2022年陕西省咸阳市高考(理科)数学三模试卷(Word版 含解析)

2022年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设（1+i ）x ＝1+yi ，其中x ，y 是实数，则|x +yi |＝（ ） A ．1
B ．√2
C ．√3
D ．2
2．已知命题p ：∀x ∈R ，e x ＞0，命题q ：∃x 0∈（0，1），log 12
(x 0+1)＞0，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p ∧（￢q ）
B ．（￢p ）∨q
C ．（￢p ）∧（￢q ）
D ．（￢p ）∧q
3．已知正项等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝4a 3，则a 6＝（ ） A ．16
B ．32
C ．64
D ．﹣32
4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为23
，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ） A ．2
3
B ．
1112
C ．3
4
D ．8
9
5．素数也叫质数，部分素数可写成“2n ﹣1”的形式（n 是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n ﹣1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423﹣1，第19个梅森素数为Q ＝24253﹣1，则下列各数中与P
Q 最接近的数为（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）
A ．1045
B ．1051
C ．1056
D ．1059
6．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，点P 到点（0，√3）的距离与P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．1
B ．√3
C ．2
D ．1+√3
7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线
y 2a 2
−
x 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，
离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±√3x B．y＝±√3
3
x C．y＝±x D．y＝±2x
8．已知sin(α−π
3
)=−3cos(α−π6)，则tan2α＝（）
A．−4√3B．−√3
2C．4√3D．√
3
2
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）
A．0B．1C．2D．4
10．设(5x−√x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N＝240，则展开式中x3的系数为（）
A．﹣150B．150C．﹣500D．500
11．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（）
A．(√5+1)πB．(1+2√5)πC．(√5+2)πD．(2+2√5)π12．已知定义在R上的可导函数f（x），对∀x∈R，都有f（﹣x）＝e2x f（x），当x＞0时，f（x）+f'（x）＜0，若e2a﹣1f（2a﹣1）≤e a+1f（a+1），则实数a的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．[﹣1，2]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a→=(1，2)，b→=(3，m)，且a→⊥(2a→−b→)，则|a→−2b→|=．
14．观察下列不等式
1+1
22
＜
3
2
1+1
22
+1
32
＜
5
3
1+1
22
+1
32
+1
42
＜
7
4，…
照此规律，第n个不等式为．
15．已知数列{a n}的前n项和S n=n2，则数列{1
a n a n+1
}的前2022项和为．16．已知集合M0＝{x|0＜x＜1}，给定一个函数y＝f（x），定义集合M n＝{y|y＝f（x），x∈M n ﹣1
}，若M n∩M n﹣1＝∅对任意的n＝N*成立，则称该函数y＝f（x）具有性质“&”．（1）写出一个具有性质“&”的一次函数：；
（2）给出下列函数①y=1
x，②
y＝x2+1，③y=cos
π
2
x+2，其中具有性质“&”的函数
的序号是：（写出所有正确答案的序号）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答：第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知函数f(x)=√3sin x
2
cos x2−cos2x2+12．
（Ⅰ）求f （x ）的单调增区间；
（Ⅱ）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f(A)=1
2，a =√3，求△ABC
外接圆的面积．
18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，△PBC 是边长为√2的等边三角形，BD ＝PD ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）设E 是BP 的中点，求AB 和平面DAE 所成角的余弦值．
19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占3
5，统计后得到如下2×2列联表：
销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计 线上销售时间不少于8小
时
17
20
线上销售时间不足8小时
合计
45
（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？
（Ⅱ）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：
P （K 2≥k 0）
0.050 0.010 0.001 k 0
3.841
6.635
10.828
参考公式：K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n ＝a +b +c +d ． 20．已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段
OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为√3的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 方程；
（Ⅱ）设圆心为原点，半径为√a 2+b 2的圆是椭圆C 的“基圆”，点P 是椭圆C 的“基圆”上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点．试判断l 1，l 2是否垂直？并说明理由．
21．设函数f （x ）＝x 2+mln （x +1）（m ∈R ）．
（Ⅰ）若m ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f （x ）在区间（0，1）上存在唯一零点，求实数m 的取值范围． （二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心C （1，2），半径为2，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是θ=π
4（ρ∈R ）． （Ⅰ）求⊙C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与⊙C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． [选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣|x +3|． （Ⅰ）求不等式f （x ）≤2的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤|2a +1|恒成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设（1+i ）x ＝1+yi ，其中x ，y 是实数，则|x +yi |＝（ ） A ．1
B ．√2
C ．√3
D ．2
【分析】根据复数相等求出x ，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可． 解：∵（1+i ）x ＝1+yi ， ∴x +xi ＝1+yi ，
即{x =1y =x ，解得{x =1y =1，即|x +yi |＝|1+i |=√2， 故选：B ．
2．已知命题p ：∀x ∈R ，e x ＞0，命题q ：∃x 0∈（0，1），log 12
(x 0+1)＞0，则下列命题中为
真命题的是（ ） A ．p ∧（￢q ）
B ．（￢p ）∨q
C ．（￢p ）∧（￢q ）
D ．（￢p ）∧q
【分析】根据题意，分析命题p 、q 的真假，进而由复合命题的真假分析选项，即可得答案．
解：根据题意，对于p ，y ＝e x 是指数函数，∀x ∈R ，总有e x ＞0，p 是真命题；
对于q ，函数y =log 12
（x +1）为减函数，∀x ∈（0，1），都有x +1∈（1，2），必有log 12
（x +1）
＜log 12
1＝0，q 是假命题；
则p ∧（￢q ）是真命题， 故选：A ．
3．已知正项等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝4a 3，则a 6＝（ ） A ．16
B ．32
C ．64
D ．﹣32
【分析】由已知结合等比数列的性质先求出q ，然后结合等比数列的通项公式求解． 解：因为正项等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝4a 3，
所以q 2=a
5
a 3
=4，所以q ＝2，
则a 6=a 2⋅q 4=2×25＝32． 故选：B ．
4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为2
3
，假设甲、
乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ） A ．2
3
B ．
1112
C ．3
4
D ．8
9
【分析】可知患者通过飞沫传播不被感染的概率为13
，再利用对立事件求概率． 解：∵患者通过飞沫传播被感染的概率为2
3，
∴患者通过飞沫传播不被感染的概率为1
3
，
∴甲、乙两患者都不是通过飞沫传播被感染的概率为13
×
13
=1
9，
故甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为1−1
9=8
9；
故选：D ．
5．素数也叫质数，部分素数可写成“2n ﹣1”的形式（n 是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n ﹣1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423﹣1，第19个梅森素数为Q ＝24253﹣1，则下列各数中与P
Q 最接近的数为（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）
A ．1045
B ．1051
C ．1056
D ．1059
【分析】由P Q
=
24423−124253−1
≈2170，令2170＝k ，化指数式为对数式求解．
解：
P
Q
=
24423−124253−1
≈2170．
令2170＝k ，则lg 2170＝lgk ， ∴170lg 2＝lgk ， 又lg 2≈0.3，∴51＝lgk ， 即k ＝1051，
∴与P
Q 最接近的数为1051．
故选：B ．
6．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，点P 到点（0，√3）的距离与P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．1
B ．√3
C ．2
D ．1+√3
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化列出方程，然后求解最值即可． 解：抛物线y 2＝4x ，抛物线的焦点坐标（1，0）．
依题点P 到点A （0，√3）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值， 就是P 到（0，√3）与P 到该抛物线准线的距离的和减去1．
由抛物线的定义，可得则点P 到点A （0，√3）的距离与P 到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，
可得：√(0−1)2+(√3−0)2−1＝1． 故选：A ．
7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线
y 2a 2
−
x 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，
离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y ＝±√3x
B ．y ＝±√3
3
x
C ．y ＝±x
D ．y ＝±2x
【分析】利用已知条件求出方程组，得到a ，b ，c ，即可求解双曲线的渐近线方程． 解：双曲线
y 2a 2
−
x 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的
距离为2，离心率为2，
可得：
{
c
a =2bc
√a 2+b =2c 2=a 2+b 2，解得a =2√33，c =4√33，b ＝2， 所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±a
b
x ＝±√3
3
x ．
故选：B ．
8．已知sin(α−π
3)
=−3cos(α−π
6)，则tan2α＝（ ）
A ．−4√3
B ．−√
32
C ．4√3
D ．√3
2
【分析】由题意利用两角和差的三角公式求得tan α的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．
解：∵已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，即 12
sin α−√32
cos α＝﹣3（√3
2
cos α+12
sin α），
化简可得2sin α=−√3cos α，
求得tan α=sinαcosα=−√
32
，
则tan2α=
2tanα
1−tan 2α
=−4√3，
故选：A ．
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
【分析】模拟程序的运行，分类讨论，即可求解．
解：当条件x ≥0，y ≥0，x +y ≤2不成立时，输出S 的值为1； 当条件x ≥0，y ≥0，x +y ≤2成立时，S ＝2x +y ，
不等式组{y ≥0x≥0
x +y ≤2，表示的平面区域如图中阴影部分（含边界），
由图可知当直线S ＝2x +y 经过点M （2，0）时S 最大， 其最大值为2×2+0＝4， 故输出S 的最大值为4． 故选：D ．
10．设(5x−√x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N＝240，则展开式中x3的系数为（）
A．﹣150B．150C．﹣500D．500
【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得系数．
解：(5x−√x)n中，令x＝1得展开式的各项系数之和M＝4n
根据二项式系数和公式得二项式系数之和N＝2n
∵M﹣N＝240
∴4n﹣2n＝240解得n＝4
∴(5x−√x)n=(5x−√x)4的展开式的通项为T r+1=C4r(5X)4−r(−√x)r=
(−1)r54−r C4r x4−r 2
令4−r
2
=3得r＝2
故展开式中x3的系数为52C42＝150
故选：B．
11．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（）
A．(√5+1)πB．(1+2√5)πC．(√5+2)πD．(2+2√5)π
【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是具有公共顶点的两个圆锥，圆锥的底面半径都是1，高均为2，再由圆锥的表面积公式求解．
解：由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体是具有公共顶点的两个圆锥，圆锥的底面半径都是1，高均为2，
则该几何体的表面积为2π×12+2π×1×√22+12=2(√5+1)π．
故选：D．
12．已知定义在R上的可导函数f（x），对∀x∈R，都有f（﹣x）＝e2x f（x），当x＞0时，f（x）+f'（x）＜0，若e2a﹣1f（2a﹣1）≤e a+1f（a+1），则实数a的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．[﹣1，2]
【分析】令g（x）＝e x f（x），判断g（x）的单调性和奇偶性，根据e2a﹣1f（2a﹣1）≤
e a+1f（a+1），得到g（2a﹣1）≤g（a+1），再求出a的取值范围．
解：令g（x）＝e x f（x），则当x＞0时，g'（x）＝e x[f（x）+f'（x）]＜0，
所以g（x）＝e x f（x）在区间（0，+∞）单调递减，
又g（﹣x）＝e﹣x f（﹣x）＝e﹣x（e2x f（x））＝e x f（x）＝g（x），
所以g（x）为偶函数，且在区间（﹣∞，0）单调递增，
又e2a﹣1f（2a﹣1）≤e a+1f（a+1），即g（2a﹣1）≤g（a+1），
所以|2a﹣1|≥|a+1|，即（2a﹣1）2≥（a+1）2，解得a≤0或a≥2，
所以a的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a→=(1，2)，b→=(3，m)，且a→⊥(2a→−b→)，则|a→−2b→|=5√2．【分析】根据题意，求出2a→−b→的坐标，由数量积的坐标计算公式可关于m的方程，解
可得m 的值，即可得b →
的坐标，进而可得a →
−2b →
的坐标，由此计算可得答案． 解：根据题意，向量a →
=(1，2)，b →
=(3，m)，则2a →−b →
=（﹣1，4﹣m ），
若a →⊥(2a →−b →
)，则a →
•（2a →−b →
）＝﹣1+2（4﹣m ）＝0，解可得m =7
2
，
则a →
−2b →
=（﹣5，5）， 故|a →
−2b →
|=√25+25=5√2； 故答案为：5√2． 14．观察下列不等式 1+12
2＜32 1+122+13
2＜53 1+
122+132+14
2＜7
4，… 照此规律，第n 个不等式为 1+
122+⋯+1(n+1)
2＜2n+1
n+1 ． 【分析】依题意观察不等式的左边的变化是一个数列{1
n
2}的求和形式．最后一项是
1(n+1)
2．不等式的右边是
2n+1n+1
的形式，进而得到答案．
解：由已知中不等式： 1+12
2＜32 1+122+13
2＜53 1+
122+132+14
2＜7
4，… 依题意观察不等式的左边的变化是一个数列{1
n 2
}的求和形式． 最后一项是
1(n+1)2
．
不等式的右边是
2n+1n+1
的形式．
所以第n 个式子应该是1+122+⋯+1(n+1)
2＜2n+1n+1． 故答案为1+
122+⋯+1(n+1)
2＜2n+1
n+1． 15．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2，则数列{1
a n a n+1}的前2022项和为 2022
4045
．
【分析】由a n ＝S n ﹣S n ﹣1求得a n ＝2n ﹣1，再由裂项相消法即可求出． 解：因为S n =n 2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，
当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1，满足a 1＝1， 所以a n ＝2n ﹣1， 所以
1a n a n+1
=
1
(2n−1)(2n+1)
=
1
2(
1
2n−1
−
12n+1
)，
所以数列{1
a n a n+1}的前2022项和为1
2(1−1
3+1
3−1
5+1
5−1
7+⋯+1
4043−1
4045
)=20224045
，
故答案为：20224045
．
16．已知集合M 0＝{x |0＜x ＜1}，给定一个函数y ＝f （x ），定义集合M n ＝{y |y ＝f （x ），x ∈M n
﹣1
}，若M n ∩M n ﹣1＝∅对任意的n ＝N *成立，则称该函数y ＝f （x ）具有性质“&”．
（1）写出一个具有性质“&”的一次函数： y ＝x +1（答案不唯一） ；
（2）给出下列函数①y =1x
，②y ＝x 2+1，③y =cos π
2x +2，其中具有性质“&”的函数的序号是： ①② （写出所有正确答案的序号）
【分析】（1）可取y ＝x +1，由集合的运算和函数的值域求法，结合新定义可判断； （2）分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断．
解：（1）可取y ＝x +1，
由M 0＝{x |0＜x ＜1}，M n ＝{y |y ＝f （x ），x ∈M n ﹣1}， 可得M 1＝{y |1＜y ＜2}，M 2＝{y |2＜y ＜3}， …，M n ﹣1＝{y |n ﹣1＜y ＜n }，M n ＝{y |n ＜y ＜n +1}， 满足M n ∩M n ﹣1＝∅对任意的n ∈N *成立；
（2）①y =1
x
，由M 0＝{x |0＜x ＜1}，M n ＝{y |y ＝f （x ），x ∈M n ﹣1}，
可得M 1＝{y |y ＞1}，M 2＝{y |0＜y ＜1}，M 3＝{y |y ＞1}，M 4＝{y |0＜y ＜1}，…， 满足M n ∩M n ﹣1＝∅对任意的n ∈N *成立，故①具有性质“&”； ②y ＝x 2+1，由M 0＝{x |0＜x ＜1}，M n ＝{y |y ＝f （x ），x ∈M n ﹣1}， 可得M 1＝{y |1＜y ＜2}，M 2＝{y |2＜y ＜5}，M 3＝{y |5＜y ＜26}，…， 满足M n ∩M n ﹣1＝∅对任意的n ∈N *成立，故②具有性质“&”；
③y ＝cos π
2
x +2，由M 0＝{x |0＜x ＜1}，M n ＝{y |y ＝f （x ），x ∈M n ﹣1}，
可得M 1＝{y |2＜y ＜3}，M 2＝{y |1＜y ＜2}，M 3＝{y |1＜y ＜2}，…， 不满足M n ∩M n ﹣1＝∅对任意的n ∈N *成立，故③不具有性质“&”． 故答案为：y ＝x +1（答案不唯一）；①②．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答：第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知函数f(x)=√3sin x 2
cos x 2
−cos 2x 2
+12
．
（Ⅰ）求f （x ）的单调增区间；
（Ⅱ）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f(A)=1
2，a =√3，求△ABC
外接圆的面积．
【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可求f(A)=sin(A −π6)=12，结合范围0＜A ＜π，可求A =π
3，进
而根据正弦定理可求△ABC 的外接圆半径，即可求解△ABC 的外接圆的面积．
解：（Ⅰ）f(x)=√3sin x 2cos x 2−cos 2x 2+12=√
32sinx −12cosx =sin(x −π6
)，
令−π2+2kπ≤x −π6≤π
2+2kπ(k ∈Z)， 解得−π3+2kπ≤x ≤2
3
π+2kπ(k ∈Z)，
故函数f （x ）的单调递增区间为[−π
3+2kπ，23
π+2kπ](k ∈Z)． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=sin(x −π6)，则f(A)=sin(A −π6)=1
2，
又0＜A ＜π， 故A =π
3．
设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得，2R =a
sinA =√3
sin π3
=2，
∴R ＝1，故△ABC 的外接圆的面积为S ＝π．
18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，△PBC 是边长为√2的等边三角形，BD ＝PD ．
（Ⅰ）证明：AB ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）设E 是BP 的中点，求AB 和平面DAE 所成角的余弦值．
【分析】（I ）通过线线垂直证明线面垂直；
（II ）以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，利用向量法求AB 和平面DAE 所成角的余弦值． 解：（Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BD 、CD ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥BD ，PD ⊥CD ，在Rt △PBD 中，PB =√2，∴BD ＝PD ＝1， 在Rt △PCD 中，可得CD ＝1，于是BD 2+DC 2＝BC 2，可得BD ⊥DC ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，从而AB ⊥BD ， 由于PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AB ， 又PD ∩BD ＝D ，∴AB ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BD ⊥DC ，又PD ⊥平面ABCD ，
故以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，
则D （0，0，0），A （1，﹣1，0），B （1，0，0），P （0，0，1），∵E 是BP 的中点，∴E(12，0，1
2
)，
则AB →
=(0，1，0)，DA →
=(1，−1，0)，DE →
=(12，0，1
2)，
设平面DAE 的法向量n →
=(x ，y ，z)．则 {n →
⋅DA →
=x −y =0
n →⋅DE →=12
x +1
2
z =0
， 取x ＝2，可得n →
=(2，2，−2)，则cos〈AB →
，n →
〉=AB →⋅n
→
|AB →
||n →
|
=
2
1×√12
=√33，
故AB 和平面DAE 所成角的余弦值为√6
3．
19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占3
5，统计后得到如下2×2列联表：
销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计 线上销售时间不少于8小
时
17
20
线上销售时间不足8小时
合计
45
（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？
（Ⅱ）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：
P （K 2≥k 0）
0.050 0.010 0.001 k 0
3.841
6.635
10.828
参考公式：K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n ＝a +b +c +d ．
【分析】（Ⅰ）由题意得出2×2列联表，利用公式求得K 2＝9.375＞6.635，结合附表，即可得出结论．
（Ⅱ）求出样本容量与总体容量之比，进而求出销售额不少于30万元、销售额不足
30
万元的企业中应分别抽取的企业个数，得出X 的所有可能取值，求出相应的概率，得出X 的分布列，利用期望公式求出E （X ）即可． 解：（Ⅰ）由题意可得下面的2×2列联表：
销售额不少于30万元 销售额不足30万
元
合计
线上销售时间不少于8小
时
17 3 20
线上销售时间不足8小时
10 15 25 合计
27
18
45
根据上面的列联表得K 2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=45×(17×15−10×3)2
20×25×27×18
=9.375＞6.635，
故有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关． （Ⅱ）企业总数为45，样本容量与总体容量之比为
545
=1
9
，
∴从销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数为3、2， 则随机变量X 的可能取值为0，1，2，
P(X =0)=C 15
2C 182=3551，P(X =1)=C 31C 151
C 18
2=5
17，P(X =2)=C 32
C 182=151，
∴X 的分布列为：
X 0
1
2
P
3551
5
17
151
数学期望E(X)=0×3551+1×517+2×151=1
3． 20．已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段
OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为√3的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 方程；
（Ⅱ）设圆心为原点，半径为√a 2+b 2的圆是椭圆C 的“基圆”，点P 是椭圆C 的“基圆”上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点．试判断l 1，l 2是否垂直？并说明理由．
【分析】（Ⅰ）由△AB 1B 2是面积为√3的正三角形求得a ，b ，c 得椭圆方程；
（Ⅱ）设P （x 0，y 0）是“基圆”上任意一点，切线斜率存在时，设经过P 与椭圆相切的直线方程为y ＝kx +m ，其中m ＝y 0﹣kx 0，由直线与椭圆相切，判别式Δ＝0得出k ，m 关系，把m ＝y 0﹣kx 0代入，利用过韦达定理得k 1k 2＝﹣1，证得垂直，再确定切线斜率不存在时，切线也相互垂直，从而完成证明． 解：（Ⅰ）{S △AB 1B 2=
√34c 2
=√3b =csin60°
a 2=
b 2+
c 2
⇒{a =√7，
b =√3，
c =2．
∴椭圆C 方程为：
x 27
+
y 23
=1．
（Ⅱ）设P （x 0，y 0）是“基圆”上任意一点，则x 02+y 02
=a 2+b 2=10，
①当经过P 与椭圆相切的直线斜率存在时，
设经过P 与椭圆相切的直线方程为y ＝kx +m ，其中m ＝y 0﹣kx 0， {y =kx +m ，x 27
+y 23
=1，
⇒（7k 2+3）x 2+14kmx +7m 2﹣21＝0，
由Δ＝0得7k 2﹣m 2+3＝0，
将m ＝y 0﹣kx 0代入上式可得(7−x 02)k 2+2x 0y 0k +(3−y 02
)=0，
所以k 1k 2=3−y 027−x 02=x 02−77−x 0
2=−1，∴l 1⊥l 2． ②当经过P 与椭圆相切的直线斜率不存在时，
此时P 的坐标为(±√7，±√3)，例如过(√7，√3)的切线方程是x =√7，y =√3，显然l 1⊥l 2，其他类似．
综上可得，“基圆”上任意动点P 都可使l 1⊥l 2． 21．设函数f （x ）＝x 2+mln （x +1）（m ∈R ）．
（Ⅰ）若m ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f （x ）在区间（0，1）上存在唯一零点，求实数m 的取值范围． 【分析】（I ）m ＝﹣1，利用导数求得f '（0）＝﹣1．可求得切线方程；
（II ）求得函数的导函数f′(x)=2x +m x+1=2x 2
+2x+m x+1
，进而2x 2+2x +m ＝0．对△分类
讨论可求得m 的取值范围．
解：（Ⅰ）m ＝﹣1，∴f （x ）＝x 2﹣ln （x +1）．f′(x)=2x −
1
x+1
，k ＝f '（0）＝﹣1． 又f （0）＝0，∴f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣x ．
（Ⅱ）f （x ）＝x 2+mln （x +1），f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），f′(x)=2x +m x+1=2x 2+2x+m x+1
，令2x 2+2x +m ＝0．
当b 2﹣4ac ＝4﹣8m ≤0，即m ≥12
时，f '（x ）≥0，f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增， 又f （0）＝0，∴在（0，1）上无零点，不合题意；
当b 2﹣4ac ＝4﹣8m ＞0，即m ＜1
2时，2x 2+2x +m ＝0有两根x 1，x 2（x 1＜x 2）；
当2×（﹣1）2+2×（﹣1）+m ＞0，即0＜m ＜12时，x 1∈(−1，−12)，x 2∈(−1
2，0)，
此时f （x ）在（x 2，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，∴在（0，1）上无零点，不合题意；
当m ＝0时f （x ）＝x 2，此时f （x ）在（0，1）上无零点，不合题意； 当m ＜0时x 1∈（﹣∞，﹣1），x 2∈（0，+∞），
此时f （x ）在（0，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增，f （0）＝0， ∴f （x 2）＜0，f （x ）在区间（0，1）上存在唯一零点，即f （1）＞0即可．解得m ＞−1
ln2
． 综上，若f （x ）在区间（0，1）上存在唯一零点，则m 的取值范围为(−
1
ln2
，0)． （二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心C （1，2），半径为2，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是θ=π
4（ρ∈R ）． （Ⅰ）求⊙C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与⊙C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 【分析】（I ）根据已知条件，结合极坐标的公式，即可求解．
（II ）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解． 解：（I ）∵⊙C 的圆心C （1，2），半径为2， ∴（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4，即x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0， ∵{x =ρcosθ
y =ρsinθ
， ∴ρ2﹣2ρcos θ﹣4ρsin θ+1＝0，
∴⊙C 的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ﹣4ρsin θ+1＝0，
∵直线l的极坐标方程是θ=π
4（ρ∈R），
∴y＝x．
（II）∵⊙C的圆心C（1，2），半径r＝2，
∴圆心到直线y＝x的距离d=
√1+1
=√22，
∴|AB|=2√r2−d2=2√22−1
2
=√14．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|2a+1|恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）将f（x）写成分段函数，分类讨论求解绝对值不等式即可；
（Ⅱ）根据f（x）的分段表达式可得f（x）的最大值，再求解绝对值不等式即可．解：（Ⅰ）①当x＜﹣3时，4≤2，无解；
②当﹣3≤x＜1时，﹣2x﹣2≤2，解得﹣2≤x＜1；
③当x≥1时，﹣4≤2，解得x≥1；
综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[﹣2，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）max＝4，∴|2a+1|≥4，
解得a≤−5
2或a≥
3
2，
∴a的取值范围为(−∞，−5
2
]∪[32，+∞)．。