换底公式的五个推论及其证明
换底公式
(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震 级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然 对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数 或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
换底公式的推导过程
换底公式的推导过程摘要：一、换底公式简介1.什么是换底公式2.换底公式的应用场景二、换底公式的推导过程1.指数函数的定义2.对数函数的定义3.换底公式推导三、换底公式在实际问题中的应用1.常见函数的换底计算2.实际问题中的换底应用正文：一、换底公式简介换底公式，又称换底对数公式，是数学中一种重要的公式。
它可以将一个以某个底数为底的指数函数或对数函数转换为以任意底数为底的指数函数或对数函数。
换底公式广泛应用于各种数学问题，尤其是涉及到对数和指数运算的问题。
二、换底公式的推导过程1.指数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数f(x)=a^x (x∈R)，称为以a 为底的指数函数。
2.对数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数g(x)=log_a x (x>0)，称为以a 为底的对数函数。
3.换底公式推导：设y=f(x)=a^x，我们想要找到一个与f(x) 等价的函数，即h(x)=b^x，其中b 为任意正实数且b≠1。
我们可以通过对f(x) 取对数，然后用g(x) 表示，即：log_b y = log_b (a^x) = x * log_b a这样我们就得到了h(x) = b^x，即：h(x) = b^(x * log_b a)因此，我们可以用h(x) 替代f(x)，使得以b 为底的指数函数与以a 为底的指数函数等价。
三、换底公式在实际问题中的应用1.常见函数的换底计算：在实际问题中，我们常常需要将一个函数表示为另一种底数的函数。
例如，将自然指数函数表示为以2 为底的指数函数，可以使用换底公式：2^x = e^(x * log_e 2)2.实际问题中的换底应用：在物理学、化学和工程等领域，换底公式经常用于计算各种物理和化学常数的对数。
例如，在计算气体定律问题时，我们需要计算气体的体积、温度和压强等参数的对数，这时可以使用换底公式将底数为自然常数e 的对数转换为底数为任意正实数的对数，以便进行计算。
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
换底公式推导过程
换底公式推导过程如下：
换底公式：$log_{b}a=log_{c}a \div log_{c}b$，其中$c>0$且$c \neq 1$。
证明：设$log_{b}a=x$，则$b^{x}=a$。
同时，设$log_{c}a=y$，则$c^{y}=a$。
因为$c^{x}=a$，所以有$c^{x}=c^{y}$，根据指数函数的性质可知，当底数相等时，指数相等。
所以$x=y$，即$log_{b}a=log_{c}a \div log_{c}b$。
换底公式在各种数学、物理、工程领域都有广泛的应用。
拓展资料
换底公式是高中数学常用对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。
计算中常常会减少计算的难度，更迅速的解决高中范围的对数运算。
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底的自然对数或者是转换为以10为底的常用对数，方便运算；有时也通过用换底
公式来证明或求解相关问题；
在计算器上计算对数时需要用到这个公式。
例如，大多数计算器有自然对数和常用对数的按钮，但却没有[log2]的。
要计算，你只有计算（或，两者结果一样）；
在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式。
例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a 为底b为真数的对数函数，只有以常用对数（即以10为底的对数）或自然对数（即e为底的对数）。
此时就要用到换底公式来换成以e 或者10为底的对数，表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而处理某些实际问题。
三角函数换底公式
三角函数没有换底公式一说，肯定是对数的换底公式：
log换底公式是：loga(N)=logb(N)/logb(a)。
证明：loga(N)=x，则a^x=N，两边取以b为底的对数，
logb(a^x)=logb(N)，xlogb(a)=logb(N)，x=logb(N)/logb(a)，故此，loga(N)=logb(N)/logb(a)。
换底公式：logb(c)=loga(c)/loga(b) 可将不一样底的对数换为同底的对数 (括号前为底数，括号内为真数)如：log3(5)=lg5/lg3 (换为经常会用到对数)log3(5)=ln5/ln3 (换为自然对
数)log8(9)=log5(9)/log5(8) (换为任意数为底的对数，可将5换为任意正数)期望对你有很大帮助
log以a为底b的对数-loga(b）-=logc(b)/logc(a)也可写
lg(b)]/lg(a)其实就是常说的log以10为底b的对数。
换底公式是高中数学经常会用到对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。
计算中经常会减少计算的难度，更快速的处理高中范围的对数运算。
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。
/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
换底公式
还可以变形,得
② log x y log y z log x z
公式的运用： 利用换底公式统一对数底数，即“化异为同” 是解决有关对数问题的基本思想方法；
log 8 9 log 27 32
log c b log a b log c a
n
(a, c (0,1) (1,), b 0) a, b (0,1) (1,)
n log am b log a b m log a b log b a 1
例三、设 求证：
3x 4 y 6 z t 1
2 10 lg
9 5
2+ ຫໍສະໝຸດ g 2 lg10 2+ lg 2
= ( 1 －lg 2 ) 2 + lg 2 ( 1 －lg 2 ) + lg 2 = 1 －2lg 2 + lg 2 2 + lg 2 －lg 2 2 + lg 2 =1
2、已知 lg x + lg y = 2lg ( x －2y )，求 log
3)x 2 3
3或( 2
∴ x = 1 或 x = －1 故方程的解为 x = 1 或 x = －1.
，一定要求
log 18 2 1 a
log18 45 log18 9 log18 5 a b log 36 45 log18 36 1 log18 2 2a
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问 题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起 了重要作用，在解题过程中应注意： （1）针对具体问题，选择好底数； （2）注意换底公式与对数运算法则结合使用； （3）换底公式的正用与逆用；
对数换底公式推导过程及总结
对数换底公式推导过程及总结
对数换底公式是解决不同底数下对数之间的转换问题的公式。
在数学中，对数换底公式是一个非常重要且常用的公式，它可以简化对数计算的过程，提高计算的效率。
下面我们将介绍对数换底公式的推导过程及总结。
对数换底公式的推导过程如下：
假设a、b为任意的正数且a≠1，我们需要推导loga(b)和logc(b)之间的关系，其中c是任意的正数且c≠1。
首先，我们知道对数的定义：loga(b)表示以a为底，b的对数。
所以有以下等式：
b = a^(loga(b))
接着，我们将b表示为以c为底的对数，即：
b = c^(logc(b))
将上面两个等式相等，得到：
a^(loga(b)) = c^(logc(b))
两边取对数，分别以a和c为底，得到：
loga(b) * loga(a) = logc(b) * logc(c)
由对数的定义可知，loga(a) = 1，logc(c) = 1，所以上式化简为：
loga(b) = logc(b) / logc(a)
这就是对数换底公式的推导过程。
总结一下对数换底公式：
对数换底公式的表达式为：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a、b为任意的正数，a≠1，c为任意的正数，c≠1。
对数换底公式的应用非常广泛，可以简化对数计算的过程，特别是在解决实际
问题或进行数学推导时，对数换底公式可以大大简化计算的复杂度，提高计算的效率。
通过对数换底公式的推导过程和总结，我们更深入地理解了对数的性质和应用，也为我们在数学计算中更灵活地运用对数提供了有力的工具和方法。
希望以上内容对您有所帮助。
对数函数的换底公式
对数函数的换底公式对数函数是高中数学中一个极为重要的概念。
它在代数、微积分、统计学等多个数学领域都有广泛的应用。
而换底公式则是对数函数的基本技巧之一，它可以将不同底数的对数互相转换。
在本文中，我们将详细解释对数函数的换底公式，探讨它的本质和应用。
一、对数函数的定义对数函数是指以某个正数作为底数，把另一个正数表示为指数的函数。
例如，以2为底数的对数函数，即为log2(x)，表示x可以表示成2的多少次方。
对数函数与指数函数是互逆的，即x=ay当且仅当y=loga(x)。
二、对数函数的换底公式在数值计算中，往往需要将不同底数的对数进行比较或者运算，这就需要用到换底公式。
对于任何正数a,b,c(a≠1,b≠1)，下面的式子成立：loga(b) = logc(b) / logc(a)这个式子就是对数函数的换底公式。
它的意思是，如果要把以底数c表示的对数logc(b)转换成底数a，就可以用logc(a)作为“比例系数”，乘以logc(b)即可。
例如，要求log2(5)的值，但是我们只知道以10为底的log10(2)和log10(5)的值。
那么根据换底公式，可以得到：log2(5) = log10(5) / log10(2)由于log10(5)和log10(2)可以通过计算器或者查表得到，因此可以通过以上公式求出log2(5)的值。
三、换底公式的证明换底公式背后的数学原理，涉及到对数函数的基本性质和指数函数的运算法则。
下面是换底公式的一个简单证明：首先，不难证明对数函数满足以下的基本性质：1. 对于任何正数a,b(a≠1)，loga(ab) = loga(a) + loga(b)2. 对于任何正数a,b,c(a≠1,b≠1)，loga(b/c) = loga(b) - loga(c)接下来，假设要将logc(b)转换为loga(b)。
可以先将c的指数表示为以a为底的指数，即：c = a^p则有：loga(c) = p也就是说，loga(c)和p之间的关系可以用指数函数表示。
高一数学对数的换底公式及其推论
复习
对数的运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
对数换底公式
logm N loga N logm a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 如何证明呢?
两个推论:
设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
n 2) log am b log a b m
n
你能证明吗?
例题与练习
马王堆汉墓的年代.
作业：课本P75的11,12
补充：1．求值：
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2 ,求m
3．若log
8
3=p,
log
3
5=q ,
用p,q表示 lg 5
； https:///brands/4003.html 新加坡妈妈烤包 新加坡妈妈烤包加盟；
例1、计算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 34 Nhomakorabea2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论（最新版）目录1.引言：介绍换底公式及其重要性2.推论 1：简化对数运算3.推论 2：计算高次幂4.推论 3：求极限5.推论 4：解方程6.推论 5：证明数学定理7.推论 6：与其他数学领域的联系8.结论：总结换底公式及其推论的重要性正文换底公式是数学中一种重要的公式，它在微积分、代数、概率论等数学领域都有着广泛的应用。
本文将介绍换底公式的六个推论，这些推论不仅简化了数学运算，还为我们解决复杂数学问题提供了便利。
推论 1：简化对数运算。
利用换底公式，我们可以将不同底数的对数相互转换，从而简化对数运算。
例如，自然对数和常用对数之间的转换，使得我们可以更方便地处理实际问题。
推论 2：计算高次幂。
换底公式可以帮助我们计算一个数的高次幂，这在代数中是非常有用的。
例如，当我们需要计算 (a^b)^c 时，可以通过换底公式将其转换为 a^(bc) 的形式，从而简化计算。
推论 3：求极限。
在求极限的过程中，我们可以利用换底公式将复杂的极限形式转换为简单的形式，便于求解。
例如，利用换底公式可以将极限 lim(x->0) (sinx/x) 转换为 1，从而求得极限值。
推论 4：解方程。
换底公式在解方程方面也有着一定的应用。
通过运用换底公式，我们可以将方程中的对数项转换为更容易处理的形式，从而更容易求解方程。
推论 5：证明数学定理。
换底公式在证明数学定理时也发挥着重要作用。
通过运用换底公式，我们可以将复杂的数学式子转换为更简单的形式，从而更容易证明定理的正确性。
推论 6：与其他数学领域的联系。
换底公式不仅在纯数学中有着广泛的应用，还与其他数学领域如概率论、统计学、微积分等有着密切的联系。
例如，在概率论中，我们可以利用换底公式计算事件的概率；在统计学中，我们可以利用换底公式计算平均数、方差等统计量；在微积分中，我们可以利用换底公式计算定积分等。
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论（实用版）目录1.换底公式的定义和基本概念2.推论 1：对数函数的性质3.推论 2：指数函数的性质4.推论 3：三角函数的性质5.推论 4：反三角函数的性质6.推论 5：复合函数的性质7.推论 6：极限和微积分的性质正文换底公式是数学中一种重要的公式，它用于将一个函数的底数（或指数）替换为另一个底数（或指数）。
这种替换可以带来许多方便，使得一些复杂的数学问题变得容易解决。
下面我们将介绍换底公式的六个推论。
首先，我们需要了解换底公式的基本概念。
换底公式是指，如果两个函数的底数相同，那么它们的指数可以互相替换。
例如，如果 y = log2(x)，那么我们可以将底数 2 换成其他数，如 3 或 4，得到新的函数。
推论 1：对数函数的性质。
对数函数是一种常见的数学函数，它的底数通常为正数。
通过对数函数的换底公式，我们可以将一个对数函数转换为另一个对数函数，从而使得问题变得更容易解决。
推论 2：指数函数的性质。
指数函数是另一种常见的数学函数，它的底数通常为正数。
通过指数函数的换底公式，我们可以将一个指数函数转换为另一个指数函数，从而使得问题变得更容易解决。
推论 3：三角函数的性质。
三角函数是数学中一种重要的函数，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
通过三角函数的换底公式，我们可以将一个三角函数转换为另一个三角函数，从而使得问题变得更容易解决。
推论 4：反三角函数的性质。
反三角函数是三角函数的逆函数，它包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
通过反三角函数的换底公式，我们可以将一个反三角函数转换为另一个反三角函数，从而使得问题变得更容易解决。
推论 5：复合函数的性质。
复合函数是指两个函数的组合，它通常具有复杂的性质。
通过复合函数的换底公式，我们可以将一个复合函数转换为另一个复合函数，从而使得问题变得更容易解决。
推论 6：极限和微积分的性质。
极限和微积分是数学中重要的概念，它们在许多数学问题中都有重要的应用。
换底公式的推导
换底公式的推导换底公式是高中数学中经常用到的一种公式，它用于求对数的值。
换底公式的推导涉及到对数的性质和一些基本的数学知识，下面是根据数学基础知识，对换底公式的推导进行一些详细的解释。
一、对数的定义和性质1.1 对数的定义在数学中，对数是指一个数在指定底数下，所得的幂次就是这个数的对数。
设a>0且不等于1，b>0，且x是任意正数，则有：a^x=b⇔log_a b=x其中，a称为底数，b称为真数，x称为对数。
1.2 对数的基本性质根据对数定义，我们可以得到对数的一些基本性质，如下：(1)对数的底数不变时，对数随着真数的变化而变化。
(2)对数的真数不变时，对数随着底数的变化而变化。
(3)对于任意a>0且不等于1，都有log_a 1=0，因为任何数的a次幂等于1。
(4)对于任意a>0且不等于1，都有log_a a=1，因为任何数的1次幂等于它本身。
二、换底公式的推导根据对数的定义和基本性质，我们可以考虑如何推导出换底公式。
2.1 公式的引入在算数中，乘法和除法有着相互逆的关系，即a×b除以a就等于b。
对数的乘法和除法也有类似的关系。
我们假设log_a b=x，log_a c=y，对于任意的a>0且不等于1，b>0，c>0，x，y∈R，那么有：(a^x)×(a^y)=b×c对上式两边同时取以a为底的对数，我们可以得到：log_a [(a^x)×(a^y)]=log_a (b×c)根据对数的运算法则，左边的式子可以简化为：log_a (a^(x+y))=log_a (b×c)因为a和b是任意给定的实数，所以我们可以假设log_a (b×c)的值为z，即：z=log_a (b×c)那么我们就可以将原式转化为：log_a (a^(x+y))=z根据对数和指数的定义，上式可以变为：a^(x+y)=a^z2.2 公式的推导为了推导出换底公式，我们需要将z表示为log_c b的形式。
4.2 换底公式
1.掌握对数的换底公式.（重点） 2.会利用对数的换底公式进行化简、求值. （难点、易混点）
探究一:对数的换底公式的推导
要计算log2 15,必须将它换成对数或自然对数，怎么办？
设 x log 2 15, 写成指数式，得 2x =15
两边 取常用对数 ,得lg 2x lg15
所以 x lg15 lg 2
4.2 换底公式
积、商、幂对数的运算法则 如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
(2) log a Mn n log a M(n R)；
(3)
loga
M N
=
log a M -
log a N.
底数都 相同
问题1: 使用对数的运算法则 运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 科学计算器通常只能 对常用对数或自然对数进行 计算，怎么计算log215？
1.（log29）•（log34）=（ D ）
A ．1
B ．1
C ．2
D．4
4
2
【解析】选D（. log2 9）（ log3 4）
lg9 lg2
lg4 lg3
2lg3 lg2
2lg2 lg3
4．
不同底数的对数运算 要考虑换底公式
2．Lg16＋4lg5 的值为( D )
A．－4
B．－1
换底公式 重要推论
loga b logb a 1
(a,b 0,a,b 1, N 0)
logb
N
loga loga
N b
log a
换底公式操军华
对数换底公式
景德镇一中 操军华
可否利用计算器求出log 2 15 的值呢？
我们可设log 2 15 x ， 从而有
2 15
x
对上式两边同取以10为底的对数可得
2 log 8 9 log 27 32
例2
用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：
log 2 48 ； log 3 10 ;
log 8 ;
=
lg 48 lg 2
1.7 0.3
lg 10 lg 3
lg
log 5 50
;
log 1.082 2
lg 8
0.5 0.9
1 0.48
log 10 2 log 10 15， 即
x
lg 2 lg 15 x lg 2 lg 15 lg 15 lg 15 x ， 即 log 2 15 lg 2 lg 2
x
x log 2 15
lg 15
Page 2
3.91.
lg 2
由
log 2 15
lg 15 lg 2
y
描点画出函数图像
从图中观察,y=0.5时对应的 x=4
Page 11
0.6
0.4
0.2 O 1 2 34 5 6 x
例4：一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一 年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物 质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).
方法二 依题意得0.84x=0.5,用科学计算器计算得
初二年级数学公式：换底公式
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是为⼤家带来的初⼆年级数学公式：换底公式，欢迎⼤家阅读。
换底公式是⼀个⽐较重要的公式，在很多对数的计算中都要使⽤，也是⾼中数学的重点。
另有两个推论。
loga(b)表⽰以a为底的b的对数。
换底公式就是log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均⼤于零且不等于1)推导过程若有对数log(a)(b)设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)如：log(10)(5)=log(5)(5)/log(5)(10)则 log(a)(b)=log(n^x)(n^y)根据对数的基本公式log(a)(M^n)=nloga(M)和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M易得log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/x log(n)(n)=y/x由 a=n^x,b=n^y可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)例⼦：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1公式⼆：log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下：由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1。
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换底公式的五个推论及其证明
换底公式是指在对数运算中，当底数不一致时如何转化为同一底数进行计算。
它有五个常用的推论，分别是：
推论一：对数的乘法规则
对数的乘法规则是指loga(M×N) = loga(M) + loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。
该公式表明，两个正数的乘积的对数等于这两个正数的对数之和。
推论二：对数的除法规则
对数的除法规则是指loga(M÷N) = loga(M) - loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。
该公式表明，两个正数的商的对数等于这两个正数的对数之差。
推论三：对数的幂次规则
对数的幂次规则是指loga(M^k) = k*loga(M)，其中a表示底数，M 表示正数，k表示任意实数。
该公式表明，一个正数的幂的对数等于这个正数的对数乘以幂。
推论四：对数函数的换底公式
对数函数的换底公式是指loga(M) = (logb(M))/(logb(a))，其中a 和b分别表示底数，M表示正数。
该公式表明，如果要求一些正数的以a 为底的对数，可以将其转化为以b为底的对数进行计算，其中b可以是任意一个正数。
推论五：自然对数的换底公式
自然对数的换底公式是指ln(M) = (loge(M))/(loge(a))，其中M表示正数，e表示自然对数的底数。
该公式表明，如果要求一些正数的自然对数，可以将其转化为以任意一个底数a为底的对数进行计算。
下面对这五个推论进行证明：
证明推论一：
假设loga(M×N) = x，根据对数的定义可得a^x = M×N。
又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。
同理，假设loga(N) = z，根据对数的定义可得a^z = N。
将上述三式相乘可得(a^y)(a^z)=M×N，即a^(y+z)=M×N。
由指数运算的性质可知，a^(y+z)=a^x，因此得到x=y+z。
即loga(M×N) = loga(M) + loga(N)，推论一得证。
证明推论二：
假设loga(M÷N) = x，根据对数的定义可得a^x = M÷N。
又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。
同理，假设loga(N) = z，根据对数的定义可得a^z = N。
将上述三式相除可得(a^y)/(a^z)=M÷N，即a^(y-z)=M÷N。
由指数运算的性质可知，a^(y-z)=a^x，因此得到x=y-z。
即loga(M÷N) = loga(M) - loga(N)，推论二得证。
证明推论三：
假设loga(M^k) = x，根据对数的定义可得a^x = M^k。
又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。
将上述两式相乘可得(a^y)^k = M^k，即a^(yk) = M^k。
由指数运算的性质可知，a^(yk) = a^x，因此得到x = yk。
即loga(M^k) = k*loga(M)，推论三得证。
证明推论四：
假设loga(M) = x，根据对数的定义可得a^x = M。
又假设logb(M) = y，根据对数的定义可得b^y = M。
将上述两式同时取以b为底的对数得到logb(a^x) = logb(M)。
根据推论一可知logb(a^x) = xlogb(a)，将其代入上式得到xlogb(a) = y。
将上述等式移项可得x = y/logb(a)。
即loga(M) = (logb(M))/(logb(a))，推论四得证。
证明推论五：
假设ln(M) = x，根据自然对数的定义可得e^x = M。
又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。
根据推论四可得loga(M) = (log10(M))/(log10(a))。
由换底公式可知log10(a) = ln(a)/ln(10)，将其代入上式得到
y = (log10(M))/(log10(a)) = (ln(M))/(ln(a))。
即ln(M) = (loge(M))/(loge(a))，推论五得证。
综上所述，推论一至五的证明完成。