2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习05 函数的概念及正比例函数(考点讲解)(学生版)
2019-2020学年上海八年级数学上册期末专题复习专题05 正比例函数与反比例函数(考点讲解)(教师版)
专题05 正比例函数与反比例函数【考点剖析】 1.函数定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数. 函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值. 设()f x 为整式，则函数()y f x =的定义域：一切实数；函数1()y f x =的定义域：满足()0f x ≠的实数；函数y ()0f x ≥的实数.2.正比例函数与反比例函数3.函数的表示法：解析法；列表法；图像法等. 【典例分析】 【考点1】函数的概念例1 （松江2018期末2）函数y =的定义域是【答案】32x ≤; 【解析】由320x -≥可得32x ≤. 例2 （浦东四署2018期末21）已知y 与2x －3成正比例，且当x ＝4时，y ＝10，求y 与x 的函数解析式. 【答案】46y x =-【解析】设函数解析式为(23)(0)y k x k =-≠，把x ＝4，y ＝10代入得10(83)k =-，解得k ＝2，所以函数解析式为46y x =-.例3 （长宁2018期末3）已知函数()f x =，则(3)f ＝ .1【解析】1)(3)12f ===.【考点2】正、反比例函数的性质例4 （松江2018期末9）已知反比例函数12ky x-=，当0x >时，y 的值随着 x 的增大而减小，则实数k 的取值范围 . 【答案】12k <. 【解析】因为y 的值随着 x 的增大而减小，所以1120,2k k ->∴<例5 （松江2018期末25）已知：如图，点A （1，m ）是正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图像在第一象限 的交点，AB x ⊥轴，垂足为点B ，ABO ∆和面积为2. （1）求m 的值以及这两个函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且AOP ∆是以OA 为腰的等腰三角形，求点P 的坐标.【答案】（1）4y x=，4y x =；（2）P （2，0）、(P 或 【解析】（1）因为242,4,;ABO S k y x∆=∴=∴=又点A （1，m ）在反比例函数图像上，所以m=4,又点A在正比例函数图像上，所以1k ＝4，所以4y x =. （2）若AOP ∆为等腰三角形，则①AO ＝OP ，得OP ＝2）B ＝2，所以P （2，0）； ②OA ＝OP ，OA(P 或，综上所述，点P 的坐标为 P （2，0）、(P 或【真题训练】 一、选择题1.（崇明2018期中5）函数3y x =与函数2y x=-在同一坐标系中的大致图像是（ ）(D )(C )(B )(A )【答案】B【解析】函数3y x =的图像在第一、三象限，函数2y x=-的图像在第二、四象限，故选B. 2.（普陀2018期末3）已知正比例函数2y x =-的图像上有两点1122(,)(,)A x y B x y 、，如果12x x <，那么12y y 与的大小关系是（ ）A.12y y >；B. 12y y <；C. 12=y y ；D. 不能确定【答案】A【解析】因为正比例函数2y x =-中y 随x 的增大而减小，如果12x x <，那么12y y >. 3.（崇明2018期中6）如果点123(2,),(1,),(1,)A y B y C y --在反比例例函数1y x=的图像上，那么下列结论正确的是（ ）A.123y y y >>；B. 321y y y >>；C. 312y y y >>；D. 132y y y >> 【答案】C【解析】画反比例函数1y x=的图像，由图像可知(1)(2)(1)f f f >->-，即312y y y >> 4.（嘉定2017期中2）函数 13y x =图像一定不经过点（ ）A. (3,1)B. (3,1)--C. 1(1,)3-- D. (1,3)【答案】D【解析】把点的坐标代入函数解析式，如果左右两边相等的，点在函数图像上，否则不在图像上。
2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习08正反比例函数综合(考点讲解)(学生版)
专题08 正、反比例函数综合【考点剖析】1.正比例、反比例1）.正比例：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例.用数学式子表示两个变量x,y 成正比,就是y k x=或者y kx =,其中0k ≠。
2) 反比例：如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例.用数学式子表示两个变量x,y 成反比,就是xy k =或者k y x =,其中0k ≠。
2）.正比例函数、反比例函数：正比例函数反比例函数 定义形如(0)y kx k =≠的常数的函数，其中k 是比例系数形如k y x=（k 为常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数。
称y 是x 的反比例函数。
定义域 一切实数x 的取值范围是0x ≠ y 的取值范围是0y ≠ 图像经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线；两条双曲线 性质当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；y 的值随x 的值增大而增大；当0k <时，正比例函数的图像经过第二、四象限；y 的值随x 的值增大而减小。
当k>0时，图像（除圆点外）在一、三象限；当x 增大时，y 的值逐渐减小；y 随x 的增大而减小。
当k<0时，图像（除圆点外）在二、四象限；当x 增大时，y 的值反而增大；y 随x 的增大而增大。
k>0k<0【典例分析】【考点1】函数的概念1．正比例函数y ＝2x 与反比例函数y ＝－1x 的图象的交点的情况为( ) A ．只有一个交点B ．有两个交点C ．没有交点D ．不能确定2．如果k ＜0，那么函数y ＝（1﹣k ）x 与k y x=在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．3．若y 与z 成反比例关系，z 与x 成正比例关系，则y 与x 成______关系.4．已知y ＝y 1+y 2，其中y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，并且当x ＝12时，y ＝5，当x ＝1时，y ＝﹣1，求y 与x 之间的函数关系式．【考点2】正、反比例函数综合1、已知正比例函数1(1)y k x =+与反比例函数21m y x-=交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是1，点B 的纵坐标是2，求这两个函数的解析式．2．如图，设函数()0y kx k =>与1y x=的图像相交于点A 、C ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，则ABC 的面积是______.3．如图，点A 、C 在反比例函数()30y x x=<的图像上，点B 、D 在x 轴上，OAB 、BCD △均为正三角形，则点C 坐标是______.4．如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点()2,1M --，且()1,2P --为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B.（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式.（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得OBQ △与OAP △的面积相等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.5．如图，已知长方形OABC 的顶点(),2B m 在正比例函数12y x =的图像上，点A 在x 轴上，点C 在y 后上，反比例函数的图像过BC 边上点M ，与AB 边交于点N ，且3BM CM =. 求此反比例函数的解析式及点N 的坐标.6．如图，A (3，m )是反比例函数y ＝k x在第一象限图象上一点，连接OA ，过A 作AB ∥x 轴，连接OB ，交反比例函数y ＝k x的图象于点P (26，6)． (1)求m 的值和点B 的坐标；(2)连接AP ，求△OAP 的面积．【课后练习】1．函数y ＝k 1x 和2k y x=（k 1＜0且k 1k 2＜0）的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知y ＝y 1+y 2，且y 1与1x -成正比例，y 2与x +2成反比例．又当x ＝1、x ＝2时，y 的值都为1．求y 与x 的函数解析式．3、已知反比例函数11k y x=和正比例函数22y k x =的图像交于点（2，3）， （1）求这两个函数解析式；（2）判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上；（3）求两个函数图像的另一个交点．4、在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数12y x =-和正反比例函数26y x=-的图像相交于P 、Q 两点，点A 在x 轴的负半轴上，且与原点的距离是4，(1)求P 、Q 两点的坐标；(2)求△APQ 的面积．5．如图，正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数k y x=的图象上，已知正方形OAPB 的面积为9． （1）求k 的值和直线OP 的解析式；（2）求正方形ADFE 的边长．6．已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5． 求：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝2时，y 的值．7．如图，点A 在曲线y ＝3x (x ＞0)上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，OA 的垂直平分线交OB 、OA 于点C 、D ，当AB ＝1时，△ABC 的周长为_____．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y=kx 和双曲线m y x=交于点A(－3，2)． （1）填空：k= ，m= ；（2）已知点B(0，6)，若点P 在直线l 上，且S △ABP =2S △ABO ，请求出此时点P 的坐标；（3）在双曲线上找出点M ，使得∠AOM=45°，求出此时点M 的坐标．9．已知，在平面直角坐标系中，点()2,0A ，()1,2C -是平行四边形OABC 的两个顶点，反比例函数()0m y m x=≠的图象经过点B ． （1）求出反比例函数的表达式；（2）将OABC 沿着x 轴翻折，点C 落在点D 处，判断点D 是否在反比例函数m y x =的图象上，并说明理由； （3）在x 轴上是否存在一点P ，使OCP △为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．阅读理解：有这样一个问题：探究函数13x y x -=-的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数13x y x -=-的图象与性质进行了探究、下面是小明探究的过程，请补充完整： (1)函数13x y x -=-的自变量x 的取值范围是：___________ (2)下表是y 与x 的几组对应值：则m 的值为：___________x …2- 1- 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … 35 12 m 0 1-3 2 53 32 75… (3)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；(4)观察图象，写出该函数的一条性质：___________(5)若函数13xyx-=-的图象上有三个点112233(,),(,),(,),A x yB x yC x y且1233x x x<<<，则123、、y y y间的大小关系为：___________ ．（用“<”连接）。
沪教版初中数学八年级第一学期 正比例函数 课件课件PPT
y2x 4
y2x
3
2 (1，2) 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
(1，-2)
-3
-4
-5
正比例函数的图象
（1）一般地，正比例函数y = k x (k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.
（2）正比例函数图象的简便画法：两点法，
即过原点（0，0）和点（1，k）画直线.
3
小结
1.正比例函数y=kx的图象是经过（0，0）（1，k） 的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图象叫做 直线y=kx；
2.正比例函数y=kx的图象的画法；
描点法（列表、描点、连线） 两点法（0，0）（1，k）
11、世间的事情都是如此：当你刻意地追求时，它就像蝴蝶一样振翅飞远；当你专心致志之时，意外的收获已悄悄来到你的身边！ 4. 让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧! 17、真正的成功者能令一个家庭、一所母校、一家公司、一个城市、一个国家乃至整个人类以他为荣。但，他靠的往往不是后者给他的荣耀 和给他提供的优越条件，而是靠个人奋斗！
16. 坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久、够大声，终会把人唤醒的。 23. 花儿是春天的诺言，潮汛是大海的诺言，远方是道路的诺言。世界因为信守诺言，肃穆而深情。 5. 用爱生活，你会使自己幸福!防辐射眼镜有用吗用爱工作，你会使很多人幸福! 15、我们唯一不会改正的缺点是软弱。 27、可以失败，不可以失志。可以失望，不可以绝望。只要眷恋奇迹，才会得到奇迹的眷恋。 15、我们唯一不会改正的缺点是软弱。 19、任何的限度，都是从自己的心坎开端的。每一奋发尽力的背地，必有加倍的弥补。 17. 人之所以能，是相信能。 43、冲刺拼搏，在前进中寻找乐趣。 17. 不要让小小的争端损毁了一段伟大的友谊。
沪教版八年级上册-函数的概念、正比例函数讲义
【知识精要】1. 函数(1) 变量和常量变量：可以取不同数值的量；常量：保持数值不变的量。
区别：表示量的数值变还是不变。
(2)函数的定义：在某个变化过程中变化有两个变量，设为X和Y，如果在X的允许取值范围内，变量Y 随着X的变化而变化，他们之间存在着确定的依赖关系(对应法则)，那么变量Y叫做变量X 的函数，X叫做自变量。
注意：(1) 函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系；(2) 自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域；(3) 函数三要素：自变量、因变量、对应法则。
(3) 函数解析式：两个变量之间依赖关系的数学式子；(4)函数的定义域和函数值定义域：如果y是x的函数，自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域。
函数值：如果y是x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。
符号“y=f(x)”表示y是x的函数，f表示y随x变化而变化的规律(对应法则)。
值域：函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域。
2. 正比例函数(1) 概念：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么就说这两个变量成正比例；用数学符号语言记为ykx=或y=kx(0k≠).解析式形如y=kx(0k≠)的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数。
正比例函数解析式右边是常数与自变量的乘积的形式，且这个常数不为0；自变量的指数为1。
(可用来判断一个函数是不是正比例函数)(2) 定义域：一切实数。
(3) 图像一般地，正比例函数y=kx(k是常数，且k0≠)的图像是经过原点O(0，0)和点M(1，k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.(4) 正比例函数的性质①当k>0时，函数图像经过第一.三象限；当k<0时，函数图像经过第二.四象限。
②当k>0时，自变量x逐渐增大时，函数值y也在逐渐增大；当k<0时，自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期本章小结正比例和反比例函数复习课件
C为垂足。
求：
y
（1） a 的值；
A
（2）反比例函数的解析式；
（3）梯形ABCD的面积；
（4）△AOB的面积。
B
OD
C
x
（4）实际问题中的函数的定义域，除了使函数解析式有 意义外，还必须使实际问题有意义.
例题1
已知正比例函数 y
kx
与双曲线
y
4
相交于
x
点P (4, m) 及点Q.
求：（1）正比例函数的解析式 （2）点Q的坐标
例题2
过反比例函数 y k (k 0) 的图像上的一 x
点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围 成的矩形面积是2，求这个函数解析式.
经过第一 、第三 象限
y随x的增大 而增大
经过第二、 y随x的增大
第四
而减小
象限
经过第一 、第三 象限
在每个象限内， y随x的增大 而减小
经过第二、在每个象限内，
第四
y随x的增大而
象限
增大
3.(1)已知 y与 x 成反比例，并且当 x 2 时，
y 1，那么函数解析式是
y2 x
(2)正比例函数 y k3x的图像过点（6，2），
那么函数解析式是
y1x 3
(3)如图所示，反比例函数的解析式
为
y
4 x
，a
的值为
4 3
．
y 6 5 4 3
(-2,2) 2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 x
-2
(3, a)
-3
-4ห้องสมุดไป่ตู้
-5
-6
4.求下列函数的定义域
沪教版八年级 正比例函数图像与性质,带答案
主 题正比例函数图像与性质教学内容1.理解函数的概念，会求函数的解析式和函数值和函数定义域；2.理解正比例函数的概念，会用待定系数法、数形结合法求正比例函数解析式；3.熟练掌握正比例函数的图像和性质，会解相关题目.（以提问的形式回顾）1. 请填写下表：正比例函数的定义、图像和性质：定义 形如(0)y kx k =≠的函数叫正比例函数图像经过定点 （0，0） 和 （1，k ） 的一条 直 线 性质k >0图形经过第 一、三 象限 y 随x 的增大而 增大 k <0图形经过第 二、四 象限 y 随x 的增大而 减小2.填空：（1）函数21y x =-自变量的取值范围是 . （2）函数3121x y x -=-自变量的取值范围是 . （3）函数21y x =-自变量的取值范围是 .（4）函数3121x y x -=-自变量的取值范围是 .答案：（1）全体实数；（2）12x ≠；（3）12x ≥；（4）13x ≥且12x ≠（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1：已知函数2()21f x x x =--.求：（1）(0)f ；（2）(1)f -；（3）(2)f ；（4）()f a -.答案：（1）-1；（2）2；（3）221-+；（4）221a a +-例2：下列函数中，是正比例函数的是（ ） A A ．12y x = B ．4y x= C ．53y x =- D ．2621y x x =--试一试： （1）若325m y x-=是正比例函数，则m = .（2）若函数(4)y m x =-是关于x 的正比例函数，则m 的取值范围是 . （3）若函数23(2)ay a x -=+是正比例函数，则a 的值是 .（4）若函数2(2)4y a x a =++-是正比例函数，则a 的值是 . 答案： 1； 4m ≠； 2； 2例3：已知正比例函数的比例系数是-5，则解析式为 .答案：5y x =-试一试：已知y 是x 的正比例函数，且当2x =时，12y =，求这个正比例函数的解析式. 答案：6y x =例4：一个函数的图像是经过原点的直线，并且这条直线经过点(1,3)，则这个函数的解析式为 . 答案：y =3x试一试：（1）已知正比例函数图像上有一个点A 到x 轴的距离为4，这个点A 的横坐标是-2，则这个正比例函数的解析式为 .（2）已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 . （3）已知点A （4，-2）、B （a ，32）都在同一个正比例函数的图像上，则a 的值为 .答案： y =2x 或y =—2x ； y =12x 或y =12-x ； -3例5：（1）正比例函数(1)y m x =-，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 . （2）若正比例函数2-3(-1)m y m x =的图像经过第二、四象限，则m 的值是 .答案：1m >；-2试一试：1. 已知函数22(4)(1)y k x k x =-++是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则k = . 答案：-22. 已知正比例函数(21)y m x =-的图像上有两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，当12x x <时，有12y y >，那么m 的取值范围是（ ）A . 2m <B . 2m >C . 12m <D . 12m > 答案：C3. 如图,三个正比例函数的图像分别对应的解析式是 ①y a x =；② y b x =；③ y c x =，则a 、b 、c 的大小关系是( )A . a >b >cB . c >b >aC . b >a >cD . b >c >a答案：C例6. 若点A 纵坐标为4，且A 在直线y kx =上，过点A 坐AD 垂直y 轴于点D .若△ADO 的面积为4，求点A 坐标和直线y kx =的解析式. 答案：解：设点A 纵坐标为x ，则1442x ⨯⨯=，解得 2x =± 所以点A 的坐标是（2，4）或（-2，4）. 将点A 的坐标代入y kx =，得 2k =±， 所以直线的解析式为2y x =或2y x =-.（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1.下列函数中，是正比例函数的有（ ）①31y x =+；②4y x =；③15s t -=+；④22m x +=-. A .①② B . ②③ C .②④ D .③④ 2.如果1(3)n y m x -=+是正比例函数，那么m ，n = .3. 若1(2)n y n x-=-是正比例函数，则n = .4. 一根蜡烛长20厘米，点燃后平均每小时燃烧5厘米，燃烧后剩下的蜡烛高度y 厘米与燃烧时间x 小时之间的函数关系用图像可表示为( )xy xy xy xy 2042020420(B)(C)(D)(A)44OOOO5. 已知正比例函数的图像经过点P （2，3）． （1）求此函数解析式；（2）若在x 轴上有点Q ，且△POQ 的面积等于6，求点Q 的坐标.6. 已知12y y y =+，其中1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当12x =时5y =，当1x =时1y =-，求y 与x 之间的函数关系式。
2022-2023学年沪教版上海八年级数学上学期同步考点精讲精练18-1 函数的概念带讲解
18.1 函数的概念1、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y,如果在变量x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，那么变量y 叫做变量x 的函数 ，x 叫做自变量 。
要点：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. 2、函数的定义域与函数值①定义域：函数的自变量的允许取值的范围（简称自变量的取值范围）。
常见函数的定义域：（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数；（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数；（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数 （4）在实际生活中有意义。
②函数记号与函数值：函数记号：y 是x 的函数用记号y=f （x ）表示；函数值：在函数记号y=f （x ）表示时，f （a ）表示当x=a 时的函数值。
题型1：变量与常量1．刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（ ）．A ．金额B ．单价C ．数量D ．金额和数量D【分析】根据常量与变量的定义即可判断． 解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：D ．【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．2．下列关于圆的周长C 与半径r 之间的关系式2C r π=中，说法正确的是（ ）A ．C 、r 是变量，π是常量B ．r 、π是变量，2是常量C ．C 、r 是变量，2是常量D ．C 、r 是变量，2π是常量D【分析】根据变量和常量的定义判断即可．解：关于圆的周长C 与半径r 之间的关系式2C r π=中，C 、r 是变量，2π是常量． 故选：D ．【点睛】本题考查了变量和常量的定义，解题关键是明确变量和常量的定义，注意：π是常量．3．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是( )①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个C解：变量有：②行驶时间、③行驶路程、④汽车油箱中的剩余油量．共3个． 故选C ．【点睛】本题考查变量的概念，变量是指变化的量．题型2：函数的定义（从1.变量之间的关系；2.函数解析式；3.函数图像判断）4．下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A ．长方形的宽一定，其长与面积 B ．正方形的周长与面积C ．等腰三角形的底边与面积D ．速度一定时，行驶的路程与时间C【分析】在一个变化过程中，存在两个变量,,x y 对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一的值与之对应，我们就说：y 是x 的函数，根据函数的定义逐一判断即可得到答案. 解：长方形的宽一定，其长与面积，符合函数定义，故A 不符合题意； 正方形的周长与面积，符合函数定义，故B 不符合题意；等腰三角形的底边与面积，在这个变化过程中，还有底边上的高是变量，所以不符合函数定义，故C 符合题意；速度一定时，行驶的路程与时间，符合函数定义，故D 不符合题意； 故选：.C【点睛】本题考查的是函数的定义，掌握“函数的定义判断变量之间是不是函数关系”是解题的关键. 5．给出下列式子：①35y x =-；②1y x=；③y =x+z ；④2y x =；⑤2y x ．其中y 是x 的函数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B【分析】根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应． ①35y x =-，y 是x 的函数； ②1y x=，y 是x 的函数；③中有x ，y ，z 三个变量，因此不能说y 是x 的函数；④中当x 取任一正数值时，有两个y 值与之对应，故y 不是x 的函数． ⑤2yx ，y 是x 的函数.故选B ．【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 6．下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有（ ）A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个B【分析】根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量，据此判断即可． 解：属于函数的有故y 是x 的函数的个数有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了函数的定义，熟记定义是本题的关键．题型3：函数的解析式7．半径2的扇形，设圆心角为n ，则面积S 关于圆心角n 的函数解析式是 ___________________．8．某种货物的进价是每件5元，售出时的标价是每件5.8元，那么获得的利润y （元）与售出的数量x （件）之间的函数关系式是__________．0.8y x =【分析】根据获得的利润等于与每件的获得的利润乘以售出的数量，即可求解．解：获得的利润y （元）与售出的数量x （件）之间的函数关系式是()5.850.8y x x =-= ． 故答案为：0.8y x =．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．9．在登山过程中，海拔每升高 1 千米气温下降 6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是 9℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高 x 千米时，所在位置的气温是 y ，那么y 关于x 的函数解析式是_______．69y x =-+【分析】根据登山队大本营所在地的气温是 9℃，海拔每升高 1 千米气温下降 6℃，可求出y 与x 的关系式．解：由题意得y 与x 之间的函数关系式为：69y x =-+； 故答案为：69y x =-+．【点睛】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的低温=底面气温－降低的气温．题型4：函数的定义域10．函数()f x _________.【点睛】本题考查了函数的定义域问题、二次根式的被开方数大于或等于0的性质，掌握二次根式的被开方数大于或等于0是解答本题的关键． 11．函数y =的定义域是________． 5x >【分析】根据分母是二次根式，则要求被开方数为正数，即可求得函数的定义域．解：由题意知：50x -> ∴5x > 故答案为：5x >【点睛】本题考查了求函数的自变量的取值范围即函数的定义域，一般考虑两个方面：一是分母不为零；二是二次根式非负．12．下列函数的定义域为2x ≤的是（ ）A ．32y x =+ B ．5x y x =-C ．y =D ．y =13．函数y _____________1x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件，可列出关于x 的不等式组，解出x 即可．解不等式②可用整体010+≥①②，10610x ++≥变形为9610x +++≥中，14．已知函数26y x =-，当3x =时，y =_______；当19y =时，x =_______． 3 5±【分析】分别将3x =和19y =代入解析式，即可求解．解：当3x =时，2363=-=y ； 当19y =时，2196x =- ，解得：5x =± ． 故答案为：3；5± ．【点睛】本题主要考查了求函数的自变量和函数值，解题的关键是理解并掌握当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． 15．已知函数1my x =+，当2x =时，函数值为3，则m 的值是_________． 已知函数故答案为：9．【点睛】本题考查了函数的表达式，代入求值是解题的关键． 16．x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．17．已知函数()f x =()3f =_______． 函数【点睛】本题考查了函数值的求法，熟练掌握知识点是解题的关键．18．已知()221f x x =-，则(f =______．19．已知3()21f x x =-，且f （a ）＝15，那么a 的值是________． 2【分析】将函数值代入解析式求出a 即可． 解：由题意得：3()2115f a a =-=，故答案为：2．【点睛】本题考查了已知函数值求自变量，是基础题，直接代入计算即可．题型7：函数的有关概念综合题20．下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量（ ）A ．仅有一个，是时间（年份）B ．仅有一个，是人口数C ．有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份）D ．一个也没有C【分析】根据变量的定义直接判断即可． 解；观察表格，时间在变，人口在变，故C 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了变量的定义，解题关键是明确变量的定义，能够正确判断．21．弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度()y cm 最长为20cm ，与所挂物体重量()x kg 间有下面的关系．下列说法不正确的是（ ）A ．x 与y 都是变量，x 是自变量，y 是因变量B ．所挂物体为6kg ，弹簧长度为11cmC ．物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cmD ．挂30kg 物体时一定比原长增加15cm D【分析】弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm ，可以计算当所挂物体为6kg 或30kg 时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为20cm ．解：A ．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以x 是自变量，y 是因变量．故本选项正确； B ．当所挂物体为6kg 时，弹簧的长度为80.5611cm +⨯=．故本选项正确；C ．从表格数据中分析可知，物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm ．故本选项正确；D ．当所挂物体为30kg 时，弹簧长度为80.5302320cm cm +⨯=>．故本选项不正确．故选：D【点睛】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键．题型8：从图像判断信息22．如图表示的是某种摩托车的油箱中剩余量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系．由图象可知，摩托车最多装__升油，可供摩托车行驶___千米，每行驶100千米耗油___升．10 500 2【分析】根据图象可知，当x=0时，对应y的数值就是摩托车最多装多少升油，当y=0时，x的值就是摩托车行驶的千米数；根据摩托车油箱可储油10升，可以行驶500km即可得出每行驶100千米消耗汽油升数．解：由图象可知，摩托车最多装10升油，可供摩托车行驶500千米，每行驶100千米耗油2升．故答案为：10，500，2．【点睛】此题主要考查了利用函数图象解决问题，从图象上获取正确的信息是解题关键．23．如图，甲，乙两人在一次赛跑中的路程（m）与时间（s）的关系图象，则：①甲，乙两人中先到达终点的是______；②乙在这次赛跑中的速度为______m/s．甲8【分析】①根据函数点的横纵坐标的含义可得答案；②由乙在这次赛跑中100米用时12.5秒可得答案．解：①根据图象可得甲跑完全程用12s，乙用12.5s，所以先到终点的是甲，故答案为：甲；②100÷12.5=8（m/s），故答案为：8．【点睛】本题考查了函数图象，正确理解坐标系的横纵坐标的意义是解决本题的关键．24．王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间t（分）和离家距离S（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分．100【分析】根据题意，分别求出每一段路程的速度，然后进行判断，即可得到答案．解：根据题意，0~15分的速度：160800153÷=；25分~35分的速度：(800500)1030-÷=；45分~50分的速度：5005100÷=；∵160301003<<，∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是100米/分；故答案为：100．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的问题．25．在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器内水面高度h与时间t的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（）A．B．C．D．C【分析】根据图象得到高度随时间的增大，高度增加的速度，即可判断．根据图象可以得到：杯中水的高度h随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小．则杯子应该是越向上开口越大．故杯子的形状可能是C．故选：C．【点睛】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．题型9：分段函数26．已知函数2,0122,1x xyx x⎧≤<=⎨-≥⎩，若2y=，则x=_________．2【分析】根据y值可确定x的取值范围，根据x的取值范围结合函数关系式列方程求出x的值即可得答案．∵0≤x＜1时，0≤x2＜1，2,0122,1x xyx x⎧≤<=⎨-≥⎩，∴y=2时，x≥1，∴2x-2=2，解得：x=2，故答案为：2【点睛】本题考查函数值，根据y值结合各函数关系式得出对应的x的取值范围是解题关键．题型10：拓展-函数映射思想27．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（）A．B．C．D．D解：A、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；B、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；C、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；D、当3x=时，有两个y的值与其对应，所以y不是x的函数，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数）是解题关键．一、单选题1．设路程为s（km），速度为v（km/h），时间为t（h）．当50s=时50,tv=在这个函数关系式中（）A．路程是常量，t是s的函数B．路程是常量，t是v的函数C．时间是常量，v是t的函数D．速度是常量，t是v的函数B【分析】函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数，结合选项即可作出判断．在50,tv=中，速度和时间是变量，路程s是常量，t是v的函数故选：B．【点睛】本题考查了函数解析式的定义，掌握函数解析式的定义是解题的关键．2．以等腰三角形底角的度数x（单位：度）为自变量，顶角的度数y为因变量的函数关系式为（）A．y=180﹣2x（0＜x＜90）B．y=180﹣2x（0＜x≤90）C．y=180﹣2x（0≤x＜90）D．y=180﹣2x（0≤x≤90）A【分析】根据三角形内角和定理得2x+y=180，然后变形就可以求出y与x的函数解析式．解：y=180﹣2x，∵21800xx-+>⎧⎨>⎩，∵x为底角度数，∴0＜x＜90．故选A．【点睛】本题考查函数关系式，解决本题的关键是利用三角形内角和定理求一次函数的解析式．3．下列图像中表示y是x的函数的有几个（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x ，y ，当给定一个x 的值时，y 由唯一的值与之对应，则称y 是x 的函数，x 是自变量，注意“y 有唯一性”是判断函数的关键．解：根据函数的定义，每给定自变量x 一个值都有唯一的函数值y 与之相对应，故第2个图符合题意，其它均不符合，故选：A ．【点睛】本题考查函数图象的识别，判断方法：做垂直x 轴的直线在左右平移的过程中，与函数图象只会有一个交点．4．某商贩卖某种水果，出售时在进价的基础上加上一定的利润，其销售数量x 与售价y 的关系如下表，王阿姨想买这种水果6千克，她应付款（ ） 销售数量x （千克）1 2 3 4 5 … 售价y （元）40.5+ 8 1.0+ 12 1.5+ 16 2.0+ 20 2.5+ …A ．27元B ．24元C ．7元D ．26.5元A【分析】根据表格，推导出y 与x 的关系式，然后将x=6代入关系式即可求出结论．解：∵40.5+=1410.5⨯+⨯8 1.0+=2420.5⨯+⨯12 1.5+=3430.5⨯+⨯16 2.0+=4440.5⨯+⨯ 20 2.5+=5450.5⨯+⨯∴y=40.5 4.5x x x +=将x=6代入，得y=4.5627⨯=故选A ．【点睛】此题考查的是函数的应用，根据表格数据，求出函数关系式是解题关键．5．甲、乙二人沿相同的路线由A 到B 匀速行进，A ，B 两地间的路程为20km ．他们行进的路程(km)s 与甲出发后的时间t （h ）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确．．．的是（ ）A ．甲的速度是5km/h ；B ．乙的速度是10km/hC ．乙比甲晚出发1hD ．从A 到B ，甲比乙多用了1h D 【分析】由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快． 解：从图象可知甲乙两人均行驶了20千米，用时分别为4小时和2小时，从而得到甲、乙的速度分别为5km/h 和10km/h ，故A 、B 正确，D 错误；从图象可知乙比甲晚出发1小时，故C 正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了函数的图象，重点考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．6．设函数()()1f x x x =-，以下结论正确的是（ ）.A ．()()0f a f a +-=B ．若()f a a =，则0a =C ．()()1f a f a -=D ．()()1f a f a =- D【分析】()f x 中x 即自变量，把自变量的值代入解析式计算，然后进行判断即可．f (a )+f (−a )=a (a −1)−a (−a −1)=2a 2，A 不正确；f (a )=a ,即a (a −1)=a ，即a (a −2)=0，则a =0或2，B 不正确；f (a )f (-a )=a (a −1)×[−a (−a −1)]= a4- a2，C 不正确；f (a )= a (a −1),f (1−a )=(1-a )(1-a -1)=(1-a )(-a )= a (a −1)，D 正确，故选D.【点睛】本题考查求函数值，在本题中代入自变量时需注意当自变量为-a或1-a时需将-a或1-a看成一个整体，去替换关系式中的x.还需注意化简时的符号问题.7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是6和2，输出的y值相等，则b等于（）A．5B．10C．7D．10-D【分析】把x=6与x=2代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．当x6=时，y=-x6=-，当x2=时，y=2x+b22b4b=⨯+=+，由题意得：4b6+=-，解得：b10=-．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．8．若函数23(2)3(2)x xyx x⎧-≤=⎨>⎩，则当函数值9y=时，自变量的值是（）A．23±B．3 C．3± 3 D．23- 3D【分析】将y=9代入函数解析式中，求出x值，此题得解．解：当y=x2-3=9，解得：x=-23或x=23（舍去）；当y=3x=9，解得：x=3．故选D．【点睛】本题考查了函数值，将y=9代入函数中求出x值是解题的关键．9．如图，一只蚂蚁从О点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与О点的距离为,s 则s 关于t 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ． B【分析】根据蚂蚁在半径OA 、AB 和半径OB 上运动时，判断随着时间的变化s 的变化情况，即可得出结论．解：一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA 这一段，蚂蚁到O 点的距离随运动时间t 的增大而增大；到AB 这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，图象是与x 轴平行的线段；走另一条半径OB 时，S 随t 的增大而减小；故选：B ．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，根据随着时间的变化，到AB 这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，得到图象的特点是解决本题的关键．10．函数[]y x =叫做高斯函数，其中x 为任意实数，[]x 表示不超过x 的最大整数．定义{}[]x x x =-，则下列说法正确的个数为( )①[ 4.1]4-=-；②{3.5}0.5=；③高斯函数[]y x =中，当3y =-时，x 的取值范围是32x -≤<-；④函数{}y x =中，当2.5 3.5x <≤时，01y ≤<．A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数，即可解答．解：①[ 4.1]5-=-，故原说法错误；②{3.5} 3.5[3.5] 3.530.5=-=-=，正确，符合题意；③高斯函数[]y x =中，当3y =-时，x 的取值范围是32x -≤<-，正确，符合题意；④函数{}y x =中，当2.5 3.5x <≤时，01y ≤<，正确，符合题意；所以，正确的结论有3个．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确[]x 表示不超过x 的最大整数．二、填空题11．当圆的半径r 由小变大时，它的面积S 也越来越大，它们之间的变化关系为2πS r =，在这个变化过程中，自变量为______，因变量为______，常量为______.r S π【分析】根据常量、变量的概念，通过对圆的面积公式中的各个量进行分析，即可确定答案. ∵圆的半径r 由小变大时，它的面积S 也越来越大，∴自变量是圆的半径r ，因变量是圆的面积S ，常量是π.故答案为r ，S ，π. 【点睛】本题考查变量与常量. 常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量. 自变量就是本身发生变化的量,因变量就是由于自变量发生变化而引起变化的量.12．在面积为120m²的长方形中，它的长y （m ）与宽x （m ）的函数解析式是______.120xy ，进而变形即可得120xy， 120x=. 【点睛】本题考查用关系式法表示变量之间的关系. 能利用矩形的面积公式中的等量关系列出关系式是解决此题的关键.13．已知2()1x f x x -=- ，则f =_________．【点睛】本题主要考查求函数值的知识，关键是根据题意把自变量代入函数表达式求解即可．14．已知函数()f x =()3f =_______． 函数【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得10,10x x ①②再解不等式组即可得到答案10,10x x ①②由由②得：1,x ≠所以函数1y =【点睛】本题考查的是二次函数的自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握“分式与二次根式有意义的条件”是解本题的关键.16．油箱中有油60升，油从管道中匀速流出，一小时流完，则油箱中剩余油量Q （升）与流出时间t （分钟）之间的函数关系为________________________ ， 定义域为_____________ ，当Q=10升时， t=___________60Q t =- 060t ≤≤ 50【分析】根据“剩余油量=总油量－用去的油量”建立函数关系式，再代入求值即可．由题意可得，油从管道中流出的流速是每分钟1升，∴60Q t =-，∵一小时流完，∴定义域为060t ≤≤，将Q=10代入60Q t =-得，10=60－t ，解得：t =50．故答案为：60Q t =-；060t ≤≤；50．【点睛】本题考查了函数关系式，掌握实际问题中关系式的求法是解题的关键．17．将231a b -=写成用a 的代数式表示b 的形式为______，那么______是______的函数，______是自变量. 2133b a =-b a a 【分析】根据等式的性质将等式表示成左边为b 右边为含a 的代数式的形式即可，根据函数的定义填写后面三个空.解：∵231a b -=移项可得：321b a -=-+将b 的系数化为1得：2133b a =-. 根据函数的定义b 是a 的函数，a 是自变量，b 是因变量故四个空依次填：2133b a =-，b ，a ，a. 【点睛】等式的性质和函数的定义.在用a 的代数式表示b 时可将a 看成已知数，b 看成未知数，解b 的方程即可，理解函数的定义也是解决本题的关键.18．用黑、白两种颜色的正六边形地板砖镶嵌成若干图案（如图），则第n 个图案中白色地板砖的总块数N （块）与n 之间的关系式是________，其中常量是________，变量是________． 42N n =+ 2，4 N ，n【分析】根据图形所呈现的规律得出白色地板砖的总块数N （块）与n 之间的关系式，再确定自变量、因变量．由图①可得：N =1×6－（1－1）×2＝6； 由图②可得：N =2╳6-（2-1）╳2=10；由图③可得：N =3╳6-（3-1）╳2=14；由上可得图形规律为：N =6n -2（n -1）=4n +2，常量为4，2；变量为白色地板砖的总块数N 与n ， 故答案为：N =4n +2；4，2；白色地板砖的总块数N 与n ．【点睛】考查常量与变量以及图形的变化类，解题关键是发现图形所呈现的规律．三、解答题19．下列式子中的y 是x 的函数吗？为什么？（1）35y x =-； （2）21x y x -=-； （3）y = 请再举出一些函数的例子．20．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式．（1）改变正方形的边长x ，正方形的面积S 随之改变．（2）每分向一水池注水30.1m ，注水量y （单位：3m ）随注水时间x （单位：min ）的变化而变化．（3）秀水村的耕地面积是6210m ，这个村人均占有耕地面积y （单位；2m ）随这个村人数n 的变化而变化．（4）水池中有水10L ，此后每小时漏水0.05L ，水池中的水量V （单位：L ）随时间t （单位：h ）的变化而变化．21．小明准备买a 本练习本，已知练习本的单价为3元.（1）写出小明所花的钱数y （元）与本数a （本）之间的表达式； （2）当6a =时，求y 的值. （1）3y a =；（2）18【分析】（1）根据每本练习本的价格及练习本的数量得出关系式即可； （2）再把a =6代入求出y 的值即可.(1)小明所花的钱数y (元)与本数a (本)之间的关系式y =3a ； (2)当a =6时，y=3×6=18.答：(1)小明所花的钱数y (元)与本数a (本)之间的关系式，y=3a ； (2)当a =6时，y 的值为18.【点睛】本题考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的应用是解题的关键.在本题中一定要清楚总价=单价×数量.22．在烧开水时，水温达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ （3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；（2）水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；（3）时间推移2分钟，水的温度增加14℃，到10分钟时恒定；（4）时间为23．已知x 与y 有如下关系：2x y =-. （1）把它改成()y f x =的形式；（2）求f的值.24．已知()()234,53f x x x g x x =+=-，求：（1）()()f x g x + （2）(1)(2)f g -+ （1）2483x x +-；（2）8【分析】（1）通过合并同类项，即可完成求解；（2）通过(1)f -和(2)g 分别计算后再相加，从而完成求解．（1）()22()3453483f x g x x x x x x +=++-=+-（2）2(1)3(1)4(1)341f -=⨯-+⨯-=-+= (2)5237g =⨯-=∴(1)(2)178f g -+=+=．【点睛】本题考查了求函数值、合并同类项的知识；求解的关键是函数值的方法和合并同类项的性质，从而完成求解．25．下图是某物体的抛射曲线图，其中s 表示物体与抛射点之间的水平距离，h 表示物体的高度．（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ （2）根据图象填表：/m s0 1 2 3 4 5 6 /m h（3）当距离s 取0~6m 之间的一个确定的值时，相应的高度h 确定吗？ （4）高度h 可以看成距离s 的函数吗？（1）反映了拋射距离s 与高度h 之间的关系；（2）2.0，2.5，2.65，2.5，2.0，1.2，0；（3）确定；（4）可以【分析】（1）根据变量的定义，即可求解； （2）根据图象填表即可；（3）根据这一范围内对于任一个距离s ，对应的函数值高度h 是唯一的，即可得到相应的高度h 是确定的； （4）根据函数的定义，即可求解．解：（1）根据题意得：这个图象反映了高度h与拋射水平距离s之间的关系；（2）根据图象填表如下：/ms0 1 2 3 4 5 6/mh 2.0 2.5 2.65 2.5 2.0 1.2 0（3）当距离s取0~6m之间的一个确定的值时，相应的高度h是确定的，理由如下：因为这一范围内对于任一个距离s，对应的函数值高度h是唯一的，所以相应的高度h是确定的；（4）∵高度h随距离s的变化而变化，并且对于任一个距离s，对应的函数值高度h是唯一的，∴高度h可以看成距离s的函数．【点睛】本题主要考查了函数与变量，熟练掌握设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量是解题的关键．26．如图是一辆慢车与一辆快车沿相同路线从A地到B地所行的路程与时间之间的函数图像. 请根据图像，回答下列问题：（1）慢车比快车早出发______h，快车追上慢车时行驶了______km，快车比慢车早______h到达B地；（2）求A、B两地的距离.（1）2、276、4；（2）A、B两地的距离为828km.【分析】(1)图像中横轴表示时间，纵轴表示路程，根据快、慢车的函数图象即可得出结果；(2)设快车与慢车相遇时，快车用了t小时，则慢车用了t+2小时，据此可用含t的代数式表示它们的速度，根据到达目的地时，快车的路程=慢车的路程列出方程，解方程可求出t，从而可求出快车的速度，进而求出A、B两地的距离.（1）慢车的图象是从原点开始的，快车的图象是从x=2开始的所以慢车比快车早出发2h；两图象相交时，y=276，故快车追上慢车时行驶了276km；当x=14时快车到达，当x=18时慢车到达，故快车比慢车早4h到达B地.所以填2、276、4.（2）设相遇时快车用了t h,速度为276tkm/h，则慢车用了()2t+h，速度为2762tkm/h，则。
秋沪教版(上海)八年级数学第一学期1正比例函数课件
复习
一、变量与常量
在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量.
二、函数
在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，
它们之间存在确定的依赖关系，那么x叫做自变量，变量y叫做变量x的函数.
➢ 自变量的允许取值范围，叫做函数的定义域.
例题 2.4、已知 y y1 y2 ，且 y1 与 x 成正比例， y 2 与 x 3 成正比例. 当 x 1 时， y 7 ；
x 1 时， y 7 .求 x 1 时，y 的值.
总结
一、正比例关系
如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例.
二、正比例函数
例题2 已知y是x的正比例函数，且当 = 时, = .
求y与x之间的比例系数，并写出函数解析式和函数的定义域.
解：因为y是x的正比例函数，可设函数解析式为 = ≠ .
把 = , = 代入解析式，得 = ，解得 =
所以y与x之间的比例系数为8，函数解析式是y=8x，函数的定义域为一切实数.
（6）变量y与x成正比例，则x与y.
练习2、下列函数（其中x是自变量）中，哪些是正比例函数？哪些不是？为什么？
1 = ;
5
1
2 = − ;
5
5
3 = ;
4 = 5 + 2
练习3、已知y是x的正比例函数，且当 = 2时， = 12.求y与x之间的比例系数，写出y关于x的函数解析式.
值.这样的方法称为“待定系数法”.
二、正比例函数
18-第十八章-正比例函数和反比例函数-八年级(上)-知识点汇总-沪教版
第十八章正比例函数和反比例函数18.1 函数的概念1、 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2、 在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3、 表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式4、 函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1、 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2、 正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3、 对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4、 一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5、 正比例函数有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小18.3 反比例函数1、 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2、 解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数（反比例函数的定义域是不等于零的一切实数）3、 反比例函数(0)k y k k x =≠是常数,有如下性质：（1）当k＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小（2）当k＜0时，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。
2022年沪科版八上数学《正比例函数的图象和性质》精品课件
(2)假设它是正比例函数，求 m 的值． 解：(2)因为 y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数， 所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0. 所以 m＝±5且m≠5且m＝－1， 那么这样的m不存在， 所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能
为 【正总结比】例函函数数是．一次函数，那么k≠0，且自变量的 次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．
方法总结
1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项 为零．
例1：函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1. (1)假设它是一次函数，求m的值； (2)假设它是正比例函数，求m的值．
解：(1) 因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数， 所以 m2－24＝1且m－5≠0， 所以 m＝±5且m≠5， 所以 m＝－5. 所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24
x
x
0
.
y/元
〔2〕列表 x 0 4
6
描点 y 0 3
5 4
连线
3
2
〔3〕当x=220时，
1
y 3 220 165〔元〕.
O 1 2 34 5 67
x/k m
4
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
图象时最我简们单只？需为描什点么(0？，0)和点 (1，k)， 连线即可.
画一画
用你认为最简单的方法画出以下函数的图象：
〔1〕 y=-3x；〔2〕y 3 x.
2
y=-3x
y3x 2
x
0
1
y=-3x 0
沪科版八年级上册专题讲义 第3节 一次函数的概念及正比例函数(无答案)
第3节一次函数的概念及正比例函数※知识要点1．一次函数和正比例函数的概念一般地||，形如()的函数叫一次函数．特别地||，当b＝____时||，一次函数y＝kx＋b就成为(k是常数且)||，这时y叫做x的正比例函数．注意：(1)正比例函数是一种特殊的函数；(2)当关系式y＝kx(k是常数且)成立时||，则称y与x成关系||，反之也成立．2．正比例函数的图像与性质注意：(1)正比例函数过定点：（）、（1||，）；(2)系数k的几何意义：反映直线的||，称为；※题型讲练【例1】有如下表达式：①y＝－2x+3 ①y＝3x①y＝－2+x①y＝－x2①y＝－32x①y＝2x2+1①y＝x ①－3x+2＝5(1)其中是一次函数的有：；(2)其中是正比例函数的有：；变式训练1：1．判断下列函数是不是y关于x的一次函数？如果是||，请将其整理成y＝kx＋b形式||，并找出相应的k和b．(1)y＝－2x－33+2 (2)6x－2y＝52．汽车以40千米/时的速度行驶||，行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数解析式为||，y是x的_______函数．【例2】已知y关于x的函数式为y＝(m－2)x+m2－4．(1)若该函数是一次函数||，求m的取值范围；(2)若该函数是正比例函数||，求m的值．变式训练2：1．若已知函数y＝(m+3)x| m|－2是正比例函数||，求m的值及函数关系式．【例3】已知y－2与x+1成正比例关系||，且当x= 0时||，y= 4||，(1)求y关于x的函数解析式．(2)若点（a||，2）在该函数图像上||，求a的值．变式训练3：1．已知y－3与x2成正比例||，且当x= 1时||，y=6||，(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x= 2时||，求对应的函数值y．【例4】已知函数y＝(2－a)x+2b－6的图像经过原点．(1)求b的值；(2)若该函数图像过一、三象限||，求a的取值范围；(3)若该函数的y随x增大而减小||，求a的取值范围；变式训练4：1．已知一个正比例函数图像过点（2||，－6）||，(1)求该函数的关系式；(2)已知函数图像上有两点(a||，m+3）、(b||，－2m+6）且a>b||，求m的取值范围．※课后练习1．下列函数中||，是正比例函数的是（）A．y＝2x B．y＝12x C．y＝x2 D．y＝2x－1 2．下列说法不正确的是( )A．一次函数不一定是正比例函数B．不是一次函数就一定不是正比例函数C．正比例函数是特定的一次函数D．不是正比例函数就不是一次函数3．函数y＝－2x的图象一定经过下列四个点中的（）A．(1||，2) B．(－2||，1) C．(12||，－1) D．(－1||，12)4．关于函数y=－2x||，下列判断正确的是( )A．图像过点(－1||，－2) B．图像经过二四象限C．y随x的增大而增大D．不论x为何值||，总有y＜05．如果函数y=(m－2)x| m－1 |是正比例函数||，那么（）A．m＝2或m＝0B．m＝2C．m＝0D．m＝16．已知函数y=3x||，则该函数图像必过象限||，函数值y 随自变量x的增大而．7．若直线y＝kx经过点A（－5||，3）||，则k＝______．如果这条直线上点A的横坐标x A＝4||，那么它的纵坐标y A＝______．8．若函数y＝(3－m)x+m2－9的图象经过原点||，则m= ．9．已知函数(2)1y m x m=++-||，当m时||，它是一次函数||，当m时||，它是正比例函数．10．已知函数y=(m－1)x的图像经过一、三象限||，则实数m的取值范围是___________．11．已知函数y=kx的图像经过二四象限||，A(x1||，y1)、B(x2||，y2)是该函数图像上任意的两个点||，若x1＜x2||，则||，函数值y1与y2的大小关系是y1y2．12．已知函数y=(2－m)x+2m－3．(1)当m为何值时||，此函数为正比例函数；(2)当m为何值时||，此函数为一次函数；(3)当m为何值时||，此函数图像过原点．13．已知y+2与2x－3成正比例||，且当x= 1时||，y=0．(1)求y关于x的函数关系式；(2)求当x= 2时对应的函数值y；(3)若点（a||，2）在该函数图像上||，求a的值．14．已知正比例函数y＝(2m－3)x．(1)求m的取值范围；(2)若该函数图像过点(－2||，2) ||，求m的值；(3)若该函数图像上||，y随x的增大而增大||，求m的取值范围．15．在直角坐标系中||，两条直线y=6与y=kx (k≠0)相交于点A||，且直线y=6与y轴交于点B．(1)求点A的坐标(用k表示)和点B的坐标；(2)若①ABO的面积为12||，求k的值．。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期1正比例反比例函数的复习课件
10、正比例函数 y x的图象，y的值随x的值的增大 8
而 减小 。
11、反比例函数 y 8 的图象在每一个象限内，y的值 x
随x的值的增大而 增大 。
针对训练
12、如果 m > - 2 ，正比例函数 y (m 2)x 的图像经过
❖ A．1 B．-1 C．2 D．-2
应用举例
4、已知反比例函数的图像与 y 2x 的图像交于点A和 点B， A点的坐标是（a ，－2）：
（1）求反比例函数解析式； （2）求点B的坐标； （3）在y轴上是否存在点C，使得△ABC的面积是6？若存
在，求点C的坐标，如果不存在，请说明理由。
❖ 如图所示,点A(4,3)在函数 (k≠0)图像的第 一象限内的分支上,
（x > 0）
y yk
x
C
B
0A
x
巩固练习
一辆汽车行驶速度为v（千米/小时），行驶50千米 用了t小时 ，试写出行驶速度v与时间t之间的函数关
系式 ＿v＿＿5＿t0 ＿， 其定义域为＿＿t ＿0＿。
若在直角坐标平面内画出该函数图像，图像在什么象限？ v（km/h）
v 50
t
0
t（h）
❖ 反比例函 （k<0)，点M是它在第二 象限内的图象上一点，MP垂直x轴于 点P，如果△OMP的面积为1，那么k 的值是…………………………（ ）
今天你有哪些收获：
1、确定一个正、反比例函数的解析式，只要 确定比例系数k的值（待定系数法）；
今天你有哪些收获：
2、已知正、反比例函数的比例系数k的值，可知函数图像的位置 及y随x的增减性； 反之，已知正、反比例函数的图像位置或y随x的增减性，也可 确定k的取值范围；
2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习05函数的概念及正比例函数(考点讲解)(学生版)
专题05 函数的概念及正比例函数【考点剖析】1.函数定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数.函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值.设()f x 为整式，则函数()y f x =的定义域：一切实数； 函数1()y f x =的定义域：满足()0f x ≠的实数；函数y ()0f x ≥的实数.函数[]0()f x 的定义域：满足()0f x ≠的实数2.正比例函数1）.正比例：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例.用数学式子表示两个变量x,y 成正比,就是y k x=或者y kx =,其中0k ≠。
2）.正比例函数：k>0 k<0 3.注意点(1)正比例函数y kx =中, 0k ≠,但定义域是一切实数,两者不能混淆.(2)在实际问题中,正比例函数的图形往往是一条线段,一切要根据定义域来确定线段的所在范围。
(3)正比例函数与正比例是有区别的,正比例函数一定要满足y kx =,比如: 2(1)y x =+就不是正比例函数,是一次函数,但是y 与x+1成正比例。
【典例分析】【考点1】函数的概念1．下列各选项中分别有两个变量x 、y ，则y 不是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．y=2x 1D ．在国内投寄到外埠质量为100g 以内的普通信函应付邮资如下表： 信件质量/x y020x <≤ 2040x <≤ 4060x <≤ 6080x <≤ 80100x <≤ 邮资y /元1.202.403.604.80 6.002．函数y 11-x 的自变量x 的取值范围是______3．在函数y =中，自变量x 的取值范围是_________．4．如果函数()11f x x =-，那么f =_____．【考点2】正比例函数的图像及性质1．下列问题中两个变量成正比例的是（ ）A ．正方形面积和它的边长B ．一条边确定的长方形，其周长与另一边长C ．圆的面积与它的半径D ．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数2．已知函数223y x k =+-是正比例函数，则常数k 的值为（ ） A ．2-B ．0C ．2D ．2±3．下列函数中，正比例函数是（ ）A ．3x y =B ．21y x -C ．22y x =D ．3y x=4．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-5．在32y x a =+-中，若y 是x 的正比例函数，则常数=a ___________．6．若函数()2269y m x m =++-是关于x 的正比例函数，则m 的值为_____________．7．已知正比例函数m y mx =∣∣，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m 的值为____．8．已知y 是x 的正比例函数，当2x =-时，8y =．求y 关于x 的函数表达式，以及当3x =时的函数值．9．已知3y 与21x -成正比例，且当1x =时，6y =．(1)求y 与x 之间的函数解析式．(2)已知点(,)P m n 在该函数的图像上，且4m n -=，求点P 的坐标．10．已知正比例函数过点(42)-，A ，点P 在正比例函数图像上，又(04)B ，且10ABP S =，求点P 的坐标．【课后练习】1．下列各图象中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数()032x y x -=+-的自变量x 的取值范围是___________3．已知函数1()1f x x=+，则3)f ＝ . 4．下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ）A ．圆的面积S （cm 2）与它的半径r （cm ）之间的关系B ．某水池有水15m 3，现打开进水管进水，进水速度为5m 3/h ，xh 后这个水池有水y m 3C ．三角形面积一定时，它的底边a （cm ）和底边上的高h （cm ）之间的关系D ．汽车以60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y 与行驶时间x 之间的关系5．下列变化过程中，y 是x 的正比例函数是（ ）A ．某村共有5210m 耕地，该村人均占有耕地y （单位：2m ）随该村人数x （单位：人）的变化而变化B ．一天内，温岭市气温y （单位：℃）随时间x （单位：时）的变化而变化C ．汽车油箱内的存油y （单位：升）随行驶时间x （单位：时）的变化而变化D ．某人一年总收入y （单位：元）随年内平均月收入x （单位：元）的变化而变化6．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ）A ．正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化B ．正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化C ．面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化D ．水箱以0.5L /min 的流量往外放水，水箱中的剩水量VL 随着放水时间t min 的变化而变化7．若()224y m x m =-+-是y 关于x 的正比例函数，求该正比例函数的解析式．8．正比例函数y=ax 中，y 随x 的增大而增大，则直线()1y a x =--经过（ ）A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限9．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （3，m ）、B （n ，﹣2），那么一定有（ ）A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜010．已知正比例函数y =kx 的图象经过点（2，﹣4），（1，1y ），（﹣1，2y ），那么1y 与2y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2yB ．1y ＝2yC ．1y ＞2yD ．无法确定11．正比例函数(1)y k x =+图像经过点（1，1），那么k =__________．12．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________．13．若正比例函数()1y m x =-的图象从左到右逐渐上升，则m 的取值范围是___________________14．已知正比例函数y=kx 图像经过点（2，4），求：(1)这个函数的解析式；(2)判断点A （2，1）是否在这个函数图像上；(3)图像上两点()11,B x y ，()22,C x y ，如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．15．已知y 与x1成正比例，且当x= 3时，y= 4．(1)求y 与x 之间的函数解析式；(2)当x= 1时，求y 的值．16．如图，已知正比例函数y ＝kx 的图像经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，点A 的横坐标为4，且△AOH 的面积为8(1)求正比例函数的解析式．(2)在x 轴上能否找到一点P ，使△AOP 的面积为10？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知：如图，直线2y x =上有一点()2,P a ，直线()01y kx k =<<上有一点(),2Q b ．(1)求点P 和点Q 的坐标（其中点Q 的坐标用含k 的代数式表示）．(2)过点P 分别作PA y ⊥轴，PB x ⊥轴，过点Q 分别作QC x ⊥轴，如果OPQ △的面积等于BPQ 的面积的两倍，请求出k 的值．(3)在（2）的条件下，在直线OQ 上是否存在点D ，使12OCD S =△如果存在，请求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．。
2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习06 反比例函数(考点讲解)(学生版)
专题06 函数的概念及正比例函数【考点剖析】 1.反比例函数1）. 反比例：如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例.用数学式子表示两个变量x,y 成反比,就是xy k =或者ky x=,其中0k ≠。
2）. 反比例函数： 反比例函数定义形如ky x=（k 为常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数。
称y 是x 的反比例函数。
定义域 x 的取值范围是0x ≠ y 的取值范围是0y ≠图像 两条双曲线性质当k>0时，图像（除圆点外）在一、三象限；当x 增大时，y 的值逐渐减小；y 随x 的增大而减小。
当k<0时，图像（除圆点外）在二、四象限；当x 增大时，y 的值反而增大；y 随x 的增大而增大。
2.注意点(1)反比例函数的三种表示方法：ky x=,1y kx -=，(0)xy k k =≠ (2)反比例函数的图像是双曲线，有两支，分别在第一、三象限或第二、四象限。
3．反比例函数的几何意义1)．如图所示，过双曲线上任意一点P(x,y)分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 为垂足，则||||||||k xy x y PF PE ====S 矩形OEPF 。
2)．反比例函数ky x=（0k ≠）中，||k 越大，双曲线越远离坐标原点；||k 越小，双曲线越远离坐标原点。
3)．双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是y=x 和直线y=-x【典例分析】【考点1】反比例函数的图形和性质 1．下列函数：①2y x =-②111y x =-③11y x=-④21y x ，y 是x 的反比例函数的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列问题中，两个变量成反比例函数的是（ ） A ．矩形面积固定，长x 和宽y 的关系 B ．矩形周长固定，长x 和宽y 的关系 C ．正方形面积S 和边长a 之间的关系 D ．正方形周长C 和边长a 之间的关系3．下列问题中，两个变量成反比例的是（ ）A ．商一定时（不为零），被除数与除数B ．等边三角形的面积与它的边长C ．长方形的长a 不变时，长方形的周长C 与它的宽bD ．货物的总价A 一定时，货物的单价a 与货物的数量x4、当m ＝ 时，函数221(2)m m y m m x --=+是反比例函数．5．如果点P （m ﹣3，1）在反比例函数1y x=的图象上，那么m 的值是 4 ．6．已知反比例函数3y x=（x ＞0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），如果x 1＜x 2时，那么y 1 > y 2．（填 “＞”或“＜”）7．已知点A （x 1，y 1）、点B （x 2，y 2）在反比例函数2y x=-的图象上．如果x 1＜0＜x 2，那么y 1与y 2 的大小关系为：y 1 y 2（从“＜”、“＝”、“＞”中选择）．8．如果函数22k y kx -=的图象是双曲线，且在第二、四象限内，那么k 的值是 ．9．反比例函数23m y x-=，在其图象所在的每个象限内，y 的值随x 的增大而减小，m 的取值范围是 ．10．已知点P 位于第三象限内，且点P 到两坐标轴的距离分别为2和4，若反比例函数图象经过点P ，则 该反比例函数的解析式为 ．【考点2】反比例函数的面积 1．如图，A ，B 两点在函数()20y x x=-<图象上，AC 垂直y 轴于点C ，BD 垂直x 轴于点D ，AOC BOD ，△△面积分别记为1S ，2S ，则1S ______2S ．（ ）A ．>B ．=C ．<D ．不确定2．函数 4y x =和1y x =在第一象限内的图象如图，点P 是4y x=的图象上一动点PC x ⊥轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x=的图象于点B ．给出如下结论： ①ODB △与OCA △的面积相等； ②P A 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化； ④13CA AP =． 其中所有正确结论有（ ）个．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，已知点P（x，y）是反比例函数图象上一点，O是坐标原点，PA⊥x轴，S△PAO＝4，且图象经过（1，3m﹣1）；求：（1）反比例函数解析式．（2）m的值．【课后练习】1．下列函数中，y是x的反比例函数的有（）个．①1yx-＝；②3yx＝；③1xy-＝；④3y x＝；⑤21yx=-；⑥11yx-＝．A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列函数中是反比例函数有___________．①y=3x-1；②y=2x2；③y=1x；④y=23x；⑤y=3x；⑥y=1x-；⑦y=13x；⑧y=32x．3．下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（）A．长100m的绳子剪下x m后，还剩y mB．买单价8元的笔记本x本，共用了y元C．家到学校的距离为480m，步行上学的平均速度为vm/min，所用时间为tmin D．矩形的长为a，宽为20，其面积S与a之间的关系4．若函数()221m y m x -=+是反比例函数，则m 的值为（ ）A ．1m =B ．1m =-C ．1m =±D ．1m ≠-5．若函数()2211m m y m x --=-是反比例函数，则m 的值是____________．6．在平面直角坐标系中，若反比例函数()0ky k x=≠的图像经过点()1,2A 和点()2,B m -，则m 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-24．若双曲线(0)ky k x=<，经过点()12,A y -，()25,B y -，则1y 与2y 的大小关系为（ ） A ．12y y < B ．12y y > C ．12y y = D ．无法比䢂1y 与2y 的大小5．已知方程220x x k -+=有两个不相等的实数根1x ，2x ．而点()11,A x y ，()22,B x y 为反比例函数2k y x-=的图象上两点，若120x x >>，则1y ___________2y （填“>”或“<”或“=”）．6．已知反比例函数23a y x-=的图象在每个象限内都是y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围为______．7．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，函数6y x =与2y x=在第一象限的图象分别为曲线12,l l ，点P 为曲线1l 上的任意一点，过点P 作y 轴的垂线交2l 于点A ，交y 轴于点M ，作x 轴的垂线交2l 于点B ，则AOB 的面积是___________．8．如图，在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P ，⋯，n P ，⋯，它们的横坐标依次为1，2，3，4，⋯，n ，⋯，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，5S ，⋯，n S ，⋯，则1232022S S S S +++⋯+的结果为_______9．如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数2y x=的图象上，则菱形的面积为___________．10．已知y 与x-1成反比例，且当3x =时，4y =． (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)当=1x -时，求y 的值．11．在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5cm 时，它的另一边长为8cm ．(1)设矩形相邻的两边长分别为(cm),(cm)x y ，求y 关于x 的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数．(2)若其中一个矩形的一条边长为5cm ，求这个矩形与之相邻的另一边长．12．已知反比例函数()2861m m y m x ++=+．(1)求m 的值；(2)判断()2,3，()1,6-两点是否在该反比例函数图象上，为什么？13．已知反比例函数(0)k y k x=≠，当3x =-时，43y =．求：(1)y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围． (2)当4x =-时，函数y 的值．14．如图，A 为反比例函数()0ky k x=<的图象上一点，AP y ⊥轴，垂足为P ．(1)联结AO ，当2APOS时，求反比例函数的解析式；(2)联结AO ，若()1,2A -，y 轴上是否存在点M ，使得APMAPOS S，若存在，求出M 的坐标：若不存在，说明理由，(3)点B 在直线AP 上，且3PB PA =，过点B 作直线BC y ∥轴，交反比例函数的图象于点C ，若PAC △的面积为4，求k 的值．。
2022-2023学年沪教版上海八年级数学上学期同步考点精讲精练18-2 正比例函数带讲解
18.2 正比例函数一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数. 2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数； （2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例； （4）、k xy=（k 为常数且k ≠0）. 二、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.三、正比例函数的图象与性质（图像画法：列表；描点；连线）正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.题型1：正比例函数的概念1．下列问题中，两个变量成正比例的是（ ） A ．圆的面积和它的半径；B ．长方形的面积一定时，它的长和宽；C ．正方形的周长与边长；D ．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高． C【分析】先列出函数关系式，然后再根据正比例函数的定义即可解答． 解：A 、圆的面积S =πr 2，不是正比例函数，故此选项不符合题意；B 、长方形的面积S 一定时，它的长a 和宽b 的关系S =ab ，不是正比例函数，故此选项不符合题意；2．下列函数是正比例函数的是（ ）． A ．22y x = B ．()21y x =-C ．3y x =-D ．3y x=3．函数2(1)m y m x =+是正比例函数，则m 的值为（ ） A ．±1 B ．1C ．1-D ．不存在B【分析】根据正比例函数的定义，得m 2=1，且m +1≠0，求解即可． 解：∵函数y =（m +1）xm 2是正比例函数，∴m 2=1，且m +1≠0， 解得，m =1． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如y =kx ，且k ≠0，叫正比例函数． 4．若函数()221y k x k =-++是正比例函数，则k 的值是（ ）A ．2k ≠B ．2k =C ．12k =-D ．2k =-解：函数5．若函数y ＝（2m +6）x +m 2﹣9是关于x 的正比例函数，则m 的值为（ ） A ．3 B ．﹣3C ．±3D ．0A【分析】根据正比例函数的定义求解即可． 解：由题意得：m 2﹣9＝0， 解得：m ＝3或m ＝-3， ∵2m +6≠0， ∴m ≠-3， ∴m ＝3， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，其中k 叫做比例系数．题型3：求函数的值与待定系数法6．已知y 与x 成正比例，如果x =2时，y =1，那么x =3时，y 为( )A ．32B ．2C ．3D ．0A【分析】根据y 与x 成正比例，如果x =4时，y =2，用待定系数法可求出函数关系式．再将x =3代入求出y 的值．解：∵y 与x 成正比例， ∴y =kx ，7．若y 与x 成正比例，且当x ＝3时，y ＝6，则y 与x 之间的函数关系式为 __． 2y x =【分析】首先设y ＝kx ，再代入x ＝3，y ＝6可得k 的值，进而可得函数解析式．解：设y ＝kx ， ∵当x ＝3时，y ＝6， ∴6＝3k ， 解得：k ＝2， ∴y ＝2x ， 故答案为：y ＝2x ．【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握形如y ＝kx （k ≠0）的形式是正比例函数．8．正比例函数y kx =经过点()2,6，则k 的值是______． 3【分析】把点（2，6）代入正比例函数y ＝kx ，可以求得k 的值，本题得以解决． 解：∵正比例函数y ＝kx 的图象经过点（2，6），∴6＝2k ， ∴k ＝3． 故答案为：3．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 9．变量x ，y 的一些对应值如表：根据表格中的数据规律，当x ＝11时，y 的值是（ ）A ．﹣22B ．﹣11C ．11D ．22A【分析】根据表格中变量x 、y 的变化关系，得出函数关系式，再代入计算即可． 解：由表格中变量x 每增加1个单位，y 就减少2个单位，且经过点(0，0)， 所以变量x 、y 的变化关系为正比例函数关系，即y =-2x ， 当x =11时，y =-2×11=-22， 故选：A ．【点睛】本题考查了函数值，根据表格中变量之间的变化关系和对应值得出函数关系式是解决问题的关键． 10．已知A （﹣3，4），B （3，﹣4），C （2，﹣5），D （﹣5，203），其中点（ ）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上． A ．A B ．B C ．C D ．D11．已知2y -和21x +成正比例，且2x =-时，7y =-，则y 与x 之间的函数表达式为_________．65y x =+【分析】根据题意设出函数解析式，把当x =-2时，y =-7代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式．解：∵2y -和21x +成正比例， ∴设2(21)y k x -=+当x =-2时，y =-7代入解析式得，72[2(2)1]k --=⨯⨯-+ 解得，3k = ∴23(21)y x -=+ 整理得 ，65y x =+ 故答案为：65y x =+【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意掌握待定系数法的运用． 12．已知y 与x 之间成正比例关系，且当x = 1时，y =-3． (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)当x =-2时，求y 的值． (1)3y x =- (2)6y =【分析】（1）利用待定系数法解题； （2）把x =-2代入（1）中的解析式． (1)解：y 与x 之间成正比例关系， 设(0)y kx k =≠ 当x = 1时，y =-33k ∴=-3y x ∴=-； (2)当x =-2时，33(2)6y x =-=-⨯-=6y ∴=【点睛】本题考查正比例函数的定义，涉及待定系数法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．13．已知：y ＝y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成正比例，当x ＝1时，y ＝0；当x ＝3时，y ＝4． (1)求y 与x 之间的关系式； (2)当x ＝﹣1时，求y 的值． (1)22y x =- (2)4-【分析】（1）根据题意分别设出y 1，y 2，代入y ＝y 1＋y 2，表示出y 与x 的解析式，将已知两对值代入求出k 与b 的值，确定出解析式；（2）将x ＝－1代入计算即可求出值． (1)设y 1＝ax ，y 2＝k （x ﹣2）， ∴y ＝ax +k （x ﹣2）由当x ＝1时，y ＝0．当x ＝3时，y ＝4可得， ()()0124332a k a k ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，解得：11a k =⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的关系式为：y ＝2x ﹣2； (2)当x ＝﹣1时,()2124y ⨯-=﹣=﹣． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法．题型5：正比例函数的图像14．画出下列正比例函数的图象： （1）4y x =； （2）23y x =；（3）23y x =-． （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】根据三条直线的解析式其图象均过原点，再分别求另一个点，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象．解：（1）当0,0x y ==， 当1,4x y ==， 如图，描点后连线得： （2）当3,2x y ==， 当0,0x y ==， 如图，描点后连线得： （3）当0,0x y ==， 当3,2x y ==-， 如图，描点后连线得：【点睛】本题考查了正比例函数的图象的作法，解题的关键是掌握理函数图象的作法，列表、描点、连线． 15．已知：函数2y x =-． (1)画出此函数的图象；(2)若点P （m ，4）在图象上，求出m 的值． (1)画图见解析 (2)2m =-【分析】（1）先列表，再描点并连线即可； （2）把(),4P m 代入函数解析式求解即可． (1) 解：列表： x 0 1 y 0-2描点并连线(2)解：当点P （m ，4）在图象上，则 24,m 解得： 2.m =-【点睛】本题考查的是画正比例函数的解析式，正比例函数的性质，掌握“利用描点法画函数图象”是解本题的关键．16．点A （1，m ）在函数y =2x 的图象上，则m 的值是（ ） A ．2 B ．1C ．0.5D ．2-A【分析】直接把点A （1，m ）代入函数y =2x ，求出m 的值即可．解：把x =1，y =m 代入y =2x ， 得m =2×1， 解得：m =2． 故选：A ．【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．已知正比例函数()0y kx k =≠的图像如图所示，则下列各点在该函数图像上的是（ ）A ．()2,4-B ．()1,1--C ．()4,8D ．()8,10C【分析】根据函数图像经过点（2，4）可求出k 的值，得到函数解析式，将各点坐标代入验证即可． 由图像可知，正比例函数()0y kx k =≠的图像经过点（2，4）， ∴4=2k ， 解得：k =2，∴函数解析式为y =2x ，A.当x =-2时，y =2×(-2)=-4，故A 错误；B.当x =-1时，y =2×(-1)=-2，故B 错误；C.当x =4时，y =2×4=8，故C 正确；D.当x =8时，y =2×8=16，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数，通过函数经过的点的坐标求函数解析式是解题的关键． 18．若一个正比例函数的图象经过A (2，﹣4)，B (m ，﹣6)两点，则m 的值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．3D ．2C【分析】运用待定系数法求得正比例函数解析式，把点B 的坐标代入所得的函数解析式，即可求出m 的值． 解：设正比例函数解析式为：y ＝kx ， 将点A （2，﹣4）代入可得：2k ＝﹣4， 解得：k ＝﹣2，∴正比例函数解析式为：y ＝﹣2x ，将B （m ，﹣6）代入y ＝﹣2x ，可得：﹣2m ＝﹣6， 解得m ＝3， 故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时需灵活运用待定系数法求出函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程思想解决问题是解本题的关键．19．如图，直线l 是某正比例函数的图象，点()4,12A -，()3,9B -是否在该函数的图象上？点()4,12A -与点()3,9B -都在该函数图象上．【分析】根据题意先设直线l 的解析式为y =kx （k ≠0），再把（-1，3）代入求出k 的值，把A 、B 两点代入进行检验即可．解：设直线l 的解析式为y =kx （k ≠0），∵直线过点（-1，3），∴3=-k ，解得k =-3，∴直线l 的解析式为y =-3x ．∵当x =-4时，y =12；当x =3时，y =-9，∴点A （-4，12），B （3，-9）在该函数的图象上．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．20．根据下表写出y 与x 之间的一个关系式，并求出表中m ，n 的值x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y n 6 0 ﹣6 ﹣12﹣18 m 6y x =-，m 的值为-24，n 的值为12【分析】根据表格中的数据，x 与 y 的比值不变，即可判断是一个正比例函数，设正比例函数的解析式为：y kx =，再根据已知点代入，即可求出解析式，进而可求出m ，n 的值解：根据表中数据知：y 是x 的正比例函数．设正比例函数的解析式为：y kx =∴当1x =时，6y =-，y ∴与x 的关系式为6y x =-．当2x =-时，6(2)12,12y n =-⨯-=∴=；当4x =时，6424,24y m =-⨯=-∴=-．m ∴的值为24-，n 的值为12．【点睛】本题考查了求正比例函数解析式，要注意正比例函数的特点，x 与 y 的比值不变题型6：根据正比例函数的图像求参数21．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________． 2【分析】先根据正比例函数的图象可得0k >，再将点(,2)k k +代入函数的解析式可得一个关于k 的一元二次方程，解方程即可得．解：正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，0k ∴>，由题意，将点(,2)k k +代入函数()0y kx k =≠得：22k k =+， 解得2k =或10k =-<（舍去），故答案为：2．【点睛】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键．22．如果正比例函数y ＝（k ﹣2）x 的图象经过第二、四象限，那么k 的取值范围是 _____． 2k <【分析】根据正比例函数的性质列不等式求解即可．解：∵正比例函数y ＝（k ﹣2）x 的的图象经过第二、四象限，∴k ﹣2＜0，解得，k ＜2．故填：k ＜2．【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、正比例函数的图象等知识点，根据正比例函数图象所在的象限列出不等式是解答本题的关键．题型7：正比例函数的性质23．已知正比例函数y kx =（0k ≠）的图象经过点（3，6-）．（1）求这个函数的解析式；（2）直接在图中画出这个函数的图象；（3）判断点A （4，2-）、点B （ 1.5-，3）是否在这个函数图象上；（4）已知图象上两点C （1x ，1y ）、D （2x ，2y ），如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．（1）2y x =-；（2）见解析；（3）点A 不在2y x =-函数图象上，点B 在2y x =-函数图象上；（4）12y y <．【分析】（1）将点（3，6-）代入y kx =即可求得；（2）通过描点，连线作图；（3）将已知点代入解析式，分析判断即可；（4）根据正比例函数的性质或者结合图像分析即可． （1）正比例函数y kx =（0k ≠）的图象经过点（3，6-），63k ∴-=，解得：2k =-，∴这个函数的解析式为：2y x =-．（2）正比例函数2y x =-经过原点，且是一条直线，当1x =时，2y =-，则在图中找到P (1,2)-，作直线OA 即可，如图：（3）将A （4，2-）、点B （ 1.5-，3）分别代入2y x =-，224-≠-⨯,则点A 不在2y x =-函数图象上，32 1.5=-⨯，则点B 在2y x =-函数图象上；（4）20k =-<，∴ y 随着x 增大而减小，当12x x >时，12y y <．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数图像的作图，正比例函数图像的性质，掌握正比例函数的相关知识是解题的关键．24．正比例函数的图像是______，当0k >时，直线y kx =过第______象限，y 随x 的增大而______. 一条直线 一、三 增大【分析】正比例函数的图象是一条过原点的直线，当k ＞0时，过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，过二、四象限，y 随x 的增大而减小．据此解答即可.解：正比例函数的图象是一条直线，当k ＞0时，直线y=kx 过第 一、三象限，y 随x 的增大而增大． 故答案为一条直线；一、三；增大．【点睛】本题考查了正比例函数的图象和性质，注意图像的特点：是一条经过原点的直线．25．若14(,)3M y -、21(,)2N y -、3(0,)P y 三点都在函数(0)y kx k =<的图像上，那么123、、y y y 的大小关系是（ ）A ．312y y y >>B ．321y y y >>C ．231y y y >>D ．123y y y >>D 【分析】由于k ＜0时，函数y 随x 的增大而减小．又因为41032-<-<，所以123y y y >>．26．已知()1M y ，()22,N y 是直线3y x =-上的两个点，则1y ，2y 的大小关系是（ ）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y ≥D ．12y y = 的增大而减小．再根据32,即可得出结论．解： 30,k 的增大而减小，()22,y 是直线上的两个点，而32,【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，掌握“正比例函数的增减性27．关于函数y ，以下说法错误的是（ ）A ．图象经过原点B ．图象经过第二、四象限C ．图象经过点2)-D ．y 的值随x 的增大而增大28．点A （x 1，y 1）、点B （x 2，y 2）在正比例函数y ＝4x 的图象上，当x 1＜x 2时，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．无法判断 A【分析】由正比例函数的性质可知，当0k >时，y 随x 的增大而增大，随着x 的减小而减小，结合40k =>，即可作答．解：∵y ＝4x 中k ＝4＞0，∴y 随x 的减小而减小，∵x 1＜x 2，∴y 1＜y 2．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，正比例函数图象上点的坐标的特征，利用图象的性质解答是解题的关键．29．已知函数()231m x y m -=﹣是正比例函数．(1)若函数关系式中y 随x 的增大而减小，求m 的值；(2)若函数的图象过第一、三象限，求m 的值． (1)2m =-；(2)2m =【分析】（1）由函数关系式中y 随x 的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出10m <-，解之即可得出m 的取值范围，进而可确定m 的值；（2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出10m >-，解之即可得出m 的取值范围，进而可确定m 的值．(1)解：∵函数()231m x y m-=﹣是正比例函数，∴21031m m -≠⎧⎨-=⎩， 解得：1222m m =-=，．∵函数关系式中y 随x 的增大而减小，∴10m <-，∴1m <，∴2m =-．(2)∵函数的图象过第一、三象限，∴10m >-，∴1m ，∴2m =．【点睛】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键．30．已知正比例函数的图象经过点(3，−6)．（1）求这个函数的解析式：（2）图象上有两点B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．（1）y =-2x ；（2）y 1＜y 2．【分析】（1）利用待定系数法把（3，-6）代入正比例函数y =kx 中计算出k 即可得到解析式；（2）根据正比例函数的性质：当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，即可判断．解：（1）设正比例函数的解析式为y =kx ，∵正比例函数的图象经过点（3，-6），∴-6=3•k ，解得：k =-2，∴这个正比例函数的解析式为：y =-2x ；（2）∵k =-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵x 1＞x 2，∴y 1＜y 2．【点睛】本题考查了用待定系数求正比例函数的关系式，判断点是否在函数的图象上及正比例函数的性质，解（1）的关键是能正确代入即可；解（2）的关键是：熟记当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大．题型7：正比例函数的定义、图像与性质综合题31．若y =（m -1）x +m 2-1是y 关于x 的正比例函数，如果A （1，a ）和B （-1，b ）在该函数的图象上，那么a 和b 的大小关系是（ ）A ．a b <B ．a b >C ．a b ≤D ．a b ≥ A 【分析】利用正比例函数的定义，可求出m 的值，进而可得出m -1=-2＜0，利用正比例函数的性质可得出y 随x 的增大而减小，结合1＞-1，即可得出a ＜b ．解：∵y =（m -1）x +m 2-1是y 关于x 的正比例函数，∴m 2-1=0，m -1≠0，解得：m =-1，∴m -1=-1-1=-2＜0，∴y 随x 的增大而减小．又∵A （1，a ）和B （-1，b ）在函数y =（m -1）x +m 2-1的图象上，且1＞-1，∴a ＜b ．故选：A ．【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小”． 题型8：分段函数图像的画法32．当0x >时，y 与x 之间的函数解析式为2y x =，当0x ≤时，y 与x 之间的函数解析式为2y x =-，则在同一直角坐标系中y 与x 之间的函数关系图象大致为图中的（ ）A ．B ．C ．D ．C【分析】根据正比例函数的图象和性质判断即可；解：∵当0x >时，2y x =，∴此时函数在第一象限，∵当0x ≤时，2y x =-，∴此时函数过原点及第二象限，故选： C ．【点睛】本题考查了正比例函数的性质：在y =kx （k ≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，直线经过原点及第一、三象限， 当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，直线经过原点及第二、四象限．一、单选题1．下列函数中，正比例函数是（ ）.A ．25y x =B ．25y x =C ．245y x =D ．25y x =- B【分析】正比例函数的定义：形如(0)y kx k =≠的函数叫做正比例函数.根据正比例函数的定义可得：A 、是反比例函数，B 、是正比例函数，C 、是二次函数,D 、是反比例函数.故选B【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟知正比例函数的定义，即可完成．2．一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（ ）A ．32y x =-B ．23y x =-C ．32y x =D ．23y x = A【分析】根据待定系数法求解即可．解：设函数的解析式是y ＝kx ，根据题意得：2k ＝﹣3，解得：k ＝﹣32． 故函数的解析式是：y ＝﹣32x ． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键．3．已知正比例函数()y kx k 0=≠的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（ ） A ．y 2x = B ．y 2x =- C ．12y x = D ．1y x 2=-B【分析】利用待定系数法把（1，-2）代入正比例函数y=kx 中计算出k 即可得到解析式．根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，－2）代入y kx =，得：k 2=-，∴正比例函数的解析式为y 2x =-.故选B.4．如果一盒圆珠笔有12支，售价18元，用y （元）表示圆珠笔的售价，x 表示圆珠笔的支数，那么y 与x 之间的解析式为（ ）.A ．32y x =B ．23y x =C ．12y x =D ．18=y x5．设a 为常数，且()33,1P a a ++，则该点位于正比例函数（ ）上．A ．3y x =B ．33x y -=C ．13y x =D ．31y x =-6．当k ＞0时，正比例函数y =kx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． A【分析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k ＞0时，经过一、三象限．解：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k ＞0时，经过一、三象限．故选A ．【点睛】本题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．7．已知函数y ＝kx(k≠0)的函数值随x 的增大而增大，则函数的图象经过( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限 B【分析】根据正比例函数的性质解答．根据题意，函数值随x 的增大而增大，k 值大于0，图象经过第一、三象限．故选B ．8．关于函数12y x =，下列结论正确的是 （ ） A ．函数图像必经过点（1，2）B ．函数图像经过二、四象限C ．y 随x 的增大而增大D ．y 随x 的增大而减小 C【分析】根据正比例函数图象的性质分析．A 、当x =1时，y =12，错误；B 、因为k ＞0，所以图象经过第一、三象限，错误；C 、因为k ＞0，所以y 随x 的增大而增大，C 正确；D 、错误．故选：C ．9．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图象分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1234k k k k <<<B ．2143k k k k <<<C ．1243k k k k <<<D ．2134k k k k <<< B 【分析】首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡k 越大）判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.解：根据直线经过的象限，知20k <，10k <，40k >，30k >，根据直线越陡k 越大，知21k k >，43k k <，所以2143k k k k <<<．故选B ．【点睛】此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡k 越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．10．下列说法中不成立的是（ ）A ．在y=3x ﹣1中y+1与x 成正比例B ．在y=﹣2x 中y 与x 成正比例C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例D ．在y=x+3中y 与x 成正比例D解：A.∵y =3x −1，∴y +1=3x ，∴y +1与x 成正比例，故本选项正确；B.∵2x y =-，∴y 与x 成正比例，故本选项正确；C.∵y =2(x +1)，∴y 与x +1成正比例，故本选项正确；D.∵y =x +3，不符合正比例函数的定义，故本选项错误．故选：D ．二、填空题11．若()12k y k x-=-是正比例函数，则k =______.【分析】根据正比例函数的定义可得2k -≠0，且|k-1|=1.根据函数是正比例函数知x 的幂是一次得，2k -≠0，且|k-1|=1,解得k=0.故答案为0【点睛】考核知识点：正比例函数定义.理解定义是关键.12．已知y 与x 成正比例，且当1x =时，2y =，那么当3x =时，y =______. 6【分析】根据待定系数法求出函数解析式，再求y 值.因为y 与x 成正比例，所以设正比例函数的解析式为y=kx （k≠0），把x=1时，y=2代入得：k=2，故此正比例函数的解析式为：y=2x ，当x=3时，y=2×3=6． 故答案为6．【点睛】考核知识点：求正比例函数解析式.利用待定系数法求解是关键.13．如果正比例函数y ＝(k －1)x 的图象经过第二、四象限，那么k 的取值范围是__________．k ＜1【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数y=kx （k≠0），当k ＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答．正比例函数y=(k−1)x 的图象经过第二、四象限，∴k−1<0，解得k<1.故答案为：k<1.【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的性质.14．若点()1,P n ，()3,6Q n +在正比例函数y kx =的图像上，则k =______. 3【分析】把点P 与Q 分别代入解析式，即可求出k 的值.解：把点()1,P n ，()3,6Q n +代入解析式，得36k n k n =⎧⎨=+⎩ ，解得：33k n =⎧⎨=⎩， ∴k 的值为3.故答案为3.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.15．放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28kg ，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考你. 图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了______kg.” 20 【分析】依题意，因为两个图都是正比例函数，可设图1，图2的解析式，把已知坐标代入求解． 两个图都是正比例函数，可设图1的解析式为：y=k 1t ，把（1，8）代入得k 1=8，∴y=8t ．此时小明加工了28千克，∴t=3.5．同理设图2的解析式为：y=k 2t ，把（7，40），代入得7k 2=40，解得：k 2=407， ∴y=407t ． 因为他们用的时间是相等的，∴当t=3.5时，y=20．故答案为20．【点睛】考核知识点：实际问题与正比例函数.从函数图象获取信息是关键.16．如图，过点()2,0A 作x 轴的垂线与正比例函数y x =和3y x =的图象分别相交于点B ，C ，则OCB 的面积为________．4.【分析】把点A （2，0）的横坐标分别代入正比例函数y=x 和y=3x ，求得B 、C 点的坐标，进一步求得BC 的长度，利用三角形的面积求得答案即可．解：把2x =分别代入y x =和3y x =中，可得点B 的坐标是()2,2，点C 的坐标是()2,6，所以624BC =-=．因为点()2,0A ，所以2OA =，所以1142422OCB S BC OA =⋅=⨯⨯=．【点睛】此题考查两条直线的交点问题，三角形的面积，利用代入的方法求得B 、C 两点的坐标是解决问题的关键．17．已知正比例函数()0y kx k =≠，当31x -≤≤时，对应的y 的取值范围是113y -≤≤，且y 随x 的减小而减小，则k 的值为________．13【分析】先根据题意判断直线经过点（-3，-1）、（1，13），再用待定系数法求出解析式即可． 解：因为y 随x 的减小而减小，所以当3x =-时，1y =-；当1x =时，13y =．把()3,1--代入y kx =，得31k -=-，解得13k =． 【点睛】此题考查正比例函数的性质，根据y 随x 的减小而减小判断直线经过点（-3，-1）、（1，13）是解答此题的关键．18． 如图，直线l 1⊥x 轴于点（1，0），直线l 2⊥x 轴于点（2，0），直线l 3⊥x 轴于点（3，0），…，直线l n ⊥x 轴于点（n ，0）．函数y=x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点A 1，A 2，A 3，…，A n ；函数y=2x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点B 1，B 2，B 3，…，B n ．如果△OA 1B 1的面积记作S 1，四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积记作S 3，…，四边形A n-1A n B n B n-1的面积记作S n ，那么S 2019=______．40372【分析】先结合图形确定n n A B 的长度规律及图形形状为梯形的规律，再根据所得规律将具体值代入梯形面积公式即得．解：由题意可得：当x n =时，()n A n n ，，()2n B n n ，∴n n A B n =∴201820182018A B =，201920192019A B =∵直线l 1⊥x 轴，直线l 2⊥x 轴，直线l 3⊥x 轴，...，直线l n ⊥x 轴∴l 1∥l 2∥l 3∥...∥l n∴当2n ≥时四边形A n-1A n B n B n-1是梯形∵平行线间距离处处相等，所以梯形A n-1A n B n B n-1的高为1三、解答题19．已知正比例函数y=kx．（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？（2）点（1，-2）在它的图象上，求它的表达式．（1）k＜0；（2）y=-2x分析：(1)根据正比例函数图象的性质,得;(2)只需把点的坐标代入即可计算.本题解析：（1）∵函数图象经过第二、四象限，∴k＜0；（2）当x=1，y=-2时，则k=-2，即：y=-2x．20．正比例函数的图像经过点P（-3，2）和Q（-m，m-1 ），求m的值．21．已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．y=﹣x+1；画出该函数的图象见解析．【分析】根据题意分别设出y 1，y 2，代入y =y 1+y 2，表示出y 与x 的解析式，将已知两对值代入求出k 1与k 2的值，确定出解析式．利用两点法画出函数图象即可．解：根据题意设y 1=k 1x ，y 2=k 2(x ﹣2)，即y =y 1+y 2=k 1x +k 2(x ﹣2)，将x =﹣1时，y =2；x =3时，y =﹣2分别代入得：12123232k k k k --=⎧⎨+=-⎩， 解得：k 1=﹣12，k 2=﹣12，则y =﹣12x ﹣12(x ﹣2)=﹣x +1．即y 与x 的函数关系式为y =﹣x +1；画出该函数的图象为: 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据题意设出y 与x的函数关系式是解本题的关键．22．已知y 与x ﹣1成正比例，且当x=3时，y=4．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当x=﹣1时，求y 的值；（3）当﹣3＜y ＜5时，求x 的取值范围．（1）y=2x ﹣2；（2）﹣4；（3）x 的取值范围是﹣12＜x ＜72． 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y=k （x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k 即可得到y 与x 的关系式；（2）利用（1）中关系式求出自变量为-1时对应的函数值即可；（3）先求出函数值是-3和5时的自变量x 的值，x 的取值范围也就求出了．（1）设y=k （x ﹣1），把x=3，y=4代入得（3﹣1）k=4，解得k=2，所以y=2（x ﹣1），即y=2x ﹣2；（2）当x=﹣1时，y=2×（﹣1）﹣2=﹣4；（3）当y=﹣3时，x﹣2=﹣3，解得：x=﹣12，当y=5时，2x﹣2=5，解得：x=72，∴x的取值范围是﹣12＜x＜72．【点睛】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．23．如图，是小王和小李在一次跑步比赛中的时间和路程图．(1)这次比赛的路程是_______米；(2)小王的平均速度是_________米/秒；(3)他们先到达终点的是_______；(4)小李跑步的路程S(米)与时间t(秒)的函数关系式是_________．(1)100；(2)253；(3)小李；(4)10S t．试题分析：（1）观察一次函数图象易得到甲乙都跑了100米；（2）由速度=路程÷时间即可得到结论；（3）这次赛跑中先到达终点的是用时较少的；（4）先根据图象得出小李跑100米用了10秒，再根据速度=路程÷时间，计算出小李的速度，即可得到结论．试题解析：解：（1）根据图象可以得到路程s的最大值是100米，因而这次赛跑的赛程为100米；（2）从图象可知，小王跑完全程用时12秒，所以小王的速度为：100÷12=253；（3）从图象可知，小李跑完全程用时10秒，小王跑完全程用时12秒，所以先到达终点的是小李；（4）∵小李跑100米用了10秒，∴小李的速度=100÷10=10（米/秒）；∴S =10t ． 点睛：本题主要考查了观察一次函数图象，从中获取信息的能力，以及路程、速度与时间的关系． 24．已知如图，在平面直角坐标系中，点A （3，7）在正比例函数图像上．（1）求正比例函数的解析式．（2）点B （1，0）和点C 都在x 轴上，当△ABC 的面积是17.5时，求点C 的坐标．（1）73y x =；（2）(6,0)或(4,0)-．【分析】（1）根据点A 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）如图（见解析），过点A 作AD x ⊥轴于点D ，从而可得7AD =，设点C 的坐标为(,0)a ，从而可得1BC a =-，再根据三角形的面积公可求出a 的值，由此即可得出答案．解：（1）设正比例函数的解析式为y kx =，将点(3,7)A 代入得：37k =，解得73k =， 则正比例函数的解析式为73y x =； （2）如图，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，(3,7)A ，7AD ∴=，。
初二数学《正比例函数和反比例函数》PPT复习
案例分析三
已知正比例函数y=ax（a≠0）的 图像与反比例函数y=b/x（b≠0） 的图像交于C、D两点，且C、D 两点关于原点对称，若点C的坐 标为（3,2），求a、b的值及D点
的坐标。
05 典型例题解析与思路拓展
典型例题选讲
例题1
已知正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图像经过点 (2, -4)，求该正比
在同一平面直角坐标系中，正比例函数 的图像是一条过原点的直线，且关于原 点对称。
比例系数k决定了直线的倾斜程度，k>0 时，直线从左下方向右上方延伸；k<0 时，直线从左上方向右下方延伸。
性质 图像是一条经过原点的直线。
反比例函数定义及性质
性质
图像是分布在两个象限内的双曲 线。
比例系数k决定了双曲线的形状和位置 ，k>0时，双曲线位于第一、三象限； k<0时，双曲线位于第二、四象限。
06 课堂互动环节
学生提问答疑
学生可以向老师提出关于正比例函数 和反比例函数概念、性质、图像等方 面的疑问。
老师会针对学生的问题，进行详细的 解答和辅导，确保学生能够理解和掌 握相关知识。
小组讨论分享学习心得
学生可以分组进行讨论，分享自己在学习正比例函数和反比 例函数过程中的心得和体会。
小组内成。
例题2
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图像经过点 (3, 4)，求该反比例 函数的解析式。
例题3
已知正比例函数 y = 2x 和反比例函 数 y = 8/x，求这两个函数图像的交 点坐标。
解题思路与方法总结
对于正比例函数，已知一点坐 标，可以通过代入法求出函数 的解析式。
经济学问题
2023年初二数学上册知识点汇总
2023年初二数学上册知识点汇总2023年初二数学上册知识点汇总1一次函数(1)正比例函数：一般地，形如y=kx(k是常数，k?0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数;(2)正比例函数图像特征：一些过原点的直线;(3)图像性质：①当k>0时，函数y=kx的图像经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大;②当k<0时，函数y=kx的图像经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小;(4)求正比例函数的解析式：已知一个非原点即可;(5)画正比例函数图像：经过原点和点(1,k);(或另外一个非原点)(6)一次函数：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k?0)的函数，叫做一次函数;(7)正比例函数是一种特殊的一次函数;(因为当b=0时，y=kx+b即为y=kx)(8)一次函数图像特征：一些直线;(9)性质：①y=kx与y=kx+b的倾斜程度一样，y=kx+b可看成由y=kx平移|b|个单位长度而得;(当b>0，向上平移;当b<0，向下平移)②当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升，即y随着x的增大而增大;③当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降，即y随着x的增大而减小;④当b>0时，直线y=kx+b与y轴正半轴有交点为(0，b);⑤当b<0时，直线y=kx+b与y轴负半轴有交点为(0，b);(10)求一次函数的解析式：即要求k与b的值;(11)画一次函数的图像：已知两点;用函数观点看方程(组)与不等式(1)解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值;从图像上看，这相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴交点的横坐标的值;(2)解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围;(3)每个二元一次方程都对应一个一元一次函数，于是也对应一条直线;(4)一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。
沪教版初二上册《正比例函数和反比例函数》全章复习与巩固知识讲解(基础)
沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《正比例函数和反比例函数》全章复习与巩固知识讲解（基础）【学习目标】1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和反比例函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过正比例函数和反比例函数的图像和性质，能够用数形结合的观点解决有关的题型.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y 随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.要点二、正比例函数1.定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数.注意：正比例函数的定义域是一切实数.2.图象：一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图像是经过原点（0,0）和点（1，k）的一条直线，.我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.3.画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.画直线y=kx的图像.为了方便，我们通常取原点O（0，0）和点（1，k）.4.正比例函数的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大.（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐减小.要点三、反比例函数1、定义定义域为不等于零的一切实数的函数，（ k为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k也叫比例系数.要点诠释：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点；（2）()可以写成 ()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.2、图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
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专题05 函数的概念及正比例函数
【考点剖析】 1.函数
定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数. 函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值. 设()f x 为整式，则
函数()y f x =的定义域：一切实数；
函数1
()
y f x =
的定义域：满足()0f x ≠的实数；
函数y ()0f x ≥的实数.
函数[]0
()f x 的定义域：满足()0f x ≠的实数 2.正比例函数
1）.正比例：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例.用数学式子表示两个变量x,y 成正比,就是y
k x
=或者y kx =,其中0k ≠。
2）.正比例函数：
k>0
k<0
3.注意点
(1)正比例函数y kx =中, 0k ≠,但定义域是一切实数,两者不能混淆.
(2)在实际问题中,正比例函数的图形往往是一条线段,一切要根据定义域来确定线段的所在范围。
(3)正比例函数与正比例是有区别的,正比例函数一定要满足y kx =,比如: 2(1)y x =+就不是正比例函数,是一次函数,但是y 与x+1成正比例。
【典例分析】 【考点1】函数的概念
1．下列各选项中分别有两个变量x 、y ，则y 不是x 的函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．y=-2x-1
D ．在国内投寄到外埠质量为100g 以内的普通信函应付邮资如下表： 信件质量/x y 020x <≤
2040x <≤ 4060x <≤ 6080x <≤ 80100x <≤
邮资y /元 1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
2．函数y 1
1
-x 的自变量x 的取值范围是______
3．在函数y =中，自变量x 的取值范围是_________．
4．如果函数()1
1
f x x =-，那么f =_____．
【考点2】正比例函数的图像及性质 1．下列问题中两个变量成正比例的是（ ） A ．正方形面积和它的边长
B ．一条边确定的长方形，其周长与另一边长
C ．圆的面积与它的半径
D ．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数
2．已知函数2
23
y x k =+-是正比例函数，则常数k 的值为（ ） A ．2- B ．0 C ．2 D ．2±
3．下列函数中，正比例函数是（ ） A ．3
x y = B ．21y x - C ．22y x = D ．3y x
=
4．已知正比例函数3
4y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A ．()4,3-
B ．()4,3--
C ．()2,1-
D ．()3,4-
5．在32y x a =+-中，若y 是x 的正比例函数，则常数=a ___________．
6．若函数()2
269y m x m =++-是关于x 的正比例函数，则m 的值为_____________．
7．已知正比例函数m y mx =∣∣
，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m 的值为____．
8．已知y 是x 的正比例函数，当2x =-时，8y =．求y 关于x 的函数表达式，以及当3x =时的函数值．
9．已知3y 与21x -成正比例，且当1x =时，6y =． (1)求y 与x 之间的函数解析式．
(2)已知点(,)P m n 在该函数的图像上，且4m n -=，求点P 的坐标．
10．已知正比例函数过点(42)-，
A ，点P 在正比例函数图像上，又(04)
B ，且10ABP
S =，求点P 的坐标．
【课后练习】
1．下列各图象中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．函数()0
32x y x -=+-的自变量x 的取值范围是___________
3．已知函数1
()1f x x
=+，则3)f ＝ .
4．下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ） A ．圆的面积S （cm 2）与它的半径r （cm ）之间的关系
B ．某水池有水15m 3，现打开进水管进水，进水速度为5m 3/h ，xh 后这个水池有水y m 3
C ．三角形面积一定时，它的底边a （cm ）和底边上的高h （cm ）之间的关系
D ．汽车以60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y 与行驶时间x 之间的关系
5．下列变化过程中，y 是x 的正比例函数是（ ）
A ．某村共有5210m 耕地，该村人均占有耕地y （单位：2m ）随该村人数x （单位：人）的变化而变化
B ．一天内，温岭市气温y （单位：℃）随时间x （单位：时）的变化而变化
C ．汽车油箱内的存油y （单位：升）随行驶时间x （单位：时）的变化而变化
D ．某人一年总收入y （单位：元）随年内平均月收入x （单位：元）的变化而变化
6．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ） A ．正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化 B ．正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化
C ．面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化
D ．水箱以0.5L /min 的流量往外放水，水箱中的剩水量VL 随着放水时间t min 的变化而变化
7．若()2
24y m x m =-+-是y 关于x 的正比例函数，求该正比例函数的解析式．
8．正比例函数y=ax 中，y 随x 的增大而增大，则直线()1y a x =--经过（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限
9．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （3，m ）、B （n ，﹣2），那么一定有（ ） A ．m ＞0，n ＞0
B ．m ＞0，n ＜0
C ．m ＜0，n ＞0
D ．m ＜0，n ＜0
10．已知正比例函数y =kx 的图象经过点（2，﹣4），（1，1y ），（﹣1，2y ），那么1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ＜2y B ．1y ＝2y C ．1y ＞2y
D ．无法确定
11．正比例函数(1)y k x =+图像经过点（1，-1），那么k =__________．
12．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________．
13．若正比例函数()1y m x =-的图象从左到右逐渐上升，则m 的取值范围是___________________
14．已知正比例函数y=kx 图像经过点（2，-4），求： (1)这个函数的解析式；
(2)判断点A （2，-1）是否在这个函数图像上；
(3)图像上两点()11,B x y ，()22,C x y ，如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．
15．已知y 与x-1成正比例，且当x= 3时，y= 4． (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)当x= -1时，求y 的值．
16．如图，已知正比例函数y ＝kx 的图像经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，点A 的横坐标为4，且△AOH 的面积为8
(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x 轴上能否找到一点P ，使△AOP 的面积为10？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
17．已知：如图，直线2y x =上有一点()2,P a ，直线()01y kx k =<<上有一点(),2Q b ．
(1)求点P 和点Q 的坐标（其中点Q 的坐标用含k 的代数式表示）．
(2)过点P 分别作PA y ⊥轴，PB x ⊥轴，过点Q 分别作QC x ⊥轴，如果OPQ △的面积等于BPQ 的面积的两倍，请求出k 的值．
(3)在（2）的条件下，在直线OQ 上是否存在点D ，使12OCD S =△如果存在，请求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．。