初一上期数学第一章 有理数 知识归纳

第一章有理数

1.1正数和负数

1.正负数

正数：大于0的数叫做正数.

负数：小于0的数叫做负数.

0：非正非负

【注】

①符号:一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.

②正数前面的“+”号可以省略，负数前面的“-”号不可以省略．

2.相反意义的量

用正数和负数表示具有相反意义的量:如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．

【注】

“相反意义的量”包括两个方面的含义:一是相反意义;二是要有量.

3.“O”的特征

（1）0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界；

（2）0是自然数；

（3）0的意义：

①有时表示没有，如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔；

②有时是一个数，如0度是一个确定的温度；

③有时也作为基准，如零上3度.

1.2有理数

知识点一有理数

1、有理数的定义：整数和分数统称为有理数（小数可以化为分数，所以看为为分数）

2、有理数的分类：1）：按定义

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数

自然数正整数整数有理数0 2）：按正负分

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0

4、四非

正数和零统称为非负数;

负数和零统称为非正数;

正整数和零统称为非负整数（自然数）;

负整数和零统称为非正整数;

【技巧】读的时候，在非正、非负后面加一个“的”

知识点二 数轴

1、数轴的定义：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

2、数轴三要素

原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.

【注】单位长度：指所取度量单位的名称，是一条人为规定的代表"1"的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，不能再改变.

3、数轴画法

首先：画一条水平的直线；

其次：在直线上选取一点为原点；

再次：确定向右为正方向，用箭头表示出来；

最后：根据实际情况，选取适当的长度作为单位长度.

4、与有理数的关系

（1）有理数和无理数都可以用数轴上的点表示出来．

（2）正有理数表示的点位于原点的右边，负有理数表示的点位于原点的左边5、利用数轴比较大小

数轴可以用来比较大小，左<右﹔负数<0<正数.

知识点三相反数

1、定义

只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

【注】①一般地，a和a

-互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.

②0的相反数是0

③“只有符号不同”应与“只要符号不同”区分开﹒

④相反数必须成对出现，不能单独存在．

2、几何意义

一对相反数表示的点在数轴上应分别位于原点两侧；到原点的距离相等；这两点是关于原点对称的．

3、求法

求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可.

4、相反数的性质

（1）若a与b互为相反数，则0

=

a，则a与b互为相反数．

+b

=

+b

a;反之，若0

（2）任何一个数都有相反数，而且只有一个.正数的相反数是负数;负数的相反数是正数; 0的相反数仍是0.

五、多重符号化简

一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉;

一个正数前面有偶数个“―”号，也可以把“―”号全部去掉;

一个正数前面有奇数个"―"号，则化简后只保留一个"―"号，即“奇负偶正”(其中“奇偶”是指正数前面的“―"号的个数的奇偶数，“负正"是指化简的最后结

果的符号）.

知识点四 绝对值

1、绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a （a 可以是正数、负数和0）

2、绝对值性质：

()()()⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a

3、绝对值具有非负性

（1）若有几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。

00,0===+b a b a 且则

（2）0≥a ，此时a 有最小值，值为0；0≤-a ，此时a -有最大值，值为0.

4、有理数的大小：

（1）负数<0<正数

（2）两个负数，绝对值大的反而小（绝对值为点到原点的距离）

（3）含字母，绝对值的大小比较：①、数形结合，用数轴来分析

②、赋值法，赋予字母符合题意的值来计算

5、绝对值的简单计算

去绝对值前，先确定绝对值内的正负：

若绝对值内为正，直接去绝对值符号.

若绝对值内为负，把绝对值符号变为括号再在前面添加“-”号

1.3 有理数加减法

知识点一 有理数的加法

1、有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加为0.

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

2、有理数加法运算律：加法交换律 a+b=b+a

加法结合律（a+b)+c=a+(b+c)

【注】①先定符号再定值

②同号相加—边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑

知识点二有理数的减法

1、有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数 a-b=a+(-b)

知识点三有理数的加减混合运算

1、有理数加减混合运算步骤：

①将减法统一成加法;

②按加法法则算出结果．

2、有理数加减运算技巧：

①互为相反数的两个数先相加——相反数结合法

②符号相同的两个数先相加——同号结合法

③分母相同的两个数先相加——同分母结合法

④几个数相加得到整数先相加——凑整法

⑤整数与整数，小数与小数，先相加——同形结合法

1.4有理数的乘除法

知识点一有理数的乘法

1、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘，都得0.

2、积的符号的确定

几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数确定，当负因数有