浅谈正定二次型的判定方法

浅谈正定二次型的判定方法

摘 要 二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及

其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。

关键词 二次型 矩阵 正定性 应用

1 引 言

在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.

现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.

2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义

设p 是一个数域，ij a ∈p ，n 个文字1x ,2x ,…，n x 的二次齐次多项式

2212111

1212131311

(,,,)22n

n

n nn n

ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x a x x ===+++

+=∑∑

),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域上p 的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称

为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即

12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.

定义1 在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性

22222

121z z z z z p p r ++++---…………,其中正平方项的个数p 称为

f 的正惯性指数，负平方项的个数称为的f 负惯性指数.

2.2 二次型的矩阵形式

二次型12(,,...,)n f x x x 可唯一表示成12(,,...,)n f x x x =T x Ax ，其中12(,,...,)T n x x x x =，

()ij n n A a ⨯=为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A 为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A 的秩为二次型f 的秩.

2.3 正定二次型与正定矩阵的概念

定义2.3.1 设12(,,...,)n f x x x =T x Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >，则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c <，则称f 为负定二次型，称A 为负定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c ≤，称f 为半负定二次型，称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A 为不定矩阵.

定义2 另一种定义 具有对称矩阵A 的二次型,AX X f T =

(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0

成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵

A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.

注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定

性的二次型及其矩阵称为不定的.

二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.

定义3 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式

)1(2121

222121211

1n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k

k k k k k ≤<<<≤

称为A 的一个k 阶主子式.而子式

),,2,1(||21

2222111211

n k a a a a a a a a a A kk

k k k k k

==

称为A 的k 阶顺序主子式.

3 实二次型正定的判别方法及其性质

定理1 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的

正惯性指数等于n

证明 设实二次型AX X x x x f n '=),,,(21 经线形替换PY X =化为标准形

2

222211n n y d y d y d f +++= )1(

其中.,,2,1,n i R d i =∈由于p 为可逆矩阵,所以n x x x ,,,21 不全为零时n

y y y ,,,21 也不全为零,反之亦然.

)(⇒如果f 是正定二次型,那么当n x x x ,,,21 不全为零,即n y y y ,,,21 不全为零时,

有

02

222211>+++=n n y d y d y d f )2(

若有某个),1(n i d i ≤≤比方说.0≤n d 则对1,0121=====-n n y y y y 这组不全为零的数,代入)1(式后得.0≤=n d f 这与f 是正定二次型矛盾.因此,必有

),,2,1.(0n i d i =>

即f 的正惯性指数等于n

)(⇐如果f 的正惯性指数等于,n 则),,2,1(,0n i d i =>于是当n x x x ,,,21 不全为零,即当n y y y ,,,21 不全为零时)2(式成立,从而f 是正定型

定理2 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是对任

何n 维实的非零列向量X 必有0>'A X X

证明 )(⇒由假设f 是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QY X =使