯看了这些算式后说：“我知道你定义的※运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳※运算的运算法则：若两数为a 、b ，则a b =※________________，特别地，若0a =，0b ≠时，a b =※________________，若0a ≠，0b =时，a b =※________________．（2）计算：()()()33120⎡⎤⎡⎤-+-⎣⎦⎣⎦※※※．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（1）b a ；0；1（2）27-【分析】（1）通过分析总结归纳出若0a ≠，0b ≠时，b a b a =※；若0a =，0b ≠时，00b a b ==※；若0a ≠，0b =时，01b a b a a ===※，即可；（2）根据（1）的规律求解好戏可．【小问1详解】解：∵()()3232++=※，()()()2424--=-※，()()()4545-+=-※，()()3737+-=※，∵()020+=※；()030-=※；()401+=※，()501-=※，…∴若0a ≠，0b ≠时，b a b a =※；若0a =，0b ≠时，00b a b ==※；若0a ≠，0b =时，01b a b a a ===※．故答案为：b a ，0，1；【小问2详解】解：原式()()30=312⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦※()=271-※()1=27-=27-．【点睛】本题考查新定义实数的运算，数式规律探究，批出数式运算规律是解题的关键．22.为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如下表：单价居民每月用电量（元/度）不超过50度的部分0.5超过50度但不超过200度的部分0.6超过200度的部分0.8已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：一月份二月份三月份四月份五月份六月份－50＋30－26－45＋36＋25根据上述数据，解答下列问题：（1）小刚家用电量最多的是月份，实际用电量为度；（2）小刚家一月份应交纳电费元；（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．(1)五、236;(2)85;(3)当0＜x≤50时，电费为0.5x元;当50＜x≤200时，电费为(0.6x－5)元;当x＞200时，电费为(0.8x－45)元【分析】（1）根据正负数表示的意义，进行计算即可；（2）根据收费标准，根据第二档计算即可求出费用；（3）分三种情况，列出代数式即可.【详解】解：（1）∵－50<－45<－26<＋25<＋30<＋36，∴小刚家五月份用电量最多，实际用电量为：200+36=236（度）；（2）∵一月份用电量为：200-50=150（度），∴应缴电费为0.5×50+0.6×(150-50)=85(元)；（3）当0＜x≤50时，电费为0.5x元；当50＜x≤200时，电费为0.5×50＋(x－50)×0.6＝25＋0.6x－30＝(0.6x－5)元；当x＞200时，电费为0.5×50＋0.6×150＋(x－200)×0.8＝25＋90＋0.8x－160＝(0.8x－45)元.【点睛】本题主要考查正负数的实际意义以及列代数式，弄清题意是解题的关键.=-．23.数a，b在数轴上对应的A，B两点之间距离AB a b探究运用①数轴上表示1和−3两点之间的距离是_____；数轴上表示x和−2两点之间的距离是_____．②根据图像比较大小：3a +______3b --（填“＜”、“=”、“＞”）．拓展延伸③若点A ．B 、C 在数轴上分别表示数-1、4、c ，且点C 到点A ．B 的距离之和是7，则c =_____．④关于x 的方程x m x n k -+-=（m ＞n ，k ＞0），借助数轴探究方程的解的情况，直接写出结论．①4，2x +；②＜；③2-或5；④答案见解析．【分析】①由“若数轴上A ，B 两点对应的数为a ，b ，则A 、B 两点之间距离AB a b =-”进行计算即可得到本题答案；②由33a a +=--结合3a --表示在数轴上表示“-3”的点到表示“数a ”的点之间的距离可得本题结论；③分：ⅰ1c <-；ⅱ14c -<<；ⅲ4c >；三种情况讨论即可得到本题答案；④分：ⅰx n <；ⅱn x m <<；ⅲx >m ；三种情况讨论即可得到本题答案．【详解】解：①由题意：数轴上表示1和3-的两点间的距离为：1(3)4--=；数轴上表示x 和2-的两点间的距离为：(2)2x x --=+故答案为：4；2x +；②∵33a a +=--，且3a --表示在数轴上表示“3-”的点到表示“数a ”的点之间的距离，3b --表示在数轴上表示“3-”的点到表示“数b ”的点之间的距离，∴由图可得：33a b +<--，故答案为：<；③由题意可知：点C 到点A 、B 两点的距离之和为：(1)47c c --+-=，ⅰ.当1c <-时，(1)47c c --+-=可化为：147c c --+-=，解得：2c =-；ⅱ.当14c -<<时，(1)47c c --+-=可化为：147c c ++-=，此时分程无解；ⅲ.当4c >时，(1)47c c --+-=可化为：147c c ++-=，解得：5c =；④ⅰ.当x n <时，由题意x m x n k -+-=可化为：m x n x k -+-=，解得：2k m nx --=-；ⅱ.当n x m <<时，由题意x m x n k -+-=可化为：m x x n k -+-=，此时方程无解；ⅲ.当x >m 时，由题意x m x n k -+-=可化为：x m x n k -+-=，解得：2k m nx ++=．综上所述：关于x 的方程x m x n k -+-=（m ＞n ，k ＞0）的解为：2k m n x --=-或2k m nx ++=．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握两点之间距离的求法：（1）解第2小题时，把3a +化为3a --并知道在数轴上3a --表示“表示3-的点到表示a 的点之间的距离”是解题的关键；（2）解第4小题时，要将方程中的绝对值符号去掉，需分：①x n <；②n x m <<；③x >m ；三种情况讨论，缺一不可．。
2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二年级下册学期3月月考数学试题(理)【含答案】
2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二下学期3月月考数学试题（理）一、单选题1．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A ．B ．CD ．20【答案】B【解析】化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z =故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 2．下列求导数运算正确的是（ ） A ．()cos sin x x '= B ．()33ln 3xx '=C ．()ln ln -1x x x '=D ．sin cos 33x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于(cos )sin x x '=-，故选项A 不正确； 由于()3=3ln 3x x '，故选项B 正确； 由于(ln )ln 1x x x '=+，故选项C 不正确； 由于1sin cos 333x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选项D 不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3．已知()()231f x x xf '=+，则()1f '=（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】C【解析】按照求导法则对函数进行求导，令1x =代入导数式即可得解.【详解】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，解得()11f '=-. 故选：C【点睛】本题考查导数的运算法则，属于基础题.4．若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[-1，+∞）B ．（-1，+∞）C ．（-∞，-1]D ．（-∞，-1）【答案】C【详解】由题意可知()02bf x x x +'=-<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．5．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()0f x f x '-<，且()01f =，则不等式()1xf x e<的解集为（ ） A ．()0,∞+ B ．()2,∞+ C ．(),0∞- D ．(),2∞-【答案】A【分析】构造函数()()xf x h x e=，由题意得()0h x '<即函数()h x 在R 上单调递减，再根据题意得()01h =，即可得解.【详解】令()()xf x h x e =，则()()()()()2x x x xf x e f x e f x f x h x e e ''--'==， ()()0f x f x '-<，∴()0h x '<，∴函数()h x 在R 上单调递减，又 ()()0001f h e ==，()()1xf x h x e =<， ∴()0,x ∈+∞.故选：A.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了根据题意构造新函数的能力，属于中档题.6．己知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用函数()y xf x '=的图象求得函数()f x 的单调区间，进而得到正确选项. 【详解】由题给函数()y xf x '=的图象，可得当1x <-时，()0xf x '<，则()0f x '>，则()f x 单调递增； 当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，则()f x 单调递减； 当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 单调递减； 当1x >时，()0xf x '>，则()0f x '>，则()f x 单调递增； 则()f x 单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；单调递减区间为()1,1- 故仅选项C 符合要求. 故选：C7．若0()2f x '=-，则0001()()2lim k f x k f x k→--等于 A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2【答案】C【分析】由题意结合导函数的定义求解()00012k f x k f x lim k→⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值即可. 【详解】由导数的定义可知：()()()()00000100212'lim lim 12k f x k f x f x x f x f x x k ∆→-→⎛⎫-- ⎪+∆-⎝⎭==∆-， 则()00012k f x k f x lim k→⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()0001021112lim '11222k f x k f x f x k -→⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-⨯=-=-. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查导数的定义及其应用等知识，属于基础题.8．已知复数1i z =-（i 是虚数单位），则24z z +=（ ）A ．24i -B ．2iC ．24i +D ．2【答案】D【分析】利用复数的加减乘除运算性质即可求得24z z+的值.【详解】1i z =-，则()()()()()22241i 441i (1i 2i)=21i 2i=21i 1i 1i z z ++=+-++-+-=--+ 故选：D9．点A 是曲线23ln 2y x x =-上任意一点，则点A 到直线21y x =-的最小距离为（ ） ABCD【答案】A【分析】动点A 在曲线23ln 2y x x =-，则找出曲线上某点的斜率与直线21y x =-的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可 【详解】不妨设()23ln 2f x x x =-，定义域为：()0,∞+ 对()f x 求导可得：()13f x x x'=- 令()2f x '= 解得：1x =（其中13x 舍去） 当1x =时，32y =，则此时该点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线21y x =-的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：d =解得：d =故选：A10．若复数(2)z a ai =-+(a R ∈，i 为虚数单位)为纯虚数，则0)ax dx =⎰（ ）． A ．22π+B ．2π+C ．42π+D ．44π+ 【答案】B【解析】根据纯虚数的定义，结合定积分的几何意义、微积分基本定理进行求解即可.【详解】因为z 为纯虚数，所以有2020a a a -=⎧⇒=⎨≠⎩，原式2200)x dx xdx ==+⎰⎰⎰，因为0⎰的几何意义表示坐标原点为圆心，半径为2的14圆的面积，所以20124ππ=⋅⋅=⎰，而222221112020222xdx x ==⨯-⨯=⎰，所以原式22000)2x dx xdx π==+=+⎰⎰⎰， 故选：B11．已知2()f x x =，则过点P (-1，0)且与曲线()y f x =相切的直线方程为（ ） A ．0y =B ．440x y ++=C ．0y =或440x y ++=D ．0y =或440x y -+=【答案】C【解析】设切点为()00,x y 则切线方程为()20002y x x x x -=-，将点()1,0P -代入解0x ，即可求切线方程.【详解】设切点为()00,x y ，则200y x =，切线斜率为()002k f x x '==所以切线方程为()20002y x x x x -=-，因为过点()1,0P - 则()200021x x x -=--解得00x =或02x =-，所以切线方程为0y =或440x y ++= 故选：C12．若不等式2xln x≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞)【答案】B【分析】分析：由已知条件推导出32ln ,0a x x x x ≤++>，令32ln ,0y x x x x=++>，利用导数形式求出1x =时，y 取得最小值4，由此能求出实数的取值范围. 【详解】详解：由题意22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞上恒成立， 所以32ln ,0a x x x x≤++>在()0,x ∈+∞上恒成立，设32ln ,0y x x x x =++>，则22223231x x y x x x +-=+-=，由0y '=，得123,1x x =-=，当()0,1∈x 时，0'<y ，当()1,∈+∞x 时，0'>y ， 所以1x =时，min 1034y =++=，所以4a ≤， 即实数a 的取值范围是(],4-∞.点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．二、填空题13．已知i 是虚数单位，则复数212(2)2ii i++-对应的点在第________象限. 【答案】二【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，得出复数所对应的点，即可判断点所在的象限．【详解】解：由题意得，已知复数212(2)2ii i++-， 则设()()()()2212212(2)44222i i iz i i i i i i +++=+=+=-+--+， 即：4z i =-+，则复数所对应的点为()4,1-，则在第二象限. 故答案为：二.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．14．计算31(2)x dx +⎰的值是________.【答案】8【分析】首先根据定积分公式求出被积函数的原函数，然后代入数值计算结果即可求出. 【详解】解：32311111(2)(2)|96128222x dx x x ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.故答案为：8.【点睛】本题考查被积函数的原函数的求法，考查学生的计算能力和转换能力，属于基础题. 15．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =__________． 【答案】3【解析】设切点为00(,2)x kx -，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用切点为切线与曲线的公共点列出等式，两式联立求解即可. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =，代入②得013ln 1x +=，则01x =，3k =． 故答案为：3【点睛】本题考查已知曲线的切线求参数，导数的几何意义，属于基础题.16．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则a 的取值范围是___________． 【答案】102a <<【分析】利用导数与函数极值点的关系可列出关于a 的不等式，解之即可求得a 的取值范围 【详解】由2()ln(1)(1)f x x a x x =++>-， 可得222()2(1)11a x x a f x x x x x++'=+=>-++ 则方程2220x x a ++=有两个大于1-的不同的根则二次函数222y x x a =++的图像与x 轴两个不同交点的横坐标均大于1- 又二次函数222y x x a =++的图像开口向上，对称轴12x =-则()()2Δ48021210a a =->⎧⎪⎨⨯-+⨯-+>⎪⎩，解之得102a <<故答案为：102a <<三、解答题17．已知复数2(4)(2),z a a i a R =-++∈． （1）若z 为实数，求实数a 的值； （2）若z 为纯虚数，求实数a 的值；（3）若z 在复平面上对应的点在直线210x y ++=上，求实数a 的值． 【答案】（1）2a =-（2）a =2（3）1a =-【解析】（1）z 为实数则虚部为0；（2）z 为纯虚数则实部为0且虚部不为0；（3）z 在复平面上对应的点()242a a -+，，满足直线的方程代入列出方程即可得解.【详解】（1）若z 为实数，则20a +=，2a =-；（2）若z 为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得实数a 的值为2；（3）z 在复平面上对应的点()242a a -+，，在直线210x y ++=上，则()242210a a -+++=，即2210a a ++=解得1a =-．【点睛】本题考查复数的有关概念，复数的几何意义，属于基础题.18．已知函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈．若函数()f x 在1x =处有极值-4． （1）求()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值． 【答案】（1）71.3⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）()4()8min max f x f x =-=，. 【详解】试题分析：()1先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于,a b 的方程组，求得,a b 后再根据导函数的符号求出单调递减区间．() 2由()1求出函数的单调区间，可以数判断函数()f x 在[]1,2-上的单调性，求出函数()f x 在[]1,2-上的极值和端点值，通过比较可得()f x 的最大值和最小值．试题解析：（1）∵()32f x x ax bx =++，∴()2'32f x x ax b =++，依题意有即()()'1320114f a b f a b ⎧=++=⎪⎨=++=-⎪⎩，解得2.7a b =⎧⎨=-⎩ ∴()()()2'347371f x x x x x =+-=+-，由()'0f x <，得713x -<<， ∴函数()f x 的单调递减区间7,1.3⎛⎫- ⎪⎝⎭()2由()1知()3227f x x x x ，=+- ∴()()()2'347371f x x x x x =++=+-，令()'0f x =，解得12713x x =-=，．当x 变化时，()()'f x f x ，的变化情况如下表：由上表知，函数()f x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增． 故可得()()14min f x f ==-， 又(1)8,(2)2f f -==． ∴()()18.max f x f =-=综上可得函数()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值分别为8和4-．19．已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2.求：（1）实数a ，b 的值；（2）求()f x 在[]22-,上的单调区间. 【答案】（1）14a b =⎧⎨=⎩（2）()f x 的单调递增区间为[]2,1--和[]1,2；单调递减区间为[]1,1-【分析】(1)根据()f x 先求出()f x '，解不等式0f x与()0f x '<，利用导数与极值的关系，确定极值点，进而可求解；(2)由(1)可得：3()34f x x x =-+，从而得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，进而可求解.【详解】解：（1）()()2330f x x a a '=->，由()0f x x '>⇒<x ∴()f x在(,-∞，)+∞上单调递增；由()0f x x '<⇒，∴()f x在(上单调递减，即x =()f x取到极大值；x =()f x 取到极小值.((636232f a b f b ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩14a b =⎧⇒⎨=⎩. （2）()334f x x x =-+，则233fxx ；由()01f x x '>⇒<-或1x >，又[]2,2x ∈-，()f x 的单调递增区间为[]2,1--和[]1,2；单调递减区间为[]1,1-.【点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值的应用及方程的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题. 20．已知函数()213ln 42g x x x x b =-++． （1）当54b =-时，求()g x 在（()1,1g ）处的切线方程；（2）若函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）52y =-；（2）52ln 24b ≤<-.【分析】（1）根据()2135ln 424g x x x x =-+- ，求导()13122g x x x '=-+，再求得()1'g ，根据切点，写出切线的方程；（2）将函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，转化为213ln 42b x x x -=-+在[1，4]内有两个实根，()213ln 42h x x x x =-+，利用导数法研究其单调性，画出图象求解. 【详解】（1）因为()2135ln 424g x x x x =-+- ， 所以()13122g x x x'=-+，所以()1311022'=-+=g ， 又因为切点为（1，52-）， 所以切线的方程为52y =-； （2）若函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，可得213ln 42b x x x -=-+在[1，4]内有两个实根， 设()213ln 42h x x x x =-+，()()()12131222x x h x x x x--'=-+=， 当()1,2x ∈时，()h x 递减，当()2,4x ∈时，()h x 递增，由()514h =-，()22ln 2h =-+，()4ln 42h =-， 画出()y h x =的图象，如图所示可得52ln 24b -+<-≤-， 解得52ln 24b ≤<-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点(0,2)，且20()6f x dx =⎰. (1)求函数()f x 的表达式.(2)若函数2()g x x =，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.【答案】（1）()2f x x =+；（2）92【分析】（1）假设出一次函数()()20f x kx k =+≠，根据积分构造出方程求得k ，进而得到结果； （2）联立两函数解析式可求得交点坐标，从而可知所求面积为()()21S f x g x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰，利用积分的运算法则求得结果.【详解】（1）()f x 为一次函数且过点()0,2 ∴可设()()20f x kx k =+≠ ()()2220022224602k f x dx kx dx x x k ⎛⎫∴=+=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰，解得：1k = ()2f x x ∴=+（2）由22y x y x ⎧=⎨=+⎩得：11x =-，22x =f x 与()g x 围成的图形面积()()21S f x g x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰ 即()222312118119222421233232S x x dx x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+---+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 【点睛】本题考查利用积分求解函数解析式、利用积分求解两函数围成图形面积的问题，属于积分知识的基础应用问题.22．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，()2123C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，()36ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.【答案】（1）()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当年产量320x e ==万件时，年利润最大，最大年利润为11万元.【分析】（1）根据题中条件，分07x <<和7x ≥两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；（2）根据（1）中解析式，分别求出7x <和7x ≥两种情况下，()P x 的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元，由题意可得，当07x <<时，()()2211626224233P x x C x x x x x x =--=---=-+-；当7x ≥时，()()336266ln 17215ln e e P x x C x x x x x x x ⎛⎫=--=-++--=-- ⎪⎝⎭； 所以()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩； （2）由（1）可得，当07x <<，()()2211426101033P x x x x =-+-=--+≤， 当且仅当6x =时，等号成立；当7x ≥时，()315ln e P x x x =--，则()33221e e x P x x x x-'=-+=， 所以，当37x e ≤<时，()0P x '>，即函数()315ln e P x x x =--单调递增；当3x e >时， ()0P x '<，即函数()315ln e P x x x=--单调递减； 所以当3x e =时，()315ln e P x x x =--取得最大值()333315ln 11e P e e e =--=； 综上，当320x e ==时，()P x 取得最大值11万元；即当年产量为320x e ==时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元.【点睛】思路点睛：导数的方法求函数最值的一般步骤：（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性；（2）根据函数单调性，即可求出函数的最值.。
福建省厦门双十中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷【含答案】
厦门双十中学2025届高二（下）第二次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（）A ．2±B ．±C ．±D ．8±2．若随机变量()2~3,2X N ，随机变量1(3)2Y X =-，则()1()1E Y D Y +=+（）A ．0B ．12C ．45D ．23．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A ．6种B ．3种C ．20种D ．12种4．已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m α⊥、//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥C ．若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则()|P B A =（）A ．14B ．13C ．16D ．1126．已知n S 等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0.91ln1.1,,e a b c ===）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．c a b<<8．如图，在ABC 中，120BAC ∠= ，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =.延长BA 至点E .使得BC BE =，连接CE .设以,C E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,C E两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是（）A．∞⎫+⎪⎪⎣⎭B．∞⎫+⎪⎪⎝⎭C ．[)1,+∞D ．()1,∞+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C的短轴长为C ．C 的离心率为32D ．2ABF △的周长为810．已知321()2313f x x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．若方程()f x a =有三个实数根，则71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 的通项公式为143n na =-，其前n 项和为n S ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与数列{}14nn n a a +的前n 项和分别为n R ，n T ，则（）A ．114n n a a +<B ．存在n ，使得13n T >C ．4339n S <D ．265n R n n≥-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项的系数为．13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，若341a a +=，6247S S =，则12S =.14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表面积之和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，高为4，点M ，N 分别在线段PC ，AB 上，且2AN NB =，4PC PM =，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMN ；(2)求直线AC 与平面DMN 所成角的正弦值．16．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为20202318-年全球新能源汽车的销售量情况统计.年份201820192020202120222023年份编号x 123456销售量y /百万辆2.022.213.136.7010.8014.14若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)求变量y 与x 的样本相关系数r (结果精确到0.01)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb ay bx x x xnx ====--- ===---∑∑∑∑，样本相关系数()()nnii ii xx y y x ynx yr--- =∑∑参考数据：66211181.30,11.2i i i i i x y y ====≈≈∑∑.17．设函数()()24ln 42f x x ax a x =-+-，a ∈R(1)讨论()f x 的单调性．(2)若函数()f x 存在极值，对任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得()()()()21021f x f x f x x x '-=-（ⅰ）证明不等式212121ln ln 2x x x x x x ->-+．（ⅱ）判断并证明122x x +与0x 的大小．18．已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，A ，B ，C 为E 上不重合的三点.(1)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++ 的值；(2)过A ，B 两点分别作E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，过A ，B 两点分别作1l ，2l 的垂线3l ，4l ，3l 与4l 相交于点M .（i ）若AB 4=，求ABD △面积的最大值；（ii ）若直线AB 过点()1,0，求点M 的轨迹方程.19．设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n niM a a a a a i n i =∈≤≤∈N L ，从集合nM中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．(1)求3M 中(),2d A B =的点对的个数；(2)从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）1．B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆22:10C x y mx +++=，即222124m m x y ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以22π(1)ππ4m S r ==-=，解得m =±故选：B.2．B【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=，就可以求出结果.【详解】由()2~3,2X N 可知：()3,()4E X D X ==，又因为1(3)2Y X =-，所以()131333()()0222222E Y E X E X =-=-=-=，()131()(1224D Y D X D X =-==，则()1011()1112E Y D Y ++==++，故选：B.3．A【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有23A 326=⨯=种坐法.故选：A.4．D【分析】对于A ，可过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，即可判断；对于B ，由线面垂直的性质即可判断；对于C ，由条件，可得m β⊥，又m α⊥，则//αβ，即可判断；对于D ，要考虑n 可能在平面α内，即可判断．【详解】对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，当m α⊥，//m n ，由线面垂直的性质可得n α⊥，故B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n ⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误．故选：D ．5．B【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.6．B【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.【详解】当等差数列{}n a 为常数列时，此时n n S na =，满足前者，但是此时“{}n a 不是递减数列”，故充分性不成立；当{}n a 是递减数列，则对n *∀∈N ，1n n a a +<，()()1122n n n n n n a a n a a S na na +--=-=，当1n =时，0n n S na -=，当2n ≥时，1n a a >，0n n S na ->，所以对n *∀∈N ，n n S na ≥，则反推成立，故必要性成立，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的必要而不充分条件.故选：B.7．C【分析】初步判断三个数值都在0到1之间，常规方法不好处理，可考虑结合导数放缩来比较,a b 大小，设()()ln 1f x x x =--，()()e 1xg x x =-+，求出()f x '在()1,2的单调性，()g x '在()1,0-的单调性，可判断,a b 与0.1的大小；0.91,b c e ==断0.9e 大小，判断,b c ，进而得解.【详解】设()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-，当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单减，故()()()1.1ln1.1 1.1110f f =--<=，即ln1.10.1<；设()()e 1x g x x =-+，()e 1xg x '=-，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，所以()()0.90g g ->，即()()0.900e0.9101e ---+>-+=，即0.90.1e ->；1120.10.10.1c =>=，故a最小，0.91,b c e ==()100.99319683e <=，10510100000==，因为19683100000<，所以()10100.993e <<，所以0.9e<，0.91e >，所以b c a >>故选：C【点睛】本题考查由指对幂比大小，常规比大小步骤为：①结合指对幂函数单调性初步判断每个数值所在区间；②当两数值所在区间相同时，一般考虑引入中间量进一步比大小；③若常规方法不好处理时，常考虑构造函数法，结合导数放缩来进一步求解，此法难度较大，对学生基础能力要求较高，平常可积累一部分常见放缩公式，如1e 1ln x x x x x ≥+≥≥-≥等.8．D【分析】设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，设CF CD EG x ===，可得223CE x =+，结合椭圆和双曲线的定义可得12134e e x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦定理求得3x >，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，由切线长定理和BCE 的对称性，可设CF CD EG x ===.由1AD =，可得1,1AC x AE EG AG x =+=-=-.在ACE △中，由余弦定理，()()2222(1)(1)211cos603CE x x x x x =++--+-=+ .于是根据椭圆和双曲线的定义，221222313224CE CE CE x e e x AC AE AC AE AC AE x x +⎛⎫=⋅===+ ⎪+--⋅⎝⎭.接下来确定x 的取值范围.设BF BG y ==，在ABC 中， 1.1,AC x AB y BC x y --=+=+，于是由余弦定理，()()222()(1)(1)211cos120x y x y x y +=+++-++，整理得()330xy x y -+-=，于是()3103x y x +=>-，故3x >，又因为3y x x =+在()3,∞+内单调递增，可知33341y x x =+>+=，可得121314e e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以12e e 的取值范围是()1,∞+.故选：D.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．9．ABD【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b ma m==+⎝⎭，进而可求解2,1a b c===，即可根据选项逐一求解.【详解】由于12π3F AF∠=，所以12π6F AO OAF∠=∠=,故11πcos cos62AO bF AOAF a∠=====，因此222221b ma m==+⎝⎭，故23m=，所以椭圆22:143x yC+=，2,1a b c===对于A，焦距为22c=，故A正确，对于B，短轴长为2b=B正确，对于C，离心率为12cea==，C错误，对于D，2ABF△的周长为48a=，D正确，故选：ABD10．BC【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D.【详解】2()43f x x x'=-+，令()0f x'<解得13x<<，令()0f x'>解得1x<或3x>，所以()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，因为13(1)03f -=-<，极大值7(1)03f =>，且极小值1(3)0f =>，所以()f x 在(1,1)-有一个零点，共1个零点，A 错误；由A 知，函数有1,3两个极值点，故B 正确；由A 知，函数()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，且x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以方程()f x a =有三个实数根，需(3)(1)f a f <<，即71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为(3)1f =，所以点(3,1)在函数图象上，又点(3,1)关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，而13(1)3f -=-，即111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()f x 图象上的点，故函数()f x 不关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据1191144434n n n a a ++-<-=即可求解A ，根据裂项求和即可求解B ，根据放缩法即可求解C ，根据作差求解数列单调性即可求解D.【详解】对A ，由143n n a =-可得11143n n a ++=-，所以()11111111994343114344414343443443n nn n n n n nn a a ++++++----====-<----，故A 正确，对B ，()()414441143,33143n n nn n R n n a --=-∴=-=--，()()11141114343434343n nn n n n n n a a +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以12231111111111111113434334343343433433n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,故B 错误，对C ，由于3n ≥时，1111449433n n n -->>⇒-，故111131114311443n n n n a --=<=-，所以221221111314111414214344111131113444134439393914n n n n S a a a --⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=+++<++⨯=+-<+<+= ⎪⎝⎭-()()()222441441653656233n n n R n n n nn nn ----=--+=-+,对D ，记()()()()()1222144144144162,61216233n n n n n n P nn P P n n n n ++----=-+-=-++++-，故114124n n n P P n ++-=--，根据指数幂的性质可知14124n n +≥+，当且仅当1n =取等号，故11141240n n n n n P P n P P +++-=--≥⇒≥，只有1n =取等号，故143210n n P P P P P P ->>>>≥=,故D 正确，故选：ACD 12．118-【分析】由()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出()512x +展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()5525221121212x x x x x +⋅-++=+，其中()512x +展开式的通项为()155C 22C rrr r r r T x x +==⋅（{}0,1,2,3,4,5r Î），所以251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 的项为()215533355521C 2C (2)2C (2)118x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅-⋅=-，所以含3x 的项的系数为118-．故答案为：118-13．6316【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得1q ≠，由6247S S =，可得()()6211417111a q a q qq--=--，解得212q =，又341a a +=，即22121a q a q +=，所以122a a +=，同理5612a a +=，7814a a +=，91018a a +=，1112116a a +=，因为12123456789101112S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以12111163212481616S =+++++=.故答案为：631614．43π##43π9π【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】设正四面体的棱长为x ，高为h ，底面圆半径为r ，则2sin 60xr ︒=，得r =，又h x ，所以正四面体的体积为2111···sin 60332A BCD BCD V S h x ︒-=== ，解得x =如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE =，AE DE ===过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==，解得1R =，所以最大球的体积为344ππ33R =，且1OM OF ==，则413AO =-=，1sin 3OM EAF AO ∠==，设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故答案为：4π3；9π【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.15．(1)证明见解析【分析】(1)构造面面平行，再证线面平行.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角的正弦.【详解】（1）在线段CD 上取点F ，使得2CF DF =，连接EF 、BF ，如图：因为4PC PM =，E 为PC 的中点，所以2CE ME =，所以//EF DM ，又EF ⊄平面DMN ，DM ⊂平面DMN ，所以//EF 平面DMN ，在平行四边形ABCD 中，因为2AN NB =，2CF DF =，所以DF NB =，且//DF NB ，所以四边形DFBN 是平行四边形，所以//DN FB ，又BF ⊄平面DMN ，DN ⊂平面DMN ，所以//BF 平面DMN ，又BF ，EF ⊂平面EFB ，且BF EF F ⋂=，所以平面//EFB 平面DMN ，又BF ⊂平面EFB ，所以//BE 平面DMN ．（2）连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，因为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，所以PO ⊥平面ABCD ，且OA OB ⊥，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线依次为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得：()A，()B，()C -，()0,D -，324M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，)N所以()AC =-，)DN =，324DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则·0·0DN n DM n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒323040x z ⎧-++=⎪+=，取5,1,4n ⎛=- ⎝⎭设直线AC 与平面DMN 的夹角为θ，则：·102cos ,17·AC n sin AC n AC nθ===16．(1)0.95.r ≈(2)ˆ 2.56 2.46yx =-，15.46百万辆【分析】（1）利用相关系数r 公式即可求解；（2）根据已知数据，利用公式先求出ˆb，进而求出ˆa ，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可.【详解】（1）因为1234563.56x +++++==，2.02 2.213.13 6.710.814.146.56y +++++==，所以6221496149162536617.54i i x x =-=+++++-⨯=∑，622216380.2316 6.5126.731ii yy =-=-⨯=∑，所以6644.80.95.4.211.2iix yxyr -==≈≈⨯∑（2）由题意得61621644.8ˆ 2.5617.56iii ii x yxybxx ==-===-∑∑，所以ˆˆ 6.5 3.5 2.56 2.46ay bx =-=-⨯=-，得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.56 2.46yx =-，所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为2.567 2.4615.46⨯-=百万辆.17．(1)()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1202x xx +>，证明见解析【分析】（1）求导得()()()1241f x ax x x'-=-+，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即只需证明()()21ln 11t t t t ->>+，从而构造函数即可得证；（ⅱ）同构作差法并结合（ⅰ）中结论即可得解.【详解】（1）()()()41242241f x ax a ax x x x'-=-+-=-+，0x >，若0a ≤，则()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，若0a >，由()0f x '=得2x a=，当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ¢>；当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >，()()()()()()22212121214ln ln 42f x f x x x a x x a x x -=---+--()()()()()212121214ln ln 42x x a x x x x a x x =--+-+--，由题设得()()()()()212102121214ln ln 42f x f x x x f x a x x a x x x x --==-+'+---，∵120x x <<，设21(1)x t t x =>，（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即证明()()21ln 11t t t t ->>+，设()()21ln 1t g t t t -=-+，（1t >），则()()()22221211(1)0(1)(1)t t t g t t t t t +---=-=+'>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+得证，（ⅱ）()1221128422x x f a x x a x x '+⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，()()2112210211221124ln ln ln ln 82402x x x x x x f x f x x x x x x x x '-⎛⎫+-⎛⎫-=-=-> ⎪ ⎪-+⎝'+-⎝⎭⎭，∴()1202x x f x f +⎛⎫> ⎪⎝'⎭'，∵()()424f x ax a x=-+-'在()0,∞+上是减函数，∴1202x x x +>.【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及到函数的单调性以及不等式证明问题，难点在于不等式的证明，解答时要注意根据所要证明的不等式的结构特征，构造恰当的函数，利用导数的单调性进行证明.18．(1)3(2)（i ）8；（ii ）224y x =-【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据向量的坐标运算即可得12332x x x ++=，再根据抛物线的定义即可得结论；（2）（i ）设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii ）利用直线相交、直线过定点即可得点M 的轨迹方程.【详解】（1）依题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由0FA FB FC ++= 得，1231110222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12332x x x ++=，由抛物线定义得，1231113222FA FB FC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .（2）（i ）显然，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y，由22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得：2220y my n --=，2480m n ∆=+>，122y y m ∴+=，122y y n =-.22y x =Q，则y =1y y=='∴，∴切线1l 的方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，同理，切线2l 的方程为2212y y x y =+，联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x n y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(),D n m -，则点D 到直线AB的距离为d =由4AB ===，化简得：22421m n m +=+，114822ABDS AB d ∴==⨯=≤ ，当且仅当0m =时取等号，ABD ∴ 面积的最大值为8.（ii ）若直线AB 过点()1,0，由（i ），可以设直线AB 的方程为1x my =+，122y y m ∴+=，122y y =-.∴直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得222,2,x m y m ⎧=+⎨=⎩消去m 得：224y x =-，∴点M 的轨迹方程为224y x =-.【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率.19．(1)12对(2)①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【详解】（1）当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.（2）①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n n n n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且10C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n nn n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
江苏省南京市第二十九中学2024-2025学年七年级上学期9月月考英语试题
江苏省南京市第二十九中学2024-2025学年七年级上学期9月月考英语试题一、单项选择1．Look at the notice (通知). Which club will have a meeting?A．The Art Club B．The Chess Club C．The Science Club D．The Sports Club 2．The man in a cap at the school gate is my dad. Which “a” makes a different sound?A．man B．cap C．gate D．dad3．Little Tom often ________ his new toys, but he can’t fix them.A．puts away B．finds out C．takes apart D．wakes up 4．—Which class are you in ?—I’m in _________.A．Grade One, Class Seven B．Class Seven, Grade OneC．One Grade, Seven Class D．Seven Class, One Grade5．Daniel is a very _____ football player and he plays very _____.A．good, good B．well, good C．good, well D．well, well 6．Her classmates ______ her. And she ______ likes them.A．like all, too B．like all, alsoC．all like, also D．all like, too7．—What do you think of the two dresses?—I think this new dress is better. It makes ________ pretty.A．her look B．her looks C．she look D．she looks8．--- __________ your brother a member of the Reading Club?--- No, he___________ like reading.A．Does; is B．Do; doesn’t C．Is; doesn’t D．Is; isn’t9．— ________—I like music, like my best friend Lucy.A．How do you like Lucy?B．What are you like?C．What do you like?D．Do you like Lucy?10．----My mother will take me to Shanghai Disneyland this Sunday.----__________!A．I’m sorry to hear that B．Have great fun thereC．That’s OK D．That’s right二、完形填空阅读下面短文，掌握其大意，然后从各题所给的四个选项中选出一个最佳答案。
江苏省南京市江宁高级中学2021-2022高一数学下学期3月月考试题(含解析).doc
江苏省南京市江宁高级中学2021-2022高一数学下学期3月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共16小题）1.直线50x +-=的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程得到直线斜率，进而得到其倾斜角.【详解】因直线方程为50x +-=，所以直线的斜率k =，故其倾斜角为150°. 故选D【点睛】本题主要考查求直线的倾斜角，熟记定义即可，属于基础题型. 2.已知10sina =，且a 为第二象限角，则()2tan a π+=（ ） A. 34-B.35C.35D.34【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到cos a =tan 3a =-，再计算()tan 2a π+即可.【详解】因为sin a =，且a 为第二象限角，cos a ==，sin tan 3cos a a a ===-.()22tan 63tan 2tan 21tan 194a a a a π-+====--.故选：D【点睛】本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，属于简单题.3.如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ） A. 2 B. －2C. 2,－2D. 2,0,－2【答案】C 【解析】(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)(a ＋3)＝0，所以a ＝2或a ＝－2. 4.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A. 2425-B. 45- C. 2425D.45【答案】C 【解析】 【分析】将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果.【详解】因为1cos sin 5αα-=，所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125，所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5.已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，则直线l 的方程为（ ） A. 151060x y --=B. 151060x y -+=C. 6430x y --=D.6430x y -+=【答案】A 【解析】 【分析】设直线l 的方程为320x y c -+=，再根据直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，可得132c c--=，解得c 的值，可得所求直线的方程．【详解】解：直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，可设直线l 的方程为320x y c -+=．再根据且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1， 可得132c c --=，解得65c =-，故直线l 的方程为63205x y --=， 即：151060x y --=. 故选：A.【点睛】本题主要考查两条直线平行的条件和直线方程，以及直线在坐标轴上的截距． 6.过两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点且与310x y +-=平行的直线方程为（ ） A. 310x y -+= B. 370x y ++= C. 3110x y --= D. 3130x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】求出两直线1l 、2l 的交点坐标，再设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=，代入交点坐标求出m 的值，即可写出方程.【详解】解：两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点为310260x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得41x y =-⎧⎨=-⎩，即()4,1--；设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++= 则3(4)(1)0m ⨯-+-+= 解得13m =所求的直线方程为3130x y ++=. 故选：D【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题. 7.函数()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ).A. 周期为π的偶函数B. 周期为π的奇函数C. 周期为2π的偶函数D. 周期为2π奇函数【答案】B 【解析】 因()1cos(2)[1cos(2)]sin 2sin 22sin 222f x x x x x x ππ=-+---=+=，故()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-是奇函数，且最小正周期是，即22T ππ==，应选答案B ．点睛：解答本题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进行化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题的答案．8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若120A =︒，2c b =，则cos C （ ）D.14【答案】C 【解析】 分析】首先根据余弦定理，结合题中所给的条件，确定出=a ，之后再应用余弦定理求得结果.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即22222427a b b b b =++=，故=a ，故222cos 2a b c C ab +-==． 故选：C ．【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，属于基础题目. 9.已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A. 1 B. 1-C. 2-或1D. 2或1【答案】D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x ya a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.11.已知直线20kx y -+=和以()3,2M -，()2,5N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A. 32k ≤ B. 32k ≥C. 4332k -≤≤ D. 43k ≤-或32k ≥【答案】C 【解析】 【分析】因为直线20kx y -+=恒过定点(0,2)A ，结合43AM k =-，32AN k =，可求． 【详解】解：因为直线20kx y -+=恒过定点(0,2)A ，又因为43AM k =-，32AN k =， 故直线的斜率k 的范围为4332k -． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线斜率的求解，属于基础题．12.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4a =，23b =c (2)cosB a b cosC =-，则ABC 的面积为（ ）． A. 3 B. 3 C. 6D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先由()2c cosB a b cosC ⋅=-边化角，化简整理可求出角C ，然后计算面积即可. 【详解】解：由()2c cosB a b cosC ⋅=-，得()2sinCcosB sinA sinB cosC =- 所以2sinCcosB sinBcosC sinAcosC +=，即()sin 2B C sinAcosC += 所以sin 2A sinAcosC =，sin 0A ≠得cosC 12=，所以3C π=所以113423622ABCSabsinC ==⨯⨯= 故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理进行边角转化，三角形的面积公式，属于基础题.13.已知函数21()sin cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的最大值为1B. ()f x 的最小正周期为2πC. ()y f x =的图像关于直线3x π=对称D. ()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．【详解】函数21()sin cos 2f x x x x =++=1cos 231sin 222xxsin （2x 6π-）+1 对于A ：根据f （x ）＝sin （2x 6π-）+1可知最大值为2；则A 不对； 对于B ：f （x ）＝sin （2x 6π-）+1，T ＝π则B 不对； 对于C ：令2x 6π-=,223k k x k Z ，，故图像关于直线3x π=对称则C 正确； 对于D ：令2x 6π-=,212kk x kZ ，，故()y f x =的图像关于点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称则D 不对． 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．14.在ABC 中，()()sin sin A B A B +=-，则ABC 一定是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】C 【解析】 此题考查解三角形解：由sin(A+B)=sin(A-B)得sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B +=-，所以，又因为,A B 为三角形的内角，故sin 0B >，因此cos 0A =，90A ∠=，所以ABC ∆是直角三角形.选C. 答案：C15.已知2sin cos 1θθ-=，则sin cos 1sin cos 1θθθθ++-+的值为（ ）A.45B. 0C. 2D. 0或2【答案】D 【解析】 【分析】由2sin cos 1θθ-=，通过二倍角公式，得到cos02θ=或 2sincos22θθ=原式化简为222222sin cos cos sin sin cos 12222sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再分别求解. 【详解】因为2sin cos 1θθ-= 所以2sin cos 1θθ=+ 所以24sin cos2cos 222θθθ=解得cos 02θ=或 2sincos22θθ=当cos02θ=时222222sin cos cos sin sin cos 122220sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当2sincos22θθ=时222222sin cos cos sin sin cos 122222sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了二倍角公式及其应用，不觉考查了变形运算求解的能力，属于中档题.16.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c+=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）B. 2C. 1D. 【答案】A 【解析】 【分析】222sin()SA C b c+=-结合面积公式，可得出22b c ac =+，由余弦定理得出2cos a c B c -=，再用正弦定理化边为角，得出2B C =，把所求式子用角C 表示，并求出角C 范围，最后用基本不等式求最值. 【详解】因222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-，所以22sin sin ac BB b c=-，因为sin 0B ≠， 所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=， 得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan 3C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-当且仅当tan C =，取等号. 故选:A【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.二、填空题（本大题共4小题）17.已知1tan 43πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 21sin 2αα=-_______． 【答案】3【解析】【分析】 先由1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求出tan α，然后对cos21sin2αα-用二倍角公式并化简求值即可. 【详解】解：因为1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以11tan 1143tan tan 144211tan 34παππααπα⎛⎫--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=--=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭所以()()()2222211cos sin cos sin cos2cos sin cos sin 1tan 2311sin2cos sin 2sin cos cos sin 1tan cos sin 12αααααααααααααααααααα++--++======-+-----故答案为3【点睛】本题考查了三角恒等变换，给值求值类问题，二倍角公式，齐次弦化切思想，属于基础题.18.已知点(1,3)A 关于直线l 的对称点为(5,1)B -，则直线l 的方程为______________________________【答案】340x y ++=【解析】【分析】求出线段AB 的中垂线方程即可． 【详解】131513AB k -==--，其中垂线的斜率为3-，又AB 中点为(2,2)-，∴直线方程为23(2)y x -=-+，即340x y ++=．故答案为：340x y ++=．【点睛】本题考查点的对称性，考查求两点的对称轴方程．掌握对称的性质即可求解．19.已知△ABC 中，AC ＝3，且3sinA ＝2sinB ，cosC 13=，则AB ＝_____. 【答案】3【解析】【分析】由条件3sin 2sin A B =和3AC =，可得BC 的边长，然后用余弦定理可得答案.【详解】在△ABC 中，由3sin 2sin A B =，得32BC AC =.又3AC =，可得2BC =.由余弦定理可得：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 19422393=+-⨯⨯⨯= 所以3AB =故答案为：3【点睛】本题考查利用正弦、余弦定理解三角形，属于基础题.20.若三条直线20x y -=，30x y +-=，50mx ny ++=相交于同一点，则点(,)m n 到原点的距离的最小值为________.【解析】【分析】联立23y x x y =⎧⎨+=⎩，解得交点(1,2)，代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出．【详解】解：联立23y x x y =⎧⎨+=⎩，解得1x =，2y =． 把(1,2)代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．52m n ∴=--．∴点(,)m n到原点的距离5d ，当2n =-，1m=-时，取等号．∴点(,)m n【点睛】本题考查了两条直线的交点、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共2小题）21.已知函数2()212sin ()f x x x x R =+-∈. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c =，()22C f =，sin 2sin B A =，求,a b 的值. 【答案】（1）T=π，()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）1,2a b ==. 【解析】【分析】 （1）利用倍角公式降幂化一，可求周期和单调区间.（2）由22C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出C的值，结合正余弦定理求得a ，b 的值． 【详解】（1）()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为T π=. 因为()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 所以()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以所求函数的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为2sin 226C f C π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0C π<<，所以3C π=，所以222222cos ,33a b ab a b ab π=+-+-=，①又因为sin 2sin B A =，由正弦定理可得，2b a =，②由①②可得1,2a b ==.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了y=asinθ+bcosθ型的化一问题，训练了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．22.设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈.(1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【答案】(1)证明见解析；(2) 10+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=【解析】【分析】(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由2050x x y -=⎧⎨+-=⎩可得直线l 必过一定点()2,3P ； (2)由题可得52B y a =+，521A a x a +=+，则()1252521AOB a S a a ++⋅=⋅+，求出最值，并找到最值的条件，进而可得AOB ∆的周长；(3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要31a +是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程.【详解】解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩， 所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由()1520a x y a ++--=得，当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A a x a +=+， 又由5205201B A y a a x a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-， ()()119141+121212221252521AOB a a a S a a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号. ()4,0A ∴，()0,6B ，AOB ∴∆的周长为4610OA OB AB ++=+=+(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数，即52a +，521a a ++均为整数， 523211a a a +=+++，4,2,0,2a ∴=--， 又当52a =-时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=.【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成三角形的面积的最值，是中档题.。
江苏省南京市鼓楼区第二十九中学2023-2024学年七年级下册4月月考数学试题(含解析)
2023—2024学年度第二学期阶段练习七年级数学试卷1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．化简a 2•a 3的结果是（ ）A ．aB ．a 5C ．a 6D ．a 82．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约毫米，用科学记数法表示为（ ）A ．毫米B ．毫米C ．毫米D ．毫米3．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）A ．2、3、4B ．15、9、8C ．4、9、6D ．3、8、44．下列各式中，计算结果正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如果(x 2＋px ＋q )(x 2－5x ＋7)的展开式中不含x 2与x 3项，那么p 与q 的值是( )A ．p ＝5，q ＝18B ．p ＝－5，q ＝18C ．p ＝－5，q ＝－18D ．p ＝5，q ＝－186．如图，用等式表示∠1、∠2、∠3与∠4之间的数量关系正确的是（ ）A ．∠1+∠2+∠3+∠4＝360°B ．∠1+∠2+∠3＝360°+∠4C ．∠1+∠2＝∠3﹣∠4D ．∠1+∠2＝∠3+∠4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）0.00032643.2610⨯30.32610⨯43.2610-⨯532.610-⨯()()22x y x y x y +--=-()()222y z y z y yz z--+=-+-()()22339x y x y x y---+=--()()2242222x y x y x y -+=-7．计算的结果是 ．8．已知，，则 ．9．“同位角相等”的逆命题是 ．10．计算的结果是 ．11．代数式是完全平方式，则 ．12．如图，将边长为2个单位的等边△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为 个单位13．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C 、D 两点分别与对应，若，则的度数为 ．14．课本上，公式是由公式推导得出的．已知，则 ．15．把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则∠APG ＝ ．16．如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正021122-⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3m a =2n a =2m n a +=2202120192023-⨯()219x m x --+m =ABCD AD CB ∥ABCD EF C D ''、122∠=∠AEF ∠()2222a b a ab b -=-+()2222a b a ab b +=++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++()4a b -=ABCD方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是 ．三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各题：(1)；(2)；(3)；(4)．18．求代数式的值，其中，.19．按图填空，并注明理由．如图，在中，，，．将求的过程填写完整．解：因为（已知）所以．（ ）又因为，所以．（等量代换）所以 （ ）所以 （ ）．又因为，所以．20．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和．李ABCD ()32222x y xy -⋅()221222a ab b ab ⎛⎫+-⋅- ⎪⎝⎭()()33x y z x y z --++()()2233a b a b -+()()()()223222y y x x y x y x y -++---12x =1y =-ABC EF AD ∥12∠=∠70BAC ∠=︒AGD ∠EF AD ∥23∠∠=12∠=∠13∠=∠AB P BAC ∠+180=︒70BAC ∠=︒110AGD ∠=︒A ∠90︒B ∠D ∠20︒30︒叔叔量得，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由．21．观察下列式子：①，②，③，……（1）根据你发现的规律，请写出第个等式： ．（2）根据你发现的规律，请写出第个等式并证明你所写出的等式的正确性．22．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．（1）如图，在中，，是的角平分线，求证：是“奇妙互余三角形”．（2）关于“奇妙互余三角形”，有下列结论：①在中，若，，，则是“奇妙互余三角形”；②若是“奇妙互余三角形”，，，则；③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．其中，结论正确的有______．（填写序号）（3）在中，，，点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数．23．按要求画图并解答问题：142BCD ∠=︒2419⨯+=46125⨯+=68149⨯+=4n αβ290αβ+=︒ABC 90C ∠=︒BD ABC ABD △ABC 130A ∠=︒40B ∠=︒10C ∠=︒ABC ABC 90C ∠>︒60A ∠=︒20B ∠=︒ABC 90C ∠=︒42ABC ∠=︒P CB ABP APB ∠(1)在图1中，画出的中线、高．(2)利用所学知识说明：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．(3)在图2中，过正五边形的顶点画一条直线，将正五边形分成面积相等的两部分．（写出必要的文字说明）．24．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如：由图2可得，则：(1)由图3可以解释的等式是______；(2)用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为______；(3)通过画图的方法计算（、的长度与图1相同）．25．如图1，中，，，三点分别在，，三边上，过点的直线与线段的交点为点，，．(1)求证：；(2)在以上条件下，若及，两点的位置不变，点在边上运动使得的大小发生变化，保证点存在且不与点重合，记，成立时，应满足的条件是______．（用含的式子表示）26．直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动．ABC AD AE A a b a b ()()22223a b a b a ab b ++=++a b a b ()22a b +a b ABC D E F AB AC BC D EF H 12180∠+∠=︒3C ∠=∠DE BC ∥ABC D E F BC DEF ∠H F C α∠=1BFH ∠=∠DEF ∠αMN PQ O A OP B OM(1)如图，已知、分别是和角的平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；(2)如图，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求的度数．(3)如图，延长至，已知、的等分线（、）与的等分线（）及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数．（结果可用含的代数式表示）1AE BE BAO ∠ABO ∠A B AEB ∠2BA G BAO ∠OAG ∠BOQ ∠E F AEF △3ABO ∠3BA G BAO ∠OAG ∠n n OAE BAO ∠=∠n FAO OAG ∠=∠BOQ ∠n n EOQ BOQ ∠=∠E F AEF △3ABO ∠n参考答案与解析1．B 【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得计算结果．【解答】解：原式=a 2+3=a 5，故B 正确．故选B ．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．2．C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】=毫米．故选：C ．【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．D【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是牢记三边关系．利用三角形任意两边之和大于第三边即可求解．【解答】解：A ．∵，∴满足三角形三边关系，能组成三角形，故A 不符合题意；B ．∵，∴满足三角形三边关系，能组成三角形，故B 不符合题意；C ．∵，∴满足三角形三边关系，能组成三角形，故C 不符合题意；D ．∵，∴不满足三角形的三边关系，不能能组成三角形，故D 符合题意．故选：D ．4．B【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式的特征，两个两项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数，以及完全平方公式对选项进行计算并判断，即可解0.00032643.2610-⨯234+>8915+>4610+>348+<题．【解答】解：A 、，计算结果错误，不符合题意；B 、，计算结果正确，符合题意；C 、，计算结果错误，不符合题意；D 、，计算结果错误，不符合题意；故选：B ．5．A【解答】试题解析：∵（x 2+px+q ）（x 2-5x+7）=x 4+（p-5）x 3+（7-5p+q ）x 2+（7-5q ）x+7q ，又∵展开式中不含x 2与x 3项，∴p-5=0，7-5p+q=0，解得p=5，q=18．故选A ．6．B【分析】根据四边形的内角和为360°求解可得．【解答】解：由图可知，180°﹣∠1+180°﹣∠2+180°﹣∠3+180°+∠4＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°+∠4，故选B ．【点拨】本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握四边形的内角和为360°．7．【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可．【解答】解：．故答案为：．【点拨】本题考查了零指数幂，同底数幂的除法以及负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．8．12【分析】根据同底数幂乘法的逆运算可知，由幂的乘方的逆运算可知()()()2222x xy x y x y x y y =-=-+-+---()()()2222y z y z y z y yz z --+=--=-+-()()22339x y x y x y ---+=-()()2242224x y x y x y -+=-14022********-⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1422m n m n a a a +=⋅，再将，代入求解．【解答】解：故答案为12．【点拨】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，灵活利用幂的逆运算将所求式转化为已知式是解题的关键．9．相等的两个角是同位角．【解答】因为“同位角相等”的题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”，所以命题“同位角相等”的逆命题是“相等的两个角是同位角”．故答案为：相等的两个角是同位角10．4【分析】把2019×2023表示成(2021−2)(2021+2)，然后用平方差公式即可完成．【解答】故答案为：4【点拨】本题考查了平方差公式在数值计算中的应用，关键是把2019×2023表示成两数的和与这两数的差的积．11．或【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：代数式是完全平方式，，或，解得或，故答案为：或．12．8【分析】根据平移的基本性质作答．【解答】解：根据题意，将边长为2个单位的等边△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ，22()m n m n a a a a ⋅=⋅3m a =2n a =2222()3212m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅=⨯=m n m n a a a +=⋅()()mn m n n m a a a ==22222021201920232021(20212)(20212)2021202144⨯=--+=-+=-5-7()2222a ab b a b ±+=± ()219x m x --+∴()()22219369x m x x x --+=±=±+∴()16m --=()16m --=-5m =-7m =5-7故四边形ABFD 的边长分别为AD=1个单位，BF=3个单位，AB=DF=2个单位；故其周长为8个单位．故答案为8．13．##108度【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换，由题意，设，则，构建方程即可解决问题．【解答】解：由翻折的性质可知：，∵，，∵，∴设，则，，，，，故答案为：．14．【分析】本题主要考查了整式乘法，将变形为，根据运算法则，准确计算即可．【解答】解：根据题意得：故答案为：．15．144°【分析】根据正六边形的性质求得∠A 、∠B 、∠BCD 的度数，根据正五边形的性质求得∠CDL 、∠L 的度数，然后再由六边形的内角和求得∠APG ．【解答】解：∵六边形ABCDEF ，108︒122∠=∠2x ∠=12DEF FED x ¢Ð=Ð=Ð=DEF FED '∠=∠AD CB ∥1DEF ∴∠=∠122∠=∠2x ∠=12DEF FED x ¢Ð=Ð=Ð=2180DEF D EF '∠+∠+∠=︒ 5180x ∴=︒36x ∴=︒223108AEF D EF x x x ¢\Ð=Ð+Ð=+==°108︒432234464a a b a b ab b -+-+()4a b -()4a b ⎡⎤=+-⎣⎦()4a b -()4a b ⎡⎤=+-⎣⎦()()()()234432464a a b a b a b b =+-+-+-+-432234464a a b a b ab b =-+-+432234464a a b a b ab b -+-+∴∠A ＝∠B ＝∠BCD ＝，∵五边形GHCDL 是正五边形，∴∠CDL ＝∠L ＝，∵∠A +∠B +∠BCD +∠CDL +∠L +∠APG ＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠APG ＝720°﹣120°×3﹣108°×2＝144°，故答案为：144°．【点拨】本题主要考查了正多边形的性质应用，准确计算是解题的关键．16．【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．记长方形的长为，宽为，根据题意，可得，，利用完全平方公式求出的值即可．【解答】解：记长方形的长为，宽为，由题知，，，即，，即，，解得，长方形的面积是．故答案为：．17．(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】本题考查积的乘方及其逆运算，单项式乘单项式，多项式乘单项式，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则进行计算．（1）根据积的乘方，以及单项式乘单项式的运算法则进行计算，即可解题；（2）根据多项式乘单项式的运算法则进行计算，即可解题；(62)1801206-⨯=oo (52)1801085-⨯= 23ABCD a b 2218a b +=8a b +=ab ABCD a b 2218a b +=()216a b +=8a b +=∴()264a b +=22264a ab b ++=∴18264ab +=23=ab ∴ABCD 23237516x y -322312a b a b ab --+2282y yz z --42248118a a b b -+（3）将看作一个整体，利用平方差公式进行计算，再结合完全平方公式进行计算，即可解题；（4）先利用积的乘方的逆用整理为，再结合平方差公式和完全平方公式进行计算，即可解题；【解答】（1）解：，，；（2）解：，；（3）解：，，，，；（4）解：，，，．18．，1【分析】先根据整式的乘法，平方差公式和完全平方公式对代数式进行化简，再见、的值代入计算即可得到答案．【解答】解：，y z +()()233a b a b ⎡⎤-+⎣⎦()32222x y xy -⋅63282x y xy =-⋅7516x y =-()221222a ab b ab ⎛⎫+-⋅- ⎪⎝⎭322312a b a b ab =--+()()33x y z x y z --++()()33x y z x y z ⎡⎤=-+++⎣⎦()229y y z =-+22292y y yz z =---2282y yz z =--()()2233a b a b -+()()233a b a b ⎡⎤=-+⎣⎦()2229a b =-42248118a a b b =-+2xy -x y ()()()()223222y y x x y x y x y -++---2222226444y xy x y x xy y =-+--+-2xy =-当，时，原式．【点拨】本题考查了整式的乘法，平方差公式，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．19．两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定与性质定理．此题要注意由，可得，由等量代换可得，可得，根据平行线的性质可得，即可求解．【解答】解：∵（已知）∴（两直线平行，同位角相等）；∵（已知），∴（等量代换）；∴（内错角相等，两直线平行）．∴（两直线平行，同旁内角互补）．∵，∴．故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补．20．见解析【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角定理；运用这两个定理找出角之间的数量关系是解题的关键．通过与的数量关系求出，与实际的测量值比较即可．【解答】解：方法一：如图，连接并延长；12x =1y =-()12112=-⨯⨯-=DG AGD ∠EF AD ∥23∠∠=13∠=∠DG BA ∥180BAC AGD ∠+∠=︒EF AD ∥23∠∠=12∠=∠13∠=∠AB DG ∥180BAC AGD ∠+∠=︒70BAC ∠=︒110AGD ∠=︒DG AGD ∠BCD ∠A B C ∠∠∠、、BCD ∠AC在中，，在中，，∴，∴李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格；方法二：如图，延长交于；∵∴∴∴∴李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格．21．（1）8×10+1=81；（2）2n （2n +2）+1=（2n +1） 2，证明见解析【分析】（1）根据2×4+1=9=32；4×6+1=25=52；6×8+1=49=72；…得出规律，第4个等式是8×10+1即可得出答案；（2）根据（1）中规律得出第n 个等式是连续偶数相乘，进而得出一般规律，再利用多项式的乘法证明即可．【解答】解：（1）①2×4+1=9，②4×6+1=25，③6×8+1=49，…∴第4个等式为8×10+1=81；ADC △1D DAC ∠=∠+∠ABC 2B BAC ∠=∠+∠12140BCD D B BAC DAC D B A ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒142BCD ∠=︒DC AB M 180D 180903060AMD A ∠∠∠=︒--=︒-︒-︒=︒180********CMB AMD ∠=︒-∠=︒-︒=︒1801802012040MCB B CMB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180********DCB MCB ∠=︒-∠=︒-︒=︒142BCD ∠=︒（2）由题意可得：第n 个等式为2n （2n +2）+1=（2n +1） 2，证明：2n （2n +2）+1=4n 2+4n +1，=（2n +1） 2．【点拨】此题考查数字的变化规律，完全平方公式，通过观察，分析、归纳找到规律，并能利用规律计算，并能证明结论是正确．22．（1）见解析；（2）①③；（3）的度数为或．【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线性质，“奇妙互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．（1）根据直角三角形两锐角互余得到，利用角平分线性质得到，最后进行等量代换，即可得到是“奇妙互余三角形”；（2）根据“奇妙互余三角形”的概念，对结论①②③进行辨析，即可解题；（3）根据点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，分以下两种情况讨论：①当点在线段上，且是“奇妙互余三角形”时，②当点在延长线上，且是“奇妙互余三角形”时，对上述两种情况根据 “奇妙互余三角形”概念建立与相关的等式求解，即可解题．【解答】（1）解：，，是的角平分线，，，是“奇妙互余三角形”．（2）解：①，，，是“奇妙互余三角形”，故①正确；②是“奇妙互余三角形”，，，，APB ∠132︒114︒90CBA CAB ∠+∠=︒12ABD CBA ∠=∠ABD △P CB ABP P CB ABP P CB ABP APB ∠ 90C ∠=︒90CBA CAB ∴∠+∠=︒ BD ABC ∴12CBD ABD CBA ∠=∠=∠∴290ABD CAB ∠+∠=︒∴ABD △ 40B ∠=︒10C ∠=︒2801090B C ∴∠+∠=︒+︒=︒∴ABC ABC 90C ∠>︒60A ∠=︒∴290B A ∠+∠=︒即，解得；故②错误；③三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．，三角形中剩下的内角大于，“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．故③正确；综上所述，正确的有①③，故答案为：①③．（3）解：点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，分以下两种情况讨论：①当点在线段上，且是“奇妙互余三角形”时，，，有，即，解得，；有，即，解得，；②当点在延长线上，且是“奇妙互余三角形”时，，，有，则，解得（不合题意舍去）；26090B ∠+︒=︒15B ∠=︒ αβ290αβ+=︒90αβ∴+<︒∴90︒∴ P CB ABP P CB ABP 90C ∠=︒42ABC ∠=︒290ABC BAP ∠+∠=︒24290BAP ⨯︒+∠=︒6BAP ∠=︒180132APB ABC BAP ∴∠=︒-∠-∠=︒290ABC BAP ∠+∠=︒42290BAP ︒+∠=︒24BAP ∠=︒180114APB ABC BAP ∴∠=︒-∠-∠=︒P CB ABP 42ABC ∠=︒42BPA BAP ∴∠+∠=︒290BPA BAP ∠+∠=︒29042BPA BAP BPA BAP ∠+∠-∠-∠=︒-︒48BPA ∠=︒有，则，解得（不合题意舍去）；综上所述，的度数为或．23．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查作图基本作图，三角形的面积公式，正多边形与圆等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．（1）首先作出线段的垂直平分线，可得出的中点，进而得出答案；延长，过点向作垂线即可；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）连接，交于点，作直线即可．【解答】（1）如图所示，线段、线段即为所求；（2）是的中线，，，，；（3）如图直线即为所求．290BPA BAP ∠+∠=︒29042BPA BAP BPA BAP ∠+∠-∠-∠=︒-︒48BAP ∠=︒APB ∠132︒114︒-BC BC D BC A BC BD CE O AO AD AE AD ABC BD CD ∴=12ABD S BD AE =⋅ 12ACD S CD AE =⋅ ABD ACD S S ∴= AO在正五边形中，，，，，，，点在的垂直平分线上，连接，，同理证得，，点在的垂直平分线上，垂直平分，直线将正五边形分成面积相等的两部分．24．(1)；(2)；(3)图见解析，．【分析】本题考查了多项式与几何图形面积，以及完全平方公式与几何图形面积，解题的关键是：熟练应用数形结合的方法，用代数式表示出大图形的面积与它组成部分面积之间的等量关系．（1）大正方形的面积等于小正方形的面积与四个长方形面积之和，用含、的代数式表示出等量关系即可；（2）将所有纸片的面积加到一起，根据完全平方公式即可得出大正方形的边长；ABCDE BC CD DE ==BCD CDE ∠=∠(SAS)BCD EDC ∴ ≌BD CE ∴=BDC ECD ∠=∠OC OD ∴=∴O CD AC AD ABC AED ≌△△AD AC =∴∴A CD AO ∴CD ∴AO ()()224a b ab a b +=--32a b +()222244a b a ab b +=++a b（3）根据题意画出边长为的大正方形，再根据图形计算即可．【解答】（1）解：由图知，，故答案为：；（2）解：由题知，所有纸片的面积为：，这个大正方形的边长为；故答案为：；（3）解：根据题意可画图如下：由图知，．25．(1)见解析(2)【分析】（1）欲证明，只需推知即可，因此先根据外角性质，将转化为，再根据与互补，得到，最后将代入即可得出结论；（2）点F 运动到的角平分线与边的交点位置时，成立．根据平行线的性质和角平分线的定义，得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵是的外角，∴，又∵，∴，∵，∴，即，∴；（2）解：∵是的外角，2+a b ()22a b +()()224a b ab a b +=+-()()224a b ab a b +=+-()222912432a ab b a b ++=+∴32a b +32a b +()222244a b a ab b +=++1902α︒+DE BC ∥180DEC C ∠+∠=︒1∠34∠+∠1∠2∠342180++=︒∠∠∠3C ∠=∠DEC ∠BC 1BFH ∠=∠2∠1∠DEH △134∠=∠+∠12180∠+∠=︒342180++=︒∠∠∠3C ∠=∠42180C ∠+∠+∠=︒180DEC C ∠+∠=︒DE BC ∥1∠DEH △∴∵是的外角，∴，当时，，由①②得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵．【点拨】本题考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是根据平行线的判定方法，以及三角形的外角性质，运用角的和差关系进行推导计算．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．26．(1)大小不发生变化，且．(2)或．(3)或或或或．【分析】（1）综合三角形内角和定理和角平分线定义即可求出；（2）结合三角形外角性质判断的范围后，利用三角形内角和定理和角平分线定义，分、、、四种情况进行讨论，从而求解；（3）先根据题意分别用含的代数式表示出、、、、、，再利用三角形内角和定理和三角形外角性质，分、、13DEF ∠=∠+∠①BFE ∠CEF △2BFH C ∠=∠+∠1BFH ∠=∠12C ∠=∠+∠②32DEF C ∠+∠=∠+∠3C ∠=∠2DEF ∠=∠DE BC ∥180DEC C ∠+∠=︒22180a ∠+=︒180129022︒-∠==︒-αα112909022BFH C ∠=∠+∠=︒-+=︒+αααAEB ∠135AEB ∠=︒60ABO ∠=︒45︒60ABO ∠=︒180240n ︒-︒135135n ︒-︒180720n ︒-︒4545n ︒-︒AEB ∠E ∠3FAE E ∠=∠3FAE F ∠=∠3E F ∠=∠3F E ∠=∠n OAE ∠FAO ∠EOQ ∠BOE ∠EAF ∠E F ∠+∠3EAF E ∠=∠3EAF F ∠=∠、、、六种情况进行讨论，最后利用求解．【解答】（1）解：大小不发生变化，，，中，，，、分别是和的角平分线，，，，中，，故大小不发生变化，且．（2）解：，，、、分别为、、的角平分线，且是的反向延长线，，，，，是的延长线，，，即角度固定，是外角，，，3E EAF ∠=∠3E F ∠=∠3F EAF ∠=∠3F E ∠=∠BAE ABO E BOE ∠+∠=∠+∠AEB ∠MN PQ ⊥ 90AOB ∠=︒∴Rt AOB 180ABO BAO AOB ∠+∠+∠=︒90ABO BAO ∴∠+∠=︒AE BE BAO ∠ABO ∠12EAB BAO ∴∠=∠12EBA ABO ∠=∠()1452EAB EBA BAO ABO ∴∠+∠=∠+∠=︒AEB ∴ ()180135AEB EAB EBA ∠=︒-∠+∠=︒AEB ∠135AEB ∠=︒MN PQ ⊥ 90AOB BOQ AON ∴∠=∠=∠=︒AF AE OE OAG ∠BAO ∠BOQ ∠OF OE 12FAO OAG ∴∠=∠12BAE OAE BAO ∠=∠=∠1452BOE EOQ BOQ ∠=∠=∠=︒1452AOF FON AON ∠=∠=∠=︒AG BA 180BAO OAG ∴∠+∠=︒()1902FAE OAE FAO BAO OAG ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒FAE ∠EOQ ∠ AOE △45EOQ E OAE ∴∠=∠+∠=︒45E ∴∠<︒①当时，即，符合题意，中，，，中，；②当时，即，中，，不符合题意，舍去；③当时，此时，不符合题意，舍去；④当时，，符合题意，中，，．综上，或．（3）解：依题得：，，，，，中，，①当时，，，中，，3FAE E ∠=∠3045E ∠=︒<︒OAE ∴ ()18018015OAE E AOE E AOB BOE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠+∠=︒230BAO OAE ∴∠=∠=︒Rt AOB ∴ 18060ABO AOB BAO ∠=︒-∠-∠=︒3FAE F ∠=∠30F ∠=︒Rt AEF ∴ 6045E ∠=︒>︒3E F ∠=∠()318067.5454E FAE ∠=⨯︒-∠=︒>︒3F E ∠=∠()118022.5454E FAE ∠=⨯︒-∠=︒<︒OAE ∴ ()18022.5OAE E AOB BOE ∠=︒-∠-∠+∠=︒180180245ABO AOB BAO AOB OAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒60ABO ∠=︒45︒1OAE BAO n∠=∠1FAO OAG n ∠=∠11·90EOQ BOQ AOF n n∠=∠=︒=∠119090·901·90BOE EOQ n n ⎛⎫∴∠=︒-∠=︒-︒=-︒ ⎪⎝⎭()1111·180EAF OAE FAO BAO OAG BAO OAG n n n n∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒AEF ∴ 11180180·1801·180E F EAF n n ⎛⎫∠+∠=︒-∠=︒-︒=-︒ ⎪⎝⎭EAF 3E ∠=∠11·603E EAF n∴∠=∠=︒112401·180·60180F n n n ︒⎛⎫∴∠=-︒-︒=︒- ⎪⎝⎭OAE ∴ ()2401150180180180·90OAF F AOF n n n ︒︒⎛⎫∠=︒-∠+∠=︒-︒-+︒= ⎪⎝⎭，，又，即，；②当时，，，中，，，，又，即，；③当时，，，，，该情况舍去；④当时，则，即，，115030·180EAO EAF OAF n n n︒︒∴∠=∠-∠=︒-=()11·30n BAE BAO EAO n EAO n-∴∠=∠-∠=-∠=︒BAE ABO E BOE ∠+∠=∠+∠ 1601·301·90n ABO n n n -︒⎛⎫︒+∠=+-︒ ⎪⎝⎭60ABO ∴∠=︒EAF 3F ∠=∠11·603F EAF n∴∠=∠=︒112401·180·60180E n n n ︒⎛⎫∴∠=-︒-︒=︒- ⎪⎝⎭OAE ∴ ()601150180180·90180OAF F AOF n n n ︒︒⎛⎫∠=︒-∠+∠=︒-+︒=︒- ⎪⎝⎭1150330·180180180EAO EAF OAF n n n ︒︒⎛⎫∴∠=∠-∠=︒-︒-=-︒ ⎪⎝⎭()()33011180BAE BAO EAO n EAO n n ︒⎛⎫∴∠=∠-∠=-∠=--︒ ⎪⎝⎭BAE ABO E BOE ∠+∠=∠+∠ ()330240111801801·90n ABO n n n ︒︒⎛⎫⎛⎫--︒+∠=︒-+-︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭180240ABO n ∴∠=︒-︒3E EAF ∠=∠540E n︒∴∠=15407201·180180F n n n ︒︒⎛⎫∴∠=-︒-=︒- ⎪⎝⎭()72090630180180180OAF F AOF n n n ︒︒︒⎛⎫∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-+= ⎪⎝⎭1630450·1800EAO EAF OAF n n n︒︒∴∠=∠-∠=︒-=-<3E F ∠=∠131·180F F n ⎛⎫∠+∠=-︒ ⎪⎝⎭11·45F n ⎛⎫∠=-︒ ⎪⎝⎭131·135E F n ⎛⎫∴∠=∠=-︒ ⎪⎝⎭，，，，即，；⑤当时，，，，，，，即，；⑥当时，则，即，，，，，，()190451801801·45135OAF F AOF n n n ⎡⎤︒︒⎛⎫∴∠=︒-∠+∠=︒--︒+=︒- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦145225·180135135EAO EAF OAF n n n ︒︒⎛⎫∴∠=∠-∠=︒-︒-=-︒ ⎪⎝⎭()()22511135BAE BAO EAO n EAO n n ︒⎛⎫∴∠=∠-∠=-∠=--︒ ⎪⎝⎭BAE ABO E BOE ∠+∠=∠+∠ ()2251111351·1351·90n ABO n n n ︒⎛⎫⎛⎫⎛⎫--︒+∠=-︒+-︒ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭135135ABO n ∴∠=︒-︒3F EAF ∠=∠540F n︒∠=15407201·180180E n n n ︒︒⎛⎫∴∠=-︒-=︒- ⎪⎝⎭()54090630180180180OAF F AOF nn n ︒︒︒⎛⎫∴∠=︒-∠+∠=︒-+=︒- ⎪⎝⎭1630810·180180180EAO EAF OAF n n n ︒︒⎛⎫∴∠=∠-∠=︒-︒-=-︒ ⎪⎝⎭()()81011180BAE BAO EAO n EAO n n ︒⎛⎫∴∠=∠-∠=-∠=--︒ ⎪⎝⎭BAE ABO E BOE ∠+∠=∠+∠ ()810720111801801·90n ABO n n n ︒︒⎛⎫⎛⎫--︒+∠=︒-+-︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭180720ABO n ∴∠=︒-︒3F E ∠=∠131·180E E n ⎛⎫∠+∠=-︒ ⎪⎝⎭11·45E n ⎛⎫∠=-︒ ⎪⎝⎭131·135F E n ⎛⎫∴∠=∠=-︒ ⎪⎝⎭()190451801801·13545OAF F AOF n n n ⎡⎤︒︒⎛⎫∴∠=︒-∠+∠=︒--︒+=︒+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦145135·1804545EAO EAF OAF n n n ︒︒⎛⎫∴∠=∠-∠=︒-︒+=-︒ ⎪⎝⎭()()1351145BAE BAO EAO n EAO n n ︒⎛⎫∴∠=∠-∠=-∠=--︒ ⎪⎝⎭BAE ABO E BOE ∠+∠=∠+∠即，．综上，或或或或．【点拨】本题考查的知识点是三角形内角和定理、角平分线的相关运算、角等分线的相关运算、三角形外角性质，解题关键是综合运用角平分线定义和三角形内角和定理并注意分情况讨论．()135111451·451·90n ABO n n n ︒⎛⎫⎛⎫⎛⎫--︒+∠=-︒+-︒ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4545ABO n ∴∠=︒-︒60ABO ∠=︒180240n ︒-︒135135n ︒-︒180720n ︒-︒4545n ︒-︒n。
2021-2022学年第二学期南京市第二十九中学初二数学三月月考试题及解析
A.对某校八年级学生视力情况的调查B.对南京市全市空气质量情况的调查
C.对长江流域现有鱼的种类的调查D.对全国中学生心理健康现状的调查
【答案】A
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】A、对某校八年级学生视力情况的调查，适宜普查，故本选项符合题意；
三、解答题（本大题共4小题，共52分）
17.（1）约分：
（2）化简：
（3）先化简，再求值： ，其中 ．
18.按要求完成画图（作图），并保留必要的画图（作图）痕迹．
（1）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上．
①试画出 以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形 ；
20.正方形 中，对角线 、 交于点O，点E、F、G分别在边 、 、 上．
（1）在图①中， 于点P，连接 、 ；
①判断线段 、 之间 关系____________；
②若 ， ，P、Q两点关于直线 对称，直接写出线段 的长度______；
③若 ，当E、F在边 、 上运动时， 的最小值是______；
（2）在图②中， 于点P，连接 ，比较 与 的大小关系，并说明理由．
C.对长江流域现有鱼的种类的调查D.对全国中学生心理健康现状的调查
3.菱形具有而矩形不一定具有 性质是（）
A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角相等D.对边平行
4.如果把分式 中的x和y都扩大2倍，那么分式的值是（）
A.扩大为原来的4倍B.扩大为原来的2倍
C.不变D.缩小为原来 倍
5.如图，将 绕点A按逆时针方向旋转110°得到 ，连接 ，若 ，则 度数为（）
江苏省徐州高级中学2023届高三下学期3月月考数学试题
江苏省徐州高级中学2023届高三下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．2017-2021年，普通本专科招生人数逐年增加．普通本专科招生人数在2017-2018年增长最多．2017-2021年，普通高中招生人数在普通本专科、中等职业教育及普通高中招生总人数中所占比例逐年下降．2017-2021年，中等职业教育平均招生人数大约为608万10．一般地，如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为mn，则以下结论正确的是（）．三棱锥的直度的最大值为1．直度为34的三棱锥只有一种．四棱锥的直度的最大值为1(2)若()0EF DB l l =>uuu r uuu r ，求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值的取值范围.20．随着5G 网络信号的不断完善，5G 手机已经成为手机销售市场的明星.某地区手机专卖商场对已售出的1000部5G 手机的价格数据进行分析得到如图所示的频率分布直方图：(1)某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500元以下的手机各一部，商场工作人员应顾客的要求按照分层抽样的方式提供了14部手机让其从中购买，假定选择每部手机是等可能的，求这两人至少选择一部价位在3500~4500元的手机的概率；(2)该商场在春节期间推出为期三天的“中奖打折”活动，活动规则如下：在一个不透明的容器中装有一白一黄两个除颜色外完全相同的乒乓球，顾客每次限抽一球，抽完后放回容器中摇晃均匀后再抽取下一次.若抽中白球得2分，抽中黄球得1分，得分为9分或10分时停止抽取，其中得9分为中奖，享受标价打n 折（*N n Î）优惠，得10分则未中奖按标价购买.设得i 分的概率为i P （1i =，2，…，10），其中01P =.（i ）证明{}1ii P P--（10i <，且*N i Î）是等比数列；（ii ）假定厂家在出售手机时的标价为进价的2倍，则厂家至少打几折才不致亏损?21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，直线l ：=1x -，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，分别以PQ ，PF 为直径作圆1C 和圆2C ，且圆1C 和圆2C 交于P ，R 两点，且PQR PFR Ð=Ð.。
江苏省南京市重点高中2021-2022学年高二下学期3月月考化学试卷(Word版无答案)
南京市重点高中2021-2022学年高二下学期3月月考化学一、选择题（共14小题，每小题仅有一个正确选项） 1．下列有关化学用语正确的是 A ．丁烷的球棍模型B ．和互为同系物C ．次氯酸的电子式D ．乙烯的结构简式 CH 2CH 22. 下列关于Na 、Mg 、Al 元素及其化合物的说法正确的是 A. Mg 在周期表中位于p 区 B. 原子半径：r (Na)<r (Mg)<r (Al) C. 第一电离能：I 1(Na)<I 1(Al)<I 1(Mg)D. 最高价氧化物的水化物的碱性：NaOH<Mg(OH)2<Al(OH)33.下列实验装置或操作能达到相应实验目的的是A ．验证SO 2的漂白性B ．除去乙烯中的SO 2C ．收集SO 2D ．吸收尾气中的SO 24. 检验溴乙烷与NaOH 乙醇溶液共热生成的气体中是否含乙烯，装置如图2所示。
下列说法不正确的是A. 如图1所示NaBr 晶胞中，每个Na ＋周围距离最近的Na ＋数目为4个B. 装置①的作用是除去乙醇C. 装置②的现象是高锰酸钾酸性溶液紫色褪去D. 将生成的气体直接通入溴的四氯化碳溶液也可达到实验目的5. 下列有关说法正确的是A. CO 2－3 的空间构型为三角锥形 B. SO 2与SO 3中硫原子的杂化轨道类型均是sp 2C. SO 2的键角比SO 3的大D. 1 mol [Cu(H 2O)4]2＋中含有8 mol σ键6. 在给定条件下，下列物质间所示的转化不能实现的是A. HClO ――→光照O 2 B. ClO －――→SO 2ClO －3 C. Cl 2――→Fe点燃 FeCl 3 D. Cl 2――→NaOH （aq ）NaClO(aq) 7．某有机物的结构简式为，下列关于该有机物的叙述正确的是A ．在加热和催化剂作用下，最多能和4 mol H 2反应B ．不能使酸性KMnO 4溶液褪色C ．不能使溴水褪色D．该有机物易溶于水8. Deacon曾提出在催化剂作用下，通过氧气直接氧化氯化氢制备氯气。
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2020-2021南京市第二十九中学3月月考高二数学注意事项：本试卷共6面，试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）1．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a α⊥，b β⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设函数2()ln f x a x bx =+，若函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，则函数()y f x =的增区间为A ．(0，1)B ．(0，2) C ．(2，1) D ． (2，+∞) 3．抛物线C ：2y ax =在点()1,a 处的切线方程为210x y --=，则C 的焦点坐标为A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上 A ．有唯一零点B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定5．已知函数244()ln -⎫⎛=++ ⎪⎝⎭x f x k x k x ，[1,)∈+∞k ，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y 使曲线()y f x =在M ､N 两点处的切线互相平行，则12+x x 的取值范围为A ．(4,)+∞B ． [4,)+∞C ．16,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．16,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于89，则需要操作的次数n 的最小值为 参考数据：（lg 20.3010,lg30.4771==） A ．4B ．5C ．6D ．77．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左､右焦点分别为1F ､2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若18PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若125e =，则2e 等于 A ．52 B ．2C ．3D ．538．已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为 A ．128πB ．132πC ．144πD ．156π二、多选题（共4题，每题5分，共20分：漏选得2分，错选或不选得0分） 9．已知0a >，0b >，231a b +=，下列结论正确的是 A ．22a b +的最小值为112B ．2424log log a b +的最大值为1-C ．11a b+的最小值为 D ．48a b +的最小值为10．已知函数sin ()e =-xxf x x，则 A ．()f x 是奇函数B ．1C ．()f x 在(1,0)-单调递增D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一个极值点11．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4， 乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则 A ．事件A 与事件B 是互斥事件 B ．事件A 与事件B 不是对立事件 C ．事件AB 发生的概率为1120 D ．事件AB 发生的概率为2512．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为6，焦点为1F 、2F ，长轴的端点为1A 、2A ，点M是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆C 的离心率为e ，则下列说法正确的是 A ．若12MF F △的周长为16，则椭圆的方程为2212516x y +=B ．若12MF F △的面积最大时，12120F MF ∠=，则2e =C ．若椭圆C 上存在点M 使120MF MF ⋅=，则0,2e ⎛∈ ⎝⎦D ．以1MF 为直径的圆与以12A A 为直径的圆内切 三、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13．设直线l 与曲线1:xC y e =与21:x C y e=-均相切，切点分别为()()1122,,,A x y B x y 则12y y = __________.14．数列{}n a 满足113a =，且()1123n n n n a a n a a ++-=+，则数列{}n a 的前10项和为__________. 15．已知5260126(1)(1)mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+.若25a =，则m =___________；135a a a ++=___________.16．正方体1111ABCD A B C D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P 在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________． 四、解答题（共6题，共70分）17．（10分）在ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23B π=，b =. （Ⅰ）若2cos cos 3A C =，求ABC 的面积； （Ⅰ）试问111a c+=能否成立？若能成立，求此时ABC 的周长；若不能成立，请说明理由.18．（12分）已知数列{a n }是递增的等比数列，前3项和为13，且a 1＋3，3a 2，a 3＋5成等差数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }的首项b 1＝1，其前n 项和为S n ，且 ，若数列{c n }满足c n ＝a n b n ，{c n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题. ①3S n ＋b n ＝4；②b n ＝b n －1＋2(n ≥2)；③5b n ＝－b n －1(n ≥2).19．（12分）已知函数()()()2220xf x ax x ea =++>，其中e 是自然对数的底数.（1）若()f x 在[]22-,上是单调增函数，求a 的取值范围； （2）证明：当1a =时，方程()5f x x =+有且只有两个零点.20．（12分）如图，四边形BEDC 为正方形，AE BE ⊥，AE BE =，ADE 为锐角三角形，M ，N 分别是边DE ，BE 的中点，直线DE 与平面ABE 所成的角为3π. （1）求证：DN ⊥平面ACM ；（2）若ADE 为锐角三角形，求二面角M AC B --的余弦值.21．（12分）已知函数()()2e 2xf x x =-+．（1）求函数()f x 的极值；（2）若关于x 的不等式()()2240f x n x x ++≥在[)0,+∞上恒成立，其中0n ≥，求实数n 的取值范围．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点的直线()11:0l y k x k =>交抛物线2:2C y x =于点P （异于原点O ），抛物线C 上点P 处的切线交y 轴于点M ，设线段OP 的中点为N ，连结线段MN 交C 于点T . （1）求||||TM MN 的值；（2）过点P 作圆22:(1)1O x y '-+=的切线交C 于另一点Q ，设直线OQ 的斜率为2k ，证明：12k k -为定值．参考答案1．C 2．D 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．B 9．BD 10．CD 11．BCD 12．ABD 13．2e - 14．17526415．1- 01617．（Ⅰ）3；（Ⅰ）（Ⅱ）不成立。
假设111a c +=能成立，Ⅱa c ac +=.由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，Ⅱ226a c ac =++.Ⅱ2()6a c ac +-=，Ⅱ2()60ac ac --=，Ⅱ3ac =或-2（舍），此时3a c ac +==.不满足a c +≥Ⅱ111a c+=不成立. 18．（1）a n ＝3n -1；（2）（2）选择① 因为3S n ＋b n ＝4，所以3S n -1＋b n -1＝4(n ≥2)，两式相减得3(S n －S n -1)＋(b n －b n -1)＝0，即4b n －b n -1＝0(n ≥2)， 所以114n n b b -=(n ≥2)，所以数列{b n }是以b 1＝1为首项，14为公比的等比数列，故()114n n b -=，因此()134n n n n c a b -==，因为0n c >恒成立，即c 1>0，c 2>0，c 3>0，…， 所以(T n )min ＝T 1＝c 1＝1. 选择②由b n ＝b n -1＋2(n ≥2)知{b n }是以b 1＝1为首项，2为公差的等差数列， 所以b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 所以12)(13n n n n c a b n --⋅==，因为c n ＝(2n －1)·3n －1>0，即c 1>0，c 2>0，c 3>0，…， 所以(T n )min ＝T 1＝c 1＝1. 选择③由5b n ＝－b n -1(n ≥2)知{b n }是以b 1＝1为首项，15-为公比的等比数列， 所以()115n n b -=-，所以()()11113355n n n n n n c a b ---==⨯-=-，所以()()31553138515nnn T --⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦+， 当n 为奇数时，由于()305n-<，故58nT >； 当n 为偶数时，由于()305n->，故58n T <， 由()53185nn T ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦在n 为偶数时单调递增，所以当n ＝2时，()min 51628255n T =⨯=，综上所述：T n 的最小值为25. 19．（1）(]0,1；（2）（2）因为1a =，设()()2225xh x x x e x =++--，则()()()()2222221441xxxh x x e x x e x x e =++'++-=++-.令()()2441xx x x e ϕ=++-，则()()()()()()2224446842xxxxx x e x x e x x e x x e ϕ=+++'+=++=++，由()()()420xx x x e ϕ'=++=，得4x =-或2x =-.所以()()44410x e ϕϕ-=-=-<极大值，()()210x ϕϕ=-=-<极小值因为()1110eϕ-=-<，()030ϕ=>，所以存在()01,0x ∈-，使()00x ϕ=， 当()0,x x ∈-∞时，()0x ϕ<，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，()0h x '>， 所以()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 又因为()51750h e -=>，()410410h e-=-<，()030h =-<，()1560h e =->， 故根据零点存在定理，可知()0h x =的根()15,4x ∈--，()20,1x ∈， 所以方程()5f x x =+有且只有两个零点. 20．（1）1）证明：ⅡBE AE ⊥，BE DE ⊥，AE DE E =，ⅡBE ⊥平面ADE .Ⅱ平面ABE ⊥平面ADE ，因为ADE 为锐角三角形， Ⅱ点D 在平面ABE 的射影在线段AE 上，ⅡAED ∠为直线DE 与平面ABE 所成的角，即3AED π∠=.又ⅡAE DE =，ⅡADE 为等边三角形. Ⅱ点M 为DE 的中点，ⅡAM DE ⊥. 又BE AM ⊥，BE DE E ⋂=，ⅡAM ⊥平面BCDE .ⅡDN ⊂平面BCDE ，ⅡAM DN ⊥.ⅡCD DE =，DM EN =，2CDE DEN π∠=∠=，ⅡCDM DEN ≅△△，ⅡEND DMC ∠=∠，Ⅱ2DMC EDN π∠+∠=，ⅡDN CM ⊥.ⅡCM AM M ⋂=，CM AM ⊂，平面ACM ， ⅡDN ⊥平面ACM . ；（221．（1）函数()f x 有极小值()12e f =-，无极大值；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．（1）||1||2TM MN =；（2）设直线PQ 的方程为()()1122,,,,x my t P x y Q x y =+ 222222,220y xy my t y my t x my t⎧=⇒=+--=⎨=+⎩，2212t t m =⇒-=()()()12121212121212t y y y y y y k k x x my t my t my t my t --=-=-=++++()()()12121222222121222t y y t y y y y m y y mt y y t m t m t t t---===+++-++2==为定值．。