高三理科 利用空间向量求空间角总结

高三 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）
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一、复习引入
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

（回到图形） 2．向量的有关知识：
（1）两向量数量积的定义：><=⋅,cos |||| （2）两向量夹角公式：|
|||,cos b a >=
<
（3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析
知识点1：面直线所成的角（范围：]2
,
0(π
θ∈）
（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a ´与b ´，那么直线a ´与b ´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和，
问题1： 当与的夹角不大于90
的角θ与 和 的夹角的关系？问题 2：a 与b 的夹角大于90°时，，异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系？
结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|
||||,cos |cos n m =
><=θ
a
思考：在正方体1111D C B A ABCD -中，若1E 与1F 分别为11B A 、
11D C 的四等分点，求异面直线1DF 与1BE 的夹角余弦值？
（1）方法总结：①几何法；②向量法
（2）><11,cos BE DF 与><B E DF 11,cos 相等吗？ （3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？
例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角.
解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。

2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。

练习1：在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，现将△AOB 沿着平面AOB 的法向量方向平移到△A 1O 1B 1的位置，已知OA =OB=OO 1，取A 1B 1 、A 1O 1的中点D 1 、F 1，求异面直线BD 1与AF 1所成的角的余弦值。

知识点2、直线与平面所成的角（范围：]2
,
0[π
θ∈）
y
x
y
x
y
思考：设平面α的法向量为n ，则><BA n ,与θ的关系？
例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值.
练习：正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、
1DD 的中点.求直线11C B 与平面C AB 1所成的角的正弦值.
知识点3：二面角（范围：],0[πθ∈）
①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹
2）
y
角。

如图，设二面角βα--l 的大小为θ，其中βα⊂⊥⊂⊥CD l CD AB l AB ,,,.
例3 、 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从A ，B 到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC 和BD 分别为 a 和 b ,CD 的长为c , AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.
②法向量法
结论：或
归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
例4、如图，ABCD 是一直角梯形，︒=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，2
1=AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值.
练习：正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.求二面角D AE F --的余弦值。

三、课堂小结
1．异面直线所成的角：|,cos |cos ><=b a θ 2．直线和平面所成的角：|,cos |sin ><=θ
3．二面角：><-=><=2121,cos cos ,cos cos n n n n θθ或.
第四部分 巩固练习
1.如图所示，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )
y
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．90°
2．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )
A.12
B. 23
C.33
D.22
3．在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝
AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )
A.15
B.255
C.55
D.25
4．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥
AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B ­AC ­M 的余弦值为( )
A.66
B.36
C.26
D.16
5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC ­A
1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1
与直线AB 1夹角的余弦值为________．
6．如图，在正四棱锥S ­ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成角为________．
7．如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．
答 案
1．选B 以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐系系D －xyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0，0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，0，12，
EF ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，－12，－12，DC ＝(0,1,0)，
∴cos 〈EF ，DC 〉＝EF ·DC |EF ||DC |
＝－2
2，
∴〈EF ，DC 〉＝135°，
∴异面直线EF 和CD 所成的角是45°.
2．选B 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝
⎛⎭⎪⎫1，0，12，
D (0,1,0)，
∴1A D ＝(0,1，－1)， 1A E ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，0，－12，
设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧
y －z ＝0，1－1
2
z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2，
z ＝2.
∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝2
3.
即所成的锐二面角的余弦值为2
3
.
3.选C 以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0，0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，
E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12
，0，
F ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1
2
，1，∴PA ＝(0,0，－2)，DE ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫0，12
，0，DF ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12
，1. 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则由⎩⎨
⎧
n ·DE ＝0，n ·DF ＝0
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0，
取z ＝1，则n ＝(2,0,1)，设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|PA ·n ||PA ||n |＝5
5，
∴PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55
， 故选C.
4．选A ∵BC ⊥平面PAB ，AD ∥BC ，∴AD ⊥平面PAB ，PA ⊥AD ， 又PA ⊥AB ，且AD ∩AB ＝A ，
∴PA ⊥平面ABCD .
以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A ­xyz .
则A (0,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，B (0,1,0)，M
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，1， ∴AC ＝(2,1,0)， AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，12，1，
求得平面AMC 的一个法向量为
n ＝(1，－2,1)，
又平面ABC 的一个法向量AP ＝(0,0,2)， ∴cos 〈n ，AP 〉＝
n ·AP
|n |·|AP |
＝21＋4＋1·2＝16＝66.∴二面角B ­AC ­M 的余弦值为6
6.
5．解析：不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2. 可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，
A (2,0,0)，
B 1(0,2,1)，
∴1BC ＝(0,2，－1)，1AB ＝(－2,2,1)， ∴cos 〈1BC ，1AB 〉＝1BC ·1
AB | 1BC ||1AB |
＝
4－15×9
＝15＝5
5
＞0. ∴1BC 与1AB 的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角， ∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55
. 答案：
55
6．解析：如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O ­xyz .
设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ， 则A (a,0,0)，B (0，a,0)，
C (－a,0,0)， P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－a 2，a 2.
则CA ＝(2a,0,0)，AP ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a
2，
CB ＝(a ，a,0)．
设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，
则cos 〈CB ，n 〉＝CB ·n
| CB ||n |
＝a 2a 2
·2＝12. ∴〈CB ，n 〉＝60°， ∴直线BC 与平面PAC 的夹角为 90°－60°＝30°. 答案：30°
7．解：(1)证明：取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B .
因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .
由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .
(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以
OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．
以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O ­
xyz .
由题设知A (1,0,0)，A 1(0, 3，0)，C (0,0, 3)，
B (－1,0,0)．
则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·BC ＝0，
n ·1BB ＝0.
即⎩⎨
⎧
x ＋3z ＝0，
－x ＋3y ＝0.
可取n ＝(3，1，－1)． 故cos
n ，1A C
n ·1A C
|n ||1A C |
＝－
105. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为
105
.。