方程组解的性质

5.2 自治微分方程组解的性质课件ppt课件

即：
这就说明了解是重合的.
与
在相平面上的轨线
性质2被称为自治系统相空间轨线的惟一性。
它的含义是自治系统的不同轨线在相平面上是不相交的。由性质1，性质2知我们在（5.2.6）的解
中，只需要讨讨论初始时刻
的解并简记为
从而有下边的性质3。
性质3
对于任意的
有
其中
证明
，
。
是系统 (5.2.6) 的解。且与解在 t=0 时有相同的初值，因此由解的存在惟一性定理知它们对于任意t都是恒等的，取即得性质的结论。
性质1也称为自治系统的积分曲线的平移不变性它的含义是系统526的积分曲线在的三维空间中沿轴任意平移后仍是dxdxtxdtdtdydydtdt满足条件的解分别为可以验证平移不变性对自治系统成立对非自治系统不成
§5.2
自治微分方程组解的性质
当微分方程组右端的函数不显含时间变量 t时我们称它为自治微分方程组。从运动学的角度看，当点的位置确定时速度就随之确定，即速度场是与时间无关的恒定场；从几何的角度看，当点的位置确定时各点的切线方向就随之确定，即切向量场是与时间无关的恒定场。自治系统线的这些特点特点可以简化我们的问题。
轨线不可能在有限时间到达某奇点
。
对于平面定常系统，已经证明了其轨线只能是三种
情况: (1)奇点，(2)闭轨线，(3)有限时间自身不相交轨线。例5.2.4 描出下列单摆方程的轨线。 (5.2.7)
解
(5.2.7)是一个自治系统，且可以消去其化为：
后将
(5.2.8) 容易求（5.2.8）的解为。
从
出发的解在相空间的轨线均相同。而非自治系统就不一定具有这样的性质.
例
求非自治系统

5 经管齐次线性方程组(2)

移项：
k1 b11kr 1 b12 kr 2 k b k b k 21 r 1 22 r 2 2 kr br 1kr 1 br 2 kr 2 k r 1 k r 1 kr 2 kr 2 kn
3 x1 x3 5 可得原方程组的同解方程组： x 1 x x 2 3 4 5
3 x1 x3 在此方程组中，分别取自由未知量 5 1 x 2 x 3 x4 1 0 x3 5 x 为 0 , 1 3 4 5 0 1 1 可得基础解系： 1 , 2 5 0 1 1 0 方程组的通解为X c11 c22 ，其中c1 , c2 为任意常数.
, s 线性无关； , s 线性表示.
②AX=0 的任意解都可以由1 ,2 , 则称 1 ,2 ,
, s 为齐次线性方程组的一个基础解系.
２、线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵Ａ的秩为ｒ，对系数矩阵Ａ进行初等行变换，将其化为最简形: 轾 1 0 0 b11 b1,n- r 犏犏 0 1 0 b21 b2,n- r 犏犏犏犏 0 0 1 br 1 br ,n- r 犏犏 0 0 0 0 0 犏犏犏犏 0 0 0 0 0 犏臌 x1 x 2 x r x r 1 xn
,n r
(其中 k1 , k2 ,
, kn r 为任意实数).
三、应用举例例1 求齐次线性方程组 x1 2 x2 x3 2 x4 0 2 x1 x2 x3 x4 0 3 x x 2 x x 0 2 3 4 1 的通解，并用基础解系表示.
k11 k22

4_2 线性方程组解的性质

a11 a21 L am 1 a12 a22 L am 2 L a1n x1 b1 L a2 n x2 b2 = M M L L L amn xn bm
若
为方程组 Ax = b 的解，为方程组
基础解系
方程组的通解
齐次线性方程组解空间的一个基
x = k1η1 + k2η2 + L+ ktηt
其中 k1 , k 2 , L , k t 是任意常数 .
广西大学数学与信息科学学院
例1 求下齐次线性方程组的基础解系与通解. 的基础解系与通解
x1 + x 2 − x 3 − x 4 = 0, 2 x1 − 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0, 7x − 7x + 3x + x = 0 1 2 3 4
为任意常数） C 为任意常数
−1 3 4 0 2 2 ξ 3 = ( −1) + = 3 1 −2 −1 1 0
广西大学数学与信息科学学院
２．齐次线性方程组解的性质
(1 )η 1 , η 2 , L , η t 是 Ax = 0的一组线性无关的解 ;
( 2 ) Ax = 0 的任一解都可由 η 1 , η 2 , L , η t 线性表出. Ax = 0 的通解可表示为
t = n − R( A)
x = k1η1 + k2η2 + L+ ktηt
其中 k1 , k 2 , L , k t 是任意常数 .
的解，为实数，（2）若 x = ξ1 为 Ax = 0 的解，k 为实数，则的解．也是 Ax = 0 的解．证明

齐次线性方程组

返回
定理:齐次线性方程组 ① ,如果它的系数矩阵的秩 R(A)=n,那么它只有零解,没有基础解系,如果 R(A)<n,那么它有无穷多解,存在基础解系,且它的基础解系所含的解向量的个数为n-r个(其中=R(A)). 定理: a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n 有非零解 A 0 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 证明:
b12 2 b1,n r n r br 2 br ,n r 无关 0 , , 0 . 1 0 无关 0 1
1 1 1 1 r2 r1 0 0 2 4 r3 r1 0 0 1 2
20
返回
1 r3 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 0 0
1 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 . 1 2 0 0 0 0
§2 齐次线性方程组
一、齐次线性方程组解的性质二、齐次线性方程组的非零解
1
返回
一、齐次线性方程组解的性质
齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 am1 x1 amn xn 0 AX = 0 ②
①
x1 c1 记 [註]: 1. 若 X ξ, 则 x n cn
x2 x2
x4 2 x4 x4
则
x2 1 令 , x4 0

《线性代数》考研辅导讲义4

《线性代数》考研辅导讲义4 第四部分线性方程组一.线性方程组的四种表示形式1.非齐次线性方程组(1)一般形式:11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(2)矩阵形式:令1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则11m n n m A x b ⨯⨯⨯=,而11121121222212(|)_n nm m mnm a a a b a a a b B A b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭增广矩阵(3)向量形式:令12(,,,)n A ααα= ,得向量形式1122n n x x x bααα+++= .其中()12,,,,1,2,,Tj j j mj a a a j n α== 为A 的列向量组.(4)内积形式:令12T T T m A ααα⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,则内积形式1122T T T mm x b x b x b ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ .其中12(,,,),1,2,,T i i i in a a a i m α== 为A 的行向量组.2.齐次线性方程组(1)一般形式:111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(2)矩阵形式:110m n n m A x ⨯⨯⨯=(3)向量形式:11220n n x x x ααα+++=(4)内积形式:12000T TT mx x x ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 二.线性方程组解的性质 1.110m n n m A x ⨯⨯⨯=解的性质(1)若12,ξξ为0Ax =的解,则12ξξ+也为0Ax =的解.(2)若ξ为0Ax =的解,则k ξ也为0Ax =的解.故{|0}S x Ax ==是n R 的一个子空间,其基础解系构成子空间的一个基.2.11m n n m A x b ⨯⨯⨯=解的性质(1)设12,ηη为Ax b =的解,则12ηη-为其导出组0Ax =的解.(2)设η为Ax b =的解,ξ为0Ax =的解,则ξη+为Ax b =的解.【注意】若12,ηη为Ax b =的解,则121,(1)k k ηηη+≠都不是Ax b =的解,故{|}S x Ax b ==不是nR 的一个子空间. 三.线性方程组解的理论及解的结构 1.110m n n m A x ⨯⨯⨯=解的理论及解的结构定理1110m n n m A x ⨯⨯⨯=至少有一个零解.(1)110m n n m A x ⨯⨯⨯=只有零解()R A n ⇔=(未知量的个数).不存在基础解系;(2)110m n n m A x ⨯⨯⨯=有非零解()R A r n ⇔=<.其基础解系含n r -个线性无关的解向量,设为12,,,n r ξξξ- ,则110m n n m A x ⨯⨯⨯=的通解为1122n r n r x k k k ξξξ--=+++其中12,,,n r k k k - 为任意常数; (3)(Crammer 定理)110n n n n A x ⨯⨯⨯= 只有零解0A ⇔≠.2.11m n n m A x b ⨯⨯⨯=解的理论及解的结构定理2 11m n n m A x b ⨯⨯⨯=可能有解.(1)11m n n m A x b ⨯⨯⨯=有解()()R A R B ⇔=;(2)有唯一解()()R A R B n ⇔==;(3)有无穷多解()()R A R B r n⇔==<.设其导出组的基础解系为12,,,n r ξξξ- ,η为11m n n m A x b ⨯⨯⨯=的一个特解,则11m n n m A x b ⨯⨯⨯=的通解为1122n r n r x k k k ξξξη--=++++其中12,,,n r k k k - 为任意常数; (4) (Crammer 定理)11n n n n A x b ⨯⨯⨯=有唯一解0A ⇔≠.四.两个线性方程组解之间的关系设方程组(1)的解集合为M ,方程组(2)的解集合为N ,则 1. M N =⇔方程组(1)与方程组(2)同解; 2. M N ⇔ 方程组(1)与方程组(2)的公共解; 3.M N ⊂⇔方程组(1)的解是方程组(2)的解.五.一个非常有用的结论 1. ()()m s s n m n A B O R A R B s ⨯⨯⨯=⇒+≤;2.m s s n m n A B O B ⨯⨯⨯=⇔的列向量是110m s s m A x ⨯⨯⨯=的解向量.典型例题一.解的概念、性质、理论、结构的基本题例1 设1231233,2,223A p b Ax b t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无解,则t 与p 满足 .解由12311231(|)233201302230021B A b p p t t p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==+→--⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ,得202t p t p -=⇒=.例2 设三平面0(1,2,3)i i i i a x b y c z d i +++==重合,则齐次线性方程组0(1,2,3)i i i a x b y c z i ++==的解空间的维数等于 2 .解111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩等于1. 例3 设A 为n 阶实矩阵,则以下命题成立的是( C ).(A)若0Ax =有解时0T A Ax =也有解,则A 必可逆;(B)若0T A Ax =有解时0Ax =也有解, 则A 必可逆;(C) 0T A Ax =的解必是0Ax =的解; (D)0T A Ax =的解与0Ax =的解无任何关系.解0Ax =与0T A Ax =同解.例4 设541234(,,,)A αααα⨯=,已知12(1,1,1,1),(0,1,0,1)T T ηη==是0Ax =的基础解系,则( D ). (A) 13,αα线性无关; (B) 24,αα线性无关; (C)1α不能被34,αα线性表示;(D)4α能被23,αα线性表示.解由1η知: 12340αααα+++=;由2η知: 240αα+=,则4α能被2α线性表示,所以4α能被23,αα线性表示.例5 设12,ββ是0Ax b =≠的两个不同的解, 12,αα是0Ax =的基础解系, 12,k k R ∈,则Ax b =的通解必是( B )(A) 1211212()2k k ββααα-+++; (B) 1211212()2k k ββααα++-+; (C) 1211212()2k k ββαββ-+++;(D)1211212()2k k ββαββ++++.例6 设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b=的三个解向量,且()3R A =,123(1,2,3,4),(0,1,2,3)T T ααα=+=,则Ax b =的通解是( C ).(A)11213141c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (B) 10213243c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (C) 12233445c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D) 13243546c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二.含参数的线性方程组解的讨论例7 当λ为何值时,方程组12312312321,2,4551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩无解,有唯一解,无穷多解?并在有无穷多解时求方程组的通解.解方法一:一般情形.13211121(|)11211245515541c c B A b λλλλ↔--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭121012300549rλλλλ-⎛⎫ ⎪−−→-+ ⎪ ⎪+⎝⎭(1)方程组有唯一解104()()3,15405R A R B λλλλ-≠⎧⇔==⇔⇒≠-≠⎨+≠⎩;(2)当45λ=-时,()2()3R A R B =≠=,方程组无解;(3)当1λ=时,1121(|)00110000rB A b ---⎛⎫⎪=−−→ ⎪ ⎪⎝⎭,方程组的解13211x x x =⎧⎨=+⎩,令2x k =,则方程组的通解(0,1,1)(1,0,1),TT x k k =+为任意常数.方法二:特殊情形. (54)(1)A λλ=+-.(1)当4,15λλ≠-≠时,方程组有唯一解;(2)当45λ=-时,()2()3R A R B =≠=,方程组无解;(3)当1λ=时,1001(|)01110000rB A b ⎛⎫ ⎪=→-- ⎪ ⎪⎝⎭,()()23R A R B ==<,方程组有无穷多解,且通解为(0,1,1)(1,1,0),TT x k k =+-为任意常数.三.与解的结构相关问题例8 若n 阶矩阵11(,,,)n n A ααα-= 的前1n -个列向量线性相关,后1n -个列向量线性无关,12n βααα=+++ .证明:(1)Ax β=必有无穷多解;(2)若12(,,,)Tn k k k 是Ax β=的任一解,则1nk =.证 (1)2,,n αα 线性无关,则21,,n αα- 线性无关,又121,,,n ααα- 线性相关,所以1α可由21,,n αα- 线性表示,则()1R A n =-.因为12n βααα=+++ ,则()()1R B R A n n ==-<,所以Ax β=必有无穷多解.(2)121,,,n ααα- 线性相关,存在一组不全为零的数121,,,n λλλ- ,使得1122110n n λαλαλα--+++= ,即11221100n n n λαλαλαα--++++⋅= ,又()1R A n =-,则121(,,,,0)Tn λλλ- 为0Ax =的基础解系.因为12n βααα=+++ ,则(1,1,,1)T 是Ax β=的一个特解,故Ax β=的通解为111,101n x c c R λλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 若12(,,,)Tn k k k 是Ax β=的解,则1nk =.例9 设A 为(1)m m -⨯矩阵, j D 是去掉A 的第j 列所得1m -阶矩阵的行列式,证明:(1)向量112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的解向量;(2)当12,,,m D D D 不全为零时,112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的一个基础解系.证令1211121(1)1(1)2(1)mT m m m m m m b b b a a a b B A a a a ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭,则(1,2,,)j D j m = 分别为B中第一行元素的余子式,而112,,,(1)m m D D D +-- 分别为B中第一行元素的代数余子式,由行列式按行(或列)展开定理,有11122()(1)0,1,2,,m i i im m a D a D a D i m ++-++-== ,则112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的解向量.(2) 当12,,,m D D D 不全为零时,则A 至少有一个1m -子式不为零,所以()1R A m =-,从而Ax =的基础解系含一个解向量,又112(,,,(1))0m T m D D D +--≠ ,故112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的一个基础解系.例10 设非齐次线性方程组Ax b =,其中A 为m n ⨯矩阵, ()(|)R A R A b r ==,求由Ax b=的所有解向量组成的向量组的一个极大无关组及该向量组的秩.解要点:设0Ax=的一个基础解系为12,,,n r ξξξ- ,Ax b =的一个特解为η,则Ax b =的所有解向量组成的向量组的一个极大无关组为12,,,,,n r ηηξηξηξ-+++ 该向量组的秩为1n r -+. 例11 设A 为m n ⨯矩阵,证明:Ax B =有解的充分必要条件是对0T A y =的任一解0y 都有00T B y =.证必要性:设0Ax B =,则000000()()00T T T T TB y Ax y x A y x ====;充分性: 对T A y =的任一解y 都有00T B y =,则0T A y =与0,0TT A y B y ⎧=⎪⎨=⎪⎩同解,所以()()(|)T TT A R A R R A R A B B ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭,即Ax B =有解.四.两个线性方程组的公共解的问题例11 (1.求公共解的方法之一:已知线性方程组,Ax Bx αβ==,则它们的全部公共解即为线性方程组,Ax Bx αβ=⎧⎨=⎩的解.)设两个四元齐次线性方程组:12240,()0x x x x +=⎧I ⎨-=⎩与1232340,()0x x x x x x -+=⎧II ⎨-+=⎩问方程组()I 与()II 是否有非零的公共解?若有,求出所有公共的非零解;若没有,说明理由.解讨论方程组12241232340,0,0,0x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩是否有非零解.1100100101010101111000120111000r A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,因为()34R A =<,所以方程组有非零解,即方程组()I 与()II 有公共的非零解,且11,021x k k -⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭为所有公共的非零解.(2. 求公共解的方法之二:已知线性方程组Ax α=的通解1122x k k ξξη=++和线性方程组Bx β=,则它们的全部公共解即为线性方程组1122,x k k Bx ξξηβ=++⎧⎨=⎩的解.其求法是:解含12,k k 是未知变量的线性方程组1122()B k k ξξηβ++=,得12,k k ,则所求的全部公共解为1122x k k ξξη=++.3. 求公共解的方法之三: 已知线性方程组Ax α=的通解11221x k k ξξη=++和线性方程组Bx β=的通解11222x l l γγη=++,则它们的全部公共解即为线性方程组1122111222,x k k x l l ξξηγγη=++⎧⎨=++⎩的解. 其求法是:解含12,k k 及12,l l 是未知变量的线性方程组1122111222k k l l ξξηγγη++=++得12,k k (或12,l l ),则所求的全部公共解为11221x k k ξξη=++(或11222x l l γγη=++).)五.线性方程组解的应用例12 已知三平面123:,:,:x y z y z x z x y πγβπαγπβα=+=+=+,证明:它们至少相交于一直线22221αβγαβγ⇔+++=.证显然123,,πππ过坐标原点, 它们至少相交于一直线⇔齐次线性方程组0,0,0x y z x y z x y z γβγαβα-++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩有非零解,则1101γβγαβα--=-,即22221αβγαβγ+++=. 例13 证明:如果非齐次线性方程组11112211211222221122,,n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 有解,则向量12(,,,)T n b b b β= 与齐次线性方程组1112121121222211220,0,0m m m mn n nm m a y a y a y a y a y a y a y a y a y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的解空间正交. 证令12(,,,),(1,2,,)T j j j mj a a a j n α== ,非齐次线性方程组1122n n x x x αααβ+++=有解,则β可由12,,,n ααα 线性表示.令12(,,,)T m y y y y = ,则齐次线性方程组可表示为120,0,0,T TT ny y y ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 即12,,,n ααα 与齐次线性方程组的解正交,从而11221[,]()()0nTT n n i i i y x x x y x y βαααα==+++==∑ ,即β与齐次线性方程组的任一解正交,则β与齐次线性方程组的解空间正交.。

方程组解的结构

x5
0 0
1 0
0 1
所以原方程组的一个基础解系为
2
1
1
1
,
0
0
13
2
0
,
1
0
2
1
3
0
.
0 1
故原方程组的通解为 x k11 k22 k33 .
其中k1 ,k2 ,k3为任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Amn x 0的全体解所构成的集合S是一个向量空间,当系数矩阵的秩 R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
2x 73
5 7
x3
x 3
x4
3 7 4 7
x4 x4
2
7
5
7
1
0
x 3
3
7
4
7
0
1
x, 4
2 7
3 7
即得基础解系1
57 1
,
2
47 0
,
0 1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2
x x
3 4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
A
2
1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1
~
0 0
0
1 1 2 2
1 1 2 2
4 3 6 6
3
1
2
2
~
1 0 0 0
0 1 0 0
2 1 0 0
1 3 0 0
2
1
0
0
RA r 2, n 5, n r 3,即方程组有无穷多解，

第5章-线性方程组

b c1a1 cr ar ,
从而向量b能由A的列向量组线性表示为 b c1a1 cr a r 0a r 1 0a n ,
那么向量c c1,, cr ,0,,0 满足Ac b,因此方程组 Ax b有解。
T
(2). 设Ax b有唯一解c。由(1)结论，有 r ([ A, b]) r ( A) n. 假设r ( A) n, 那么由定理 1，齐次方程组 Ax 0有非零解u, 那么 A(u c) Au Ac Ac b,
1 0 3 1 1 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 5 2 1 1 5 1 0 2 7 4 0 2 7 4 0 1 7 1 1 2 3 0 1 7 2 2 . 2 2 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 2 7 4 0 0 0 0 3 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 14 8 0 0 1 3 9 7
可知
n-r(A)=n-r(ATA) 这就证明了结论。
定理 2
非齐次线性方程组 Ax = b 的通解为 Ax = b 的一个特解与相应齐次线性方程组 Ax = 0 的通解之和.
即: Ax = b 的通解= Ax = b 的特解+ Ax = 0 的通解.
证设是 Ax = b 的一个解, r(A) = r, v1, v2, …, vnr 是 Ax = 0 的一个基础解系，则有 A = b, Av i = 0, i =1, 2, …, nr,
x1 + k x2 + x3 = 1 ,
x1 + x2 - kx3 = k ,

线性方程组的解的性质

线性方程组的解的性质线性方程组是数学中的一个重要概念，它描述了一组关于未知数的线性关系。

线性方程组的解是指满足所有方程的未知数值组合。

在本文中，我们将讨论线性方程组解的性质。

一、解的存在性和唯一性解的存在性是指线性方程组是否有解。

对于一个线性方程组而言，解的存在性可以通过矩阵的行列式来判断。

若行列式的值为非零，则线性方程组有解；若行列式的值为零，则线性方程组无解。

解的唯一性是指线性方程组解的个数。

对于一个线性方程组，解的个数取决于方程的个数和未知数的个数。

如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值不为零，那么线性方程组存在唯一解。

如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值为零，那么线性方程组可能存在无穷多个解，也可能无解。

二、解的线性相关性在解的性质中，我们还需要讨论解的线性相关性。

解的线性相关性是指线性方程组的解之间是否存在线性关系。

如果线性方程组有解且解之间存在线性关系，那么解是线性相关的；如果线性方程组有解且解之间不存在线性关系，那么解是线性无关的。

线性相关性的判断可以通过矩阵的秩来进行。

对于一个n阶矩阵A，如果它的秩r等于未知数的个数n，那么线性方程组的解是线性无关的；如果秩r小于n，那么线性方程组的解是线性相关的。

三、解空间和基础解系解空间是指线性方程组所有解构成的集合。

解空间的维数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。

解空间的维数也可以理解为线性方程组解的自由变量的个数。

基础解系是指线性方程组解空间中的一组向量，它们可以通过线性组合得到解空间中所有解。

基础解系的个数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。

四、解的特殊情况除了一般情况下的解的性质，线性方程组还存在一些特殊情况。

1. 无解情况：当线性方程组中出现矛盾的方程时，线性方程组无解。

2. 无穷多解情况：当线性方程组的方程个数小于未知数个数时，线性方程组可能存在无穷多个解。

此时解空间的维数大于0，存在自由变量。

通过以上讨论，我们可以看出，线性方程组的解的性质有：存在性和唯一性、线性相关性、解空间和基础解系以及特殊情况。

线性方程组的解的性质与判定

线性方程组解的性质与判定在控制系统中的应用，可以用于分析系统的稳定性。通过线性方程组解的性质与判定，可以确定控制系统的响应时间，优化控制效果。在控制工程中，线性方程组解的性质与判定可以用于设计控制器，提高系统的性能指标。在处理复杂控制系统时，线性方程组解的性质与判定能够提供有效的解决方案，简化计算过程。
逻辑回归模型：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳分类边界，实现分类任务。
支持向量机：利用线性方程组解的性质与判定，找到支持向量，实现分类和回归任务。
决策树和随机森林：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳划分标准，构建决策树和随机森林模型。
PART FOUR
线性方程组解的性质与判定的研究历史当前研究的主要方向和重点近年来的重要研究成果和突破未来研究展望和挑战
近年来的研究热点和重点
在各个领域的应用情况
未来研究的发展趋势和展望
深入研究线性方程组解的性质与判定的关系，为实际应用提供更准确的数学模型。探索更高效的算法和计算方法，提高线性方程组求解的效率和精度。结合人工智能和大数据技术，对大规模线性方程组进行高效求解和优化。拓展线性方程组解的性质与判定的应用领域，如物理、工程、经济等领域。
汇报人：XX
线性方程组解的性质与判定可用于数据清洗，识别异常值和缺失值。
在数据分析中，线性方程组解的性质与判定可用于确定数据分布和趋势。
在机器学习中，线性方程组解的性质与判定可用于特征选择和降维处理。
在数据预测中，线性方程组解的性质与判定可用于建立预测模型和优化算法。
线性回归模型：利用线性方程组解的性质与判定，确定最佳拟合直线，提高预测精度。
02
注意事项：在使用系数矩阵判定法时，需要注意计算秩的正确性和准确性，以避免误判。

5-2非齐次线性方程组

思考题
设A是m 3矩阵,且RA 1.如果非齐次线性
方程组Ax
b的三个解向量1 ,2
,
满
3
足
1
0
1
1 2 2, 2 3 1, 3 1 0
3
1
1
求Ax b的通解.
思考题解答
解 A是m 3矩阵, R( A) 1, Ax 0的基础解系中含有3 1 2个线性
故得基础解系
1 2 1 2
1
1
,
0
0
0 1
2
0
,
1
0
2 3
3
0
.
0
1
求特解
令
x3
x4
x5
0, 得x1
9, 2
x2
23 . 2
所以方程组的通解为
1 2 1 2
0 1
2 9 2 3 23 2
x
k1
1
k2
0
k3
0
0
.
0 0 0 0
xr1 1 0
0
令
xr 2
0
,
1
,
,
0
.
xn 0 0
1
得
x1
b11
,
b12
,
,
b1 ,n r
,
xr br1 br2
br
,nr
b11
b12
b1 ,n r
故
br
1
1 1 ,
2
br
2
0 ,
x1 2 x2
x2 x3
x3 2x4
x4 x5 6x5
7 23

二元一次方程组的解的性质

二元一次方程组的解的性质二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的，一般的形式可以表示为：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e和f均为已知常数。

解的存在性：对于给定的常数a、b、c、d、e和f，二元一次方程组可能有零个、一个或者无穷多个解。

下面将分别讨论这几种情况。

1. 无解的情况：当二元一次方程组没有解时，表示两个方程所对应的直线在平面上没有交点。

这意味着两个方程所表示的直线是平行的，且不重合。

在这种情况下，方程组被称为是矛盾的。

2. 一个解的情况：当二元一次方程组有且仅有一个解时，表示两个方程所对应的直线在平面上相交于一个点。

在这种情况下，方程组被称为是相容的。

解的求解可以通过消元法、代入法、Cramer法则等方法得到。

3. 无穷多个解的情况：当二元一次方程组有无穷多个解时，表示两个方程所对应的直线在平面上重合，完全重合的部分是无穷多个解。

在这种情况下，方程组被称为是相关的。

解的求解通常可以通过将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数来得到。

解的特性：1. 独立性：当二元一次方程组有且仅有一个解时，这个解是唯一的。

也就是说，确定了方程的系数和常数后，方程组的解将是确定的，不会存在多个不同的解。

2. 相容性：当二元一次方程组有无穷多个解时，其中任意一组解都可以满足方程组的要求。

这是因为两个方程所表示的直线是完全重合的，因而与其中一个方程相交的任意一点都是方程组的解。

3. 矛盾性：当二元一次方程组无解时，表示两个方程所对应的直线是平行的，且不重合。

在这种情况下，方程组的解将为空集，即不存在满足方程组要求的解。

总结：二元一次方程组的解的性质取决于方程组的系数和常数。

根据解的存在性，方程组可以分为无解、一个解和无穷多个解三种情况。

而解的特性则表现为独立性、相容性和矛盾性，分别对应于方程组的解的唯一性、解的满足性和解的不存在性。

准确理解和应用二元一次方程组的解的性质，对于解方程组和解决实际问题具有重要意义。

3-4齐次线性方程组解的结构

信息系刘康泽
信息系刘康泽
第3-4节齐次线性方程组解的结构
信息系刘康泽
一、齐次线性方程组解的性质【性质 1】设 1 , 2 是齐次线性方程组 Ax 0 的解，则 1 2 仍然是 Ax 0 的解。
证明：
A 1 2 A1 A2 0
故 1 2 是 Ax 0 的解。
【性质 2】设是齐次线性方程组 Ax 0 的解，则对任意数 k ， k 仍然是 Ax 0 的解。 0 证明： A 0, A k kA k 0
A1 0, A2 0
故 k 是 Ax 0 的解。
信息系刘康泽
综合性质 1 与性质 2 得：
信息系刘康泽
【注 1】齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系实质上是它的解向量组的一个极大无关组。
【注 2】基础解系是齐次线性方程组的核心，若知道了基础解系，则等价于知道了齐次线性方程组的任意一个解，因为任意一个解向量都是基础解系的线性组合。
所谓齐次线性方程组解的结构就是它的基础解系的线性组合： k11 k22 ktt
即可。
由定义知 1 , 2 , t 可以由基础解系1 ,2 ,,t 线性表示，即：
信息系刘康泽
k11 k21 ( 1 , 2 , t ) (1 ,2 , ,t ) k r1
可逆，从而：
k12 k1r k22 k2 r kr 2 krr
T
故 1 ,2 ,3 为所求的基础解系。
信息系刘康泽
或将同解方程组写为：
x 3 x4 5 x5 x1 x 2 2 x 3 2 x 4 6 x5 所以：， x3 k1 x k2 4 x5 k3 1 1 5 2 2 6 x k1 1 k 2 0 k 3 0 k11 k22 k 33 0 1 0 0 0 1

线性方程组的解与解的性质

线性方程组的解与解的性质线性方程组是数学中一类重要的方程组，它在各个领域中都有广泛的应用。

解线性方程组是求解未知数的值，解的性质则是对解的特点进行分析和研究。

本文将探讨线性方程组的解以及解的性质。

一、线性方程组的解线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合，具有以下一般形式：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = bₙ其中，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，a₁、a₂、...、aₙ为已知系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。

解线性方程组即求解方程组中的未知数，并使得方程组中所有的方程都成立。

当方程组存在解时，我们称其为可解的方程组，否则称其为不可解的方程组。

二、解的分类线性方程组的解可分为无解、唯一解和无穷解三种情况。

1. 无解：当线性方程组中的方程存在矛盾时，即存在某个方程的系数使得方程无法满足时，方程组为无解。

例如，考虑以下线性方程组：2x + 3y = 44x + 6y = 7通过将第一个方程的两边同时乘以2得到2x + 3y = 8，与第二个方程冲突，因此该线性方程组没有解。

2. 唯一解：当线性方程组中的方程互相独立，且未知数的个数与方程的个数相等时，方程组有唯一解。

例如，考虑以下线性方程组：x + y = 32x - y = 1通过联立这两个方程，可以解得x = 2，y = 1，因此该线性方程组有唯一解。

3. 无穷解：当线性方程组中的方程存在冗余，即存在方程是其余方程的线性组合时，方程组有无穷解。

例如，考虑以下线性方程组：x + 2y = 42x + 4y = 8通过联立这两个方程，可以发现它们实际上是同一个方程的两倍，因此存在无数个解。

可以将其中一个方程去除，得到简化后的方程x + 2y = 4，该方程组有无穷多个解。

三、解的性质解的性质主要通过方程组的系数进行推导和分析。

一元一次方程组的解的性质

一元一次方程组的解的性质一元一次方程组是由一元一次方程组成的集合，其形式为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，而x和y为未知数。

解方程组就是要找出满足这两个方程的x和y的值。

解方程组的性质主要包括唯一解、无解和无穷解三种情况。

一、唯一解：当一元一次方程组只有一个解时，称为唯一解。

判断一元一次方程组是否有唯一解，可以通过判断系数矩阵（系数矩阵是由方程组的系数所组成的矩阵）的行列式是否为非零值来确定。

如果行列式为非零值，则方程组有唯一解；如果行列式为零，则需要进一步判断是否存在矛盾方程，即两个方程互相矛盾，无解；或者两个方程重合，无穷解。

二、无解：当一元一次方程组没有满足条件的解时，称为无解。

判断一元一次方程组是否有无解，可以通过判断系数矩阵的行列式是否为零来确定。

如果行列式为零，则方程组可能有无解或无穷解，需要进一步计算得出具体情况。

三、无穷解：当一元一次方程组有无数个满足条件的解时，称为无穷解。

判断一元一次方程组是否有无穷解，可以通过判断系数矩阵的行列式是否为零来确定。

如果行列式为零，则继续观察增广矩阵（增广矩阵是由方程组的系数和常数所组成的矩阵）的秩。

如果增广矩阵的秩小于方程个数，且非零行的个数大于0，则方程组有无穷解。

总结：一元一次方程组的解的性质主要有唯一解、无解和无穷解三种情况。

判断方程组的解的性质可以通过行列式和秩的计算来确定。

当行列式为非零值时，方程组有唯一解；当行列式为零且秩小于方程个数时，方程组有无穷解；当行列式为零且秩等于方程个数时，方程组无解。

根据方程组的特点，可以使用适当的方法来求解方程组，如代入法、化简法等。

这些性质在数学和实际问题中具有重要的应用价值，帮助我们理解和解决各种方程组相关的计算和建模问题。

齐次线性方程组解的性质与基础解系

齐次线性方程组解的性质与基础解系
齐次线性方程组Ax=0。

齐次线性方程组解的性质：
0)(00.12121=+==ξξξξA A A 则，若性质；
0)(0.211==λξξA A ，则若性质；
即齐次线性方程组的解的组合也是齐次方程组解。

.
)
,1,()2(,)1( t 221111211通解称为齐次线性方程组的表达式
齐次方程组基础解系。

为
线性表示，则称由齐次方程组任一个解可线性无关
个解，若
是齐次方程组的设：定义t i R x i t t t t t t =∈+++=λξλξλξλξξξξξξξξξ 注：若将齐次方程组全体解向量作成集合记作s ，则基础解系是s 最大无关组，基础解系所含向量个数就是向量组s 的秩。

定理：设n 元齐次线性方程组有非零解，则它必有基础解系且基础解系所含线性无关解个数为n-r ，其中r=秩(A)。

二元一次方程组的解的性质有何特点

二元一次方程组的解的性质有何特点在数学的广阔天地中，二元一次方程组是一个基础而重要的概念。

当我们面对两个含有两个未知数的线性方程时，通过一系列的求解方法，得到的解具有一些独特的性质。

接下来，就让我们一起深入探究二元一次方程组的解的性质究竟有哪些特点。

首先，二元一次方程组的解具有确定性。

这意味着对于给定的一个二元一次方程组，如果它有解，那么这个解是唯一确定的。

比如说，我们有方程组：2x ＋ y ＝ 5，x 2y ＝ 1。

通过合适的求解方法（比如消元法），我们最终会得到一组唯一的解，即 x 和 y 的具体值。

这个解不会有模糊性或者不确定性，它是唯一存在的。

其次，解的存在性有三种情况。

一种是有唯一解，就像刚刚提到的例子；另一种是无解。

当两个方程所代表的直线平行时，方程组就无解。

例如，2x ＋ y ＝ 3，2x ＋ y ＝ 5，这两个方程所对应的直线斜率相同，截距不同，所以它们平行，不存在共同的交点，也就没有解。

还有一种情况是有无穷多解。

当两个方程实际上是同一个方程，或者它们所代表的直线重合时，方程组就有无穷多解。

比如 4x ＋ 2y ＝ 6，2x ＋ y ＝ 3，这两个方程其实是等价的，它们代表同一条直线，直线上的每一个点都是方程组的解，所以有无穷多个解。

二元一次方程组的解还具有相关性。

方程组中的两个方程不是孤立存在的，它们相互关联，共同决定了解的情况。

一个方程的变化会影响到另一个方程，进而影响到解的结果。

比如，在方程组 x ＋ y ＝ 5，2x y ＝ 1 中，如果我们把第一个方程乘以 2，得到 2x ＋ 2y ＝ 10，再与第二个方程相组合求解，得到的解与原方程组的解是相同的，这就体现了解的相关性。

另外，从几何角度来看，二元一次方程可以表示为平面直角坐标系中的一条直线。

那么二元一次方程组的解，就是这两条直线的交点坐标。

如果交点存在且唯一，那就是有唯一解；如果两条直线平行，没有交点，就是无解；如果两条直线重合，有无数个交点，就是无穷多解。

4 线性方程组解的性质和结构

− c1,r +1 # − cr ,r +1
(2) 设方程组(2)的任一个解为ξ
⎛ d1 ⎞ ⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dr ⎟ ξ =⎜ ⎟ ⎜ d r +1 ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ dn ⎠
其它未知量由自由未知量唯一确定
令
= d ξ + d ξ +"+ d ξ ξ r +1 1 r+2 2 n n− r
+ 7 x5 = 0 ⎧ x1 − x2 ⎪ x + 4 x5 = 0 与原方程组等价的方程组为 ⎨ 3 ⎪ x4 − 3 x5 = 0 ⎩ x1 1 -7 x2 0 1 选x2, x5 为 x3 0 = ξ1 -4 = ξ2 自由未知量 x
⎛ 1⎞ ⎛ − 7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ 基础解系为 ξ1 = 0 , ξ 2 = ⎜ − 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
定理设 A 是m × n矩阵, r ( A) = r < n 则齐次线性方程组 AX = 0存在由n – r 个解向量 ξ1 , ξ 2 ," ,ξ n− r 组成的基础解系，它们的线性组合
k1ξ1 + k2ξ 2 + " + kn− rξ n− r
2° (1)的任意一个解都可以由ξ1 , ξ 2 ," , ξ s
=ξ
− c1,r + 2 # − cr ,r + 20 1 # 0来自− c1n # − crn
1 0 # 0
""
0 0 # 1
故任意解都可由 ξ1 , ξ 2 ," , ξ n− r 线性表出

线性方程组解的性质

√ 用正交变换法化二次型为标准形:
1 2 3
求出 A 的特征值、特征向量；对 n 个特征向量单位化、正交化；构造 C （正交矩阵）, C 1 AC ；作变换 X CY ,新的二次型为 f ( x1 , x2 , , x n ) d i y i 2 , 的主对角上
1 n
P
2
n

. √ 若A √ 若A 二次型
B, C A D ,则： C B
. D
B ,则 f ( A)
f ( B ) , f ( A) f ( B ) . A 为对称矩阵 B X ( x1 , x2 , , x n ) T
正惯性指数负惯性指数
√ 当标准型中的系数 d i 为 1，-1 或 0 时,则为规范形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
1 1 1 合同. √ 任一实对称矩阵 A 与惟一对角阵 1 0 0
f ( x1 , x2 , , x n ) X T AX B C T AC .
A 与 B 合同
记作： A
（ A, B为对称阵,C 为可逆阵）
√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是： A
B
√ 两个矩阵合同的必要条件是： r ( A) r ( B )
A 的全部特征值为 1 , 2 , , n .
A
A
A
k kA a b aA bE 1 1 A 分别有特征值 . √ 是A的特征值,则: 2 2 A Am m A A k kA a b aA bE 1 1 A 关于的特征向量. √ x是A关于的特征向量,则x 也是 2 2 A Am m A A A 与 B 相似 B P 1 AP