切比雪夫不等式及其应用(论文)

第一章 绪论

概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分。随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响。这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业。而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起。

历史上第一个极限定理是属于雅各布·伯努利，后人称之为“大数定律”。因其遗著《猜度术》于1713 年出版，故概率史家称1713 年为伯努利大数定律创立年。伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支。1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外。切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。

切比雪夫在1866年发表的论文《论均值》中，提出了著名的切比雪夫大数定律。该论文给出如下三个定理[1]：

定理1.1：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方

,,,222z y x 的数学期望，则对任何α， +++z y x 落在

----+++++++222111c b a c b a c b a α

和

----+++-+++222111c b a c b a c b a α

之间的的概率总小于2

1

1α

-

定理1.2：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方

,,,222z y x 的数学期望，则不论t 取何值，N 个量 ,,,z y x 的算术平均值和他们相应的数学

期望的算术平均值的差不超过

N

c b a N c b a t

+++-

+++2221111 的概率对任何t 都将大于N

t 2

1-。

定理1.3：如果量 321,,u u u 和它们的平方 2

32221,,u u u 的数学期望不超过一给定的值，则N 个量的算术平均值和其数学期望的算术平均值之差不小于某一给定的概率，且当N 趋于无穷时，其值趋于1。.

这就是切比雪夫大数定律，用今天的符号可表示为：

定理4.1：设 ,,,,321n X X X X 是两两不相关的随机变量序列，且其方差一致有界，则对任意的0>ε，皆有

{}1lim =<-∞

→εN N n Es s P

这里∑==N

i i N X s 1

。若随机试验中的每次试验随机事件发生的概率相等，则为伯努利大数定律。

又因相互独立的随机变量列必定两两无关，故泊松大数定律也是切比雪夫大数定律的特例。

要证明定理4.1，我们需要用到切比雪夫不等式。其实在上面三个定理中已经给出了切比雪夫不等式，定理1.2我们用今天的数学语言来描述就是：

定理5.1：设 ,,,,321n X X X X 是两两不相关的独立随机变量序列，且其方差存在， 若

∑==N

i i N X s 1，则对任意的0>ε，皆有

{}2

1

1ε

ε∑=-

≥<-N

i i

N N VarX

Es s P 。

不难发现这就是切比雪夫不等式，以此我们也可以得出定理1.4的证明，关于其证明我们在下文会提到。作为概率论极限理论中介绍的极少数重要不等式之一，它的应用是非常多的，它可以解决和说明很多关于分布的信息，尤其在估计某些事件的概率的上下界时我们常会用到切比雪夫不等式。

另外，切比雪夫不等式和切比雪夫大数定律是概率论极限理论的基础，其中切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要工具和理论基础，而且以切比雪夫不等式的基础上发展起来了一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具，切比雪夫不等式作为一个理论工具，它的地位是很高的。事实上，马尔可夫不等式也是切比雪夫不等式的第一种推广形式。在切比雪夫不等式的诞生至今，切比雪夫不等式的应用性质还没有条理性的给出，本文将在切比雪夫不等式的应用方面进行探究。

第二章 切比雪夫不等式的基本理论

2.1 切比雪夫不等式的有限形式和积分形式

定理2.1[2]：（有限形式）设12,,...,n x x x ，12,,...,n y y y 为任意两组实数，若

12...n x x x ≤≤≤且12...n y y y ≤≤≤或12...n x x x ≥≥≥且12...n y y y ≥≥≥，则

11

1111()()n n n

i i i i i i i x y x y n n n ===≥∑∑∑ （2.1） 若12...n x x x ≤≤≤且12...n y y y ≥≥≥或12...n x x x ≥≥≥且12...n y y y ≤≤≤，则

111

111()()n n n

i i i i i i i x y x y n n n ===≤∑∑∑ （2.2）

当且仅当12...n x x x ===或12...n y y y ===时，（2.1）和（2.2）中的不等式等号成立。

证明：设1212,,...,,,,...,n n x x x y y y 为两个有相同次序的序列，由排序不等式有 11221122......n n n n x y x y x y x y x y x y +++=+++ 112212231......n n n x y x y x y x y x y x y +++≥+++ 112213242......n n n x y x y x y x y x y x y +++≥+++ …………

11221211......n n n n n x y x y x y x y x y x y -+++≥+++

把上述n 个式子相加，得

1

1

1

()()n

n

n

i i i i i i i n x y x y ===≥∑∑∑

上式两边同除以2n ，得

11

1111()()n n n

i i i i i i i x y x y n n n ===≥∑∑∑ 等号当且仅当12...n x x x ===或12...n y y y ===时成立。