巴特沃斯数字低通滤波器课程设计

巴特沃斯数字低通滤波器课程设计

目录

1.题目.......................................................................................... .2

2.要求 (2)

3.设计原理 (2)

3.1 数字滤波器基本概念 (2)

3.2 数字滤波器工作原理 (2)

3.3 巴特沃斯滤波器设计原理 (3)

3.4脉冲响应不法 (5)

3.5实验所用MATLAB函数说明 (7)

4.设计思路 (9)

5、实验内容 (9)

5.1实验程序 (9)

5.2实验结果分析 (13)

6.设计总结 (13)

7.参考文献 (14)

一、题目：巴特沃斯数字低通滤波器

二、要求：利用脉冲响应不变法设计巴特沃斯数字低通滤波器，通带截止频率100HZ,阻带截止频率120Hz,采样频率1000HZ，通带最大衰减为0.5HZ，阻带最小衰减为10HZ，画出幅频、相频相应曲线。并假设一个信号x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t),其中f1=50HZ,f2=200HZ。用此信号验证滤波器设计的正确性。

三、设计原理

1、数字滤波器的基本概念

所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤波器除某些频率成分的数字器件或程序，因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是的形式和实现滤波方法不同。正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波处理精度高、稳定、体积小、质量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实验模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可通过A\DC和D\AC,在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。

2、数字滤波器的工作原理

数字滤波器是一个离散时间系统，输入x(n)是一个时间序列，输出y(n)也是一个时间序列。如数字滤波器的系统函数为H(Z),其脉冲响应为h(n),则在时间域内存在下列关系

y(n)=x(n) h(n)

在Z域内，输入输出存在下列关系

Y(Z)=H(Z)X(Z)

式中，X(Z),Y(Z)分别为输入x(n)和输出y(n)的Z 变换。

同样在频率域内，输入和输出存在下列关系

Y(jw)=X(jw)H(jw)

式中，H(jw)为数字滤波器的频率特性，X(jw)和Y(jw)分别为x(n)和

y(n)的频谱。w 为数字角频率，单位rad 。通常设计H(jw)在某些频

段的响应值为1，在某些频段的响应为0.X(jw)和H(jw)的乘积在频率

响应为1的那些频段的值仍为X(jw)，即在这些频段的振幅可以无阻

碍地通过滤波器，这些频带为通带。X(jw)和H(jw)的乘积在频段响

应为0的那些频段的值不管X(jw)大小如何均为零，即在这些频段里

的振幅不能通过滤波器，这些频带称为阻带。

一个合适的数字滤波器系统函数H(Z)可以根据需要输入x(n)的

频率特性，经数字滤波器处理后的信号y(n)保留信号x(n)中的有用频

率成分，去除无用频率成分。

3、巴特沃斯滤波器设计原理

（1）基本性质

巴特沃斯滤波器以巴特沃斯函数来近似滤波器的系统函数。巴特

沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波

器。

巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示1()ΩΩ+=Ωc N /22

a 11

)(j H N=1,2，…… （2-6）

下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征 a 对所有的N ，()1a

j H 2

0=Ω=Ω。

b 对所有的N ，()707.0a j 2

c =ΩΩH =Ω即()dB 3a lg 20j H c =Ω=ΩΩ c ()Ωj H a 2是Ω的单调下降函数。

d ()Ωj H a 2

随着阶次N 的增大而更接近于理想低通滤波器。 如下图2所示，可以看出滤波器的幅频特性随着滤波器阶次N 的

增加而变得越来越好，在截止频率Ωc 处的函数值始终为1/2的情况

下，通带内有更多的频带区的值接近于1；在阻带内更迅速的趋近于

零。

图2 巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数

（2）系统函数

设巴特沃斯的系统函数为H a （s ），则：

（3）设计过程

巴特沃思低通滤波技术指标关系式为

a p >-20log|H a (j Ω)|，Ω<ΩP

a s <-20log|H a (j Ω)|，Ω>Ωs

其中：Ωp 为通带边界频率，Ωs 为阻带边界频率。代入式1.4.1

可得:

经过化简整理可得：

取满足上式的最小整数N作为滤波器的阶数。再将N代入可得：

或

查表求得归一化传输函数H(s),令s/Ωc代替归一化原型滤波器系统函数中的s,即得到实际滤波器传输函数。

4、脉冲响应不变法

所谓脉冲响应不变法就是数字滤波器的脉冲响应序列h(n)等于模拟滤波器的响应ha(t)的采样值，即

h(n)=ha(t)|t=nT=ha(nT)

式中，T为采样周期。

因此数字滤波器的系统函数H(Z)可由下式求得

H(z)=Z[h(n)]=Z[ha(nT)]

Z[-]表示[-]的内容进行变换，变换的内容请参考相应的数字信号处理材料。

如果已经获得了满足性能指标的模拟滤波器的传递函数Ha(s) ,求与之对应的数字滤波器的传递函数H(z)的方法是：

（1）、求模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)。

式中，L[Ha(s)]表示对Ha(s)的Laplace.逆变换。Laplace变换内容