九年级数学位似图形知识点
4.8.1位似图形的概念及其画法九年级上册数学北师大版
都等于一个固定值.请你实际试一试.
A
①
A′ ②
③
④
O
学习目标
1.掌握位似图形的概念、性质和画法.
2.掌握位似与相似的联系与区别.
新知探究
A
B
E
C
D
B′
C′Βιβλιοθήκη A′如图，是两个相似五边形，设
直线AA′与BB′相交于点O，那么直
线CC′，DD′，EE′是否也都经过点
O？
OA OB OC OD OE
1
使它与△ABC位似，且相似比为 .
2
A
A′
取点A , B ,C , 使
O
B′
B
C′
C
OA′ OB′ OC′ 1
=
=
=
OA OB OC 2
2.判断正误.
（1）位似多边形一定是相似多边形.
（
（2）相似多边形一定是位似多边形.
（
√
×
）
）
（3）两个位似多边形每一对对应点到位似中心的距离之
√
）
（4）两个位似多边形的对应边互相平行或在同一直
， ， ， ， 有什么关系？
OA OB OC OD OE
E′
根据测量可以得出
D′
O
OA OB OC OD OE
=
=
=
=
OA OB OC OD OE
一般地，如果两个相似多边形
P
OP 1
=
OP k
P′
①任意一组对应顶点P，P′所在的直
线都经过同一点O；
②且有OP=k·
OP′（k≠0）；
4.8.1 位似图形的
概念及其画法
北师大版九年级数学上册第4章 位似图形
例７
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长
均为，点和点在格点上，是格点三角形（顶点在网格线
交点上）．
(1)画出以点为位似中心的位似图形，点的对应点分别为
点、和；
３:１
(2)与的周长之比为______．
本节课我们学习了位似图形，主要知识有：
不仅能解决实际问题，而且是我们后续知识学习的一个基础。
这节课我们将继续学习图形的变换。
自主探究
1.请同学们阅读课本113-114页内容.
2.请同学们阅读课本114页做一做，并完成做一做的内容.
3.请同学们在完成上面任务后思考以下问题：
位似图形具有什么性质？
①位似图形的对应顶点的连线经过位似中心；
②位似图形的对应边互相平行（或在同一条直线上）；
③位似图形的对应顶点到位似中心（在不重合的情况下）的距离之比等于
相似比
小组讨论
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点 1：位似图形的概念
一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P'所在的直线都经过同一点O，且有
OP'=k·
1.什么是位似多边形？
一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P'所在的直线都
经过同一点 O，且有 OP'=k·
OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做
位似多边形.
2.位似多边形的性质有哪些？
①位似图形的对应顶点的连线经过位似中心；
②位似图形的对应边互相平行（或在同一条直线上）；
③位似图形的对应顶点到位似中心（在不重合的情况下）的距离之比
位似(5个考点)(题型专练+易错精练)(教师版) 2024-2025学年九年级数学下册(人教版)
专题27.3 位似（5个考点）【考点1 位似图形的识别】【考点2 位似图形性质】【考点3 位似图形的点坐标】【考点4 判定位似中心】【考点5 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】【考点1 位似图形的识别】1．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．【详解】解：A、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；B、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；C、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；D、△ABC与△A′B′C′对应边BC和B′C′不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；故选：D．2．如图，在正方形网格中，△ABC的位似图形可以是（）A．△BDE B．△FDE C．△DGF D．△BGF3．如图，线段AB∥CD∥EF,AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，则图中与△AOB位似的三角形是（）．A．△AOB B．△COD C．△EOF D．△EOF与△COD【答案】D【分析】本题考查位似图形．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，（对应边互相平行(或共线)），那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义，判定即可．【详解】解：∵AB∥CD∴△AOB∽△DOC，∵AB∥EF∴△AOB∽△FOE，∵AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，∴与△AOB位似的三角形有△DOC和△FOE．故选：D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN，则下列叙述不正确的是（）A．△AMO与△ABC位似B．△AMN与△BCO位似C．△ABO与△CDO位似D．△AMN与△ABD位似【答案】B【分析】本题主要考查了位似三角形，菱形的性质，三角形中位线定理根据位似三角形的概念：如果两个相似三角形的每组对应点所在的直线相交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，结合菱形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是线段AC、BD的中点，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△ABO与△CDO位似，故C不符合题意；∵M是边AB的中点，∴OM是△ABC的中位线，∴OM∥BC，同理可得MN∥BD，ON∥AB，∴△AMO∽△ABC，△AMN∽△ABD，∴△AMO与△ABC位似，△AMN与△ABD位似，故A、D不符合题意；∵△AMN与△BCO每组对应点所在的直线没有相交于一点，∴△AMN与△BCO不位似，故B符合题意．故选B．5．下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案．【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：B．【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．6．如图是与△ABC位似的三角形的几种画法，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据位似图形的性质判断即可．【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形都是△ABC的位似图形．故选：D．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．7．下列语句中，不正确的是（）A．位似的图形都是相似的图形B．相似的图形都是位似的图形C．位似图形的位似比等于相似比D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部【答案】B【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．8．下列每组的两个图形，是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.据此可得A. B.C. 三个图形中的两个图形都不是位似图形；而D.的对应顶点的连线能相交于一点，故是位似图形故选D.【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键.【考点2 位似图形性质】9．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1:2B．1:4C．4:1D．2：1【答案】B【分析】根据位似图形的概念求出△ABC 与△DEF 的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，OA:OD =1:2，∴△ABC 与△DEF 的位似比是1:2．∴△ABC 与△DEF 的相似比为1:2，∴△ABC 与△DEF 的面积比为1:4，故选：B ．10．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，OE EA =32，则S 四边形EFGH S 四边形ABCD 等于（ ）A ．94B ．925C ．32D ．3511．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4:9，则OA:OD 为（）A．4:9B．2:3C．2:1D．3:112．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OD:OA=2:3，则△DEF与△ABC的周长之比为（）．A．2:3B．4:9C．9:4D．3:2【答案】A【分析】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关13．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若O B′:B′B=3:2，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比为（ ）A．3:5B．4:9C．4:25D．9:2514．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是A．1:1B．1:2C．1:4D．1:915．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA:A A′=1:2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．1：9D．4：9【答案】C【分析】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质，得到△ABC和△A′B′C′的相似比是解题的关键．根据位似的性质得到△ABC∽△A′B′C′，相似比为OA:O A′=1:3,再根据相似三角形的性质得△ABC和△A′B′C′的面积之比即为相似比的平方．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，OA:A A′=1:2，∴OA:O A′=1:3，∴S△ABC :S△A′B′C′=12:32=1:9，故选：C．16．如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA,OB,OC,OD，若OA′OA =OB′OB=OC′OC=OD′OD=14，则四边形A′B′C′D′的面积与四边形ABCD的面积比为（）A．1:2B．1:4C．1:8D．1:1617．如图，△ABC和△DEF是位似图形，位似中心是O，若OA:OD=1:2，S△ABC =3，那么S△DEF=（）A．6B．9C．12D．18【答案】C18．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，AC:DF=2:3，若OC=8，则CF的长为（）A．12B．8C．6D．419．如图，点O是两个位似图形的位似中心，若O A′=A′A，则△ABC与△A′B′C′的周长之比等于．20．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:AD=3:2，则△ABC与△DEF的面积比为．【答案】9:25【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可．【详解】解：∵OA:AD=3:2，∴OA:OD=3:5，∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC与△DEF的位似比为3:5，∴△ABC与△DEF的相似比为3:5，∴△ABC与△DEF的面积比为9:25，故答案为：9:25．【考点3 位似图形的点坐标】21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,1)，C(3,3)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2:1的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．(2,4)B．(6,8)C．(4,2)D．(6,6)【答案】D【分析】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC的位似比为2:1的位似图形是△A′B′C′，且C(3,3)，∴C′(2×3,2×3)，即C′(6,6)，故选：D．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A′上，A A′=2OA．若点B的坐标为(2,1)，则点B′的坐标为（）A．(4,2)B．(6,3)C．(8,4)D．(1,0.5)【答案】B【分析】本题考查的是位似变换．根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，再根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以原点为位似中心的位似图形，A A′=2OA，∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，∵点B的坐标为(2,1)，∴点B′的横坐标为2×3=6，点B′的纵坐标为1×3=3，∴点B′的坐标为(6,3)，故选：B．23．如图，△AOB与△A1O B1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为12，若点B的坐标为(−1，3)，则点B1的坐标为（ ）A．(2，−6)B．(1，−6)C．(−1，6)D．(−6，2)24．如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1:2，若点B坐标为(1,1)，则点D的坐标是（）A．(3,3)B．(4,4)C．(5,5)D．(6,6)25．如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将△ABC在第一象限内放大2倍得到△AB1C1，再将1△AB1C1绕着原点逆时针旋转90°，得到的△A2B2C2，若点C、C1、C2是对应点，则C2的坐标是（）1A ．(−5,2)B ．(−6,3)C ．(6,−4)D ．(−6,4)【答案】D 【分析】本题考查位似，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．根据位似，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；【详解】解：如图，△A 2B 2C 2即为所求．观察图象可知：C 2(−6,4)故选D ．26．已知关于原点位似的两个图形中，一组对应点的坐标为(2,4)和(−1,x )，则x 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．12D ．−12【答案】A【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．27．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0)，A(3,0)，B(6,2).以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1:3，则点D的坐标为（）A．(−1,−2)B．−2,−2C．(−2,−1)D．−2,−328．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(−3,−1)，(−1,−2)．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段A′B′，点A的对应点A′的坐标是(6,2)，则点B′的坐标是．【答案】(2,4)【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为−2，根据位似图形的性质即29．如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图像扩大为原的2倍，则点A的坐标为．【答案】(−2,2)或(2,−2)/(2,−2)或(−2,2)【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：由题意得：A的坐标为(−1×2,1×2)或(−1×(−2),1×(−2))，∴A的坐标为(−2,2)或(2,−2)，故答案为：(−2,2)或(2,−2)．30．如图，△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A′的坐标为(5,−2)，则点A的坐标为．【答案】(−10,4)【分析】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可．【详解】解：由题意得：△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，又∵A′(5,−2)，且原图形与位似图形是异侧，∴点A的坐标是(5×(−2),−2×(−2))，即点A的坐标是(−10,4)．故答案为：(−10,4)．31．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为．【答案】(2，1)【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可．【详解】解：如图，点P为位似中心，P(2，1)．故答案为：(2，1)．【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．【考点4 判定位似中心】32．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形OEFG和矩形ABCD是位似图形，对应点C和F的坐标分别为(−4,4)，(2,1)，则位似中心的坐标是（）A．(0,2)B．(0,2.5)C．(0,3)D．(0,4)∵∴GF//CD，CD=4，GF=∴∠PCD=∠PFG，∠DPC=∴△PFG∽△PCD，∴CD=PD，33．把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（）A．D点B．E点C．F点D．G点【答案】C【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可．【详解】解：如图，连接A A′、BB′、CC′，交于点F，由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F，故选：C34．如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′是位似关系图，则位似中心是（）A．点O B．点P C．点Q D．点R【答案】A【分析】连接A A′,C C′交于点O，即可．【详解】解：如图，连接A A′,C C′交于点O，∴位似中心是点O．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．35．已知△ABC与△DEF是一对位似三角形，则位似中心最有可能的是（）A．O1B．O2C．O3D．O4【答案】A【分析】根据位似中心的定义判断即可．【详解】∵△ABC与△DEF是一对位似三角形，∴对应顶点的连线相交于一点，如图，位似中心是O1．故选：A．【点睛】本题考查位似图形的概念，掌握位似中心是对应点连线的交点是解题关键．36．下列图形中位似中心在图形上的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．【详解】A、，位似中点在图形内部，不合题意；B、，位似中点在图形上，符合题意；C、，位似中点在图形外部，不合题意；D、，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．37．如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A′C′的端点都在小正方形的顶点上，且△A′B′C′与△ABC是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点A′，C′．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．(1)请在方格图中画出位似中心O；(2)请在方格图中将△A′B′C′补画完整．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心．（1）连接对应点并延长，交点即为位似中心；（2）由（1）可知，OC:O C′=1:2，则连接OB并延长，使O B′=2OB，再连接A B′、B′C即可．【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心；（2）解：补全△A′B′C′如图所示：38．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O．(1)请在图中画出点O的位置；(2)若AB=2DE=36，BC=20，求EF的长．【答案】(1)作图见解析(2)10【分析】本题主要考查位似变换，熟知位似图形性质是解题的关键．（1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置；（2）根据位似性质即可求得答案．【详解】（1）解：根据点O的位置如图所示．经过位似变换得到的，【考点6 画已知图形放大或缩小n 倍后的位似图形】39．如图，△ABC 在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)画出△ABC 绕O 点逆时针旋转90°的△A 1B 1C 1；(2)以A 为位似中心，在网格中画出△ADE ，使△ADE 与△ABC 位似且面积比为4:1．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．（1）根据旋转的性质作出点A 、B 、C 的对称点A 1、B 1、C 1，然后顺次连接即可；（2）以A 为位似中心，作出点A 、B 、C 的位似点，然后顺次连接即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求作的三角形．；（2）解：如图，△A DE1与△A D2E2即为所求作的三角形．140．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3．(2)证明△A′B′C′和△ABC相似．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．（1）根据△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3作出图形即可；（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．【详解】（1）解：如图所示：△A′B′C′即为所求，；41．如图，△ABC 在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)以点B 为位似中心，在点B 的下方画出△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 位似且相似比为3:1；(2)点A 1的坐标为______，点C 1的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)(3,0)，(−3,−3)【分析】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键．（1）在网格中作出A 1、C 1，连接A 1C 1、BC 1、BA 1即可得到△A 1B 1C 1；（2）根据点的位置写出A 1、A 1、C 1的坐标即可．【详解】（1）△A 1B 1C 1即为所作；（2）点A 1的坐标为(3,0)，点C 1的坐标为(−3,−3)，故答案为：(3,0)，(−3,−3)．42．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)．(1)请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据位似的性质作图即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求．B2C2即为所求．2【点睛】本题考查作图−平移变换、位似变换，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键．。
九年级下册位似的知识点
九年级下册位似的知识点位似是九年级下册数学学习的一个重要知识点。
位似是指两个多边形的形状相似，但是大小不同。
在本文中，将探讨位似的定义、性质以及其在实际生活和其他学科中的应用。
一、位似的定义位似，即位置似相似。
在数学中，当两个多边形的对应角相等，并且对应边的比例相等时，我们可以说这两个多边形是位似的。
位似的概念是相似三角形的推广，它不仅适用于三角形，也适用于其他形状的多边形。
二、位似的性质1.对应角相等：两个位似的多边形的对应角是相等的，即对应角的度数相等。
2.对应边比例相等：两个位似的多边形的对应边的长度比例相等，即对应边的比值相等。
3.面积比例相等：两个位似的多边形面积的比例等于对应边的长度比例的平方。
三、位似的应用1.建筑设计：在建筑设计中，位似的概念可以用来设计不同比例的建筑物。
例如，在设计一个模型房屋时，需要按照实际房屋的尺寸比例缩小或放大建模，以便更好地展示设计效果。
2.地图制作：地图是我们生活中常用的工具之一。
在制作地图时，为了让地图更加美观和实用，会使用位似的概念将真实地貌比例缩小到地图上。
3.计算测量：在实际测量中，我们可以利用位似的性质估算无法直接测量的距离或高度。
通过已知的尺寸比例，我们可以推算出未知物体的尺寸。
4.数学推理：位似的概念也在数学推理中得到应用。
利用位似的性质，我们可以推导出多边形的各种性质和公式，从而解决实际问题。
总结：位似作为数学中的一个重要概念，可以帮助我们了解和解决各种实际问题。
通过对位似的定义和性质的掌握，我们可以在实际生活和其他学科中更好地应用数学知识，提高问题解决能力。
同时，位似也是几何学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握位似的概念和性质是非常重要的，将会为他们以后的学习打下坚实的基础。
因此，我们应该通过实际问题的解决和推理，将数学知识与实际应用相结合，以帮助我们更好地理解和应用位似的概念。
通过不断的学习和实践，我们可以在数学学习的道路上取得更好的成绩。
九年级数学专题05 位似(知识点串讲)(解析版)
九年级数学专题05 位似知识网络重难突破知识点一位似位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：位似图形是相似图形的一种特殊形式。
位似中心的位置：形内、形外、形上。
画位似图形的步骤：1.确定位似中心.2.确定原图形的关键点.3.确定位似比.4.根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比等于位似比，作出关键点的对应点，再按照原图的顺序连接各点 ( 对应点都在位似中心同侧，或两侧 ) .典例1（2018·路北区期末）△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是( )A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【详解】∵点D，E分别是OA，OB的中点，∴DE=12 AB，∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，∴△DEF∽△ABC，∴DEFABCSS∆∆=14，∴△ABC的面积=2×4=8故选：D．典例2（2019·昆明市期末）如图，△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF．下列说法正确的个数是（）①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为9：1．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】根据位似的定义可得：△ABC与△DEF是位似图形，也是相似图形，位似比是2：1，则周长的比是2：1，因而面积的比是4：1，故①②③正确，④错误．故选：C．典例3（2018·西安市期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF 的面积比为1：9，则AB：DE的值为（）A．1：3 B．1：2 C．13D．1：9【答案】A【详解】：∵△ABC 与△DEF 位似， ∴2()ABC DEF S ABS DE =V V =19， ∴13AB DE =， 故选：A ．典例4（2019·三门峡市期中）如图，已知△ABC ，任取一点O ，连AO ，BO ，CO ，分别取点D ，E ，F ，使OD ＝13AO ，OE ＝13BO ，OF ＝13CO ，得△DEF ，有下列说法： ①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△DEF 与△ABC 的周长比为1：3；④△DEF 与△ABC 的面积比为1：6．则正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】 解：∵任取一点O ，连AO ，BO ，CO ，分别取点D ，E ，F ，OD ＝13AO ，OE ＝13BO ，OF ＝13CO ， ∴△DEF 与△ABC 的相似比为：1：3，∴①△ABC 与△DEF 是位似图形，正确；②△ABC 与△DEF 是相似图形，正确；③△DEF 与△ABC 的周长比为1：3，正确；④△DEF 与△ABC 的面积比为1：9，故此选项错误．故选：C ． 典例5（2019·泉州市期中）如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【详解】如图，位似中心为点D．故选D．典例6（2019·洛阳市期中）1. 下列说法不正确的是（）A．位似图形一定是相似图形B．相似图形不一定是位似图形C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行【答案】D【解析】解：根据位似图形的定义可知，B，C正确，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D错误．故选D．典例7（2019·鞍山市期中）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，则AO：AD的值为（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13 【答案】B【详解】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，∴ACDF＝23，AC∥DF，∴AODO＝ACDF＝23，∴AOAD＝25．故选：B．典例8（2018·南通市期中）如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D23【答案】A【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3，∴DA：D′A′=OA：OA′=2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：224 39⎛⎫=⎪⎝⎭，故选：A．典例9（2018·武汉市期末）将投影片的图案投影到屏幕上，这种图形的变换是（）A．平移变换B．旋转变换C．轴对称变换D．相似变换【答案】D【详解】解：将投影片的图案投影到屏幕上，这种图形变换是相似变换，故选：D．典例10（2019普宁市期中）下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，D中的两个图形是位似图形，C中的两个图形不是位似图形.故选C.在直角坐标系中的位似图形坐标关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的位似图形，使它与原图形的相似比为k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).典例1（2019·晋江市期中）如图，△ABC和△AʹBʹCʹ位似，位似中心为点O，点A（-1，2）、点Aʹ（2，-4），若△ABC的面积为4，则△AʹBʹCʹ的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【详解】解：∵△ABC和△AʹBʹCʹ位似，位似中心为点O，点A（-1，2）、点A′（2，-4），∴△ABC∽△A′B′C′，∵OA=2212+=5，OA′=2224+=25，'12OAOA=，∴'''2'14ABCA B CS OAS OA⎛⎫==⎪⎝⎭VV，∵△ABC的面积为4，∴△AʹBʹCʹ的面积=16，故选：D．典例2（2019·晋城市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12,得到△COD，则CD的长度是（）A．1 B．2 C．25D．5【答案】B【详解】∵点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B,将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12,得到△COD,∴C(1,2),则CD的长度是:2故选:B典例3（2018·南阳市期末）已知，直角坐标系中，点E（-4，2），F（-1，-1），以O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，-1）或（-2，1）B．（8，-4）或（-8，4）C．（2，-1）D．（8，-4）【答案】A【详解】根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以2或－2，所以点E′的坐标为（8，－4）或（－8，4）．故选B．典例4（2019·池州市期末）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）【答案】A【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴ADBG=13，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴OAOB=13，∴2OAOA=13，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选A．典例5（2018·来宾市期末）如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 【答案】A【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DC OB AB，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．典例6（2019·宝安区期中）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）A．（2，5）B．（2.5，5）C．（3，5）D．（3，6）【答案】B【解析】试题分析：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，∴B点与D点是对应点，则位似比为5：2，∵C（1，2），∴点A的坐标为：（2.5，5）故选B．典例7（2019·临汾市期末）如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴1'2 CD BCCE B C==，∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．典例8（2019·汉中市期中）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为( )A．(2，0) B．(1，1)C．(，) D．(2，2)【答案】D【详解】∵A（1，0），∴AO=1.∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，相似比为1:2，∴∵OA=1，∴OD=2.∵四边形ODEF是正方形，∴OD=DE，DE⊥OD.∵OD=DE，OD=2，DE⊥OD，∴点E的坐标为（2，2）.故选:D.典例9（2018·焦作市期中）在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，﹣6)，则A点的对应点A′坐标为( )A．(﹣2，﹣4) B．(﹣4，﹣2)C．(﹣1，﹣4) D．(1，﹣4)【答案】A【详解】解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，-6），∴OB：OB'=1：2=OA：OA'∵A（1，2），∴A'（-2，-4）故选A．典例10（2018·灌南县新知双语学校初三期末）在平面直角坐标系中，已知点E（－4，2），F（－2，－2），以原点O为位似中心，相似比为2:1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A．（－2，1）B．（－2，1）或（2，－1）C．（－8，4）D．（－8，4）或（8，－4）【答案】B【解析】∵点E的坐标为（-4，2），点E′是以原点O为位似中心，相似比为2:1，把△EFO缩小得到的点E的对应点，∴点E′的坐标为（-2，1）或（2，-1）.故选B.平移、轴对称、旋转、位似的区别：1.平移：和原图形一模一样（和原图形全等且能与原图形重合）2.轴对称：面积和原图形一样也是全等，和平移的不同点就是轴对称之后的图形不能与原图形重合，虽然它们全等）3.旋转：面积和原图形一样，也是全等，和轴对称的不同点是轴对称只有一个和原图形轴对称的图形，而旋转可以旋转出无数个。
新九年级数学上册第四章第八节图形的位似
C′(-4.5,4.5)
随堂练习
如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别 是 O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（-2，3），画出 四边形 OABC 以点 O 为位似中心的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似比是 2∶1.
y
8 6
4
C
2
-8 -6 -4 -2 O
-2
似比．
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶 点的横、纵坐标都乘同一个数 k（k≠0），所 对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标 原点，它们的相似比为 | k |．
6
5
4
验
3 2
证
1
O1234567
结论
在直角坐标系中，将一个多边形每 个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k （k≠0），所对应的图形与原图形位似， 位似中心是坐标原点，他们的相似比为 ∣k∣.
B
A
2
4
–4
B′
–6
OO′′((00,,00)) AA′′((6-6,0,0))
将△OAB的
横如、果纵将坐点标 分O别，乘A2，和B-2， 得的到横的、两纵个 不坐同标的都三乘角 形以都-2是呢？ △OAB的位
6
A′x
似图形，位 似中心都是
原点O，相
似比都是2，
它们关于原
点成中心对
称。
BB′′((4-4,6,-)6)
九年级数学(上) 第四章 图形的相似
第八节 图形的位似（二）
主讲：梁宏宝
知识回顾 1. 位似图形
如果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同 一 个点O，且每 组对应点与O 点的距离之比都等于一
个定值k，例如OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多
九年级数学下册位似知识点
九年级数学下册位似知识点位似是九年级数学下册的一个重要知识点，也是我们在日常生活中经常用到的概念。
位似指的是两个或多个图形在形态和方向上相似，但是大小不同的情况。
在几何学中，我们经常会遇到位似的概念，因为它可以帮助我们简化计算和解决几何问题。
首先，我们来了解一下什么是位似。
当两个或多个图形的形态和方向相似，并且每条对应的边的比例相等时，我们就说它们是位似的。
换句话说，如果一个图形可以通过缩放另一个图形来得到，并且两个图形的对应边的比例相等，那么它们就是位似的。
那么，如何判断两个图形是否位似呢？我们可以使用尺规作图法来进行验证。
首先，我们选择一个定比例，并用直尺和圆规将对应边分别复制到另一个图形上。
如果复制的边在另一个图形上重合，那么这两个图形就是位似的。
位似的概念在很多几何问题中起到了至关重要的作用。
例如，在计算两个相似三角形的边长或面积时，我们可以利用位似的性质来简化计算。
如果两个三角形位似，那么它们的对应边的比例等于它们的面积的比例。
因此，我们可以通过已知条件和未知量之间的比例关系来解决问题。
此外，位似还可以帮助我们解决日常生活中的问题。
比如，当我们需要放大或缩小一张照片时，我们可以利用位似的概念来确定图像的比例和缩放倍数。
如果我们知道原始照片和目标照片之间的对应边的比例，我们就可以准确地调整图像的大小。
除了计算问题和实际应用外，位似还与其他数学概念密切相关。
例如，位似和比例的概念相互依存。
在位似的图形中，对应边的比例等于图形的比例尺。
这意味着，如果我们知道一个图形的比例尺，我们就可以根据对应边的比例来确定另一个图形的比例尺。
另一个相关概念是正方形和矩形的位似性质。
由于正方形和矩形是特殊的四边形，它们在形态和方向上是相似的。
因此，在解决正方形和矩形的问题时，我们可以直接使用位似的性质来简化计算。
虽然位似只是九年级数学下册的一个知识点，但它在几何学中扮演着重要的角色。
掌握位似的概念和性质，不仅可以帮助我们解决数学问题，还可以应用到我们的日常生活中。
位似知识点九年级下
位似知识点九年级下在九年级下册的数学课程中，有一部分内容让我印象深刻，那就是“位似”这个知识点。
位似是指两个图形形状相似，但是大小不一样。
这个知识点在我们日常生活中也有很多应用。
首先，我们来了解一下什么是位似。
位似是指两个图形形状相似，但是大小不一样。
在位似的图形中，对应边的长度比值是相等的，对应角度也是相等的。
这样，我们可以通过已知图形的形状和大小来推导出未知图形的形状和大小。
位似的应用非常广泛。
举个例子，我们在设计海报、广告等宣传资料时，经常需要把一个大的设计图缩小到适合打印或展示的尺寸。
这时，我们可以利用位似的原理，在小尺寸的布局上保持图形比例和结构，从而保持整体的美观和可读性。
另一个例子是地图的缩放。
当我们使用地图应用或者导航软件时，经常需要根据实际的需要放大或缩小地图。
这时，地图软件就会利用位似的原理，保证地图上的道路、建筑等元素的比例和位置不变，从而帮助我们更方便地导航。
位似的知识点还可以应用在建筑设计中。
例如，设计师可以通过位似的原理，根据实际的建筑尺寸，制作一比一的模型，从而帮助他们更加直观地观察和调整建筑的外形和内部结构。
这样的模型在建筑设计和施工中都起到了重要的作用。
除了上述的实际应用外，位似的知识点还有一些有趣的数学问题。
比如，我们可以讨论一个玩具小人沿着位似的路径移动，走过相同的距离需要多少次步行。
或者我们可以研究一个位似的模型放大或缩小后，其中某个维度的变化比例是多少。
总结来说，位似的知识点在九年级下册的数学课程中起到了很重要的作用。
它不仅在我们的日常生活中有广泛的应用，还能启发我们的思维，帮助我们解决实际问题。
通过掌握位似的原理和技巧，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高我们的数学水平。
人教版九年级下册第27章 位似图形的概念(17页)
解：△DFE 与 △DBA，△BFE 与 △BDC，△AEB 与 △DEC 都是位似图形；证明略.
(2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长.
解：∵ △BFE ∽△BDC，△AEB ∽△DEC， AB=2，CD=3， ∴ AB BE 2，∴ BE EF 2，
OA' OB' A' B' 3.你还发现了什么性质？
E′ E
A A′
D′
D C′
OC
B B′
A
A' D'
D
O
B'
B
C'
C
位似的性质
① 对应角相等，对应边的比相等 ② 任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(位似比). ③ 对应线段平行或者在一条直线上
活动三：把如图的四边形 ABCD 缩小到原来的一半.
第二十七章 相似 27.3 课时1 位似图形的概念
学习目标
1. 掌握位似图形的概念、性质和画法. 2. 掌握位似与相似的联系与区别.
新知探究
问题一：观察下列图案有什么共同特点，你想到了那些数学知识
活动一：观察下图相似吗？还有什么特点？ D′
E′ E
A A′
D C′
OC
B B′
位似的定义
两个相似图形，如果它们的所有对应点的连线都经过同一点，那么 这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
A
A'
D
D'
O
B'
B
C' C
位似的画法 ① 连接每一关键点与位似中心 ② 在对应连线上取相应的位似比 ③ 边接每个对应点组成多边形
初三数学位似知识点
初三数学位似知识点
1、位似图形：
如果两个图形不仅是相似的图形，而且每组对应点的连接线在一个点相交，则这两个图形称为位置图形。
连接类位置图中相应点的直线的交点就是类位置中心。
此时，相似性比率也称为类位置比率。
2、位似图形的性质：
段落的任何一对对应点与段落中心在同一条线上，它们与段落中心的距离之比等于相似比。
1.位似图形对应线段的比等于相似比。
2.位置图形的相应角度相等。
3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
4.拟图形的面积比等于相似比的平方。
5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
6.位置图形的相应边相互平行或在同一条直线上。
3、利用位似，可以将一个图形放大或缩小，作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位
似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．
4、位似变换：
把一个几何图形转换变成与之位似的图形,叫作位似变换。
物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心。
位似变换应用领域极为广为，特别就是可以证明三点共线等问题。
人教版九年级数学下册：位似图形的概念及画法【精品课件】
知识点2 位似图形的性质
明 相似 确 对应顶点的连线相交于一点
位似中心
O
辨析 位似的特征：
1．位似图形一定是相似图形，反之相 似图形不一定是位似图形 .
2．判断位似图形时，要注意首先它们 必须是相似图形，其次每一对对应点所在 直线都经过同一点 .
判断
下面哪些相似图形是位似图形？
√
√
× √×
位似图形的概念及画法 九年级下册
新课导入
在日常生活中，我们经常见到这样一类相 似的图形，它们有什么特征？
在日常生活中，经常遇到一些把图形放大或 缩小，但不改变图形的形状的情形.经过放大或 缩小的图形，与原图形是相似的.用这样的方法， 我们可以得到真实的图片和满意的照片.
这样的图形有 什么特点呢？
2.分别在线段 OA，OB，OC，OD 上取A′，B′，
C′，D′，使得OA′ = OB ′ = OC ′ = OD ′ = 1 . OA OB OC OD 2
3.顺次连接点A′，B′，C′，
A
D′，所得四边形A′B′C′D′就是所
B A＇
D
要求的图形。
B＇ D＇ C C＇
O
作法二：
如果在四边形外任选一点O，分别在OA，OB，
B.AOC来自A′C′基础巩固
随堂演练
1.下列说法不正确的是（ D ） A.位似图形一定是相似图形 B.相似图形不一定是位似图形 C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离
之比等于相似比
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
2.用作位似图形的方法，可以将一个图形放 大或缩小，位似中心（ D ） A.只能选在原图形的外部 B.只能选在原图形的内部 C.只能选在原图形的边上 D.可以选择任意位置
九年级位似图形知识点归纳
九年级位似图形知识点归纳九年级位似图形是数学中的一个重要内容，它涉及到平面几何中的相似性质以及相似图形的相关知识。
在这篇文章中，我将对九年级位似图形的知识点进行归纳总结。
1. 什么是位似图形位似图形指的是具有相同形状但是大小不同的图形。
在位似图形中，图形的内部角度是相等的，各边的对应长度按比例关系成立。
2. 相似比位似图形中，相似比是一个重要的概念。
相似比指的是两个位似图形的相应边长度之比。
在位似图形中，相似比相等，即对应边长度的比例相等。
3. 判断位似图形判断位似图形时，需要考虑以下几个条件：- 内部角度相等：对应角度相等，即对应顶点的角度相等。
- 对应边按比例关系成立：对应边之间的比例相等。
4. 位似图形的性质位似图形具有一些特点和性质，主要包括：- 边比相等：在位似图形中，对应边的长度比例相等。
- 面积比相等：在位似图形中，对应面积之比等于边比的平方。
- 周长比相等：在位似图形中，对应边长之比等于周长比。
5. 图形变换对位似图形进行变换是学习位似图形的重要环节之一。
常见的图形变换包括：- 平移：图形在平面上的位置保持不变，只改变其位置。
- 旋转：图形按照一定的角度绕着某个固定点进行旋转。
- 缩放：图形按照一定的比例进行放大或缩小。
6. 练习题为了加深对位似图形知识点的理解和掌握，我们可以进行一些练习题。
以下是一些例题：例题1：已知两个三角形ABC和DEF，且∠A=∠D，AB:DE=3:5，BC:EF=4:7，AC:DF=2:3。
判断两个三角形是否位似，并说明理由。
解答：根据给定条件，可以发现两个三角形的内部角度相等，且对应边的比例关系成立。
因此，根据位似图形的判断条件，可以判断两个三角形是位似的。
例题2：已知两个矩形ABCD和EFGH，且AB:EF=2:3，BC:FG=3:5，CD:GH=4:7。
计算两个矩形的面积比。
解答：根据给定的边比关系，可以算出两个矩形的边长比例分别为2:3和3:5。
人教版九年级下册数学作业课件 第27章第1课时 位似图形的概念及画法
4．如图，DE∥AB，CE＝2BE，则△ABC 与△DEC 是以点 C 为位似中心的位似图形，其相似比 为 3∶2 .
5．找出下列位似图形的位似中心． 解：如图所示．
6．按要求画位似图形并写出作图步骤：如图，以 O 为位似中心，把△ABC 放大到原来的 2 倍．
1．在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 (C) A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，△DEF 与△ABC 是位似图形，点 O 是位 似中心，D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点， 则△DEF 与△ABC 的面积比是( C ) A．1∶6 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶2
3．如图，以点 O 为位似中心，把△ABC 放大为原 图形的 2 倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是
解：第一种，如图 a，①连接 OA，OB，OC； ②分别延长 OA 至 D，OB 至 E，OC 至 F，使 AD＝ OA，BE＝BO，CF＝CO；
③顺次连接 D，E，F 得到△DEF，△DEF 就是所 求作的三角形．
第二种，如图 b，①连接 OA，OB，OC； ②分别延长 AO 至 D′，BO 至 E′，CO 至 F′，使 OD′ ＝2AO，OE′＝2BO，OF′＝2CO；
知识要点 位似图形
内容
基本模型
对应点在 定义：两个多边形不仅相似，而且对 概 应顶点的连线相交于 一点 ，像这样的 位似中心
异侧： 念 两个图形叫的距离之 对应点
质 比等于相似比 .
在位似
一般步骤：①定位似中心；②分别连 中心异
接并延长位似中心和能代表原图 侧：
九年级数学知识点归纳：位似图形
九年级数学知识点归纳：位似图形．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．3．难点的冲破方式（1）位似图形：若是两个多边形不仅相似，而且对应极点的连线相交于一点，那么如此的两个图形叫做位似图形，那个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（2）把握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，因此两个图形是位似图形，必然是相似图形，而相似图形不必然是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的双侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比确实是相似比．利用位似图形的概念可判定两个图形是不是位似．（3）位似图形第一是相似图形，因此它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．（4）两个位似图形的要紧特点是：每对位似对应点与位似中心共线；不通过位似中心的对应线段平行．（）利用位似，能够将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①第一确信位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确信原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个极点；③确信位似比，依照位似比的取值，能够判定是将一个图形放大仍是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确信的位似中心的位置有关，而且同一个位似中心的双侧各有一个符合要求的图形．一、选择题．以下说法正确的选项是（）．A．相似的两个五边形必然是位似图形B．两个大小不同的正三角形必然是位似图形．两个位似图形必然是相似图形D．所有的正方形都是位似图形考查目的：考查位似图形的概念．答案：．解析：位似图形是相似图形的特例，相似图形不必然是位似图形，故答案应选择．2．两个位似多边形一对对应极点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，那么较小的多边形的面积是（）A．16B．32．48D．64考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：A．解析：位似图形必然相似，具有相似形的性质，其相似比等于一对对应极点到位似中心的距离比．相似比为1∶2，那么面积比为1∶4，由面积和为80，取得它们的面积别离为16，64．故答案应选择A．3．如图，以点A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△AB，假设S1表示△ADE的面积，S2表示四边形DBE的面积，那么S1∶S2=（）A．1∶2B．1∶3．1∶4D．2∶3考查目的：考查位似图形的性质和画法．答案：B．解析：位似图形必然相似，具有相似形的性质，△ADE 与△AB相似比为1∶2，那么面积比为1∶4，因此△ADE与四边形DBE的面积比为1∶3，故答案应选择B．二、填空题4．如图，五边形ABDE与五边形A′B′′D′E′是位似图形，且位似比为1:2．假设五边形ABDE的面积为172，周长为20，那么五边形A′B′′D′E′的面积为________2，周长为________．考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：68；40．解析：位似图形必然相似，相似比是1∶2，那么面积比是1∶4，故五边形A′B′′D′E′的面积应是682；周长是40．．若是两个位似图形的对应线段长别离为3和，且较小图形周长为30，那么较大图形周长为________．考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：0．解析：位似图形必然是相似图形，具有相似图形的性质，其相似比等于一组对应边的比，相似比是3∶，那么周长比是3∶，故答案应是0．三、解答题6．利用位似的方式把以下图缩小到原先的一半，要求所作的图形在原图内部．考查目的：考查位似图形的画法．答案：解析：利用位似的方式作图，要求所作图要位于原图内部，关键是确信位似中心，此题的位似中心取在原图内部，（1）在五边形ABDE内部任取一点．（2）以点为端点作射线A、B、、D、E．（3）别离在射线A、B、、D、E上取点A′、B′、′、D′，使A∶A′=B∶B′=∶′=D∶D′=E∶E′=2∶1．（4）连接A′B′、B′′、′D′、D′E′、E′A′．取得所要画的多边形A′B′′D′E′．7．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，现在他距离该塔18，已知小明的身高是1．6，他的影长是2．（1）图中△AB与△ADE是不是位似？什么缘故？（2）求古塔的高度．考查目的：考查位似图形的概念和性质．答案：△AB与△ADE位似；古塔的高度为16．解析：依照位似图形的概念，△AB与△ADE中，B与DE 平行，两个三角形相似，且对应极点的连线相交于一点，因此△AB与△ADE位似．利用相似三角形对应边成比例，可求出DE的长，故古塔的高度是16．。
27.3+第1课时+位似图形的概念及画法 课件+-2023--2024学年人教版数学九年级下册
（3）如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出 这时得到的图形．◑画位似图形的一般步骤：
A A'
B B' O D' C'
① 确定位似中心； D ② 分别连接位似中心和原图的关键点；
③ 根据相似比，确定所作的位似图形 中对应的关键点；
C
④ 顺次连接上述各点，得到放大或
当堂检测 1. 下列图形中，不是位似图形的是
情境引入
在日常生活中，经常见到这样的相似图形．
(1)放映幻灯片时，通过光源，
(2)照相时，摄影师通过照
把幻灯片上的图形放大到
屏幕上。
相机，把建筑物 的形象缩
小在底片上。
第二十七章 相 似
27.3 位 似
第1课时 位似图形的概念及画法
学习目标
1.理解位似图形的概念及相似比．
图 形 2.能够按照要求利用位似图形进行放大或缩小．
D'
A
D
D'
AD
O
B
B'
C
P B C B'
C'
像这样的图形叫做位似图形 C'
思考：那么，什么样的图形叫做位似图形呢？你能准确
描述一下吗？
A'
➢ 位似图形的定义 两个相似图形，如果它们的O
A D
D'
B
B'
C
对应顶点 的连线相交于一点，那么这两个图形叫 C'
做 位似图形 ，这个点叫做 位似中心 ．
如上图所示 OA' 叫做相似比或者ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ似比
的 位
3.掌握位似与相似的联系与区别．
似
北师版九年级数学 4.8图形的位似(学习、上课课件)
(2)两个相似图形的每组对应顶点所在的直线都经过同一点；
(3)k ≠ 0.
2. 反例：若没有“k≠0”这一限制条件，
则会出现如图4-8-2 所示的情况，
△ A′ C′ B′ ∽△ ACB，且每组对应
顶点所在直线都经过点O( 或点A，
B′ )，其中OB′ =0xOB，但此时两个
感悟新知
知2－练
解：如图4 -8-5，点P1，P2，P3 即为所求的位似中心.
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感悟新知
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2-1. 如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似 中心是( D ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
感悟新知
知2－练
例 3 如图4-8-6，△ ABC 与△ A ′B ′C ′关于点O 位似， BO=3，B′O=6.
Hale Waihona Puke 感悟新知解：根据位似中心的不同位置情况进行作图.
知3－练
画法一 位似中心在四边形的顶点上，如图4-8-8① ②，
以点A 为位似中心，四边形AB1C1D1 就是所求作的图形.
感悟新知
知3－练
画法二 位似中心在四边形的边上，如图4 -8-9 ① ②，
以AD 边上一点O 为位似中心，四边形A1B1C1D1 就是所求作的图形.
解题秘方：紧扣“位似多边 形相似比”的性质进行计算.
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(1)若AC=5，求A′C′ 的长；
知2－练
解：∵△ ABC 与△ A′B′C′ 是位似图形，BO∶B′O=
3 ∶ 6=1∶ 2，∴△ ABC ∽△ A′B′C′，且相似比为12.
∴AA′CC′=
12，即A′5C′=
1 2
1.4图形的位似+课件+2024—2025学年青岛版数学九年级上册
做法：取格点M，N，P，Q，连接
MP，NQ，分别交AB 于点G，H，
此时，
=
= ，
=
点G，H 将线段AB 三等分.
= ，即
知4－练
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知4－练
5-1.[期中·济南槐荫区] 如图，已知点O 是坐标原点，A，B
两点的坐标分别为(3，－ 1)，(2，1). 以O 点为位似中
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知3－练
(2)求出△ ABC 与△ A1B1C1 的位似比；
△ABC与△A1B1C1 的位似比为AO∶A1O＝6∶12＝
1∶2.
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知3－练
(3)以点O 为位似中心， 在图中画一个△ A2B2C2， 使它与
△ ABC 的位似比等于3 ∶ 2.
解：如图所示．
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知识点 4 平面直角坐标系中的位似
(1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，
它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变
换是全等变换，而位似变换是相似变换.
感悟新知
知4－讲
①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离.
②在轴对称变换中，以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标
相等，纵坐标互为相反数；以y 轴为对称轴，则纵坐标
清楚相似比，分清楚是放大还是缩小，若变换后的图形
与原图形的相似比大于1，则是将原图形放大了；若变换
后的图形与原图形的相似比小于1，则是将原图形缩小了.
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知3－练
例 4 [新视角 开放题]如图1.4-7，已知四边形ABCD，将四
边形ABCD 放大，使放大后的图形与原图形是位似
九年级数学上册第四单元重要知识点总结
九年级数学上册第四单元重要知识点总结(1)位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.(2)掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形;②两个位似图形的位似中心只有一个;③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧;④位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.(3)位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质.位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比(相似比).(4)两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线;不经过位似中心的对应线段平行.(5)利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题.作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择;②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点;③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小;④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.1.下列说法正确的是().A.相似的两个五边形一定是位似图形B.两个大小不同的正三角形一定是位似图形C.两个位似图形一定是相似图形D.所有的正方形都是位似图形考查目的：考查位似图形的概念.答案：C.解析：位似图形是相似图形的特例，相似图形不一定是位似图形，故答案应选择C.2.两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，则较小的多边形的面积是()A.16B.32C.48D.64考查目的：考查位似图形的概念和性质.答案：A.解析：位似图形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比.相似比为1∶2，则面积比为1∶4，由面积和为80，得到它们的面积分别为16，64.故答案应选择A.3.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为________ cm.考查目的：考查位似图形的概念和性质.答案：50.解析：位似图形一定是相似图形，具备相似图形的性质，其相似比等于一组对应边的比，相似比是3∶5，则周长比是3∶5，故答案应是50.。
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九年级数学位似图形知识点九年级数学的学习内容十分广泛，其中位似图形是一个重要的知识点。
位似图形是指形状、大小不同，但是对应部分之间有相似关系的图形。
它在日常生活中的应用非常广泛，如建筑设计、地图制作等领域。
下面我们将详细了解九年级数学里的位似图形知识点。
一、位似图形的定义和性质
位似图形的定义是指两个图形的对应部分之间的边长比相等。
而位似图形的性质主要包括以下几个方面：
1. 位似图形的对应角相等：对于两个位似图形，其对应的角一定相等。
这是因为位似图形是通过放缩或旋转得到的，边长比相等就意味着对应的角度不变。
2. 位似图形的各边之间的比例相等：对于位似图形来说，任意两边之间的比例都是相等的。
这是因为位似图形的边长比相等。
3. 位似图形的面积比等于边长比的平方：位似图形的面积比等于边长比的平方。
这是因为放缩一个图形，面积会按照边长比的平方进行缩放。
二、位似图形的判定方法
判定两个图形是否位似的方法主要有以下几种：
1. 判断边长比例是否相等：如果两个图形的对应边长之间的比例相等，则这两个图形位似。
2. 判断对应角是否相等：如果两个图形的对应角之间的大小相等，则这两个图形位似。
3. 利用面积比相等判定位似：如果两个图形的面积比等于边长比的平方，则这两个图形位似。
三、位似三角形的证明方法
位似三角形是位似图形中最常见的一种。
位似三角形的证明方
法主要有以下几种：
1. AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角
形位似。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三
角形位似。
3. SAS判定法：如果两个三角形的两边夹角相等，并且它们的
夹角边对应相等，则这两个三角形位似。
四、位似图形的应用
位似图形在现实生活中有广泛的应用。
在建筑设计中，我们经
常会使用位似图形来将设计图缩小或放大；在地图制作中，位似
图形可以帮助我们将实际距离转化为纸上的距离；在工程测量中，位似图形可以帮助我们计算难以测量的距离和面积。
此外，位似图形还与几何形体的体积和重心有关，可以帮助我们进行空间几何的分析和计算。
总结：
位似图形是九年级数学中的重要知识点，它与我们日常生活密切相关。
了解位似图形的定义、性质、判定方法和应用，有助于我们更好地理解和应用位似图形知识，提高数学学习的效果。
希望本文对于九年级数学学习者能够有所帮助。