66高中数学选修系列 选修《微积分基本定理与定积分计算》教案

41 / 24

§3微积分基本定理与定积分计算

一、目标预览

1.理解并能熟练运用微积分基本定理.

2.掌握定积分的常用计算方法.

3.了解定积分与不等式的常用证明方法.

4.了解定积分相关知识的综合应用. 二、概念入门

设],[b a R f ∈，称函数⎰

=

Φx

a

dt t f x )()(]),[(b a x ∈为函数

)(x f 在],[b a 上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：

⎰=ψb

x

dt t f x )()(.

注

三、主要事实 1.微积分基本定理

若],[b a C f ∈，则)()(x f x =Φ']),[(b a x ∈，即

⎰=x

a

x f dt t f dx d )()(，],[b a x ∈. 注

若],[b a C f ∈，而且)()(x f x F =']),[(b a x ∈，则

⎰

-=x

a

a F x F dt t f )()()(]),[(

b a x ∈.

(iii>微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积 分、微分与积分的内在联系.

42 / 24

⎰'-'=)

( )

( )())(()())(())((x x x x f x x f dt t f dx d ψϕϕϕψψ⎰

⎰

=ξ

)()

()()(a

b

a

dx x f a g dx x g x f ⎰=b

dx

x g b f )()(ξ

积分求导公式：

若],[b a C f ∈，)(x ϕ、)(x ψ在],[d c 上可微而且

]),([d c ϕ、],[]),([b a d c ⊂ψ，则

2.第二积分中值定理

<1）<旁内

<2）

)(x g 是],[b a 上的单调函数，则存在],[b a ∈ξ使得

⎰⎰⎰

+=b

a

b

a

dx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξ

ξ.

证<1）令⎰

=

x

a

dt t f x F )()(]),[(b a x ∈，利用g 的可积性得

⎰

⎰

--=→∑=i

i x x i n

i T b

a

dx x f x g dx x g x f 11

0|||| 1

)()(lim )()(

))()()((lim 111

0||||--=→-∑=i i i n

i T x F x F x g

再由))()()((111--=-∑i i i n

i x F x F x g

)()()]()()[(111

1

---=+-∑=n i i i n i x g b F x g x g x F

43 / 24

及g 的单调减小性，可得

)()()()(max min a g F dx x g x f a g F b

a

≤≤⎰

再由连续函数的介值性即得.

<2）当g 为单调递减<增）时，对

)()()(b g x g x h -=)((x g = ))(a g -应用<1）即得.

3.定积分的计算

<1）<牛顿——莱布尼兹公式）若],[b a R f ∈，],[b a C F ∈而且除有限个点外有)()(x f x F ='，那么有

⎰

-=b

a

a F

b F dx x f )()()(.

注

<2）<定积分换元积分法）如果)(t ϕ在],[βα上有连续导数，

a =)(αϕ，

b =)(βϕ，],[]),([b a ⊂βαϕ，],[b a C f ∈，那么

有

⎰

⎰'=b

a

dt t t f dx x f )())(()(β

α

ϕϕ

注

若],[b a R f ∈，],[],[:b a →βαϕ是一一映射而且还满足